1. Aşteptare matematică valoare constantă egală cu cea mai constantă M(S)=S
.
2. Un factor constant poate fi scos din semnul așteptării: M(CX)=CM(X)
3. Așteptările matematice ale produsului a două variabile aleatoare independente este egală cu produsul așteptărilor lor matematice: M(XY)=M(X) M(Y).
4. Așteptările matematice ale sumei a două variabile aleatoare este egală cu suma așteptărilor matematice ale termenilor: M(X+Y)=M(X)+M(Y).
Teorema. Așteptarea matematică M(x) a numărului de apariții ale evenimentelor A în n teste independente este egal cu produsul acestor încercări cu probabilitatea de apariție a evenimentelor în fiecare încercare: M(x) = np.
Lăsa X este o variabilă aleatoare și M(X) - a ei valorea estimata. Considerați ca o nouă variabilă aleatoare diferența X - M(X).
Abaterea este diferența dintre o variabilă aleatoare și așteptarea ei matematică.
Abaterea are următoarea lege de distribuție:
Soluție: Aflați așteptările matematice:
2 =(1-2.3) 2 =1.69
2 =(2-2.3) 2 =0.09
2 =(5-2.3) 2 =7.29
Să scriem legea distribuției abaterii pătratului:
Soluție: Aflați așteptarea M(x): M(x)=2 0,1+3 0,6+5 0,3=3,5
Să scriem legea de distribuție a variabilei aleatoare X 2
| x2 | |||
| P | 0.1 | 0.6 | 0.3 |
Să găsim așteptările matematice M(x2):M(x2) = 4 0.1+9 0.6+25 0.3=13.5
Dispersia dorită D (x) \u003d M (x 2) - 2 \u003d 13,3- (3,5) 2 \u003d 1,05
Proprietăți de dispersie:
1. Dispersia unei valori constante DIN
este egal cu zero: D(C)=0
2. Un factor constant poate fi scos din semnul de dispersie prin pătratul acestuia. D(Cx)=C 2 D(x)
3. Varianta sumei variabilelor aleatoare independente este egala cu suma variantelor acestor variabile. D(X 1 +X 2 +...+X n)=D(X 1)+D(X 2)+...+D(X n)
4. Varianța distribuției binomiale este egală cu produsul dintre numărul de încercări și probabilitatea de apariție și neapariție a unui eveniment într-o singură încercare D(X)=npq
Pentru a estima dispersia valorilor posibile ale unei variabile aleatorii în jurul valorii sale medii, pe lângă varianță, servesc și alte caracteristici. Printre acestea se numără și abaterea standard.
Abaterea standard a unei variabile aleatoare X numită rădăcina pătrată a varianței:
σ(X) = √D(X) (4)
Exemplu. Variabila aleatoare X este dată de legea distribuției
| X | |||
| P | 0.1 | 0.4 | 0.5 |
Găsiți abaterea standard σ(x)
Rezolvare: Aflați așteptarea matematică X: M(x)=2 0,1+3 0,4+10 0,5=6,4
Să aflăm așteptarea matematică a lui X 2: M(x 2)=2 2 0.1+3 2 0.4+10 2 0.5=54
Aflați dispersia: D(x)=M(x 2)=M(x 2)- 2 =54-6,4 2 =13,04
Abaterea standard dorită σ(X)=√D(X)=√13.04≈3.61
Teorema. Deviația pătratică medie a sumei unui număr finit de variabile aleatoare independente reciproc este rădăcină pătrată din suma abaterilor standard pătrate ale acestor mărimi:
Exemplu. Sunt 3 cărți de matematică și 3 de fizică pe un raft cu 6 cărți. Trei cărți sunt alese la întâmplare. Găsiți legea de distribuție a numărului de cărți de matematică între cărțile selectate. Găsiți așteptările matematice și varianța acestei variabile aleatoare.
Caracteristicile numerice de bază ale variabilelor aleatoare discrete și continue: așteptări matematice, varianță și abatere standard. Proprietățile și exemplele lor.
Legea distribuției (funcția de distribuție și seria de distribuție sau densitatea de probabilitate) descrie pe deplin comportamentul unei variabile aleatoare. Dar într-o serie de probleme este suficient să cunoaștem unele caracteristici numerice ale valorii studiate (de exemplu, valoarea medie a acesteia și posibila abatere de la aceasta) pentru a răspunde la întrebarea pusă. Luați în considerare principalele caracteristici numerice ale variabilelor aleatoare discrete.
Definiție 7.1.așteptări matematice O variabilă aleatorie discretă este suma produselor valorilor sale posibile și probabilitățile lor corespunzătoare:
M(X) = X 1 R 1 + X 2 R 2 + … + x p r p.(7.1)
Dacă numărul de valori posibile ale unei variabile aleatoare este infinit, atunci dacă seria rezultată converge absolut.
Observația 1. Uneori se numește așteptarea matematică medie ponderată, deoarece este aproximativ egală cu media aritmetică a valorilor observate ale variabilei aleatoare la numere mari experimente.
Observația 2. Din definiția așteptării matematice, rezultă că valoarea acesteia nu este mai mică decât cea mai mică valoare posibilă a unei variabile aleatoare și nu mai mult decât cea mai mare.
Observația 3. Aşteptarea matematică a unei variabile aleatoare discrete este Nu la nimereală(constant. Mai târziu vom vedea că același lucru este valabil și pentru variabile aleatoare continue.
Exemplul 1. Găsiți așteptarea matematică a unei variabile aleatoare X- numarul de piese standard dintre trei selectate dintr-un lot de 10 piese, inclusiv 2 defecte. Să compunem o serie de distribuție pentru X. Din starea problemei rezultă că X poate lua valorile 1, 2, 3. Apoi
Exemplul 2. Definiți așteptarea matematică a unei variabile aleatoare X- numărul aruncărilor de monede până la prima apariție a stemei. Această cantitate poate lua un număr infinit de valori (setul de valori posibile este setul numere naturale). Seria sa de distribuție are forma:
| X | … | P | … | ||
| R | 0,5 | (0,5) 2 | … | (0,5)P | … |
+ (la calcul, formula pentru suma unei progresii geometrice infinit descrescătoare a fost folosită de două ori: , de unde ).
Proprietățile așteptărilor matematice.
1) Așteptările matematice ale unei constante este egală cu constanta însăși:
M(DIN) = DIN.(7.2)
Dovada. Dacă luăm în considerare DIN ca o variabilă aleatoare discretă care ia o singură valoare DIN cu probabilitate R= 1, atunci M(DIN) = DIN?1 = DIN.
2) Un factor constant poate fi scos din semnul așteptării:
M(SH) = CM(X). (7.3)
Dovada. Dacă variabila aleatoare X dat de seria de distribuţie
Apoi M(SH) = Cx 1 R 1 + Cx 2 R 2 + … + Cx p r p = DIN(X 1 R 1 + X 2 R 2 + … + x p r p) = CM(X).
Definiție 7.2. Două variabile aleatoare numit independent, dacă legea de distribuție a unuia dintre ele nu depinde de ce valori a luat celălalt. Altfel variabile aleatorii dependent.
Definiție 7.3. Hai sa sunăm produsul variabilelor aleatoare independente Xși Y variabilă aleatorie X Y, ale căror valori posibile sunt egale cu produsele tuturor valorilor posibile X pentru toate valorile posibile Y, iar probabilitățile corespunzătoare acestora sunt egale cu produsele probabilităților factorilor.
3) Așteptările matematice ale produsului a două variabile aleatoare independente este egală cu produsul așteptărilor lor matematice:
M(X Y) = M(X)M(Y). (7.4)
Dovada. Pentru a simplifica calculele, ne restrângem la cazul când Xși Y luați doar două valori posibile:
Prin urmare, M(X Y) = X 1 y 1 ?p 1 g 1 + X 2 y 1 ?p 2 g 1 + X 1 y 2 ?p 1 g 2 + X 2 y 2 ?p 2 g 2 = y 1 g 1 (X 1 p 1 + X 2 p 2) + + y 2 g 2 (X 1 p 1 + X 2 p 2) = (y 1 g 1 + y 2 g 2) (X 1 p 1 + X 2 p 2) = M(X)?M(Y).
Observația 1.În mod similar, se poate dovedi această proprietate pentru mai multe valori posibile ale factorilor.
Observația 2. Proprietatea 3 este valabilă pentru produsul oricărui număr de variabile aleatoare independente, care este demonstrat prin metoda inducției matematice.
Definiție 7.4. Să definim suma variabilelor aleatoare Xși Y ca variabilă aleatoare X + Y, ale căror valori posibile sunt egale cu sumele fiecărei valori posibile X cu toate valorile posibile Y; probabilitățile unor astfel de sume sunt egale cu produsele probabilităților termenilor (pentru variabile aleatoare dependente - produsele probabilității unui termen și probabilitatea condiționată a celui de-al doilea).
4) Așteptările matematice ale sumei a două variabile aleatoare (dependente sau independente) este egală cu suma așteptărilor matematice ale termenilor:
M (X+Y) = M (X) + M (Y). (7.5)
Dovada.
Luați în considerare din nou variabilele aleatoare date de seria de distribuție dată în demonstrația proprietății 3. Apoi valorile posibile X+Y sunteți X 1 + la 1 , X 1 + la 2 , X 2 + la 1 , X 2 + la 2. Notați probabilitățile lor, respectiv ca R 11 , R 12 , R 21 și R 22. Sa gasim M(X+Y) = (X 1 + y 1)p 11 + (X 1 + y 2)p 12 + (X 2 + y 1)p 21 + (X 2 + y 2)p 22 =
= X 1 (p 11 + p 12) + X 2 (p 21 + p 22) + y 1 (p 11 + p 21) + y 2 (p 12 + p 22).
Să demonstrăm asta R 11 + R 22 = R unu . Într-adevăr, evenimentul care X+Y va prelua valorile X 1 + la 1 sau X 1 + la 2 și a cărui probabilitate este R 11 + R 22 coincide cu evenimentul care X = X 1 (probabilitatea sa este R unu). În mod similar, se dovedește că p 21 + p 22 = R 2 , p 11 + p 21 = g 1 , p 12 + p 22 = g 2. Mijloace,
M(X+Y) = X 1 p 1 + X 2 p 2 + y 1 g 1 + y 2 g 2 = M (X) + M (Y).
cometariu. Proprietatea 4 implică faptul că suma oricărui număr de variabile aleatoare este egală cu suma valorilor așteptate ale termenilor.
Exemplu. Găsiți așteptările matematice ale sumei numărului de puncte aruncate atunci când aruncați cinci zaruri.
Să aflăm așteptările matematice ale numărului de puncte care au căzut la aruncarea unui zar:
M(X 1) \u003d (1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6) Același număr este egal cu așteptarea matematică a numărului de puncte care au căzut pe orice zar. Prin urmare, prin proprietatea 4 M(X)=
Dispersia.
Pentru a avea o idee despre comportamentul unei variabile aleatoare, nu este suficient să cunoaștem doar așteptările ei matematice. Luați în considerare două variabile aleatorii: Xși Y, dat de seria de distribuție a formei
| X | |||
| R | 0,1 | 0,8 | 0,1 |
| Y | ||
| p | 0,5 | 0,5 |
Sa gasim M(X) = 49?0,1 + 50?0,8 + 51?0,1 = 50, M(Y) \u003d 0? 0,5 + 100? 0,5 \u003d 50. După cum puteți vedea, așteptările matematice ale ambelor mărimi sunt egale, dar dacă pentru HM(X) descrie bine comportamentul unei variabile aleatoare, fiind valoarea ei cea mai probabilă posibilă (mai mult, valorile rămase diferă ușor de 50), apoi valorile Y abate semnificativ de la M(Y). Prin urmare, împreună cu așteptările matematice, este de dorit să se știe cât de mult se abat valorile variabilei aleatoare de la aceasta. Dispersia este utilizată pentru a caracteriza acest indicator.
Definiție 7.5.Dispersare (împrăștiere) variabila aleatorie se numește așteptarea matematică a pătratului abaterii sale de la așteptarea sa matematică:
D(X) = M (X-M(X))². (7,6)
Aflați varianța unei variabile aleatoare X(numărul de părți standard dintre cele selectate) în exemplul 1 al acestei prelegeri. Să calculăm valorile abaterii pătrate a fiecărei valori posibile de la așteptarea matematică:
(1 - 2,4) 2 = 1,96; (2 - 2,4) 2 = 0,16; (3 - 2,4) 2 = 0,36. Prin urmare,
Observația 1.În definiția varianței, nu abaterea de la medie în sine este evaluată, ci pătratul acesteia. Acest lucru se face astfel încât abaterile diferitelor semne să nu se compenseze reciproc.
Observația 2. Din definiția dispersiei rezultă că această cantitate ia numai valori nenegative.
Observația 3. Există o formulă mai convenabilă pentru calcularea varianței, a cărei validitate este dovedită în următoarea teoremă:
Teorema 7.1.D(X) = M(X²) - M²( X). (7.7)
Dovada.
Folosind ce M(X) este o valoare constantă, iar proprietățile așteptării matematice, transformăm formula (7.6) în forma:
D(X) = M(X-M(X))² = M(X² - 2 X?M(X) + M²( X)) = M(X²) - 2 M(X)?M(X) + M²( X) =
= M(X²) - 2 M²( X) + M²( X) = M(X²) - M²( X), ceea ce urma să fie dovedit.
Exemplu. Să calculăm varianțele variabilelor aleatoare Xși Y discutat la începutul acestei secțiuni. M(X) = (49 2 ?0,1 + 50 2 ?0,8 + 51 2 ?0,1) - 50 2 = 2500,2 - 2500 = 0,2.
M(Y) \u003d (0 2? 0,5 + 100²? 0,5) - 50² \u003d 5000 - 2500 \u003d 2500. Deci, dispersia celei de-a doua variabile aleatoare este de câteva mii de ori mai mare decât dispersia primei. Astfel, chiar și fără a cunoaște legile de distribuție a acestor cantități, conform valori cunoscute varianță, putem afirma că X se abate puțin de la așteptările sale matematice, în timp ce pentru Y această abatere este foarte semnificativă.
Proprietăți de dispersie.
1) Constanta de dispersie DIN este egal cu zero:
D (C) = 0. (7.8)
Dovada. D(C) = M((CM(C))²) = M((C-C)²) = M(0) = 0.
2) Factorul constant poate fi scos din semnul de dispersie prin pătratul:
D(CX) = C² D(X). (7.9)
Dovada. D(CX) = M((CX-M(CX))²) = M((CX-CM(X))²) = M(C²( X-M(X))²) =
= C² D(X).
3) Varianța sumei a două variabile aleatoare independente este egală cu suma varianțelor lor:
D(X+Y) = D(X) + D(Y). (7.10)
Dovada. D(X+Y) = M(X² + 2 X Y + Y²) - ( M(X) + M(Y))² = M(X²) + 2 M(X)M(Y) +
+ M(Y²) - M²( X) - 2M(X)M(Y) - M²( Y) = (M(X²) - M²( X)) + (M(Y²) - M²( Y)) = D(X) + D(Y).
Consecința 1. Varianța sumei mai multor variabile aleatoare reciproc independente este egală cu suma varianțelor acestora.
Consecința 2. Varianța sumei unei constante și a unei variabile aleatoare este egală cu varianța variabilei aleatoare.
4) Varianta diferenței a două variabile aleatoare independente este egală cu suma varianțelor acestora:
D(X Y) = D(X) + D(Y). (7.11)
Dovada. D(X Y) = D(X) + D(-Y) = D(X) + (-1)² D(Y) = D(X) + D(X).
Varianta dă valoarea medie a abaterii pătrate a variabilei aleatoare de la medie; pentru a evalua abaterea în sine este o valoare numită abatere standard.
Definiție 7.6.Deviație standardσ variabilă aleatoare X se numește rădăcina pătrată a varianței:
Exemplu. În exemplul anterior, abaterile standard Xși Y egal, respectiv
Sarcina 1. Probabilitatea de germinare a semințelor de grâu este de 0,9. Care este probabilitatea ca din patru semințe semănate să încolțească cel puțin trei?
Soluţie. Lasă evenimentul DAR- din 4 seminte vor incolti cel putin 3 seminte; eveniment LA- din 4 seminte vor incolti 3 seminte; eveniment DIN Din 4 semințe vor încolți 4 semințe. Conform teoremei de adunare a probabilității
Probabilități 
și 
determinăm prin formula Bernoulli folosită în cazul următor. Lasă seria să ruleze Pîncercări independente, în fiecare dintre ele probabilitatea ca un eveniment să se producă este constantă și egală cu R, iar probabilitatea ca acest eveniment să nu se producă este egală cu 
. Apoi probabilitatea ca evenimentul DARîn P testele vor apărea exact 
ori, calculată prin formula Bernoulli
,
Unde 
- numărul de combinații de P elemente prin 
. Apoi
Probabilitatea dorită
Sarcina 2. Probabilitatea de germinare a semințelor de grâu este de 0,9. Găsiți probabilitatea ca din 400 de semințe semănate să încolțească 350 de semințe.
Soluţie. Calculați probabilitatea dorită 
conform formulei Bernoulli este dificilă din cauza greutății calculelor. Prin urmare, aplicăm o formulă aproximativă care exprimă teorema locală Laplace:
,
Unde 
și 
.
Din starea problemei. Apoi
.
Din tabelul 1 de aplicații găsim . Probabilitatea dorită este egală cu
Sarcina 3. Dintre semințele de grâu, 0,02% din buruieni. Care este probabilitatea ca o selecție aleatorie de 10.000 de semințe să dezvăluie 6 semințe de buruieni?
Soluţie. Aplicarea teoremei locale Laplace datorită probabilității scăzute 
conduce la o abatere semnificativă a probabilității de la valoarea exactă 
. Prin urmare, pentru valori mici R a calcula 
se aplică formula Poisson asimptotică
, Unde .
Această formulă este folosită când 
, și cu atât mai puțin Rși altele P, cu atât rezultatul este mai precis.
Conform sarcinii 
;
. Apoi
Sarcina 4. Procentul de germinare a semințelor de grâu este de 90%. Găsiți probabilitatea ca din 500 de semințe semănate să încolțească de la 400 la 440 de semințe.
Soluţie. Dacă probabilitatea producerii unui eveniment DARîn fiecare dintre P teste este constantă și egală cu R, apoi probabilitatea 
că evenimentul DAR in astfel de teste vor exista cel putin 
o dată și nu mai mult 
ori este determinată de teorema integrală Laplace prin următoarea formulă:
, Unde
, 
.
Funcţie 
se numește funcția Laplace. Anexele (Tabelul 2) dau valorile acestei funcții pt 
. La 
funcţie 
. Pentru valori negative X din cauza neobişnuităii funcţiei Laplace 
. Folosind funcția Laplace, avem:
Conform sarcinii. Folosind formulele de mai sus, găsim 
și 
:
Sarcina 5. Este dată legea distribuției unei variabile aleatoare discrete X:
Găsiți: 1) așteptări matematice; 2) dispersie; 3) abaterea standard.
Soluţie. 1) Dacă legea distribuției unei variabile aleatoare discrete este dată de tabel
|
| ||||||
În cazul în care valorile variabilei aleatoare x sunt date în prima linie, iar probabilitățile acestor valori sunt date în a doua linie, atunci așteptarea matematică este calculată prin formula
2) Dispersia 
variabilă aleatoare discretă X se numește așteptarea matematică a pătratului abaterii unei variabile aleatoare de la așteptarea ei matematică, i.e.
Această valoare caracterizează valoarea medie așteptată a abaterii pătrate X din 
. Din ultima formula pe care o avem
dispersie 
poate fi găsită într-un alt mod, pe baza următoarei sale proprietăți: varianță 
este egală cu diferența dintre așteptarea matematică a pătratului variabilei aleatoare Xși pătratul așteptărilor sale matematice 
, acesta este
A calcula 
compunem următoarea lege de distribuție a cantității 
:
3) Pentru a caracteriza dispersia valorilor posibile ale unei variabile aleatoare în jurul valorii sale medii, se introduce abaterea standard 
variabilă aleatorie X, egal cu rădăcina pătrată a varianței 
, acesta este
.
Din această formulă avem: 
Sarcina 6. Variabilă aleatoare continuă X dat de funcţia de distribuţie integrală
Aflați: 1) funcție de distribuție diferențială 
; 2) așteptări matematice 
; 3) dispersie 
.
Soluţie. 1) Funcția de distribuție diferențială 
variabilă aleatoare continuă X se numește derivata funcției de distribuție integrală 
, acesta este
.
Funcția diferențială dorită are următoarea formă:
2) Dacă o variabilă aleatoare continuă X dat de functie 
, atunci așteptarea sa matematică este determinată de formula
Din moment ce funcţia 
la 
iar la 
este egal cu zero, apoi din ultima formulă pe care o avem
.
3) Dispersia 
definite prin formula
Sarcina 7. Lungimea părții este o variabilă aleatorie distribuită în mod normal, cu o așteptare matematică de 40 mm și o abatere standard de 3 mm. Aflați: 1) probabilitatea ca lungimea unei piese arbitrare să fie mai mare de 34 mm și mai mică de 43 mm; 2) probabilitatea ca lungimea piesei să se abate de la așteptările sale matematice cu cel mult 1,5 mm.
Soluţie. 1) Lasă X- lungimea piesei. Dacă variabila aleatoare X dat de funcţia diferenţială 
, apoi probabilitatea ca X va lua valorile care aparțin segmentului 
, este determinat de formula
.
Probabilitatea îndeplinirii inegalităților stricte 
determinat prin aceeași formulă. Dacă variabila aleatoare X distribuite conform legii normale, atunci
, (1)
Unde 
este funcția Laplace, 
.
În sarcină. Apoi
2) După starea problemei, unde 
. Înlocuind în (1) , avem
. (2)
Din formula (2) avem.
Variabilă aleatorie numit variabil, care, ca rezultat al fiecărui test, ia o valoare necunoscută anterior, în funcție de cauze aleatorii. Variabilele aleatoare sunt notate cu majuscule latine: $X,\ Y,\ Z,\ \dots $ După tipul lor, variabilele aleatoare pot fi discretși continuu.
Variabilă aleatorie discretă- aceasta este o astfel de variabilă aleatoare, ale cărei valori nu pot fi mai mult decât numărabile, adică fie finite, fie numărabile. Numărabilitatea înseamnă că pot fi enumerate valorile unei variabile aleatorii.
Exemplul 1 . Să dăm exemple de variabile aleatoare discrete:
a) numărul de lovituri pe țintă cu $n$ lovituri, aici valorile posibile sunt $0,\ 1,\ \dots ,\ n$.
b) numărul de steme care au căzut la aruncarea unei monede, aici valorile posibile sunt $0,\ 1,\ \dots ,\ n$.
c) numărul de nave care au ajuns la bord (un set numărabil de valori).
d) numărul de apeluri care sosesc la centrală (un set numărabil de valori).
1. Legea distribuției de probabilitate a unei variabile aleatoare discrete.
O variabilă aleatoare discretă $X$ poate lua valorile $x_1,\dots ,\ x_n$ cu probabilități $p\left(x_1\right),\ \dots ,\ p\left(x_n\right)$. Corespondența dintre aceste valori și probabilitățile lor se numește legea de distribuție a unei variabile aleatoare discrete. De regulă, această corespondență este specificată folosind un tabel, în primul rând al căruia sunt indicate valorile $x_1,\dots ,\ x_n$, iar în a doua linie probabilitățile corespunzătoare acestor valori sunt $ p_1,\dots ,\ p_n$.
$\begin(matrice)(|c|c|)
\hline
X_i & x_1 & x_2 & \dots & x_n \\
\hline
p_i & p_1 & p_2 & \dots & p_n \\
\hline
\end(matrice)$
Exemplul 2 . Fie variabila aleatoare $X$ numărul de puncte aruncate atunci când un zar este aruncat. O astfel de variabilă aleatorie $X$ poate lua următoarele valori $1,\ 2,\ 3,\ 4,\ 5,\ 6$. Probabilitățile tuturor acestor valori sunt egale cu $1/6$. Apoi legea distribuției probabilității pentru variabila aleatoare $X$:
$\begin(matrice)(|c|c|)
\hline
1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6 \\
\hline
\hline
\end(matrice)$
cometariu. Deoarece evenimentele $1,\ 2,\ \dots ,\ 6$ formează un grup complet de evenimente în legea distribuției variabilei aleatoare discrete $X$, suma probabilităților trebuie să fie egală cu unu, adică $\sum( p_i)=1$.
2. Așteptările matematice ale unei variabile aleatoare discrete.
Așteptarea matematică a unei variabile aleatoare specifică valoarea sa „centrală”. Pentru o variabilă aleatorie discretă, așteptarea matematică este calculată ca suma produselor valorilor $x_1,\dots ,\ x_n$ și a probabilităților $p_1,\dots ,\p_n$ corespunzătoare acestor valori, adică: $M\left(X\right)=\sum ^n_(i=1)(p_ix_i)$. În literatura engleză, se folosește o altă notație $E\left(X\right)$.
Proprietăți de așteptare$M\stanga(X\dreapta)$:
- $M\left(X\right)$ este între cel mai mic și cele mai mari valori variabilă aleatoare $X$.
- Așteptarea matematică a unei constante este egală cu constanta în sine, adică. $M\left(C\right)=C$.
- Factorul constant poate fi scos din semnul așteptării: $M\left(CX\right)=CM\left(X\right)$.
- Așteptările matematice ale sumei variabilelor aleatoare este egală cu suma așteptărilor lor matematice: $M\left(X+Y\right)=M\left(X\right)+M\left(Y\right)$.
- Așteptările matematice ale produsului variabilelor aleatoare independente este egală cu produsul așteptărilor lor matematice: $M\left(XY\right)=M\left(X\right)M\left(Y\right)$.
Exemplul 3 . Să găsim așteptările matematice ale variabilei aleatoare $X$ din exemplul $2$.
$$M\left(X\right)=\sum^n_(i=1)(p_ix_i)=1\cdot ((1)\peste (6))+2\cdot ((1)\peste (6) )+3\cdot ((1)\peste (6))+4\cdot ((1)\peste (6))+5\cdot ((1)\peste (6))+6\cdot ((1 )\peste (6))=3.5.$$
Putem observa că $M\left(X\right)$ se află între cea mai mică ($1$) și cea mai mare ($6$) valori ale variabilei aleatoare $X$.
Exemplul 4 . Se știe că așteptarea matematică a variabilei aleatoare $X$ este egală cu $M\left(X\right)=2$. Găsiți așteptările matematice ale variabilei aleatoare $3X+5$.
Folosind proprietățile de mai sus, obținem $M\left(3X+5\right)=M\left(3X\right)+M\left(5\right)=3M\left(X\right)+5=3\ cdot 2 +5=11$.
Exemplul 5 . Se știe că așteptarea matematică a variabilei aleatoare $X$ este egală cu $M\left(X\right)=4$. Găsiți așteptările matematice ale variabilei aleatoare $2X-9$.
Folosind proprietățile de mai sus, obținem $M\left(2X-9\right)=M\left(2X\right)-M\left(9\right)=2M\left(X\right)-9=2\ cdot 4 -9=-1$.
3. Dispersia unei variabile aleatoare discrete.
Valorile posibile ale variabilelor aleatoare cu așteptări matematice egale se pot împrăștia diferit în jurul valorilor lor medii. De exemplu, în două grupuri de elevi GPA pentru examenul de teoria probabilităților s-a dovedit a fi egal cu 4, dar într-un grup toți s-au dovedit a fi studenți buni, iar în celălalt grup - doar trei și studenți excelenți. Prin urmare, este nevoie de o astfel de caracteristică numerică a unei variabile aleatoare, care să arate răspândirea valorilor unei variabile aleatoare în jurul așteptărilor sale matematice. Această caracteristică este dispersia.
Dispersia unei variabile aleatoare discrete$X$ este:
$$D\left(X\right)=\sum^n_(i=1)(p_i(\left(x_i-M\left(X\dreapta)\right))^2).\ $$
În literatura engleză, se folosește notația $V\left(X\right),\ Var\left(X\right)$. Foarte des, varianța $D\left(X\right)$ este calculată prin formula $D\left(X\right)=\sum^n_(i=1)(p_ix^2_i)-(\left(M\) stânga(X \dreapta)\dreapta))^2$.
Proprietăți de dispersie$D\stânga(X\dreapta)$:
- Dispersia este întotdeauna mai mare sau egală cu zero, adică. $D\stanga(X\dreapta)\ge 0$.
- Dispersia dintr-o constantă este egală cu zero, adică. $D\stanga(C\dreapta)=0$.
- Factorul constant poate fi scos din semnul de dispersie cu condiția ca acesta să fie pătrat, adică $D\left(CX\right)=C^2D\left(X\dreapta)$.
- Varianța sumei variabilelor aleatoare independente este egală cu suma varianțelor acestora, i.e. $D\left(X+Y\right)=D\stanga(X\dreapta)+D\stanga(Y\dreapta)$.
- Varianta diferenței variabilelor aleatoare independente este egală cu suma varianțelor acestora, adică. $D\left(X-Y\right)=D\stanga(X\dreapta)+D\stanga(Y\dreapta)$.
Exemplul 6 . Să calculăm varianța variabilei aleatoare $X$ din exemplul $2$.
$$D\left(X\right)=\sum^n_(i=1)(p_i(\left(x_i-M\left(X\dreapta)\right))^2)=((1)\peste (6))\cdot (\left(1-3,5\right))^2+((1)\peste (6))\cdot (\left(2-3,5\right))^2+ \dots +((1)\peste (6))\cdot (\left(6-3,5\right))^2=((35)\peste (12))\aproximativ 2,92.$$
Exemplul 7 . Se știe că varianța variabilei aleatoare $X$ este egală cu $D\left(X\right)=2$. Găsiți varianța variabilei aleatoare $4X+1$.
Folosind proprietățile de mai sus, găsim $D\left(4X+1\right)=D\left(4X\right)+D\left(1\right)=4^2D\left(X\right)+0= 16D\ stânga(X\dreapta)=16\cdot 2=32$.
Exemplul 8 . Se știe că varianța lui $X$ este egală cu $D\left(X\right)=3$. Găsiți varianța variabilei aleatoare $3-2X$.
Folosind proprietățile de mai sus, găsim $D\left(3-2X\right)=D\left(3\right)+D\left(2X\right)=0+2^2D\left(X\right)= 4D\ stânga(X\dreapta)=4\cdot 3=12$.
4. Funcția de distribuție a unei variabile aleatoare discrete.
Metoda de reprezentare a unei variabile aleatoare discrete sub forma unei serii de distribuție nu este singura și, cel mai important, nu este universală, deoarece o variabilă aleatoare continuă nu poate fi specificată folosind o serie de distribuție. Există o altă modalitate de a reprezenta o variabilă aleatoare - funcția de distribuție.
functie de distributie variabila aleatoare $X$ este o funcție $F\left(x\right)$, care determină probabilitatea ca variabila aleatoare $X$ să ia o valoare mai mică decât o valoare fixă $x$, adică $F\left(x\ dreapta)$ )=P\stanga(X< x\right)$
Proprietățile funcției de distribuție:
- $0\le F\left(x\right)\le 1$.
- Probabilitatea ca variabila aleatoare $X$ să ia valori din intervalul $\left(\alpha ;\\beta \right)$ este egală cu diferența dintre valorile funcției de distribuție la sfârșitul acestei interval: $P\left(\alpha< X < \beta \right)=F\left(\beta \right)-F\left(\alpha \right)$
- $F\left(x\right)$ - nedescrescătoare.
- $(\mathop(lim)_(x\to -\infty ) F\left(x\right)=0\ ),\ (\mathop(lim)_(x\to +\infty ) F\left(x \dreapta)=1\ )$.
Exemplul 9 . Să găsim funcția de distribuție $F\left(x\right)$ pentru legea de distribuție a variabilei aleatoare discrete $X$ din exemplul $2$.
$\begin(matrice)(|c|c|)
\hline
1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6 \\
\hline
1/6 & 1/6 & 1/6 & 1/6 & 1/6 & 1/6 \\
\hline
\end(matrice)$
Dacă $x\le 1$, atunci evident $F\left(x\right)=0$ (inclusiv $x=1$ $F\left(1\right)=P\left(X< 1\right)=0$).
Dacă 1 USD< x\le 2$, то $F\left(x\right)=P\left(X=1\right)=1/6$.
Dacă 2 dolari< x\le 3$, то $F\left(x\right)=P\left(X=1\right)+P\left(X=2\right)=1/6+1/6=1/3$.
Dacă 3 dolari< x\le 4$, то $F\left(x\right)=P\left(X=1\right)+P\left(X=2\right)+P\left(X=3\right)=1/6+1/6+1/6=1/2$.
Dacă 4 dolari< x\le 5$, то $F\left(X\right)=P\left(X=1\right)+P\left(X=2\right)+P\left(X=3\right)+P\left(X=4\right)=1/6+1/6+1/6+1/6=2/3$.
Dacă 5 dolari< x\le 6$, то $F\left(x\right)=P\left(X=1\right)+P\left(X=2\right)+P\left(X=3\right)+P\left(X=4\right)+P\left(X=5\right)=1/6+1/6+1/6+1/6+1/6=5/6$.
Dacă $x > 6$, atunci $F\left(x\right)=P\left(X=1\right)+P\left(X=2\right)+P\left(X=3\right) + P\stanga(X=4\dreapta)+P\stanga(X=5\dreapta)+P\stanga(X=6\dreapta)=1/6+1/6+1/6+1/6+ 1 /6+1/6=1$.
Deci $F(x)=\left\(\begin(matrix)
0,\ la\ x\le 1,\\
1/6, la \ 1< x\le 2,\\
1/3,\ la\ 2< x\le 3,\\
1/2, la \ 3< x\le 4,\\
2/3,\ la\ 4< x\le 5,\\
5/6, \ la \ 4< x\le 5,\\
1,\ pentru \ x > 6.
\end(matrice)\dreapta.$
Așteptările și varianța matematică sunt caracteristicile numerice cele mai frecvent utilizate ale unei variabile aleatorii. Ele caracterizează cele mai importante trăsături ale distribuției: poziția sa și gradul de dispersie. În multe probleme de practică, o descriere completă, exhaustivă a unei variabile aleatoare - legea distribuției - fie nu poate fi obținută deloc, fie nu este deloc necesară. În aceste cazuri, ele sunt limitate la o descriere aproximativă a unei variabile aleatoare folosind caracteristici numerice.
Așteptările matematice sunt adesea denumite pur și simplu valoarea medie a unei variabile aleatorii. Dispersia unei variabile aleatoare este o caracteristică a dispersiei, dispersia unei variabile aleatoare în jurul așteptărilor sale matematice.
Așteptările matematice ale unei variabile aleatoare discrete
Să abordăm conceptul de așteptare matematică, pornind mai întâi de la interpretarea mecanică a distribuției unei variabile aleatoare discrete. Fie ca unitatea de masă să fie distribuită între punctele axei x X1 , X 2 , ..., X n, iar fiecare punct material are o masă corespunzătoare din p1 , p 2 , ..., p n. Este necesar să alegeți un punct pe axa x, care caracterizează poziția întregului sistem puncte materiale, luând în considerare masele lor. Este firesc să luăm ca un astfel de punct centrul de masă al sistemului de puncte materiale. Aceasta este media ponderată a variabilei aleatoare X, în care abscisa fiecărui punct Xi intră cu o „pondere” egală cu probabilitatea corespunzătoare. Valoarea medie a variabilei aleatoare obţinută în acest fel X se numește așteptarea sa matematică.
Așteptările matematice ale unei variabile aleatoare discrete este suma produselor tuturor valorilor sale posibile și probabilitățile acestor valori:
Exemplul 1 Am organizat o loterie câștig-câștig. Există 1000 de câștiguri, dintre care 400 sunt de 10 ruble fiecare. 300 - 20 de ruble fiecare 200 - 100 de ruble fiecare. și 100 - 200 de ruble fiecare. Ce dimensiunea medie câștiguri pentru cine a cumpărat un bilet?
Soluţie. Găsim câștigul mediu dacă valoare totală câștiguri, care este egal cu 10 * 400 + 20 * 300 + 100 * 200 + 200 * 100 = 50.000 de ruble, împărțit la 1000 (valoarea totală a câștigurilor). Apoi obținem 50000/1000 = 50 de ruble. Dar expresia pentru calcularea câștigului mediu poate fi reprezentată și sub următoarea formă:
Pe de altă parte, în aceste condiții, valoarea câștigurilor este o variabilă aleatorie care poate lua valori de 10, 20, 100 și 200 de ruble. cu probabilități egale cu 0,4, respectiv; 0,3; 0,2; 0,1. Prin urmare, profitul mediu așteptat este egală cu suma produsele mărimii câștigurilor prin probabilitatea obținerii acestora.
Exemplul 2 Editorul a decis să publice carte noua. El va vinde cartea cu 280 de ruble, din care 200 îi vor fi date lui, 50 librăriei și 30 autorului. Tabelul oferă informații despre costul publicării unei cărți și probabilitatea de a vinde un anumit număr de exemplare ale cărții.
Găsiți profitul așteptat al editorului.
Soluţie. Variabila aleatoare „profit” este egală cu diferența dintre venitul din vânzare și costul costurilor. De exemplu, dacă se vând 500 de exemplare ale unei cărți, atunci venitul din vânzare este de 200 * 500 = 100.000, iar costul publicării este de 225.000 de ruble. Astfel, editorul se confruntă cu o pierdere de 125.000 de ruble. Următorul tabel rezumă valorile așteptate ale variabilei aleatoare - profit:
| Număr | Profit Xi | Probabilitate pi | Xi p i |
| 500 | -125000 | 0,20 | -25000 |
| 1000 | -50000 | 0,40 | -20000 |
| 2000 | 100000 | 0,25 | 25000 |
| 3000 | 250000 | 0,10 | 25000 |
| 4000 | 400000 | 0,05 | 20000 |
| Total: | 1,00 | 25000 |
Astfel, obținem așteptarea matematică a profitului editorului:
.
Exemplul 3Șansa de a lovi cu o lovitură p= 0,2. Determinați consumul de obuze care oferă așteptarea matematică a numărului de lovituri egal cu 5.
Soluţie. Din aceeași formulă de așteptare pe care am folosit-o până acum, ne exprimăm X- consumul de coajă:
.
Exemplul 4 Determinați așteptările matematice ale unei variabile aleatorii X numărul de lovituri cu trei lovituri, dacă probabilitatea de a lovi cu fiecare lovitură p = 0,4 .
Sugestie: găsiți probabilitatea valorilor unei variabile aleatoare prin formula Bernoulli .
Proprietăți de așteptare
Luați în considerare proprietățile așteptărilor matematice.
Proprietatea 1. Așteptările matematice ale unei constante este egală cu această constantă:
Proprietatea 2. Factorul constant poate fi scos din semnul așteptării:
Proprietatea 3. Așteptările matematice ale sumei (diferenței) variabilelor aleatoare sunt egale cu suma (diferenței) așteptărilor lor matematice:
Proprietatea 4. Așteptările matematice ale produsului variabilelor aleatoare sunt egale cu produsul așteptărilor lor matematice:
Proprietatea 5. Dacă toate valorile variabilei aleatoare X scade (creste) cu acelasi numar DIN, atunci așteptarea sa matematică va scădea (crește) cu același număr:
Când nu poți fi limitat doar la așteptări matematice
În cele mai multe cazuri, doar așteptarea matematică nu poate caracteriza în mod adecvat o variabilă aleatoare.
Să fie variabile aleatoare Xși Y sunt date de următoarele legi de distribuție:
| Sens X | Probabilitate |
| -0,1 | 0,1 |
| -0,01 | 0,2 |
| 0 | 0,4 |
| 0,01 | 0,2 |
| 0,1 | 0,1 |
| Sens Y | Probabilitate |
| -20 | 0,3 |
| -10 | 0,1 |
| 0 | 0,2 |
| 10 | 0,1 |
| 20 | 0,3 |
Așteptările matematice ale acestor mărimi sunt aceleași - egale cu zero:
Cu toate acestea, distribuția lor este diferită. Valoare aleatoare X poate lua doar valori care sunt puțin diferite de așteptările matematice și de variabila aleatoare Y poate lua valori care se abat semnificativ de la așteptările matematice. Un exemplu asemănător: salariul mediu nu permite judecarea proporției lucrătorilor cu plăți mari și slabi. Cu alte cuvinte, prin așteptarea matematică nu se poate judeca ce abateri de la ea, cel puțin în medie, sunt posibile. Pentru a face acest lucru, trebuie să găsiți varianța unei variabile aleatoare.
Dispersia unei variabile aleatoare discrete
dispersie variabilă aleatoare discretă X se numește așteptarea matematică a pătratului abaterii sale de la așteptarea matematică:
Abaterea standard a unei variabile aleatoare X este valoarea aritmetică a rădăcinii pătrate a varianței sale:
.
Exemplul 5 Calculați variațiile și abaterile standard ale variabilelor aleatoare Xși Y, ale căror legi de distribuție sunt date în tabelele de mai sus.
Soluţie. Așteptări matematice ale variabilelor aleatoare Xși Y, așa cum a fost găsit mai sus, sunt egale cu zero. Conform formulei de dispersie pentru E(X)=E(y)=0 obținem:
Apoi abaterile standard ale variabilelor aleatoare Xși Y constitui
.
Astfel, cu aceleași așteptări matematice, varianța variabilei aleatoare X foarte mici și aleatorii Y- semnificativă. Aceasta este o consecință a diferenței de distribuție a acestora.
Exemplul 6 Investitorul are 4 proiecte alternative de investiții. Tabelul rezumă datele privind profitul așteptat în aceste proiecte cu probabilitatea corespunzătoare.
| Proiectul 1 | Proiectul 2 | Proiectul 3 | Proiectul 4 |
| 500, P=1 | 1000, P=0,5 | 500, P=0,5 | 500, P=0,5 |
| 0, P=0,5 | 1000, P=0,25 | 10500, P=0,25 | |
| 0, P=0,25 | 9500, P=0,25 |
Găsiți pentru fiecare alternativă așteptările matematice, varianța și abaterea standard.
Soluţie. Să arătăm cum se calculează aceste cantități pentru a treia alternativă:
Tabelul rezumă valorile găsite pentru toate alternativele.
Toate alternativele au aceleași așteptări matematice. Asta înseamnă că, pe termen lung, toată lumea are același venit. Abaterea standard poate fi interpretată ca o măsură a riscului - cu cât este mai mare, cu atât riscul investiției este mai mare. Un investitor care nu dorește riscuri mari va alege proiectul 1 deoarece are cea mai mică abatere standard (0). Dacă investitorul preferă riscul și randamentele mari într-o perioadă scurtă, atunci va alege proiectul cu cea mai mare abatere standard - proiectul 4.
Proprietăți de dispersie
Să prezentăm proprietățile dispersiei.
Proprietatea 1. Dispersia unei valori constante este zero:
Proprietatea 2. Factorul constant poate fi scos din semnul de dispersie prin pătratul:
.
Proprietatea 3. Varianta unei variabile aleatoare este egală cu așteptarea matematică a pătratului acestei valori, din care se scade pătratul așteptării matematice a valorii în sine:
,
Unde 
.
Proprietatea 4. Varianta sumei (diferenței) variabilelor aleatoare este egală cu suma (diferenței) varianțelor acestora:
Exemplul 7 Se știe că o variabilă aleatoare discretă X ia doar două valori: −3 și 7. În plus, așteptarea matematică este cunoscută: E(X) = 4 . Aflați varianța unei variabile aleatoare discrete.
Soluţie. Notează prin p probabilitatea cu care o variabilă aleatoare ia o valoare X1 = −3 . Apoi probabilitatea valorii X2 = 7 va fi 1 − p. Să derivăm ecuația pentru așteptările matematice:
E(X) = X 1 p + X 2 (1 − p) = −3p + 7(1 − p) = 4 ,
de unde obținem probabilitățile: p= 0,3 și 1 − p = 0,7 .
Legea distribuției unei variabile aleatoare:
| X | −3 | 7 |
| p | 0,3 | 0,7 |
Calculăm varianța acestei variabile aleatoare folosind formula de la proprietatea 3 a varianței:
D(X) = 2,7 + 34,3 − 16 = 21 .
Găsiți singur așteptările matematice ale unei variabile aleatoare și apoi vedeți soluția
Exemplul 8 Variabilă aleatorie discretă X ia doar două valori. Se ia valoarea mai mare de 3 cu o probabilitate de 0,4. În plus, este cunoscută varianța variabilei aleatoare D(X) = 6 . Aflați așteptările matematice ale unei variabile aleatorii.
Exemplul 9 O urnă conține 6 bile albe și 4 negre. Din urnă se iau 3 bile. Numărul de bile albe dintre bilele extrase este o variabilă aleatorie discretă X. Găsiți așteptările matematice și varianța acestei variabile aleatoare.
Soluţie. Valoare aleatoare X poate lua valorile 0, 1, 2, 3. Probabilitățile corespunzătoare pot fi calculate din regula înmulțirii probabilităților. Legea distribuției unei variabile aleatoare:
| X | 0 | 1 | 2 | 3 |
| p | 1/30 | 3/10 | 1/2 | 1/6 |
De aici așteptările matematice ale acestei variabile aleatoare:
M(X) = 3/10 + 1 + 1/2 = 1,8 .
Varianta unei variabile aleatoare date este:
D(X) = 0,3 + 2 + 1,5 − 3,24 = 0,56 .
Așteptările matematice și dispersia unei variabile aleatoare continue
Pentru o variabilă aleatoare continuă, interpretarea mecanică a așteptării matematice va păstra același sens: centrul de masă pentru o unitate de masă distribuită continuu pe axa x cu densitate. f(X). Spre deosebire de o variabilă aleatorie discretă, pentru care argumentul funcției Xi se modifică brusc, pentru o variabilă aleatoare continuă, argumentul se schimbă continuu. Dar așteptarea matematică a unei variabile aleatoare continue este, de asemenea, legată de valoarea medie a acesteia.
Pentru a găsi așteptările matematice și varianța unei variabile aleatoare continue, trebuie să găsiți integrale definite . Dacă este dată o funcție de densitate a unei variabile aleatoare continue, atunci aceasta intră direct în integrand. Dacă este dată o funcție de distribuție a probabilității, atunci prin diferențierea acesteia, trebuie să găsiți funcția de densitate.
Media aritmetică a tuturor valorilor posibile ale unei variabile aleatoare continue se numește ea așteptări matematice, notat cu sau .
