Introducere

Solidele lui Platon

Ce este Codul lui Da Vinci?

Solidele platonice

Corpurile arhimedeene

Misterul calendarului egiptean

Quasicristale de Dan Shechtman

Placi Penrose

Fulerene

Lumea artistică a artistei slovene Matiuska Teija Kraszek

Poliedrele obișnuite au atras atenția filozofilor, constructorilor, arhitecților, artiștilor și matematicienilor încă din cele mai vechi timpuri. Au fost frapați de frumusețea, perfecțiunea, armonia acestor figuri.

Un poliedru regulat este o figură geometrică convexă volumetrică, ale cărei fețe sunt aceleași poligoane regulate și toate unghiurile poliedrice de la vârfuri sunt egale între ele. Există multe poligoane regulate, dar există doar cinci poliedre regulate. Numele acestor poliedre provin de la Grecia antică, și indică numărul ("tetra" - 4, "hexa" - 6, "octa" - 8, "dodeca" - 12, "ikosa" - 20) fețe ("hedra").

Aceste poliedre regulate au fost numite solide platonice după filozoful grec antic Platon, care le-a dat un sens mistic, dar ele erau cunoscute chiar înainte de Platon. Tetraedrul personifica focul, deoarece vârful său este îndreptat în sus, ca o flacără în flăcări; icosaedrul - ca cel mai raționalizat - apă; cubul - cea mai stabilă dintre figuri - pământul, iar octaedrul - aerul. Dodecaedrul a fost identificat cu întregul univers și a fost considerat cel mai important.

Poliedre regulate se găsesc în natură. De exemplu, scheletul unui organism unicelular de feodaria seamănă ca formă cu un icosaedru. Un cristal de pirita (pirita sulfuroasa, FeS2) are forma unui dodecaedru.

Tetraedrul - corect piramidă triunghiulară, și un hexaedru - un cub - figuri cu care ne întâlnim constant în viata reala. Pentru a simți mai bine forma altor solide platonice, ar trebui să le creați singur din hârtie groasă sau carton. Nu este dificil să faci o scanare plată a cifrelor. Crearea poliedrelor regulate este extrem de distractivă prin însuși procesul de modelare.

Formele complete și bizare ale poliedrelor regulate sunt utilizate pe scară largă în artele decorative. Cifrele volumetrice pot fi făcute mai distractive dacă poligoanele regulate plate sunt reprezentate de alte forme care se potrivesc în poligon. De exemplu: un pentagon obișnuit poate fi înlocuit cu o stea. O astfel de figură tridimensională nu va avea margini. O poți colecta legând capetele razelor stelelor. Și 10 stele vor fi o scanare plată. O figură tridimensională se obține după fixarea celor 2 stele rămase.

Dacă copilului tău îi place să facă meșteșuguri cu mâinile lui pricepute, invită-l să asambleze o figură tridimensională de dodecaedru poliedru din stele plate din plastic. Rezultatul lucrării va mulțumi copilul dumneavoastră: el va realiza un design decorativ original cu propriile mâini, care poate fi folosit pentru a decora o cameră pentru copii. Dar, cel mai remarcabil lucru este că mingea ajurata strălucește în întuneric. Stelele din plastic sunt realizate cu adăugarea unei substanțe moderne inofensive - un fosfor.

GEOMETRIA CORPURILOR PLATONIENE

rev. din 24.06.2013 - (actualizat)

Principalele cinci solide platonice sunt: octaedru, stea tetraedru, cub, dodecaedru, icosaedru.

Fiecare dintre modelele geometrice, fie nucleul atomic, microclustere, grilă globală sau distanțele dintre planete, stele, galaxii, este una dintre cele cinci principale „solide platonice”.

De ce apar aceste modele atât de des în natură? Unul dintre primele indicii: matematicienii știau că aceste forme au mai multă „simetrie” decât orice geometrie tridimensională pe care o putem crea.

De la Robert Lawlor „Geometrie sacră” putem afla că hindușii au redus geometriile Solidelor Platonice la structura octavă pe care o vedem pentru sunet și lumină (notă și culoare). Matematicianul și filozoful grec Pitagora, prin procesul de împărțire succesivă a frecvenței la cinci, a dezvoltat mai întâi cele opt tonuri „pure” ale octavei, cunoscute sub numele de scară diatonica. A luat un „monocord” cu o singură coardă și a măsurat lungimile de undă exacte în timp ce cânta diferite note. Pitagora a arătat că frecvența (sau rata de vibrație) a fiecărei note putea fi reprezentată ca un raport între două părți ale unei coarde, sau două numere, de unde și termenul „raport diatonic”.

Tabelul de mai jos prezintă geometria într-o anumită ordine, asociind-o cu numărul de helix fi(). Aceasta oferă o imagine completă și completă a modului în care diferite vibrații funcționează împreună. Se bazează pe atribuirea unor lungimi la marginile unui cub egale cu „ 1 ". Apoi comparăm marginile tuturor celorlalte forme cu această valoare, indiferent dacă sunt mai mari sau mai mici. Știm că în Solidele platonice fiecare fațetă are aceeași formă, fiecare colț este identic, fiecare nod este la aceeași distanță de toate celelalte noduri și fiecare linie are aceeași lungime.

1 Sferă (fără fețe) 2 Icosaedru central 1/phi 2 3 Octaedru 1/ √2 Tetraedru cu 4 stele √2 5 Cub 1 6 Dodecaedru 1/phi 7 Icosaedru phi 8 Sferă (fără fețe)

Acest lucru va ajuta la înțelegerea modului în care, cu ajutorul vibrațiilor spiralei phi, solidele platonice curg treptat una în alta.

MULTIDIMENSIONALITATEA UNIVERSULUI

Însuși conceptul de conectare a geometriilor platonice la planuri superioare apare deoarece oamenii de știință știu: trebuie să existe geometrie; l-au găsit în ecuații. Geometriile platonice sunt necesare pentru a oferi „mai mult spațiu” pentru ca axele suplimentare invizibile să apară în viraje „ascunse” de 90°. În metoda analizei datelor, fiecare față a formei geometrice reprezintă o axă sau un plan diferit în care s-ar putea roti. Când începem să ne uităm la lucrările lui Fuller și Jenny, vedem că ideea altor planuri existente în viraje „ascunse” de 90 de grade este pur și simplu o explicație incorectă bazată pe o lipsă de cunoaștere a conexiunilor „sacre” dintre geometrie. si vibratii.

Este foarte probabil ca oamenii de știință convenționali să nu înțeleagă niciodată că culturile antice ar fi putut avea o „conexiune pierdută” care simplifică și unifică foarte mult totul. teorii moderne fizica spațială. Deși poate părea incredibil că o cultură „primitivă” a avut acces la acest tip de informații, dovezile sunt acolo. Citiți cartea clasică a lui Prasada, deocamdată puteți vedea că cosmologia vedica are o abilitate științifică inerentă.

Ce crezi că vezi? - aceasta este o stea care explodează cu praf aruncat din ea... Dar există în mod clar un fel de câmp energetic aici, care structurează praful pe măsură ce se extinde într-un model geometric foarte precis:

Problema este că câmpurile magnetice tipice din modelele de fizică convenționale pur și simplu nu permit o asemenea precizie geometrică. Oamenii de știință chiar nu știu să înțeleagă astfel de lucruri!

Imaginea de mai jos este NOUA nebuloasă, care este un „pătrat” perfect. Cu toate acestea, aceasta este încă o gândire bidimensională. Ce este un pătrat în trei dimensiuni?
Desigur, cubul!

Văzută în infraroșu, nebuloasa seamănă cu o cutie uriașă strălucitoare pe cer, cu un miez interior alb strălucitor. Steaua pe moarte MWC 922 se află în centrul sistemului și își aruncă interiorul de la poli opuși în spațiu. După ce MWC 922 emite cea mai mare parte a materialului său în spațiu, se va micșora într-un corp stelar dens cunoscut sub numele de pitică albă, ascuns în norii săi rămășiți.

Deși este posibil ca explozia stelei să se propagă doar într-o singură direcție, creând o formă mai piramidală, ceea ce vedeți este un cub perfect în spațiu. Deoarece toate cele patru laturi ale cubului au aceeași lungime și unghiuri perfecte de 90 de grade unele față de altele și, din nou, cubul are „pașii” structurați pe care i-am văzut în imaginea anterioară, oamenii de știință sunt complet derutați. Cubul are și MAI MARE SIMETRIE decât nebuloasa „dreptunghiulară”!

Astfel de modele apar nu numai în vastitatea spațiului. Ele apar, de asemenea, la cel mai mic nivel de atomi și molecule, de exemplu, în structura cubică a sării de masă obișnuite sau a clorurii de sodiu. Un Pang Tsaya (Japonia) a fotografiat cvasicristale ale unui aliaj aluminiu-cupru-fier sub forma unui dodecaedru și a unui aliaj aluminiu-nichel-cobalt sub forma unei prisme decagonale (cu zece laturi) (vezi fotografia). Problema este că nu puteți crea astfel de cristale folosind atomi unici legați împreună.

Un alt exemplu este condensatul Bose-Einstein. Pe scurt, un condensat Bose-Einstein este un grup mare de atomi care se comportă ca o singură „particulă” în care fiecare atom care îl compune ocupă simultan tot spațiul și tot timpul din întreaga structură. Se măsoară că toți atomii vibrează la aceeași frecvență, se mișcă cu aceeași viteză și sunt localizați în aceeași regiune a spațiului. Paradoxal, dar diferite părți ale sistemului acționează ca un întreg, pierzând toate semnele individualității. Această proprietate este necesară pentru un „superconductor”. De obicei, condensul Bose-Einstein se poate forma la temperaturi extrem de scăzute. Cu toate acestea, tocmai astfel de procese le observăm în microclustere și cvasicristale lipsite de identitate atomică individuală.

Un alt proces similar este acțiunea luminii laser, cunoscută sub numele de lumină „coerentă”. Totul în spațiu și timp fasciculul laser se comportă ca un singur "foton", adică este imposibil să se separe fotonii individuali într-un fascicul laser.

Mai mult, la sfârșitul anilor ’60 fizician englez Herbert Fröhlich a sugerat asta sistemele vii se comportă adesea ca condensatele Bose-Einstein numai pe scară largă.

Fotografiile nebuloasei oferă dovezi vizibile uimitoare că geometria este în joc. despre un rol mai mare în forțele universului decât ar crede majoritatea oamenilor. Oamenii noștri de știință pot lupta doar pentru a înțelege acest fenomen în cadrul modelelor tradiționale existente.

Stahov A.P.

Codul lui Da Vinci, solide platoniciene și arhimediene, cvasicristale, fulerene, rețele Penrose și lumea artei Mama Teija Kraszek

adnotare

Opera artistei slovene Matyushka Teija Krashek este puțin cunoscută cititorului vorbitor de limbă rusă. În același timp, în Occident este numit „Escher-ul Europei de Est” și „cadoul slovenesc” pentru comunitatea culturală mondială. Compozițiile sale artistice sunt inspirate din ultimele descoperiri științifice (fulerene, cvasicristale Dan Shechtman, plăci Penrose), care la rândul lor se bazează pe poligoane regulate și semiregulate (solidele Platon și Arhimede), Secțiunea de Aur și numerele Fibonacci.

Cu siguranță, fiecare persoană s-a gândit de mai multe ori la întrebarea de ce Natura este capabilă să creeze astfel de structuri armonioase uimitoare care încântă și încântă ochiul. De ce artiștii, poeții, compozitorii, arhitecții creează opere de artă uimitoare din secol în secol. Care este secretul Armoniei lor și ce legi stau la baza acestor creaturi armonioase?

Căutarea acestor legi, „Legile armoniei Universului”, a început în știința antică. În această perioadă a istoriei umane oamenii de știință ajung la o serie de descoperiri uimitoare care pătrund în întreaga istorie a științei. Prima dintre ele este considerată a fi o proporție matematică minunată care exprimă armonia. Se numește diferit: „raportul de aur”, „numărul de aur”, „media de aur”, „raportul de aur”și chiar „proporție divină”. Se mai numește și Secțiunea de Aur numărul PHIîn onoarea marelui sculptor grec antic Phidias (Phidius), care a folosit acest număr în sculpturile sale.

Thrillerul Codul lui Da Vinci, scris de popularul scriitor englez Dan Brown, a devenit un bestseller al secolului XXI. Dar ce înseamnă Codul lui Da Vinci? Există diverse răspunsuri la această întrebare. Se știe că celebra „Secțiunea de Aur” a făcut obiectul unei atenții deosebite și al entuziasmului pentru Leonardo da Vinci. Mai mult, chiar numele „Secțiunea de Aur” a fost introdus în cultura europeană de către Leonardo da Vinci. La inițiativa lui Leonardo, celebrul matematician și învățatul călugăr italian Luca Pacioli, prietenul și consilierul științific al lui Leonardo da Vinci, a publicat cartea „Divina Proportione”, prima lucrare de matematică din literatura mondială despre Secțiunea de Aur, pe care autorul a numit-o „Divină”. Proporţie". De asemenea, se știe că Leonardo însuși a ilustrat această celebră carte, desenând pentru ea 60 de desene minunate. Aceste fapte, care nu sunt prea bine cunoscute comunității științifice generale, sunt cele care dau dreptul de a formula o ipoteză că Codul lui Da Vinci nu este altceva decât Secțiunea de Aur. Și confirmarea acestei ipoteze poate fi găsită într-o prelegere pentru studenți Universitatea Harvard de care își amintește personaj principal cartea „Codul lui Da Vinci” de prof. Langdon:

„În ciuda originii sale aproape mistice, numărul PHI a jucat un rol unic în felul său. Rolul cărămizii în fundația construirii întregii vieți pe pământ. Toate plantele, animalele și chiar ființele umane sunt înzestrate cu proporții fizice, aproximativ egal cu rădăcina raportului dintre numărul de PHI la 1. Această omniprezență a PHI în natură... indică legătura tuturor ființelor vii. Se credea că numărul PHI era predeterminat de Creatorul universului. Oamenii de știință din antichitate au numit un virgul șase sute optsprezece miimi „proporție divină”.

Astfel, celebrul număr irațional PHI = 1,618, pe care Leonardo da Vinci l-a numit Media de Aur, este Codul lui Da Vinci!

O altă descoperire matematică a științei antice este poliedre regulate, care au fost numite „solide platonice”și "poliedre semiregulate", numit „solide arhimediene”. Aceste forme geometrice spațiale uimitor de frumoase stau la baza celor două cele mai mari descoperiri științifice Secolului 20 - cvasicristale(autorul descoperirii este fizicianul israelian Dan Shechtman) și fulerene(Premiul Nobel 1996). Aceste două descoperiri sunt cea mai semnificativă confirmare a faptului că Proporția de Aur este Codul Universal al Naturii („Codul lui Da Vinci”), care stă la baza Universului.

Descoperirea cvasicristalelor și a fulerenelor a inspirat mulți artiști contemporani să creeze lucrări care reflectă cele mai importante descoperiri fizice ale secolului al XX-lea sub formă artistică. Unul dintre acești artiști este artistul sloven Maica Theia Kraszek. Acest articol prezintă lumea artistică a lui Matyushka Teija Krashek prin prisma celor mai recente descoperiri științifice.

O persoană manifestă interes pentru poligoane și poliedre obișnuite pe parcursul activității sale conștiente - de la un copil de doi ani care se joacă cu cuburi de lemn până la un matematician matur. Unele dintre corpurile obișnuite și semi-regulate apar în mod natural sub formă de cristale, altele ca viruși care pot fi observați cu un microscop electronic.

Ce este un poliedru regulat? Un poliedru se numește regulat dacă toate fețele sale sunt egale (sau congruente) între ele și, în același timp, sunt poligoane regulate. Câte poliedre regulate există? La prima vedere, răspunsul la această întrebare este foarte simplu - atâtea câte poligoane obișnuite există. Cu toate acestea, nu este. În Elementele lui Euclid găsim o dovadă riguroasă că există doar cinci poliedre regulate convexe și că doar trei tipuri de poligoane regulate pot fi fețele lor: triunghiuri, pătrateși pentagoane (pentagoane obișnuite).

Multe cărți au fost dedicate teoriei poliedrelor. Una dintre cele mai cunoscute este cartea matematicianului englez M. Wenniger „Modele de poliedre”. În traducere rusă, această carte a fost publicată de editura Mir în 1974. Epigraful cărții este afirmația lui Bertrand Russell: „Matematica posedă nu numai adevăr, ci și frumusețe înaltă – frumusețe șlefuită și strictă, sublim de pură și luptă spre perfecțiunea autentică, care este caracteristică doar celor mai mari exemple de artă.”

Cartea începe cu o descriere a așa-numitului poliedre regulate, adică poliedre formate din cele mai simple poligoane regulate de același tip. Aceste poliedre se numesc Solidele platonice(Fig. 1) , numit după filozoful grec antic Platon, care a folosit poliedre regulate în el cosmologie.

Poza 1. Solide platonice: (a) octaedru ("Foc"), (b) hexaedru sau cub ("Pământ"),

Vom începe considerația noastră cu poliedre regulate, ale căror chipuri sunt triunghiuri echilaterale. Prima dintre acestea este tetraedru(Fig.1-a). Într-un tetraedru, trei triunghiuri echilaterale se întâlnesc la un vârf; în timp ce bazele lor formează un nou triunghi echilateral. Tetraedrul are cel mai mic număr se confruntă printre solidele platonice și este un analog tridimensional al unui plat triunghi dreptunghic, care are cel mai mic număr de laturi dintre poligoane regulate.

Următorul corp, care este format din triunghiuri echilaterale, se numește octaedru(Fig.1-b). Într-un octaedru, patru triunghiuri se întâlnesc la un vârf; rezultatul este o piramidă cu bază pătraunghiulară. Dacă conectați două astfel de piramide cu baze, obțineți un corp simetric cu opt fețe triunghiulare - octaedru.

Acum puteți încerca să conectați cinci triunghiuri echilaterale la un moment dat. Rezultatul este o figură cu 20 de fețe triunghiulare - icosaedru(Fig.1-d).

Următoarea formă regulată de poligon este − pătrat. Dacă conectăm trei pătrate la un punct și apoi adăugăm încă trei, obținem forma perfecta cu șase laturi, numit hexaedru sau cub(Fig. 1-c).

În cele din urmă, există o altă posibilitate de a construi un poliedru regulat bazat pe utilizarea următorului poligon regulat - Pentagon. Dacă colectăm 12 pentagoane în așa fel încât trei pentagoane să se întâlnească în fiecare punct, obținem un alt solid platonic, numit dodecaedru(Fig.1-e).

Următorul poligon regulat este hexagon. Cu toate acestea, dacă conectăm trei hexagoane la un moment dat, atunci obținem o suprafață, adică este imposibil să construim o figură tridimensională din hexagoane. Orice alte poligoane regulate deasupra unui hexagon nu pot forma deloc solide. Din aceste considerații rezultă că există doar cinci poliedre regulate ale căror fețe pot fi doar triunghiuri echilaterale, pătrate și pentagoane.

Există conexiuni geometrice uimitoare între toate poliedre regulate. De exemplu, cub(Fig.1-b) și octaedru(Fig.1-c) sunt duale, adică. se obțin unul de la celălalt dacă centroizii fețelor uneia sunt luați ca vârfuri ale celeilalte și invers. La fel, dual icosaedru(Fig.1-d) și dodecaedru(Fig.1-e) . Tetraedru(Fig.1-a) este dual cu sine. Dodecaedrul se obține din cub prin construirea „acoperișurilor” pe fețele lui (metoda lui Euclid), vârfurile tetraedrului sunt oricare patru vârfuri ale cubului care nu sunt adiacente perechi de-a lungul muchiei, adică toate celelalte poliedre regulate pot fi obtinut din cub. Însuși faptul că există doar cinci poliedre cu adevărat regulate este surprinzător pentru că există infinit de multe poligoane regulate în plan!

Caracteristicile numerice ale solidelor platonice

Principalele caracteristici numerice Solidele platonice este numărul de laturi ale feței m, numărul de fețe care converg la fiecare vârf, m, numărul de fețe G, numărul de vârfuri LA, numărul de coaste Rși numărul de colțuri plate La pe suprafața unui poliedru, Euler a descoperit și a dovedit celebra formulă

B P + G = 2,

care leagă numărul de vârfuri, muchii și fețe ale oricărui poliedru convex. Caracteristicile numerice de mai sus sunt date în tabel. unu.

tabelul 1

Caracteristicile numerice ale solidelor platonice

Raportul de aur în dodecaedru și icosaedru

Dodecaedrul și icosaedrul său dual (Fig. 1-d, e) ocupă un loc special printre Solidele platonice. În primul rând, trebuie subliniat faptul că geometria dodecaedruși icosaedru legate direct de raportul de aur. Într-adevăr, marginile dodecaedru(Fig.1-e) sunt pentagoane, adică pentagoane regulate bazate pe raportul de aur. Daca te uiti atent la icosaedru(Fig. 1-d), apoi puteți vedea că cinci triunghiuri converg la fiecare dintre vârfurile sale, ale căror laturi exterioare formează pentagon. Deja aceste fapte sunt suficiente pentru a ne asigura că raportul de aur joacă un rol esențial în construirea acestor două Solidele platonice.

Dar există dovezi matematice mai profunde pentru rolul fundamental jucat de raportul de aur în icosaedruși dodecaedru. Se știe că aceste corpuri au trei sfere specifice. Prima sferă (interioară) este înscrisă în corp și îi atinge fețele. Să notăm raza acestei sfere interioare ca R i. A doua sferă sau mijlocie îi atinge marginile. Să notăm raza acestei sfere ca R m .În cele din urmă, a treia sferă (exterioară) este circumscrisă în jurul corpului și trece prin vârfurile acestuia. Să notăm raza acestuia cu Rc. În geometrie, se demonstrează că valorile razelor sferelor indicate pentru dodecaedruși icosaedru, care are o muchie de unitate de lungime, se exprimă în raportul de aur t (Tabelul 2).

masa 2

Raportul de aur în sferele dodecaedrului și icosaedrului


icosaedru
Dodecaedru

Rețineți că raportul razelor = este același ca pentru icosaedru, si pentru dodecaedru. Astfel, dacă dodecaedruși icosaedru au aceleași sfere înscrise, atunci sferele lor circumscrise sunt de asemenea egale între ele. Dovada acestui rezultat matematic este dată în Începuturile Euclid.

În geometrie, sunt cunoscute și alte relații dodecaedruși icosaedru confirmând legătura lor cu raportul de aur. De exemplu, dacă luăm icosaedruși dodecaedru cu lungimea muchiei egală cu unu și calculați aria și volumul lor extern, apoi sunt exprimate prin raportul de aur (Tabelul 3).

Tabelul 3

Raportul de aur în zona exterioară și volumul dodecaedrului și icosaedrului

	icosaedru	Dodecaedru
zona exterioară

Astfel, există un număr imens de relații obținute de matematicienii antici, confirmând faptul remarcabil că este raportul de aur este proporția principală a dodecaedrului și icosaedrului, iar acest fapt este deosebit de interesant din punctul de vedere al așa-zisului „doctrina dodecaedrală-icosaedrică”, pe care le vom considera mai jos.

Cosmologia lui Platon

Poliedrele regulate considerate mai sus se numesc Solidele platonice, întrucât au ocupat un loc important în conceptul filozofic al lui Platon despre structura universului.

Platon (427-347 î.Hr.)

Patru poliedre personificau în el patru esențe sau „elemente”. Tetraedru simbolizat Foc, deoarece vârful său este îndreptat în sus; icosaedru apă, întrucât este cel mai „raționalizat” poliedru; cub Pământ, ca cel mai „stabil” poliedru; Octaedru Aer, ca cel mai „aerisit” poliedru. Al cincilea poliedru, Dodecaedru, întruchipa „tot ce există”, „minte universală”, simboliza întregul univers și era considerat principala figură geometrică a universului.

Grecii antici considerau relațiile armonioase ca fiind baza universului, așa că cele patru elemente erau legate printr-o astfel de proporție: pământ / apă = aer / foc. Atomii „elementelor” au fost acordați de Platon în consonanțe perfecte, ca cele patru coarde ale unei lire. Amintiți-vă că consonanța este o consonanță plăcută. În legătură cu aceste corpuri, ar fi potrivit să spunem că un astfel de sistem de elemente, care includea patru elemente pământ, apă, aer și foc, a fost canonizat de Aristotel. Aceste elemente au rămas cele patru pietre de temelie ale universului timp de multe secole. Este destul de posibil să le identificăm cu cele patru stări ale materiei cunoscute de noi - solid, lichid, gazos și plasmă.

Astfel, grecii antici au asociat ideea armoniei „prin” a ființei cu întruchiparea ei în solidele platonice. A afectat și influența celebrului gânditor grec Platon Începuturile Euclid. În această carte, care timp de secole a fost singurul manual de geometrie, este dată o descriere a liniilor „ideale” și a figurilor „ideale”. Cea mai „ideală” linie - Drept, și cel mai „ideal” poligon - poligon regulat, având laturi egaleși unghiuri egale. Cel mai simplu poligon regulat poate fi considerat triunghi echilateral,întrucât are cel mai mic număr de laturi care pot delimita o parte a planului. Este interesant că Începuturile Euclid începe cu o descriere a construcției triunghi dreptunghicși se încheie cu cinci Solidele platonice. observa asta Solidele platonice dedicat finalei, adică celei de-a 13-a cărți Au inceput Euclid. Apropo, acest fapt, adică plasarea teoriei poliedrelor regulate în cartea finală (adică, parcă, cea mai importantă) Au inceput Euclid, a dat naștere matematicianului grec antic Proclus, care a fost un comentator al lui Euclid, să propună o ipoteză interesantă despre adevăratele scopuri urmărite de Euclid, creându-și Începuturile. Conform lui Proclu, Euclid a creat Începuturile nu cu scopul de a prezenta geometria ca atare, ci pentru a oferi o teorie sistematizată completă a construcției figurilor „ideale”, în special cinci Solidele platonice, pe parcurs evidențiind unele dintre cele mai recente realizări la matematică!

Nu este o coincidență că unul dintre autorii descoperirii fulerenelor, laureatul Nobel Harold Kroto, în prelegerea sa Nobel, își începe povestea despre simetrie ca „baza percepției noastre asupra lumii fizice” și „rolul acesteia în încercările de a explica. it cuprinzător” tocmai cu Solidele platoniceși „elementele tuturor lucrurilor”: „Conceptul de simetrie structurală datează din antichitate...” Cele mai faimoase exemple pot fi găsite, desigur, în Timaeus al lui Platon, unde în secțiunea 53, referindu-se la „Elemente”, el scrie: „În primul rând, fiecăruia ( !) , desigur, este clar că focul și pământul, apa și aerul sunt corpuri și fiecare corp este solid ”(!!) Platon discută problemele chimiei în limbajul acestor patru elemente și le conectează cu patru solide platonice. (la vremea aceea doar patru, în timp ce Hiparh nu l-a descoperit pe al cincilea - dodecaedrul). Deși la prima vedere o astfel de filozofie poate părea oarecum naivă, ea indică o înțelegere profundă a modului în care funcționează de fapt Natura.

Poliedre semiregulate

Se cunosc mult mai multe corpuri perfecte, numite poliedre semiregulate sau Corpurile arhimedeene. De asemenea, au toate unghiurile poliedrice egale și toate fețele sunt poligoane regulate, dar mai multe tipuri diferite. Există 13 poliedre semiregulate a căror descoperire este atribuită lui Arhimede.

Arhimede (287 î.Hr. - 212 î.Hr.)

Multe Solide arhimediene poate fi împărțit în mai multe grupe. Prima dintre acestea constă din cinci poliedre, care sunt obținute din Solidele platonice ca urmare a lor trunchiere. Un corp trunchiat este un corp cu un vârf tăiat. Pentru Solidele platonice trunchierea se poate face în așa fel încât atât fețele noi rezultate, cât și părțile rămase ale celor vechi să fie poligoane regulate. De exemplu, tetraedru(Fig. 1-a) poate fi trunchiată astfel încât cele patru fețe triunghiulare ale sale să se transforme în patru fețe hexagonale, iar la acestea se adaugă patru fețe triunghiulare regulate. În acest fel, cinci Solide arhimediene: tetraedru trunchiat, hexaedru trunchiat (cub), octaedru trunchiat, dodecaedru trunchiatși icosaedru trunchiat(Fig. 2).


(A)	(b)	(în)


(G)	(e)

Figura 2. Solide arhimediene: (a) tetraedru trunchiat, (b) cub trunchiat, (c) octaedru trunchiat, (d) dodecaedru trunchiat, (e) icosaedru trunchiat

În prelegerea sa Nobel, omul de știință american Smalley, unul dintre autorii descoperirii experimentale a fulerenelor, vorbește despre Arhimede (287-212 î.Hr.) ca fiind primul cercetător al poliedrelor trunchiate, în special, icosaedru trunchiat, însă, cu prevederea că poate Arhimede își însușește acest merit și, poate, icosaedrele au fost trunchiate cu mult înaintea lui. Este suficient să menționăm cele găsite în Scoția și datate în jurul anului 2000 î.Hr. sute de obiecte de piatră (aparent în scop ritual) sub formă de sfere și diverse poliedre(corpuri delimitate pe toate părțile de plat chipuri), inclusiv icosaedre și dodecaedre. Opera originală a lui Arhimede, din păcate, nu a fost păstrată, iar rezultatele ei au ajuns până la noi, după cum se spune, „mâna a doua”. În timpul Renașterii toate Corpurile arhimedeene unul după altul au fost „descoperiți” din nou. În cele din urmă, Kepler în 1619 în cartea sa „Armonie mondială” („Harmonice Mundi”) a oferit o descriere exhaustivă a întregului set de solide arhimediene - poliedre, fiecare față fiind poligon regulat, si tot culmi sunt într-o poziție echivalentă (ca atomii de carbon din molecula C 60). Solidele arhimediene constau din cel puțin două tipuri variate poligoane, spre deosebire de 5 Solidele platonice, ale căror fețe sunt aceleași (ca în molecula C 20, de exemplu).

Figura 3. Construcția icosaedrului trunchiat arhimedian
din icosaedrul platonic

Deci cum construiești Icosaedrul trunchiat arhimedian din Icosaedrul platonic? Răspunsul este ilustrat cu ajutorul fig. 3. Într-adevăr, după cum se poate observa din Tabel. 1, 5 fețe converg la oricare dintre cele 12 vârfuri ale icosaedrului. Dacă la fiecare vârf 12 părți ale icosaedrului sunt tăiate (tăiate) de un plan, atunci se formează 12 noi fețe pentagonale. Împreună cu cele 20 de fețe deja existente care s-au transformat de la triunghiular la hexagonal după o astfel de tăiere, ele vor alcătui 32 de fețe ale unui icosaedru trunchiat. În acest caz, vor exista 90 de muchii și 60 de vârfuri.

alt grup Solide arhimediene alcătuiesc două corpuri numite cvasi-corect poliedre. Particula „cvasi” subliniază faptul că fețele acestor poliedre sunt poligoane regulate de doar două tipuri, fiecare față de un tip înconjurată de poligoane de alt tip. Aceste două corpuri sunt numite rombicuboctaedruși icosidodecaedru(Fig. 4).

Figura 5. Solide arhimediene: (a) rombicuboctaedru, (b) rombicosidodecaedru

În cele din urmă, există două așa-numitele modificări „snub” - una pentru cub ( cub snub), celălalt este pentru dodecaedrul ( dodecaedru snub) (Fig. 6).


(A)	(b)

Figura 6 Solide arhimediene: (a) cub snub, (b) dodecaedru snub

În cartea menționată de Wenniger „Modele de poliedre” (1974) cititorul poate găsi 75 de modele diferite de poliedre regulate. „Teoria poliedrelor, în special poliedrelor convexe, este unul dintre cele mai fascinante capitole ale geometriei” Aceasta este opinia matematicianului rus L.A. Lyusternak, care a făcut multe în acest domeniu al matematicii. Dezvoltarea acestei teorii este asociată cu numele unor oameni de știință proeminenți. O mare contribuție la dezvoltarea teoriei poliedrelor a avut-o Johannes Kepler (1571-1630). La un moment dat a scris schița „Despre un fulg de nea”, în care a făcut următoarea remarcă: „Dintre corpurile obișnuite, primul, începutul și progenitorul restului este cubul, iar consoarta lui, dacă pot să spun așa, este octaedrul, pentru că octaedrul are tot atâtea unghiuri câte fețe are cubul.” Kepler a fost primul care a publicat lista plina treisprezece Solide arhimedieneși le-a dat numele cu care sunt cunoscuți până astăzi.

Kepler a fost primul care a studiat așa-numitul poliedre stelate, care, spre deosebire de solidele platonice și arhimediene, sunt poliedre convexe regulate. La începutul secolului trecut, matematicianul și mecanicul francez L. Poinsot (1777-1859), ale cărui lucrări geometrice se referă la poliedre în formă de stea, a dezvoltat lucrarea lui Kepler și a descoperit existența a încă două tipuri de neconvexe regulate. poliedre. Deci, datorită lucrării lui Kepler și Poinsot, au devenit cunoscute patru tipuri de astfel de figuri (Fig. 7). În 1812, O. Cauchy a demonstrat că nu există alte poliedre regulate în formă de stea.

Figura 7 Poliedre stea obișnuite (solide Poinsot)

Mulți cititori ar putea avea o întrebare: „De ce să studiezi poliedrele obișnuite? La ce le folosesc?" La această întrebare se poate răspunde: „Și la ce folosește muzica sau poezia? Este util totul frumos? Modelele de poliedre prezentate în Fig. 1-7, în primul rând, ne lasă o impresie estetică și pot fi folosite ca ornamente decorative. Dar, de fapt, manifestarea largă a poliedrelor regulate în structurile naturale a provocat un mare interes în această ramură a geometriei în stiinta moderna.

Ce este un calendar?

Un proverb rus spune: „Timpul este ochiul istoriei”. Tot ceea ce există în Univers: Soarele, Pământul, stelele, planetele, lumi cunoscute și necunoscute și tot ceea ce există în natură, viu și neînsuflețit, totul are o dimensiune spațiu-timp. Timpul este măsurat prin observarea periodică a proceselor care se repetă de o anumită durată.

Chiar și în cele mai vechi timpuri, oamenii au observat că ziua cedează mereu nopții, iar anotimpurile trec într-o succesiune strictă: primăvara vine după iarnă, vara după primăvară, toamna după vară. În căutarea unui indiciu asupra acestor fenomene, omul a atras atenția asupra corpurilor cerești - Soarele, Luna, stelele - și asupra periodicității riguroase a mișcării lor pe cer. Acestea au fost primele observații care au precedat nașterea uneia dintre cele mai vechi științe - astronomia.

Astronomia a bazat măsurarea timpului pe mișcarea corpurilor cerești, care reflectă trei factori: rotația Pământului în jurul axei sale, revoluția Lunii în jurul Pământului și mișcarea Pământului în jurul Soarelui. Pe care dintre aceste fenomene se bazează măsurarea timpului, depind și diferite concepte de timp. Astronomia stie stelar timp, însorită timp, local timp, talie timp, concediu de maternitate timp, atomic timp, etc.

Soarele, ca toate celelalte corpuri de iluminat, este implicat în mișcarea pe cer. Pe lângă mișcarea zilnică, Soarele are așa-numita mișcare anuală, iar întreaga cale a mișcării anuale a Soarelui pe cer se numește ecliptic. Dacă, de exemplu, observăm locația constelațiilor la o anumită oră de seară și apoi repetăm această observație în fiecare lună, atunci o imagine diferită a cerului va apărea în fața noastră. Vederea cerului înstelat se schimbă continuu: fiecare anotimp are propria sa imagine a constelațiilor de seară și fiecare astfel de imagine se repetă în fiecare an. În consecință, după expirarea anului, Soarele în raport cu stelele revine la locul inițial.

Pentru confortul orientării în lumea stelară, astronomii au împărțit întregul cer în 88 de constelații. Fiecare dintre ele are propriul nume. Dintre cele 88 de constelații, un loc aparte în astronomie îl ocupă cele prin care trece ecliptica. Aceste constelații, pe lângă propriile nume, au și un nume generalizat - zodiacal(din cuvânt grecesc animal „zoop”, precum și simboluri (semne) cunoscute pe scară largă în întreaga lume și diverse imagini alegorice incluse în sistemele calendaristice.

Se știe că în procesul de deplasare de-a lungul eclipticii, Soarele traversează 13 constelații. Cu toate acestea, astronomii au considerat necesar să împartă calea Soarelui nu în 13, ci în 12 părți, unind constelațiile Scorpion și Ophiuchus într-o singură sub denumirea generală Scorpion (de ce?).

Problemele de măsurare a timpului sunt tratate de o știință specială numită cronologie. Ea stă la baza tuturor sistemelor calendaristice create de omenire. Crearea calendarelor în antichitate a fost una dintre cele mai importante sarcini ale astronomiei.

Ce este un „calendar” și ce sunt sisteme calendaristice? Cuvânt calendar provine din cuvântul latin calendarium, care înseamnă literal „cartea datoriilor”; în astfel de cărți erau indicate primele zile ale fiecărei luni - calende,în care în Roma antică debitorii plătesc dobândă.

Din cele mai vechi timpuri în ţările din Est şi Asia de Sud-Est la realizarea calendarelor mare importanță a dat periodicitatea mișcării Soarelui, Lunii, precum și Jupiterși Saturn, cele două planete gigantice ale sistemului solar. Există motive să credem că ideea de a crea calendar jupiterian cu simbolismul ceresc al ciclului animal de 12 ani asociat cu rotația Jupiterîn jurul Soarelui, care face o revoluție completă în jurul Soarelui în aproximativ 12 ani (11,862 ani). Pe de altă parte, a doua planetă gigantică a sistemului solar - Saturn face o revoluție completă în jurul Soarelui în aproximativ 30 de ani (29,458 ani). Dorind să coordoneze ciclurile de mișcare ale planetelor gigantice, vechii chinezi au venit cu ideea de a introduce un ciclu de 60 de ani al sistemului solar. În timpul acestui ciclu, Saturn face 2 rotații complete în jurul Soarelui, iar Jupiter 5 rotații.

La crearea calendarelor anuale se folosesc fenomene astronomice: schimbarea zilei și a nopții, schimbarea fazelor lunare și schimbarea anotimpurilor. Utilizarea diferitelor fenomene astronomice a condus la crearea a trei tipuri de calendare în rândul diferitelor popoare: lunar, bazat pe mișcarea lunii, solar, bazată pe mișcarea soarelui și lunisolar.

Structura calendarului egiptean

Unul dintre primele calendare solare a fost egiptean, creat în mileniul IV î.Hr. Anul calendaristic egiptean inițial a constat din 360 de zile. Anul a fost împărțit în 12 luni a câte exact 30 de zile fiecare. Totuși, ulterior s-a constatat că o astfel de durată a anului calendaristic nu corespunde cu cea astronomică. Și apoi egiptenii au adăugat încă 5 zile la anul calendaristic, care, totuși, nu erau zilele lunilor. Era 5 sărbători legale care leagă ani calendaristici adiacenți. Astfel, anul calendaristic egiptean a avut următoarea structură: 365 = 12ґ 30 + 5. Rețineți că calendarul egiptean este prototipul calendarului modern.

Apare întrebarea: de ce au împărțit egiptenii anul calendaristic în 12 luni? La urma urmei, existau calendare cu un număr diferit de luni în an. De exemplu, în calendarul mayaș, anul consta din 18 luni a câte 20 de zile pe lună. Următoarea întrebare referitoare la calendarul egiptean este de ce fiecare lună avea exact 30 de zile ( mai precis zile)? Unele întrebări pot fi ridicate cu privire la sistemul egiptean de măsurare a timpului, în special cu privire la alegerea unor unități de timp precum oră, minut, secundă.În special, se pune întrebarea: de ce a fost aleasă unitatea de oră în așa fel încât să se potrivească exact de 24 de ori pe zi, adică de ce 1 zi = 24 (2ґ 12) ore? Mai departe: de ce 1 oră = 60 de minute și 1 minut = 60 de secunde? Aceleași întrebări se aplică și pentru alegerea unităților de mărime unghiulară, în special: de ce se împarte cercul în 360°, adică de ce 2p = 360° = 12ґ 30°? La aceste întrebări se adaugă altele, în special: de ce au considerat astronomii că este oportun să considere că există 12 zodiacal semne, deși de fapt, în procesul mișcării sale de-a lungul eclipticii, Soarele traversează 13 constelații? Și încă o întrebare „ciudată”: de ce sistemul numeric babilonian avea o bază foarte neobișnuită - numărul 60?

Relația calendarului egiptean cu caracteristicile numerice ale dodecaedrului

Analizând calendarul egiptean, precum și sistemele egiptene de măsurare a timpului și a valorilor unghiulare, constatăm că patru numere se repetă cu o constanță uimitoare: 12, 30, 60 și numărul derivat din ele 360 = 12ґ 30. Se pune întrebarea: este Există atunci o idee științifică fundamentală care ar putea oferi o explicație simplă și logică pentru utilizarea acestor numere în sistemele egiptene?

Pentru a răspunde la această întrebare, ne întoarcem la dodecaedru prezentat în Fig. 1-d. Amintiți-vă că toate rapoartele geometrice ale dodecaedrului se bazează pe raportul de aur.

Oare egiptenii cunoșteau dodecaedrul? Istoricii matematicii admit că egiptenii antici cunoșteau poliedrele regulate. Dar cunoșteau ei toate cele cinci poliedre regulate, în special dodecaedruși icosaedru cum sunt cele mai dificile? Matematicianul grec antic Proclu îi atribuie lui Pitagora construcția poliedrelor regulate. Dar multe teoreme și rezultate matematice (în special, teorema lui Pitagora) Pitagora a împrumutat de la vechii egipteni în timpul lui foarte lungă „călătorie de afaceri” în Egipt (conform unor rapoarte, Pitagora a trăit în Egipt timp de 22 de ani!). Prin urmare, putem presupune că Pitagora a împrumutat probabil și cunoștințele despre poliedre regulate de la vechii egipteni (și posibil de la vechii babilonieni, deoarece, potrivit legendei, Pitagora a trăit în Babilonul antic timp de 12 ani). Dar există alte dovezi, mai solide, că egiptenii aveau informații despre toate cele cinci poliedre regulate. În special, British Museum are un zar ptolemeic în formă de icosaedru, adică „solidul platonic”, dualul dodecaedru. Toate aceste fapte ne dau dreptul de a avansa ipoteza că Egiptenii cunoșteau dodecaedrul.Și dacă este așa, atunci din această ipoteză decurge un sistem foarte armonios, care face posibilă explicarea originii calendarului egiptean și, în același timp, originea sistemului egiptean de măsurare a intervalelor de timp și a unghiurilor geometrice.

Mai devreme am stabilit că dodecaedrul are 12 fețe, 30 de muchii și 60 de colțuri plate pe suprafața sa (Tabelul 1). Pe baza ipotezei pe care o cunoșteau egiptenii dodecaedruși caracteristicile sale numerice 12, 30. 60, apoi care a fost surpriza lor când au descoperit că aceleași numere exprimă ciclurile sistemului solar, și anume, ciclul de 12 ani al lui Jupiter, ciclul de 30 de ani al lui Saturn și, în sfârșit , ciclul de 60 de vară al sistemului solar. Astfel, între o figură spațială atât de perfectă ca dodecaedru, și sistem solar, există o conexiune matematică profundă! Această concluzie a fost făcută de oamenii de știință antici. Aceasta a dus la faptul că dodecaedru a fost adoptat ca „figură principală”, care simboliza Armonia Universului. Și atunci egiptenii au decis că toate sistemele lor principale (sistemul calendaristic, sistemul de măsurare a timpului, sistemul de măsurare a unghiurilor) ar trebui să corespundă parametrilor numerici. dodecaedru! Deoarece, conform ideilor anticilor, mișcarea Soarelui de-a lungul eclipticii avea un caracter strict circular, atunci, după ce au ales 12 semne ale zodiacului, distanța arcului dintre care era exact de 30 °, egiptenii au fost de acord surprinzător de frumos. mișcare anuală Sorii de-a lungul eclipticii cu structura anului lor calendaristic: o lună corespundea mișcării Soarelui de-a lungul eclipticii dintre două semne vecine ale Zodiacului! Mai mult, mișcarea Soarelui cu un grad corespundea unei zile în egiptean an calendaristic! În acest caz, ecliptica a fost împărțită automat în 360°. Împărțind fiecare zi în două părți, urmând dodecaedrul, egiptenii au împărțit apoi fiecare jumătate a zilei în 12 părți (12 fețe dodecaedru) și astfel introduse ora este cea mai importantă unitate de timp. Împărțirea unei ore în 60 de minute (60 de colțuri plate la suprafață dodecaedru), egiptenii au introdus astfel minut este următoarea unitate importantă de timp. La fel, au intrat da-mi o secunda- cea mai mică unitate de timp pentru perioada respectivă.

Astfel, alegerea dodecaedru ca principală figură „armonică” a universului, și urmând cu strictețe caracteristicile numerice ale dodecaedrului 12, 30, 60, egiptenii au reușit să construiască un calendar extrem de armonios, precum și sisteme de măsurare a timpului și a valorilor unghiulare. Aceste sisteme erau în deplin acord cu „Teoria armoniei” lor, bazată pe raportul de aur, deoarece această proporție stă la baza dodecaedru.

Aceste concluzii surprinzătoare rezultă din comparație dodecaedru cu sistemul solar. Și dacă ipoteza noastră este corectă (să încerce cineva să o infirme), atunci rezultă că de multe milenii, omenirea trăiește sub semnul raportului de aur! Și de fiecare dată când ne uităm la fața ceasului nostru, care este, de asemenea, construit pe utilizarea caracteristici numerice dodecaedru 12, 30 și 60, atingem principalul „Misterul Universului” secțiunea de aur, fără să știm!

Pe 12 noiembrie 1984, într-un scurt articol publicat în prestigioasa jurnală Physical Review Letters de către fizicianul israelian Dan Shechtman, au fost prezentate dovezi experimentale ale existenței unui aliaj metalic cu proprietăți excepționale. Când a fost studiat prin metode de difracție a electronilor, acest aliaj a arătat toate semnele unui cristal. Modelul său de difracție este compus din puncte strălucitoare și distanțate în mod regulat, la fel ca un cristal. Cu toate acestea, această imagine este caracterizată de prezența simetriei „icosaedrice” sau „pentangonale”, care este strict interzisă într-un cristal din considerente geometrice. Au fost numite astfel de aliaje neobișnuite cvasicristale.În mai puțin de un an au fost descoperite multe alte aliaje de acest tip. Au fost atât de multe, încât starea cvasicristalină s-a dovedit a fi mult mai comună decât s-ar putea imagina.

Fizicianul israelian Dan Shechtman

Conceptul de cvasicristal este de interes fundamental deoarece generalizează și completează definiția unui cristal. O teorie bazată pe acest concept înlocuiește ideea veche de „o unitate structurală repetată în spațiu într-o manieră strict periodică” cu conceptul cheie ordine departe. Așa cum se subliniază în articolul „Quasicrystals” celebru fizician D Gratia, „Acest concept a condus la extinderea cristalografiei, ale cărei bogății regăsite abia începem să le explorăm. Semnificația sa în lumea mineralelor poate fi pusă la egalitate cu adăugarea conceptului de numere iraționale la cele raționale din matematică.

Ce este un cvasicristal? Care sunt proprietățile sale și cum poate fi descrisă? După cum am menționat mai sus, conform legea fundamentală a cristalografiei asupra structurii cristaline sunt impuse restricții stricte. Conform conceptelor clasice, un cristal este compus la infinit dintr-o singură celulă, care ar trebui să „acopere” dens (față în față) întregul plan fără nicio restricție.

După cum se știe, umplerea densă a planului poate fi efectuată folosind triunghiuri(Fig.7-a), pătrate(Fig.7-b) și hexagoane(Fig. 7-d). Prin utilizarea pentagoane (pentagoane) o astfel de umplere este imposibilă (Fig. 7-c).


A)	b)	în)	G)

Figura 7 Umplerea densă a planului se poate face folosind triunghiuri (a), pătrate (b) și hexagoane (d)

Acestea au fost canoanele cristalografiei tradiționale care au existat înainte de descoperirea unui aliaj neobișnuit de aluminiu și mangan, numit cvasicristal. Un astfel de aliaj este format prin răcirea ultrarapidă a topiturii cu o viteză de 106 K pe secundă. În același timp, în timpul unui studiu de difracție a unui astfel de aliaj, pe ecran este afișat un model ordonat, care este caracteristic simetriei icosaedrului, care are celebrele axe de simetrie interzise de ordinul 5.

Mai multe grupuri științifice din întreaga lume au studiat în următorii câțiva ani acest aliaj neobișnuit prin microscopie electronică. înaltă definiție. Toate au confirmat omogenitatea ideală a materiei, în care simetria de ordinul 5 a fost păstrată în regiuni macroscopice cu dimensiuni apropiate de cele ale atomilor (câteva zeci de nanometri).

Conform opiniilor moderne, următorul model a fost dezvoltat pentru obținerea structurii cristaline a unui cvasicristal. Acest model se bazează pe conceptul de „element de bază”. Conform acestui model, icosaedrul interior al atomilor de aluminiu este înconjurat de icosaedrul exterior al atomilor de mangan. Icosaedrii sunt conectați prin octaedre ale atomilor de mangan. „Elementul de bază” are 42 de atomi de aluminiu și 12 atomi de mangan. În procesul de solidificare, are loc o formare rapidă a „elementelor de bază”, care sunt conectate rapid între ele prin „punți” octaedrice rigide. Amintiți-vă că fețele icosaedrului sunt triunghiuri echilaterale. Pentru a forma o punte octaedrică de mangan, este necesar ca două astfel de triunghiuri (câte unul în fiecare celulă) să se apropie suficient de aproape unul de celălalt și să se alinieze în paralel. Ca urmare a unui astfel de proces fizic, se formează o structură cvasicristalină cu simetrie „icosaedrică”.

În ultimele decenii, au fost descoperite multe tipuri de aliaje cvasicristaline. Pe lângă simetria „icosaedrică” (ordinul 5), există și aliaje cu simetrie decagonală (ordinul 10) și simetrie dodecagonală (ordinul 12). Proprietățile fizice ale cvasicristalelor au început să fie investigate abia recent.

Care este semnificația practică a descoperirii cvasicristalelor? După cum se menționează în articolul lui Gratia citat mai sus, „rezistența mecanică a aliajelor cvasicristaline crește dramatic; absența periodicității duce la o încetinire a propagării dislocațiilor în comparație cu metalele obișnuite... Această proprietate are o mare importanță practică: utilizarea fazei icosaedrice va face posibilă obținerea de aliaje ușoare și foarte rezistente prin introducerea de particule mici de cvasicristale într-o matrice de aluminiu.

Care este semnificația metodologică a descoperirii cvasicristalelor? În primul rând, descoperirea cvasicristalelor este un moment de mare triumf al „doctrinei dodecaedro-icosaedrice”, care pătrunde întreaga istorie a științei naturii și este o sursă de idei științifice profunde și utile. În al doilea rând, cvasicristalele au distrus noțiunea tradițională a unei diviziuni de netrecut între lumea mineralelor, în care era interzisă simetria „pentagonală”, și lumea vieții sălbatice, unde simetria „pentagonală” este una dintre cele mai comune. Și nu trebuie să uităm că proporția principală a icosaedrului este „rația de aur”. Iar descoperirea cvasicristalelor este o altă confirmare științifică că, poate, este „proporția de aur”, care se manifestă atât în lumea vieții sălbatice, cât și în lumea mineralelor, este proporția principală a Universului.

Când Dan Shechtman a dat dovada experimentală a existenței cvasicristalelor cu simetria icosaedrică, fizicienii în căutarea unei explicații teoretice pentru fenomenul cvasicristalelor, au atras atenția asupra unei descoperiri matematice făcute cu 10 ani mai devreme de matematicianul englez Roger Penrose. Ca „analog plat” al cvasicristalelor, am ales gresie penrose, care sunt structuri regulate aperiodice formate din romburi „groși” și „subțiri”, respectând proporțiile „secțiunii de aur”. Exact gresie penrose au fost adoptate de cristalografi pentru a explica fenomenul cvasicristale. În același timp, rolul diamante Penroseîn spațiul de trei dimensiuni a început să joace icosaedre, cu ajutorul căruia se realizează umplerea densă a spațiului tridimensional.

Luați în considerare din nou cu atenție pentagonul din fig. opt.

Figura 8 Pentagon

După desenarea diagonalelor în el, pentagonul original poate fi reprezentat ca un set de trei tipuri forme geometrice. În centru se află un nou pentagon format din punctele de intersecție ale diagonalelor. În plus, pentagonul din fig. 8 include cinci triunghiuri isoscele colorate în galben, și cinci triunghiuri isoscele colorate în roșu. Triunghiurile galbene sunt „aurii” deoarece raportul șoldului la bază este egal cu raportul de aur; au unghiuri ascuțite de 36° la vârf și unghiuri ascuțite de 72° la bază. Triunghiurile roșii sunt, de asemenea, „de aur”, deoarece raportul șoldului la bază este egal cu raportul de aur; au un unghi obtuz de 108° la vârf și unghiuri ascuțite de 36° la bază.

Și acum să conectăm două triunghiuri galbene și două triunghiuri roșii cu bazele lor. Drept urmare, obținem două romb „de aur”.. Primul (galben) are colt ascutit la 36° și un unghi obtuz la 144° (Fig. 9).


(A)	(b)

Figura 9." Romburi aurii: a) romb „subțire”; (b) romb „gros”.

Rombul din fig. 9-si vom suna romb subțire, iar rombul din fig. 9-b - romb gros.

Matematicianul și fizicianul englez Rogers Penrose a folosit romburi „de aur” în Fig. 9 pentru realizarea parchetului „de aur”, care a fost numit Placi Penrose. Placile Penrose sunt o combinație de diamante groase și subțiri, prezentate în Fig. zece.

Figura 10. Placi Penrose

Este important să subliniem că gresie penrose au simetrie „pentagonală” sau simetrie de ordinul 5, iar raportul dintre numărul de romburi groase și cele subțiri tinde spre raportul de aur!

Și acum să vorbim despre o altă descoperire modernă remarcabilă în domeniul chimiei. Această descoperire a fost făcută în 1985, adică cu câțiva ani mai târziu decât cvasicristalele. Vorbim despre așa-numitele „fulerene”. Termenul "fulerene" se referă la molecule închise, cum ar fi C60, C70, C76, C84, în care toţi atomii de carbon sunt localizaţi pe o suprafaţă sferică sau sferoidă. În aceste molecule, atomii de carbon sunt localizați la vârfurile hexagoanelor sau pentagoanelor regulate care acoperă suprafața unei sfere sau sferoide. Locul central printre fulerene este ocupat de molecula C 60, care se caracterizează prin cea mai mare simetrie și, ca urmare, cea mai mare stabilitate. În această moleculă, asemănătoare cu o anvelopă de minge de fotbal și având structura unui icosaedru trunchiat regulat (Fig. 2e și Fig. 3), atomii de carbon sunt situați pe o suprafață sferică la vârfurile a 20 de hexagoane regulate și a 12 pentagoane regulate, astfel încât fiecare hexagon se mărginește cu trei hexagoane și trei pentagoane, iar fiecare pentagon este mărginit de hexagoane.

Termenul „fulerene” provine din numele arhitectului american Buckminster Fuller, care, se dovedește, a folosit astfel de structuri la construirea cupolelor clădirilor (o altă utilizare a unui icosaedru trunchiat!).

„Fullerenele” sunt în esență structuri „fabricate de om” derivate din cercetările fundamentale ale fizicii. Pentru prima dată au fost sintetizate de oamenii de știință G. Kroto și R. Smalley (care au primit în 1996 Premiul Nobel pentru această descoperire). Dar au fost găsite în mod neașteptat în rocile din perioada precambriană, adică fulerenele s-au dovedit a fi nu numai „făcute de om”, ci și formațiuni naturale. Acum fulerenele sunt studiate intens în laboratoare. tari diferite, încercând să se stabilească condițiile de formare a acestora, structura, proprietățile și posibilele domenii de aplicare. Reprezentantul cel mai studiat pe deplin al familiei fullerene este fullerene-60 (C 60) (uneori se numește buckminster fullerene. Sunt cunoscute și fullerene C 70 și C 84. Fullerene C 60 se obține prin evaporarea grafitului într-o atmosferă de heliu. Aceasta formează o pulbere fină, asemănătoare funinginei, care conține 10% carbon, atunci când este dizolvată în benzen, pulberea dă o soluție roșie, din care cresc cristale C 60. proprietăți fizice. Deci, la presiune mare, C 60 devine dur, ca un diamant. Moleculele sale formează o structură cristalină, parcă ar fi formată din bile ideal netede, care se rotesc liber într-o rețea cubică centrată pe față. Datorită acestei proprietăți, C 60 poate fi folosit ca lubrifiant solid. Fulerenele au, de asemenea, proprietăți magnetice și supraconductoare.

Oamenii de știință ruși A.V. Yeletsky și B.M. Smirnov în articolul său „Fullerenes”, publicat în revista „Uspekhi fizicheskikh nauk” (1993, volumul 163, nr. 2), notează că „fulerene, a căror existență a fost stabilită la mijlocul anilor 80 şi tehnologie eficientă a cărei izolare a fost dezvoltată în 1990, a devenit acum subiect de cercetare intensivă de către zeci de grupuri științifice. Rezultatele acestor studii sunt monitorizate îndeaproape de firmele de aplicare. Deoarece această modificare a carbonului le-a oferit oamenilor de știință o serie de surprize, ar fi neînțelept să discutăm despre predicții și consecințe posibile studiul fulerenelor în următorul deceniu, dar ar trebui să fim pregătiți pentru noi surprize.”

Matjuska Teja Krasek a primit diploma de licență în pictură de la Colegiu Arte vizuale(Ljubljana, Slovenia) și este artist independent. Trăiește și lucrează în Ljubljana. Ei teoretice și munca practica se concentrează pe simetrie ca un concept de legătură între artă și știință. Opera ei de artă a fost prezentată la multe expoziții internaționale și publicată în reviste internaționale (Leonardo Journal, Leonardo on-line).

M.T. Kraszek la expoziția sa „Parfumuri caleidoscopice”, Ljubljana, 2005

Opera artistică a lui Matyushka Teija Kraszek este asociată cu diferite tipuri de simetrie, plăci și romburi Penrose, cvasicristale, raportul de aur ca element principal de simetrie, numerele Fibonacci etc. Cu ajutorul reflecției, imaginației și intuiției, ea încearcă să găsiți noi relații, noi niveluri de structură, noi și diferite tipuri de ordine în aceste elemente și structuri. În lucrările ei, ea folosește pe scară largă grafica pe computer ca un mediu foarte util pentru crearea operelor de artă, care este legătura dintre știință, matematică și artă.

Pe Fig. 11 arată compoziția lui T.M. Crushek asociat cu numerele Fibonacci. Dacă alegem unul dintre numerele Fibonacci (de exemplu, 21 cm) pentru lungimea laturii diamantului Penrose în această compoziție perceptibil instabilă, putem observa cum lungimile unor segmente din compoziție formează șirul Fibonacci.

Figura 11. Matushka Teija Kraszek „Numerele Fibonacci”, pânză, 1998.

Un număr mare de compoziții artistice ale artistului sunt dedicate cvasicristalelor și rețelelor Penrose ale lui Shechtman (Fig. 12).


(A)	(b)


(în)	(G)

Figura 12. Lumea Theia Kraszek: (a) Lumea cvasicristalelor. Grafică pe computer, 1996.
(b) Stele. Grafică pe computer, 1998 (c) 10/5. Holst, 1998 (d) Quasicube. Canvas, 1999

În compoziția lui Matyushka Teija Kraszek și Clifford Pickover „Biogenesis”, 2005 (Fig. 13), este prezentat un decagon, format din romburi Penrose. Se poate observa relația dintre diamantele Petrouse; fiecare două diamante Penrose adiacente formează o stea pentagonală.

Figura 13. Matushka Theia Kraszek și Clifford Pickover. Biogeneza, 2005.

în imaginea Double Star GA(Figura 14) vedem cum plăcile Penrose se potrivesc împreună pentru a forma o reprezentare bidimensională a unui obiect potențial hiperdimensional cu o bază decagonală. La înfățișarea picturii, artistul a folosit metoda marginilor dure propusă de Leonardo da Vinci. Această metodă de reprezentare face posibilă vedea în proiecția imaginii pe un plan un număr mare de pentagoane și pentacule, care sunt formate din proiecțiile marginilor individuale ale romburilor Penrose. În plus, în proiecția imaginii pe un plan, vedem un decagon format din marginile a 10 romburi Penrose adiacente. În esență, în această imagine, Matyushka Teija Kraszek a găsit un nou poliedru regulat, care foarte probabil există cu adevărat în natură.

Figura 14. Maica Teia Kraszek. Double Star GA

În compoziția lui Crashek „Stars for Donald” (Fig. 15), putem observa interacțiunea nesfârșită a romburilor, pentagramelor, pentagoanelor Penrose, în scădere spre punctul central al compoziției. Rapoartele de aur sunt reprezentate în multe moduri diferite pe scări diferite.

Figura 15. Matyushka Teija Kraszek „Stars for Donald”, grafică pe computer, 2005.

Compozițiile artistice ale lui Matyushka Teija Kraszek au atras o mare atenție din partea reprezentanților științei și artei. Arta ei este echivalată cu arta lui Maurits Escher, iar artista slovenă este numită „Escher-ul Europei de Est” și „cadoul sloven” pentru arta mondială.

Stahov A.P. „Codul lui Da Vinci”, solide platonice și arhimediene, cvasicristale, fulerene, zăbrele Penrose și lumea artistică a lui Matyushka Teija Kraszek // „Academia Trinitarianismului”, M., El No. 77-6567, publ. 12561, 07.11. 2005

Acest curs este conceput pentru a:

1) consolidarea, aprofundarea și extinderea cunoștințelor teoretice în domeniul metodelor de modelare a suprafețelor și obiectelor, abilităților practice și abilităților de implementare software a metodelor;

2) îmbunătățirea abilităților de muncă independentă;

3) să dezvolte capacitatea de a formula judecăţi şi concluzii, de a le formula logic şi concludent.

Numărul de părți ale feței, m

Numărul de fețe care converg la vârf, n

Numărul de fețe

Numărul de vârfuri

Numărul de coaste

Numărul de colțuri plate pe o suprafață

Hexaedru (cub)

Dodecaedru

Solidele lui Platon sunt poliedre convexe, ale căror fețe sunt poligoane regulate. Toate unghiurile poliedrice ale unui poliedru regulat sunt congruente. După cum rezultă deja din calculul sumei unghiurilor plate la vârf, nu există mai mult de cinci poliedre regulate convexe. În modul indicat mai jos, se poate demonstra că există exact cinci poliedre regulate (aceasta a fost demonstrată de Euclid). Ele sunt tetraedrul obișnuit, hexaedrul (cubul), octaedrul, dodecaedrul și icosaedrul. Numele acestor poliedre regulate provin din Grecia. LA traducere literala din grecescul „tetraedru”, „octaedru”, „hexaedru”, „dodecaedru”, „icosaedru” înseamnă: „tetraedru”, „octaedru”, „hexaedru”. dodecaedru, dodecaedru.

Tabelul nr. 1

Tabelul numărul 2

Nume:	Raza sferei circumscrise	Raza sferei înscrise
Tetraedru
Hexaedru

Dodecaedru
icosaedru

Tetraedru- un tetraedru, ale cărui fețe sunt triunghiuri, i.e. piramidă triunghiulară; un tetraedru regulat este mărginit de patru triunghiuri echilaterale. (Fig. 1).

Cub sau hexaedru regulat- corect prismă pătrangulară cu muchii egale, delimitate de șase pătrate. (Fig. 1).

Octaedru- octaedru; un corp delimitat de opt triunghiuri; un octaedru regulat este mărginit de opt triunghiuri echilaterale; unul dintre cele cinci poliedre regulate. (Fig. 1).

Dodecaedru- dodecaedru, un corp delimitat de douăsprezece poligoane; pentagon obișnuit. (Fig. 1).

icosaedru- un corp cu douăzeci de laturi, un corp delimitat de douăzeci de poligoane; un icosaedru regulat este mărginit de douăzeci de triunghiuri echilaterale. (Fig. 1).

Cubul și octaedrul sunt duali, adică. se obțin unul de la celălalt dacă centroizii fețelor uneia sunt luați ca vârfuri ale celeilalte și invers. Dodecaedrul și icosaedrul sunt în mod similar duali. Tetraedrul este dual cu el însuși. Un dodecaedru obișnuit se obține dintr-un cub prin construirea „acoperișurilor” pe fețele lui (metoda lui Euclid), vârfurile unui tetraedru sunt oricare patru vârfuri ale cubului care nu sunt adiacente perechi de-a lungul unei muchii. Așa se obțin toate celelalte poliedre regulate din cub. Însuși faptul că există doar cinci poliedre cu adevărat regulate este uimitor - la urma urmei, există o infinitate de poligoane regulate în plan!

Toate poliedrele regulate erau cunoscute în Grecia antică, iar cartea a 13-a din „Începuturile” lui Euclid le este dedicată. Se mai numesc si corpurile lui Platon, pentru ca. au ocupat un loc important în conceptul filosofic al lui Platon despre structura universului. Patru poliedre personificau în el patru esențe sau „elemente”. Tetraedrul simboliza focul, deoarece. vârful său este îndreptat în sus; icosaedru? apa, pentru ca el este cel mai „raționalizat”; cub - pământ, ca cel mai „stabil”; octaedru? aer, ca cel mai „aerisit”. Al cincilea poliedru, dodecaedrul, întruchipa „tot ce există”, simboliza întregul univers și era considerat principalul.

Grecii antici considerau relațiile armonioase ca fiind baza universului, așa că cele patru elemente erau legate printr-o astfel de proporție: pământ / apă = aer / foc.

În legătură cu aceste corpuri, ar fi potrivit să spunem că primul sistem de elemente, care cuprindea patru elemente? pământ, apă, aer și foc – a fost canonizat de Aristotel. Aceste elemente au rămas cele patru pietre de temelie ale universului timp de multe secole. Este destul de posibil să le identificăm cu cele patru stări ale materiei cunoscute de noi - solid, lichid, gazos și plasmă.

Un loc important l-au ocupat poliedrele regulate în sistemul structurii armonioase a lumii de I. Kepler. Aceeași credință în armonie, frumusețe și structura matematică regulată a universului l-au determinat pe I. Kepler la ideea că, deoarece există cinci poliedre regulate, le corespund doar șase planete. În opinia sa, sferele planetelor sunt interconectate de solidele platonice înscrise în ele. Întrucât pentru fiecare poliedru regulat centrele sferelor înscrise și circumscrise coincid, întregul model va avea un singur centru, în care va fi situat Soarele.

După ce a făcut o muncă de calcul uriașă, în 1596 I. Kepler a publicat rezultatele descoperirii sale în cartea „Secretul Universului”. El înscrie un cub în sfera orbitei lui Saturn, într-un cub? sfera lui Jupiter, sfera lui Jupiter - un tetraedru și așa mai departe se potrivesc succesiv unul în celălalt sfera lui Marte? dodecaedrul, sfera pământului? icosaedru, sfera lui Venus? octaedrul, sfera lui Mercur. Secretul universului pare deschis.

Astăzi putem spune cu încredere că distanțele dintre planete nu sunt legate de nicio poliedră. Cu toate acestea, este posibil ca fără „Secretele Universului”, „Armonia lumii” de I. Kepler, poliedre regulate, să nu fi existat trei legi celebre ale lui I. Kepler, care joacă un rol important în descrierea mișcării. a planetelor.

Unde mai poți vedea aceste corpuri uimitoare? În cartea biologului german de la începutul secolului trecut, E. Haeckel, „Frumusețea formelor în natură”, se pot citi următoarele rânduri: „Natura hrănește în sânul ei un număr inepuizabil de creaturi uimitoare care depășesc cu mult. toate formele create de arta umană în frumusețe și diversitate.” Creațiile naturii din această carte sunt frumoase și simetrice. Aceasta este o proprietate inseparabilă a armoniei naturale. Dar aici puteți vedea și organisme unicelulare? feodarii, a căror formă transmite cu exactitate icosaedrul. Ce a cauzat o astfel de geometrizare naturală? Poate din cauza tuturor poliedrelor cu același număr de fețe, icosaedrul este cel care are cel mai mare volum și cea mai mică zonă suprafete. Această proprietate geometrică ajută microorganismul marin să depășească presiunea coloanei de apă.

De asemenea, este interesant că icosaedrul a fost cel care s-a dovedit a fi în centrul atenției biologilor în disputele lor cu privire la forma virușilor. Virusul nu poate fi perfect rotund, așa cum se credea anterior. Pentru a-i stabili forma, au luat diferite poliedre, au îndreptat lumina spre ei în aceleași unghiuri ca fluxul de atomi către virus. S-a dovedit că un singur poliedru dă exact aceeași umbră? icosaedru. A lui proprietăți geometrice, care au fost menționate mai sus, permit salvarea informațiilor genetice. Poliedre regulate? cele mai profitabile cifre. Și natura profită de asta. Cristalele unor substanțe cunoscute nouă sunt sub formă de poliedre regulate. Deci, cubul prezintă forma cristalelor de clorură de sodiu NaCl, monocristalul de alaun de aluminiu-potasiu (KAlSO4) 2 12H2O are forma unui octaedru, cristalul de sulfură de pirit FeS are forma unui dodecaedru, sulfatul de antimoniu este un tetraedru, borul este un icosaedru. Poliedrele regulate definesc forma rețele cristaline unele substanțe chimice.

Așadar, poliedrele regulate ne-au dezvăluit încercările oamenilor de știință de a aborda secretul armoniei mondiale și au arătat atractivitatea și frumusețea irezistibilă a acestor figuri geometrice.

Chiar și în cele mai vechi timpuri, oamenii au observat că unele figuri tridimensionale au proprietăți speciale. Acestea sunt așa-numitele poliedre regulate- toate fețele lor sunt aceleași, toate unghiurile de la vârfuri sunt egale. Fiecare dintre aceste figuri este stabilă și poate fi înscrisă într-o sferă. Cu toată varietatea de forme diferite, există doar 5 tipuri de poliedre regulate (Fig. 1).

Tetraedru- un tetraedru regulat, fețele sunt triunghiuri echilaterale (Fig. 1a).

cub- hexagon corect, fețele sunt pătrate (Fig. 1b).

Octaedru- un octaedru regulat, fețele sunt triunghiuri echilaterale (Fig. 1c).

Dodecaedru- un dodecaedru regulat, fețele sunt pentagoane regulate (Fig. 1d).

icosaedru- un regulat de douăzeci de edre, fețele sunt triunghiuri echilaterale (Fig. 1e).

Filosoful grec antic Platon credea că fiecare dintre poliedre regulate corespunde unuia dintre cele 5 elemente primare. Potrivit lui Platon, cubul corespunde pământului, tetraedrul focului, octaedrul aerului, icosaedrul apei și dodecaedrul eterului. În plus, filozofii greci au evidențiat un alt element primar - golul. Se potriveste formă geometrică o sferă în care pot fi înscrise toate solidele platonice.

Toate cele șase elemente sunt elementele de bază ale universului. Unele dintre ele sunt comune - pământ, apă, foc și aer. Astăzi se știe cu certitudine că poliedrele regulate, sau solidele platonice, formează baza structurii cristalelor, molecule ale diferitelor substanțe chimice.

Învelișul energetic uman este, de asemenea, o configurație spațială. Limita exterioară a câmpului energetic uman este o sferă, figura cea mai apropiată este un dodecaedru. Apoi cifrele câmpului energetic se înlocuiesc într-o anumită ordine, repetându-se în cicluri diferite. De exemplu, într-o moleculă de ADN, icosaedrii și dodecaedrii se alternează.

S-a descoperit că solidele platonice sunt capabile să aibă un efect benefic asupra unei persoane. Aceste forme au capacitatea de a modifica, de a organiza energia în chakrele corpului uman. Mai mult, fiecare formă cristalină are un efect benefic asupra chakrei, elementului principal căruia îi corespunde.

Dezechilibrul energiilor din Muladhara dispare la utilizarea cubului (elementul pământ), Svadhisthana reacționează la impactul icosaedrului (elementul apă), tetraedrul (elementul foc) are un efect benefic asupra Manipurei, funcțiile Anahata sunt restabilite cu ajutorul octaedrul (elementul aer). Aceeași cifră contribuie la funcționarea normală a Vishuddha. Ambele chakre superioare - Ajna și Sahasrara - pot fi corectate cu un dodecaedru.

Pentru a utiliza proprietățile solidelor platonice, este necesar să se realizeze aceste figuri din sârmă de cupru (dimensiune de la 10 la 30 cm în diametru). Le puteți desena pe hârtie sau le puteți lipi din carton, dar ramele de sârmă de cupru sunt mai eficiente. Modelele solidelor platonice trebuie atașate de proiecțiile chakrelor corespunzătoare și să se întindă puțin într-o relaxare profundă.