Zadajte rovnicu f(X; a) = 0 sa nazýva premenná rovnica X a parametrom a.
Vyriešte rovnicu s parametrom a To znamená, že pre každú hodnotu a nájsť hodnoty X splnenie tejto rovnice.
Príklad 1 Oh= 0
Príklad 2 Oh = a
Príklad 3
x + 2 = ax
x - sekera \u003d -2
x (1 - a) \u003d -2
Ak 1- a= 0, t.j. a= 1 teda X 0 = -2 bez koreňov
Ak 1- a 0, t.j. a 1, potom X =
Príklad 4
(a 2 – 1) X = 2a 2 + a – 3
(a – 1)(a + 1)X = 2(a – 1)(a – 1,5)
(a – 1)(a + 1)X = (1a – 3)(a – 1)
Ak a= 1, potom 0 X = 0
X- akékoľvek skutočné číslo
Ak a= -1, potom 0 X = -2
žiadne korene
Ak a 1, a-1 teda X= (jediné riešenie).
To znamená, že pre každú platnú hodnotu a zodpovedá jednej hodnote X.
Napríklad:
ak a= 5 teda X = = ;
ak a= 0 teda X= 3 atď.
Didaktický materiál
1. Oh = X + 3
2. 4 + Oh = 3X – 1
3. a = +
pri a= 1 neexistujú žiadne korene.
pri a= 3 bez koreňov.
pri a = 1 X akékoľvek reálne číslo okrem X = 1
pri a = -1, a= 0 neexistujú žiadne riešenia.
pri a = 0, a= 2 žiadne riešenia.
pri a = -3, a = 0, 5, a= -2 žiadne riešenia
pri a = -s, s= 0 neexistujú žiadne riešenia.
Kvadratické rovnice s parametrom
Príklad 1 vyriešiť rovnicu
(a – 1)X 2 = 2(2a + 1)X + 4a + 3 = 0
O a = 1 6X + 7 = 0
Kedy a 1 vyberte tie hodnoty parametra, pre ktoré D ide na nulu.
D = (2(2 a + 1)) 2 – 4(a – 1)(4a + 30 = 16a 2 + 16a + 4 – 4(4a 2 + 3a – 4a – 3) = 16a 2 + 16a + 4 – 16a 2 + 4a + 12 = 20a + 16
20a + 16 = 0
20a = -16
Ak a < -4/5, то D < 0, уравнение имеет действительный корень.
Ak a> -4/5 a a 1, potom D > 0,
X = 
Ak a= 4/5 teda D = 0,
Príklad 2 Pri akých hodnotách parametra je rovnica
x 2 + 2( a + 1)X + 9a– 5 = 0 má 2 rôzne záporné korene?
D = 4( a + 1) 2 – 4(9a – 5) = 4a 2 – 28a + 24 = 4(a – 1)(a – 6)
4(a – 1)(a – 6) > 0
podľa t. Vieta: X 1 + X 2 = -2(a + 1)
X 1 X 2 = 9a – 5
Podľa podmienok X 1 < 0, X 2 < 0 то –2(a + 1) < 0 и 9a – 5 > 0
| Nakoniec | 4(a – 1)(a – 6) > 0 - 2(a + 1) < 0 9a – 5 > 0 |
a < 1: а > 6 a > - 1 a > 5/9 |
 (Ryža. jeden) < a < 1, либо a > 6 |
Príklad 3 Nájdite hodnoty a pre ktoré má táto rovnica riešenie.
x 2 – 2( a – 1)X + 2a + 1 = 0
D = 4( a – 1) 2 – 4(2a + 10 = 4a 2 – 8a + 4 – 8a – 4 = 4a 2 – 16a
4a 2 – 16 0
4a(a – 4) 0
a( a – 4)) 0
a( a – 4) = 0
a = 0 alebo a – 4 = 0
a = 4
(Ryža. 2)
odpoveď: a 0 a a 4
Didaktický materiál
1. V akej hodnote a rovnica Oh 2 – (a + 1) X + 2a– 1 = 0 má jeden koreň?
2. V akej hodnote a rovnica ( a + 2) X 2 + 2(a + 2)X+ 2 = 0 má jeden koreň?
3. Pre aké hodnoty a je rovnica ( a 2 – 6a + 8) X 2 + (a 2 – 4) X + (10 – 3a – a 2) = 0 má viac ako dva korene?
4. Pre aké hodnoty rovnice 2 X 2 + X – a= 0 má aspoň jeden spoločný koreň s rovnicou 2 X 2 – 7X + 6 = 0?
5. Pre aké hodnoty a platia rovnice X 2 +Oh+ 1 = 0 a X 2 + X + a= 0 má aspoň jeden spoločný koreň?
1. Kedy a = - 1/7, a = 0, a = 1
2. Kedy a = 0
3. Kedy a = 2
4. Kedy a = 10
5. Kedy a = - 2
Exponenciálne rovnice s parametrom
Príklad 1.Nájdite všetky hodnoty a, pre ktoré platí rovnica
9 x - ( a+ 2) * 3 x-1 / x +2 a*3 -2/x = 0 (1) má práve dva korene.
Riešenie. Vynásobením oboch strán rovnice (1) 3 2/x dostaneme ekvivalentnú rovnicu
3 2(x+1/x) – ( a+ 2) * 3 x + 1 / x + 2 a = 0 (2)
Nech 3 x+1/x = pri, potom rovnica (2) nadobúda tvar pri 2 – (a + 2)pri + 2a= 0, alebo
(pri – 2)(pri – a) = 0, odkiaľ pri 1 =2, pri 2 = a.
Ak pri= 2, t.j. Potom 3 x + 1/x = 2 X + 1/X= log 3 2, príp X 2 – X log 3 2 + 1 = 0.
Táto rovnica nemá skutočné korene, pretože D= log 2 3 2 – 4< 0.
Ak pri = a, t.j. 3 x + 1 / x = a potom X + 1/X= log 3 a, alebo X 2 –X log 3 a + 1 = 0. (3)
Rovnica (3) má práve dva korene vtedy a len vtedy
D = log 2 3 2 – 4 > 0 alebo |log 3 a| > 2.
Ak log 3 a > 2, potom a> 9, a ak log 3 a< -2, то 0 < a < 1/9.
odpoveď: 0< a < 1/9, a > 9.
Príklad 2. Pri akých hodnotách rovnice 2 2x - ( a - 3) 2 x - 3 a= 0 má riešenia?
Komu daná rovnica má riešenia, je potrebné a postačujúce, aby rovnica t 2 – (a - 3) t – 3a= 0 má aspoň jeden kladný koreň. Poďme nájsť korene pomocou Vietovej vety: X 1 = -3, X 2 = a = >
a je kladné číslo.
odpoveď: kedy a > 0
Didaktický materiál
1. Nájdite všetky hodnoty a, pre ktoré platí rovnica
25 x - (2 a+ 5) * 5 x-1 / x + 10 a* 5 -2/x = 0 má presne 2 riešenia.
2. Pre aké hodnoty a platí rovnica
2 (a-1) x? + 2 (a + 3) x + a \u003d 1/4 má jeden koreň?
3. Pre aké hodnoty parametra je rovnica
4 x - (5 a-3) 2 x +4 a 2 – 3a= 0 má jedinečné riešenie?
Logaritmické rovnice s parametrom
Príklad 1 Nájdite všetky hodnoty a, pre ktoré platí rovnica
log 4x (1+ Oh) = 1/2 (1)
má unikátne riešenie.
Riešenie. Rovnica (1) je ekvivalentná rovnici
1 + Oh = 2X pri X > 0, X 1/4 (3)
X = pri
au 2 - pri + 1 = 0 (4)
Podmienka (2) z (3) nie je splnená.
Nechaj a 0, teda au 2 – 2pri+ 1 = 0 má skutočné korene vtedy a len vtedy D = 4 – 4a 0, t.j. pri a 1. Na vyriešenie nerovnosti (3) zostrojíme grafy funkcií Galitsky M.L., Moshkovich M.M., Shvartburd S.I. Hĺbkové štúdium priebehu algebry a matematickej analýzy. - M.: Osveta, 1990
Zvážte teraz kvadratickú rovnicu
kde je neznáma veličina, sú parametre (koeficienty) rovnice.
Kritické hodnoty parametra by mali zahŕňať predovšetkým hodnotu Pri špecifikovanej hodnote parametra má rovnica (1) tvar
preto sa poradie rovnice zníži o jednu. Rovnica (2) je lineárna rovnica a spôsob jej riešenia bol uvažovaný skôr.
Pre ostatné kritické hodnoty sú parametre určené diskriminantom rovnice. Je známe, že v , rovnica (1) nemá korene; pretože má jeden koreň, pretože rovnica (1) má dva rôzne korene a
jeden). Nájdite všetky hodnoty parametrov, pre ktoré platí kvadratická rovnica
a) má dva rôzne korene;
b) nemá korene;
c) má dva rovnaké korene.
Riešenie. Táto rovnica je kvadratická podľa podmienok, a preto zvážte diskriminant tejto rovnice
Keď má rovnica dva rôzne korene, pretože
Keď rovnica nemá korene, pretože Táto kvadratická rovnica nemôže mať dva rovnaké korene, pretože lebo to odporuje podmienke problému.
Odpoveď: Keď má rovnica dva rôzne korene.
Keď rovnica nemá korene.
2) Vyriešte rovnicu. Pre každú prípustnú hodnotu parametra vyriešte rovnicu
Riešenie. Najprv zvážte prípad, kedy
(v tomto prípade sa z pôvodnej rovnice stane lineárna rovnica). Teda hodnota parametra a sú jeho kritické hodnoty. Je jasné, že pre , koreň tejto rovnice je a pre , jej koreň je
Ak tie. a potom je táto rovnica kvadratická. Nájdime jeho diskriminant:
Pre všetky hodnoty naberá diskriminant nezáporné hodnoty a zmizne na (tieto hodnoty parametra sú zároveň jeho kritickými hodnotami).
Ak teda táto rovnica má jeden koreň
V tomto prípade hodnota parametra zodpovedá koreňu
a hodnota zodpovedá koreňu
Ak potom má rovnica dva rôzne korene. Poďme nájsť tieto korene.
Odpoveď. Ak potom ak tak ak potom
Ak potom , .
3) Vyriešte rovnicu. Pri akých hodnotách parametra a má rovnica jedinečné riešenie?
Riešenie. Táto rovnica je ekvivalentná systému
Prítomnosť kvadratickej rovnice a podmienka jednoznačnosti riešenia zákonite povedie k hľadaniu koreňov diskriminantu. Pozornosť by však mala upútať podmienka x ≠ -3. A "jemný bod" je, že kvadratická rovnica systému môže mať dva korene! Ale len jeden z nich musí byť rovný -3. Máme
D= a 2 - 4, teda D = 0, ak a= ±2; x \u003d -3 - koreň rovnice x 2 - a x +1 = 0 at
a= -10/3 as touto hodnotou a druhý koreň kvadratickej rovnice je iný
Odpoveď. a= ±2 alebo a = -10/3.
4) Vyriešte rovnicu. Pri akých hodnotách parametra a rovnica
(a- 2)X 2 + (4 - 2a) X+3 = 0 má jedinečné riešenie?
Riešenie. Je jasné, že treba začať prípadom a= 2. Ale pri a = 2 Pôvodná rovnica nemá vôbec žiadne riešenia. Ak a ≠ 2, potom je táto rovnica kvadratická a zdá sa, že požadované hodnoty parametra sú koreňmi diskriminantu. Diskriminant však zmizne, keď a = 2 alebo a = 5. Odkedy sme to zistili a=2 nehodí sa teda
Odpoveď a = 5.
9) Vyriešte rovnicu. Pri akých hodnotách parametra a rovnica Oh 2 - 4X + a+ 3 = 0 má viac ako jeden koreň?
Riešenie. O a= 0 rovnica má jeden koreň, ktorý nespĺňa podmienku. O a≠ 0 pôvodná rovnica, ktorá je druhá mocnina, má dva korene, ak je jej diskriminant 16 – 4 a 2 – 12a pozitívne. Odtiaľ dostaneme -4<a<1.
Výsledný interval (-4; 1) však obsahuje číslo 0. Odpoveď. -4<a<0 или 0<a<1.
desať). Pri akých hodnotách parametra a rovnica a(a+3)X 2 + (2a+6)X– 3a– 9 = 0 má viac ako jeden koreň?
Riešenie. Štandardný krok - začnite prípadmi a= 0 a a= -3. O a= 0 rovnica má jedinečné riešenie. Je zvláštne, že pri a= -3 riešením rovnice je ľubovoľné reálne číslo. O a≠ -3 a a≠ 0, delením oboch strán tejto rovnice a + 3 dostaneme kvadratickú rovnicu Oh 2 + 2X- 3 = 0, ktorého diskriminant je 4 (1 + Z a) je kladné pre a > ⅓. Skúsenosti z predchádzajúcich príkladov naznačujú, že z intervalu
(-⅓ ;∞) musíte vylúčiť bod a= 0 a nezabudnite zahrnúť a = -3.
Odpoveď. a= -3 alebo - ⅓< а < 0, или а > 0.
11).Vyriešte rovnicu :
Riešenie. Najprv si všimnite, že táto rovnica je ekvivalentná rovnici, ktorá nemá žiadne riešenia. Ak
1. Úloha.
Pri akých hodnotách parametra a rovnica ( a - 1)X 2 + 2X + a- 1 = 0 má práve jeden koreň?
1. Rozhodnutie.
O a= 1 rovnica má tvar 2 X= 0 a má samozrejme jeden koreň X= 0. Ak ač. 1, potom je táto rovnica kvadratická a má jeden koreň pre tie hodnoty parametra, pre ktoré je diskriminant štvorcového trinomu rovný nule. Prirovnaním diskriminantu k nule dostaneme rovnicu pre parameter a
4a 2 - 8a= 0, odkiaľ a= 0 alebo a = 2.
1. Odpoveď: rovnica má jeden koreň at a 0(0; 1; 2).
2. Úloha.
Nájdite všetky hodnoty parametrov a, pre ktoré má rovnica dva rôzne korene X 2 +4sekera+8a+3 = 0.
2. Rozhodnutie.
Rovnica X 2 +4sekera+8a+3 = 0 má dva odlišné korene vtedy a len vtedy D =
16a 2 -4(8a+3) > 0. Dostaneme (po zmenšení spoločným faktorom 4) 4 a 2 -8a-3 > 0, odkiaľ
2. Odpoveď:
| a O (-Ґ ; 1 - | C 7 2 |
) A (1 + | C 7 2 |
; Ґ ). |
3. Úloha.
To je známe
f 2 (X) = 6X-X 2 -6.
a) Graf funkcie f 1 (X) pri a = 1.
b) V akej hodnote a funkčné grafy f 1 (X) a f 2 (X) majú jeden spoločný bod?
3. Riešenie.
3.a. Poďme sa transformovať f 1 (X) nasledujúcim spôsobom
Graf tejto funkcie a= 1 je znázornené na obrázku vpravo.
3.b. Okamžite si všimneme, že grafy funkcií r =
kx+b a r = sekera 2 +bx+c
(ač. 0) sa pretínajú v jedinom bode práve vtedy, ak kvadratická rovnica kx+b =
sekera 2 +bx+c má jeden koreň. Pomocou zobrazenia f 1 z 3.a, dávame rovnítko medzi diskriminant rovnice a = 6X-X 2-6 na nulu. Z rovnice 36-24-4 a= 0 dostaneme a= 3. Urobte to isté s rovnicou 2 X-a = 6X-X 2 -6 nájsť a= 2. Je ľahké overiť, či tieto hodnoty parametrov spĺňajú podmienky problému. odpoveď: a= 2 alebo a = 3.
4. Úloha.
Nájdite všetky hodnoty a, pod ktorým je množina riešení nerovnice X 2 -2sekera-3a i 0 obsahuje segment .
4. Riešenie.
Prvá súradnica vrcholu paraboly f(X) =
X 2 -2sekera-3a rovná sa X 0 =
a. Z vlastností kvadratickej funkcie podmienka f(X) i 0 na intervale je ekvivalentné súhrnu troch systémov
má presne dve riešenia?
5. Rozhodnutie.
Prepíšme túto rovnicu do tvaru X 2 + (2a-2)X - 3a+7 = 0. Toto je kvadratická rovnica, má práve dve riešenia, ak je jej diskriminant striktne väčší ako nula. Výpočtom diskriminantu dostaneme, že podmienkou mať práve dva korene je splnenie nerovnosti a 2 +a-6 > 0. Vyriešením nerovnice nájdeme a < -3 или a> 2. Prvou z nerovností sú zjavne riešenia v prirodzené čísla nemá a najmenšie prirodzené riešenie druhého je číslo 3.
5. Odpoveď: 3.
6. Úloha (10 buniek)
Nájdite všetky hodnoty a, pre ktoré je graf funkcie alebo po zrejmých transformáciách a-2 = |
2-a| . Posledná rovnica je ekvivalentná nerovnosti a ja 2.
6. Odpoveď: a O)
