Uvádza sa 8 príkladov faktorizácie polynómov. Zahŕňajú príklady s riešením kvadratických a bikvadratických rovníc, príklady s opakujúcimi sa polynómami a príklady s hľadaním celých koreňov polynómov tretieho a štvrtého stupňa.
Obsah
Pozri tiež: Metódy faktorizácie polynómov
Korene kvadratickej rovnice
Riešenie kubických rovníc
1. Príklady s riešením kvadratickej rovnice
Príklad 1.1
X 4 + x 3 - 6 x 2.
Vytiahnite x 2
pre zátvorky:
.
2 + x - 6 = 0:
.
Korene rovnice:
, .
.
Príklad 1.2
Faktorizácia polynómu tretieho stupňa:
X 3 + 6 x 2 + 9 x.
Vyberieme x zo zátvoriek:
.
Riešime kvadratickú rovnicu x 2 + 6 x + 9 = 0:
Jeho diskriminant je .
Od diskriminačného nula, potom korene rovnice sú viacnásobné: ;
.
Odtiaľ dostaneme rozklad polynómu na faktory:
.
Príklad 1.3
Rozloženie polynómu piateho stupňa:
X 5 – 2 x 4 + 10 x 3.
Vytiahnite x 3
pre zátvorky:
.
Riešime kvadratickú rovnicu x 2 - 2 x + 10 = 0.
Jeho diskriminant je .
Keďže diskriminant je menší ako nula, korene rovnice sú zložité: ;
, .
Faktorizácia polynómu má tvar:
.
Ak máme záujem o faktoring s reálnymi koeficientmi, potom:
.
Príklady faktorizácie polynómov pomocou vzorcov
Príklady s bikvadratickými polynómami
Príklad 2.1
Rozlož bikvadratický polynóm na faktor:
X 4 + x 2 - 20.
Použite vzorce:
a 2 + 2 ab + b 2 = (a + b) 2;
a 2 - b 2 = (a - b) (a + b).
;
.
Príklad 2.2
Faktorizácia polynómu, ktorý sa redukuje na bikvadratický:
X 8 + x 4 + 1.
Použite vzorce:
a 2 + 2 ab + b 2 = (a + b) 2;
a 2 - b 2 = (a - b) (a + b):
;
;
.
Príklad 2.3 s rekurzívnym polynómom
Faktorizácia rekurzívneho polynómu:
.
Rekurzívny polynóm má nepárny stupeň. Preto má koreň x = - 1
. Polynóm delíme x - (-1) = x + 1. V dôsledku toho dostaneme:
.
Robíme náhradu:
, ;
;
;
.
Príklady faktoringu polynómov s odmocninou celého čísla
Príklad 3.1
Rozloženie polynómu:
.
Predpokladajme rovnicu
6
-6, -3, -2, -1, 1, 2, 3, 6
.
(-6) 3 - 6 (-6) 2 + 11 (-6) - 6 = -504;
(-3) 3 - 6 (-3) 2 + 11 (-3) - 6 = -120;
(-2) 3 - 6 (-2) 2 + 11 (-2) - 6 = -60;
(-1) 3 - 6 (-1) 2 + 11 (-1) - 6 = -24;
1 3 - 6 1 2 + 11 1 - 6 = 0;
2 3 - 6 2 2 + 11 2 - 6 = 0;
3 3 – 6 3 2 + 11 3 – 6 = 0;
6 3 - 6 6 2 + 11 6 - 6 = 60.
Takže sme našli tri korene:
X 1 = 1
, X 2 = 2
, X 3 = 3
.
Keďže pôvodný polynóm je tretieho stupňa, nemá viac ako tri korene. Keďže sme našli tri korene, sú jednoduché. Potom
.
Príklad 3.2
Rozloženie polynómu:
.
Predpokladajme rovnicu
má aspoň jeden koreň celého čísla. Potom je to deliteľ čísla 2
(člen bez x). To znamená, že celý koreň môže byť jedným z čísel:
-2, -1, 1, 2
.
Nahraďte tieto hodnoty jednu po druhej:
(-2) 4 + 2 (-2) 3 + 3 (-2) 3 + 4 (-2) + 2 = 6
;
(-1) 4 + 2 (-1) 3 + 3 (-1) 3 + 4 (-1) + 2 = 0
;
1 4 + 2 1 3 + 3 1 3 + 4 1 + 2 = 12;
2 4 + 2 2 3 + 3 2 3 + 4 2 + 2 = 54.
Takže sme našli jeden koreň:
X 1 = -1
.
Polynóm delíme x - x 1 = x - (-1) = x + 1:
potom
.
Teraz musíme vyriešiť rovnicu tretieho stupňa:
.
Ak predpokladáme, že táto rovnica má celočíselný koreň, potom je deliteľom čísla 2
(člen bez x). To znamená, že celý koreň môže byť jedným z čísel:
1, 2, -1, -2
.
Nahradiť x = -1
:
.
Takže sme našli ďalší koreň x 2
= -1
. Bolo by možné, ako v predchádzajúcom prípade, rozdeliť polynóm číslom , ale zoskupíme členy:
.
Štvorcový trojčlen možno rozdeliť takto:
A x 2 + b x + c = a ⋅ (x − x 1) ⋅ (x − x 2)
kde a je číslo, koeficient pred najvyšším koeficientom,
x je premenná (to znamená písmeno),
x 1 a x 2 - čísla, korene kvadratická rovnica a x 2 + b x + c = 0 , ktoré sa nachádzajú cez diskriminant.
Ak má kvadratická rovnica iba jeden koreň, rozklad vyzerá takto:
a x 2 + b x + c = a ⋅ (x − x 0) 2
Príklady faktorizácie štvorcového trojčlenu:
- − x 2 + 6 x + 7 = 0 ⇒ x 1 = − 1, x 2 = 7
− x 2 + 6 x + 7 = (− 1) ⋅ (x − (− 1)) (x − 7) = − (x + 1) (x − 7) = (x + 1) (7 − x)
- − x 2 + 4 x − 4 = 0; ⇒ x0 = 2
− x 2 + 4 x − 4 = (− 1) ⋅ (x − 2) 2 = − (x − 2) 2
Ak je štvorcová trojčlenka neúplná (b = 0 alebo c = 0), možno ju rozdeliť nasledujúcimi spôsobmi:
- c = 0 ⇒ a x 2 + b x = x (a x + b)
- b = 0 ⇒ použite redukovaný vzorec násobenia pre rozdiel štvorcov.
Úlohy na samostatné riešenie
č. 1. Štvorcový trojčlen sa rozkladá na faktor: x 2 + 6 x - 27 = (x + 9) (x - a) . Nájsť .
Riešenie:
Najprv musíte prirovnať štvorcovú trojčlenku k nule, aby ste našli x 1 a x 2.
x 2 + 6 x − 27 = 0
a = 1, b = 6, c = - 27
D = b 2 − 4 a c = 6 2 − 4 ⋅ 1 ⋅ (− 27) = 36 + 108 = 144
D > 0 znamená, že budú existovať dva rôzne korene.
x 1,2 = − b ± D 2 a = − 6 ± 144 2 ⋅ 1 = [ − 6 + 12 2 = 6 2 = 3 − 6 − 12 2 = − 18 2 = − 9
Keď poznáme korene, rozkladáme štvorcovú trojčlenku:
x 2 + 6 x − 27 = (x − (− 9)) (x − 3) = (x + 9) (x − 3)
č. 2. Rovnica x 2 + p x + q \u003d 0 má korene - 5; 7. Nájdite q.
Riešenie:
1 spôsob:(musíte vedieť, ako sa rozkladá štvorcová trojčlenka)
Ak x 1 a x 2 sú korene štvorcového trinómu a x 2 + b x + c, potom to možno rozdeliť takto: a x 2 + b x + c = a ⋅ (x − x 1) ⋅ (x − x 2) .
Keďže v danej štvorcovej trojčlenke je vodiaci koeficient (faktor pred x 2) rovný jednej, rozklad bude nasledujúci:
x 2 + p x + q = (x − x 1) (x − x 2) = (x − (− 5)) (x − 7) = (x + 5) (x − 7) = x 2 − 7 x + 5 x - 35 = x 2 - 2 x - 35
x 2 + p x + q = x 2 − 2 x − 35 ⇒ p = − 2, q = − 35
2 spôsob: (musíte poznať vetu Vieta)
Vietov teorém:
Súčet koreňov redukovaného štvorcového trojčlenu x 2 + p x + q sa rovná jeho druhému koeficientu p s opačným znamienkom a súčin sa rovná voľnému členu q.
( x 1 + x 2 = − p x 1 ⋅ x 2 = q
q = x 1 ⋅ x 2 = (− 5) ⋅ 7 = − 35.
V prvom rade si poukážeme na niektoré bežne používané názvy. Uvažujme polynómy, ktoré obsahujú iba jedno písmeno, napríklad písmeno x. Najjednoduchší je potom polynóm, v ktorom sú dva členy a jeden z nich obsahuje písmeno x do prvého stupňa a druhý nemá písmeno x vôbec, napríklad 3x - 5 alebo 15 - 7x alebo 8z + 7 (tu sa namiesto písmena x používa písmeno z) atď. Takéto polynómy sa nazývajú lineárne binomy .
3x² - 5x + 7 alebo x² + 2x - 1
alebo 5y² + 7y + 8 alebo z² - 5z - 2 atď.
Takéto polynómy sa nazývajú štvorcové trojčlenky.
Potom môžeme zostaviť kubickú štvoricu, napríklad:
x³ + 2x² - x + 1 alebo 3x³ - 5x² - 2x - 3 atď.,
polynóm štvrtého stupňa, napríklad:
x 4 - 2x³ - 3x² + 4x - 5 atď.
Koeficienty pri x, x², x³ atď. je možné označiť aj písmenami, napríklad písmenami a, b, c atď. Potom dostaneme:
1) všeobecná forma binomický lineárny v x ax + b,
2) všeobecný tvar štvorcového trojčlenu (vzhľadom na x): ax² + bx + c,
3) všeobecný tvar kubickej trojčlenky (vzhľadom na x): ax³ + bx² + cx + d atď.
Nahradením písmen a, b, c, d ... v týchto vzorcoch rôznymi číslami dostaneme všetky druhy lineárnych dvojčlenov, štvorcových trojčlenov atď. Napríklad vo vzorci ax² + bx + c, ktorý vyjadruje všeobecný tvar štvorcového trojčlenu nahradíme písmeno a číslom + 3, písmeno b číslom -2 a písmeno c číslom -1, dostaneme štvorcový trojčlen 3x² - 2x - 1. V konkrétnom prípade napr. je tiež možné získať binomický bod nahradením jedného z písmen nulou, napríklad ak a = +1, b = 0 a c \u003d -3, dostaneme štvorcový binomický znak x² - 3.
Niektoré štvorcové trojčlenky sa dajú pomerne rýchlo naučiť faktorizovať na lineárne faktory. Obmedzíme sa však na zváženie iba takých štvorcových trojčlenov, ktoré spĺňajú nasledujúce podmienky:
1) koeficient v najvyššom čase (pri x²) je +1,
2) možno nájsť dve celé čísla (so znamienkami alebo dve relatívne celé čísla) také, že ich súčet sa rovná koeficientu x k prvej mocnine a ich súčin sa rovná členu bez x (kde nie je písmeno x na všetky).
Príklady. 1. x² + 5x + 6; je ľahké nájsť dve čísla (so znamienkami), aby sa ich súčet rovnal +5 (koeficient v x) a aby ich súčin = +6 (člen bez x), - tieto čísla sú: + 2 a +3 [samotné v skutočnosti +2 + 3 = +5 a (+2) ∙ (+3) = +6]. Pomocou týchto dvoch čísel nahradíme člen +5x dvoma členmi, a to: +2x + 3x (samozrejme +2x + 3x = +5x); potom bude náš technický výraz umelo prevedený na kvadrión x² + 2x + 3x + 6. Aplikujme naň techniku zoskupovania, pričom prvé dva výrazy umiestnime do jednej skupiny a posledné dva do inej:
x² + 5x + 6 = x² + 2x + 3x + 6 = x (x + 2) + 3 (x + 2) = (x + 2) (x + 3).
V prvej skupine sme uzatvorili x a v druhej +3 sme dostali dva členy, ktoré mali spoločný faktor (x + 2), ktorý bol tiež v zátvorkách, a naša trojčlenka x² + 5x + 6 sa rozložila na 2 lineárne faktory: x + 2 a x + 3.
2. x² - x - 12. Tu musíte nájsť dve čísla (relatívne) tak, aby ich súčet bol -1 a aby ich súčin bol -12. Takéto čísla sú: -4 a +3.
Kontrola: -4 + 3 = -1; (-4) (+3) = -12. Pomocou týchto čísel nahradíme výraz -x dvoma výrazmi: -x \u003d -4x + 3x, - dostaneme:
x² - x - 12 \u003d x² - 4x + 3x - 12 \u003d x (x - 4) + 3 (x - 4) \u003d (x - 4) (x + 3).
3. x² - 7x + 6; tu sú požadované čísla: -6 a -1. [Kontrola: -6 + (-1) = -7; (–6) (–1) = +6].
x² - 7x + 6 = x² - 6x - x + 6 = x (x - 6) - (x - 6) = (x - 6) (x - 1).
Tu museli byť členovia druhej skupiny -x + 6 uzavretí v zátvorkách so znamienkom mínus pred nimi.
4. x² + 8x - 48. Tu musíte nájsť dve čísla tak, aby ich súčet bol +8 a ich súčin -48. Keďže súčin musí mať znamienko mínus, potom musia byť požadované čísla s rôznymi znamienkami, pretože súčet našich čísel má znamienko +, absolútna hodnota kladného čísla musí byť väčšia. odvíjajúci sa aritmetické číslo 48 dvoma faktormi (a to sa dá urobiť rôznymi spôsobmi), dostaneme: : 48 = 4 ∙ 12. Potom sú naše čísla: +12 a -4. Čo nasleduje, je jednoduché:
x² + 8x - 48 = x² + 12x - 4x - 48 = x (x + 12) - 4 (x + 12) = (x + 12) (x - 4).
5. x² + 7x - 12. Tu musíte nájsť 2 čísla tak, aby ich súčet bol +7 a súčin = -12; 12 = 1 ∙ 12 = 2 ∙ 6 = 3 ∙ 4. Zjavne by boli vhodné čísla 3 a 4, ale treba ich brať s rôznymi znamienkami, aby sa ich súčin rovnal -12, a potom ich súčet v žiadnom prípade nie je môže byť +7 [–3 + (+4) = +1, +3 + (–4) = –1]. Iné rozklady tiež nedávajú požadované čísla; preto prichádzame k záveru, že tieto štvorcové trinómy ešte nedokážeme rozložiť na lineárne faktory, keďže naša metóda na to nie je použiteľná (nespĺňa druhú z podmienok, ktoré boli stanovené na začiatku).
Má štvorec a skladá sa z troch výrazov (). Takže to dopadá - štvorcová trojčlenka.
Príklady nieštvorcové trojčlenky:
\(x^3-3x^2-5x+6\) - kubický kvartér
\(2x+1\) - lineárny binomický znak
Odmocnina štvorcového trojčlenu:
Príklad:
Trojčlenka \(x^2-2x+1\) má koreň \(1\), pretože \(1^2-2 1+1=0\)
Trojčlenka \(x^2+2x-3\) má korene \(1\) a \(-3\), pretože \(1^2+2-3=0\) a \((-3)^ 2-6-3=9-9=0\)
Napríklad: ak potrebujete nájsť korene štvorcového trojčlenu \(x^2-2x+1\), prirovnáme ho k nule a vyriešime rovnicu \(x^2-2x+1=0\).
\(D=4-4\cdot1=0\)
\(x=\frac(2-0)(2)=\frac(2)(2)=1\)
Pripravený. Koreň je \(1\).
Rozklad štvorcového trojčlenu na:
Štvorcový trojčlen \(ax^2+bx+c\) možno rozšíriť ako \(a(x-x_1)(x-x_2)\), ak sú rovnice \(ax^2+bx+c=0\) väčšie ako nula \ (x_1\) a \(x_2\) sú koreňmi tej istej rovnice).
Napríklad, zvážte trojčlenku \(3x^2+13x-10\).
Kvadratická rovnica \(3x^2+13x-10=0\) má diskriminant rovný 289 (väčší ako nula) a korene sú rovné \(-5\) a \(\frac(2)(3 )\). Takže \(3x^2+13x-10=3(x+5)(x-\frac(2)(3))\). Je ľahké overiť správnosť tohto tvrdenia - ak budeme , dostaneme pôvodnú trojčlenku.
Štvorcový trojčlen \(ax^2+bx+c\) môže byť reprezentovaný ako \(a(x-x_1)^2\), ak je diskriminant rovnice \(ax^2+bx+c=0\) rovná nule.
Napríklad, zvážte trojčlenku \(x^2+6x+9\).Kvadratická rovnica \(x^2+6x+9=0\) má diskriminant rovný \(0\) a jediný koreň sa rovná \(-3\). Takže, \(x^2+6x+9=(x+3)^2\) (tu je koeficient \(a=1\), takže nie je potrebné písať pred zátvorku). Upozorňujeme, že rovnakú transformáciu môže vykonať .
Štvorcová trojčlenka \(ax^2+bx+c\) sa nerozloží, ak je diskriminant rovnice \(ax^2+bx+c=0\) menší ako nula.
Napríklad, trojčlenky \(x^2+x+4\) a \(-5x^2+2x-1\) majú diskriminant menší ako nula. Preto je nemožné ich rozložiť na faktory.
Príklad
. Faktor \(2x^2-11x+12\).
Riešenie
:
Nájdite korene kvadratickej rovnice \(2x^2-11x+12=0\)
\(D=11^2-4 \cdot 2 \cdot 12=121-96=25>0\)
\(x_1=\frac(11-5)(4)=1,5;\) \(x_2=\frac(11+5)(4)=4.\)
Takže \(2x^2-11x+12=2(x-1,5)(x-4)\)
Odpoveď
: \(2(x-1,5)(x-4)\)
Prijatú odpoveď je možné zapísať aj iným spôsobom: \((2x-3)(x-4)\).
Príklad
. (Zadanie od OGE)Štvorcová trojčlenka je rozdelená na \(5x^2+33x+40=5(x++ 5)(x-a)\). Nájsť\).
Riešenie:
\(5x^2+33x+40=0\)
\(D=33^2-4 \cdot 5 \cdot 40=1089-800=289=17^2\)
\(x_1=\frac(-33-17)(10)=-5\)
\(x_2=\frac(-33+17)(10)=-1,6\)
\(5x^2+33x+40=5(x+5)(x+1,6)\)
Odpoveď
: \(-1,6\)
