Trojuholník je plochý geometrický útvar s jedným uhlom rovným 90°. Zároveň je v geometrii často potrebné vypočítať plochu takejto postavy. Ako to urobiť, povieme ďalej.
Najjednoduchší vzorec na určenie plochy pravouhlého trojuholníka
Počiatočné údaje, kde: a a b sú strany trojuholníka vychádzajúce z pravého uhla.
To znamená, že plocha sa rovná polovici súčinu dvoch strán, ktoré vychádzajú z pravého uhla. Samozrejme, na výpočet plochy obyčajného trojuholníka sa používa Heronov vzorec, ale na určenie hodnoty potrebujete poznať dĺžku troch strán. V súlade s tým budete musieť vypočítať preponu, a to je čas navyše.
Nájdite oblasť pravouhlého trojuholníka pomocou Heronovho vzorca
Toto je dobre známy a originálny vzorec, ale na to budete musieť vypočítať preponu pozdĺž dvoch nôh pomocou Pytagorovej vety.
V tomto vzorci: a, b, c sú strany trojuholníka a p je polobvod.
Nájdite oblasť pravouhlého trojuholníka s preponou a uhlom
Ak vo vašom probléme nie je známa žiadna z nôh, potom nebudete môcť použiť najjednoduchšiu metódu. Ak chcete určiť hodnotu, musíte vypočítať dĺžku nôh. To sa robí jednoducho pomocou prepony a kosínusu zahrnutého uhla.
b=c×cos(α)
Keď poznáte dĺžku jednej z nôh, pomocou Pytagorovej vety môžete vypočítať druhú stranu vychádzajúcu z pravého uhla.
b 2 \u003d c 2 -a 2
V tomto vzorci sú c a a prepona a noha. Teraz môžete vypočítať plochu pomocou prvého vzorca. Rovnakým spôsobom je možné vypočítať jednu z nôh vzhľadom na druhú a uhol. V tomto prípade sa jedna z požadovaných strán bude rovnať súčinu nohy a dotyčnice uhla. Existujú aj iné spôsoby výpočtu plochy, ale so znalosťou základných teorémov a pravidiel môžete ľahko nájsť požadovanú hodnotu.
Ak nemáte žiadnu zo strán trojuholníka, ale iba stred a jeden z uhlov, môžete vypočítať dĺžku strán. Ak to chcete urobiť, použite vlastnosti mediánu na rozdelenie pravouhlého trojuholníka dvoma. V súlade s tým môže pôsobiť ako prepona, ak vychádza z ostrého uhla. Pomocou Pytagorovej vety nájdite dĺžku strán trojuholníka, ktoré vychádzajú z pravého uhla.
Ako vidíte, ak poznáte základné vzorce a Pytagorovu vetu, môžete vypočítať plochu pravouhlého trojuholníka, ktorý má iba jeden z uhlov a dĺžku jednej zo strán.
Na hodinách geometrie na strednej škole nás všetkých učili o trojuholníkoch. V rámci školského vzdelávacieho programu však dostávame len tie najnutnejšie vedomosti a učíme sa najbežnejšie a štandardné spôsoby výpočtu. Existujú neobvyklé spôsoby, ako nájsť túto hodnotu?
Na úvod si pripomeňme, ktorý trojuholník sa považuje za pravouhlý trojuholník, a tiež označme pojem plocha.
Pravouhlý trojuholník je uzavretý geometrický útvar, ktorého jeden z uhlov sa rovná 90 0. Integrálnymi pojmami v definícii sú nohy a prepona. Nohy sú dve strany, ktoré v bode pripojenia tvoria pravý uhol. Prepona je strana oproti pravému uhlu. Pravouhlý trojuholník môže byť rovnoramenný (dve jeho strany budú mať rovnakú veľkosť), ale nikdy nie rovnostranný (všetky strany majú rovnakú dĺžku). Definície výšky, mediánu, vektorov a iných matematických pojmov nebudú podrobne analyzované. Ľahko sa dajú nájsť v referenčných knihách.
Oblasť pravouhlého trojuholníka. Na rozdiel od obdĺžnikov platí pravidlo o
produkt strán v definícii nie je platný. Keď hovoríme suchým jazykom, oblasť trojuholníka sa chápe ako vlastnosť tohto obrázku zaberať časť roviny vyjadrenú číslom. Dosť ťažké pochopiť, vidíte. Nebudeme sa snažiť ponoriť sa hlboko do definície, naším cieľom to nie je. Prejdime k hlavnej veci - ako nájsť oblasť pravouhlého trojuholníka? Samotné výpočty nebudeme vykonávať, uvedieme len vzorce. Aby sme to urobili, definujme notáciu: A, B, C - strany trojuholníka, nohy - AB, BC. Uhol ACB je rovný. S je plocha trojuholníka, h n n je výška trojuholníka, kde nn je strana, na ktorú je spustený.
Metóda 1. Ako nájsť oblasť pravouhlého trojuholníka, ak je známa veľkosť jeho nôh
Metóda 2. Nájdite oblasť rovnoramenného pravouhlého trojuholníka
Metóda 3. Výpočet plochy cez obdĺžnik
Pravouhlý trojuholník dotvoríme na štvorec (ak trojuholník
rovnoramenný) alebo obdĺžnik. Dostaneme jednoduchý štvoruholník zložený z 2 rovnakých pravouhlých trojuholníkov. V tomto prípade sa hodnota plochy jedného z nich bude rovnať polovici plochy výsledného čísla. S obdĺžnika sa vypočíta ako súčin strán. Túto hodnotu označíme M. Požadovaná hodnota plochy sa bude rovnať polovici M.
Metóda 4. "Pythagorean nohavice." Slávna Pytagorova veta
Všetci si pamätáme jej formuláciu: "súčet štvorcov nôh ...". Ale nie každý môže
povedzme, a tu nejaké "nohavice". Faktom je, že pôvodne Pytagoras študoval vzťah postavený na stranách pravouhlého trojuholníka. Po identifikovaní vzorov v pomere strán štvorcov bol schopný odvodiť vzorec známy nám všetkým. Môže sa použiť, keď nie je známa hodnota jednej zo strán.
Metóda 5. Ako nájsť oblasť pravouhlého trojuholníka pomocou Heronovho vzorca
Je to tiež celkom jednoduchý výpočet. Vzorec zahŕňa vyjadrenie plochy trojuholníka z hľadiska číselných hodnôt jeho strán. Pre výpočty potrebujete poznať veľkosť všetkých strán trojuholníka.
S = (p-AC)*(p-BC), kde p = (AB+BC+AC)*0,5
Okrem vyššie uvedeného existuje mnoho ďalších spôsobov, ako zistiť veľkosť takej záhadnej postavy ako trojuholník. Medzi nimi: výpočet metódou vpísanej alebo opísanej kružnice, výpočet pomocou súradníc vrcholov, použitie vektorov, absolútne hodnoty, sínusy, dotyčnice.
Pravouhlý trojuholník je trojuholník, ktorého jeden z uhlov je 90°. Jeho oblasť možno nájsť, ak sú známe dve nohy. Môžete, samozrejme, ísť ďaleko – nájsť preponu a vypočítať plochu od , no vo väčšine prípadov to zaberie len čas navyše. Preto vzorec pre oblasť pravouhlého trojuholníka vyzerá takto:
Plocha pravouhlého trojuholníka je polovica súčinu nôh.
Príklad výpočtu plochy pravouhlého trojuholníka.
Daný pravouhlý trojuholník s nohami a= 8 cm, b= 6 cm.
Vypočítame plochu: 
Plocha: 24 cm2
Aj v pravouhlom trojuholníku sa uplatňuje Pytagorova veta. - súčet druhých mocnín oboch nôh sa rovná druhej mocnine prepony.
Vzorec pre oblasť rovnoramenného pravouhlého trojuholníka sa vypočíta rovnakým spôsobom ako pre bežný pravouhlý trojuholník.
Príklad výpočtu plochy rovnoramenného pravouhlého trojuholníka:
Daný trojuholník s nohami a= 4 cm, b\u003d 4 cm. Vypočítajte plochu:
Vypočítame plochu: \u003d 8 cm 2
Vzorec pre oblasť pravouhlého trojuholníka vzhľadom na preponu možno použiť, ak je v podmienke uvedená jedna noha. Z Pytagorovej vety zistíme dĺžku neznámej nohy. Napríklad vzhľadom na preponu c a nohu a, noha b sa bude rovnať:
Ďalej vypočítame plochu pomocou obvyklého vzorca. Príklad výpočtu vzorca pre oblasť pravouhlého trojuholníka pomocou prepony je identický s tým, ktorý je opísaný vyššie.
Uvažujme o zaujímavej úlohe, ktorá pomôže upevniť znalosti vzorcov na riešenie trojuholníka.
Úloha: Plocha pravouhlého trojuholníka je 180 metrov štvorcových. nájdite menšiu časť trojuholníka, ak je o 31 cm menšia ako druhá.
Riešenie: označujú nohy a a b. Teraz dosadíme údaje do plošného vzorca: tiež vieme, že jedna noha je menšia ako druhá a – b= 31 cm
Z prvej podmienky to dostaneme
Túto podmienku dosadíme do druhej rovnice: 
Keďže sme našli strany, odstránime znamienko mínus.
Ukazuje sa, že noha a= 40 cm a b= 9 cm.
