Մենք կվերլուծենք երկու տեսակի հավասարումների լուծման համակարգեր.
1. Համակարգի լուծումը փոխարինման մեթոդով.
2. Համակարգի լուծումը համակարգի հավասարումների գումարումով (հանումով):
Հավասարումների համակարգը լուծելու համար փոխարինման մեթոդդուք պետք է հետևեք մի պարզ ալգորիթմի.
1. Արտահայտում ենք. Ցանկացած հավասարումից մենք արտահայտում ենք մեկ փոփոխական։
2. Փոխարինող. Արտահայտված փոփոխականի փոխարեն մեկ այլ հավասարման մեջ փոխարինում ենք ստացված արժեքը։
3. Ստացված հավասարումը լուծում ենք մեկ փոփոխականով։ Մենք համակարգին լուծում ենք գտնում.
Լուծել համակարգ ըստ ժամկետային գումարման (հանման)անհրաժեշտություն:
1. Ընտրեք փոփոխական, որի համար մենք կկազմենք նույն գործակիցները։
2. Հավասարումները գումարում կամ հանում ենք, արդյունքում ստանում ենք մեկ փոփոխականով հավասարում։
3. Մենք լուծում ենք ստացված գծային հավասարումը. Մենք համակարգին լուծում ենք գտնում.
Համակարգի լուծումը ֆունկցիայի գրաֆիկների հատման կետերն են։
Եկեք մանրամասն քննարկենք համակարգերի լուծումը օրինակներով:
Օրինակ #1:
Եկեք լուծենք փոխարինման մեթոդով
Հավասարումների համակարգի լուծումը փոխարինման մեթոդով2x+5y=1 (1 հավասարում)
x-10y=3 (2-րդ հավասարում)
1. Էքսպրես
Երևում է, որ երկրորդ հավասարման մեջ կա x փոփոխական 1 գործակցով, հետևաբար պարզվում է, որ ամենահեշտն է արտահայտել x փոփոխականը երկրորդ հավասարումից։
x=3+10y
2. Արտահայտելուց հետո առաջին հավասարման մեջ x փոփոխականի փոխարեն փոխարինում ենք 3 + 10y:
2(3+10y)+5y=1
3. Ստացված հավասարումը լուծում ենք մեկ փոփոխականով։
2(3+10y)+5y=1 (բաց փակագծեր)
6+20y+5y=1
25y=1-6
25y=-5 |: (25)
y=-5։25
y=-0.2
Հավասարումների համակարգի լուծումը գրաֆիկների հատման կետերն են, հետևաբար պետք է գտնել x և y, քանի որ հատման կետը բաղկացած է x-ից և y-ից։Գտնենք x-ը, առաջին պարբերությունում, որտեղ արտահայտել ենք, այնտեղ փոխարինում ենք y-ը։
x=3+10y
x=3+10*(-0.2)=1
Ընդունված է առաջին տեղում գրել կետեր, գրում ենք x փոփոխականը, իսկ երկրորդում՝ y փոփոխականը։
Պատասխան՝ (1; -0.2)
Օրինակ #2:
Եկեք լուծենք անդամ առ անդամ գումարումով (հանումով).
Հավասարումների համակարգի լուծում գումարման մեթոդով3x-2y=1 (1 հավասարում)
2x-3y=-10 (2-րդ հավասարում)
1. Ընտրեք փոփոխական, ասենք ընտրում ենք x: Առաջին հավասարման մեջ x փոփոխականն ունի 3 գործակից, երկրորդում՝ 2։ Մենք պետք է գործակիցները դարձնենք նույնը, դրա համար մենք իրավունք ունենք բազմապատկել հավասարումները կամ բաժանել ցանկացած թվի։ Առաջին հավասարումը բազմապատկեք 2-ով, իսկ երկրորդը 3-ով ստացեք ընդհանուր գործակիցը 6.
3x-2y=1 |*2
6x-4y=2
2x-3y=-10 |*3
6x-9y=-30
2. Առաջին հավասարումից հանում ենք երկրորդը՝ x փոփոխականից ազատվելու համար, լուծում ենք գծային հավասարումը։
__6x-4y=2
5y=32 | :5
y=6.4
3. Գտիր x. Գտնված y-ը փոխարինում ենք ցանկացած հավասարման մեջ, ասենք առաջին հավասարման մեջ։
3x-2y=1
3x-2*6.4=1
3x-12.8=1
3x=1+12,8
3x=13.8 |:3
x=4.6
հատման կետը կլինի x=4,6; y=6.4
Պատասխան՝ (4.6; 6.4)
Ցանկանու՞մ եք անվճար պատրաստվել քննություններին: Ուսուցիչ առցանց անվճար է. Առանց կատակի.
Ձեր ուշադրությանն առաջարկված անվճար հաշվիչը ունի մաթեմատիկական հաշվարկների հնարավորությունների հարուստ զինանոց։ Այն թույլ է տալիս օգտագործել առցանց հաշվիչը տարբեր ոլորտներգործունեություն: կրթական, պրոֆեսիոնալև կոմերցիոն. Իհարկե, առցանց հաշվիչի օգտագործումը հատկապես տարածված է ուսանողներըև դպրոցականներ, դա նրանց համար շատ ավելի հեշտ է դարձնում տարբեր հաշվարկներ կատարելը։
Այնուամենայնիվ, հաշվիչը կարող է օգտակար գործիք լինել բիզնեսի որոշ ոլորտներում և տարբեր մասնագիտությունների տեր մարդկանց համար: Իհարկե, բիզնեսում կամ աշխատանքում հաշվիչ օգտագործելու անհրաժեշտությունը որոշվում է հիմնականում բուն գործունեության տեսակով: Եթե բիզնեսը և մասնագիտությունը կապված են մշտական հաշվարկների և հաշվարկների հետ, ապա արժե փորձել էլեկտրոնային հաշվիչը և գնահատել դրա օգտակարության աստիճանը կոնկրետ բիզնեսի համար:
Այս առցանց հաշվիչը կարող է
- Ճիշտ կատարեք մեկ տողով գրված ստանդարտ մաթեմատիկական ֆունկցիաները, ինչպես. 12*3-(7/2) և կարող է կարգավորել ավելի մեծ թվեր, քան մենք հաշվում ենք հսկայական թվեր առցանց հաշվիչում: Մենք նույնիսկ չգիտենք, թե ինչպես ճիշտ զանգահարել այդպիսի համար ( կան 34 նիշ, և սա ամենևին էլ սահմանը չէ).
- Բացառությամբ շոշափող, կոսինուս, սինուսև այլ ստանդարտ գործառույթներ - հաշվիչը աջակցում է հաշվարկային գործողություններին աղեղային շոշափող, աղեղային շոշափողեւ ուրիշներ.
- Հասանելի է զինանոցում լոգարիթմներ, ֆակտորիալներև այլ հիանալի հատկություններ
- Այս առցանց հաշվիչը կարող է կազմել գծապատկերներ!!!
Գրաֆիկները գծագրելու համար ծառայությունն օգտագործում է հատուկ կոճակ (մոխրագույն գրաֆիկը գծված է) կամ այս ֆունկցիայի բառացի ներկայացումը (Plot): Առցանց հաշվիչում գրաֆիկ ստեղծելու համար պարզապես գրեք ֆունկցիա. հողամաս(tan(x)),x=-360..360.
Մենք վերցրեցինք շոշափողի ամենապարզ գծապատկերը, իսկ տասնորդական կետից հետո մենք նշեցինք X փոփոխականի միջակայքը -360-ից մինչև 360:
Դուք կարող եք կառուցել բացարձակապես ցանկացած գործառույթ, ցանկացած թվով փոփոխականներով, օրինակ. հողամաս (cos(x)/3z, x=-180..360,z=4)Կամ նույնիսկ ավելի բարդ, քան դուք կարող եք մտածել: Մենք ուշադրություն ենք դարձնում X փոփոխականի վարքագծին - ից և դեպի միջակայքը նշվում է երկու կետով:
Սրա միակ բացասականը (թեև դժվար է դա բացասական անվանել): առցանց հաշվիչսա այն է, որ նա չգիտի, թե ինչպես կառուցել գնդիկներ և այլ եռաչափ պատկերներ՝ միայն ինքնաթիռ:
Ինչպես աշխատել մաթեմատիկական հաշվիչի հետ
1. Ցուցադրումը (հաշվիչի էկրանը) ցուցադրում է մուտքագրված արտահայտությունը և դրա հաշվարկի արդյունքը սովորական նիշերով, ինչպես գրում ենք թղթի վրա։ Այս դաշտը պարզապես ընթացիկ գործողությունը դիտելու համար է: Մուտքը ցուցադրվում է էկրանին, երբ մուտքագրում եք մաթեմատիկական արտահայտություն մուտքագրման տողում:
2. Արտահայտության մուտքագրման դաշտը նախատեսված է հաշվարկվող արտահայտությունը գրելու համար։ Այստեղ պետք է նշել, որ համակարգչային ծրագրերում օգտագործվող մաթեմատիկական նշանները միշտ չէ, որ համընկնում են նրանց, որոնք մենք սովորաբար օգտագործում ենք թղթի վրա։ Հաշվիչի յուրաքանչյուր գործառույթի ակնարկում դուք կգտնեք որոշակի գործողության ճիշտ նշանակումը և հաշվարկների օրինակները: Ստորև բերված այս էջում ներկայացված է հաշվիչի բոլոր հնարավոր գործողությունների ցանկը՝ նշելով նաև դրանց ճիշտ ուղղագրությունը:
3. Գործիքադարակ - դրանք հաշվիչի կոճակներ են, որոնք փոխարինում են համապատասխան գործողությունը ցույց տվող մաթեմատիկական նշանների ձեռքով մուտքագրմանը: Հաշվիչի որոշ կոճակներ (լրացուցիչ գործառույթներ, միավորի փոխարկիչ, մատրիցների և հավասարումների լուծում, գրաֆիկներ) լրացնում են առաջադրանքների տողը նոր դաշտերով, որտեղ մուտքագրվում են տվյալներ կոնկրետ հաշվարկի համար: «Պատմություն» դաշտը պարունակում է մաթեմատիկական արտահայտություններ գրելու օրինակներ, ինչպես նաև ձեր վերջին վեց գրառումները:
Խնդրում ենք նկատի ունենալ, որ երբ սեղմում եք լրացուցիչ գործառույթներ կանչելու կոճակները, արժեքների փոխարկիչը, մատրիցները և հավասարումները լուծելը, գրաֆիկները գծագրելը, հաշվիչի ամբողջ վահանակը տեղաշարժվում է վերև՝ ծածկելով էկրանի մի մասը: Լրացրե՛ք պահանջվող դաշտերը և սեղմե՛ք «I» ստեղնը (նկարում կարմիրով ընդգծված) էկրանը լրիվ չափով տեսնելու համար:
4. Թվային ստեղնաշարը պարունակում է թվեր և թվաբանական նշաններ: «C» կոճակը ջնջում է ամբողջ մուտքը արտահայտության մուտքագրման դաշտում: Նիշերը մեկ առ մեկ ջնջելու համար անհրաժեշտ է օգտագործել մուտքագրման տողի աջ կողմում գտնվող սլաքը:
Փորձեք միշտ փակել փակագծերը արտահայտության վերջում: Գործողությունների մեծ մասի համար դա կարևոր չէ, առցանց հաշվիչը ամեն ինչ ճիշտ կհաշվարկի: Այնուամենայնիվ, որոշ դեպքերում հնարավոր են սխալներ: Օրինակ, կոտորակային հզորության բարձրացման ժամանակ, չփակված փակագծերը կհանգեցնեն նրան, որ ցուցիչի կոտորակի հայտարարը գնալու է հիմքի հայտարարի: Էկրանի վրա փակող փակագիծը նշված է գունատ մոխրագույնով, այն պետք է փակվի, երբ ձայնագրությունն ավարտվի:
| Բանալի | Խորհրդանիշ | Գործողություն |
|---|---|---|
| պի | պի | հաստատուն pi |
| ե | ե | Էյլերի համարը |
| % | % | տոկոս |
| () | () | Բացել/Փակել փակագծերը |
| , | , | Ստորակետ |
| մեղք | մեղք (?) | Անկյունի սինուս |
| cos | cos(?) | Կոսինուս |
| tan | tan(y) | Շոշափող |
| սինհ | sinh () | Հիպերբոլիկ սինուս |
| կանխիկ | cosh () | Հիպերբոլիկ կոսինուս |
| տանհ | tanh () | Հիպերբոլիկ շոշափող |
| մեղք-1 | ասին () | Հակադարձ սինուս |
| cos-1 | acos () | հակադարձ կոսինուս |
| թան-1 | Աթան () | հակադարձ շոշափող |
| սինհ-1 | asinh () | Հակադարձ հիպերբոլիկ սինուս |
| կոշ-1 | ակոշ () | Հակադարձ հիպերբոլիկ կոսինուս |
| տանհ-1 | atanh () | Հակադարձ հիպերբոլիկ շոշափող |
| x2 | ^2 | Քառակուսի |
| x 3 | ^3 | Cube |
| x y | ^ | Էքսպոենտացիա |
| 10 x | 10^() | Բարձրացում 10-րդ հիմքում |
| նախկին | exp() | Էյլերի թվի աստիճանականացում |
| vx | sqrt (x) | Քառակուսի արմատ |
| 3vx | sqrt3 (x) | 3-րդ աստիճանի արմատ |
| yvx | քառակուսի (x, y) | արմատների արդյունահանում |
| մատյան 2 x | log2 (x) | երկուական լոգարիթմ |
| գերան | տեղեկամատյան (x) | Տասնորդական լոգարիթմ |
| ln | տեղեկամատյան (x) | բնական լոգարիթմ |
| log yx | տեղեկամատյան (x,y) | Լոգարիթմ |
| I / II | Նվազագույնի հասցնել/զանգել լրացուցիչ գործառույթներ | |
| միավոր | Միավորի փոխարկիչ | |
| մատրիցա | մատրիցներ | |
| լուծել | Հավասարումներ և հավասարումների համակարգեր | |
| Դավադրություն | ||
| Լրացուցիչ գործառույթներ (զանգել II ստեղնով) | ||
| ռեժիմ | ռեժիմ | Բաժանում մնացորդով |
| ! | ! | Գործոնային |
| i/j | i/j | երևակայական միավոր |
| Re | Re() | Ամբողջ իրական մասի ընտրություն |
| Ես | Ես() | Իրական մասի բացառումը |
| |x| | abs () | Թվի բացարձակ արժեքը |
| Արգ | arg () | Ֆունկցիայի փաստարկ |
| nCr | ncr () | Երկանդամ գործակից |
| gcd | gcd () | GCD |
| lcm | lcm () | ՀԱՕԿ |
| գումար | գումար () | Բոլոր լուծումների գումարային արժեքը |
| դեմք | factorize () | Առաջնային ֆակտորիզացիա |
| տարբերություն | տարբերություն () | Տարբերակում |
| աստիճան | աստիճաններ | |
| Ռադ | ռադիաններ | |
I. կացին 2 \u003d 0 – թերի քառակուսի հավասարում (b=0, c=0 ). Լուծում` x=0: Պատասխան՝ 0:
Լուծել հավասարումներ.
2x·(x+3)=6x-x 2.
Լուծում.Ընդարձակեք փակագծերը՝ բազմապատկելով 2xփակագծերում յուրաքանչյուր տերմինի համար.
2x2 +6x=6x-x2; տերմինները աջից ձախ կողմ տեղափոխելը.
2x2 +6x-6x+x2=0; Ահա նմանատիպ տերմիններ.
3x 2 =0, հետևաբար x=0:
Պատասխան. 0.
II. ax2+bx=0 –թերի քառակուսի հավասարում (s=0 ). Լուծում` x (ax+b)=0 → x 1 =0 կամ ax+b=0 → x 2 =-b/a: Պատասխան՝ 0; -բ/ա.
5x2 -26x=0.
Լուծում.Հեռացրեք ընդհանուր գործոնը Xփակագծերի համար.
x(5x-26)=0; յուրաքանչյուր գործոն կարող է լինել զրո.
x=0կամ 5x-26=0→ 5x=26, հավասարության երկու կողմերը բաժանե՛ք 5 և մենք ստանում ենք՝ x \u003d 5.2.
Պատասխան. 0; 5,2.
Օրինակ 3 64x+4x2=0.
Լուծում.Հեռացրեք ընդհանուր գործոնը 4xփակագծերի համար.
4x(16+x)=0: Մենք ունենք երեք գործոն՝ 4≠0, հետևաբար, կամ x=0կամ 16 + x=0. Վերջին հավասարումից ստանում ենք x=-16։
Պատասխան. -16; 0.
Օրինակ 4(x-3) 2 +5x=9.
Լուծում.Կիրառելով երկու արտահայտությունների տարբերության քառակուսու բանաձևը՝ բացեք փակագծերը.
x 2 -6x+9+5x=9; փոխակերպել ձևի՝ x 2 -6x+9+5x-9=0; Ահա նմանատիպ տերմիններ.
x2-x=0; դիմանալ Xփակագծերից դուրս ստանում ենք՝ x (x-1)=0։ Այստեղից կամ x=0կամ x-1=0→ x=1.
Պատասխան. 0; 1.
III. ax2+c=0 –թերի քառակուսի հավասարում (b=0 ); Լուծում ՝ կացին 2 \u003d -c → x 2 \u003d -c / a:
Եթե (-c/a)<0 , ուրեմն իրական արմատներ չկան։ Եթե (-s/a)>0
Օրինակ 5 x 2 -49=0.
Լուծում.
x 2 \u003d 49, այստեղից x=±7. Պատասխան.-7; 7.
Օրինակ 6 9x2-4=0.
Լուծում.
Հաճախ պահանջվում է գտնել քառակուսի հավասարման արմատների քառակուսիների գումարը (x 1 2 + x 2 2) կամ խորանարդների գումարը (x 1 3 + x 2 3), ավելի հազվադեպ՝ փոխադարձների գումարը։ արմատների քառակուսիները կամ թվաբանության գումարը քառակուսի արմատներքառակուսի հավասարման արմատներից.
Վիետայի թեորեմը կարող է օգնել այս հարցում.
x 2 +px+q=0
x 1 + x 2 \u003d-p; x 1 ∙ x 2 \u003d q.
Էքսպրես միջոցով էջև ք:
1) հավասարման արմատների քառակուսիների գումարը x2+px+q=0;
2) հավասարման արմատների խորանարդների գումարը x2+px+q=0.
Լուծում.
1) Արտահայտություն x 1 2 + x 2 2ստացվում է հավասարման երկու կողմերը քառակուսի դնելով x 1 + x 2 \u003d-p;
(x 1 +x 2) 2 \u003d (-p) 2; բացեք փակագծերը՝ x 1 2 +2x 1 x 2 + x 2 2 =p 2; մենք արտահայտում ենք ցանկալի գումարը՝ x 1 2 +x 2 2 \u003d p 2 -2x 1 x 2 \u003d p 2 -2q: Մենք ունենք օգտակար հավասարում. x 1 2 +x 2 2 \u003d p 2 -2q.
2) Արտահայտություն x 1 3 + x 2 3Ներկայացրե՛ք խորանարդների գումարի բանաձևով.
(x 1 3 + x 2 3) = (x 1 + x 2) (x 1 2 -x 1 x 2 + x 2 2) = - p (p 2 -2q-q) = - p (p 2 -3q )
Մեկ այլ օգտակար հավասարում. x 1 3 + x 2 3 \u003d-p (p 2 -3q):
Օրինակներ.
3) x 2 -3x-4=0.Առանց հավասարումը լուծելու, հաշվարկիր արտահայտության արժեքը x 1 2 + x 2 2.
Լուծում.
x 1 + x 2 \u003d-p \u003d 3,և աշխատանքը x 1 ∙x 2 \u003d q \u003dօրինակ 1-ում) հավասարություն:
x 1 2 +x 2 2 \u003d p 2 -2q.Մենք ունենք -էջ=x 1 +x 2 = 3 → p 2 =3 2 =9; q= x 1 x 2 = -4. Հետո x 1 2 + x 2 2 =9-2 (-4)=9+8=17.
Պատասխան. x 1 2 + x 2 2 =17.
4) x 2 -2x-4=0.Հաշվել՝ x 1 3 +x 2 3 .
Լուծում.
Վիետայի թեորեմով այս կրճատված քառակուսի հավասարման արմատների գումարը x 1 + x 2 \u003d-p \u003d 2,և աշխատանքը x 1 ∙x 2 \u003d q \u003d- չորս. Եկեք կիրառենք այն, ինչ ստացել ենք ( օրինակ 2-ում) հավասարություն: x 1 3 +x 2 3 \u003d-p (p 2 -3q) \u003d 2 (2 2 -3 (-4))=2 (4+12)=2 16=32.
Պատասխան. x 1 3 + x 2 3 =32.
Հարց. իսկ եթե մեզ տրվի ոչ կրճատված քառակուսի հավասարում: Պատասխան. այն միշտ կարելի է «նվազեցնել»՝ անդամ առ անդամ բաժանելով առաջին գործակցի վրա։
5) 2x2 -5x-7=0.Առանց լուծելու, հաշվարկեք. x 1 2 + x 2 2.
Լուծում.Մեզ տրվում է ամբողջական քառակուսի հավասարում: Հավասարման երկու կողմերը բաժանեք 2-ի (առաջին գործակիցը) և ստացեք հետևյալ քառակուսային հավասարումը. x 2 -2,5x-3,5 \u003d 0.
Վիետայի թեորեմով արմատների գումարը կազմում է 2,5 ; արմատների արտադրանքն է -3,5 .
Մենք լուծում ենք նույն կերպ, ինչպես օրինակ 3) օգտագործելով հավասարությունը. x 1 2 +x 2 2 \u003d p 2 -2q.
x 1 2 +x 2 2 =p 2 -2q= 2,5 2 -2∙(-3,5)=6,25+7=13,25.
Պատասխան. x 1 2 + x 2 2 = 13,25.
6) x2 -5x-2=0.Գտնել.
Եկեք վերափոխենք այս հավասարությունը և, փոխարինելով արմատների գումարը Վիետայի թեորեմով, -էջ, իսկ արտադրանքը արմատների միջոցով ք, ստանում ենք մեկ այլ օգտակար բանաձեւ. Բանաձևը հանելիս օգտագործեցինք հավասարություն 1): x 1 2 +x 2 2 \u003d p 2 -2q.
Մեր օրինակում x 1 + x 2 \u003d -p \u003d 5; x 1 ∙x 2 \u003d q \u003d-2. Փոխարինեք այս արժեքները ստացված բանաձևով.
7) x 2 -13x+36=0.Գտնել.
Փոխակերպենք այս գումարը և ստանանք բանաձև, որով հնարավոր կլինի քառակուսի հավասարման արմատներից գտնել թվաբանական քառակուսի արմատների գումարը։
Մենք ունենք x 1 + x 2 \u003d -p \u003d 13; x 1 ∙x 2 \u003d q \u003d 36. Փոխարինեք այս արժեքները ստացված բանաձևով.
Խորհուրդ Միշտ ստուգեք քառակուսի հավասարման արմատները գտնելու հնարավորությունը ըստ հարմար միջոց, Ամենից հետո 4 վերանայվել է օգտակար բանաձևերթույլ է տալիս արագ կատարել առաջադրանքը, առաջին հերթին, այն դեպքերում, երբ տարբերակիչը «անհարմար» թիվ է: Բոլոր պարզ դեպքերում գտեք արմատները և վիրահատեք դրանք։ Օրինակ, վերջին օրինակում մենք ընտրում ենք արմատները՝ օգտագործելով Վիետայի թեորեմը. արմատների գումարը պետք է հավասար լինի. 13 , և արմատների արտադրանքը 36 . Որո՞նք են այս թվերը: Իհարկե, 4 և 9.Այժմ հաշվարկեք այս թվերի քառակուսի արմատների գումարը. 2+3=5. Վե՛րջ:
I. Վիետայի թեորեմըկրճատված քառակուսի հավասարման համար:
Կրճատված քառակուսի հավասարման արմատների գումարը x 2 +px+q=0հավասար է երկրորդ գործակցին, վերցված հակառակ նշանով, իսկ արմատների արտադրյալը հավասար է ազատ անդամին.
x 1 + x 2 \u003d-p; x 1 ∙ x 2 \u003d q.
Վիետայի թեորեմով գտե՛ք տրված քառակուսային հավասարման արմատները։
Օրինակ 1) x 2 -x-30=0.Սա կրճատված քառակուսի հավասարումն է ( x 2 +px+q=0), երկրորդ գործակիցը p=-1, իսկ ազատ ժամկետը q=-30.Նախ, համոզվեք, որ տրված հավասարումն ունի արմատներ, և որ արմատները (եթե այդպիսիք կան) արտահայտվեն որպես ամբողջ թվեր: Դրա համար բավական է, որ խտրականը լինի լրիվ քառակուսիամբողջ թիվ.
Գտնելով խտրականին Դ=b 2 - 4ac=(-1) 2 -4∙1∙(-30)=1+120=121= 11 2 .
Այժմ, Վիետայի թեորեմի համաձայն, արմատների գումարը պետք է հավասար լինի երկրորդ գործակցին, որը վերցված է հակառակ նշանով, այսինքն. ( -էջ), իսկ արտադրյալը հավասար է ազատ տերմինին, այսինքն. ( ք). Ապա.
x 1 + x 2 =1; x 1 ∙ x 2 \u003d -30:Պետք է ընտրել այնպիսի երկու թիվ, որ դրանց արտադրյալը հավասար լինի -30 , իսկ գումարը կազմում է միավոր. Սրանք թվերն են -5 և 6 . Պատասխան՝ -5; 6.
Օրինակ 2) x 2 +6x+8=0.Երկրորդ գործակցի հետ ունենք կրճատված քառակուսային հավասարում p=6և ազատ անդամ q=8. Համոզվեք, որ կան ամբողջ թվային արմատներ: Գտնենք խտրականին D1 D1=3 2 -1∙8=9-8=1=1 2 . D 1 դիսկրիմինանտը թվի կատարյալ քառակուսին է 1 , ուրեմն այս հավասարման արմատները ամբողջ թվեր են։ Արմատներն ընտրում ենք Վիետայի թեորեմի համաձայն՝ արմատների գումարը հավասար է –p=-6, իսկ արմատների արտադրանքն է q=8. Սրանք թվերն են -4 և -2 .
Փաստացի՝ -4-2=-6=-p; -4∙(-2)=8=ք. Պատասխան՝ -4; -2.
Օրինակ 3) x 2 +2x-4=0. Այս կրճատված քառակուսի հավասարման մեջ երկրորդ գործակիցը p=2, իսկ ազատ ժամկետը q=-4. Գտնենք խտրականին D1, քանի որ երկրորդ գործակիցը զույգ թիվ է։ D1=1 2 -1∙(-4)=1+4=5. Տարբերիչը թվի կատարյալ քառակուսին չէ, այնպես որ մենք անում ենք եզրակացություն: Այս հավասարման արմատները ամբողջ թվեր չեն և հնարավոր չէ գտնել Վիետայի թեորեմի միջոցով:Այսպիսով, մենք լուծում ենք այս հավասարումը, ինչպես միշտ, ըստ բանաձևերի (in այս դեպքըբանաձևեր): Մենք ստանում ենք.
Օրինակ 4):Գրի՛ր քառակուսի հավասարում, օգտագործելով դրա արմատները, եթե x 1 \u003d -7, x 2 \u003d 4.
Լուծում.Ցանկալի հավասարումը կգրվի հետևյալ ձևով. x 2 +px+q=0, ընդ որում՝ հիմնվելով Վիետայի թեորեմի վրա –p=x1 +x2=-7+4=-3 →p=3; q=x 1 ∙x 2=-7∙4=-28 . Այնուհետև հավասարումը կստանա հետևյալ ձևը. x2 +3x-28=0.
Օրինակ 5):Գրեք քառակուսի հավասարում, օգտագործելով դրա արմատները, եթե.
II. Վիետայի թեորեմաամբողջական քառակուսի հավասարման համար ax2+bx+c=0.
Արմատների գումարը մինուս է բբաժանված ա, արմատների արտադրանքն է Հետբաժանված ա:
x 1 + x 2 \u003d -b / a; x 1 ∙ x 2 \u003d գ / ա.
Օրինակ 6):Գտե՛ք քառակուսի հավասարման արմատների գումարը 2x2 -7x-11=0.
Լուծում.
Մենք համոզված ենք, որ այս հավասարումը արմատներ կունենա։ Դա անելու համար բավական է գրել դիսկրիմինանտի համար արտահայտություն, և առանց այն հաշվարկելու, պարզապես համոզվել, որ դիսկրիմինանտը զրոյից մեծ է։ Դ=7 2 -4∙2∙(-11)>0 . Իսկ հիմա օգտվենք թեորեմա Վիետաամբողջական քառակուսի հավասարումների համար.
x 1 + x 2 =-b:a=- (-7):2=3,5.
Օրինակ 7). Գտե՛ք քառակուսի հավասարման արմատների արտադրյալը 3x2 +8x-21=0.
Լուծում.
Գտնենք խտրականին D1, սկսած երկրորդ գործակիցից ( 8 ) զույգ թիվ է։ D1=4 2 -3∙(-21)=16+63=79>0 . Քառակուսային հավասարումն ունի 2 արմատ, ըստ Վիետայի թեորեմի՝ արմատների արտադրյալը x 1 ∙ x 2 \u003d գ՝ ա=-21:3=-7.
I. կացին 2 +bx+c=0ընդհանուր քառակուսի հավասարում է
Խտրական D=b 2 - 4ac.
Եթե D>0, ապա մենք ունենք երկու իրական արմատներ.
Եթե D=0, ապա մենք ունենք մեկ արմատ (կամ երկու հավասար արմատ) x=-b/(2a).
Եթե Դ<0, то действительных корней нет.
Օրինակ 1) 2x2 +5x-3=0.
Լուծում. ա=2; բ=5; գ=-3.
D=b 2-4ac=5 2 -4∙2∙(-3)=25+24=49=7 2 >0; 2 իրական արմատներ.
4x2 +21x+5=0.
Լուծում. ա=4; բ=21; գ=5.
D=b 2-4ac=21 2 - 4∙4∙5=441-80=361=19 2 >0; 2 իրական արմատներ.
II. ax2+bx+c=0 – հատուկ քառակուսի հավասարում նույնիսկ մեկ վայրկյան
գործակիցը բ
Օրինակ 3) 3x2 -10x+3=0.
Լուծում. ա=3; բ\u003d -10 (զույգ թիվ); գ=3.
Օրինակ 4) 5x2-14x-3=0:
Լուծում. ա=5; բ= -14 (զույգ թիվ); գ=-3.
Օրինակ 5) 71x2 +144x+4=0.
Լուծում. ա=71; բ=144 (զույգ թիվ); գ=4.
Օրինակ 6) 9x 2 -30x+25=0:
Լուծում. ա=9; բ\u003d -30 (զույգ թիվ); գ=25.
III. ax2+bx+c=0 – քառակուսի հավասարում մասնավոր տեսակ՝ տրամադրված:a-b+c=0.
Առաջին արմատը միշտ մինուս մեկ է, իսկ երկրորդը՝ մինուս Հետբաժանված ա:
x 1 \u003d -1, x 2 \u003d - գ / ա:
Օրինակ 7) 2x2+9x+7=0:
Լուծում. ա=2; բ=9; գ=7. Եկեք ստուգենք հավասարությունը. a-b+c=0.Մենք ստանում ենք. 2-9+7=0 .
Հետո x 1 \u003d -1, x 2 \u003d -c / a \u003d -7 / 2 \u003d -3.5:Պատասխան. -1; -3,5.
IV. ax2+bx+c=0 – որոշակի ձևի քառակուսային հավասարումը պայմանով : a+b+c=0.
Առաջին արմատը միշտ հավասար է մեկին, իսկ երկրորդը՝ հավասար Հետբաժանված ա:
x 1 \u003d 1, x 2 \u003d c / a.
Օրինակ 8) 2x2 -9x+7=0:
Լուծում. ա=2; բ=-9; գ=7. Եկեք ստուգենք հավասարությունը. a+b+c=0.Մենք ստանում ենք. 2-9+7=0 .
Հետո x 1 \u003d 1, x 2 \u003d c / a \u003d 7/2 \u003d 3.5.Պատասխան. 1; 3,5.
Էջ 1 1-ից 1
Քառակուսի հավասարումները ուսումնասիրվում են 8-րդ դասարանում, ուստի այստեղ ոչ մի բարդ բան չկա: Դրանք լուծելու կարողությունը էական է:
Քառակուսային հավասարումը ax 2 + bx + c = 0 ձևի հավասարումն է, որտեղ a , b և c գործակիցները կամայական թվեր են, իսկ a ≠ 0:
Նախքան լուծման կոնկրետ մեթոդներ ուսումնասիրելը, մենք նշում ենք, որ բոլոր քառակուսի հավասարումները կարելի է բաժանել երեք դասի.
- Արմատներ չունենալ;
- Նրանք ունեն ուղիղ մեկ արմատ;
- Նրանք ունեն երկու տարբեր արմատներ:
Սա կարևոր տարբերություն է քառակուսի և գծային հավասարումների միջև, որտեղ արմատը միշտ գոյություն ունի և եզակի է: Ինչպե՞ս որոշել, թե քանի արմատ ունի հավասարումը: Դրա համար մի հրաշալի բան կա. խտրական.
Խտրական
Թող տրվի ax 2 + bx + c = 0 քառակուսի հավասարումը, ապա տարբերակիչը պարզապես D = b 2 − 4ac թիվն է:
Այս բանաձեւը պետք է անգիր իմանալ։ Թե որտեղից է այն գալիս, այժմ կարևոր չէ։ Կարևոր է ևս մեկ բան. տարբերակիչի նշանով կարելի է որոշել, թե քանի արմատ ունի քառակուսի հավասարումը։ Այսինքն:
- Եթե Դ< 0, корней нет;
- Եթե D = 0, կա ուղիղ մեկ արմատ;
- Եթե D > 0, կլինի երկու արմատ:
Խնդրում ենք նկատի ունենալ, որ դիսկրիմինատորը ցույց է տալիս արմատների քանակը, և ոչ բոլորովին նրանց նշանները, ինչպես չգիտես ինչու կարծում են շատերը: Նայեք օրինակներին և ինքներդ ամեն ինչ կհասկանաք.
Առաջադրանք. Քանի՞ արմատ ունեն քառակուսի հավասարումները.
- x 2 - 8x + 12 = 0;
- 5x2 + 3x + 7 = 0;
- x 2 - 6x + 9 = 0:
Մենք գրում ենք առաջին հավասարման գործակիցները և գտնում ենք դիսկրիմինատորը.
a = 1, b = −8, c = 12;
D = (−8) 2 − 4 1 12 = 64 − 48 = 16
Այսպիսով, դիսկրիմինանտը դրական է, ուստի հավասարումն ունի երկու տարբեր արմատներ: Մենք վերլուծում ենք երկրորդ հավասարումը նույն կերպ.
a = 5; b = 3; c = 7;
D \u003d 3 2 - 4 5 7 \u003d 9 - 140 \u003d -131:
Խտրականը բացասական է, արմատներ չկան։ Վերջին հավասարումը մնում է.
a = 1; b = -6; c = 9;
D = (−6) 2 − 4 1 9 = 36 − 36 = 0։
Խտրական զրո- արմատը կլինի մեկ:
Նշենք, որ յուրաքանչյուր հավասարման համար դուրս են գրվել գործակիցներ: Այո, երկար է, այո, դա հոգնեցուցիչ է, բայց դուք չեք խառնի հավանականությունները և մի թույլ չտաք հիմար սխալներ: Ընտրեք ինքներդ՝ արագություն կամ որակ:
Ի դեպ, եթե «ձեռքդ լցնես», որոշ ժամանակ անց այլևս կարիք չի լինի դուրս գրել բոլոր գործակիցները։ Ձեր գլխում նման վիրահատություններ կանեք։ Մարդկանց մեծամասնությունը սկսում է դա անել ինչ-որ տեղ 50-70 լուծված հավասարումներից հետո, ընդհանուր առմամբ, ոչ այնքան շատ:
Քառակուսային հավասարման արմատները
Հիմա անցնենք լուծմանը։ Եթե տարբերակիչ D > 0, արմատները կարելի է գտնել՝ օգտագործելով բանաձևերը.
Քառակուսային հավասարման արմատների հիմնական բանաձևը
Երբ D = 0, դուք կարող եք օգտագործել այս բանաձևերից որևէ մեկը, դուք ստանում եք նույն թիվը, որը կլինի պատասխանը: Ի վերջո, եթե Դ< 0, корней нет — ничего считать не надо.
- x 2 - 2x - 3 = 0;
- 15 - 2x - x2 = 0;
- x2 + 12x + 36 = 0:
Առաջին հավասարումը.
x 2 - 2x - 3 = 0 ⇒ a = 1; b = −2; c = -3;
D = (−2) 2 − 4 1 (−3) = 16։
D > 0 ⇒ հավասարումն ունի երկու արմատ: Եկեք գտնենք դրանք.
Երկրորդ հավասարումը.
15 − 2x − x 2 = 0 ⇒ a = −1; b = −2; c = 15;
D = (−2) 2 − 4 (−1) 15 = 64։
D > 0 ⇒ հավասարումը կրկին ունի երկու արմատ: Եկեք գտնենք դրանք
\[\սկիզբ (հավասարեցնել) & ((x)_(1))=\frac(2+\sqrt(64))(2\cdot \ձախ (-1 \աջ))=-5; \\ & ((x)_(2))=\frac(2-\sqrt(64))(2\cdot \left(-1 \աջ))=3. \\ \վերջ (հավասարեցնել)\]
Ի վերջո, երրորդ հավասարումը.
x 2 + 12x + 36 = 0 ⇒ a = 1; b = 12; c = 36;
D = 12 2 − 4 1 36 = 0:
D = 0 ⇒ հավասարումն ունի մեկ արմատ: Ցանկացած բանաձև կարող է օգտագործվել. Օրինակ՝ առաջինը.
Ինչպես տեսնում եք օրինակներից, ամեն ինչ շատ պարզ է: Եթե իմանաք բանաձևերը և կարողանաք հաշվել, խնդիրներ չեն լինի։ Ամենից հաճախ սխալները տեղի են ունենում, երբ բացասական գործակիցները փոխարինվում են բանաձևով: Այստեղ, կրկին, կօգնի վերը նկարագրված տեխնիկան. բառացիորեն նայեք բանաձևին, նկարեք յուրաքանչյուր քայլը և շատ շուտով ազատվեք սխալներից:
Անավարտ քառակուսի հավասարումներ
Պատահում է, որ քառակուսի հավասարումը որոշ չափով տարբերվում է սահմանման մեջ տրվածից։ Օրինակ:
- x2 + 9x = 0;
- x2 - 16 = 0:
Հեշտ է տեսնել, որ այս հավասարումների մեջ բացակայում է տերմիններից մեկը: Նման քառակուսի հավասարումները նույնիսկ ավելի հեշտ են լուծվում, քան ստանդարտները. նրանք նույնիսկ կարիք չունեն հաշվարկելու դիսկրիմինանտը: Այսպիսով, եկեք ներկայացնենք նոր հայեցակարգ.
ax 2 + bx + c = 0 հավասարումը կոչվում է թերի քառակուսի հավասարում, եթե b = 0 կամ c = 0, այսինքն. x փոփոխականի կամ ազատ տարրի գործակիցը հավասար է զրոյի։
Իհարկե, հնարավոր է շատ դժվար դեպք, երբ այս երկու գործակիցներն էլ հավասար են զրոյի. արմատը՝ x \u003d 0.
Դիտարկենք այլ դեպքեր։ Թող b \u003d 0, ապա մենք ստանում ենք ax 2 + c \u003d 0 ձևի թերի քառակուսային հավասարում: Եկեք մի փոքր փոխակերպենք այն.
Քանի որ թվաբանական քառակուսի արմատը գոյություն ունի միայն ոչ բացասական թվից, վերջին հավասարությունն իմաստ ունի միայն այն դեպքում, երբ (−c / a ) ≥ 0։ Եզրակացություն.
- Եթե ax 2 + c = 0 ձևի ոչ լրիվ քառակուսային հավասարումը բավարարում է (−c / a ) ≥ 0 անհավասարությունը, ապա կլինի երկու արմատ։ Բանաձևը տրված է վերևում.
- Եթե (−c/a)< 0, корней нет.
Ինչպես տեսնում եք, դիսկրիմինատորը չի պահանջվել՝ թերի քառակուսի հավասարումներընդհանրապես բարդ հաշվարկներ չկան։ Իրականում նույնիսկ անհրաժեշտ չէ հիշել (−c / a ) ≥ 0 անհավասարությունը։ Բավական է արտահայտել x 2-ի արժեքը և տեսնել, թե ինչ կա հավասարության նշանի մյուս կողմում։ Եթե այնտեղ դրական թիվկլինի երկու արմատ. Եթե բացասական լինի, արմատներ ընդհանրապես չեն լինի։
Այժմ անդրադառնանք ax 2 + bx = 0 ձևի հավասարումների, որոնցում ազատ տարրը հավասար է զրոյի։ Այստեղ ամեն ինչ պարզ է՝ միշտ կլինի երկու արմատ։ Բավական է ֆակտորիզացնել բազմանդամը.
Ընդհանուր գործոնը փակագծից հանելըԱրտադրյալը հավասար է զրոյի, երբ գործոններից առնվազն մեկը հավասար է զրոյի: Այստեղից են գալիս արմատները: Եզրափակելով, մենք կվերլուծենք այս հավասարումներից մի քանիսը.
Առաջադրանք. Լուծեք քառակուսի հավասարումներ.
- x2 - 7x = 0;
- 5x2 + 30 = 0;
- 4x2 - 9 = 0:
x 2 − 7x = 0 ⇒ x (x − 7) = 0 ⇒ x 1 = 0; x2 = −(−7)/1 = 7։
5x2 + 30 = 0 ⇒ 5x2 = -30 ⇒ x2 = -6: Չկան արմատներ, քանի որ քառակուսին չի կարող հավասար լինել բացասական թվի:
4x 2 − 9 = 0 ⇒ 4x 2 = 9 ⇒ x 2 = 9/4 ⇒ x 1 = 3/2 = 1,5; x 2 \u003d -1,5.
