Režim a medián- špeciálny druh priemerov, ktoré sa používajú na štúdium štruktúry variačných radov. Niekedy sa nazývajú štrukturálne priemery, na rozdiel od predtým diskutovaných mocenských priemerov.

Móda- ide o hodnotu atribútu (variantu), ktorý sa v tejto populácii najčastejšie vyskytuje, t.j. má najvyššiu frekvenciu.

Móda má veľké praktické uplatnenie a v niektorých prípadoch len móda môže charakterizovať spoločenské javy.

Medián je variant, ktorý je v strede objednaného variačného radu.

Medián znázorňuje kvantitatívnu hranicu hodnoty premennej charakteristiky, ktorú dosahuje polovica jednotiek populácie. Použitie mediánu spolu s priemerom alebo namiesto neho sa odporúča, ak sú v sérii variácií otvorené intervaly, pretože výpočet mediánu nevyžaduje podmienené stanovenie hraníc otvorených intervalov, a preto absencia informácií o nich nemá vplyv na presnosť výpočtu mediánu.

Medián sa používa aj vtedy, keď nie sú známe ukazovatele, ktoré sa majú použiť ako váhy. V štatistických metódach kontroly kvality produktov sa namiesto aritmetického priemeru používa medián. Súčet absolútnych odchýlok opcií od mediánu je menší ako od akéhokoľvek iného čísla.

Zvážte výpočet módu a mediánu v diskrétnom variačnom rade :

Určte režim a medián.

Fashion Mo = 4 roky, keďže táto hodnota zodpovedá najvyššej frekvencii f = 5.

Tie. najväčší počet pracovníci majú 4 roky praxe.

Aby sme vypočítali medián, najprv nájdeme polovicu súčtu frekvencií. Ak je súčet frekvencií nepárne číslo, potom k tomuto súčtu najprv pripočítame jednotku a potom ju rozdelíme na polovicu:

Medián bude ôsmou možnosťou.

Aby sme zistili, ktorá možnosť bude ôsma v počte, budeme hromadiť frekvencie, kým nedostaneme súčet frekvencií rovný alebo väčší ako polovica súčtu všetkých frekvencií. Zodpovedajúca možnosť bude medián.

ja = 4 roky.

Tie. polovica pracovníkov má menej ako štyri roky praxe, polovica viac.

Ak sa súčet akumulovaných frekvencií voči jednej možnosti rovná polovici súčtu frekvencií, potom je medián definovaný ako aritmetický priemer tejto možnosti a nasledujúcej možnosti.

Výpočet módu a mediánu v sérii intervalových variácií

Režim v sérii variácií intervalov sa vypočíta podľa vzorca

kde X М0- počiatočná hranica modálneho intervalu,

hm 0 je hodnota modálneho intervalu,

fm 0 , fm 0-1 , fm 0+1 - frekvencia modálneho intervalu pred modálnym a nasledujúcim modálnym intervalom.

Modálny Interval s najvyššou frekvenciou je tzv.

Príklad 1

Skupiny podľa skúseností	Počet robotníkov, ľudí	Akumulované frekvencie

Určte režim a medián.

Modálny interval, pretože zodpovedá najvyššej frekvencii f = 35. Potom:

Hm 0 =6, fm 0 =35

hm 0 =2, fm 0-1 =20

fm 0+1 =11

Záver: Najväčší počet pracovníkov má prax cca 6,7 ​​roka.

Pre intervalový rad sa Me vypočíta pomocou nasledujúceho vzorca:

kde Hm e- dolná hranica mediálneho intervalu,

hm e- veľkosť mediálneho intervalu,

- polovičný súčet frekvencií,

fm e je frekvencia stredného intervalu,

Sm e-1 je súčet akumulovaných frekvencií intervalu predchádzajúceho mediánu.

Mediánový interval je taký interval, ktorému zodpovedá kumulatívna frekvencia, ktorá sa rovná alebo je väčšia ako polovica súčtu frekvencií.

Definujme medián pre náš príklad.

od 82>50, potom stredný interval .

Hm e =6, fm e =35,

hm e =2, Sm e-1 =47,

Záver: Polovica pracovníkov má prax menej ako 6,16 rokov a polovica viac ako 6,16 rokov.

Vaše súkromie je pre nás dôležité. Z tohto dôvodu sme vyvinuli Zásady ochrany osobných údajov, ktoré popisujú, ako používame a uchovávame vaše informácie. Prečítajte si prosím naše zásady ochrany osobných údajov a ak máte nejaké otázky, dajte nám vedieť.

Zhromažďovanie a používanie osobných údajov

Osobné údaje sú údaje, ktoré možno použiť na identifikáciu alebo kontaktovanie konkrétnej osoby.

Keď nás budete kontaktovať, môžete byť kedykoľvek požiadaní o poskytnutie svojich osobných údajov.

Nasleduje niekoľko príkladov typov osobných údajov, ktoré môžeme zhromažďovať, a ako môžeme tieto informácie použiť.

Aké osobné údaje zhromažďujeme:

• Keď odošlete žiadosť na stránke, môžeme zhromažďovať rôzne informácie vrátane vášho mena, telefónneho čísla, e-mailovej adresy atď.

Ako používame vaše osobné údaje:

• Osobné údaje, ktoré zhromažďujeme, nám umožňujú kontaktovať vás o jedinečných ponukách, akciách a iných udalostiach a Pripravované akcie.
• Z času na čas môžeme použiť vaše osobné údaje, aby sme vám posielali dôležité upozornenia a komunikáciu.
• Osobné údaje môžeme použiť aj na interné účely, ako je vykonávanie auditov, analýza údajov a rôzne výskumy, aby sme zlepšili služby, ktoré poskytujeme, a poskytli vám odporúčania týkajúce sa našich služieb.
• Ak sa zúčastníte žrebovania o ceny, súťaže alebo podobného stimulu, môžeme použiť informácie, ktoré nám poskytnete, na spravovanie takýchto programov.

Sprístupnenie tretím stranám

Informácie, ktoré od vás dostaneme, nezverejňujeme tretím stranám.

Výnimky:

• V prípade, že je potrebné – v súlade so zákonom, súdnym poriadkom, v súdnom konaní a/alebo na základe verejných žiadostí alebo žiadostí štátnych orgánov na území Ruskej federácie – zverejniť vaše osobné údaje. Môžeme tiež zverejniť informácie o vás, ak usúdime, že takéto zverejnenie je potrebné alebo vhodné z dôvodu bezpečnosti, presadzovania práva alebo iného verejného záujmu.
• V prípade reorganizácie, zlúčenia alebo predaja môžeme osobné údaje, ktoré zhromažďujeme, preniesť na príslušnú tretiu stranu, nástupcu.

Ochrana osobných údajov

Prijímame opatrenia – vrátane administratívnych, technických a fyzických – na ochranu vašich osobných údajov pred stratou, krádežou a zneužitím, ako aj pred neoprávneným prístupom, zverejnením, zmenou a zničením.

Zachovanie vášho súkromia na úrovni spoločnosti

Aby sme zaistili bezpečnosť vašich osobných údajov, informujeme našich zamestnancov o postupoch ochrany osobných údajov a zabezpečenia a prísne presadzujeme postupy ochrany osobných údajov.

Kvantily sú hodnoty, ktoré rozdeľujú množinu na určitý počet častí s rovnakým počtom prvkov. Najznámejšie sú medián, kvartily, decily, percentily.

1) Najznámejší kvantil je medián, rozdelením súpravy na dve rovnaké časti. Okrem mediánu sa často používajú kvartily, ktoré rozdeľujú zoradené série na 4 rovnaké časti, decily - 10 častí a percentily - na 100 častí.

Medián pre samostatnú sériu.

Na určenie mediány v diskrétnom rade najprv poradové číslo mediánu podľa vzorca: a potom o určiť, ktorá hodnota funkcie má kumulatívnu frekvenciu rovnajúcu sa strednému číslu.

Ak riadok obsahuje párne číslo prvkov, potom bude stredné číslo necelé číslo a medián sa bude rovnať priemeru dvoch hodnôt vlastností v strede . Číslo prvej z týchto funkcií je celú časťčíslo mediánu, pre druhé - číslo mediánu zaokrúhlené nahor na celé číslo.

Medián pre intervalové série

Pri výpočte mediánu pre sériu intervalových variácií sa najprv určí medián intervalu, v rámci ktorého sa medián nachádza.

Pre to:

1) číslo mediánu je určené vzorcom: ,

2) potom sa podľa akumulovanej frekvencie určí interval, ktorý obsahuje prvok s takýmto číslom,

3) potom - hodnota mediánu podľa vzorca:

- je požadovaný medián

- je spodná hranica intervalu, ktorý obsahuje medián

-i- šírka intervalu (horná hranica intervalu - dolná hranica)

- - súčet frekvencií alebo počtu prvkov v skupine

Kumulatívna frekvencia intervalu predchádzajúceho mediánu

- je frekvencia stredného intervalu

Príklad. Nájdite režim a medián pre intervalové série.

Riešenie:

1) Definujte módu

V tomto príklade je modálny interval vo vekovej skupine 25-30 rokov, pretože tento interval predstavuje najvyššiu frekvenciu (1054).

Vypočítajme hodnotu režimu:

To znamená, že modálny vek študentov je 27 rokov.

2) Definujte medián.

Medián intervalu je vo vekovej skupine 25-30 rokov, keďže v rámci tohto intervalu existuje variant, ktorý rozdeľuje populáciu na dve rovnaké časti (Σf i /2 = 3462/2 = 1731). Ďalej do vzorca dosadíme potrebné číselné údaje a získame hodnotu mediánu:

To znamená, že polovica študentov má menej ako 27,4 rokov a druhá polovica má viac ako 27,4 rokov.

2) Kvartily

Kvartily predstavujú hodnotu znaku, ktorý rozdeľuje populáciu v rozmedzí na štyri časti rovnaké v počte prvkov.

Rozlišujte kvartil prvého rádu (dolný kvartil) , kvartil tretieho rádu (horný kvartil). Prvý (dolný) kvartil oddeľuje ¼ jednotiek s minimálnymi hodnotami z populácie a tretí (horný) oddeľuje ¼ jednotiek s maximálnymi hodnotami, druhý kvartil je medián. Druhý kvartil rozdeľuje populáciu na dve rovnaké časti a je mediánom.

Na výpočet kvartilov môžete rozdeliť sériu variácií podľa mediánu na dve rovnaké časti a potom nájsť medián v každej z nich.

Napríklad, ak vzorka pozostáva zo 6 položiek, potom sa druhá položka berie ako počiatočný kvartil vzorky a piata položka sa berie ako dolný kvartil.

medián

Ak variačný rad pozostáva napríklad z 9 prvkov, potom sa za horný kvartil berie aritmus. priemer 2. a 3. prvku a pre nižší aritmus. priemer 7. a 8. prvku.

medián

1. kvartil 3. kvartil

Výpočet kvartilov pre diskrétny rad:

Výpočet kvartilov pre diskrétny rad:

1. V diskrétnom rade najskôr určte čísla (pozície) kvartilov:

1. kvartilová pozícia

Pozícia 3. kvartilu

2. Ak je kvartilové číslo je celé číslo, potom sa hodnota kvartilu bude rovnať hodnote prvku radu, ktorý má akumulovanú frekvenciu rovnajúcu sa číslu kvartilu. Napríklad, ak je číslo kvartilu 20, jeho hodnota sa bude rovnať hodnote prvku s S = 20 (kumulatívna frekvencia rovná 20).

Ak je kvartilové číslo je necelé číslo, potom kvartil bude podmienené číslo medzi dvoma pozorovaniami. Hodnota kvartilu bude súčtom hodnoty prvku, pre ktorý sa akumulovaná frekvencia rovná celočíselnej hodnote kvartilového čísla, a špecifikovanej časti (neceločíselná časť kvartilového čísla) rozdielu medzi hodnotou tento prvok a hodnota nasledujúceho prvku.

Napríklad, ak je číslo kvartilu 20,25, kvartil spadá medzi 20. a 21. pozorovanie a jeho hodnota sa bude rovnať hodnote 20. pozorovania plus 1/4 (0,25) rozdielu medzi hodnotou 20. 21. pozorovania.

Výpočet kvartilov pre intervalový rad:

Ak chcete vypočítať kvartily pre intervalový rad:

1) Určte kvartilové číslo,

2) Určite kvartilový interval,

3) Vypočítajte kvartil podľa vzorca:

Dolná hranica intervalu obsahujúceho prvý kvartil. Interval je určený akumulovanou intervalovou frekvenciou
- spodná hranica intervalu obsahujúceho tretí kvartil. Interval je určený akumulovanou intervalovou frekvenciou
- šírka intervalu
- akumulovaná frekvencia intervalu predchádzajúceho intervalu obsahujúcemu prvý kvartil
- akumulovaná frekvencia intervalu predchádzajúceho intervalu obsahujúcemu tretí kvartil
- frekvencia intervalu obsahujúceho prvý kvartil
- frekvencia intervalu obsahujúceho tretí kvartil

Na nájdenie mediánu na stranách trojuholníka nie je potrebné zapamätať si ďalší vzorec. Stačí poznať algoritmus riešenia.

Najprv sa pozrime na problém všeobecne.

Je daný trojuholník so stranami a, b, c. Nájdite dĺžku mediánu nakreslenej na stranu b.

AB=a, AC=b, BC=c.

Na lúči BF vyčleníme segment FD, FD=BF.

Spojme bod D s bodmi A a C.

Štvoruholník ABCD je rovnobežník (podľa znaku), pretože jeho uhlopriečky v priesečníku sú rozdelené na polovicu.

Vlastnosť uhlopriečok rovnobežníka: súčet druhých mocnín uhlopriečok rovnobežníka sa rovná súčtu druhých mocnín jeho strán.

Preto: AC²+BD²=2(AB²+BC²), takže b²+BD²=2(a²+c²),

BD²=2(a²+c²)-b². Podľa konštrukcie je BF polovicou BD, preto

Toto je vzorec na nájdenie mediánu trojuholníka pozdĺž jeho strán. Zvyčajne sa píše takto:

Prejdime ku konkrétnemu problému.

Strany trojuholníka sú 13 cm, 14 cm a 15 cm Nájdite stred trojuholníka nakresleného na jeho strednú stranu.

Aplikovaním podobného uvažovania dostaneme:

AC²+BD²=2 (AB²+BC²).

14²+BD²=2(13²+15²)

Stručná teória

Najpoužívanejšie v štatistike sú štrukturálne priemery, ktoré zahŕňajú modus a medián (neparametrické priemery).

Móda- hodnota znaku (variantu), ktorý sa vyskytuje v distribučnom rade s najvyššou frekvenciou (váhou). Móda (Mo) sa používa na identifikáciu hodnoty vlastnosti, ktorá je najbežnejšia (cena na trhu, za ktorú sa uskutočnil najväčší počet predajov tohto produktu, číslo topánok, ktoré je medzi kupujúcimi najžiadanejšie atď.) . Režim sa používa iba v súhrnoch veľkých čísel. V diskrétnej sérii sa režim nachádza ako variant s najvyššou frekvenciou. V intervalovom rade sa najprv nájde modálny interval, teda interval s najvyššou frekvenciou, a potom približná hodnota modálnej hodnoty atribútu podľa vzorca:

je spodná hranica modálneho intervalu

- hodnota modálneho intervalu

je frekvencia intervalu pred modálom

– frekvencia modálnych intervalov

je frekvencia intervalu nasledujúceho po modál

kvantily- veličiny rozdeľujúce množinu na určitý počet častí rovnakých počtom prvkov. Najznámejším kvantilom je medián, ktorý rozdeľuje populáciu na dve rovnaké časti. Okrem mediánu sa často používajú kvartily, ktoré rozdeľujú zoradené série na 4 rovnaké časti, decily - 10 častí a percentily - na 100 častí.

Medián- hodnota atribútu jednotky umiestnenej v strede zoradeného (usporiadaného) radu. Ak je distribučný rad reprezentovaný špecifickými hodnotami prvku, potom sa ako stredná hodnota prvku nájde medián (Ja).

Ak je distribučný rad diskrétny, potom sa medián zistí ako stredná hodnota prvku (ak je napríklad počet hodnôt nepárny – 45, potom zodpovedá 23 hodnote prvku v rade hodnôt ​​zoradené vzostupne, ak je počet hodnôt párny - 44, potom medián zodpovedá polovici súčtu 22 a 23 hodnôt vlastností).

Ak je distribučný rad interval, potom sa na začiatku nájde stredný interval, ktorý obsahuje jednotku umiestnenú v strede radu. Na určenie tohto intervalu sa súčet frekvencií rozdelí na polovicu a na základe postupnej akumulácie (sčítania) frekvencií intervalov, počnúc prvým, sa zistí interval, kde sa nachádza medián. Hodnota mediánu v intervalovom rade sa vypočíta podľa vzorca:

- spodná hranica stredného intervalu

- hodnota stredného intervalu

Súčet frekvencií série

je súčet akumulovaných frekvencií v intervaloch predchádzajúcich mediánu

je frekvencia stredného intervalu

Kvartily- toto sú hodnoty atribútu v zoradenej sérii, zvolené tak, že 25 % jednotiek populácie bude menších ako hodnota , 25 % jednotiek bude uzavretých medzi a ; 25 % – medzi a , zvyšných 25 % je lepších. Kvartily sa určujú pomocou vzorcov podobných vzorcu na výpočet mediánu. Pre intervalovú sériu:

Decile nazývaná štrukturálna premenná, ktorá rozdeľuje rozdelenie na 10 rovnakých častí podľa počtu jednotiek v populácii. Existuje 9 decilov a 10 decilových skupín. Decily sa určujú pomocou vzorcov podobných vzorcu na výpočet mediánu a kvartilov.

Vo všeobecnosti všeobecný vzorec výpočet kvantilov v intervalovom rade je nasledujúci:

– poradové číslo kvantilu

- dimenzia kvantilu (na koľko častí tieto kvartily rozdeľujú populáciu)

je spodná hranica kvantilového intervalu

je šírka kvantilového intervalu

Kumulatívna predkvantilová intervalová frekvencia

Pre diskrétny rad možno kvantilové číslo nájsť pomocou vzorca:

Príklad riešenia problému

Podmienka 1. problému (samostatná hodnotená séria)

Výsledkom výskumu bol priemerný mesačný príjem obyvateľov jedného vchodu:

Definuj:

Modálny a mediánový príjem, kvantily a decily príjmu.

Riešenie problému

Už máme zoradenú sériu - hodnoty príjmov obyvateľov sú rozdelené vzostupne.

Režim je najčastejšie sa vyskytujúca hodnota. AT tento prípad máme rad s dvoma režimami.

Medián je hodnota funkcie, ktorá rozdeľuje usporiadanú množinu údajov na polovicu.

Kvartily - hodnoty prvku v zoradenej sérii, vybrané tak, že 25 % jednotiek populácie bude menších ako hodnota; 25 % jednotiek bude uzavretých medzi a ; 25 % - medzi a; zvyšných 25 % je lepších.

Dicils rozdelí riadok na 10 rovnakých častí:

Ak nepotrebujete pomoc teraz, ale možno ju budete potrebovať v budúcnosti, potom, aby ste nestratili kontakt, pripojiť sa k skupine VK.

Podmienka problému 2 (intervalové série)

Na určenie priemernej výšky vkladu v úverovej inštitúcii sa získali tieto údaje:

Vypočítajte štrukturálne priemery (modus, medián, kvartily).

Riešenie problému

Vypočítajme režim veľkosti príspevku:

Režim je variant s najvyššou frekvenciou.

Režim sa vypočíta podľa vzorca:

Začiatok modálneho intervalu

Hodnota intervalu

Frekvencia modálneho intervalu

Frekvencia intervalu pred modálom

Frekvencia intervalu nasledujúceho po spôsobe

Najväčší počet vkladov je teda 30,7 tisíc rubľov.

Medián je hodnota v strede distribučného radu.

Medián sa vypočíta podľa vzorca:

Začiatok (dolná hranica) stredného intervalu

Hodnota intervalu

Súčet všetkých frekvencií série

Stredná intervalová frekvencia

Súčet kumulatívnych frekvencií variantov až po medián

Polovica vkladov má teda veľkosť až 28 tisíc rubľov, druhá polovica - viac ako 28 tisíc rubľov.

Vypočítajme kvantily:

25% vkladov je teda menej ako 20,8 tisíc rubľov, 25% vkladov je v rozmedzí od 20,8 tisíc rubľov. do 28 tisíc rubľov, 25 % leží v rozmedzí od 28 tisíc rubľov. až 33 tisíc rubľov, o 25 % viac ako hodnota 33 tisíc rubľov.

Problém 3 podmienka

Nakreslite grafy pre variačné série. Na grafe zobrazte režim, medián, priemer, kvartily.

Riešenie problému 3

Vypočítajte priemer: Na tento účel spočítajte súčin stredov intervalov a zodpovedajúcich frekvencií a výsledný súčet vydeľte súčtom frekvencií.