Calculator online.
Rezolvarea triunghiurilor.

Soluția unui triunghi este găsirea tuturor celor șase elemente ale sale (adică, trei laturi și trei unghiuri) de către oricare trei elemente date care definesc triunghiul.

Acest program de matematică găsește latura \(c \), unghiurile \(\alpha \) și \(\beta \) date laturi specificate de utilizator \(a, b \) și unghiul dintre ele \(\gamma \)

Programul nu numai că oferă răspunsul la problemă, dar afișează și procesul de găsire a unei soluții.

Acest calculator online poate fi util elevilor de liceu scoli de invatamant generalîn pregătire pentru munca de controlși examene, la testarea cunoștințelor înainte de examen, părinții pentru a controla rezolvarea multor probleme de matematică și algebră. Sau poate este prea scump pentru tine să angajezi un tutor sau să cumperi noi manuale? Sau vrei doar să o faci cât mai curând posibil? teme pentru acasă matematica sau algebra? În acest caz, puteți folosi și programele noastre cu o soluție detaliată.

În acest fel, vă puteți conduce propria pregătire și/sau formarea fraților sau surorilor mai mici, în timp ce nivelul de educație în domeniul sarcinilor de rezolvat este crescut.

Dacă nu sunteți familiarizat cu regulile de introducere a numerelor, vă recomandăm să vă familiarizați cu acestea.

Reguli pentru introducerea numerelor

Numerele pot fi setate nu numai întregi, ci și fracționate.
Părțile întregi și fracționale din fracții zecimale pot fi separate fie prin punct, fie prin virgulă.
De exemplu, puteți intra zecimale deci 2,5 sau cam asa 2,5

Introduceți laturile \(a, b \) și unghiul dintre ele \(\gamma \) Rezolvați triunghiul

S-a constatat că unele scripturi necesare pentru a rezolva această sarcină nu au fost încărcate și este posibil ca programul să nu funcționeze.
Este posibil să aveți AdBlock activat.
În acest caz, dezactivați-l și reîmprospătați pagina.

Aveți JavaScript dezactivat în browser.
JavaScript trebuie să fie activat pentru ca soluția să apară.
Iată instrucțiuni despre cum să activați JavaScript în browserul dvs.

pentru că Sunt o mulțime de oameni care doresc să rezolve problema, cererea ta este pusă în coadă.
După câteva secunde, soluția va apărea mai jos.
Asteapta te rog sec...

daca tu observat o eroare în soluție, apoi puteți scrie despre asta în Formularul de feedback .
Nu uita indicați ce sarcină tu decizi ce intra in campuri.

Jocurile, puzzle-urile, emulatorii noștri:

Un pic de teorie.

Teorema sinusului

Teorema

Laturile unui triunghi sunt proportionale cu sinusurile unghiurilor opuse:
$$ \frac(a)(\sin A) = \frac(b)(\sin B) = \frac(c)(\sin C) $$

Teorema cosinusului

Teorema
Fie în triunghiul ABC AB = c, BC = a, CA = b. Apoi
Triunghi latura pătrat este egală cu suma pătratele celorlalte două laturi minus de două ori produsul acelor laturi înmulțit cu cosinusul unghiului dintre ele.
$$ a^2 = b^2+c^2-2ba \cos A $$

Rezolvarea triunghiurilor

Soluția unui triunghi este găsirea tuturor celor șase elemente ale sale (adică, trei laturi și trei unghiuri) de către oricare trei elemente date care definesc triunghiul.

Luați în considerare trei probleme pentru rezolvarea unui triunghi. În acest caz, vom folosi următoarea notație pentru laturile triunghiului ABC: AB = c, BC = a, CA = b.

Rezolvarea unui triunghi dat două laturi și un unghi între ele

Dat: \(a, b, \unghi C \). Găsiți \(c, \unghi A, \unghi B \)

Soluţie
1. După legea cosinusurilor găsim \(c\):

$$ c = \sqrt( a^2+b^2-2ab \cos C ) $$ 2. Folosind teorema cosinusului, avem:
$$ \cos A = \frac( b^2+c^2-a^2 )(2bc) $$

3. \(\unghi B = 180^\circ -\unghi A -\unghi C \)

Rezolvarea unui triunghi dată de o latură și unghiuri adiacente

Dat: \(a, \angle B, \angle C \). Găsiți \(\unghiul A, b, c \)

Soluţie
1. \(\unghi A = 180^\circ -\unghi B -\unghi C \)

2. Folosind teorema sinusului, calculăm b și c:
$$ b = a \frac(\sin B)(\sin A), \quad c = a \frac(\sin C)(\sin A) $$

Rezolvarea unui triunghi cu trei laturi

Dat: \(a, b, c\). Găsiți \(\unghiul A, \unghiul B, \unghiul C \)

Soluţie
1. Conform teoremei cosinusului, obținem:
$$ \cos A = \frac(b^2+c^2-a^2)(2bc) $$

Prin \(\cos A \) găsim \(\angle A \) folosind un microcalculator sau dintr-un tabel.

2. În mod similar, găsim unghiul B.
3. \(\unghi C = 180^\circ -\unghi A -\unghi B \)

Rezolvarea unui triunghi dat două laturi și un unghi opus unei laturi cunoscute

Dat: \(a, b, \unghi A\). Găsiți \(c, \unghi B, \unghi C \)

Soluţie
1. Prin teorema sinusului găsim \(\sin B \) obținem:
$$ \frac(a)(\sin A) = \frac(b)(\sin B) \Rightarrow \sin B = \frac(b)(a) \cdot \sin A $$

Să introducem notația: \(D = \frac(b)(a) \cdot \sin A \). În funcție de numărul D, sunt posibile următoarele cazuri:
Dacă D > 1, un astfel de triunghi nu există, deoarece \(\sin B \) nu poate fi mai mare de 1
Dacă D = 1, există un unic \(\angle B: \quad \sin B = 1 \Rightarrow \angle B = 90^\circ \)
Dacă D Dacă D 2. \(\unghi C = 180^\circ -\unghi A -\unghi B \)

3. Folosind teorema sinusului, calculăm latura c:
$$ c = a \frac(\sin C)(\sin A) $$

Cărți (manuale) Rezumate ale examenului de stat unificat și teste OGE online Jocuri, puzzle-uri Reprezentarea grafică a funcțiilor Dicționar ortografic al limbii ruse Dicționar al argoului pentru tineri Catalogul școlilor rusești Catalogul școlilor secundare din Rusia Catalogul universităților rusești Lista sarcinilor

Un triunghi dreptunghic se găsește în realitate aproape în fiecare colț. Cunoașterea proprietăților acestei figuri, precum și capacitatea de a calcula suprafața acesteia, vă vor fi, fără îndoială, utile nu numai pentru rezolvarea problemelor de geometrie, ci și în situații de viață.

geometria triunghiului

În geometria elementară, un triunghi dreptunghic este o figură care constă din trei segmente conectate care formează trei unghiuri (două acute și unul drept). Un triunghi dreptunghic este o figură originală, caracterizată printr-o serie de proprietăți importante care formează fundamentul trigonometriei. Spre deosebire de un triunghi obișnuit, laturile unei figuri dreptunghiulare au propriile nume:

• Ipotenuza este cea mai lungă latură a unui triunghi care este opus unghi drept.
• Picioare - segmente care formează un unghi drept. În funcție de unghiul luat în considerare, piciorul poate fi adiacent acestuia (formând acest unghi cu ipotenuza) sau opus (aflat opus unghiului). Nu există picioare pentru triunghiuri nedreptunghiulare.

Raportul catetelor și ipotenuzei formează baza trigonometriei: sinusurile, tangentele și secantele sunt definite ca raportul laturilor triunghi dreptunghic.

Triunghi dreptunghic în realitate

Această cifră este utilizată pe scară largă în realitate. Triunghiurile sunt folosite în design și tehnologie, astfel încât calculul ariei figurii trebuie făcut de ingineri, arhitecți și designeri. Bazele tetraedrelor sau prismelor au forma unui triunghi - figuri tridimensionale care sunt ușor de întâlnit în viața de zi cu zi. În plus, un pătrat este cea mai simplă reprezentare a unui triunghi dreptunghic „plat” în realitate. Un pătrat este o unealtă de lăcătuș, desen, construcție și tâmplărie care este folosită pentru a construi colțuri atât de școlari, cât și de ingineri.

Aria unui triunghi

Pătrat figură geometrică- aceasta este cuantificare cât de mult plan este delimitat de laturile triunghiului. Aria unui triunghi obișnuit poate fi găsită în cinci moduri, folosind formula lui Heron sau operând în calcule cu variabile precum baza, latura, unghiul și raza cercului înscris sau circumscris. Cel mai formulă simplă aria se exprimă astfel:

unde a este latura triunghiului, h este înălțimea acestuia.

Formula pentru calcularea ariei unui triunghi dreptunghic este și mai simplă:

unde a și b sunt catete.

Lucrând cu calculatorul nostru online, puteți calcula aria unui triunghi folosind trei perechi de parametri:

• doua picioare;
• piciorul și unghiul adiacent;
• picior și unghi opus.

În sarcini sau situații de zi cu zi, vi se vor oferi diferite combinații de variabile, astfel încât această formă de calculator vă permite să calculați aria unui triunghi în mai multe moduri. Să ne uităm la câteva exemple.

Exemple din viața reală

Placă ceramică

Să presupunem că vrei să căptușești pereții bucătăriei cu plăci ceramice, care au forma unui triunghi dreptunghic. Pentru a determina consumul de plăci, trebuie să aflați suprafața elementului osos al placajului și suprafața totală a suprafeței care urmează să fie tratată. Permiteți-vă să procesați 7 metri patrati. Lungimea picioarelor unui element este de 19 cm fiecare, apoi aria plăcii va fi egală cu:

Aceasta înseamnă că aria unui element este de 24,5 centimetri pătrați sau 0,01805 metri pătrați. Cunoscând acești parametri, puteți calcula că pentru a finisa 7 metri pătrați ai unui perete veți avea nevoie de 7 / 0,01805 = 387 plăci de parament.

sarcina școlară

Lăsa să intre sarcina școlarăîn geometrie, este necesar să se găsească aria unui triunghi dreptunghic, știind doar că latura unui picior este de 5 cm, iar valoarea unghiului opus este de 30 de grade. Calculatorul nostru online este însoțit de o ilustrație care arată laturile și unghiurile unui triunghi dreptunghic. Dacă latura a = 5 cm, atunci unghiul ei opus este alfa, care este de 30 de grade. Introduceți aceste date în formularul calculatorului și obțineți rezultatul:

Astfel, calculatorul nu numai că calculează aria unui triunghi dat, ci determină și lungimea catetei adiacente și a ipotenuzei, precum și valoarea celui de-al doilea unghi.

Concluzie

Triunghiuri dreptunghiulare se găsesc în viața noastră literalmente la fiecare colț. Determinarea zonei unor astfel de figuri vă va fi utilă nu numai atunci când rezolvați sarcinile școlare în geometrie, ci și în activitățile de zi cu zi și profesionale.

Un triunghi se numește triunghi dreptunghic dacă unul dintre unghiurile sale este de 90º. Latura opusă unghiului drept se numește ipotenuză, iar celelalte două sunt catetele.

Pentru a găsi unghiul într-un triunghi dreptunghic, se folosesc câteva proprietăți ale triunghiurilor dreptunghiulare, și anume: faptul că suma unghiurilor ascuțite este de 90º, precum și faptul că opus catetei, a cărui lungime este jumătate din ipotenuză, se află o unghi egal cu 30º.

Navigare rapidă în articole

Triunghi isoscel

Una dintre proprietățile unui triunghi isoscel este că două dintre unghiurile sale sunt egale. Pentru a calcula valorile unghiurilor unui triunghi isoscel dreptunghic, trebuie să știți că:

• Un unghi drept este de 90º.
• Valorile unghiurilor ascuțite sunt determinate de formula: (180º-90º)/2=45º, adică. unghiurile α și β sunt de 45º.

Dacă valoarea unuia dintre unghiurile ascuțite este cunoscută, al doilea poate fi găsit prin formula: β=180º-90º-α, sau α=180º-90º-β. Cel mai adesea, acest raport este utilizat dacă unul dintre unghiuri este de 60º sau 30º.

Concepte cheie

Suma unghiurilor interioare ale unui triunghi este 180º. Deoarece un unghi este drept, celelalte două vor fi ascuțite. Pentru a le găsi, trebuie să știți că:

alte metode

Valorile unghiurilor ascuțite ale unui triunghi dreptunghic pot fi calculate cunoscând valoarea medianei - o linie trasată de la vârf la partea opusă a triunghiului, iar înălțimea - o linie dreaptă, care este o perpendiculară căzută. de la unghiul drept la ipotenuză. Fie s mediana trasată de la unghiul drept până la mijlocul ipotenuzei, h este înălțimea. În acest caz, rezultă că:

• sinα=b/(2*s); sinβ=a/(2*s).
• cosα=a/(2*s); cos β=b/(2*s).
• sinα=h/b; sinβ=h/a.

Două părți

Dacă lungimea ipotenuzei și a unuia dintre catete, sau două laturi, sunt cunoscute într-un triunghi dreptunghic, identitățile trigonometrice sunt utilizate pentru a găsi valorile unghiurilor ascuțite:

• α=arcsin(a/c), β=arcsin(b/c).
• α=arcos(b/c), β=arcos(a/c).
• α=arctg(a/b), β=arctg(b/a).

Primele sunt segmentele care sunt adiacente unghiului drept, iar ipotenuza este cea mai lungă parte a figurii și este opusă unghiului de 90 de grade. Un triunghi pitagoreic este unul ale cărui laturi sunt egale numere naturale; lungimile lor în acest caz se numesc „triploul pitagoreic”.

triunghi egiptean

Pentru ca generația actuală să învețe geometria în forma în care este predată la școală acum, aceasta a fost dezvoltată de câteva secole. Punctul fundamental este teorema lui Pitagora. Laturile unui dreptunghi sunt cunoscute lumii întregi) sunt 3, 4, 5.

Puțini oameni nu sunt familiarizați cu expresia „ pantaloni pitagoreici egală în toate direcțiile”. Cu toate acestea, de fapt, teorema sună astfel: c 2 (pătratul ipotenuzei) \u003d a 2 + b 2 (suma pătratelor catetelor).

Dintre matematicieni, un triunghi cu laturile 3, 4, 5 (cm, m etc.) se numește „egiptean”. Este interesant că ceea ce este înscris în figură este egal cu unu. Numele a apărut în jurul secolului al V-lea î.Hr., când filozofii greci au călătorit în Egipt.

La construirea piramidelor, arhitecții și toporii au folosit raportul 3:4:5. Astfel de structuri s-au dovedit a fi proporționale, plăcute la vedere și spațioase și, de asemenea, rareori s-au prăbușit.

Pentru a construi un unghi drept, constructorii au folosit o frânghie pe care s-au legat 12 noduri. În acest caz, probabilitatea de a construi un triunghi dreptunghic a crescut la 95%.

Semne de egalitate a cifrelor

• Un unghi ascuțit într-un triunghi dreptunghic și o latură mare, care sunt egale cu aceleași elemente din al doilea triunghi, sunt un semn incontestabil al egalității figurilor. Ținând cont de suma unghiurilor, este ușor de demonstrat că și al doilea unghi ascuțit este egal. Astfel, triunghiurile sunt identice la al doilea criteriu.
• Când două figuri sunt suprapuse una peste alta, le rotim în așa fel încât, atunci când sunt combinate, ele devin un triunghi isoscel. După proprietatea sa, laturile, sau mai bine zis, ipotenuzele, sunt egale, precum și unghiurile de la bază, ceea ce înseamnă că aceste cifre sunt aceleași.

Prin primul semn, este foarte ușor să demonstrezi că triunghiurile sunt cu adevărat egale, principalul lucru este că cele două laturi mai mici (adică picioarele) sunt egale între ele.

Triunghiurile vor fi aceleași conform semnului II, a cărui esență este egalitatea piciorului și unghiul ascuțit.

Proprietățile triunghiului dreptunghic

Înălțimea, care a fost coborâtă dintr-un unghi drept, împarte figura în două părți egale.

Laturile unui triunghi dreptunghic și mediana acestuia sunt ușor de recunoscut după regulă: mediana, care este coborâtă la ipotenuză, este egală cu jumătate din aceasta. poate fi găsită atât prin formula lui Heron cât și prin afirmația că este egală cu jumătate din produsul picioarelor.

Într-un triunghi dreptunghic se aplică proprietățile unghiurilor de 30 o, 45 o și 60 o.

• La un unghi de 30 °, trebuie amintit că piciorul opus va fi egal cu 1/2 din latura cea mai mare.
• Dacă unghiul este de 45 o, atunci al doilea colt ascutit de asemenea 45 o. Acest lucru sugerează că triunghiul este isoscel, iar picioarele sale sunt aceleași.
• Proprietatea unui unghi de 60 de grade este că al treilea unghi are o măsură de 30 de grade.

Zona este ușor de găsit cu una dintre cele trei formule:

1. prin înălțimea și latura pe care coboară;
2. după formula lui Heron;
3. de-a lungul laturilor și unghiul dintre ele.

Laturile unui triunghi dreptunghic, sau mai degrabă catetele, converg cu două înălțimi. Pentru a găsi al treilea, este necesar să se ia în considerare triunghiul rezultat și apoi, folosind teorema lui Pitagora, să se calculeze lungimea necesară. Pe lângă această formulă, există și raportul dintre dublul ariei și lungimea ipotenuzei. Cea mai comună expresie în rândul studenților este prima, deoarece necesită mai puține calcule.

Teoreme care se aplică unui triunghi dreptunghic

Geometria unui triunghi dreptunghic include utilizarea unor teoreme precum:

În matematică, când se ia în considerare un triunghi, se acordă în mod necesar multă atenție laturilor acestuia. Deoarece aceste elemente formează această figură geometrică. Laturile unui triunghi sunt folosite pentru a rezolva multe probleme de geometrie.

Definirea conceptului

Segmentele de linie care leagă trei puncte care nu se află pe aceeași linie dreaptă se numesc laturile triunghiului. Elementele luate în considerare limitează o parte a planului, care se numește interiorul unei figuri geometrice date.

Matematicienii în calculele lor permit generalizări privind laturile figurilor geometrice. Deci, într-un triunghi degenerat, trei dintre segmentele sale se află pe o singură linie dreaptă.

Caracteristicile conceptului

Calculul laturilor unui triunghi implică determinarea tuturor celorlalți parametri ai figurii. Cunoscând lungimea fiecăruia dintre aceste segmente, puteți calcula cu ușurință perimetrul, aria și chiar unghiurile triunghiului.

Orez. 1. Triunghi arbitrar.

Însumând laturile acestei figuri, puteți determina perimetrul.

P=a+b+c, unde a, b, c sunt laturile triunghiului

Și pentru a găsi aria unui triunghi, atunci ar trebui să utilizați formula Heron.

$$S=\sqrt(p(p-a)(p-b)(p-c))$$

Unde p este semiperimetrul.

Unghiurile unei figuri geometrice date sunt calculate prin teorema cosinusului.

$$cos α=((b^2+c^2-a^2)\over(2bc))$$

Sens

Prin raportul laturilor triunghiului, unele proprietăți ale acestei figuri geometrice sunt exprimate:

• Opus celei mai mici laturi a triunghiului este cel mai mic unghi al acestuia.
• Unghiul exterior al figurii geometrice considerate se obtine prin extinderea uneia dintre laturi.
• Unghiurile egale opuse ale unui triunghi sunt laturi egale.
• În orice triunghi, una dintre laturi este întotdeauna mai mare decât diferența celorlalte două segmente. Și suma oricăror două laturi ale acestei cifre este mai mare decât a treia.

Unul dintre semnele de egalitate a două triunghiuri este raportul dintre suma tuturor laturilor unei figuri geometrice. Dacă aceste valori sunt aceleași, atunci triunghiurile vor fi egale.

Unele proprietăți ale unui triunghi depind de tipul său. Prin urmare, ar trebui să luați în considerare mai întâi dimensiunea laturilor sau unghiurilor acestei figuri.

Formarea triunghiurilor

Dacă cele două laturi ale figurii geometrice considerate sunt aceleași, atunci acest triunghi se numește isoscel.

Orez. 2. Triunghi isoscel.

Când toate segmentele dintr-un triunghi sunt egale, obțineți un triunghi echilateral.

Orez. 3. Triunghi echilateral.

Orice calcul este mai convenabil de efectuat în cazurile în care un triunghi arbitrar poate fi atribuit unui anumit tip. De atunci, găsirea parametrului necesar al acestei figuri geometrice va fi mult simplificată.

Deși o ecuație trigonometrică corect aleasă vă permite să rezolvați multe probleme în care este considerat un triunghi arbitrar.

Ce am învățat?

Trei segmente care sunt legate prin puncte și nu aparțin aceleiași drepte formează un triunghi. Aceste laturi formează un plan geometric, care este folosit pentru a determina aria. Cu ajutorul acestor segmente, puteți găsi multe caracteristici importante ale unei figuri, precum perimetrul și unghiurile. Raportul de aspect al unui triunghi ajută la găsirea tipului acestuia. Unele proprietăți ale unei figuri geometrice date pot fi utilizate numai dacă dimensiunile fiecăreia dintre laturile sale sunt cunoscute.

Test cu subiecte

Evaluarea articolului

Rata medie: 4.3. Evaluări totale primite: 142.