Știți cum arată un hexagon obișnuit?
Această întrebare nu a fost pusă întâmplător. Majoritatea elevilor din clasa a 11-a nu știu răspunsul.

Un hexagon regulat este unul în care toate laturile sunt egale și toate unghiurile sunt, de asemenea, egale..

Nucă de fier. Fulg de nea. O celulă de faguri în care trăiesc albinele. Moleculă de benzen. Ce au aceste obiecte în comun? - Faptul că toate au o formă hexagonală regulată.

Mulți școlari sunt pierduți când văd sarcini pentru un hexagon obișnuit și cred că sunt necesare niște formule speciale pentru a le rezolva. E chiar asa?

Desenați diagonalele unui hexagon obișnuit. Avem șase triunghiuri echilaterale.

Știm că zona triunghi dreptunghic: .

Atunci aria unui hexagon obișnuit este de șase ori mai mare.

Unde este latura unui hexagon obișnuit.

Vă rugăm să rețineți că într-un hexagon obișnuit, distanța de la centrul său la oricare dintre vârfuri este aceeași și egală cu latura hexagonului obișnuit.

Aceasta înseamnă că raza unui cerc circumscris în jurul unui hexagon obișnuit este egală cu latura acestuia.
Raza unui cerc înscris într-un hexagon obișnuit este ușor de găsit.
El este egal.
Acum puteți rezolva cu ușurință orice probleme de USE în care apare un hexagon obișnuit.

Aflați raza unui cerc înscris într-un hexagon regulat cu latura .

Raza unui astfel de cerc este .

Răspuns: .

Care este latura unui hexagon regulat înscris într-un cerc cu raza 6?

Știm că latura unui hexagon obișnuit este egală cu raza cercului circumscris în jurul lui.

Tema poligoanelor este ținută în curiculumul scolar dar nu îi acordați suficientă atenție. Între timp, este interesant și acest lucru este valabil mai ales pentru un hexagon sau un hexagon obișnuit - la urma urmei, multe obiecte naturale. Acestea includ faguri și multe altele. Această formă este foarte bine aplicată în practică.

Definiție și construcție

Un hexagon regulat este o figură plană care are șase laturi egale în lungime și același număr de unghiuri egale.

Dacă ne amintim formula pentru suma unghiurilor unui poligon

se dovedește că în această cifră este egal cu 720 °. Ei bine, deoarece toate unghiurile figurii sunt egale, este ușor de calculat că fiecare dintre ele este egal cu 120 °.

Desenarea unui hexagon este foarte simplă, tot ce ai nevoie este o busolă și o riglă.

Instrucțiunile pas cu pas vor arăta astfel:

Dacă doriți, puteți face fără o linie desenând cinci cercuri de rază egală.

Cifra astfel obținută va fi un hexagon regulat, iar acest lucru poate fi demonstrat mai jos.

Proprietățile sunt simple și interesante

Pentru a înțelege proprietățile unui hexagon obișnuit, este logic să-l împărțim în șase triunghiuri:

Acest lucru va ajuta pe viitor să-și afișeze mai clar proprietățile, dintre care principalele sunt:

1. diametrul cercului circumscris;
2. diametrul cercului înscris;
3. pătrat;
4. perimetru.

Cercul circumscris și posibilitatea construcției

Este posibil să descrii un cerc în jurul unui hexagon și, în plus, doar unul. Deoarece această cifră este corectă, o puteți face destul de simplu: trageți o bisectoare din două unghiuri adiacente în interior. Se intersectează în punctul O, iar împreună cu latura dintre ele formează un triunghi.

Unghiurile dintre latura hexagonului și bisectoare vor fi de 60° fiecare, așa că putem spune cu siguranță că un triunghi, de exemplu, AOB, este isoscel. Și deoarece al treilea unghi va fi, de asemenea, egal cu 60 °, este și echilateral. Rezultă că segmentele OA și OB sunt egale, ceea ce înseamnă că pot servi drept rază a cercului.

După aceea, puteți merge în partea următoare și, de asemenea, puteți desena o bisectoare din unghiul din punctul C. Se va dovedi un alt triunghi echilateral, iar latura AB va fi comună pentru două simultan, iar OS va fi următoarea rază prin care trece același cerc. Vor fi șase astfel de triunghiuri în total și vor avea un vârf comun în punctul O. Se dovedește că va fi posibil să se descrie cercul și este doar unul, iar raza lui este egală cu latura hexagonului :

De aceea, este posibil să construiți această figură cu ajutorul unei busole și a unei rigle.

Ei bine, zona acestui cerc va fi standard:

Cerc înscris

Centrul cercului circumscris coincide cu centrul celui înscris. Pentru a verifica acest lucru, putem desena perpendiculare din punctul O spre laturile hexagonului. Ele vor fi înălțimile acelor triunghiuri care alcătuiesc hexagonul. Și într-un triunghi isoscel, înălțimea este mediana față de latura pe care se sprijină. Astfel, această înălțime nu este altceva decât bisectoarea perpendiculară, care este raza cercului înscris.

Înălțimea unui triunghi echilateral se calculează simplu:

h²=a²-(a/2)²= a²3/4, h=a(√3)/2

Și deoarece R=a și r=h, se dovedește că

r=R(√3)/2.

Astfel, cercul înscris trece prin centrele laturilor unui hexagon regulat.

Zona sa va fi:

S=3πa²/4,

adică trei sferturi din cea descrisă.

Perimetrul si zona

Totul este clar cu perimetrul, aceasta este suma lungimilor laturilor:

P=6a, sau P=6R

Dar aria va fi egală cu suma tuturor celor șase triunghiuri în care poate fi împărțit hexagonul. Deoarece aria unui triunghi este calculată ca jumătate din produsul bazei și al înălțimii, atunci:

S \u003d 6 (a / 2) (a (√3) / 2) \u003d 6a² (√3) / 4 \u003d 3a² (√3) / 2 sau

S=3R²(√3)/2

Cei care doresc să calculeze această zonă prin raza cercului înscris se pot face astfel:

S=3(2r/√3)²(√3)/2=r²(2√3)

Construcții distractive

Un triunghi poate fi înscris într-un hexagon, ale cărui laturi vor lega vârfurile printr-unul:

Vor fi doi în total, iar impunerea lor unul asupra celuilalt va da Steaua lui David. Fiecare dintre aceste triunghiuri este echilateral. Acest lucru este ușor de verificat. Dacă te uiți la partea AC, atunci aparține la două triunghiuri simultan - BAC și AEC. Dacă în primul dintre ele AB \u003d BC și unghiul dintre ele este de 120 °, atunci fiecare dintre cele rămase va fi de 30 °. De aici putem trage concluzii logice:

1. Înălțimea lui ABC de la vârful B va fi egală cu jumătate din latura hexagonului, deoarece sin30°=1/2. Cei care doresc să verifice acest lucru pot fi sfătuiți să recalculeze conform teoremei lui Pitagora, aceasta se potrivește perfect aici.
2. Latura AC va fi egală cu două raze ale cercului înscris, care se calculează din nou folosind aceeași teoremă. Adică AC=2(a(√3)/2)=а(√3).
3. Triunghiurile ABC, CDE și AEF sunt egale în două laturi și unghiul dintre ele și, prin urmare, urmează egalitatea laturilor AC, CE și EA.

Intersectându-se unele cu altele, triunghiurile formează un nou hexagon și este, de asemenea, regulat. Este ușor de dovedit:

Astfel, figura îndeplinește semnele unui hexagon obișnuit - are șase laturi egaleși colțuri. Din egalitatea triunghiurilor de la vârfuri, este ușor să deducem lungimea laturii noului hexagon:

d=а(√3)/3

Va fi, de asemenea, raza cercului descris în jurul lui. Raza înscrisului va fi jumătate din latura hexagonului mare, ceea ce a fost dovedit luând în considerare triunghiul ABC. Înălțimea sa este exact jumătate din latură, prin urmare, a doua jumătate este raza cercului înscris în hexagonul mic:

r₂=а/2

S=(3(√3)/2)(а(√3)/3)²=а(√3)/2

Se pare că aria hexagonului din interiorul stelei lui David este de trei ori mai mică decât cea a celui mare în care este înscrisă steaua.

De la teorie la practică

Proprietățile hexagonului sunt foarte activ utilizate atât în ​​natură, cât și în diverse domenii ale activității umane. În primul rând, acest lucru se aplică șuruburilor și piulițelor - pălăriile primului și celui de-al doilea nu sunt altceva decât un hexagon obișnuit, dacă nu țineți cont de teșituri. Mărimea cheilor corespunde diametrului cercului înscris - adică distanța dintre fețele opuse.

Și-a găsit aplicația și plăcile hexagonale. Este mult mai puțin obișnuit decât unul patruunghiular, dar este mai convenabil să îl așezi: trei plăci se întâlnesc la un moment dat, nu patru. Compozițiile pot fi foarte interesante:

Sunt produse și plăci de pavaj din beton.

Prevalența hexagonului în natură este explicată simplu. Astfel, cel mai ușor este să potriviți cercuri și bile strâns pe un plan dacă au același diametru. Din această cauză, fagurii au o astfel de formă.

Proprietăți matematice

O caracteristică a unui hexagon regulat este egalitatea laturii sale și raza cercului circumscris, deoarece

Toate unghiurile sunt de 120°.

Raza cercului înscris este:

Perimetrul unui hexagon regulat este:

Aria unui hexagon obișnuit se calculează prin formulele:

Hexagoane care plac planul, adică pot umple planul fără goluri și suprapuneri, formând așa-numitul parchet.

Parchet hexagonal (parchet hexagonal)- teselare a planului cu hexagoane regulate egale situate unul în celălalt.

Parchetul hexagonal este dual cu parchet triunghiular: dacă conectați centrele hexagoanelor adiacente, atunci segmentele desenate vor da un parchet triunghiular. Simbolul Schläfli al unui parchet hexagonal este (6,3), ceea ce înseamnă că trei hexagoane converg la fiecare vârf al parchetului.

Parchetul hexagonal este cel mai dens pachet de cercuri din plan. În spațiul euclidian bidimensional, cea mai bună umplere este plasarea centrelor cercurilor la vârfurile unui parchet format din hexagoane regulate, în care fiecare cerc este înconjurat de alți șase. Densitatea acestui ambalaj este de . În 1940, s-a dovedit că acest ambalaj este cel mai dens.

Un hexagon obișnuit cu o latură este un capac universal, adică orice set de diametru poate fi acoperit de un hexagon obișnuit cu o latură (lema lui Pal).

Un hexagon obișnuit poate fi construit folosind o busolă și o linie dreaptă. Mai jos este metoda de construcție propusă de Euclid în Elementele, Cartea IV, Teorema 15.

Hexagon obișnuit în natură, tehnologie și cultură

arată împărțirea avionului în hexagoane regulate. Forma hexagonală mai mult decât celelalte vă permite să economisiți pe pereți, adică mai puțină ceară va fi cheltuită pe fagurii cu astfel de celule.

Unele cristale și molecule complexe, cum ar fi grafitul, au o rețea cristalină hexagonală.

Se formează atunci când picăturile microscopice de apă din nori sunt atrase de particulele de praf și îngheață. Cristalele de gheață care apar în acest caz, care la început nu depășesc 0,1 mm în diametru, cad și cresc ca urmare a condensului umidității din aer pe ele. În acest caz, se formează forme cristaline cu șase vârfuri. Datorită structurii moleculelor de apă, între razele cristalului sunt posibile doar unghiuri de 60° și 120°. Cristalul principal de apă are forma unui hexagon regulat în plan. Pe vârfurile unui astfel de hexagon sunt apoi depuse cristale noi, pe ele se depun altele noi și astfel se obțin diverse forme de stele fulgi de nea.

Oamenii de știință de la Universitatea Oxford au reușit să simuleze apariția unui astfel de hexagon în laborator. Pentru a afla cum se produce o astfel de formațiune, cercetătorii au plasat o sticlă de apă de 30 de litri pe o placă turnantă. Ea a modelat atmosfera lui Saturn și rotația sa obișnuită. În interior, oamenii de știință au plasat inele mici care se rotesc mai repede decât recipientul. Acest lucru a generat vârtejuri și jeturi în miniatură, pe care experimentatorii le-au vizualizat cu vopsea verde. Cu cât inelul s-a rotit mai repede, cu atât vârtejurile deveneau mai mari, ceea ce face ca fluxul din apropiere să devieze de la o formă circulară. Astfel, autorii experimentului au reușit să obțină diverse forme – ovale, triunghiuri, pătrate și, bineînțeles, hexagonul dorit.

Un monument natural de aproximativ 40.000 de coloane bazaltice (mai rar andezitice) interconectate, format ca urmare a unei erupții vulcanice antice. Situat în nord-estul Irlandei de Nord, la 3 km nord de orașul Bushmills.

Vârfurile coloanelor formează un fel de trambulină, care începe de la poalele stâncii și dispare sub suprafața mării. Majoritatea coloanelor sunt hexagonale, deși unele au patru, cinci, șapte sau opt colțuri. Cea mai înaltă coloană are aproximativ 12 metri înălțime.

Cu aproximativ 50-60 de milioane de ani în urmă, în timpul perioadei Paleogene, situl Antrim a fost supus unei activități vulcanice intense atunci când bazaltul topit a pătruns prin depozite, formând platouri extinse de lavă. Odată cu răcirea rapidă, volumul substanței a scăzut (acest lucru se observă atunci când noroiul se usucă). Comprimarea orizontală a dus la structura caracteristică a stâlpilor hexagonali.

Secțiunea transversală a piuliței are forma unui hexagon regulat.

Construcția unui hexagon regulat înscris într-un cerc. Construcția unui hexagon se bazează pe faptul că latura lui este egală cu raza cercului circumscris. Prin urmare, pentru a construi, este suficient să împărțiți cercul în șase părți egale și să conectați punctele găsite între ele (Fig. 60, a).

Un hexagon obișnuit poate fi construit folosind un pătrat în T și un pătrat de 30X60°. Pentru a realiza această construcție, luăm diametrul orizontal al cercului ca bisectoare a unghiurilor 1 și 4 (Fig. 60, b), construim laturile 1-6, 4-3, 4-5 și 7-2, după care trageți fețele 5-6 și 3-2.

Construcția unui triunghi echilateral înscris într-un cerc. Vârfurile unui astfel de triunghi pot fi construite folosind o busolă și un pătrat cu unghiuri de 30 și 60 °, sau doar un compas.

Luați în considerare două moduri de a construi un triunghi echilateral înscris într-un cerc.

Prima cale(Fig. 61, a) se bazează pe faptul că toate cele trei unghiuri ale triunghiului 7, 2, 3 conțin fiecare 60 °, iar linia verticală trasată prin punctul 7 este atât înălțimea, cât și bisectoarea unghiului 1. Deoarece unghiul 0-1-2 este egal cu 30°, apoi pentru a găsi latura

1-2, este suficient să construiți un unghi de 30 ° la punctul 1 și latura 0-1. Pentru a face acest lucru, setați pătratul în T și pătratul așa cum se arată în figură, trageți o linie 1-2, care va fi una dintre laturile triunghiului dorit. Pentru a construi partea 2-3, setați pătratul T în poziția indicată de liniile întrerupte și trageți o linie dreaptă prin punctul 2, care va defini al treilea vârf al triunghiului.

A doua cale se bazează pe faptul că, dacă construiești un hexagon obișnuit înscris într-un cerc și apoi leagă vârfurile acestuia printr-unul, obții un triunghi echilateral.

Pentru a construi un triunghi (Fig. 61, b), marchem un punct de vârf 1 pe diametru și trasăm o linie diametrală 1-4. Mai departe, din punctul 4 cu o rază egală cu D / 2, descriem arcul până când se intersectează cu cercul în punctele 3 și 2. Punctele rezultate vor fi alte două vârfuri ale triunghiului dorit.

Construcția unui pătrat înscris într-un cerc. Această construcție se poate face folosind un pătrat și o busolă.

Prima metodă se bazează pe faptul că diagonalele pătratului se intersectează în centrul cercului circumscris și sunt înclinate față de axele sale la un unghi de 45°. Pe baza acestui lucru, instalăm un pătrat în T și un pătrat cu unghiuri de 45 ° așa cum se arată în Fig. 62, a și marcați punctele 1 și 3. În continuare, prin aceste puncte, desenăm laturile orizontale ale pătratului 4-1 și 3-2 cu ajutorul unui pătrat în T. Apoi, folosind un T-pătrat de-a lungul piciorului pătratului, desenăm laturile verticale ale pătratului 1-2 și 4-3.

A doua metodă se bazează pe faptul că vârfurile pătratului bisectează arcele de cerc cuprinse între capetele diametrului (Fig. 62, b). Marcam punctele A, B și C la capetele a două diametre reciproc perpendiculare, iar din ele cu o rază y descriem arcele până se intersectează.

Mai departe, prin punctele de intersecție ale arcelor, desenăm linii auxiliare, marcate pe figură cu linii continue. Punctele lor de intersecție cu cercul vor defini vârfurile 1 și 3; 4 și 2. Vârfurile pătratului dorit astfel obținut sunt conectate în serie între ele.

Construcția unui pentagon regulat înscris într-un cerc.

Pentru a înscrie un pentagon regulat într-un cerc (Fig. 63), facem următoarele construcții.

Marcam punctul 1 pe cerc și îl luăm ca unul dintre vârfurile pentagonului. Împărțiți segmentul AO în jumătate. Pentru a face acest lucru, cu raza AO din punctul A, descriem arcul până când se intersectează cu cercul în punctele M și B. Legând aceste puncte cu o dreaptă, obținem punctul K, pe care îl conectăm apoi cu punctul 1. Cu cu o rază egală cu segmentul A7, descriem arcul de la punctul K până la intersecția cu linia diametrală AO ​​în punctul H. Conectând punctul 1 cu punctul H, obținem latura pentagonului. Apoi, cu o deschidere de busolă egală cu segmentul 1H, după ce a descris arcul de la vârful 1 până la intersecția cu cercul, găsim vârfurile 2 și 5. După ce am făcut serif din vârfurile 2 și 5 cu aceeași deschidere de busolă, obținem vârfurile rămase 3 și 4. Legăm secvențial punctele găsite între ele.

Construcția unui pentagon regulat având în vedere latura sa.

Pentru a construi un pentagon regulat de-a lungul laturii date (Fig. 64), împărțim segmentul AB în șase părți egale. Din punctele A și B cu raza AB descriem arce, a căror intersecție va da punctul K. Prin acest punct și diviziunea 3 pe linia AB trasăm o linie verticală.

Obținem punctul 1-vertex al pentagonului. Apoi, cu o rază egală cu AB, din punctul 1 descriem arcul până la intersecția cu arcele desenate anterior din punctele A și B. Punctele de intersecție ale arcelor determină vârfurile pentagonului 2 și 5. Legăm cele găsite. vârfuri în serie între ele.

Construcția unui heptagon regulat înscris într-un cerc.

Să fie dat un cerc cu diametrul D; trebuie să înscrieți în el un heptagon obișnuit (Fig. 65). Împărțiți diametrul vertical al cercului în șapte părți egale. Din punctul 7 cu raza egală cu diametrul cercului D, descriem arcul până când acesta se intersectează cu continuarea diametrului orizontal în punctul F. Punctul F se numește polul poligonului. Luând punctul VII ca unul dintre vârfurile heptagonului, trasăm raze de la polul F prin diviziuni pare ale diametrului vertical, a căror intersecție cu cercul va determina vârfurile VI, V și IV ale heptagonului. Pentru a obține vârfuri / - // - /// din punctele IV, V și VI, desenăm linii orizontale până când acestea se intersectează cu cercul. Conectăm vârfurile găsite în serie între ele. Heptagonul poate fi construit prin trasarea razelor de la polul F și prin diviziuni impare ale diametrului vertical.

Metoda de mai sus este potrivită pentru construirea de poligoane regulate cu orice număr de laturi.

Împărțirea unui cerc în orice număr de părți egale se poate face și folosind datele din tabel. 2, care prezintă coeficienții care fac posibilă determinarea dimensiunilor laturilor poligoanelor regulate înscrise.

Cea mai faimoasă figură cu mai mult de patru colțuri este hexagonul obișnuit. În geometrie, este adesea folosit în probleme. Și în viață, asta este exact ceea ce au fagurii pe tăietură.

Cum este diferit de greșit?

În primul rând, un hexagon este o figură cu 6 vârfuri. În al doilea rând, poate fi convex sau concav. Primul diferă prin faptul că patru vârfuri se află pe o parte a unei linii drepte trasate prin celelalte două.

În al treilea rând, un hexagon obișnuit se caracterizează prin faptul că toate laturile sale sunt egale. Mai mult, fiecare colț al figurii are și el aceeași valoare. Pentru a determina suma tuturor unghiurilor sale, va trebui să utilizați formula: 180º * (n - 2). Aici n este numărul de vârfuri ale figurii, adică 6. Un calcul simplu dă o valoare de 720º. Deci fiecare unghi este de 120 de grade.

În activitățile de zi cu zi, un hexagon obișnuit se găsește într-un fulg de zăpadă și o nucă. Chimiștii îl văd chiar și în molecula de benzen.

Ce proprietăți trebuie să știți când rezolvați probleme?

La cele menționate mai sus trebuie adăugat:

• diagonalele figurii, trasate prin centru, o împart în șase triunghiuri, care sunt echilaterale;
• latura unui hexagon regulat are o valoare care coincide cu raza cercului circumscris din jurul lui;
• folosind o astfel de cifră, este posibil să umpleți planul și între ele nu vor exista goluri și suprapuneri.

Notație introdusă

În mod tradițional, latura unei figuri geometrice obișnuite este desemnată cu litera latină „a”. Pentru rezolvarea problemelor sunt necesare, de asemenea, aria și perimetrul, acestea fiind S și, respectiv, P. Un cerc este înscris într-un hexagon obișnuit sau circumscris în jurul acestuia. Apoi sunt introduse valori pentru razele lor. Ele sunt notate respectiv cu literele r și R.

În unele formule, apar un unghi intern, un semiperimetru și o apotema (care este o perpendiculară pe mijlocul oricărei laturi din centrul poligonului). Pentru ele se folosesc litere: α, p, m.

Formule care descriu o formă

Pentru a calcula raza unui cerc înscris, aveți nevoie de următoarele: r= (a * √3) / 2 și r = m. Adică aceeași formulă va fi și pentru apotema.

Deoarece perimetrul unui hexagon este suma tuturor laturilor, se va determina astfel: P = 6 * a. Având în vedere că latura este egală cu raza cercului circumscris, pentru perimetru există o astfel de formulă pentru un hexagon regulat: P \u003d 6 * R. Din cea dată pentru raza cercului înscris, relația dintre un iar r este derivat. Atunci formula ia următoarea formă: Р = 4 r * √3.

Pentru aria unui hexagon obișnuit, acest lucru ar putea fi util: S = p * r = (a 2 * 3 √3) / 2.

Sarcini

Nr. 1. Stare. Există o prismă hexagonală regulată, fiecare margine este egală cu 4 cm. În ea este înscris un cilindru, al cărui volum trebuie determinat.

Soluţie. Volumul unui cilindru este definit ca produsul dintre suprafața bazei și înălțimea. Acesta din urmă coincide cu marginea prismei. Și este egal cu latura unui hexagon obișnuit. Adică și înălțimea cilindrului este de 4 cm.

Pentru a afla aria bazei sale, trebuie să calculați raza cercului înscris în hexagon. Formula pentru aceasta este prezentată mai sus. Deci r = 2√3 (cm). Apoi aria cercului: S \u003d π * r 2 \u003d 3,14 * (2√3) 2 \u003d 37,68 (cm 2).

Răspuns. V \u003d 150,72 cm 3.

Nr. 2. Stare. Calculați raza unui cerc care este înscris într-un hexagon regulat. Se știe că latura lui este √3 cm.Care va fi perimetrul lui?

Soluţie. Această sarcină necesită utilizarea a două dintre formulele de mai sus. Mai mult, acestea trebuie aplicate fără nici măcar modificări, doar înlocuiți valoarea laturii și calculați.

Astfel, raza cercului înscris se dovedește a fi de 1,5 cm. Pentru perimetru, următoarea valoare se dovedește a fi corectă: 6√3 cm.

Răspuns. r = 1,5 cm, Р = 6√3 cm.

Nr. 3. Stare. Raza cercului circumscris este de 6 cm.Ce valoare va avea latura unui hexagon regulat in acest caz?

Soluţie. Din formula pentru raza unui cerc înscris într-un hexagon, se obține cu ușurință cea prin care trebuie calculată latura. Este clar că raza este înmulțită cu doi și împărțită la rădăcina a trei. Este necesar să scăpăm de iraționalitatea din numitor. Prin urmare, rezultatul acțiunilor ia următoarea formă: (12 √3) / (√3 * √3), adică 4√3.

Răspuns. a = 4√3 cm.