Diskriminačný je nejednoznačný pojem. Tento článok sa zameria na diskriminant polynómu, ktorý vám umožňuje určiť, či daný polynóm má reálne riešenia. Vzorec pre štvorcový polynóm sa nachádza v školskom kurze algebry a analýzy. Ako nájsť diskriminanta? Čo je potrebné na vyriešenie rovnice?

Nazýva sa kvadratický polynóm alebo rovnica druhého stupňa i * w ^ 2 + j * w + k sa rovná 0, kde "i" a "j" sú prvý a druhý koeficient, "k" je konštanta, niekedy nazývaná "prienik" a "w" je premenná. Jeho koreňmi budú všetky hodnoty premennej, pri ktorej sa premení na identitu. Takáto rovnosť môže byť prepísaná ako súčin i, (w - w1) a (w - w2) rovný 0. V tomto prípade je zrejmé, že ak koeficient "i" nezanikne, potom funkcia na ľavá strana sa stane nulou iba vtedy, ak x nadobudne hodnotu w1 alebo w2. Tieto hodnoty sú výsledkom nastavenia polynómu na nulu.

Na nájdenie hodnoty premennej, pri ktorej štvorcový polynóm zaniká, sa používa pomocná konštrukcia postavená na jej koeficientoch a nazývaná diskriminant. Táto konštrukcia sa vypočíta podľa vzorca D sa rovná j * j - 4 * i * k. Prečo sa používa?

1. Hovorí, či existujú platné výsledky.
2. Pomáha ich vypočítať.

Ako táto hodnota ukazuje prítomnosť skutočných koreňov:

• Ak je kladná, potom môžete nájsť dva korene v oblasti reálnych čísel.
• Ak je diskriminant nula, potom sú obe riešenia rovnaké. Dá sa povedať, že existuje len jedno riešenie, a to z oblasti reálnych čísel.
• Ak je diskriminant menší ako nula, potom polynóm nemá žiadne skutočné korene.

Možnosti výpočtu na upevnenie materiálu

Pre súčet (7 * w^2; 3 * w; 1) rovný 0 vypočítame D podľa vzorca 3 * 3 - 4 * 7 * 1 = 9 - 28 dostaneme -19. Diskriminačná hodnota pod nulou znamená, že na reálnej čiare nie sú žiadne výsledky.

Ak vezmeme do úvahy 2 * w ^ 2 - 3 * w + 1 ekvivalentné 0, potom sa D vypočíta ako (-3) na druhú mínus súčin čísel (4; 2; 1) a rovná sa 9 - 8, teda 1. Kladná hodnota označuje dva výsledky na reálnej čiare.

Ak vezmeme súčet (w^2; 2 * w; 1) a rovnáme sa 0, D sa vypočíta ako dve mocniny mínus súčin čísel (4; 1; 1). Tento výraz sa zjednoduší na 4 - 4 a zmení sa na nulu. Ukazuje sa, že výsledky sú rovnaké. Ak sa pozriete pozorne na tento vzorec, bude jasné, že je to " plné námestie". To znamená, že rovnosť možno prepísať do tvaru (w + 1) ^ 2 = 0. Ukázalo sa, že výsledok v tejto úlohe je „-1“. V situácii, keď sa D rovná 0, ľavá strana rovnosti môže byť vždy zbalená podľa vzorca „druhá mocnina súčtu“.

Použitie diskriminantu na výpočet koreňov

Táto pomocná konštrukcia ukazuje nielen počet reálnych riešení, ale pomáha ich aj nájsť. Všeobecný vzorec výpočet pre rovnicu druhého stupňa je nasledujúci:

w = (-j +/- d) / (2 * i), kde d je diskriminant k mocnine 1/2.

Predpokladajme, že diskriminant je pod nulou, potom d je imaginárne a výsledky sú imaginárne.

D je nula, potom d rovné D mocnine 1/2 je tiež nula. Riešenie: -j / (2 * i). Ak opäť vezmeme do úvahy 1 * w ^ 2 + 2 * w + 1 = 0, nájdeme výsledky ekvivalentné -2 / (2 * 1) = -1.

Predpokladajme, že D > 0, takže d je reálne číslo a odpoveď sa rozdelí na dve časti: w1 = (-j + d) / (2 * i) a w2 = (-j - d) / (2 * i) . Oba výsledky budú platné. Pozrime sa na 2 * w ^ 2 - 3 * w + 1 = 0. Tu sú diskriminanty a d jedničky. Takže w1 je (3 + 1) delené (2 * 2) alebo 1 a w2 je (3 - 1) delené 2 * 2 alebo 1/2.

Výsledok prirovnania štvorcového výrazu k nule sa vypočíta podľa algoritmu:

1. Určenie počtu platných riešení.
2. Výpočet d = D^(1/2).
3. Nájdenie výsledku podľa vzorca (-j +/- d) / (2 * i).
4. Nahradenie prijatého výsledku v počiatočnej rovnosti na kontrolu.

Niektoré špeciálne prípady

V závislosti od koeficientov je možné riešenie trochu zjednodušiť. Je zrejmé, že ak je koeficient pred premennou k druhej mocnine nula, potom sa získa lineárna rovnosť. Keď je koeficient pred premennou nula k prvej mocnine, potom sú možné dve možnosti:

1. polynóm expanduje do rozdielu štvorcov so záporným voľným členom;
2. pre pozitívnu konštantu nemožno nájsť skutočné riešenia.

Ak je voľný člen nula, potom korene budú (0; -j)

Existujú však aj iné špeciálne prípady, ktoré zjednodušujú hľadanie riešenia.

Redukovaná rovnica druhého stupňa

Dané je tzv taký štvorcový trojčlen, kde koeficient pred vedúcim výrazom je jedna. Pre túto situáciu je použiteľná Vietova veta, ktorá hovorí, že súčet koreňov sa rovná koeficientu premennej k prvej mocnine, vynásobenému -1, a súčin zodpovedá konštante „k“.

Preto w1 + w2 sa rovná -j a w1 * w2 sa rovná k, ak je prvý koeficient jedna. Na overenie správnosti takéhoto zobrazenia môžeme z prvého vzorca vyjadriť w2 = -j - w1 a dosadiť ho do druhej rovnosti w1 * (-j - w1) = k. Výsledkom je pôvodná rovnosť w1 ^ 2 + j * w1 + k = 0.

Je dôležité poznamenaťže i * w ^ 2 + j * w + k = 0 možno znížiť vydelením "i". Výsledok bude: w^2 + j1 * w + k1 = 0, kde j1 sa rovná j/i a k1 sa rovná k/i.

Pozrime sa na už vyriešené 2 * w ^ 2 - 3 * w + 1 = 0 s výsledkami w1 = 1 a w2 = 1/2. Je potrebné rozdeliť ho na polovicu, výsledkom čoho je w ^ 2 - 3/2 * w + 1/2 = 0. Skontrolujte, či sú podmienky vety pravdivé pre nájdené výsledky: 1 + 1/2 = 3/2 a 1 * 1/2 = 1/2.

Dokonca aj druhý faktor

Ak je faktor premennej k prvej mocnine (j) deliteľný 2, potom bude možné zjednodušiť vzorec a hľadať riešenie prostredníctvom štvrtiny diskriminantu D / 4 \u003d (j / 2) ^ 2 - i * k. ukazuje sa w = (-j +/- d/2) / i, kde d/2 = D/4 na mocninu 1/2.

Ak i = 1 a koeficient j je párny, potom je riešením súčin -1 a polovice koeficientu v premennej w, plus/mínus odmocnina druhej mocniny tejto polovice mínus konštanta „k“. Vzorec: w = -j / 2 +/- (j ^ 2 / 4 - k) ^ 1/2.

Diskriminácia vyššieho rádu

Vyššie uvedený diskriminant druhého stupňa je najčastejšie používaným špeciálnym prípadom. Vo všeobecnom prípade je diskriminant polynómu násobené štvorce rozdielov koreňov tohto polynómu. Preto diskriminačný nula označuje prítomnosť aspoň dvoch viacnásobných riešení.

Uvažujme i * w ^ 3 + j * w ^ 2 + k * w + m = 0.

D \u003d j ^ 2 * k ^ 2 - 4 * i * k ^ 3 - 4 * i ^ 3 * k - 27 * i ^ 2 * m ^ 2 + 18 * i * j * k * m.

Povedzme, že diskriminant je väčší ako nula. To znamená, že v oblasti reálnych čísel sú tri korene. Pri nule existuje viacero riešení. Ak D< 0, то два корня комплексно-сопряженные, которые дают отрицательное значение при возведении в квадрат, а также один корень — вещественный.

Video

Naše video vám podrobne povie o výpočte diskriminantu.

Nedostali ste odpoveď na svoju otázku? Navrhnite autorom tému.

Poďme pracovať s kvadratické rovnice. Toto sú veľmi populárne rovnice! Vo veľmi všeobecný pohľad kvadratická rovnica vyzerá takto:

Napríklad:

Tu a =1; b = 3; c = -4

Tu a =2; b = -0,5; c = 2,2

Tu a =-3; b = 6; c = -18

No, chápete...

Ako riešiť kvadratické rovnice? Ak máte kvadratickú rovnicu v tomto tvare, potom je všetko jednoduché. Pamätáme si Čarovné slovo diskriminačný . Vzácny stredoškolák toto slovo ešte nepočul! Fráza „rozhodnite sa prostredníctvom diskriminujúceho“ je upokojujúca a upokojujúca. Pretože nie je potrebné čakať na triky od diskriminujúceho! Jeho používanie je jednoduché a bezproblémové. Takže vzorec na nájdenie koreňov kvadratickej rovnice vyzerá takto:

Výraz pod koreňovým znakom je rovnaký diskriminačný. Ako vidíte, na nájdenie x používame iba a, b a c. Tie. koeficienty z kvadratickej rovnice. Len opatrne nahraďte hodnoty a, b a c do tohto vzorca a zvážte. Náhradník s tvojimi znakmi! Napríklad pre prvú rovnicu a =1; b = 3; c= -4. Tu píšeme:

Príklad takmer vyriešený:

To je všetko.

Aké prípady sú možné pri použití tohto vzorca? Sú len tri prípady.

1. Diskriminant je pozitívny. To znamená, že z nej môžete extrahovať koreň. Či je koreň extrahovaný dobre alebo zle, je iná otázka. Dôležité je, čo sa v princípe extrahuje. Potom má vaša kvadratická rovnica dva korene. Dve rôzne riešenia.

2. Diskriminant je nula. Potom máte jedno riešenie. Presne povedané, nejde o jeden koreň, ale dve rovnaké. Ale to hrá rolu pri nerovnostiach, kde si danú problematiku preštudujeme podrobnejšie.

3. Diskriminant je negatívny. Záporné číslo nemá druhú odmocninu. No dobre. To znamená, že neexistujú žiadne riešenia.

Všetko je veľmi jednoduché. A čo myslíte, nemôžete sa pokaziť? No áno, ako...
Najčastejšími chybami je zámena so znakmi hodnôt a, b a c. Alebo skôr nie s ich znakmi (kde sa to má zamieňať?), Ale s nahradením záporných hodnôt do vzorca na výpočet koreňov. Tu sa uloží podrobný záznam vzorca s konkrétnymi číslami. Ak sa vyskytnú problémy s výpočtami, tak to urob!

Predpokladajme, že potrebujeme vyriešiť nasledujúci príklad:

Tu a = -6; b = -5; c = -1

Povedzme, že viete, že odpovede na prvýkrát dostanete len zriedka.

No nebuď lenivý. Napísanie ďalšieho riadku bude trvať 30 sekúnd a počet chýb prudko klesne. Píšeme teda podrobne so všetkými zátvorkami a znakmi:

Zdá sa neuveriteľne ťažké maľovať tak starostlivo. Ale to sa len zdá. Skús to. No, alebo si vyberte. Čo je lepšie, rýchle alebo správne? Okrem toho ťa poteším. Po chvíli už nebude potrebné všetko tak starostlivo maľovať. Proste to dopadne správne. Najmä ak použijete praktické techniky, ktoré sú popísané nižšie. Tento zlý príklad s kopou mínusov sa vyrieši jednoducho a bez chýb!

takže, ako riešiť kvadratické rovnice cez diskriminant, ktorý sme si zapamätali. Alebo sa naučil, čo je tiež dobré. Viete správne identifikovať a, b a c. Vieš ako opatrne nahradiť ich do koreňového vzorca a opatrne spočítať výsledok. pochopil si to kľúčové slovo tu - opatrne?

Kvadratické rovnice však často vyzerajú trochu inak. Napríklad takto:

to neúplné kvadratické rovnice . Dajú sa vyriešiť aj cez diskriminant. Musíte len správne zistiť, čo sa tu rovná a, b a c.

Realizované? V prvom príklade a = 1; b = -4; a c? Vôbec neexistuje! No áno, je to tak. V matematike to znamená c = 0 ! To je všetko. Namiesto nuly dosaďte do vzorca c, a všetko nám vyjde. Podobne s druhým príkladom. Len nulu tu nemáme s, a b !

Neúplné kvadratické rovnice sa však dajú vyriešiť oveľa jednoduchšie. Bez akejkoľvek diskriminácie. Zvážte prvú neúplnú rovnicu. Čo sa dá robiť na ľavej strane? Môžete vyňať X zo zátvoriek! Vyberme to.

A čo z toho? A skutočnosť, že súčin sa rovná nule vtedy a len vtedy, ak sa niektorý z faktorov rovná nule! neveríš? Potom vymyslite dve nenulové čísla, ktoré po vynásobení dajú nulu!
Nefunguje? Niečo...
Preto môžeme s istotou napísať: x = 0, alebo x = 4

Všetko. Toto budú korene našej rovnice. Obaja sa hodia. Pri dosadení ktorejkoľvek z nich do pôvodnej rovnice dostaneme správnu identitu 0 = 0. Ako vidíte, riešenie je oveľa jednoduchšie ako cez diskriminant.

Druhá rovnica sa dá tiež ľahko vyriešiť. Posúvame 9 na pravú stranu. Dostaneme:

Zostáva extrahovať koreň z 9 a je to. Získajte:

aj dva korene . x = +3 a x = -3.

Takto sa riešia všetky neúplné kvadratické rovnice. Buď vytiahnutím X zo zátvoriek, alebo jednoduchým prenesením čísla doprava a následným extrahovaním koreňa.
Je mimoriadne ťažké zamieňať tieto metódy. Jednoducho preto, že v prvom prípade budete musieť extrahovať koreň z X, čo je nejako nepochopiteľné, a v druhom prípade nie je čo vytiahnuť zo zátvoriek ...

Teraz si všimnite praktické techniky, ktoré výrazne znižujú počet chýb. Práve tie, ktoré sú spôsobené nepozornosťou ... Pre ktoré je to potom bolestivé a urážlivé ...

Prvý príjem. Nebuďte leniví pred riešením kvadratickej rovnice, aby ste ju dostali do štandardného tvaru. Čo to znamená?
Predpokladajme, že po akejkoľvek transformácii dostanete nasledujúcu rovnicu:

Neponáhľajte sa písať vzorec koreňov! Takmer určite si pomiešate šance a, b a c. Správne zostavte príklad. Najprv x na druhú, potom bez štvorca, potom voľný člen. Páči sa ti to:

A opäť, neponáhľajte sa! Mínus pred x na druhú vás môže poriadne rozladiť. Zabudnúť na to je ľahké... Zbavte sa mínusov. Ako? Áno, ako sa učí v predchádzajúcej téme! Musíme vynásobiť celú rovnicu -1. Dostaneme:

A teraz si môžete pokojne zapísať vzorec pre korene, vypočítať diskriminant a doplniť príklad. Rozhodnite sa sami. Mali by ste skončiť s koreňmi 2 a -1.

Druhý príjem. Skontrolujte svoje korene! Podľa Vietovej vety. Neboj sa, všetko ti vysvetlím! Kontrola posledná vec rovnica. Tie. ten, ktorým sme zapísali vzorec koreňov. Ak (ako v tomto príklade) koeficient a = 1, ľahko skontrolujte korene. Stačí ich namnožiť. Mali by ste dostať voľný termín, t.j. v našom prípade -2. Pozor, nie 2, ale -2! voľný člen s tvojím znamením . Ak to nevyšlo, znamená to, že sa už niekde pokazili. Hľadajte chybu. Ak to vyšlo, musíte zložiť korene. Posledná a posledná kontrola. Mal by byť pomer b s opak znamenie. V našom prípade -1+2 = +1. A koeficient b, ktorý je pred x, sa rovná -1. Takže všetko je správne!
Škoda, že je to také jednoduché len pre príklady, kde x na druhú je čisté, s koeficientom a = 1. Ale skontrolujte si aspoň takéto rovnice! Chýb bude menej.

Tretia recepcia. Ak má vaša rovnica zlomkové koeficienty, zbavte sa zlomkov! Vynásobte rovnicu spoločným menovateľom podľa popisu v predchádzajúcej časti. Pri práci so zlomkami sa chyby z nejakého dôvodu šplhajú ...

Mimochodom, sľúbil som zlý príklad s kopou mínusov na zjednodušenie. Prosím! Tu je.

Aby sme sa nemýlili v mínusoch, rovnicu vynásobíme -1. Dostaneme:

To je všetko! Rozhodovanie je zábava!

Zopakujme si teda tému.

Praktické tipy:

1. Pred riešením uvedieme kvadratickú rovnicu do štandardného tvaru, postavíme ju správny.

2. Ak je pred x v štvorci záporný koeficient, odstránime ho vynásobením celej rovnice -1.

3. Ak sú koeficienty zlomkové, zlomky odstránime vynásobením celej rovnice príslušným koeficientom.

4. Ak je x na druhú čistú, koeficient pre ňu je rovný jednej, riešenie sa dá ľahko skontrolovať Vietovou vetou. Urob to!

Zlomkové rovnice. ODZ.

Pokračujeme v zvládnutí rovníc. S lineárnymi a kvadratickými rovnicami už vieme pracovať. Zostáva posledný pohľad zlomkové rovnice. Alebo sa tiež nazývajú oveľa pevnejšie - zlomkové racionálne rovnice. Toto je to isté.

Zlomkové rovnice.

Ako už názov napovedá, tieto rovnice nevyhnutne obsahujú zlomky. Ale nielen zlomky, ale zlomky, ktoré majú neznámy v menovateli. Aspoň v jednom. Napríklad:

Dovoľte mi pripomenúť, ak len v menovateľoch čísla, to sú lineárne rovnice.

Ako sa rozhodnúť zlomkové rovnice? V prvom rade sa zbavte zlomkov! Potom sa rovnica najčastejšie zmení na lineárnu alebo kvadratickú. A potom vieme, čo máme robiť... V niektorých prípadoch sa to môže zmeniť na identitu, napríklad 5=5 alebo nesprávny výraz, napríklad 7=2. Ale to sa stáva zriedka. Nižšie to spomeniem.

Ale ako sa zbaviť zlomkov!? Veľmi jednoduché. Použitie všetkých rovnakých identických transformácií.

Musíme vynásobiť celú rovnicu rovnakým výrazom. Aby sa znížili všetci menovatelia! Všetko bude hneď jednoduchšie. Vysvetľujem na príklade. Povedzme, že potrebujeme vyriešiť rovnicu:

Ako ich učili na základnej škole? Všetko prenášame jedným smerom, redukujeme na spoločného menovateľa atď. Zabudnite, aký zlý sen! To je to, čo musíte urobiť, keď pridávate alebo odčítate zlomkové výrazy. Alebo pracovať s nerovnosťami. A v rovniciach hneď vynásobíme obe časti výrazom, ktorý nám dá možnosť zredukovať všetky menovatele (teda v podstate o spoločného menovateľa). A čo je toto za výraz?

Na ľavej strane, aby ste znížili menovateľa, musíte vynásobiť x+2. A vpravo je potrebné násobenie číslom 2. Takže rovnica sa musí vynásobiť číslom 2(x+2). Vynásobíme:

Toto je obvyklé násobenie zlomkov, ale napíšem podrobne:

Upozorňujeme, že ešte neotváram zátvorku. (x + 2)! Takže to píšem celé:

Na ľavej strane je úplne zmenšená (x+2), a v pravom 2. Podľa potreby! Po redukcii dostaneme lineárne rovnica:

Túto rovnicu môže vyriešiť každý! x = 2.

Vyriešime ďalší príklad, trochu komplikovanejší:

Ak si pamätáme, že 3 = 3/1, a 2x = 2x/ 1 možno napísať:

A opäť sa zbavíme toho, čo sa nám v skutočnosti nepáči - zo zlomkov.

Vidíme, že na zmenšenie menovateľa s x je potrebné zlomok vynásobiť (x - 2). A jednotky nám nie sú prekážkou. Nuž, množme sa. Všetkyľavá strana a všetky pravá strana:

Opäť zátvorky (x - 2) neprezrádzam. Pracujem so zátvorkou ako celkom, ako keby to bolo jedno číslo! Toto sa musí robiť vždy, inak sa nič nezníži.

S pocitom hlbokej spokojnosti striháme (x - 2) a dostaneme rovnicu bez zlomkov, v pravítku!

A teraz otvoríme zátvorky:

Dávame podobné, prenesieme všetko na ľavú stranu a získame:

Klasická kvadratická rovnica. Ale to mínus dopredu nie je dobré. Vždy sa ho môžete zbaviť vynásobením alebo delením -1. Ale ak sa pozriete pozorne na príklad, všimnete si, že je najlepšie rozdeliť túto rovnicu na -2! Jedným ťahom zmizne mínus a koeficienty budú krajšie! Delíme -2. Na ľavej strane - člen podľa členu a na pravej strane - jednoducho vydeľte nulu -2, nulu a dostanete:

Riešime cez diskriminant a kontrolujeme podľa Vietovej vety. Dostaneme x = 1 a x = 3. Dva korene.

Ako vidíte, v prvom prípade sa rovnica po transformácii stala lineárnou a tu je kvadratická. Stáva sa, že po zbavení sa zlomkov sa všetky x zmenšia. Niečo zostalo, napríklad 5=5. Znamená to, že x môže byť čokoľvek. Nech je to čokoľvek, stále sa to zníži. A získajte čistú pravdu, 5=5. Ale po odstránení zlomkov sa to môže ukázať ako úplne nepravdivé, napríklad 2=7. A to znamená, že žiadne riešenia! S ľubovoľným x sa ukáže ako nepravdivé.

Realizované hlavná cesta riešenia zlomkové rovnice? Je to jednoduché a logické. Pôvodný výraz zmeníme tak, aby zmizlo všetko, čo sa nám nepáči. Alebo zasahovať. V tomto prípade ide o zlomky. To isté urobíme so všetkými komplexné príklady s logaritmami, sínusmi a inými hrôzami. my vždy toho všetkého sa zbavíme.

Musíme však zmeniť pôvodný výraz v smere, ktorý potrebujeme podľa pravidiel, áno ... Rozvojom ktorého je príprava na skúšku z matematiky. Tu sa učíme.

Teraz sa naučíme, ako obísť jeden z hlavné prepady na skúške! Najprv sa však pozrime, či do toho spadnete alebo nie?

Uveďme si jednoduchý príklad:

Vec je už známa, obe časti vynásobíme (x - 2), dostaneme:

Pamätajte, so zátvorkami (x - 2) práca s jedným celý výraz!

Tu som už nepísal ten v menovateľoch, nedôstojný ... A nekreslil som zátvorky do menovateľov, okrem x - 2 nie je nič, nemôžete kresliť. Skracujeme:

Otvárame zátvorky, posúvame všetko doľava, dávame podobné:

Riešime, kontrolujeme, dostaneme dva korene. x = 2 a x = 3. Výborne.

Predpokladajme, že úloha hovorí zapísať koreň alebo ich súčet, ak existuje viac ako jeden koreň. Čo si napíšeme?

Ak sa rozhodnete, že odpoveď je 5, vy boli prepadnutí. A úloha sa vám nebude počítať. Pracovali márne ... Správna odpoveď je 3.

Čo sa deje?! A skúste to skontrolovať. Dosaďte hodnoty neznámeho do originálny príklad. A ak o x = 3 všetko spolu úžasne rastie, dostaneme 9 = 9, potom s x = 2 deliť nulou! Čo sa absolútne nedá. Prostriedky x = 2 nie je riešením a v odpovedi sa nezohľadňuje. Toto je takzvaný cudzí alebo extra koreň. Jednoducho to zahodíme. Existuje len jeden konečný koreň. x = 3.

Ako to?! Počujem pobúrené výkriky. Učili nás, že rovnicu možno vynásobiť výrazom! to transformácia identity!

Áno, identické. Pod malou podmienkou - výraz, ktorým násobíme (delíme) - odlišný od nuly. ALE x - 2 pri x = 2 rovná sa nule! Takže je to všetko fér.

A čo teraz môžem urobiť?! Nenásobiť výrazom? Kontrolujete zakaždým? Opäť nejasné!

Pokojne! Žiadna panika!

V tejto ťažkej situácii nás zachránia tri čarovné písmená. Viem, čo si myslel. Správne! to ODZ . Oblasť platných hodnôt.

Dôležité! Pri koreňoch párnej násobnosti funkcia nemení znamienko.

Poznámka! Akákoľvek nelineárna nerovnosť kurzu školskej algebry sa musí riešiť pomocou metódy intervalov.

Ponúkam vám podrobné algoritmus na riešenie nerovníc intervalovou metódou, podľa ktorého sa môžete vyhnúť chybám, keď riešenie nelineárnych nerovností.

Riešenie kvadratické rovnice s negatívnymi diskriminátormi

Ako vieme,

i 2 = - 1.

však

(- i ) 2 = (- 1 i ) 2 = (- 1) 2 i 2 = -1.

Existujú teda aspoň dve hodnoty pre druhú odmocninu - 1, a to i a - i . Ale možno existujú nejaké ďalšie komplexné čísla, ktorých druhé mocniny sú - 1?

Na objasnenie tejto otázky predpokladajme druhú mocninu komplexného čísla a + bi rovná sa - 1. Potom

(a + bi ) 2 = - 1,

a 2 + 2abi - b 2 = - 1

Dve komplexné čísla sú rovnaké práve vtedy, ak sú ich reálne časti a koeficienty imaginárnych častí rovnaké. Preto

{	a 2 - b 2 = - 1 ab = 0 (1)

Podľa druhej rovnice sústavy (1) aspoň jedno z čísel a a b by sa mala rovnať nule. Ak b = 0, potom vyjde prvá rovnica a 2 = - 1. Číslo a skutočné, a preto a 2 > 0. Nezáporné číslo a 2 sa nemôže rovnať záporné číslo- 1. Preto rovnosť b = 0 je v tomto prípade nemožné. Zostáva uznať, že a = 0, ale potom z prvej rovnice systému dostaneme: - b 2 = - 1, b = ± 1.

Preto jediné komplexné čísla, ktorých druhé mocniny sú -1, sú čísla i a - i , Toto je podmienečne napísané ako:

√-1 = ± i .

Podobným uvažovaním môžu študenti overiť, že existujú presne dve čísla, ktorých druhé mocniny sa rovnajú zápornému číslu - a . Tieto čísla sú √ ai a -√ ai . Bežne sa to píše takto:

√- a = ± √ ai .

Pod √ a tu sa myslí aritmetický, teda kladný koreň. Napríklad √4 = 2, √9 =.3; preto

√-4 = + 2i , √-9= ± 3 i

Ak sme predtým pri zvažovaní kvadratických rovníc so zápornými diskriminantmi hovorili, že takéto rovnice nemajú korene, teraz sa to už povedať nedá. Kvadratické rovnice so zápornými diskriminantmi majú zložité korene. Tieto korene sa získavajú podľa nám známych vzorcov. Dajme napríklad rovnicu X 2 + 2X + 5 = 0; potom

X 1,2 = - 1 ± √1 -5 = - 1 ± √-4 = - 1 ± 2 i .

Takže táto rovnica má dva korene: X 1 = - 1 +2i , X 2 = - 1 - 2i . Tieto korene sú vzájomne konjugované. Zaujímavosťou je, že ich súčet sa rovná - 2 a súčin je 5, takže Vietin teorém je splnený.

Koncept komplexného čísla

Komplexné číslo je vyjadrenie tvaru a + ib, kde a a b sú ľubovoľné reálne čísla, i je špeciálne číslo, ktoré sa nazýva imaginárna jednotka. Pre takéto výrazy sú pojmy rovnosti a operácie sčítania a násobenia zavedené takto:

1. Dve komplexné čísla a + ib a c + id sa považujú za rovnaké vtedy a len vtedy
   a = b a c = d.
2. Súčet dvoch komplexných čísel a + ib a c + id je komplexné číslo
   a + c + i (b + d).
3. Súčin dvoch komplexných čísel a + ib a c + id je komplexné číslo
   ac - bd + i (ad + bc).

Komplexné čísla sa často označujú jedným písmenom, napríklad z = a + ib. Reálne číslo a sa nazýva reálna časť komplexného čísla z, reálna časť sa označuje a = Re z . Reálne číslo b sa nazýva imaginárna časť komplexného čísla z, imaginárna časť sa označí b = Im z . Takéto mená sa vyberajú v súvislosti s nasledujúcimi špeciálnymi vlastnosťami komplexných čísel.

Všimnite si, že aritmetické operácie s komplexnými číslami v tvare z = a + i · 0 sa vykonávajú presne rovnakým spôsobom ako s reálnymi číslami. naozaj,

Preto sa komplexné čísla v tvare a + i · 0 prirodzene stotožňujú s reálnymi číslami. Z tohto dôvodu sa komplexné čísla tohto druhu nazývajú jednoducho skutočné. Takže množina reálnych čísel je obsiahnutá v množine komplexných čísel. Množina komplexných čísel je označená . Zistili sme, že napr

Na rozdiel od reálnych čísel sa čísla v tvare 0 + ib nazývajú čisto imaginárne. Často stačí napísať bi , napríklad 0 + i 3 = 3 i . Čisto vymyslené číslo i1 = 1 i = i má prekvapivú vlastnosť:
Touto cestou,

№ 4 .1. V matematike je číselná funkcia funkcia, ktorej domény a hodnoty sú podmnožiny číselných množín – vo všeobecnosti množina reálnych čísel alebo množina komplexných čísel.

Graf funkcií

Fragment grafu funkcií

Spôsoby nastavenia funkcie

[upraviť] Analytická metóda

Funkcia je zvyčajne definovaná pomocou vzorca, ktorý obsahuje premenné, operácie a elementárne funkcie. Možno čiastkové priradenie, to znamená rôzne pre rôzne hodnoty argumentu.

[upraviť] Tabuľkovým spôsobom

Funkciu je možné definovať zoznamom všetkých jej možných argumentov a ich hodnôt. Potom, ak je to potrebné, môže byť funkcia rozšírená o argumenty, ktoré nie sú v tabuľke, interpoláciou alebo extrapoláciou. Príkladmi sú programový sprievodca, cestovný poriadok alebo tabuľka hodnôt pre booleovskú funkciu:

[upraviť] Grafický spôsob

Oscilogram nastavuje hodnotu niektorej funkcie graficky.

Funkciu je možné špecifikovať graficky zobrazením množiny bodov jej grafu v rovine. Môže to byť hrubý náčrt toho, ako by mala funkcia vyzerať, alebo údaje získané z nástroja, ako je osciloskop. Táto špecifikácia môže trpieť nedostatočnou presnosťou, ale v niektorých prípadoch nie je možné použiť iné metódy špecifikácie. Tento spôsob nastavenia je navyše jedným z najreprezentatívnejších, ľahko pochopiteľných a najkvalitnejších heuristických analýz funkcie.

[upraviť] Rekurzívny spôsob

Funkciu možno definovať rekurzívne, teda cez seba. V tomto prípade sú niektoré hodnoty funkcie určené prostredníctvom jej iných hodnôt.

• faktoriál;
• Fibonacciho čísla;
• Ackermanova funkcia.

[upraviť] verbálnym spôsobom

Funkciu možno opísať slovami prirodzeného jazyka nejakým jednoznačným spôsobom, napríklad opisom jej vstupných a výstupných hodnôt alebo algoritmu, ktorým funkcia priraďuje zhody medzi týmito hodnotami. Spolu s graficky, niekedy je to jediný spôsob, ako opísať funkciu, hoci prirodzené jazyky nie sú také deterministické ako formálne.

• funkcia, ktorá vracia číslicu v zápise pí jej číslom;
• funkcia, ktorá vracia počet atómov vo vesmíre v danom časovom bode;
• funkcia, ktorá berie človeka ako argument a vracia počet ľudí, ktorí sa po jeho narodení narodia na svet

AT moderná spoločnosť schopnosť pracovať s rovnicami obsahujúcimi druhú mocninu premennej môže byť užitočná v mnohých oblastiach činnosti a je široko používaná v praxi vo vedeckom a technickom rozvoji. Dôkazom toho môže byť dizajn námorných a riečnych plavidiel, lietadiel a rakiet. Pomocou takýchto výpočtov sa určujú trajektórie pohybu rôznych telies, vrátane vesmírne objekty. Príklady s riešením kvadratických rovníc sa využívajú nielen v ekonomických prognózach, pri projektovaní a výstavbe budov, ale aj v najbežnejších každodenných podmienkach. Môžu byť potrebné pri kempovaní, na športových podujatiach, v obchodoch pri nakupovaní a v iných veľmi bežných situáciách.

Rozložme výraz na komponentové faktory

Stupeň rovnice je určený maximálnou hodnotou stupňa premennej, ktorú daný výraz obsahuje. Ak sa rovná 2, potom sa takáto rovnica nazýva kvadratická rovnica.

Ak hovoríme jazykom vzorcov, potom tieto výrazy, bez ohľadu na to, ako vyzerajú, môžu byť vždy uvedené do podoby, keď ľavá strana výrazu pozostáva z troch výrazov. Medzi nimi: ax 2 (to znamená premenná na druhú so svojím koeficientom), bx (neznáma bez druhej mocniny so svojím koeficientom) a c (voľná zložka, teda obyčajné číslo). To všetko na pravej strane sa rovná 0. V prípade, že takýto polynóm nemá jeden zo svojich členov, s výnimkou osi 2, nazýva sa neúplná kvadratická rovnica. Najprv treba zvážiť príklady s riešením takýchto problémov, v ktorých nie je ťažké nájsť hodnotu premenných.

Ak výraz vyzerá tak, že na pravej strane výrazu sú dva členy, presnejšie ax 2 a bx, je najjednoduchšie nájsť x pomocou zátvoriek premennej. Teraz bude naša rovnica vyzerať takto: x(ax+b). Ďalej je zrejmé, že buď x=0, alebo je problém zredukovaný na nájdenie premennej z nasledujúceho výrazu: ax+b=0. Je to dané jednou z vlastností násobenia. Pravidlo hovorí, že súčin dvoch faktorov má za následok 0 iba vtedy, ak je jeden z nich nula.

Príklad

x = 0 alebo 8x - 3 = 0

Výsledkom je, že dostaneme dva korene rovnice: 0 a 0,375.

Rovnice tohto druhu môžu opísať pohyb telies pôsobením gravitácie, ktoré sa začali pohybovať od určitého bodu, ktorý sa považuje za pôvod. Tu má matematický zápis nasledujúci tvar: y = v 0 t + gt 2 /2. Dosadením potrebných hodnôt, prirovnaním pravej strany k 0 a nájdením možných neznámych môžete zistiť čas, ktorý uplynul od okamihu, keď sa telo zdvihlo do okamihu, keď kleslo, ako aj mnohé ďalšie veličiny. Ale o tom si povieme neskôr.

Faktorizácia výrazu

Vyššie popísané pravidlo umožňuje riešiť tieto problémy v zložitejších prípadoch. Zvážte príklady riešenia kvadratických rovníc tohto typu.

X2 - 33x + 200 = 0

Táto štvorcová trojčlenka je dokončená. Najprv výraz transformujeme a rozložíme na faktory. Sú dva z nich: (x-8) a (x-25) = 0. V dôsledku toho máme dva korene 8 a 25.

Príklady s riešením kvadratických rovníc v 9. ročníku umožňujú touto metódou nájsť premennú vo výrazoch nielen druhého, ale dokonca aj tretieho a štvrtého rádu.

Napríklad: 2x 3 + 2x 2 - 18x - 18 = 0. Pri rozkladaní pravej strany na faktory s premennou sú tri z nich, teda (x + 1), (x-3) a (x + 3).

V dôsledku toho je zrejmé, že táto rovnica má tri korene: -3; - jeden; 3.

Extrahovanie druhej odmocniny

Ďalší prípad neúplná rovnica druhého rádu je výraz vyjadrený v jazyku písmen tak, že pravá časť je zostavený z komponentov ax 2 a c. Tu, aby sa získala hodnota premennej, sa voľný člen prenesie na pravú stranu a potom sa z oboch strán rovnosti extrahuje druhá odmocnina. Treba poznamenať, že v tomto prípade sú zvyčajne dva korene rovnice. Výnimkou sú len rovnosti, ktoré vôbec neobsahujú výraz c, kde sa premenná rovná nule, ako aj varianty výrazov, keď je pravá strana záporná. V druhom prípade neexistujú žiadne riešenia, pretože vyššie uvedené akcie nemožno vykonať s koreňmi. Mali by sa zvážiť príklady riešení kvadratických rovníc tohto typu.

V tomto prípade budú koreňmi rovnice čísla -4 a 4.

Výpočet plochy pozemku

Potreba tohto druhu výpočtov sa objavila v staroveku, pretože rozvoj matematiky v týchto vzdialených časoch bol do značnej miery spôsobený potrebou určovať plochy a obvody pozemkov s najväčšou presnosťou.

Mali by sme zvážiť aj príklady s riešením kvadratických rovníc zostavených na základe úloh tohto druhu.

Povedzme teda, že ide o obdĺžnikový pozemok, ktorého dĺžka je o 16 metrov väčšia ako šírka. Mali by ste nájsť dĺžku, šírku a obvod pozemku, ak je známe, že jeho plocha je 612 m 2.

Keď sa pustíme do práce, najprv urobíme potrebnú rovnicu. Šírku rezu označme x, potom jeho dĺžka bude (x + 16). Z napísaného vyplýva, že oblasť je určená výrazom x (x + 16), ktorý je podľa stavu nášho problému 612. To znamená, že x (x + 16) \u003d 612.

Riešenie úplných kvadratických rovníc, a tento výraz je práve to, nemožno urobiť rovnakým spôsobom. prečo? Hoci jeho ľavá strana stále obsahuje dva faktory, ich súčin sa vôbec nerovná 0, preto sa tu používajú iné metódy.

Diskriminačný

Najprv urobíme potrebné transformácie, potom bude vzhľad tohto výrazu vyzerať takto: x 2 + 16x - 612 = 0. To znamená, že sme dostali výraz vo forme zodpovedajúcej predtým špecifikovanej norme, kde a = 1, b = 16, c = -612.

Toto môže byť príklad riešenia kvadratických rovníc cez diskriminant. Tu potrebné výpočty vyrobené podľa schémy: D = b 2 - 4ac. Táto pomocná hodnota nielenže umožňuje nájsť požadované hodnoty v rovnici druhého rádu, ale určuje aj číslo možnosti. V prípade D>0 sú dve; pre D=0 je jeden koreň. V prípade D<0, никаких шансов для решения у уравнения вообще не имеется.

O koreňoch a ich vzorci

V našom prípade je diskriminant: 256 - 4(-612) = 2704. To naznačuje, že náš problém má odpoveď. Ak viete, že riešenie kvadratických rovníc musí pokračovať pomocou nižšie uvedeného vzorca. Umožňuje vám vypočítať korene.

To znamená, že v prezentovanom prípade: x 1 = 18, x 2 = -34. Druhá možnosť v tejto dileme nemôže byť riešením, pretože veľkosť pozemku nemožno merať v záporných hodnotách, čo znamená, že x (čiže šírka pozemku) je 18 m. Odtiaľ vypočítame dĺžku: 18+16=34 a obvod 2(34+18)=104 (m2).

Príklady a úlohy

Pokračujeme v štúdiu kvadratických rovníc. Príklady a podrobné riešenie niekoľkých z nich budú uvedené nižšie.

1) 15x2 + 20x + 5 = 12x2 + 27x + 1

Prenesieme všetko na ľavú stranu rovnosti, urobíme transformáciu, to znamená, že dostaneme tvar rovnice, ktorá sa zvyčajne nazýva štandardná, a prirovnáme ju k nule.

15x 2 + 20x + 5 - 12x 2 - 27x - 1 = 0

Po pridaní podobných určíme diskriminant: D \u003d 49 - 48 \u003d 1. Takže naša rovnica bude mať dva korene. Vypočítame ich podľa vyššie uvedeného vzorca, čo znamená, že prvý z nich sa bude rovnať 4/3 a druhý 1.

2) Teraz odhalíme hádanky iného druhu.

Poďme zistiť, či tu vôbec existujú korene x 2 - 4x + 5 = 1? Aby sme získali vyčerpávajúcu odpoveď, uvedieme polynóm do zodpovedajúceho známeho tvaru a vypočítame diskriminant. V tomto príklade nie je potrebné riešiť kvadratickú rovnicu, pretože podstata problému v tom vôbec nie je. V tomto prípade D \u003d 16 - 20 \u003d -4, čo znamená, že v skutočnosti neexistujú žiadne korene.

Vietov teorém

Je vhodné riešiť kvadratické rovnice pomocou vyššie uvedených vzorcov a diskriminantu, keď sa z jeho hodnoty extrahuje druhá odmocnina. Ale nie vždy sa to stane. V tomto prípade však existuje mnoho spôsobov, ako získať hodnoty premenných. Príklad: riešenie kvadratických rovníc pomocou Vietovej vety. Je pomenovaný po mužovi, ktorý žil vo Francúzsku v 16. storočí a mal skvelú kariéru vďaka svojmu matematickému talentu a konexiám na dvore. Jeho portrét si môžete pozrieť v článku.

Vzor, ktorý si slávny Francúz všimol, bol nasledovný. Dokázal, že súčet koreňov rovnice sa rovná -p=b/a a ich súčin zodpovedá q=c/a.

Teraz sa pozrime na konkrétne úlohy.

3x2 + 21x - 54 = 0

Pre jednoduchosť transformujme výraz:

x 2 + 7 x - 18 = 0

Pomocou Vietovej vety nám to dá nasledovné: súčet koreňov je -7 a ich súčin je -18. Odtiaľto dostaneme, že koreňmi rovnice sú čísla -9 a 2. Po vykonaní kontroly sa uistíme, že tieto hodnoty premenných skutočne zapadajú do výrazu.

Graf a rovnica paraboly

Pojmy kvadratická funkcia a kvadratické rovnice spolu úzko súvisia. Príklady toho už boli uvedené skôr. Teraz sa pozrime na niektoré matematické hádanky trochu podrobnejšie. Každá rovnica opísaného typu môže byť znázornená vizuálne. Takáto závislosť nakreslená vo forme grafu sa nazýva parabola. Jeho rôzne typy sú znázornené na obrázku nižšie.

Každá parabola má vrchol, teda bod, z ktorého vychádzajú jej vetvy. Ak a>0, idú vysoko do nekonečna a keď a<0, они рисуются вниз. Простейшим примером подобной зависимости является функция y = x 2 . В данном случае в уравнении x 2 =0 неизвестное может принимать только одно значение, то есть х=0, а значит существует только один корень. Это неудивительно, ведь здесь D=0, потому что a=1, b=0, c=0. Выходит формула корней (точнее одного корня) квадратного уравнения запишется так: x = -b/2a.

Vizuálne reprezentácie funkcií pomáhajú riešiť akékoľvek rovnice, vrátane kvadratických. Táto metóda sa nazýva grafická. A hodnota premennej x je súradnica x v bodoch, kde sa čiara grafu pretína s 0x. Súradnice vrcholu možno nájsť podľa práve daného vzorca x 0 = -b / 2a. A dosadením výslednej hodnoty do pôvodnej rovnice funkcie môžete zistiť y 0, teda druhú súradnicu vrcholu paraboly patriacej k osi y.

Priesečník vetiev paraboly s osou x

Existuje veľa príkladov s riešením kvadratických rovníc, ale existujú aj všeobecné vzorce. Zvážme ich. Je jasné, že priesečník grafu s osou 0x pre a>0 je možný len vtedy, ak y 0 nadobúda záporné hodnoty. A pre a<0 координата у 0 должна быть положительна. Для указанных вариантов D>0. Inak D<0. А когда D=0, вершина параболы расположена непосредственно на оси 0х.

Z grafu paraboly môžete určiť aj korene. Platí to aj naopak. To znamená, že ak nie je ľahké získať vizuálnu reprezentáciu kvadratickej funkcie, môžete prirovnať pravú stranu výrazu k 0 a vyriešiť výslednú rovnicu. A ak poznáme priesečníky s osou 0x, je jednoduchšie vykresliť.

Z histórie

Pomocou rovníc obsahujúcich štvorcovú premennú sa za starých čias nielen matematicky počítali a určovala plocha geometrických tvarov. Starovekí potrebovali takéto výpočty na veľkolepé objavy v oblasti fyziky a astronómie, ako aj na vytváranie astrologických predpovedí.

Ako naznačujú moderní vedci, obyvatelia Babylonu boli medzi prvými, ktorí riešili kvadratické rovnice. Stalo sa to štyri storočia pred príchodom nášho letopočtu. Samozrejme, ich výpočty sa zásadne líšili od tých, ktoré sú v súčasnosti akceptované a ukázali sa ako oveľa primitívnejšie. Mezopotámski matematici napríklad netušili o existencii záporných čísel. Neboli oboznámení s inými jemnosťami tých, ktoré poznal každý študent našej doby.

Možno ešte skôr ako vedci z Babylonu sa riešenia kvadratických rovníc chopil mudrc z Indie Baudhayama. Stalo sa to asi osem storočí pred príchodom Kristovej éry. Je pravda, že rovnice druhého rádu, metódy riešenia, ktoré dal, boli najjednoduchšie. Okrem neho sa o podobné otázky za starých čias zaujímali aj čínski matematici. V Európe sa kvadratické rovnice začali riešiť až začiatkom 13. storočia, no neskôr ich vo svojej práci začali využívať takí veľkí vedci ako Newton, Descartes a mnohí ďalší.

Úlohy pre kvadratickú rovnicu sa študujú v školských osnovách aj na univerzitách. Chápu sa ako rovnice tvaru a * x ^ 2 + b * x + c \u003d 0, kde X- premenná, a,b,c – konštanty; a<>0 Problém je nájsť korene rovnice.

Geometrický význam kvadratickej rovnice

Graf funkcie, ktorá je reprezentovaná kvadratickou rovnicou, je parabola. Riešeniami (koreňmi) kvadratickej rovnice sú priesečníky paraboly s osou x. Z toho vyplýva, že existujú tri možné prípady:
1) parabola nemá žiadne priesečníky s osou x. To znamená, že je v hornej rovine s vetvami nahor alebo v dolnej s vetvami nadol. V takýchto prípadoch kvadratická rovnica nemá skutočné korene (má dva komplexné korene).

2) parabola má jeden priesečník s osou Ox. Takýto bod sa nazýva vrchol paraboly a kvadratická rovnica v ňom nadobúda svoju minimálnu alebo maximálnu hodnotu. V tomto prípade má kvadratická rovnica jeden reálny koreň (alebo dva rovnaké korene).

3) Posledný prípad je v praxi zaujímavejší - existujú dva body priesečníka paraboly s osou x. To znamená, že existujú dva skutočné korene rovnice.

Na základe analýzy koeficientov pri mocninách premenných možno vyvodiť zaujímavé závery o umiestnení paraboly.

1) Ak je koeficient a väčší ako nula, potom parabola smeruje nahor, ak je záporná, vetvy paraboly smerujú nadol.

2) Ak je koeficient b väčší ako nula, tak vrchol paraboly leží v ľavej polrovine, ak má zápornú hodnotu, tak v pravej.

Odvodenie vzorca na riešenie kvadratickej rovnice

Prenesme konštantu z kvadratickej rovnice

pre znamienko rovnosti dostaneme výraz

Vynásobte obe strany číslom 4a

Ak chcete získať celý štvorec vľavo, pridajte b ^ 2 v oboch častiach a vykonajte transformáciu

Odtiaľto nájdeme

Vzorec diskriminantu a korene kvadratickej rovnice

Diskriminant je hodnota radikálového výrazu. Ak je kladný, potom rovnica má dva reálne korene, vypočítané podľa vzorca Keď je diskriminant nulový, kvadratická rovnica má jedno riešenie (dva zhodné korene), ktoré sa dajú ľahko získať z vyššie uvedeného vzorca pre D = 0. Keď je diskriminant záporný, neexistujú žiadne skutočné korene. Avšak na štúdium riešení kvadratickej rovnice v komplexnej rovine a ich hodnota sa vypočíta podľa vzorca

Vietov teorém

Uvažujme dva korene kvadratickej rovnice a na ich základe zostrojte kvadratickú rovnicu Samotná Vieta veta ľahko vyplýva zo zápisu: ak máme kvadratickú rovnicu tvaru potom sa súčet jej koreňov rovná koeficientu p s opačným znamienkom a súčin koreňov rovnice sa rovná voľnému členu q. Vzorec pre vyššie uvedené bude vyzerať takto Ak je konštanta a v klasickej rovnici nenulová, musíte ňou rozdeliť celú rovnicu a potom použiť Vietovu vetu.

Schéma kvadratickej rovnice o faktoroch

Nech je úloha stanovená: rozložiť kvadratickú rovnicu na faktory. Aby sme to vykonali, najprv vyriešime rovnicu (nájdime korene). Ďalej dosadíme nájdené korene do vzorca na rozšírenie kvadratickej rovnice.Tento problém bude vyriešený.

Úlohy pre kvadratickú rovnicu

Úloha 1. Nájdite korene kvadratickej rovnice

x^2-26x+120=0.

Riešenie: Napíšte koeficienty a dosaďte do diskriminačného vzorca

Odmocnina tejto hodnoty je 14, je ľahké ju nájsť pomocou kalkulačky alebo si ju zapamätať pri častom používaní, avšak pre pohodlie vám na konci článku uvediem zoznam druhých mocnín čísel, ktoré môžu byť často nájsť v takýchto úlohách.
Nájdená hodnota sa dosadí do koreňového vzorca

a dostaneme

Úloha 2. vyriešiť rovnicu

2x2+x-3=0.

Riešenie: Máme kompletnú kvadratickú rovnicu, vypíšte koeficienty a nájdite diskriminant


Pomocou známych vzorcov nájdeme korene kvadratickej rovnice

Úloha 3. vyriešiť rovnicu

9x2 -12x+4=0.

Riešenie: Máme úplnú kvadratickú rovnicu. Určte diskriminant

Máme prípad, keď sa korene zhodujú. Hodnoty koreňov nájdeme podľa vzorca

Úloha 4. vyriešiť rovnicu

x^2+x-6=0.

Riešenie: V prípadoch, keď sú pre x malé koeficienty, je vhodné použiť Vietovu vetu. Jeho podmienkou získame dve rovnice

Z druhej podmienky dostaneme, že súčin sa musí rovnať -6. To znamená, že jeden z koreňov je negatívny. Máme nasledujúcu dvojicu možných riešení (-3;2), (3;-2) . Berúc do úvahy prvú podmienku, zamietame druhú dvojicu riešení.
Korene rovnice sú

Úloha 5. Nájdite dĺžky strán obdĺžnika, ak je jeho obvod 18 cm a plocha 77 cm 2.

Riešenie: Polovica obvodu obdĺžnika sa rovná súčtu priľahlých strán. Označme x - väčšiu stranu, potom 18-x je jej menšia strana. Plocha obdĺžnika sa rovná súčinu týchto dĺžok:
x(18x)=77;
alebo
x 2 -18x + 77 \u003d 0.
Nájdite diskriminant rovnice

Vypočítame korene rovnice

Ak x=11, potom 18x=7, platí to aj naopak (ak x=7, potom 21-x=9).

Úloha 6. Rozlož kvadratickú rovnicu 10x 2 -11x+3=0.

Riešenie: Vypočítajte korene rovnice, na to nájdeme diskriminant

Nájdenú hodnotu dosadíme do vzorca koreňov a vypočítame

Aplikujeme vzorec na rozšírenie kvadratickej rovnice z hľadiska koreňov

Rozšírením zátvoriek získame identitu.

Kvadratická rovnica s parametrom

Príklad 1. Pre aké hodnoty parametra a , má rovnica (a-3) x 2 + (3-a) x-1 / 4 \u003d 0 jeden koreň?

Riešenie: Priamou substitúciou hodnoty a=3 vidíme, že nemá riešenie. Ďalej využijeme fakt, že s nulovým diskriminantom má rovnica jeden koreň násobnosti 2. Vypíšme diskriminant

zjednodušiť to a rovnať sa nule

Získali sme kvadratickú rovnicu vzhľadom na parameter a, ktorej riešenie je jednoduché získať pomocou Vietovej vety. Súčet koreňov je 7 a ich súčin je 12. Jednoduchým výpočtom zistíme, že čísla 3.4 budú koreňmi rovnice. Keďže sme už na začiatku výpočtov zamietli riešenie a=3, jediné správne bude - a=4. Teda pre a = 4 má rovnica jeden koreň.

Príklad 2. Pre aké hodnoty parametra a , rovnica a(a+3)x^2+(2a+6)x-3a-9=0 má viac ako jeden koreň?

Riešenie: Najprv zvážte singulárne body, budú to hodnoty a=0 a a=-3. Keď a=0, rovnica sa zjednoduší na tvar 6x-9=0; x=3/2 a bude tam jeden koreň. Pre a= -3 dostaneme identitu 0=0 .
Vypočítajte diskriminant

a nájdite hodnoty a, pre ktoré je kladné

Z prvej podmienky dostaneme a>3. Pre druhú nájdeme diskriminant a korene rovnice


Definujme intervaly, v ktorých funkcia nadobúda kladné hodnoty. Dosadením bodu a=0 dostaneme 3>0 . Takže mimo intervalu (-3; 1/3) je funkcia záporná. Nezabudnite na bodku a=0čo by sa malo vylúčiť, keďže pôvodná rovnica má v sebe jeden koreň.
Výsledkom je, že dostaneme dva intervaly, ktoré spĺňajú podmienku úlohy

Podobných úloh bude v praxi veľa, skúste si s úlohami poradiť sami a nezabudnite brať do úvahy podmienky, ktoré sa navzájom vylučujú. Dobre si preštudujte vzorce na riešenie kvadratických rovníc, sú dosť často potrebné pri výpočtoch v rôznych problémoch a vedách.