Lecția video „Simplificarea expresiilor trigonometrice” este concepută pentru a dezvolta abilitățile elevilor în rezolvarea problemelor trigonometrice folosind identitățile trigonometrice de bază. În timpul lecției video sunt luate în considerare tipuri de identități trigonometrice, exemple de rezolvare a problemelor folosindu-le. Folosind mijloace vizuale, profesorului îi este mai ușor să atingă obiectivele lecției. O prezentare vie a materialului contribuie la memorarea punctelor importante. Utilizarea efectelor de animație și interpretarea vocală vă permit să înlocuiți complet profesorul în etapa de explicare a materialului. Astfel, folosind acest ajutor vizual în lecțiile de matematică, profesorul poate crește eficiența predării.

La începutul lecției video se anunță subiectul acesteia. Apoi identitățile trigonometrice studiate mai devreme sunt amintite. Ecranul afișează egalitățile sin 2 t+cos 2 t=1, tg t=sin t/cos t, unde t≠π/2+πk pentru kϵZ, ctg t=cos t/sin t, adevărat pentru t≠πk, unde kϵZ, tan t · ctg t=1, la t≠πk/2, unde kϵZ, numite identități trigonometrice de bază. Se observă că aceste identități sunt adesea folosite în rezolvarea problemelor în care este necesară demonstrarea egalității sau simplificarea expresiei.

În plus, sunt luate în considerare exemple de aplicare a acestor identități în rezolvarea problemelor. În primul rând, se propune să se ia în considerare rezolvarea problemelor de simplificare a expresiilor. În exemplul 1, este necesară simplificarea expresiei cos 2 t- cos 4 t+ sin 4 t. Pentru a rezolva exemplul, factorul comun cos 2 t este mai întâi parantezat. Ca urmare a unei astfel de transformări în paranteze, se obține expresia 1-cos 2 t, a cărei valoare din identitatea de bază a trigonometriei este egală cu sin 2 t. După transformarea expresiei, este evident că încă un factor comun sin 2 t poate fi scos din paranteze, după care expresia ia forma sin 2 t (sin 2 t + cos 2 t). Din aceeași identitate de bază, deducem valoarea expresiei dintre paranteze egală cu 1. Ca urmare a simplificării, obținem cos 2 t- cos 4 t+ sin 4 t= sin 2 t.

În exemplul 2, expresia cost/(1- sint)+ cost/(1+ sint) trebuie de asemenea simplificată. Deoarece costul expresiei este în numărătorii ambelor fracții, acesta poate fi inclus ca un factor comun. Apoi fracțiile dintre paranteze sunt reduse la un numitor comun prin înmulțirea (1- sint)(1+ sint). După reducerea termenilor similari, 2 rămâne la numărător și 1 - sin 2 t la numitor. În partea dreaptă a ecranului, este reamintită identitatea trigonometrică de bază sin 2 t+cos 2 t=1. Folosind-o găsim numitorul fracției cos 2 t. După reducerea fracției, obținem o formă simplificată a expresiei cost/(1- sint)+ cost/(1+ sint)=2/cost.

În continuare, luăm în considerare exemple de demonstrare a identităților în care se aplică cunoștințele dobândite despre identitățile de bază ale trigonometriei. În Exemplul 3, este necesar să se dovedească identitatea (tg 2 t-sin 2 t)·ctg 2 t=sin 2 t. Partea dreaptă a ecranului afișează trei identități care vor fi necesare pentru demonstrație - tg t ctg t=1, ctg t=cos t/sin t și tg t=sin t/cos t cu restricții. Pentru a demonstra identitatea, se deschid mai întâi parantezele, după care se formează un produs care reflectă expresia identității trigonometrice principale tg t·ctg t=1. Apoi, conform identității din definiția cotangentei, se transformă ctg 2 t. Ca urmare a transformărilor se obţine expresia 1-cos 2 t. Folosind identitatea de bază, găsim valoarea expresiei. Astfel, se demonstrează că (tg 2 t-sin 2 t)·ctg 2 t=sin 2 t.

În exemplul 4, trebuie să găsiți valoarea expresiei tg 2 t+ctg 2 t dacă tg t+ctg t=6. Pentru a evalua expresia, părțile din dreapta și din stânga ecuației (tg t+ctg t) 2 =6 2 sunt mai întâi la pătrat. Formula de înmulțire abreviată este afișată în partea dreaptă a ecranului. După deschiderea parantezelor din partea stângă a expresiei, se formează suma tg 2 t+2 tg t ctg t+ctg 2 t, pentru transformarea căreia se poate aplica una dintre identitățile trigonometrice tg t ctg t=1, a cărui formă este amintită în partea dreaptă a ecranului. După transformare se obţine egalitatea tg 2 t+ctg 2 t=34. Partea stângă a egalității coincide cu condiția problemei, deci răspunsul este 34. Problema este rezolvată.

Lecția video „Simplificarea expresiilor trigonometrice” este recomandată pentru utilizare într-o lecție de matematică școlară tradițională. De asemenea, materialul va fi util unui profesor care oferă învățământ la distanță. Pentru a-și forma o deprindere în rezolvarea problemelor trigonometrice.

EXPLICAȚIA TEXTULUI:

„Simplificarea expresiilor trigonometrice”.

Egalitate

1)sin 2 t + cos 2 t = 1 (sinus pătrat te plus cosinus pătrat te este egal cu unu)

2) tgt =, la t ≠ + πk, kϵZ (tangenta lui te este egală cu raportul dintre sinusul lui te și cosinusul lui te când te nu este egal cu pi cu doi plus pi ka, ka aparține lui zet)

3) ctgt = , la t ≠ πk, kϵZ (cotangenta lui te este egală cu raportul dintre cosinusul lui te și sinusul lui te când te nu este egal cu vârful lui ka, care aparține lui z).

4)tgt ∙ ctgt = 1 pentru t ≠ , kϵZ

se numesc identităţi trigonometrice de bază.

Adesea ele sunt folosite în simplificarea și demonstrarea expresiilor trigonometrice.

Luați în considerare exemple de utilizare a acestor formule atunci când simplificați expresiile trigonometrice.

EXEMPLU 1. Simplificați expresia: cos 2 t - cos 4 t + sin 4 t. (expresie a cosinus la pătrat te minus cosinus al patrulea grad al lui te plus sinus al patrulea grad al lui te).

Soluţie. cos 2 t - cos 4 t + sin 4 t = cos 2 t∙ (1 - cos 2 t) + sin 4 t = cos 2 t ∙ sin 2 t + sin 4 t = sin 2 t (cos 2 t + sin 2 t) = sin 2 t 1= sin 2 t

(se scoate factorul comun cosinus te pătrat, în paranteză obținem diferența dintre unitate și pătratul cosinus te, care este egal cu pătratul sinus te prin prima identitate. Obținem suma sinusului celei de-a patra gradul te al produsului dintre cosinusul pătrat te și sinusul pătratul te. Scoatem factorul comun sinus pătratul te în afara parantezei, între paranteze obținem suma pătratelor cosinusului și sinusului, care, conform trigonometricului de bază identitate, este egal cu 1. Ca rezultat, obținem pătratul sine te).

EXEMPLU 2. Simplificați expresia: + .

(expresia be este suma a două fracții la numărătorul primului cosinus te la numitorul unu minus sine te, la numărătorul celui de-al doilea cosinus te la numitorul celui de-al doilea plus sinus te).

(Luăm factorul comun cosinus te din paranteze, iar între paranteze îl aducem la un numitor comun, care este produsul dintre unu minus sine te cu unu plus sinus te.

La numărător obținem: unu plus sine te plus unu minus sine te, dăm similare, numărătorul este egal cu doi după ce aducem altele asemănătoare.

La numitor, puteți aplica formula de înmulțire prescurtată (diferența de pătrate) și puteți obține diferența dintre unitatea și pătratul sine te, care, conform identității trigonometrice de bază

este egal cu pătratul cosinusului te. După reducerea cu cosinus te, obținem răspunsul final: doi împărțiți la cosinus te).

Luați în considerare exemple de utilizare a acestor formule în demonstrarea expresiilor trigonometrice.

EXEMPLU 3. Demonstrați identitatea (tg 2 t - sin 2 t) ∙ ctg 2 t \u003d sin 2 t (produsul diferenței dintre pătratele tangentei lui te și sinusul lui te și pătratul cotangentei lui te este egal cu pătratul sinusului lui te).

Dovada.

Să transformăm partea stângă a egalității:

(tg 2 t - sin 2 t) ∙ ctg 2 t = tg 2 t ∙ ctg 2 t - sin 2 t ∙ ctg 2 t = 1 - sin 2 t ∙ ctg 2 t =1 - sin 2 t ∙ = 1 - cos 2 t = sin 2 t

(Să deschidem parantezele, din relația obținută anterior se știe că produsul dintre pătratele tangentei lui te și al cotangentei lui te este egal cu unu. Reamintim că cotangentei lui te este egală cu raportul cosinusului lui te la sinusul lui te, ceea ce înseamnă că pătratul cotangentei este raportul dintre pătratul cosinusului lui te și pătratul sinusului lui te.

După reducerea cu pătratul sinus al lui te, obținem diferența dintre unitate și cosinusul pătratului lui te, care este egal cu sinusul pătratului lui te). Q.E.D.

EXEMPLU 4. Aflați valoarea expresiei tg 2 t + ctg 2 t dacă tgt + ctgt = 6.

(suma pătratelor tangentei lui te și cotangentei lui te, dacă suma tangentei și cotangentei este șase).

Soluţie. (tgt + ctgt) 2 = 6 2

tg 2 t + 2 ∙ tgt ∙ctgt + ctg 2 t = 36

tg 2 t + 2 + ctg 2 t = 36

tg 2 t + ctg 2 t = 36-2

tg 2 t + ctg 2 t = 34

Să punem la pătrat ambele părți ale egalității inițiale:

(tgt + ctgt) 2 = 6 2 (pătratul sumei tangentei lui te și cotangentei lui te este șase pătrat). Reamintim formula de înmulțire prescurtată: Pătratul sumei a două cantități este egal cu pătratul primei plus de două ori produsul primei și al doilea plus pătratul celei de-a doua. (a+b) 2 =a 2 +2ab+b 2 Se obține tg 2 t + 2 ∙ tgt ∙ctgt + ctg 2 t = 36 .

Deoarece produsul tangentei lui te și cotangentei lui te este egal cu unu, atunci tg 2 t + 2 + ctg 2 t \u003d 36 (suma pătratelor tangentei lui te și cotangentei lui te și doi este treizeci și șase),

Voronkova Olga Ivanovna

MBOU „Școala medie

nr. 18"

Engels, regiunea Saratov.

Profesor de matematică.

„Expresii trigonometrice și transformările lor”

Introducere ……………………………………………………………………………………..3

Capitolul 1 Clasificarea sarcinilor de utilizare a transformărilor expresiilor trigonometrice ………………………….…………...5

1.1. Sarcini de calcul valorile expresiilor trigonometrice……….5

1.2.Sarcini pentru simplificarea expresiilor trigonometrice .... 7

1.3. Sarcini de conversie a expresiilor trigonometrice numerice ... ..7

1.4 Sarcini mixte………………………………………………………….9

capitolul 2

2.1 Repetarea tematică în clasa a 10-a………………………………………...11

Testul 1………………………………………………………………………………..12

Testul 2………………………………………………………………………………..13

Testul 3………………………………………………………………………………..14

2.2 Repetare finală în clasa a 11-a………………………………………………………...15

Testul 1………………………………………………………………………………..17

Testul 2………………………………………………………………………………..17

Testul 3………………………………………………………………………………..18

Concluzie……………………………………………………………………………………….19

Lista literaturii utilizate………………………………………..…….20

Introducere.

În condițiile de astăzi, cea mai importantă întrebare este: „Cum putem ajuta la eliminarea unor lacune în cunoștințele elevilor și să-i avertizăm împotriva posibilelor greșeli la examen?” Pentru a rezolva această problemă, este necesar să se realizeze de la elevi nu o asimilare formală a materialului programului, ci o înțelegere profundă și conștientă a acestuia, dezvoltarea vitezei de calcul și transformări orale, precum și dezvoltarea abilităților de rezolvare a celor mai simple. probleme „în minte”. Este necesar să convingem elevii că numai în prezența unei poziții active, în studiul matematicii, sub rezerva dobândirii deprinderilor practice, deprinderilor și folosirii acestora, se poate conta pe un real succes. Este necesar să folosiți orice ocazie pentru a vă pregăti pentru examen, inclusiv materii opționale din clasele 10-11, să analizați în mod regulat sarcini complexe cu elevii, alegând cea mai rațională modalitate de a le rezolva în clasă și în orele suplimentare.Un rezultat pozitiv înzona de rezolvare a problemelor tipice poate fi realizată dacă profesorii de matematică, prin creareabună pregătire de bază a elevilor, să căutăm noi modalități de rezolvare a problemelor care s-au deschis în fața noastră, să experimentăm activ, să aplicăm tehnologii, metode, tehnici pedagogice moderne care creează condiții favorabile realizării și autodeterminarii efective a elevilor în noile condiţii sociale.

Trigonometria este o parte integrantă a cursului școlar de matematică. Bune cunoștințe și abilități puternice în trigonometrie sunt dovezi ale unui nivel suficient de cultură matematică, o condiție indispensabilă pentru studiul cu succes al matematicii, fizicii și a unui număr de studii tehnice. disciplinelor.

Relevanța lucrării. O parte semnificativă a absolvenților de școală prezintă de la an la an o pregătire foarte slabă la această secțiune importantă de matematică, dovadă fiind rezultatele anilor trecuți (procent de finalizare în 2011-48,41%, 2012-51,05%), încă de la analiza promovării. examenul de stat unificat a arătat că studenții fac multe greșeli atunci când îndeplinesc sarcinile din această secțiune specială sau nu fac deloc astfel de sarcini. În Unu Întrebările examenului de stat în trigonometrie se găsesc în aproape trei tipuri de sarcini. Aceasta este soluția celor mai simple ecuații trigonometrice din sarcina B5 și lucrul cu expresii trigonometrice din sarcina B7 și studiul funcțiilor trigonometrice din sarcina B14, precum și sarcinile B12, în care există formule care descriu fenomene fizice și care conțin funcții trigonometrice . Și aceasta este doar o parte din sarcinile B! Dar există și ecuații trigonometrice preferate cu selecția rădăcinilor C1 și sarcini geometrice „nu foarte preferate” C2 și C4.

Obiectiv. Analizați materialul sarcinilor USE B7, dedicate transformării expresiilor trigonometrice și clasificați sarcinile după forma de prezentare a acestora în teste.

Lucrarea constă din două capitole, introducere și concluzie. Introducerea subliniază relevanța lucrării. Primul capitol oferă o clasificare a sarcinilor pentru utilizarea transformărilor expresiilor trigonometrice în sarcinile de testare ale Examenului de stat unificat (2012).

În cel de-al doilea capitol se are în vedere organizarea repetarii temei „Transformarea expresiilor trigonometrice” în clasele a 10-a, a 11-a și se dezvoltă teste pe această temă.

Lista de referințe include 17 surse.

Capitolul 1. Clasificarea sarcinilor de utilizare a transformărilor expresiilor trigonometrice.

În conformitate cu standardul educației secundare (complete) și cerințele pentru nivelul de pregătire a elevilor, sarcinile pentru cunoașterea elementelor de bază ale trigonometriei sunt incluse în codificatorul cerințelor.

Învățarea elementelor de bază ale trigonometriei va fi cea mai eficientă atunci când:

elevii vor fi pozitiv motivați să repete materialul studiat anterior;

o abordare centrată pe elev va fi implementată în procesul educațional;

se va aplica un sistem de sarcini care să contribuie la extinderea, aprofundarea, sistematizarea cunoștințelor elevilor;

vor fi folosite tehnologii pedagogice avansate.

După analizarea literaturii de specialitate și a resurselor de pe Internet pentru pregătirea examenului, am propus una dintre posibilele clasificări ale sarcinilor B7 (KIM USE 2012-trigonometrie): sarcini de calculvalorile expresiilor trigonometrice; misiuni pentruconversia expresiilor trigonometrice numerice; sarcini pentru transformarea expresiilor trigonometrice literale; sarcini mixte.

1.1. Sarcini de calcul valorile expresiilor trigonometrice.

Unul dintre cele mai comune tipuri de probleme simple de trigonometrie este calcularea valorilor funcțiilor trigonometrice prin valoarea uneia dintre ele:

a) Utilizarea identităţii trigonometrice de bază şi a corolarilor acesteia.

Exemplul 1 . Găsiți dacă
și
.

Soluţie.
,
,

pentru că , apoi
.

Răspuns.

Exemplul 2 . Găsi
, dacă
și .

Soluţie.
,
,
.

pentru că , apoi
.

Răspuns. .

b) Utilizarea formulelor cu unghi dublu.

Exemplul 3 . Găsi
, dacă
.

Soluţie. , .

Răspuns.
.

Exemplul 4 . Găsiți valoarea unei expresii
.

Soluţie. .

Răspuns.
.

1. Găsi , dacă
și
. Răspuns. -0,2

2. Găsi , dacă
și
. Răspuns. 0,4

3. Găsi
, dacă . Răspuns. -12,884. Găsi
, dacă
. Răspuns. -0,845. Aflați valoarea expresiei:
. Răspuns. 66. Găsiți valoarea unei expresii
.Răspuns. -19

1.2.Sarcini pentru simplificarea expresiilor trigonometrice. Formulele de reducere ar trebui să fie bine stăpânite de către studenți, deoarece vor fi utilizate în continuare în lecțiile de geometrie, fizică și alte discipline conexe.

Exemplul 5 . Simplificarea expresiilor
.

Soluţie. .

Răspuns.
.

Sarcini pentru soluție independentă:

1. Simplificați expresia
. Răspuns. 0,62. Găsi
, dacă
și. Răspuns. 10.563. Găsiți valoarea unei expresii
, dacă
. Răspuns. 2

1.3. Sarcini pentru transformarea expresiilor trigonometrice numerice.

La dezvoltarea abilităților și abilităților sarcinilor de conversie a expresiilor trigonometrice numerice, trebuie acordată atenție cunoașterii tabelului de valori ale funcțiilor trigonometrice, proprietăților parității și periodicității funcțiilor trigonometrice.

a) Utilizarea valorilor exacte ale funcțiilor trigonometrice pentru unele unghiuri.

Exemplul 6 . calculati
.

Soluţie.
.

Răspuns.
.

b) Folosind proprietăţile parităţii funcții trigonometrice.

Exemplul 7 . calculati
.

Soluţie. .

Răspuns.

în) Utilizarea proprietăților de periodicitatefuncții trigonometrice.

Exemplul 8 . Găsiți valoarea unei expresii
.

Soluţie. .

Răspuns.
.

Sarcini pentru soluție independentă:

1. Găsiți valoarea unei expresii
. Răspuns. -40,52. Găsiți valoarea expresiei
. Răspuns. 17

3. Găsiți valoarea unei expresii
. Răspuns. 6

. Răspuns. -24
Răspuns. -64

1.4 Sarcini mixte.

Forma de testare a certificării are caracteristici foarte semnificative, așa că este important să acordați atenție sarcinilor asociate cu utilizarea mai multor formule trigonometrice în același timp.

Exemplul 9 Găsi
, dacă
.

Soluţie.
.

Răspuns.
.

Exemplul 10 . Găsi
, dacă
și
.

Soluţie. .

pentru că , apoi
.

Răspuns.
.

Exemplul 11. Găsi
, dacă .

Soluţie. , ,
,
,
,
,
.

Răspuns.

Exemplul 12 calculati
.

Soluţie. .

Răspuns.
.

Exemplul 13 Găsiți valoarea unei expresii
, dacă
.

Soluţie. .

Răspuns.
.

Sarcini pentru soluție independentă:

1. Găsi
, dacă
. Răspuns. -1,75
2. Găsi
, dacă
. Răspuns. 33. Găsiți
, dacă .Răspuns. 0,254. Găsiți valoarea expresiei
, dacă
. Răspuns. 0,35. Găsiți valoarea expresiei
, dacă
. Răspuns. 5

Capitolul 2. Aspecte metodologice organizarea repetarii finale a temei „Transformarea expresiilor trigonometrice”.

Una dintre cele mai importante probleme care contribuie la îmbunătățirea în continuare a performanței academice, obținerea unor cunoștințe profunde și solide în rândul studenților este problema repetării materialelor studiate anterior. Practica arată că în clasa a X-a este mai oportun să se organizeze o repetare tematică; în clasa a XI-a – repetarea finală.

2.1. Repetare tematică în clasa a X-a.

În procesul de lucru asupra materialului matematic, repetarea fiecărui subiect finalizat sau a unei întregi secțiuni a cursului devine deosebit de importantă.

Cu repetarea tematică, cunoștințele elevilor asupra subiectului sunt sistematizate în etapa finală a trecerii acesteia sau după o pauză.

Pentru repetarea tematică, sunt alocate lecții speciale, pe care se concentrează și se generalizează materialul unei anumite teme.

Repetarea în lecție se realizează printr-o conversație cu implicarea largă a elevilor în această conversație. După aceea, studenților li se dă sarcina de a repeta un anumit subiect și sunt avertizați că vor exista credite la teste.

Un test pe un subiect ar trebui să includă toate întrebările sale principale. După finalizarea lucrării, se analizează erorile caracteristice și se organizează o repetare pentru a le elimina.

Pentru lecții de repetare tematică, oferim dezvoltate hârtii de test pe tema „Conversia expresiilor trigonometrice”.

Testul #1

Testul #2

Testul #3

Tabel de răspunsuri

Test

2.2. Repetare finală în clasa a XI-a.

Repetarea finală se efectuează în etapa finală a studierii principalelor probleme ale cursului de matematică și se desfășoară în legătură logică cu studiul materialului educațional pentru această secțiune sau cursul în ansamblu.

Repetarea finală a materialului educațional are următoarele scopuri:

1. Activarea materialului întregului curs de formare pentru a clarifica structura lui logică și a construi un sistem în cadrul relațiilor dintre subiecte și interdisciplinare.

2. Aprofundarea și, dacă este posibil, extinderea cunoștințelor studenților asupra principalelor probleme ale cursului în procesul de repetare.

În contextul examenului obligatoriu la matematică pentru toți absolvenții, introducerea treptată a USE îi face pe profesori să adopte o nouă abordare în pregătirea și desfășurarea lecțiilor, ținând cont de necesitatea de a se asigura că toți elevii stăpânesc materialul educațional la un nivel de bază, precum și oportunitatea studenților motivați și interesați să obțină scoruri mari la admiterea la o universitate, avansare dinamică în stăpânirea materialului la un nivel sporit și înalt.

În lecțiile repetiției finale, puteți lua în considerare următoarele sarcini:

Exemplul 1 . Calculați valoarea expresiei.Soluţie. =
= =
=
=
=
=0,5. Răspuns. 0,5. Exemplul 2 Specificați cea mai mare valoare întreagă pe care o poate lua expresia
.

Soluţie. pentru că
poate lua orice valoare aparținând segmentului [–1; 1], atunci
ia orice valoare a segmentului [–0,4; 0,4], prin urmare . Valoarea întreagă a expresiei este unu - numărul 4.

Raspuns: 4 Exemplul 3 . Simplificați expresia
.

Rezolvare: Să folosim formula pentru factorizarea sumei cuburilor: . Avem

Avem:
.

Raspunsul 1

Exemplul 4 calculati
.

Soluţie. .

Răspuns: 0,28

Pentru lecțiile repetarii finale, oferim teste dezvoltate pe tema „Conversia expresiilor trigonometrice”.

Specificați cel mai mare număr întreg care nu depășește 1

Concluzie.

După ce am lucrat prin literatura metodologică relevantă pe această temă, putem concluziona că abilitatea și abilitățile de a rezolva sarcini legate de transformările trigonometrice la cursul de matematică școlar sunt foarte importante.

În cursul lucrărilor efectuate s-a efectuat clasificarea sarcinilor B7. Sunt luate în considerare formulele trigonometrice cel mai frecvent utilizate în CMM-urile din 2012. Sunt date exemple de sarcini cu soluții. Au fost dezvoltate teste diferențiabile pentru a organiza repetarea și sistematizarea cunoștințelor în pregătirea examenului.

Este indicat să se continue lucrările începute, având în vedere rezolvarea celor mai simple ecuații trigonometrice din sarcina B5, studiul funcțiilor trigonometrice din sarcina B14, sarcina B12, în care există formule care descriu fenomene fizice și care conțin funcții trigonometrice.

În concluzie, aș dori să remarc că eficiența promovării examenului este în mare măsură determinată de cât de eficient este organizat procesul de pregătire la toate nivelurile de învățământ, cu toate categoriile de elevi. Și dacă reușim să formăm elevilor independența, responsabilitatea și disponibilitatea de a continua să învețe pe parcursul vieții lor ulterioare, atunci nu numai că vom îndeplini ordinea statului și a societății, ci vom crește și propria noastră stima de sine.

Repetarea materialului educațional necesită muncă creativă din partea profesorului. El trebuie să ofere o legătură clară între tipurile de repetiție, să pună în aplicare un sistem de repetiție profund gândit. Stăpânirea artei de a organiza repetarea este sarcina profesorului. Puterea cunoștințelor elevilor depinde în mare măsură de soluția acesteia.

Literatură.

Vygodsky Ya.Ya., Manual de matematică elementară. -M.: Nauka, 1970.

Sarcini de dificultate crescută în algebră și începuturile analizei: Manual pentru clasele 10-11 de liceu / B.M. Ivlev, A.M. Abramov, Yu.P. Dudnitsyn, S.I. Schwarzburd. – M.: Iluminismul, 1990.

Aplicarea formulelor trigonometrice de bază la transformarea expresiilor (clasa a 10-a) // Festivalul ideilor pedagogice. 2012-2013.

Koryanov A.G. , Prokofiev A.A. Pregătim studenți buni și studenți excelenți pentru examen. - M.: Universitatea Pedagogică „Primul Septembrie”, 2012.- 103 p.

Kuznetsova E.N. Simplificarea expresiilor trigonometrice. Rezolvarea ecuațiilor trigonometrice prin diverse metode (pregătirea pentru examen). clasa a 11-a. 2012-2013.

Kulanin E.D. 3000 de probleme competitive în matematică. al 4-lea id., corect. si suplimentare – M.: Rolf, 2000.

Mordkovich A.G. Probleme metodice ale studierii trigonometriei într-o școală de învățământ general // Matematică la școală. 2002. Nr. 6.

Pichurin L.F. Despre trigonometrie si nu numai despre ea: -M. Iluminismul, 1985

Reshetnikov N.N. Trigonometrie la scoala: -M. : Universitatea Pedagogică „Primul Septembrie”, 2006, lk 1.

Shabunin M.I., Prokofiev A.A. Matematica. Algebră. Începuturile analizei matematice.Nivel de profil: manual pentru clasa a 10-a - M .: BINOM. Laboratorul de cunoștințe, 2007.

Portal educațional pentru pregătirea pentru examen.

Pregătirea pentru examenul la matematică „O, trigonometria asta! http://festival.1september.ru/articles/621971/

Proiectul „Matematică? Ușor!!!” http://www.resolventa.ru/

Secțiuni: Matematica

Clasă: 11

Lectia 1

Subiect: Nota a 11-a (pregătire pentru examen)

Simplificarea expresiilor trigonometrice.

Rezolvarea celor mai simple ecuații trigonometrice. (2 ore)

Obiective:

• Sistematizați, generalizați, extindeți cunoștințele și deprinderile elevilor legate de utilizarea formulelor de trigonometrie și de rezolvarea celor mai simple ecuații trigonometrice.

Echipament pentru lecție:

Structura lecției:

1. Orgmoment
2. Testare pe laptopuri. Discuția rezultatelor.
3. Simplificarea expresiilor trigonometrice
4. Rezolvarea celor mai simple ecuații trigonometrice
5. Muncă independentă.
6. Rezumatul lecției. Explicația temelor pentru acasă.

1. Moment de organizare. (2 minute.)

Profesorul salută publicul, anunță subiectul lecției, reamintește că sarcina a fost dată anterior de a repeta formulele de trigonometrie și îi pregătește pe elevi pentru testare.

2. Testare. (15min + 3min discuție)

Scopul este de a testa cunoștințele formulelor trigonometrice și capacitatea de a le aplica. Fiecare elev are pe birou un laptop în care există o opțiune de testare.

Pot exista orice număr de opțiuni, voi da un exemplu pentru una dintre ele:

eu optiunea.

Simplificați expresiile:

a) identități trigonometrice de bază

1. sin 2 3y + cos 2 3y + 1;

b) formule de adunare

3. sin5x - sin3x;

c) transformarea unui produs într-o sumă

6. 2sin8y cos3y;

d) formule cu unghi dublu

7.2sin5x cos5x;

e) formule de jumătate de unghi

f) formule cu unghiuri triple

g) substituţie universală

h) scăderea gradului

16. cos 2 (3x/7);

Elevii pe un laptop în fața fiecărei formule își văd răspunsurile.

Lucrarea este verificată instantaneu de computer. Rezultatele sunt afișate pe un ecran mare pentru ca toată lumea să le vadă.

De asemenea, după terminarea lucrării, răspunsurile corecte sunt afișate pe laptopurile elevilor. Fiecare elev vede unde a fost greșeala și ce formule trebuie să repete.

3. Simplificarea expresiilor trigonometrice. (25 min.)

Scopul este de a repeta, de a elabora și de a consolida aplicarea formulelor de bază ale trigonometriei. Rezolvarea problemelor B7 de la examen.

În această etapă, este recomandabil să împărțiți clasa în grupuri de elevi puternici (lucrează independent cu verificarea ulterioară) și elevi slabi care lucrează cu profesorul.

Temă pentru studenți puternici (pregătită în prealabil pe o bază tipărită). Accentul principal este pus pe formulele de reducere și unghi dublu, conform USE 2011.

Simplificați expresiile (pentru cursanții puternici):

În paralel, profesorul lucrează cu elevi slabi, discutând și rezolvând sarcini pe ecran sub dictarea elevilor.

Calculati:

5) sin(270º - α) + cos(270º + α)

6)

Simplifica:

A venit rândul să discutăm rezultatele muncii grupului puternic.

Pe ecran apar răspunsuri și, de asemenea, cu ajutorul unei camere video, este afișată munca a 5 elevi diferiți (câte o sarcină pentru fiecare).

Grupul slab vede starea și metoda soluției. Există discuții și analize. Cu ajutorul mijloacelor tehnice, acest lucru se întâmplă rapid.

4. Rezolvarea celor mai simple ecuații trigonometrice. (30 minute.)

Scopul este de a repeta, sistematiza și generaliza soluția celor mai simple ecuații trigonometrice, înregistrându-le rădăcinile. Rezolvarea problemei B3.

Orice ecuație trigonometrică, indiferent cum o rezolvăm, duce la cea mai simplă.

La finalizarea sarcinii, elevii ar trebui să acorde atenție scrierii rădăcinilor ecuațiilor din cazuri particulare și formei generale și la selecția rădăcinilor din ultima ecuație.

Rezolvarea ecuațiilor:

Notează cea mai mică rădăcină pozitivă a răspunsului.

5. Munca independentă (10 min.)

Scopul este de a testa abilitățile dobândite, de a identifica probleme, erori și modalități de a le elimina.

O varietate de lucrări este oferită la alegerea studentului.

Opțiune pentru „3”

1) Aflați valoarea expresiei

2) Simplificați expresia 1 - sin 2 3α - cos 2 3α

3) Rezolvați ecuația

Opțiune pentru „4”

1) Aflați valoarea expresiei

2) Rezolvați ecuația Notează cea mai mică rădăcină pozitivă a răspunsului tău.

Opțiune pentru „5”

1) Aflați tgα dacă

2) Aflați rădăcina ecuației Notează cea mai mică rădăcină pozitivă a răspunsului tău.

6. Rezumatul lecției (5 min.)

Profesorul rezumă faptul că lecția a repetat și consolidat formule trigonometrice, soluția celor mai simple ecuații trigonometrice.

Temele sunt alocate (pregătite pe o bază tipărită în prealabil) cu o verificare la fața locului în lecția următoare.

Rezolvarea ecuațiilor:

9)

10) Dați răspunsul dvs. ca cea mai mică rădăcină pozitivă.

Lectia 2

Subiect: Nota a 11-a (pregătire pentru examen)

Metode de rezolvare a ecuațiilor trigonometrice. Selectarea rădăcinilor. (2 ore)

Obiective:

• Generalizarea și sistematizarea cunoștințelor privind rezolvarea ecuațiilor trigonometrice de diferite tipuri.
• Pentru a promova dezvoltarea gândirii matematice a elevilor, capacitatea de a observa, compara, generaliza, clasifica.
• Încurajează elevii să depășească dificultățile în procesul activității mentale, să se autocontroleze, să introspecție în activitățile lor.

Echipament pentru lecție: KRMu, laptopuri pentru fiecare student.

Structura lecției:

1. Orgmoment
2. Discuție d/s și samot. lucrarea ultimei lecţii
3. Repetarea metodelor de rezolvare a ecuațiilor trigonometrice.
4. Rezolvarea ecuațiilor trigonometrice
5. Selectarea rădăcinilor în ecuații trigonometrice.
6. Muncă independentă.
7. Rezumatul lecției. Teme pentru acasă.

1. Moment de organizare (2 min.)

Profesorul salută publicul, anunță tema lecției și planul de lucru.

2. a) Analiza temelor pentru acasă (5 min.)

Scopul este de a verifica performanța. O lucrare cu ajutorul unei camere video este afișată pe ecran, restul sunt colectate selectiv pentru ca profesorul să le verifice.

b) Analiza muncii independente (3 min.)

Scopul este de a rezolva greșelile, de a indica modalități de a le depăși.

Pe ecran sunt răspunsurile și soluțiile, studenții și-au emis lucrările în prealabil. Analiza merge rapid.

3. Repetarea metodelor de rezolvare a ecuațiilor trigonometrice (5 min.)

Scopul este de a reaminti metode de rezolvare a ecuațiilor trigonometrice.

Întrebați elevii ce metode de rezolvare a ecuațiilor trigonometrice cunosc. Subliniați că există așa-numitele metode de bază (utilizate frecvent):

• substituție variabilă,
• factorizare,
• ecuații omogene,

și există metode aplicate:

• conform formulelor de conversie a unei sume într-un produs și a unui produs într-o sumă,
• prin formulele de reducere,
• substituție trigonometrică universală
• introducerea unui unghi auxiliar,
• înmulțirea cu o funcție trigonometrică.

De asemenea, trebuie amintit că o ecuație poate fi rezolvată în moduri diferite.

4. Rezolvarea ecuațiilor trigonometrice (30 min.)

Scopul este generalizarea și consolidarea cunoștințelor și abilităților pe această temă, pregătirea pentru rezolvarea C1 din USE.

Consider că este oportun să rezolvăm ecuații pentru fiecare metodă împreună cu studenții.

Elevul dictează soluția, profesorul notează pe tabletă, întregul proces este afișat pe ecran. Acest lucru vă va permite să restaurați rapid și eficient materialul acoperit anterior din memorie.

Rezolvarea ecuațiilor:

1) modificarea variabilă 6cos 2 x + 5sinx - 7 = 0

2) factorizare 3cos(x/3) + 4cos 2 (x/3) = 0

3) ecuații omogene sin 2 x + 3cos 2 x - 2sin2x = 0

4) convertirea sumei în produsul cos5x + cos7x = cos(π + 6x)

5) convertirea produsului la suma 2sinx sin2x + cos3x = 0

6) scăderea gradului de sin2x - sin 2 2x + sin 2 3x \u003d 0,5

7) substituție trigonometrică universală sinx + 5cosx + 5 = 0.

La rezolvarea acestei ecuații, trebuie remarcat că utilizarea acestei metode duce la o îngustare a domeniului de definiție, deoarece sinusul și cosinusul sunt înlocuite cu tg(x/2). Prin urmare, înainte de a scrie răspunsul, este necesar să verificați dacă numerele din mulțimea π + 2πn, n Z sunt cai ai acestei ecuații.

8) introducerea unui unghi auxiliar √3sinx + cosx - √2 = 0

9) înmulțirea cu o funcție trigonometrică cosx cos2x cos4x = 1/8.

5. Selectarea rădăcinilor ecuațiilor trigonometrice (20 min.)

Deoarece în condițiile unei concurențe acerbe la intrarea în universități, soluția unei prime părți a examenului nu este suficientă, majoritatea studenților ar trebui să acorde atenție sarcinilor din partea a doua (C1, C2, C3).

Prin urmare, scopul acestei etape a lecției este acela de a reaminti materialul studiat anterior, de pregătire pentru rezolvarea problemei C1 de la USE din 2011.

Există ecuații trigonometrice în care trebuie să selectați rădăcinile atunci când scrieți răspunsul. Acest lucru se datorează unor restricții, de exemplu: numitorul unei fracții nu este egal cu zero, expresia de sub rădăcina unui grad par este nenegativă, expresia de sub semnul logaritmului este pozitivă etc.

Astfel de ecuații sunt considerate a fi ecuații de complexitate crescută, iar în versiunea USE se află în partea a doua și anume C1.

Rezolvați ecuația:

Fracția este zero dacă atunci folosind cercul unitar, vom selecta rădăcinile (vezi Figura 1)

Poza 1.

obținem x = π + 2πn, n Z

Răspuns: π + 2πn, n Z

Pe ecran, selecția rădăcinilor este afișată pe un cerc într-o imagine color.

Produsul este egal cu zero atunci când cel puțin unul dintre factori este egal cu zero, iar arcul, în același timp, nu își pierde sensul. Apoi

Folosind cercul unității, selectați rădăcinile (vezi Figura 2)

LA transformări identice expresii trigonometrice se pot folosi următoarele trucuri algebrice: adunarea şi scăderea termenilor identici; scoaterea factorului comun din paranteze; înmulțirea și împărțirea cu aceeași valoare; aplicarea formulelor de multiplicare prescurtate; selectarea unui pătrat complet; factorizarea unui trinom pătrat; introducerea de noi variabile pentru simplificarea transformărilor.

Când convertiți expresii trigonometrice care conțin fracții, puteți utiliza proprietățile de proporție, de reducere a fracțiilor sau de reducere a fracțiilor la un numitor comun. În plus, puteți utiliza selecția părții întregi a fracției, înmulțind numărătorul și numitorul fracției cu aceeași valoare și, de asemenea, dacă este posibil, luați în considerare uniformitatea numărătorului sau numitorului. Dacă este necesar, puteți reprezenta o fracție ca sumă sau diferență a mai multor fracții mai simple.

În plus, atunci când se aplică toate metodele necesare pentru conversia expresiilor trigonometrice, este necesar să se țină cont în mod constant de intervalul de valori permise ale expresiilor convertite.

Să ne uităm la câteva exemple.

Exemplul 1

Calculați A = (sin (2x - π) cos (3π - x) + sin (2x - 9π/2) cos (x + π/2)) 2 + (cos (x - π/2) cos ( 2x – 7π) /2) +
+ sin (3π/2 - x) sin (2x -5π/2)) 2

Soluţie.

Din formulele de reducere rezultă:

sin (2x - π) \u003d -sin 2x; cos (3π - x) \u003d -cos x;

sin (2x - 9π / 2) \u003d -cos 2x; cos (x + π/2) = -sin x;

cos (x - π / 2) \u003d sin x; cos (2x - 7π/2) = -sin 2x;

sin (3π / 2 - x) \u003d -cos x; sin (2x - 5π / 2) \u003d -cos 2x.

De unde, în virtutea formulelor de adunare a argumentelor și a identității trigonometrice de bază, obținem

A \u003d (sin 2x cos x + cos 2x sin x) 2 + (-sin x sin 2x + cos x cos 2x) 2 \u003d sin 2 (2x + x) + cos 2 (x + 2x) \u003d
= sin 2 3x + cos 2 3x = 1

Raspunsul 1.

Exemplul 2

Transformați expresia M = cos α + cos (α + β) cos γ + cos β – sin (α + β) sin γ + cos γ într-un produs.

Soluţie.

Din formulele de adunare a argumentelor și formulele de conversie a sumei funcțiilor trigonometrice într-un produs, după gruparea corespunzătoare, avem

М = (cos (α + β) cos γ - sin (α + β) sin γ) + cos α + (cos β + cos γ) =

2cos ((β + γ)/2) cos ((β – γ)/2) + (cos α + cos (α + β + γ)) =

2cos ((β + γ)/2) cos ((β – γ)/2) + 2cos (α + (β + γ)/2) cos ((β + γ)/2)) =

2cos ((β + γ)/2) (cos ((β – γ)/2) + cos (α + (β + γ)/2)) =

2cos ((β + γ)/2) 2cos ((β – γ)/2 + α + (β + γ)/2)/2) cos ((β – γ)/2) – (α + ( β +) γ)/2)/2) =

4cos ((β + γ)/2) cos ((α + β)/2) cos ((α + γ)/2).

Răspuns: М = 4cos ((α + β)/2) cos ((α + γ)/2) cos ((β + γ)/2).

Exemplul 3.

Arătați că expresia A \u003d cos 2 (x + π / 6) - cos (x + π / 6) cos (x - π / 6) + cos 2 (x - π / 6) ia pentru tot x de la R unul si aceeasi valoare. Găsiți această valoare.

Soluţie.

Vă prezentăm două metode de rezolvare a acestei probleme. Aplicând prima metodă, prin izolarea pătratului complet și folosind formulele trigonometrice de bază corespunzătoare, obținem

A \u003d (cos (x + π / 6) - cos (x - π / 6)) 2 + cos (x - π / 6) cos (x - π / 6) \u003d

4sin 2 x sin 2 π/6 + 1/2(cos 2x + cos π/3) =

Sin 2 x + 1/2 cos 2x + 1/4 = 1/2 (1 - cos 2x) + 1/2 cos 2x + 1/4 = 3/4.

Rezolvând problema în al doilea mod, considerați A ca o funcție a lui x din R și calculați derivata acesteia. După transformări, obținem

А´ \u003d -2cos (x + π/6) sin (x + π/6) + (sin (x + π/6) cos (x - π/6) + cos (x + π/6) sin ( x + π/6)) - 2cos (x - π/6) sin (x - π/6) =

Sin 2(x + π/6) + sin ((x + π/6) + (x - π/6)) - sin 2(x - π/6) =

Sin 2x - (sin (2x + π/3) + sin (2x - π/3)) =

Sin 2x - 2sin 2x cos π/3 = sin 2x - sin 2x ≡ 0.

Prin urmare, în virtutea criteriului de constanță al unei funcții diferențiabile pe un interval, concluzionăm că

A(x) ≡ (0) = cos 2 π/6 - cos 2 π/6 + cos 2 π/6 = (√3/2) 2 = 3/4, x ∈ R.

Răspuns: A = 3/4 pentru x € R.

Principalele metode de demonstrare a identităților trigonometrice sunt:

A) reducerea laturii stângi a identității către partea dreaptă prin transformări adecvate;
b) reducerea laturii drepte a identității la stânga;
în) reducerea părților din dreapta și din stânga identității la aceeași formă;
G) reducerea la zero a diferenței dintre părțile din stânga și din dreapta ale identității care se dovedește.

Exemplul 4

Verificați dacă cos 3x = -4cos x cos (x + π/3) cos (x + 2π/3).

Soluţie.

Transformând partea dreaptă a acestei identități conform formulelor trigonometrice corespunzătoare, avem

4cos x cos (x + π/3) cos (x + 2π/3) =

2cos x (cos ((x + π/3) + (x + 2π/3)) + cos ((x + π/3) – (x + 2π/3))) =

2cos x (cos (2x + π) + cos π/3) =

2cos x cos 2x - cos x = (cos 3x + cos x) - cos x = cos 3x.

Partea dreaptă a identității este redusă la partea stângă.

Exemplul 5

Demonstrați că sin 2 α + sin 2 β + sin 2 γ – 2cos α cos β cos γ = 2 dacă α, β, γ sunt unghiuri interioare ale unui triunghi.

Soluţie.

Ținând cont că α, β, γ sunt unghiuri interioare ale unui triunghi, obținem că

α + β + γ = π și deci γ = π – α – β.

sin 2 α + sin 2 β + sin 2 γ – 2cos α cos β cos γ =

Sin 2 α + sin 2 β + sin 2 (π - α - β) - 2cos α cos β cos (π - α - β) =

Sin 2 α + sin 2 β + sin 2 (α + β) + (cos (α + β) + cos (α - β) (cos (α + β) =

Sin 2 α + sin 2 β + (sin 2 (α + β) + cos 2 (α + β)) + cos (α - β) (cos (α + β) =

1/2 (1 - cos 2α) + ½ (1 - cos 2β) + 1 + 1/2 (cos 2α + cos 2β) = 2.

Egalitatea inițială este dovedită.

Exemplul 6

Demonstrați că pentru ca unul dintre unghiurile α, β, γ ale triunghiului să fie egal cu 60°, este necesar și suficient ca sin 3α + sin 3β + sin 3γ = 0.

Soluţie.

Condiția acestei probleme presupune dovada atât a necesității, cât și a suficienței.

Mai întâi dovedim nevoie.

Se poate arăta că

sin 3α + sin 3β + sin 3γ = -4cos (3α/2) cos (3β/2) cos (3γ/2).

Prin urmare, ținând cont de faptul că cos (3/2 60°) = cos 90° = 0, obținem că dacă unul dintre unghiurile α, β sau γ este egal cu 60°, atunci

cos (3α/2) cos (3β/2) cos (3γ/2) = 0 și deci sin 3α + sin 3β + sin 3γ = 0.

Să demonstrăm acum adecvarea condiția specificată.

Dacă sin 3α + sin 3β + sin 3γ = 0, atunci cos (3α/2) cos (3β/2) cos (3γ/2) = 0 și, prin urmare

fie cos (3α/2) = 0, fie cos (3β/2) = 0, fie cos (3γ/2) = 0.

Prin urmare,

sau 3α/2 = π/2 + πk, adică. α = π/3 + 2πk/3,

sau 3β/2 = π/2 + πk, adică. β = π/3 + 2πk/3,

sau 3γ/2 = π/2 + πk,

acestea. γ = π/3 + 2πk/3, unde k ϵ Z.

Din faptul că α, β, γ sunt unghiurile unui triunghi, avem

0 < α < π, 0 < β < π, 0 < γ < π.

Prin urmare, pentru α = π/3 + 2πk/3 sau β = π/3 + 2πk/3 sau

γ = π/3 + 2πk/3 din toate kϵZ numai k = 0 se potrivește.

De unde rezultă că fie α = π/3 = 60°, fie β = π/3 = 60°, fie γ = π/3 = 60°.

Afirmația a fost dovedită.

Aveti vreo intrebare? Nu știți cum să simplificați expresiile trigonometrice?
Pentru a obține ajutorul unui tutor - înregistrați-vă.
Prima lecție este gratuită!

site-ul, cu copierea integrală sau parțială a materialului, este necesară un link către sursă.

Secțiuni: Matematica

Clasă: 11

Lectia 1

Subiect: Nota a 11-a (pregătire pentru examen)

Simplificarea expresiilor trigonometrice.

Rezolvarea celor mai simple ecuații trigonometrice. (2 ore)

Obiective:

• Sistematizați, generalizați, extindeți cunoștințele și deprinderile elevilor legate de utilizarea formulelor de trigonometrie și de rezolvarea celor mai simple ecuații trigonometrice.

Echipament pentru lecție:

Structura lecției:

1. Orgmoment
2. Testare pe laptopuri. Discuția rezultatelor.
3. Simplificarea expresiilor trigonometrice
4. Rezolvarea celor mai simple ecuații trigonometrice
5. Muncă independentă.
6. Rezumatul lecției. Explicația temelor pentru acasă.

1. Moment de organizare. (2 minute.)

Profesorul salută publicul, anunță subiectul lecției, reamintește că sarcina a fost dată anterior de a repeta formulele de trigonometrie și îi pregătește pe elevi pentru testare.

2. Testare. (15min + 3min discuție)

Scopul este de a testa cunoștințele formulelor trigonometrice și capacitatea de a le aplica. Fiecare elev are pe birou un laptop în care există o opțiune de testare.

Pot exista orice număr de opțiuni, voi da un exemplu pentru una dintre ele:

eu optiunea.

Simplificați expresiile:

a) identități trigonometrice de bază

1. sin 2 3y + cos 2 3y + 1;

b) formule de adunare

3. sin5x - sin3x;

c) transformarea unui produs într-o sumă

6. 2sin8y cos3y;

d) formule cu unghi dublu

7.2sin5x cos5x;

e) formule de jumătate de unghi

f) formule cu unghiuri triple

g) substituţie universală

h) scăderea gradului

16. cos 2 (3x/7);

Elevii pe un laptop în fața fiecărei formule își văd răspunsurile.

Lucrarea este verificată instantaneu de computer. Rezultatele sunt afișate pe un ecran mare pentru ca toată lumea să le vadă.

De asemenea, după terminarea lucrării, răspunsurile corecte sunt afișate pe laptopurile elevilor. Fiecare elev vede unde a fost greșeala și ce formule trebuie să repete.

3. Simplificarea expresiilor trigonometrice. (25 min.)

Scopul este de a repeta, de a elabora și de a consolida aplicarea formulelor de bază ale trigonometriei. Rezolvarea problemelor B7 de la examen.

În această etapă, este recomandabil să împărțiți clasa în grupuri de elevi puternici (lucrează independent cu verificarea ulterioară) și elevi slabi care lucrează cu profesorul.

Temă pentru studenți puternici (pregătită în prealabil pe o bază tipărită). Accentul principal este pus pe formulele de reducere și unghi dublu, conform USE 2011.

Simplificați expresiile (pentru cursanții puternici):

În paralel, profesorul lucrează cu elevi slabi, discutând și rezolvând sarcini pe ecran sub dictarea elevilor.

Calculati:

5) sin(270º - α) + cos(270º + α)

6)

Simplifica:

A venit rândul să discutăm rezultatele muncii grupului puternic.

Pe ecran apar răspunsuri și, de asemenea, cu ajutorul unei camere video, este afișată munca a 5 elevi diferiți (câte o sarcină pentru fiecare).

Grupul slab vede starea și metoda soluției. Există discuții și analize. Cu ajutorul mijloacelor tehnice, acest lucru se întâmplă rapid.

4. Rezolvarea celor mai simple ecuații trigonometrice. (30 minute.)

Scopul este de a repeta, sistematiza și generaliza soluția celor mai simple ecuații trigonometrice, înregistrându-le rădăcinile. Rezolvarea problemei B3.

Orice ecuație trigonometrică, indiferent cum o rezolvăm, duce la cea mai simplă.

La finalizarea sarcinii, elevii ar trebui să acorde atenție scrierii rădăcinilor ecuațiilor din cazuri particulare și formei generale și la selecția rădăcinilor din ultima ecuație.

Rezolvarea ecuațiilor:

Notează cea mai mică rădăcină pozitivă a răspunsului.

5. Munca independentă (10 min.)

Scopul este de a testa abilitățile dobândite, de a identifica probleme, erori și modalități de a le elimina.

O varietate de lucrări este oferită la alegerea studentului.

Opțiune pentru „3”

1) Aflați valoarea expresiei

2) Simplificați expresia 1 - sin 2 3α - cos 2 3α

3) Rezolvați ecuația

Opțiune pentru „4”

1) Aflați valoarea expresiei

2) Rezolvați ecuația Notează cea mai mică rădăcină pozitivă a răspunsului tău.

Opțiune pentru „5”

1) Aflați tgα dacă

2) Aflați rădăcina ecuației Notează cea mai mică rădăcină pozitivă a răspunsului tău.

6. Rezumatul lecției (5 min.)

Profesorul rezumă faptul că lecția a repetat și consolidat formule trigonometrice, soluția celor mai simple ecuații trigonometrice.

Temele sunt alocate (pregătite pe o bază tipărită în prealabil) cu o verificare la fața locului în lecția următoare.

Rezolvarea ecuațiilor:

9)

10) Dați răspunsul dvs. ca cea mai mică rădăcină pozitivă.

Lectia 2

Subiect: Nota a 11-a (pregătire pentru examen)

Metode de rezolvare a ecuațiilor trigonometrice. Selectarea rădăcinilor. (2 ore)

Obiective:

• Generalizarea și sistematizarea cunoștințelor privind rezolvarea ecuațiilor trigonometrice de diferite tipuri.
• Pentru a promova dezvoltarea gândirii matematice a elevilor, capacitatea de a observa, compara, generaliza, clasifica.
• Încurajează elevii să depășească dificultățile în procesul activității mentale, să se autocontroleze, să introspecție în activitățile lor.

Echipament pentru lecție: KRMu, laptopuri pentru fiecare student.

Structura lecției:

1. Orgmoment
2. Discuție d/s și samot. lucrarea ultimei lecţii
3. Repetarea metodelor de rezolvare a ecuațiilor trigonometrice.
4. Rezolvarea ecuațiilor trigonometrice
5. Selectarea rădăcinilor în ecuații trigonometrice.
6. Muncă independentă.
7. Rezumatul lecției. Teme pentru acasă.

1. Moment de organizare (2 min.)

Profesorul salută publicul, anunță tema lecției și planul de lucru.

2. a) Analiza temelor pentru acasă (5 min.)

Scopul este de a verifica performanța. O lucrare cu ajutorul unei camere video este afișată pe ecran, restul sunt colectate selectiv pentru ca profesorul să le verifice.

b) Analiza muncii independente (3 min.)

Scopul este de a rezolva greșelile, de a indica modalități de a le depăși.

Pe ecran sunt răspunsurile și soluțiile, studenții și-au emis lucrările în prealabil. Analiza merge rapid.

3. Repetarea metodelor de rezolvare a ecuațiilor trigonometrice (5 min.)

Scopul este de a reaminti metode de rezolvare a ecuațiilor trigonometrice.

Întrebați elevii ce metode de rezolvare a ecuațiilor trigonometrice cunosc. Subliniați că există așa-numitele metode de bază (utilizate frecvent):

• substituție variabilă,
• factorizare,
• ecuații omogene,

și există metode aplicate:

• conform formulelor de conversie a unei sume într-un produs și a unui produs într-o sumă,
• prin formulele de reducere,
• substituție trigonometrică universală
• introducerea unui unghi auxiliar,
• înmulțirea cu o funcție trigonometrică.

De asemenea, trebuie amintit că o ecuație poate fi rezolvată în moduri diferite.

4. Rezolvarea ecuațiilor trigonometrice (30 min.)

Scopul este generalizarea și consolidarea cunoștințelor și abilităților pe această temă, pregătirea pentru rezolvarea C1 din USE.

Consider că este oportun să rezolvăm ecuații pentru fiecare metodă împreună cu studenții.

Elevul dictează soluția, profesorul notează pe tabletă, întregul proces este afișat pe ecran. Acest lucru vă va permite să restaurați rapid și eficient materialul acoperit anterior din memorie.

Rezolvarea ecuațiilor:

1) modificarea variabilă 6cos 2 x + 5sinx - 7 = 0

2) factorizare 3cos(x/3) + 4cos 2 (x/3) = 0

3) ecuații omogene sin 2 x + 3cos 2 x - 2sin2x = 0

4) convertirea sumei în produsul cos5x + cos7x = cos(π + 6x)

5) convertirea produsului la suma 2sinx sin2x + cos3x = 0

6) scăderea gradului de sin2x - sin 2 2x + sin 2 3x \u003d 0,5

7) substituție trigonometrică universală sinx + 5cosx + 5 = 0.

La rezolvarea acestei ecuații, trebuie remarcat că utilizarea acestei metode duce la o îngustare a domeniului de definiție, deoarece sinusul și cosinusul sunt înlocuite cu tg(x/2). Prin urmare, înainte de a scrie răspunsul, este necesar să verificați dacă numerele din mulțimea π + 2πn, n Z sunt cai ai acestei ecuații.

8) introducerea unui unghi auxiliar √3sinx + cosx - √2 = 0

9) înmulțirea cu o funcție trigonometrică cosx cos2x cos4x = 1/8.

5. Selectarea rădăcinilor ecuațiilor trigonometrice (20 min.)

Deoarece în condițiile unei concurențe acerbe la intrarea în universități, soluția unei prime părți a examenului nu este suficientă, majoritatea studenților ar trebui să acorde atenție sarcinilor din partea a doua (C1, C2, C3).

Prin urmare, scopul acestei etape a lecției este acela de a reaminti materialul studiat anterior, de pregătire pentru rezolvarea problemei C1 de la USE din 2011.

Există ecuații trigonometrice în care trebuie să selectați rădăcinile atunci când scrieți răspunsul. Acest lucru se datorează unor restricții, de exemplu: numitorul unei fracții nu este egal cu zero, expresia de sub rădăcina unui grad par este nenegativă, expresia de sub semnul logaritmului este pozitivă etc.

Astfel de ecuații sunt considerate a fi ecuații de complexitate crescută, iar în versiunea USE se află în partea a doua și anume C1.

Rezolvați ecuația:

Fracția este zero dacă atunci folosind cercul unitar, vom selecta rădăcinile (vezi Figura 1)

Poza 1.

obținem x = π + 2πn, n Z

Răspuns: π + 2πn, n Z

Pe ecran, selecția rădăcinilor este afișată pe un cerc într-o imagine color.

Produsul este egal cu zero atunci când cel puțin unul dintre factori este egal cu zero, iar arcul, în același timp, nu își pierde sensul. Apoi

Folosind cercul unității, selectați rădăcinile (vezi Figura 2)

Figura 2.

5)

Să trecem la sistem:

În prima ecuație a sistemului, facem logul modificării 2 (sinx) = y, obținem ecuația atunci , înapoi la sistem

folosind cercul unitar, selectăm rădăcinile (vezi Figura 5),

Figura 5

6. Munca independentă (15 min.)

Scopul este de a consolida și verifica asimilarea materialului, de a identifica erorile și de a schița modalități de corectare a acestora.

Lucrarea este oferită în trei versiuni, pregătite în prealabil pe bază tipărită, la alegerea elevilor.

Ecuațiile pot fi rezolvate în orice mod.

Opțiune pentru „3”

Rezolvarea ecuațiilor:

1) 2sin 2 x + sinx - 1 = 0

2) sin2x = √3cosx

Opțiune pentru „4”

Rezolvarea ecuațiilor:

1) cos2x = 11sinx - 5

2) (2sinx + √3)log 8 (cosx) = 0

Opțiune pentru „5”

Rezolvarea ecuațiilor:

1) 2sinx - 3cosx = 2

2)

7. Rezumatul lecției, teme (5 min.)

Profesorul rezumă lecția, atrage încă o dată atenția asupra faptului că ecuația trigonometrică poate fi rezolvată în mai multe moduri. Cel mai bun mod de a obține un rezultat rapid este cel care este cel mai bine învățat de un anumit student.

Când vă pregătiți pentru examen, trebuie să repetați sistematic formulele și metodele de rezolvare a ecuațiilor.

Se distribuie temele (pregătite în prealabil pe bază tipărită) și se comentează modalități de rezolvare a unor ecuații.

Rezolvarea ecuațiilor:

1) cosx + cos5x = cos3x + cos7x

2) 5sin(x/6) - cos(x/3) + 3 = 0

3) 4sin 2x + sin2x = 3

4) sin 2 x + sin 2 2x - sin 2 3x - sin 2 4x = 0

5) cos3x cos6x = cos4x cos7x

6) 4sinx - 6cosx = 1

7) 3sin2x + 4 cos2x = 5

8) cosx cos2x cos4x cos8x = (1/8) cos15x

9) (2sin 2 x - sinx)log 3 (2cos 2 x + cosx) = 0

10) (2cos 2 x - √3cosx)log 7 (-tgx) = 0

11)