- (Մաթ.) y \u003d f (x) ֆունկցիան կանչվում է նույնիսկ եթե այն չի փոխվում, երբ անկախ փոփոխականը փոխում է միայն նշանը, այսինքն՝ եթե f (x) \u003d f (x): Եթե ​​f (x) = f (x), ապա f (x) ֆունկցիան կոչվում է կենտ: Օրինակ, y \u003d cosx, y \u003d x2 ... ...

F(x) = x-ը կենտ ֆունկցիայի օրինակ է: f(x) = x2 զույգ ֆունկցիայի օրինակ է: f(x) = x3 ... Վիքիպեդիա

Գործառույթ, որը բավարարում է f (x) = f (x) հավասարությունը: Տեսեք զույգ և կենտ ֆունկցիաները... Խորհրդային մեծ հանրագիտարան

F(x) = x-ը կենտ ֆունկցիայի օրինակ է: f(x) = x2 զույգ ֆունկցիայի օրինակ է: f(x) = x3 ... Վիքիպեդիա

F(x) = x-ը կենտ ֆունկցիայի օրինակ է: f(x) = x2 զույգ ֆունկցիայի օրինակ է: f(x) = x3 ... Վիքիպեդիա

F(x) = x-ը կենտ ֆունկցիայի օրինակ է: f(x) = x2 զույգ ֆունկցիայի օրինակ է: f(x) = x3 ... Վիքիպեդիա

F(x) = x-ը կենտ ֆունկցիայի օրինակ է: f(x) = x2 զույգ ֆունկցիայի օրինակ է: f(x) = x3 ... Վիքիպեդիա

Հատուկ գործառույթներ, որոնք ներմուծել է ֆրանսիացի մաթեմատիկոս Է. Մաթյոն 1868 թվականին, էլիպսաձև թաղանթի թրթռման վերաբերյալ խնդիրներ լուծելիս: Մ.ֆ. օգտագործվում են նաև բաշխման ուսումնասիրության մեջ էլեկտրամագնիսական ալիքներէլիպսաձև գլանով... Խորհրդային մեծ հանրագիտարան

«Մեղքի» հարցումը վերահղված է այստեղ. տես նաև այլ իմաստներ։ «վրկ» հարցումը վերահղված է այստեղ; տես նաև այլ իմաստներ։ «Sine»-ը վերահղում է այստեղ; տես նաև այլ իմաստներ ... Վիքիպեդիա

Ֆունկցիան կոչվում է զույգ (կենտ), եթե որևէ մեկը և հավասարությունը

.

Զույգ ֆունկցիայի գրաֆիկը սիմետրիկ է առանցքի նկատմամբ
.

Կենտ ֆունկցիայի գրաֆիկը սիմետրիկ է ծագման նկատմամբ։

Օրինակ 6.2.Քննեք զույգ կամ կենտ ֆունկցիաներ

1)
; 2)
; 3)
.

Լուծում.

1) ֆունկցիան սահմանված է
. Եկեք գտնենք
.

Նրանք.
. Նշանակում է, տրված գործառույթըհավասար է.

2) ֆունկցիան սահմանված է

Նրանք.
. Այսպիսով, այս ֆունկցիան տարօրինակ է:

3) ֆունկցիան սահմանված է , այսինքն. համար

,
. Հետևաբար ֆունկցիան ոչ զույգ է, ոչ էլ կենտ։ Եկեք դա անվանենք ընդհանուր գործառույթ:

3. Միապաղաղության ֆունկցիայի ուսումնասիրություն:

Գործառույթ
կոչվում է աճող (նվազող) որոշ ընդմիջումով, եթե այս միջակայքում փաստարկի յուրաքանչյուր մեծ արժեքը համապատասխանում է ֆունկցիայի ավելի մեծ (փոքր) արժեքին:

Որոշ ընդմիջումով աճող (նվազող) ֆունկցիաները կոչվում են միատոն:

Եթե ​​ֆունկցիան
տարբերվող միջակայքում
և ունի դրական (բացասական) ածանցյալ
, ապա ֆունկցիան
ավելանում (նվազում է) այս միջակայքում:

Օրինակ 6.3. Գտե՛ք ֆունկցիաների միապաղաղության միջակայքերը

1)
; 3)
.

Լուծում.

1) Այս ֆունկցիան սահմանված է ամբողջ թվային առանցքի վրա: Գտնենք ածանցյալը։

Ածանցյալը զրո է, եթե
և
. Սահմանման տիրույթ - թվային առանցք, բաժանված կետերով
,
ընդմիջումների համար: Եկեք որոշենք ածանցյալի նշանը յուրաքանչյուր միջակայքում:

Ընդմիջումով
ածանցյալը բացասական է, ֆունկցիան նվազում է այս միջակայքում:

Ընդմիջումով
ածանցյալը դրական է, հետևաբար ֆունկցիան մեծանում է այս միջակայքում:

2) Այս ֆունկցիան սահմանվում է, եթե
կամ

.

Յուրաքանչյուր միջակայքում որոշում ենք քառակուսի եռանդամի նշանը։

Այսպիսով, գործառույթի շրջանակը

Գտնենք ածանցյալը
,
, եթե
, այսինքն.
, բայց
. Եկեք որոշենք ածանցյալի նշանը միջակայքում
.

Ընդմիջումով
ածանցյալը բացասական է, հետևաբար ֆունկցիան նվազում է միջակայքում
. Ընդմիջումով
ածանցյալը դրական է, ֆունկցիան մեծանում է միջակայքում
.

4. Էքստրեմումի ֆունկցիայի ուսումնասիրություն:

Կետ
կոչվում է ֆունկցիայի առավելագույն (նվազագույն) կետ
, եթե կա կետի նման հարեւանություն որ բոլորի համար
այս հարևանությունը բավարարում է անհավասարությունը

.

Ֆունկցիայի առավելագույն և նվազագույն կետերը կոչվում են ծայրահեղ կետեր:

Եթե ​​ֆունկցիան
կետում ունի էքստրեմում, ապա ֆունկցիայի ածանցյալն այս կետում հավասար է զրոյի կամ գոյություն չունի (անհրաժեշտ պայման է ծայրահեղության գոյության համար)։

Այն կետերը, որոնցում ածանցյալը հավասար է զրոյի կամ գոյություն չունի, կոչվում են կրիտիկական։

5. Բավարար պայմաններ էքստրեմի գոյության համար.

Կանոն 1. Եթե ​​անցման ժամանակ (ձախից աջ) կրիտիկական կետով ածանցյալ
փոխում է նշանը «+»-ից «-», այնուհետև կետում ֆունկցիան
ունի առավելագույնը; եթե «-»-ից մինչև «+», ապա նվազագույնը. եթե
նշան չի փոխում, ուրեմն էքստրեմում չկա.

Կանոն 2. Թողեք կետում
ֆունկցիայի առաջին ածանցյալը
զրո
, իսկ երկրորդ ածանցյալը գոյություն ունի և զրոյական չէ։ Եթե
, ապա առավելագույն միավորն է, եթե
, ապա ֆունկցիայի նվազագույն կետն է:

Օրինակ 6.4 . Ուսումնասիրեք առավելագույն և նվազագույն գործառույթները.

1)
; 2)
; 3)
;

4)
.

Լուծում.

1) Ֆունկցիան սահմանված է և շարունակական է միջակայքում
.

Գտնենք ածանցյալը
և լուծիր հավասարումը
, այսինքն.
.այստեղից
կրիտիկական կետեր են:

Եկեք որոշենք ածանցյալի նշանը միջակայքում,
.

Կետերով անցնելիս
և
ածանցյալը նշանը փոխում է «–»-ից «+», հետևաբար՝ համաձայն 1-ին կանոնի
նվազագույն միավորներն են:

Կետով անցնելիս
ածանցյալը փոխում է նշանը «+»-ից «-», այսպես
առավելագույն միավորն է:

,
.

2) Ֆունկցիան սահմանված է և շարունակական միջակայքում
. Գտնենք ածանցյալը
.

Հավասարումը լուծելով
, գտնել
և
կրիտիկական կետեր են: Եթե ​​հայտարարը
, այսինքն.
, ուրեմն ածանցյալը գոյություն չունի։ Այսպիսով,
երրորդ կրիտիկական կետն է։ Եկեք որոշենք ածանցյալի նշանը ընդմիջումներով:

Հետևաբար, ֆունկցիան կետում նվազագույն է
, առավելագույնը կետերում
և
.

3) Ֆունկցիան սահմանված է և շարունակական, եթե
, այսինքն. ժամը
.

Գտնենք ածանցյալը

.

Եկեք գտնենք կրիտիկական կետերը.

Կետերի հարևանություններ
չեն պատկանում սահմանման տիրույթին, ուստի դրանք ծայրահեղական չեն: Այսպիսով, եկեք ուսումնասիրենք կրիտիկական կետերը
և
.

4) Ֆունկցիան սահմանված է և շարունակական է միջակայքում
. Մենք օգտագործում ենք կանոն 2. Գտե՛ք ածանցյալը
.

Եկեք գտնենք կրիտիկական կետերը.

Գտնենք երկրորդ ածանցյալը
և որոշեք դրա նշանը կետերում

Կետերում
ֆունկցիան ունի նվազագույնը:

Կետերում
ֆունկցիան ունի առավելագույնը.

y փոփոխականի կախվածությունը x փոփոխականից, որում x-ի յուրաքանչյուր արժեք համապատասխանում է y-ի մեկ արժեքին, կոչվում է ֆունկցիա։ Նշումը y=f(x): Յուրաքանչյուր ֆունկցիա ունի մի շարք հիմնական հատկություններ, ինչպիսիք են միապաղաղությունը, հավասարությունը, պարբերականությունը և այլն:

Դիտարկենք հավասարության սեփականությունը ավելի մանրամասն:

y=f(x) ֆունկցիան կանչվում է նույնիսկ եթե այն բավարարում է հետևյալ երկու պայմաններին.

2. Ֆունկցիայի շրջանակին պատկանող x կետում ֆունկցիայի արժեքը պետք է հավասար լինի -x կետի ֆունկցիայի արժեքին։ Այսինքն՝ ֆունկցիայի տիրույթից x կետի համար հետևյալ հավասարությունը f (x) \u003d f (-x) պետք է ճիշտ լինի։

Զույգ ֆունկցիայի գրաֆիկ

Եթե ​​դուք կառուցում եք զույգ ֆունկցիայի գրաֆիկ, այն սիմետրիկ կլինի y առանցքի նկատմամբ:

Օրինակ՝ y=x^2 ֆունկցիան զույգ է։ Եկեք ստուգենք այն: Սահմանման տիրույթը ամբողջ թվային առանցքն է, ինչը նշանակում է, որ այն սիմետրիկ է O կետի նկատմամբ։

Վերցրեք կամայական x=3: f(x)=3^2=9.

f(-x)=(-3)^2=9. Հետևաբար, f(x) = f(-x): Այսպիսով, մեզ համար երկու պայմաններն էլ բավարարված են, ինչը նշանակում է, որ ֆունկցիան հավասար է։ Ստորև ներկայացված է y=x^2 ֆունկցիայի գրաֆիկը։

Նկարը ցույց է տալիս, որ գրաֆիկը սիմետրիկ է y առանցքի նկատմամբ:

Կենտ ֆունկցիայի գրաֆիկ

y=f(x) ֆունկցիան կոչվում է կենտ, եթե այն բավարարում է հետևյալ երկու պայմաններին.

1. Տրված ֆունկցիայի տիրույթը պետք է սիմետրիկ լինի O կետի նկատմամբ, այսինքն՝ եթե a ինչ-որ կետ պատկանում է ֆունկցիայի տիրույթին, ապա համապատասխան -a կետը նույնպես պետք է պատկանի տվյալ ֆունկցիայի տիրույթին։

2. Ֆունկցիայի տիրույթից x ցանկացած կետի համար պետք է բավարարվի հետևյալ հավասարությունը f (x) \u003d -f (x):

Կենտ ֆունկցիայի գրաֆիկը սիմետրիկ է O կետի՝ սկզբնաղբյուրի նկատմամբ: Օրինակ՝ y=x^3 ֆունկցիան կենտ է։ Եկեք ստուգենք այն: Սահմանման տիրույթը ամբողջ թվային առանցքն է, ինչը նշանակում է, որ այն սիմետրիկ է O կետի նկատմամբ։

Վերցրեք կամայական x=2: f(x)=2^3=8.

f(-x)=(-2)^3=-8. Հետեւաբար f(x) = -f(x): Այսպիսով, մեզ համար երկու պայմաններն էլ բավարարված են, ինչը նշանակում է, որ ֆունկցիան կենտ է։ Ստորև ներկայացված է y=x^3 ֆունկցիայի գրաֆիկը։

Նկարից պարզ երևում է, որ y=x^3 կենտ ֆունկցիան սիմետրիկ է ծագման նկատմամբ։

Սահմանում 1. Ֆունկցիան կոչվում է նույնիսկ (տարօրինակ ) եթե փոփոխականի յուրաքանչյուր արժեքի հետ միասին
իմաստ - Xնույնպես պատկանում է
և հավասարությունը

Այսպիսով, ֆունկցիան կարող է լինել զույգ կամ կենտ միայն այն դեպքում, երբ նրա սահմանման տիրույթը սիմետրիկ է իրական գծի սկզբնավորման նկատմամբ (թվեր Xև - Xմիաժամանակ պատկանել
) Օրինակ՝ ֆունկցիան
ոչ զույգ է, ոչ էլ տարօրինակ, քանի որ դրա սահմանման տիրույթն է
ոչ սիմետրիկ ծագման վերաբերյալ:

Գործառույթ
նույնիսկ, քանի որ
սիմետրիկ՝ կապված կոորդինատների ծագման և.

Գործառույթ
տարօրինակ, քանի որ
և
.

Գործառույթ
ոչ զույգ է, ոչ էլ կենտ, քանի որ չնայած
և սիմետրիկ է ծագման նկատմամբ, հավասարությունները (11.1) չեն բավարարվում: Օրինակ,.

Զույգ ֆունկցիայի գրաֆիկը սիմետրիկ է առանցքի նկատմամբ OU, քանի որ եթե կետը

նույնպես պատկանում է գրաֆիկին: Կենտ ֆունկցիայի գրաֆիկը սիմետրիկ է ծագման նկատմամբ, քանի որ եթե
պատկանում է գրաֆիկին, ապա կետին
նույնպես պատկանում է գրաֆիկին.

Գործառույթի զույգ կամ կենտ լինելն ապացուցելիս օգտակար են հետևյալ պնդումները.

Թեորեմ 1. ա) Երկու զույգ (կենտ) ֆունկցիաների գումարը զույգ (կենտ) ֆունկցիա է։

բ) Երկու զույգ (կենտ) ֆունկցիաների արտադրյալը զույգ ֆունկցիա է:

գ) Զույգ և կենտ ֆունկցիայի արտադրյալը կենտ ֆունկցիա է:

դ) Եթե զհավասարաչափ ֆունկցիա է հավաքածուի վրա Xև ֆունկցիան է սահմանված է նկարահանման հրապարակում
, ապա ֆունկցիան
- նույնիսկ.

ե) Եթե զհավաքածուի վրա կենտ ֆունկցիա է Xև ֆունկցիան է սահմանված է նկարահանման հրապարակում
և զույգ (կենտ), ապա ֆունկցիան
- զույգ (կենտ):

Ապացույց. Եկեք ապացուցենք, օրինակ, բ) և դ):

բ) Թող
և
նույնիսկ գործառույթներ են: Հետո, հետևաբար. Նմանապես դիտարկվում է կենտ ֆունկցիաների դեպքը
և
.

դ) Թող զ հավասարաչափ ֆունկցիա է: Հետո.

Նմանապես ապացուցված են թեորեմի մյուս պնդումները։ Թեորեմն ապացուցված է.

Թեորեմ 2. Ցանկացած գործառույթ
, սահմանված նկարահանման հրապարակում X, որը սիմետրիկ է ծագման նկատմամբ, կարող է ներկայացվել որպես զույգ և կենտ ֆունկցիայի գումար։

Ապացույց. Գործառույթ
կարելի է գրել ձևով

.

Գործառույթ
հավասար է, քանի որ
և ֆունկցիան
տարօրինակ է, քանի որ. Այս կերպ,
, որտեղ
- նույնիսկ, և
կենտ ֆունկցիա է: Թեորեմն ապացուցված է.

Սահմանում 2. Գործառույթ
կանչեց պարբերական եթե կա թիվ
, այնպիսին, որ ցանկացածի համար
թվեր
և
նույնպես պատկանում են սահմանման տիրույթին
և հավասարությունները

Նման թիվ Տկանչեց ժամանակաշրջան գործառույթները
.

Սահմանում 1-ը ենթադրում է, որ եթե Տ- գործառնական ժամանակահատվածը
, ապա համարը Տնույնպես ֆունկցիայի ժամանակաշրջանն է
(որովհետև փոխարինելիս Տվրա - Տհավասարությունը պահպանվում է): Օգտագործելով մաթեմատիկական ինդուկցիայի մեթոդը, կարելի է ցույց տալ, որ եթե Տ- գործառնական ժամանակահատվածը զ, ապա և
, նույնպես ժամանակաշրջան է։ Հետևում է, որ եթե ֆունկցիան ունի կետ, ապա այն ունի անսահման շատ պարբերաշրջաններ։

Սահմանում 3. Ֆունկցիայի դրական ժամանակաշրջաններից ամենափոքրը կոչվում է նրա հիմնական ժամանակաշրջան.

Թեորեմ 3. Եթե Տֆունկցիայի հիմնական շրջանն է զ, ապա մնացած ժամանակաշրջանները դրա բազմապատիկն են։

Ապացույց. Ենթադրենք հակառակը, այսինքն՝ ժամանակաշրջան կա գործառույթները զ (>0), ոչ բազմակի Տ. Հետո՝ բաժանելով վրա Տմնացածով մենք ստանում ենք
, որտեղ
. Ահա թե ինչու

այն է - գործառնական ժամանակահատվածը զ, և
, ինչը հակասում է այն փաստին, որ Տֆունկցիայի հիմնական շրջանն է զ. Ստացված հակասությունից բխում է թեորեմի պնդումը. Թեորեմն ապացուցված է.

Հայտնի է, որ եռանկյունաչափական ֆունկցիաները պարբերական են։ Հիմնական ժամանակաշրջան
և
հավասար է
,
և
. Գտեք ֆունկցիայի ժամկետը
. Թող
այս ֆունկցիայի ժամանակաշրջանն է: Հետո

(որովհետեւ
.

օրորոր
.

Իմաստը Տ, որը որոշվում է առաջին հավասարությունից, չի կարող լինել ժամանակաշրջան, քանի որ դա կախված է X, այսինքն. -ի ֆունկցիա է X, ոչ հաստատուն թիվ։ Ժամանակահատվածը որոշվում է երկրորդ հավասարությունից.
. Անսահման շատ ժամանակաշրջաններ կան
ամենափոքր դրական շրջանը ստացվում է, երբ
:
. Սա ֆունկցիայի հիմնական շրջանն է
.

Ավելի բարդ պարբերական ֆունկցիայի օրինակ է Դիրիխլեի ֆունկցիան

Նշենք, որ եթե Տռացիոնալ թիվ է, ուրեմն
և
ռացիոնալ թվեր են ռացիոնալի տակ Xիսկ իռացիոնալ, երբ իռացիոնալ X. Ահա թե ինչու

ցանկացած ռացիոնալ թվի համար Տ. Հետեւաբար, ցանկացած ռացիոնալ թիվ ՏԴիրիխլեի ֆունկցիայի ժամանակաշրջանն է։ Հասկանալի է, որ այս ֆունկցիան չունի հիմնական ժամանակաշրջան, քանի որ կան դրական ռացիոնալ թվեր կամայականորեն մոտ զրոյին (օրինակ՝ ռացիոնալ թիվ կարելի է կազմել՝ ընտրելով. nկամայականորեն մոտ զրոյին):

Թեորեմ 4. Եթե ֆունկցիան զ set on set Xև ունի շրջան Տև ֆունկցիան է set on set
, ապա կոմպլեքս ֆունկցիան
ունի նաև շրջան Տ.

Ապացույց. Ուստի մենք ունենք

այսինքն թեորեմի պնդումն ապացուցված է։

Օրինակ, քանի որ cos x ժամանակաշրջան ունի
, ապա ֆունկցիաները
ժամանակաշրջան ունենալ
.

Սահմանում 4. Այն ֆունկցիաները, որոնք պարբերական չեն, կոչվում են ոչ պարբերական .

Թաքցնել Ցուցադրել

Գործառույթ սահմանելու եղանակներ

Թող ֆունկցիան տրվի y=2x^(2)-3 բանաձևով։ x անկախ փոփոխականին ցանկացած արժեք վերագրելով՝ կարող եք օգտագործել այս բանաձևը՝ y կախված փոփոխականի համապատասխան արժեքները հաշվարկելու համար: Օրինակ, եթե x=-0.5 , ապա օգտագործելով բանաձեւը, ստանում ենք, որ y-ի համապատասխան արժեքը y=2 \cdot (-0.5)^(2)-3=-2.5 է։

Հաշվի առնելով y=2x^(2)-3 բանաձևում x արգումենտով վերցված ցանկացած արժեք, կարելի է հաշվարկել միայն մեկ ֆունկցիայի արժեք, որը համապատասխանում է դրան։ Ֆունկցիան կարող է ներկայացվել որպես աղյուսակ.

x	−2	−1	0	1	2	3
y	−4	−3	−2	−1	0	1

Օգտագործելով այս աղյուսակը, կարող եք պարզել, որ -1 փաստարկի արժեքի համար կհամապատասխանի -3 ֆունկցիայի արժեքը. իսկ x=2 արժեքը կհամապատասխանի y=0, և այլն։ Կարևոր է նաև իմանալ, որ աղյուսակի յուրաքանչյուր արգումենտի արժեքը համապատասխանում է միայն մեկ ֆունկցիայի արժեքին:

Ավելի շատ գործառույթներ կարող են սահմանվել գրաֆիկների միջոցով: Գրաֆիկի օգնությամբ սահմանվում է, թե ֆունկցիայի որ արժեքն է փոխկապակցված x-ի որոշակի արժեքի հետ։ Ամենից հաճախ սա կլինի ֆունկցիայի մոտավոր արժեքը:

Զույգ և կենտ ֆունկցիա

Ֆունկցիան է նույնիսկ գործառույթ, երբ f(-x)=f(x) տիրույթից ցանկացած x-ի համար: Նման ֆունկցիան սիմետրիկ կլինի Oy առանցքի նկատմամբ։

Ֆունկցիան է տարօրինակ գործառույթերբ f(-x)=-f(x) տիրույթի ցանկացած x-ի համար: Նման ֆունկցիան սիմետրիկ կլինի O (0;0) ծագման նկատմամբ:

Ֆունկցիան է ոչ նույնիսկ, ոչ էլ տարօրինակև կանչեց ֆունկցիան ընդհանուր տեսարան երբ այն չունի սիմետրիա առանցքի կամ ծագման նկատմամբ։

Մենք ուսումնասիրում ենք հետևյալ գործառույթը հավասարության համար.

f(x)=3x^(3)-7x^(7)

D(f)=(-\infty ; +\infty) ծագման վերաբերյալ սահմանման սիմետրիկ տիրույթով: f(-x)= 3 \cdot (-x)^(3)-7 \cdot (-x)^(7)= -3x^(3)+7x^(7)= -(3x^(3)-7x^(7))= -f(x).

Այսպիսով, f(x)=3x^(3)-7x^(7) ֆունկցիան կենտ է:

Պարբերական ֆունկցիա

y=f(x) ֆունկցիան, որի տիրույթում f(x+T)=f(x-T)=f(x) ճշմարիտ է ցանկացած x-ի համար, կոչվում է. պարբերական ֆունկցիաժամանակաշրջանով T \neq 0 .

Ֆունկցիայի գրաֆիկի կրկնությունը աբսցիսային առանցքի ցանկացած հատվածի վրա, որն ունի T երկարություն:

Ընդմիջումներ, որտեղ ֆունկցիան դրական է, այսինքն՝ f (x) > 0 - աբսցիսային առանցքի հատվածներ, որոնք համապատասխանում են ֆունկցիայի գրաֆիկի այն կետերին, որոնք գտնվում են աբսցիսային առանցքի վերևում։

f(x) > 0 միացված (x_(1); x_(2)) \գավաթ (x_(3); +\infty)

Բացեր, որտեղ ֆունկցիան բացասական է, այսինքն՝ f(x)< 0 - отрезки оси абсцисс, которые отвечают точкам графика функции, лежащих ниже оси абсцисс.

f(x)< 0 на (-\infty; x_(1)) \գավաթ (x_(2); x_(3))

Գործառույթների սահմանափակում

սահմանափակված ներքևիցընդունված է անվանել y=f(x), x \-ում X ֆունկցիան, երբ կա A թիվ, որի համար f(x) \geq A անհավասարությունը գործում է ցանկացած x \-ում X-ի համար:

Ստորև սահմանափակված ֆունկցիայի օրինակ՝ y=\sqrt(1+x^(2)) քանի որ y=\sqrt(1+x^(2)) \geq 1 ցանկացած x-ի համար:

վերևից սահմանափակված y=f(x), x \in X ֆունկցիան կանչվում է, եթե կա B թիվ, որի համար f(x) \neq B անհավասարությունը գործում է ցանկացած x \ին X-ի համար:

Ստորև սահմանափակված ֆունկցիայի օրինակ. y=\sqrt(1-x^(2)), x \in [-1;1]քանի որ y=\sqrt(1+x^(2)) \neq 1 ցանկացած x \in [-1;1] համար:

Սահմանափակընդունված է անվանել y=f(x), x \ի ֆունկցիան, երբ կա K > 0 թիվ, որի անհավասարությունը \left | f(x) \աջ | \neq K ցանկացած x \ի X-ի համար:

Օրինակ սահմանափակ գործառույթ y=\sin x-ը սահմանափակված է ամբողջ թվային տողի վրա, քանի որ \ձախ | \sin x \ճիշտ | \nq 1.

Աճող և նվազող գործառույթ

Ընդունված է խոսել մի ֆունկցիայի մասին, որն աճում է դիտարկվող միջակայքում որպես գործառույթի ավելացումերբ x-ի ավելի մեծ արժեքը կհամապատասխանի y=f(x) ֆունկցիայի ավելի մեծ արժեքին: Այստեղից պարզվում է, որ դիտարկված միջակայքից վերցնելով արգումենտի երկու կամայական արժեք x_(1) և x_(2) և x_(1) > x_(2) կլինի y(x_(1)) > y(x_(2)) .

Այն ֆունկցիան, որը նվազում է դիտարկվող միջակայքում, կոչվում է նվազող գործառույթերբ x-ի ավելի մեծ արժեքը կհամապատասխանի y(x) ֆունկցիայի ավելի փոքր արժեքին: Այստեղից պարզվում է, որ դիտարկված միջակայքից վերցնելով արգումենտի երկու կամայական արժեք x_(1) և x_(2) և x_(1) > x_(2) կլինի y(x_(1))< y(x_{2}) .

Գործառույթների արմատներըընդունված է անվանել այն կետերը, որոնցում F=y(x) ֆունկցիան հատում է աբսցիսային առանցքը (դրանք ստացվում են y(x)=0 հավասարումը լուծելու արդյունքում):

ա) Եթե զույգ ֆունկցիան մեծանում է x > 0-ով, ապա այն նվազում է x-ի համար< 0

բ) Երբ զույգ ֆունկցիան նվազում է x > 0-ով, ապա այն մեծանում է x-ի համար< 0

գ) Երբ կենտ ֆունկցիան մեծանում է x > 0-ով, ապա այն նույնպես մեծանում է x-ի համար< 0

դ) Երբ կենտ ֆունկցիան նվազում է x > 0-ով, ապա այն նույնպես կնվազի x-ի համար< 0

Ֆունկցիոնալ ծայրահեղություններ

Գործառույթի նվազագույն միավոր y=f(x) ընդունված է անվանել x=x_(0) այնպիսի կետ, որում նրա հարևանությունը կունենա այլ կետեր (բացի x=x_(0) կետից), իսկ հետո՝ f(x) անհավասարությունը: > f (x_(0)) . y_(min) - ֆունկցիայի նշանակումը min կետում:

Ֆունկցիայի առավելագույն կետը y=f(x) ընդունված է անվանել x=x_(0) այնպիսի կետ, որում նրա հարևանությունը կունենա այլ կետեր (բացի x=x_(0) կետից), իսկ հետո՝ f(x) անհավասարությունը: գոհ կլինի նրանց համար< f(x^{0}) . y_{max} - обозначение функции в точке max.

Անհրաժեշտ պայման

Ըստ Ֆերմայի թեորեմի՝ f"(x)=0, ապա երբ x_(0) կետում տարբերվող f(x) ֆունկցիան այս կետում կհայտնվի ծայրահեղություն:

Բավարար պայման

1. Երբ ածանցյալի նշանը գումարածից փոխվում է մինուսի, ապա x_(0) կլինի նվազագույն կետը;
2. x_(0) - կլինի առավելագույն կետ միայն այն դեպքում, երբ ածանցյալը փոխում է նշանը մինուսից պլյուսի, երբ անցնում է անշարժ կետով x_(0) .

Ինտերվալի վրա ֆունկցիայի ամենամեծ և ամենափոքր արժեքը

Հաշվարկման քայլեր.

1. Փնտրում եմ f"(x) ածանցյալ;
2. Գտնվում են ֆունկցիայի անշարժ և կրիտիկական կետերը և ընտրվում են ինտերվալին պատկանող կետերը.
3. F(x) ֆունկցիայի արժեքները հայտնաբերվում են հատվածի անշարժ և կրիտիկական կետերում և ծայրերում: Արդյունքներից ամենափոքրը կլինի ֆունկցիայի ամենափոքր արժեքը, եւ ավելին - մեծագույն.