cea mai mare divizor comun iar cel mai mic multiplu comun sunt concepte aritmetice cheie care vă permit să operați fără efort fracții obișnuite. LCM și sunt cel mai adesea folosite pentru a găsi numitorul comun al mai multor fracții.

Noțiuni de bază

Împărțitorul unui număr întreg X este un alt număr întreg Y prin care X este divizibil fără rest. De exemplu, divizorul lui 4 este 2, iar 36 este 4, 6, 9. Un multiplu al întregului X este un număr Y care este divizibil cu X fără rest. De exemplu, 3 este un multiplu al lui 15, iar 6 este un multiplu al lui 12.

Pentru orice pereche de numere, putem găsi divizorii și multiplii lor comuni. De exemplu, pentru 6 și 9, multiplu comun este 18, iar divizorul comun este 3. Evident, perechile pot avea mai mulți divizori și multipli, astfel încât în ​​calcule se folosesc cel mai mare divizor al MCD și cel mai mic multiplu al LCM. .

Cel mai mic divizor nu are sens, deoarece pentru orice număr este întotdeauna unul. Cel mai mare multiplu este, de asemenea, lipsit de sens, deoarece succesiunea multiplilor tinde spre infinit.

Găsirea GCD

Există multe metode pentru a găsi cel mai mare divizor comun, dintre care cele mai faimoase sunt:

• enumerarea secvențială a divizorilor, selectarea celor comuni pentru o pereche și căutarea celui mai mare dintre ei;
• descompunerea numerelor în factori indivizibili;
• algoritmul lui Euclid;
• algoritm binar.

Astăzi la institutii de invatamant Cele mai populare metode sunt descompunerea în factori primiși algoritmul lui Euclid. Acesta din urmă, la rândul său, este folosit în rezolvarea ecuațiilor diofantine: căutarea GCD este necesară pentru a verifica ecuația pentru posibilitatea de a o rezolva în numere întregi.

Găsirea NOC

Cel mai mic multiplu comun este, de asemenea, determinat exact de enumerarea iterativă sau factorizarea în factori indivizibili. În plus, este ușor să găsiți LCM dacă cel mai mare divizor a fost deja determinat. Pentru numerele X și Y, LCM și GCD sunt legate prin următoarea relație:

LCM(X,Y) = X × Y / GCM(X,Y).

De exemplu, dacă mcd(15,18) = 3, atunci LCM(15,18) = 15 × 18 / 3 = 90. Cea mai evidentă utilizare a LCM este de a găsi numitorul comun, care este cel mai mic multiplu comun al fracții date.

Numerele coprime

Dacă o pereche de numere nu are divizori comuni, atunci o astfel de pereche se numește coprim. MCG pentru astfel de perechi este întotdeauna egal cu unu și, pe baza conexiunii dintre divizori și multipli, MCM pentru coprime este egal cu produsul lor. De exemplu, numerele 25 și 28 sunt între prime, deoarece nu au divizori comuni, iar LCM(25, 28) = 700, care corespunde produsului lor. Orice două numere indivizibile vor fi întotdeauna coprime.

Divizor comun și calculator multiplu

Cu calculatorul nostru puteți calcula GCD și LCM pentru orice număr de numere din care să alegeți. Sarcinile pentru calcularea divizorilor comuni și multiplilor se găsesc în aritmetica claselor 5 și 6, cu toate acestea, GCD și LCM sunt conceptele cheie ale matematicii și sunt utilizate în teoria numerelor, planimetrie și algebra comunicativă.

Exemple din viața reală

Numitorul comun al fracțiilor

Cel mai mic multiplu comun este folosit la găsirea numitorului comun al mai multor fracții. Să presupunem că într-o problemă de aritmetică este necesar să însumăm 5 fracții:

1/8 + 1/9 + 1/12 + 1/15 + 1/18.

Pentru a adăuga fracții, expresia trebuie redusă la un numitor comun, care se reduce la problema găsirii LCM. Pentru a face acest lucru, selectați 5 numere în calculator și introduceți valorile numitorului în celulele corespunzătoare. Programul va calcula LCM (8, 9, 12, 15, 18) = 360. Acum trebuie să calculați factori suplimentari pentru fiecare fracție, care sunt definiți ca raportul dintre LCM și numitorul. Deci, multiplicatorii suplimentari ar arăta astfel:

• 360/8 = 45
• 360/9 = 40
• 360/12 = 30
• 360/15 = 24
• 360/18 = 20.

După aceea, înmulțim toate fracțiile cu factorul suplimentar corespunzător și obținem:

45/360 + 40/360 + 30/360 + 24/360 + 20/360.

Putem adăuga cu ușurință astfel de fracții și obținem rezultatul sub forma 159/360. Reducem fracția cu 3 și vedem răspunsul final - 53/120.

Rezolvarea ecuațiilor diofantine liniare

Ecuațiile diofantine liniare sunt expresii de forma ax + by = d. Dacă raportul d / mcd(a, b) este un număr întreg, atunci ecuația este rezolvabilă în numere întregi. Să verificăm câteva ecuații pentru posibilitatea unei soluții întregi. Mai întâi, verificați ecuația 150x + 8y = 37. Folosind un calculator, găsim mcd (150,8) = 2. Împărțiți 37/2 = 18,5. Numărul nu este un întreg, prin urmare, ecuația nu are rădăcini întregi.

Să verificăm ecuația 1320x + 1760y = 10120. Folosește un calculator pentru a găsi mcd(1320, 1760) = 440. Împărțim 10120/440 = 23. Ca rezultat, obținem un număr întreg, prin urmare, ecuația diofantină este coeficienți solubil în ineficienți. .

Concluzie

GCD și LCM joacă un rol important în teoria numerelor, iar conceptele în sine sunt utilizate pe scară largă în diferite domenii ale matematicii. Utilizați calculatorul nostru pentru a calcula cei mai mari divizori și cei mai mici multipli ai oricărui număr de numere.

Materialul prezentat mai jos este o continuare logică a teoriei din articol la rubrica LCM - cel mai mic multiplu comun, definiție, exemple, relație dintre LCM și GCD. Aici vom vorbi despre găsirea celui mai mic multiplu comun (LCM), și acordați o atenție deosebită rezolvării exemplelor. Să arătăm mai întâi cum se calculează LCM a două numere în funcție de MCD-ul acestor numere. Apoi, luați în considerare găsirea celui mai mic multiplu comun prin factorizarea numerelor în factori primi. După aceea, ne vom concentra pe găsirea LCM a trei sau mai multe numere și, de asemenea, acordăm atenție calculului LCM a numerelor negative.

Navigare în pagină.

Calculul cel mai mic multiplu comun (LCM) prin mcd

O modalitate de a găsi cel mai mic multiplu comun se bazează pe relația dintre LCM și GCD. Relația existentă între LCM și GCD vă permite să calculați cel mai mic multiplu comun a două numere întregi pozitive prin cel mai mare divizor comun cunoscut. Formula corespunzătoare are forma LCM(a, b)=a b: MCM(a, b) . Luați în considerare exemple de găsire a LCM conform formulei de mai sus.

Exemplu.

Aflați cel mai mic multiplu comun al celor două numere 126 și 70.

Soluţie.

În acest exemplu a=126, b=70. Să folosim relația dintre LCM și GCD exprimată prin formula LCM(a, b)=a b: MCM(a, b). Adică, mai întâi trebuie să găsim cel mai mare divizor comun al numerelor 70 și 126, după care putem calcula LCM-ul acestor numere conform formulei scrise.

Găsiți mcd(126, 70) folosind algoritmul lui Euclid: 126=70 1+56 , 70=56 1+14 , 56=14 4 , deci mcd(126, 70)=14 .

Acum găsim cel mai mic multiplu comun necesar: LCM(126; 70)=126 70: MCM(126; 70)= 126 70:14=630.

Răspuns:

LCM(126, 70)=630.

Exemplu.

Ce este LCM(68, 34)?

Soluţie.

pentru că 68 este divizibil egal cu 34 , apoi mcd(68, 34)=34 . Acum calculăm cel mai mic multiplu comun: LCM(68, 34)=68 34: LCM(68, 34)= 68 34:34=68.

Răspuns:

LCM(68, 34)=68 .

Rețineți că exemplul anterior se potrivește cu următoarea regulă pentru găsirea LCM pentru numerele întregi pozitive a și b: dacă numărul a este divizibil cu b, atunci cel mai mic multiplu comun al acestor numere este a.

Găsirea LCM prin factorizarea numerelor în factori primi

O altă modalitate de a găsi cel mai mic multiplu comun se bazează pe factorizarea numerelor în factori primi. Dacă facem un produs al tuturor factorilor primi ai acestor numere, după care excludem din acest produs toți factorii primi comuni care sunt prezenți în expansiunile acestor numere, atunci produsul rezultat va fi egal cu cel mai mic multiplu comun al acestor numere.

Din egalitate rezultă regula anunțată pentru găsirea LCM LCM(a, b)=a b: MCM(a, b). Într-adevăr, produsul numerelor a și b este egal cu produsul tuturor factorilor implicați în expansiunile numerelor a și b. La rândul său, gcd(a, b) este egal cu produsul toți factorii primi care sunt prezenți simultan în expansiunile numerelor a și b (care este descris în secțiunea despre găsirea GCD folosind descompunerea numerelor în factori primi).

Să luăm un exemplu. Să știm că 75=3 5 5 și 210=2 3 5 7 . Alcătuiți produsul tuturor factorilor acestor expansiuni: 2 3 3 5 5 5 7 . Acum excludem din acest produs toți factorii care sunt prezenți atât în ​​extinderea numărului 75, cât și în extinderea numărului 210 (acești factori sunt 3 și 5), atunci produsul va lua forma 2 3 5 5 7 . Valoarea acestui produs este egală cu cel mai mic multiplu comun al numerelor 75 și 210, adică LCM(75, 210)= 2 3 5 5 7=1 050.

Exemplu.

După descompunerea numerelor 441 și 700 în factori primi, găsește cel mai mic multiplu comun al acestor numere.

Soluţie.

Să descompunem numerele 441 și 700 în factori primi:

Se obține 441=3 3 7 7 și 700=2 2 5 5 7 .

Acum să facem un produs al tuturor factorilor implicați în expansiunile acestor numere: 2 2 3 3 5 5 7 7 7 . Să excludem din acest produs toți factorii care sunt prezenți simultan în ambele expansiuni (există un singur astfel de factor - acesta este numărul 7): 2 2 3 3 5 5 7 7 . În acest fel, LCM(441, 700)=2 2 3 3 5 5 7 7=44 100.

Răspuns:

LCM(441, 700)= 44 100 .

Regula pentru găsirea LCM folosind descompunerea numerelor în factori primi poate fi formulată puțin diferit. Dacă adunăm factorii lipsă din extinderea numărului b la factorii din descompunerea numărului a, atunci valoarea produsului rezultat va fi egală cu cel mai mic multiplu comun al numerelor a și b..

De exemplu, să luăm aceleași numere 75 și 210, expansiunile lor în factori primi sunt după cum urmează: 75=3 5 5 și 210=2 3 5 7 . La factorii 3, 5 și 5 din descompunerea numărului 75, adăugăm factorii lipsă 2 și 7 din descompunerea numărului 210, obținem produsul 2 3 5 5 7 , a cărui valoare este LCM(75 , 210).

Exemplu.

Aflați cel mai mic multiplu comun al lui 84 ​​și 648.

Soluţie.

Obținem mai întâi descompunerea numerelor 84 și 648 în factori primi. Ele arată ca 84=2 2 3 7 și 648=2 2 2 3 3 3 3 . La factorii 2 , 2 , 3 și 7 din descompunerea numărului 84 ​​adăugăm factorii lipsă 2 , 3 , 3 și 3 din descompunerea numărului 648 , obținem produsul 2 2 2 3 3 3 3 7 , care este egal cu 4 536 . Astfel, cel mai mic multiplu comun dorit al numerelor 84 și 648 este 4.536.

Răspuns:

LCM(84, 648)=4 536 .

Găsirea LCM a trei sau mai multe numere

Cel mai mic multiplu comun de trei sau mai multe numere poate fi găsit prin găsirea succesivă a LCM a două numere. Amintiți-vă teorema corespunzătoare, care oferă o modalitate de a găsi LCM a trei sau mai multe numere.

Teorema.

Să fie date numere întregi pozitive a 1 , a 2 , …, a k, cel mai mic multiplu comun m k dintre aceste numere se găsește în calculul secvenţial m 2 = LCM (a 1 , a 2) , m 3 = LCM (m 2 , a 3) , … , m k =LCM(m k−1 , a k) .

Luați în considerare aplicarea acestei teoreme pe exemplul găsirii celui mai mic multiplu comun al patru numere.

Exemplu.

Aflați LCM a celor patru numere 140 , 9 , 54 și 250 .

Soluţie.

În acest exemplu a 1 =140 , a 2 =9 , a 3 =54 , a 4 =250 .

Mai întâi găsim m 2 \u003d LCM (a 1, a 2) \u003d LCM (140, 9). Pentru a face acest lucru, folosind algoritmul euclidian, determinăm mcd(140, 9) , avem 140=9 15+5 , 9=5 1+4 , 5=4 1+1 , 4=1 4 , prin urmare, mcd( 140, 9)=1, de unde LCM(140, 9)=140 9: LCM(140, 9)= 140 9:1=1260. Adică m2 =1 260 .

Acum găsim m 3 \u003d LCM (m 2, a 3) \u003d LCM (1 260, 54). Să o calculăm prin mcd(1 260, 54) , care este determinată și de algoritmul Euclid: 1 260=54 23+18 , 54=18 3 . Atunci mcd(1 260, 54)=18 , de unde LCM(1 260, 54)= 1 260 54:gcd(1 260, 54)= 1 260 54:18=3 780 . Adică m 3 \u003d 3 780.

Rămas de găsit m 4 \u003d LCM (m 3, a 4) \u003d LCM (3 780, 250). Pentru a face acest lucru, găsim GCD(3 780, 250) folosind algoritmul Euclid: 3 780=250 15+30 , 250=30 8+10 , 30=10 3 . Prin urmare, mcd(3 780, 250)=10, de unde mcd(3 780, 250)= 3 780 250:gcd(3 780, 250)= 3 780 250:10=94 500 . Adică m 4 \u003d 94 500.

Deci cel mai mic multiplu comun al celor patru numere originale este 94.500.

Răspuns:

LCM(140, 9, 54, 250)=94.500.

În multe cazuri, cel mai mic multiplu comun de trei sau mai multe numere este găsit în mod convenabil utilizând descompunerea în factori primi a numerelor date. În acest caz, trebuie respectată următoarea regulă. Cel mai mic multiplu comun al mai multor numere este egal cu produsul, care se compune astfel: factorii lipsă din extinderea celui de-al doilea număr se adaugă la toți factorii din extinderea primului număr, factorii lipsă din expansiunea primului număr. al treilea număr se adaugă factorilor obținuți și așa mai departe.

Luați în considerare un exemplu de găsire a celui mai mic multiplu comun folosind descompunerea numerelor în factori primi.

Exemplu.

Aflați cel mai mic multiplu comun al cinci numere 84 , 6 , 48 , 7 , 143 .

Soluţie.

Mai întâi, obținem expansiunile acestor numere în factori primi: 84=2 2 3 7 , 6=2 3 , 48=2 2 2 2 3 , 7 factori primi) și 143=11 13 .

Pentru a găsi LCM a acestor numere, la factorii primului număr 84 (sunt 2 , 2 , 3 și 7 ) trebuie să adăugați factorii lipsă din expansiunea celui de-al doilea număr 6 . Extinderea numărului 6 nu conține factori lipsă, deoarece atât 2, cât și 3 sunt deja prezenți în extinderea primului număr 84 . Pe lângă factorii 2 , 2 , 3 și 7 adăugăm factorii 2 și 2 lipsă din expansiunea celui de-al treilea număr 48 , obținem un set de factori 2 , 2 , 2 , 2 , 3 și 7 . Nu este nevoie să adăugați factori la acest set în pasul următor, deoarece 7 este deja conținut în el. În sfârșit, la factorii 2 , 2 , 2 , 2 , 3 și 7 adăugăm factorii 11 și 13 lipsă din expansiunea numărului 143 . Obținem produsul 2 2 2 2 3 7 11 13 , care este egal cu 48 048 .

Al doilea număr: b=

Separator de cifre Fără separator de spațiu „ ´

Rezultat:

Cel mai mare divizor comun mcd( A,b)=6

Cel mai mic multiplu comun al LCM( A,b)=468

Cel mai grozav numar natural, prin care numerele a și b sunt divizibile fără rest, se numește cel mai mare divizor comun(mcd) a acestor numere. Notat mcd(a,b), (a,b), mcd(a,b) sau hcf(a,b).

Cel mai mic multiplu comun(LCM) a două numere întregi a și b este cel mai mic număr natural care este divizibil cu a și b fără rest. Notat LCM(a,b) sau lcm(a,b).

Se numesc numere întregi a și b coprime dacă nu au divizori comuni alții decât +1 și −1.

Cel mai mare divizor comun

Să fie date două numere pozitive A 1 și A 2 1). Este necesar să găsiți un divizor comun al acestor numere, de exemplu. găsiți un astfel de număr λ , care împarte numerele A 1 și A 2 în același timp. Să descriem algoritmul.

1) În acest articol, cuvântul număr va însemna un număr întreg.

Lăsa A 1 ≥ A 2 si lasa

Unde m 1 , A 3 sunt niște numere întregi, A 3 <A 2 (restul din diviziune A 1 pe A 2 ar trebui să fie mai puțin A 2).

Să ne prefacem că λ desparte A 1 și A 2, atunci λ desparte m 1 A 2 și λ desparte A 1 −m 1 A 2 =A 3 (Aserțiunea 2 din articolul „Divizibilitatea numerelor. Semnul divizibilității”). Rezultă că fiecare divizor comun A 1 și A 2 este un divizor comun A 2 și A 3 . Este adevărat și invers dacă λ divizor comun A 2 și A 3, atunci m 1 A 2 și A 1 =m 1 A 2 +A 3 sunt de asemenea împărțite în λ . De aici și divizorul comun A 2 și A 3 este, de asemenea, un divizor comun A 1 și A 2. pentru că A 3 <A 2 ≤A 1 , atunci putem spune că soluția problemei găsirii unui divizor comun al numerelor A 1 și A 2 redus la o problemă mai simplă de găsire a unui divizor comun al numerelor A 2 și A 3 .

În cazul în care un A 3 ≠0, atunci putem împărți A 2 pe A 3 . Apoi

,

Unde m 1 și A 4 sunt niște numere întregi, ( A 4 restul diviziei A 2 pe A 3 (A 4 <A 3)). Prin raționament similar, ajungem la concluzia că divizorii comuni ai numerelor A 3 și A 4 este același cu divizorii comuni ai numerelor A 2 și A 3 și, de asemenea, cu divizori comuni A 1 și A 2. pentru că A 1 , A 2 , A 3 , A 4 , ... numere care sunt în continuă scădere și, deoarece există un număr finit de numere întregi între A 2 și 0, apoi la un pas n, restul diviziei A non A n+1 va fi egal cu zero ( A n+2=0).

.

Fiecare divizor comun λ numere A 1 și A 2 este, de asemenea, un divizor de numere A 2 și A 3 , A 3 și A 4 , .... A n și A n+1. Este adevărat și invers, divizori comuni ai numerelor A n și A n+1 sunt și divizori de numere A n−1 și A n , .... , A 2 și A 3 , A 1 și A 2. Dar divizorul comun A n și A n+1 este un număr A n+1, deoarece A n și A n+1 sunt divizibile cu A n+1 (reamintim că A n+2=0). prin urmare A n+1 este, de asemenea, un divizor de numere A 1 și A 2 .

Rețineți că numărul A n+1 este cel mai mare divizor al numărului A n și A n+1 , deoarece cel mai mare divizor A n+1 este el însuși A n+1. În cazul în care un A n + 1 poate fi reprezentat ca un produs de numere întregi, atunci aceste numere sunt și divizori comuni ai numerelor A 1 și A 2. Număr A sunt numite n+1 cel mai mare divizor comun numere A 1 și A 2 .

Numerele A 1 și A 2 poate fi atât numere pozitive, cât și numere negative. Dacă unul dintre numere este egal cu zero, atunci cel mai mare divizor comun al acestor numere va fi egal cu valoarea absolută a celuilalt număr. Cel mai mare divizor comun al numerelor zero nu este definit.

Algoritmul de mai sus este numit algoritmul lui Euclid pentru a găsi cel mai mare divizor comun a două numere întregi.

Un exemplu de găsire a celui mai mare divizor comun a două numere

Aflați cel mai mare divizor comun al două numere 630 și 434.

• Pasul 1. Împărțiți numărul 630 la 434. Restul este 196.
• Pasul 2. Împărțiți numărul 434 la 196. Restul este 42.
• Pasul 3. Împarte numărul 196 la 42. Restul este 28.
• Pasul 4. Împărțiți numărul 42 la 28. Restul este 14.
• Pasul 5. Împarte numărul 28 la 14. Restul este 0.

La pasul 5, restul diviziunii este 0. Prin urmare, cel mai mare divizor comun al numerelor 630 și 434 este 14. Rețineți că numerele 2 și 7 sunt, de asemenea, divizori ai numerelor 630 și 434.

Numerele coprime

Definiție 1. Fie cel mai mare divizor comun al numerelor A 1 și A 2 este egal cu unu. Apoi aceste numere sunt numite numere coprime care nu au un divizor comun.

Teorema 1. În cazul în care un A 1 și A 2 numere prime relativ și λ un număr, apoi orice divizor comun al numerelor λa 1 și A 2 este, de asemenea, un divizor comun al numerelor λ și A 2 .

Dovada. Luați în considerare algoritmul lui Euclid pentru găsirea celui mai mare divizor comun al numerelor A 1 și A 2 (vezi mai sus).

.

Din condițiile teoremei rezultă că cel mai mare divizor comun al numerelor A 1 și A 2 și, prin urmare A n și A n+1 este 1. I.e. A n+1=1.

Să înmulțim toate aceste egalități cu λ , apoi

.

Fie divizorul comun A 1 λ și A 2 este δ . Apoi δ intră ca factor în A 1 λ , m 1 A 2 λ si in A 1 λ -m 1 A 2 λ =A 3 λ (Vezi „Divizibilitatea numerelor”, Afirmația 2). Mai departe δ intră ca factor în A 2 λ și m 2 A 3 λ , și deci intră ca factor în A 2 λ -m 2 A 3 λ =A 4 λ .

Raţionând în acest fel, suntem convinşi că δ intră ca factor în A n−1 λ și m n−1 A n λ , și deci în A n−1 λ −m n−1 A n λ =A n+1 λ . pentru că A n+1 =1, atunci δ intră ca factor în λ . De aici și numărul δ este un divizor comun al numerelor λ și A 2 .

Luați în considerare cazuri speciale ale teoremei 1.

Consecinţă 1. Lăsa Ași c numerele prime sunt relativ b. Apoi produsul lor ac este un număr prim în raport cu b.

Într-adevăr. Din teorema 1 acși b au aceiași divizori comuni ca cși b. Dar cifrele cși b coprim, adică au un singur divizor comun 1. Atunci acși b au de asemenea un singur divizor comun 1. Prin urmare acși b reciproc simple.

Consecinţă 2. Lăsa Ași b numere coprime și fie b desparte ak. Apoi b desparte si k.

Într-adevăr. Din condiția de afirmare akși b au un divizor comun b. În virtutea teoremei 1, b trebuie să fie un divizor comun bși k. prin urmare b desparte k.

Corolarul 1 poate fi generalizat.

Consecinţă 3. 1. Lasă numerele A 1 , A 2 , A 3 , ..., A m sunt prime în raport cu numărul b. Apoi A 1 A 2 , A 1 A 2 · A 3 , ..., A 1 A 2 A 3 ··· A m , produsul acestor numere este prim în raport cu numărul b.

2. Să avem două rânduri de numere

astfel încât fiecare număr din primul rând este prim în raport cu fiecare număr din al doilea rând. Apoi produsul

Este necesar să găsiți astfel de numere care sunt divizibile cu fiecare dintre aceste numere.

Dacă numărul este divizibil cu A 1, atunci se pare că sa 1, unde s oarecare număr. În cazul în care un q este cel mai mare divizor comun al numerelor A 1 și A 2, atunci

Unde s 1 este un număr întreg. Apoi

este cel mai mic multiplu comun al numerelor A 1 și A 2 .

A 1 și A 2 coprime, apoi cel mai mic multiplu comun al numerelor A 1 și A 2:

Găsiți cel mai mic multiplu comun al acestor numere.

Din cele de mai sus rezultă că orice multiplu al numerelor A 1 , A 2 , A 3 trebuie să fie un multiplu de numere ε și A 3 și invers. Fie cel mai mic multiplu comun al numerelor ε și A 3 este ε unu . În plus, un multiplu de numere A 1 , A 2 , A 3 , A 4 trebuie să fie un multiplu de numere ε 1 și A patru . Fie cel mai mic multiplu comun al numerelor ε 1 și A 4 este ε 2. Astfel, am aflat că toți multiplii numerelor A 1 , A 2 , A 3 ,...,A m coincid cu multiplii unui anumit număr ε n, care se numește cel mai mic multiplu comun al numerelor date.

În cazul particular când numerele A 1 , A 2 , A 3 ,...,A m coprim, apoi cel mai mic multiplu comun al numerelor A 1 , A 2 după cum se arată mai sus are forma (3). Mai departe, din moment ce A 3 prim față de numere A 1 , A 2, atunci A 3 este un număr relativ prim A unu · A 2 (Corolarul 1). Deci cel mai mic multiplu comun al numerelor A 1 ,A 2 ,A 3 este un număr A unu · A 2 · A 3 . Argumentând în mod similar, ajungem la următoarele afirmații.

Afirmație 1. Cel mai mic multiplu comun al numerelor coprime A 1 , A 2 , A 3 ,...,A m este egal cu produsul lor A unu · A 2 · A 3 ··· A m .

Afirmație 2. Orice număr care este divizibil cu fiecare dintre numerele coprime A 1 , A 2 , A 3 ,...,A m este de asemenea divizibil cu produsul lor A unu · A 2 · A 3 ··· A m .

Calculatorul online vă permite să găsiți rapid cel mai mare divizor comun și cel mai mic multiplu comun de două sau orice alt număr de numere.

Calculator pentru găsirea GCD și NOC

Găsiți GCD și NOC

GCD și NOC găsite: 5806

Cum se folosește calculatorul

• Introduceți numere în câmpul de introducere
• În cazul introducerii unor caractere incorecte, câmpul de introducere va fi evidențiat cu roșu
• apăsați butonul „Găsiți GCD și NOC”

Cum se introduc numerele

• Numerele sunt introduse separate prin spații, puncte sau virgule
• Lungimea numerelor introduse nu este limitată, deci găsirea mcd și mcm al numerelor lungi nu va fi dificilă

Ce este NOD și NOK?

Cel mai mare divizor comun a mai multor numere este cel mai mare întreg natural prin care toate numerele originale sunt divizibile fără rest. Cel mai mare divizor comun este prescurtat ca GCD.
Cel mai mic multiplu comun mai multe numere este cel mai mic număr care este divizibil cu fiecare dintre numerele originale fără rest. Cel mai mic multiplu comun este prescurtat ca NOC.

Cum se verifică dacă un număr este divizibil cu un alt număr fără rest?

Pentru a afla dacă un număr este divizibil cu altul fără rest, puteți folosi unele proprietăți de divizibilitate a numerelor. Apoi, combinându-le, se poate verifica divizibilitatea după unele dintre ele și combinațiile lor.

Câteva semne de divizibilitate a numerelor

1. Semnul divizibilității unui număr cu 2
Pentru a determina dacă un număr este divizibil cu doi (dacă este par), este suficient să ne uităm la ultima cifră a acestui număr: dacă este egal cu 0, 2, 4, 6 sau 8, atunci numărul este par, ceea ce înseamnă că este divizibil cu 2.
Exemplu: determinați dacă numărul 34938 este divizibil cu 2.
Soluţie: uită-te la ultima cifră: 8 înseamnă că numărul este divizibil cu doi.

2. Semnul divizibilității unui număr cu 3
Un număr este divizibil cu 3 când suma cifrelor sale este divizibil cu 3. Astfel, pentru a determina dacă un număr este divizibil cu 3, trebuie să calculați suma cifrelor și să verificați dacă este divizibil cu 3. Chiar dacă suma cifrelor s-a dovedit a fi foarte mare, puteți repeta același proces din nou.
Exemplu: determinați dacă numărul 34938 este divizibil cu 3.
Soluţie: numărăm suma cifrelor: 3+4+9+3+8 = 27. 27 este divizibil cu 3, ceea ce înseamnă că numărul este divizibil cu trei.

3. Semnul divizibilității unui număr cu 5
Un număr este divizibil cu 5 când ultima lui cifră este zero sau cinci.
Exemplu: determinați dacă numărul 34938 este divizibil cu 5.
Soluţie: uită-te la ultima cifră: 8 înseamnă că numărul NU este divizibil cu cinci.

4. Semnul divizibilității unui număr cu 9
Acest semn este foarte asemănător cu semnul divizibilității cu trei: un număr este divizibil cu 9 când suma cifrelor sale este divizibil cu 9.
Exemplu: determinați dacă numărul 34938 este divizibil cu 9.
Soluţie: calculăm suma cifrelor: 3+4+9+3+8 = 27. 27 este divizibil cu 9, ceea ce înseamnă că numărul este divizibil cu nouă.

Cum să găsiți MCD și LCM a două numere

Cum să găsiți GCD-ul a două numere

Cel mai simplu mod de a calcula cel mai mare divizor comun a două numere este de a găsi toți divizorii posibili ai acestor numere și de a alege cel mai mare dintre ei.

Luați în considerare această metodă folosind exemplul de găsire a GCD(28, 36):

1. Factorizăm ambele numere: 28 = 1 2 2 7 , 36 = 1 2 2 3 3
2. Găsim factori comuni, adică cei pe care ambele numere îi au: 1, 2 și 2.
3. Calculăm produsul acestor factori: 1 2 2 \u003d 4 - acesta este cel mai mare divizor comun al numerelor 28 și 36.

Cum se găsește LCM a două numere

Există două modalități cele mai comune de a găsi cel mai mic multiplu a două numere. Prima modalitate este că puteți scrie primii multipli ai două numere și apoi alegeți dintre ei un astfel de număr care va fi comun ambelor numere și, în același timp, cel mai mic. Și al doilea este să găsiți GCD-ul acestor numere. Să ne gândim doar la asta.

Pentru a calcula LCM, trebuie să calculați produsul numerelor originale și apoi să îl împărțiți la GCD găsit anterior. Să găsim LCM pentru aceleași numere 28 și 36:

1. Aflați produsul numerelor 28 și 36: 28 36 = 1008
2. gcd(28, 36) este deja cunoscut ca fiind 4
3. LCM(28, 36) = 1008 / 4 = 252 .

Găsirea GCD și LCM pentru numere multiple

Cel mai mare divizor comun poate fi găsit pentru mai multe numere și nu doar pentru două. Pentru aceasta, numerele care trebuie căutate după cel mai mare divizor comun sunt descompuse în factori primi, apoi se găsește produsul factorilor primi comuni ai acestor numere. De asemenea, pentru a găsi GCD-ul mai multor numere, puteți utiliza următoarea relație: mcd(a, b, c) = mcd(mcd(a, b), c).

O relație similară se aplică și celui mai mic multiplu comun de numere: LCM(a, b, c) = LCM(LCM(a, b), c)

Exemplu: găsiți GCD și LCM pentru numerele 12, 32 și 36.

1. Mai întâi, să factorizăm numerele: 12 = 1 2 2 3 , 32 = 1 2 2 2 2 2 , 36 = 1 2 2 3 3 .
2. Să găsim factori comuni: 1, 2 și 2 .
3. Produsul lor va da mcd: 1 2 2 = 4
4. Acum să găsim LCM: pentru aceasta găsim mai întâi LCM(12, 32): 12 32 / 4 = 96 .
5. Pentru a găsi LCM a tuturor celor trei numere, trebuie să găsiți MCD(96, 36): 96 = 1 2 2 2 2 2 3 , 36 = 1 2 2 3 3 , MCD = 1 2 . 2 3 = 12 .
6. LCM(12, 32, 36) = 96 36 / 12 = 288 .

Elevii primesc o mulțime de teme de matematică. Printre acestea, de foarte multe ori există sarcini cu următoarea formulare: există două valori. Cum să găsiți cel mai mic multiplu comun al numerelor date? Este necesar să puteți îndeplini astfel de sarcini, deoarece abilitățile dobândite sunt folosite pentru a lucra cu fracții cu numitori diferiți. În articol, vom analiza cum să găsim LCM și conceptele de bază.

Înainte de a găsi răspunsul la întrebarea cum să găsiți LCM, trebuie să definiți termenul multiplu. Cel mai adesea, formularea acestui concept este următoarea: un multiplu al unei valori A este un număr natural care va fi divizibil cu A fără rest. Deci, pentru 4, 8, 12, 16, 20 și așa mai departe, până la limita necesară.

În acest caz, numărul de divizori pentru o anumită valoare poate fi limitat și există infiniti multipli. Există, de asemenea, aceeași valoare pentru valorile naturale. Acesta este un indicator care este împărțit de ei fără rest. După ce ne-am ocupat de conceptul de cea mai mică valoare pentru anumiți indicatori, să trecem la cum să o găsim.

Găsirea NOC

Cel mai mic multiplu de doi sau mai mulți exponenți este cel mai mic număr natural care este în întregime divizibil cu toate numerele date.

Există mai multe modalități de a găsi o astfel de valoare. Să luăm în considerare următoarele metode:

1. Dacă numerele sunt mici, atunci scrieți în linie toate divizibile cu ea. Continuați să faceți asta până când găsiți ceva în comun între ei. În înregistrare, ele sunt notate cu litera K. De exemplu, pentru 4 și 3, cel mai mic multiplu este 12.
2. Dacă acestea sunt mari sau trebuie să găsiți un multiplu pentru 3 sau mai multe valori, atunci ar trebui să utilizați o tehnică diferită aici, care implică descompunerea numerelor în factori primi. Mai întâi, așezați cel mai mare dintre cei indicați, apoi toate celelalte. Fiecare dintre ele are propriul său număr de multiplicatori. De exemplu, să descompunăm 20 (2*2*5) și 50 (5*5*2). Pentru cei mai mici dintre ei, subliniază factorii și adaugă la cei mai mari. Rezultatul va fi 100, care va fi cel mai mic multiplu comun al numerelor de mai sus.
3. La găsirea a 3 numere (16, 24 și 36) principiile sunt aceleași ca și pentru celelalte două. Să extindem fiecare dintre ele: 16 = 2*2*2*2, 24=2*2*2*3, 36=2*2*3*3. Doar doi doi din expansiunea numărului 16 nu au fost incluse în descompunerea celor mai mari.Le adunăm și obținem 144, care este cel mai mic rezultat pentru valorile numerice indicate anterior.

Acum știm care este tehnica generală pentru găsirea celei mai mici valori pentru două, trei sau mai multe valori. Cu toate acestea, există și metode private, ajutând la căutarea NOC-urilor, dacă cele anterioare nu ajută.

Cum să găsiți GCD și NOC.

Modalități private de a găsi

Ca și în cazul oricărei secțiuni matematice, există cazuri speciale de găsire a LCM-urilor care ajută în situații specifice:

• dacă unul dintre numere este divizibil cu celelalte fără rest, atunci cel mai mic multiplu al acestor numere este egal cu acesta (NOC 60 și 15 este egal cu 15);
• Numerele coprime nu au divizori primi comuni. Cea mai mică valoare a acestora este egală cu produsul acestor numere. Astfel, pentru numerele 7 și 8, acesta va fi 56;
• aceeași regulă funcționează și pentru alte cazuri, inclusiv cele speciale, despre care se poate citi în literatura de specialitate. Acestea ar trebui să includă și cazurile de descompunere a numerelor compuse, care fac obiectul unor articole separate și chiar al lucrărilor de doctorat.

Cazurile speciale sunt mai puțin frecvente decât exemplele standard. Dar datorită lor, puteți învăța cum să lucrați cu fracții de diferite grade de complexitate. Acest lucru este valabil mai ales pentru fracții., unde există numitori diferiți.

Cateva exemple

Să ne uităm la câteva exemple, datorită cărora puteți înțelege principiul găsirii celui mai mic multiplu:

1. Găsim LCM (35; 40). Așezăm mai întâi 35 = 5*7, apoi 40 = 5*8. Adăugăm 8 la cel mai mic număr și obținem NOC 280.
2. NOC (45; 54). Așezăm fiecare dintre ele: 45 = 3*3*5 și 54 = 3*3*6. Adăugăm numărul 6 la 45. Obținem NOC egal cu 270.
3. Ei bine, ultimul exemplu. Există 5 și 4. Nu există multipli simpli pentru ei, așa că cel mai mic multiplu comun în acest caz va fi produsul lor, egal cu 20.

Datorită exemplelor, puteți înțelege cum este localizat NOC, care sunt nuanțele și care este sensul unor astfel de manipulări.

Găsirea NOC este mult mai ușoară decât ar părea la început. Pentru aceasta, se folosesc atât o descompunere simplă, cât și multiplicarea valorilor simple una cu cealaltă.. Capacitatea de a lucra cu această secțiune a matematicii ajută la studiul ulterioar al subiectelor matematice, în special al fracțiunilor cu diferite grade de complexitate.

Nu uitați să rezolvați periodic exemple cu diferite metode, acest lucru dezvoltă aparatul logic și vă permite să vă amintiți numeroși termeni. Învață metode pentru a găsi un astfel de indicator și vei putea lucra bine cu restul secțiunilor matematice. Învățare fericită la matematică!

Video

Acest videoclip vă va ajuta să înțelegeți și să vă amintiți cum să găsiți cel mai mic multiplu comun.