, linie întreruptă etc.:

Dacă te uiți cu atenție la toate aceste figuri, poți selecta două dintre ele, care sunt formate din linii închise (un cerc și un triunghi). Aceste figuri au un fel de graniță care separă ceea ce este în interior de ceea ce este în exterior. Adică, granița împarte planul în două părți: internă și zona exterioară referitor la figura la care se refera:

Perimetru

Perimetrul este limita închisă a unui plan figură geometrică separând regiunea sa interioară de cea exterioară.

Orice figură geometrică închisă are un perimetru:

În figură, perimetrele sunt marcate cu o linie roșie. Rețineți că circumferința unui cerc este adesea denumită lungime.

Perimetrul se măsoară în unități de lungime: mm, cm, dm, m, km.

Pentru toate poligoanele, găsirea perimetrului se reduce la adăugarea lungimilor tuturor laturilor, adică perimetrul poligonului este întotdeauna este egală cu suma lungimea laturilor sale. Când se calculează perimetrul, acesta este adesea notat cu litera latină majusculă P:

Pătrat

Aria este partea din plan ocupată de o figură geometrică plată închisă.

Orice figură geometrică plată închisă are o anumită zonă. În desene, aria formelor geometrice este regiunea interioară, adică acea parte a planului care se află în interiorul perimetrului.

zona de masura figuri - înseamnă a afla de câte ori este plasată o altă figură într-o cifră dată, luată ca unitate de măsură. De obicei, un pătrat este luat ca unitate de măsură a ariei, în care latura este egală cu unitatea de măsură a lungimii: milimetru, centimetru, metru etc.

Figura arată un centimetru pătrat. - un pătrat cu fiecare latură de 1 cm lungime:

Suprafața se măsoară în unități pătrate ah măsurarea lungimii. Unitățile de suprafață includ: mm 2, cm 2, m 2, km 2 etc.

Tabel de conversie a unităților pătrate

	mm 2	cm 2	dm 2	m 2	ar (țese)	hectar (ha)	km 2
mm 2	1 mm 2	0,01 cm2	10 -4 dm 2	10 -6 m 2	10 -8 ar	10 -10 ha	10 -12 km2
cm 2	100 mm 2	1 cm2	0,01 dm 2	10 -4 m 2	10 -6 sunt	10 -8 ha	10 -10 km2
dm 2	10 4 mm 2	100 cm 2	1 dm 2	0,01 m2	10 -4 ar	10 -6 ha	10 -8 km 2
m 2	10 6 mm 2	10 4 cm 2	100 dm 2	1 m2	0,01 sunt	10 -4 ha	10 -6 km 2
ar	10 8 mm 2	10 6 cm 2	10 4 dm 2	100 m2	1 sunt	0,01 ha	10 -4 km 2
Ha	10 10 mm 2	10 8 cm 2	10 6 dm 2	104 m2	100 sunt	1 ha	0,01 km2
km 2	10 12 mm 2	10 10 cm 2	10 8 dm 2	106 m2	10 4 ar	100 ha	1 km2

10 4 = 10 000	10 -4 = 0,000 1
10 6 = 1 000 000	10 -6 = 0,000 001
10 8 = 100 000 000	10 -8 = 0,000 000 01
10 10 = 10 000 000 000	10 -10 = 0,000 000 000 1
10 12 = 1 000 000 000 000	10 -12 = 0,000 000 000 001

Cunoașterea modului de a găsi perimetrul, elevii primesc în scoala primara. Apoi, aceste informații sunt utilizate în mod constant pe parcursul cursului de matematică și geometrie.

Teoria comună tuturor figurilor

Părțile sunt de obicei notate cu litere latine. Mai mult, ele pot fi desemnate ca segmente. Apoi veți avea nevoie de două litere pentru fiecare parte și scrise cu litere mari. Sau introduceți denumirea cu o singură literă, care va fi neapărat mică.
Literele sunt întotdeauna alese alfabetic. Pentru un triunghi, vor fi primele trei. Hexagonul va avea 6 dintre ele - de la a la f. Acest lucru este util pentru introducerea formulelor.

Acum despre cum să găsiți perimetrul. Este suma lungimilor tuturor laturilor figurii. Numărul de termeni depinde de tipul acestuia. Perimetrul este notat cu litera latină P. Unitățile de măsură sunt aceleași cu cele date pentru laturi.

Formule perimetrale pentru diferite forme

Pentru un triunghi: P \u003d a + b + c. Dacă este isoscel, atunci formula este convertită: P \u003d 2a + c. Cum se află perimetrul unui triunghi dacă este echilateral? Acest lucru va ajuta: P \u003d 3a.

Pentru un patrulater arbitrar: P=a+b+c+d. Cazul său special este pătratul, formula perimetrului: P=4a. Există și un dreptunghi, atunci este necesară următoarea egalitate: P \u003d 2 (a + b).

Ce se întâmplă dacă nu știi lungimea uneia sau a mai multor laturi ale unui triunghi?

Folosiți teorema cosinusului dacă între date există două laturi și unghiul dintre ele, care este notat cu litera A. Apoi, înainte de a găsi perimetrul, va trebui să calculați a treia latură. Pentru aceasta, următoarea formulă este utilă: c² \u003d a² + b² - 2 av cos (A).

Un caz special al acestei teoreme este cel formulat de Pitagora pentru un triunghi dreptunghic. Conține valoarea cosinusului unghi drept devine zero, ceea ce înseamnă că ultimul termen pur și simplu dispare.

Există situații în care puteți afla cum să găsiți perimetrul unui triunghi pe o parte. Dar, în același timp, sunt cunoscute și unghiurile figurii. Aici teorema sinusului vine în ajutor, când rapoartele lungimilor laturilor și sinusurilor unghiurilor opuse corespunzătoare sunt egale.

Într-o situație în care perimetrul unei figuri trebuie găsit pe zonă, alte formule vor fi utile. De exemplu, dacă raza cercului înscris este cunoscută, atunci în întrebarea cum să găsiți perimetrul unui triunghi este utilă următoarea formulă: S \u003d p * r, aici p este semiperimetrul. Acesta trebuie să fie derivat din această formulă și înmulțit cu doi.

Exemple de sarcini

Prima condiție. Aflați perimetrul unui triunghi ale cărui laturi sunt de 3, 4 și 5 cm.
Soluţie. Trebuie să utilizați egalitatea indicată mai sus și pur și simplu să înlocuiți datele din sarcina de valoare în ea. Calculele sunt ușoare, duc la numărul 12 cm.
Răspuns. Perimetrul unui triunghi este de 12 cm.

A doua condiție. O latură a triunghiului este de 10 cm. Se știe că a doua este cu 2 cm mai mare decât prima, iar a treia este de 1,5 ori mai mare decât prima. Este necesar să-și calculeze perimetrul.
Soluţie. Pentru a afla, trebuie să numărați două părți. Al doilea este definit ca suma dintre 10 și 2, al treilea este egal cu produsul dintre 10 și 1,5. Apoi rămâne doar să numărăm suma a trei valori: 10, 12 și 15. Rezultatul va fi de 37 cm.
Răspuns. Perimetrul este de 37 cm.

A treia condiție. Există un dreptunghi și un pătrat. O parte a dreptunghiului este de 4 cm, iar cealaltă este cu 3 cm mai lungă. Este necesar să se calculeze valoarea laturii pătratului dacă perimetrul acestuia este cu 6 cm mai mic decât cel al dreptunghiului.
Soluţie. A doua latură a dreptunghiului este 7. Știind acest lucru, este ușor să-i calculezi perimetrul. Calculul dă 22 cm.
Pentru a afla latura pătratului, trebuie mai întâi să scădeți 6 din perimetrul dreptunghiului și apoi să împărțiți numărul rezultat la 4. Ca rezultat, avem numărul 4.
Răspuns. Latura pătratului este de 4 cm.

Cu siguranță fiecare dintre noi a învățat la școală o componentă atât de importantă a geometriei precum perimetrul. Găsirea perimetrului este pur și simplu necesară pentru a rezolva multe probleme. Articolul nostru vă va spune cum să găsiți perimetrul.

Merită să ne amintim că perimetrul oricărei figuri este aproape întotdeauna suma laturilor sale. Să ne uităm la câteva forme geometrice diferite.

1. Un dreptunghi este un patrulater ale cărui laturi paralele sunt egale în perechi. Dacă o parte este X și cealaltă este Y, atunci obținem următoarea formulă pentru a afla perimetrul acestei figuri:

   P = 2(X+Y) = X+Y+X+Y = 2X+2Y.

   Un exemplu de rezolvare a problemei:

   Să presupunem că latura X = 5 cm, latura Y = 10 cm. Deci, înlocuind aceste valori în formula noastră, obținem - P = 2*5 cm + 2* 10cm = 30 cm.

2. Un trapez este un patrulater ale cărui două laturi opuse sunt paralele, dar nu egale. Perimetrul unui trapez este suma tuturor celor patru laturi ale acestuia:

   P = X+Y+Z+W, unde X, Y, Z, W sunt laturile figurii.

   Un exemplu de rezolvare a problemei:

   Să presupunem că latura X = 5 cm, latura Y = 10 cm, latura Z = 8 cm, latura W = 20 cm. Deci, înlocuind aceste valori în formula noastră, obținem - P = 5 cm + 10 cm + 8 cm + 20 cm = 43 cm.

3. Perimetrul unui cerc (circumferința) poate fi calculat folosind formula:

   P = 2rπ = dπ, unde r este raza cercului, d este diametrul cercului.

   Un exemplu de rezolvare a problemei:

   Să presupunem că raza r a cercului nostru este de 5 cm, atunci diametrul d va fi de 2 * 5 cm = 10 cm. Se știe că π = 3,14. Deci, înlocuind aceste valori în formula noastră, obținem - P = 2 * 5 cm * 3,14 = 31,4 cm.

4. Dacă trebuie să găsiți perimetrul unui triunghi, atunci puteți întâmpina o serie de probleme în timp ce faceți acest lucru, deoarece triunghiurile pot avea forme foarte diferite. De exemplu, există triunghiuri acute, obtuze, isoscele, drepte sau echilaterale. Deși formula pentru toate tipurile de triunghiuri este:

   P = X+Y+Z, unde X, Y, Z sunt laturile figurii.

   Problema este că atunci când rezolvați multe probleme de găsire a perimetrului acestei figuri, nu veți cunoaște întotdeauna lungimile tuturor laturilor. De exemplu, în loc de informații despre lungimea uneia dintre laturi, puteți avea gradul unghiului sau lungimea înălțimii unui anumit triunghi. Acest lucru va complica în mod semnificativ sarcina, dar nu va face soluția sa nerealistă. Cum să găsiți perimetrul unui triunghi, indiferent de forma acestuia, puteți citi „”.

5. Perimetrul unei figuri precum un romb se găsește în același mod ca și perimetrul unui pătrat, deoarece rombul este un paralelogram care are laturi egale. Puteți afla cum să găsiți perimetrul unui pătrat citind articolul de pe site-ul nostru „”.

   Acum știi cum să găsești latura perimetrului figurii geometrice de care ai nevoie!

În urmatoarele sarcini de testare Găsiți perimetrul figurii prezentate în figură.

Există multe moduri de a găsi perimetrul unei forme. Puteți transforma forma originală în așa fel încât perimetrul noii forme să poată fi calculat cu ușurință (de exemplu, schimbarea într-un dreptunghi).

O altă soluție este să cauți direct perimetrul figurii (ca suma lungimilor tuturor laturilor sale). Dar în acest caz, nu se poate baza doar pe desen, ci se găsește lungimile segmentelor pe baza datelor problemei.

Vreau să vă avertizez: într-una dintre sarcini, printre răspunsurile propuse, nu l-am găsit pe cel care mi s-a dovedit.

c) .

Să mutăm laturile dreptunghiurilor mici din zona interioară în cea exterioară. Ca urmare, dreptunghiul mare este închis. Formula pentru determinarea perimetrului unui dreptunghi

În acest caz, a=9a, b=3a+a=4a. Astfel P=2(9a+4a)=26a. La perimetrul dreptunghiului mare adăugăm suma lungimilor a patru segmente, fiecare dintre ele egal cu 3a. Ca rezultat, P=26a+4∙3a= 38a .

c) .

După ce transferăm laturile interioare ale dreptunghiurilor mici în zona exterioară, obținem un dreptunghi mare, al cărui perimetru este P=2(10x+6x)=32x și patru segmente, două de x lungime, două de 2x lungime.

Total, P=32x+2∙2x+2∙x= 38x .

?) .

Să mutam 6 „trepte” orizontale din interior spre exterior. Perimetrul dreptunghiului mare rezultat este P=2(6y+8y)=28y. Rămâne de găsit suma lungimilor segmentelor din interiorul dreptunghiului 4y+6∙y=10y. Astfel, perimetrul figurii este P=28y+10y= 38 ani .

D) .

Să mutăm segmentele verticale din zona interioară a figurii la stânga, în zona exterioară. Pentru a obține un dreptunghi mare, mutați una dintre lungimile de 4x în colțul din stânga jos.

Găsim perimetrul figurii originale ca sumă a perimetrului acestui dreptunghi mare și a lungimilor celor trei segmente rămase P=2(10x+8x)+6x+4x+2x= 48x .

e) .

Mutând laturile interioare ale dreptunghiurilor mici în zona exterioară, obținem un pătrat mare. Perimetrul său este P=4∙10x=40x. Pentru a obține perimetrul figurii originale, trebuie să adăugați suma lungimilor a opt segmente, fiecare de 3x lungime, la perimetrul pătratului. Total, P=40x+8∙3x= 64x .

b) .

Să mutăm toate „treptele” orizontale și segmentele superioare verticale în zona exterioară. Perimetrul dreptunghiului rezultat este P=2(7y+4y)=22y. Pentru a găsi perimetrul figurii originale, trebuie să adăugați la perimetrul dreptunghiului suma lungimilor a patru segmente, fiecare cu o lungime de y: P=22y+4∙y= 26 ani .

D) .

Mutați toate liniile orizontale din zona interioară în zona exterioară și mutați cele două linii exterioare verticale în colțurile din stânga și respectiv din dreapta, z la stânga și la dreapta. Ca rezultat, obținem un dreptunghi mare, al cărui perimetru este P=2(11z+3z)=28z.

Perimetrul figurii originale este egal cu suma perimetrului dreptunghiului mare și a lungimilor a șase segmente din z: P=28z+6∙z= 34z .

b) .

Soluția este complet similară cu soluția din exemplul anterior. După transformarea figurii, găsim perimetrul dreptunghiului mare:

P=2(5z+3z)=16z. La perimetrul dreptunghiului adăugăm suma lungimilor celor șase segmente rămase, fiecare dintre ele egal cu z: P=16z+6∙z= 22z .

Geometria, dacă nu mă înșel, pe vremea mea se studia din clasa a V-a iar perimetrul a fost și este unul dintre conceptele cheie. Asa de, perimetrul este suma lungimilor tuturor laturilor (notat cu litera latină P). În general, acest termen este interpretat în moduri diferite, de exemplu,

• lungimea totală a marginii figurii,
• lungimea tuturor laturilor sale,
• suma lungimilor fețelor sale,
• lungimea liniei de delimitare,
• suma tuturor lungimilor laturilor unui poligon

Diferitele forme au propriile formule pentru determinarea perimetrului. Pentru a înțelege sensul în sine, îmi propun să deducem în mod independent câteva formule simple:

1. pentru un pătrat
2. pentru un dreptunghi
3. pentru un paralelogram
4. pentru cub
5. pentru o cutie

Perimetrul unui pătrat

De exemplu, să luăm cel mai simplu - perimetrul unui pătrat.

Toate laturile unui pătrat sunt egale. Să fie numită o parte „a” (precum și celelalte trei), atunci

P = a + a + a + a

sau notație mai compactă

Perimetrul unui dreptunghi

Să complicăm sarcina și să luăm un dreptunghi. În acest caz, nu mai este posibil să spunem că toate laturile sunt egale, deci lungimile laturilor dreptunghiului să fie egale cu a și b.

Apoi formula va arăta astfel:

P = a + b + a + b

Perimetrul paralelogramului

O situație similară va fi cu un paralelogram (vezi perimetrul dreptunghiului)

perimetrul cubului

Ce să facem dacă avem de-a face cu o figură tridimensională? De exemplu, luați un cub. Un cub are 12 laturi și toate sunt egale. În consecință, perimetrul unui cub poate fi calculat după cum urmează:

Perimetrul cutiei

Ei bine, pentru a fixa materialul, calculăm perimetrul paralelipipedului. Aici este necesar să ne gândim puțin. Hai s-o facem împreună. După cum știm, un cuboid este o figură ale cărei laturi sunt dreptunghiuri. Fiecare paralelipiped are două baze. Să luăm una dintre baze și să ne uităm la laturile ei - au lungimile a și b. În consecință, perimetrul bazei este P = 2a + 2b. Atunci perimetrul celor două baze este

(2a + 2b) * 2 = 4a + 4b

Dar avem și o latură „c”. Deci formula pentru calcularea perimetrului unui paralelipiped va arăta astfel:

P = 4a + 4b + 4c

După cum puteți vedea din exemplele de mai sus, tot ceea ce trebuie făcut pentru a determina perimetrul unei forme este să găsiți lungimea fiecărei laturi și apoi să le însumați.

În concluzie, aș dori să remarc că nu orice figură are un perimetru. De exemplu, O sferă nu are perimetru.