Գտեք գծերի միջև անկյունը առցանց հաշվիչ: Գտեք հարթությունների միջև անկյունը (երկկողմանի անկյուն): Ինչպես գտնել երկու զուգահեռ գծերի միջև հեռավորությունը

Սահմանում.Եթե երկու ուղիղ տրված է y = k 1 x + b 1 , y = k 2 x + b 2 , ապա սուր անկյունայս տողերի միջև կսահմանվի որպես

Երկու ուղիղները զուգահեռ են, եթե k 1 = k 2 : Երկու ուղիղ ուղղահայաց են, եթե k 1 = -1/ k 2:

Թեորեմ. Ax + Vy + C \u003d 0 և A 1 x + B 1 y + C 1 \u003d 0 ուղիղները զուգահեռ են, երբ A 1 \u003d λA, B 1 \u003d λB գործակիցները համաչափ են: Եթե նաև С 1 = λС, ապա տողերը համընկնում են։ Երկու ուղիղների հատման կետի կոորդինատները գտնված են որպես այս ուղիղների հավասարումների համակարգի լուծում։

Անցնող ուղիղ գծի հավասարում տրված կետ

Այս գծին ուղղահայաց

Սահմանում. M 1 (x 1, y 1) կետով անցնող և y \u003d kx + b ուղիղին ուղղահայաց ուղիղը ներկայացված է հավասարմամբ.

Հեռավորությունը կետից տող

Թեորեմ.Եթե տրված է M(x 0, y 0) կետ, ապա Ax + Vy + C \u003d 0 գծի հեռավորությունը սահմանվում է որպես

Ապացույց.Թող M 1 կետը (x 1, y 1) լինի M կետից տրված ուղիղն ընկած ուղղահայաց հիմքը։ Այնուհետև M և M 1 կետերի միջև եղած հեռավորությունը.

(1)

x 1 և y 1 կոորդինատները կարելի է գտնել որպես հավասարումների համակարգի լուծում.

Համակարգի երկրորդ հավասարումը տրված ուղիղ գծին ուղղահայաց M 0 կետով անցնող ուղիղ գծի հավասարումն է։ Եթե համակարգի առաջին հավասարումը վերածենք ձևի.

A(x - x 0) + B(y - y 0) + Ax 0 + By 0 + C = 0,

ապա լուծելով՝ ստանում ենք.

Այս արտահայտությունները փոխարինելով (1) հավասարմամբ՝ մենք գտնում ենք.

Թեորեմն ապացուցված է.

Օրինակ. Որոշե՛ք տողերի միջև եղած անկյունը՝ y = -3 x + 7; y = 2 x + 1:

k 1 \u003d -3; k2 = 2; tgφ = ; φ= p /4.

Օրինակ. Ցույց տվեք, որ 3x - 5y + 7 = 0 և 10x + 6y - 3 = 0 ուղիղները ուղղահայաց են:

Լուծում. Մենք գտնում ենք՝ k 1 \u003d 3/5, k 2 \u003d -5/3, k 1 * k 2 \u003d -1, հետևաբար, գծերն ուղղահայաց են:

Օրինակ. Տրված են A(0; 1), B (6; 5), C (12; -1) եռանկյան գագաթները։ Գտեք C գագաթից գծված բարձրության հավասարումը:

Լուծում. Մենք գտնում ենք AB կողմի հավասարումը. ; 4 x = 6 y - 6;

2x – 3y + 3 = 0;

Բարձրության ցանկալի հավասարումն է` Ax + By + C = 0 կամ y = kx + b: k =. Այնուհետև y =. Որովհետեւ բարձրությունը անցնում է C կետով, ապա դրա կոորդինատները բավարարում են այս հավասարումը. որտեղից b = 17. Ընդհանուր՝ .

Պատասխան՝ 3x + 2y - 34 = 0:

Տրված կետով տվյալ ուղղությամբ անցնող ուղիղի հավասարումը. Երկու տրված կետերով անցնող ուղիղ գծի հավասարումը. Անկյուն երկու գծերի միջև: Երկու ուղիղների զուգահեռության և ուղղահայացության պայման. Երկու ուղիղների հատման կետի որոշում

1. Տրված կետով անցնող ուղիղի հավասարումը Ա(x 1 , y 1) տվյալ ուղղությամբ, որը որոշվում է թեքությամբ կ,

y - y 1 = կ(x - x 1). (1)

Այս հավասարումը սահմանում է կետի միջով անցնող գծերի մատիտ Ա(x 1 , y 1), որը կոչվում է ճառագայթի կենտրոն:

2. Երկու կետով անցնող ուղիղ գծի հավասարումը. Ա(x 1 , y 1) և Բ(x 2 , y 2) գրված է այսպես.

Երկու տրված կետերով անցնող ուղիղ գծի թեքությունը որոշվում է բանաձևով

3. Անկյուն ուղիղ գծերի միջև Աև Բայն անկյունն է, որով պետք է պտտվի առաջին ուղիղ գիծը Աայս գծերի հատման կետի շուրջը ժամացույցի սլաքի ուղղությամբ, մինչև այն համընկնի երկրորդ գծի հետ Բ. Եթե թեքության հավասարումներով տրված են երկու ուղիղ

y = կ 1 x + Բ 1 ,

y = կ 2 x + Բ 2 , (4)

ապա նրանց միջև անկյունը որոշվում է բանաձևով

Հարկ է նշել, որ կոտորակի համարիչում առաջին ուղիղ գծի թեքությունը հանվում է երկրորդ ուղիղ գծի թեքությունից։

Եթե տրված են ուղիղ գծի հավասարումները ընդհանուր տեսարան

Ա 1 x + Բ 1 y + Գ 1 = 0,

Ա 2 x + Բ 2 y + Գ 2 = 0, (6)

նրանց միջև անկյունը որոշվում է բանաձևով

4. Երկու ուղիղների զուգահեռության պայմանները.

ա) Եթե ուղիղները տրված են (4) հավասարումներով թեքությամբ, ապա դրանց զուգահեռության անհրաժեշտ և բավարար պայմանը նրանց թեքությունների հավասարությունն է.

կ 1 = կ 2 . (8)

բ) Այն դեպքում, երբ ուղիղները տրված են ընդհանուր (6) ձևով հավասարումներով, դրանց զուգահեռության անհրաժեշտ և բավարար պայմանն այն է, որ դրանց հավասարումների համապատասխան ընթացիկ կոորդինատների գործակիցները համաչափ լինեն, այսինքն.

5. Երկու ուղիղների ուղղահայացության պայմանները.

ա) Այն դեպքում, երբ գծերը տրված են (4) հավասարումներով թեքությամբ, դրանց ուղղահայացության անհրաժեշտ և բավարար պայմանն այն է, որ դրանց թեքությունները մեծությամբ փոխադարձ լինեն և նշանով հակառակ, այսինքն.

Այս պայմանը կարող է գրվել նաև ձևով

կ 1 կ 2 = -1. (11)

բ) Եթե ուղիղ գծերի հավասարումները տրված են ընդհանուր տեսքով (6), ապա դրանց ուղղահայացության (անհրաժեշտ և բավարար) պայմանը հավասարության կատարումն է.

Ա 1 Ա 2 + Բ 1 Բ 2 = 0. (12)

6. Երկու ուղիղների հատման կետի կոորդինատները գտնում ենք (6) հավասարումների համակարգը լուծելով։ (6) ուղիղները հատվում են, եթե և միայն եթե

1. Գրի՛ր M կետով անցնող ուղիղների հավասարումները, որոնցից մեկը զուգահեռ է, իսկ մյուսը ուղղահայաց է տրված l ուղղին։

Առաջադրանք 1

Գտեք $\frac(x+3)(5) =\frac(y-2)(-3) =\frac(z-1)(4) $ և $\left\( ուղիղների միջև ընկած անկյան կոսինուսը \սկիզբ(զանգված)(c) (x=2\cdot t-3) \\ (y=-t+1) \\ (z=3\cdot t+5) \վերջ (զանգված)\աջ.$.

Թող տարածության մեջ տրվի երկու տող՝ $\frac(x-x_(1) )(m_(1) ) =\frac(y-y_(1) )(n_(1) ) =\frac(z-z_( 1 ) )(p_(1) ) $ և $\frac(x-x_(2))(m_(2)) =\frac(y-y_(2))(n_(2)) =\frac(z) - z_(2) )(p_(2) ) $. Տարածության մեջ ընտրում ենք կամայական կետ և դրա միջով գծում երկու օժանդակ գիծ՝ տվյալներին զուգահեռ։ Տրված տողերի միջև անկյունը երկուսից որևէ մեկն է հարակից անկյուններըձևավորվում են օժանդակ գծերով. Գծերի միջև եղած անկյուններից մեկի կոսինուսը կարելի է գտնել հայտնի բանաձեւ$\cos \phi =\frac(m_(1) \cdot m_(2) +n_(1) \cdot n_(2) +p_(1) \cdot p_(2) )(\sqrt(m_(1) ^(2) +n_(1)^(2) +p_(1)^(2) ) \cdot \sqrt(m_(2)^(2) +n_(2)^(2) +p_(2) ^(2) ) ) $. Եթե $\cos \phi >0$ արժեքը, ապա ստացվում է տողերի միջև սուր անկյուն, եթե $\cos \phi

Առաջին տողի կանոնական հավասարումներ՝ $\frac(x+3)(5) =\frac(y-2)(-3) =\frac(z-1)(4) $:

Երկրորդ ուղիղ գծի կանոնական հավասարումները կարելի է ստանալ պարամետրայինից.

\ \ \

Այսպիսով, այս տողի կանոնական հավասարումներն են՝ $\frac(x+3)(2) =\frac(y-1)(-1) =\frac(z-5)(3) $:

Մենք հաշվարկում ենք.

\[\cos \phi =\frac(5\cdot 2+\left(-3\right)\cdot \left(-1\right)+4\cdot 3)(\sqrt(5^(2) +\ ձախ(-3\աջ)^(2) +4^(2) ) \cdot \sqrt(2^(2) +\left(-1\աջ)^(2) +3^(2) ) = \frac(25)(\sqrt(50) \cdot \sqrt(14) ) \մոտ 0,9449.\]

Առաջադրանք 2

Առաջին տողը անցնում է տրված միավորներ$A\left(2,-4,-1\right)$ և $B\left(-3,5,6\աջ)$, երկրորդ տողը անցնում է $C\left(1,-2) կետերով: , 8\աջ)$ և $D\ձախ(6,7,-2\աջ)$։ Գտեք այս տողերի միջև եղած հեռավորությունը:

Թող որոշ ուղիղ ուղղահայաց լինի $AB$ և $CD$ ուղիղներին և հատի դրանք համապատասխանաբար $M$ և $N$ կետերում: Այս պայմաններում $MN$ հատվածի երկարությունը հավասար է $AB$ և $CD$ տողերի միջև եղած հեռավորությանը։

Մենք կառուցում ենք $\overline(AB)$ վեկտորը.

\[\overline(AB)=\left(-3-2\right)\cdot \bar(i)+\left(5-\left(-4\right)\right)\cdot \bar(j)+ \left(6-\left(-1\աջ)\աջ)\cdot \bar(k)=-5\cdot \bar(i)+9\cdot \bar(j)+7\cdot \bar(k) ).\]

Թող տողերի միջև հեռավորությունը ներկայացնող հատվածն անցնի $AB$ տողի $M\left(x_(M) ,y_(M) ,z_(M) \right)$ կետով։

Մենք կառուցում ենք $\overline(AM)$ վեկտորը.

\[\ overline (AM) =\ ձախ (x_ (M) -2 \ աջ) \ cdot \ բար (i) + \ ձախ (y_ (M) -\ ձախ (-4 \ աջ) \ աջ) \ cdot \ բար(j)+\ձախ(z_(M) -\ձախ(-1\աջ)\աջ)\cdot \bar(k)=\] \[=\ձախ(x_(M) -2\աջ)\ cdot \bar(i)+\left(y_(M) +4\right)\cdot \bar(j)+\left(z_(M) +1\աջ)\cdot \bar(k).\]

$\overline(AB)$ և $\overline(AM)$ վեկտորները նույնն են, հետևաբար դրանք համագիծ են:

Հայտնի է, որ եթե $\overline(a)=x_(1) \cdot \overline(i)+y_(1) \cdot \overline(j)+z_(1) \cdot \overline(k)$ վեկտորները. և $ \overline(b)=x_(2) \cdot \overline(i)+y_(2) \cdot \overline(j)+z_(2) \cdot \overline(k)$-ը համագիծ են, ապա դրանց կոորդինատները համեմատական են, ապա $\frac(x_((\it 2))) ((\it x)_((\it 1)) ) =\frac(y_((\it 2)) )((\it) y)_( (\it 1)) ) =\frac(z_((\it 2)) )((\it z)_((\it 1)) ) $.

$\frac(x_(M) -2)(-5) =\frac(y_(M) +4)(9) =\frac(z_(M) +1)(7) =m$, որտեղ $m $-ը բաժանման արդյունքն է։

Այստեղից մենք ստանում ենք՝ $x_(M) -2=-5\cdot m$; $y_(M) +4=9\cdot m$; $z_(M) +1=7\cdot m$:

Ի վերջո, մենք ստանում ենք արտահայտություններ $M$ կետի կոորդինատների համար.

Մենք կառուցում ենք $\overline(CD)$ վեկտորը.

\[\overline(CD)=\left(6-1\right)\cdot \bar(i)+\left(7-\left(-2\right)\right)\cdot \bar(j)+\ ձախ(-2-8\աջ)\cdot \bar(k)=5\cdot \bar(i)+9\cdot \bar(j)-10\cdot \bar(k).\]

Թող տողերի միջև հեռավորությունը ներկայացնող հատվածն անցնի $CD$ տողի $N\left(x_(N) ,y_(N) ,z_(N) \right)$ կետով։

Մենք կառուցում ենք $\overline(CN)$ վեկտորը.

\[\overline(CN)=\left(x_(N) -1\right)\cdot \bar(i)+\left(y_(N) -\left(-2\right)\right)\cdot \ բար(j)+\ձախ(z_(N) -8\աջ)\cdot \bar(k)=\] \[=\ձախ(x_(N) -1\աջ)\cdot \bar(i)+ \ձախ(y_(N) +2\աջ)\cdot \bar(j)+\left(z_(N) -8\աջ)\cdot \bar(k).\]

$\overline(CD)$ և $\overline(CN)$ վեկտորները նույնն են, հետևաբար դրանք համագիծ են: Մենք կիրառում ենք համագիծ վեկտորների պայմանը.

$\frac(x_(N) -1)(5) =\frac(y_(N) +2)(9) =\frac(z_(N) -8)(-10) =n$ որտեղ $n $ բաժանման արդյունքն է։

Այստեղից մենք ստանում ենք՝ $x_(N) -1=5\cdot n$; $y_(N) +2=9\cdot n$; $z_(N) -8=-10\cdot n$:

Վերջապես, մենք ստանում ենք արտահայտություններ $N$ կետի կոորդինատների համար.

Մենք կառուցում ենք $\overline(MN)$ վեկտորը.

\[\ overline(MN)=\left(x_(N) -x_(M) \right)\cdot \bar(i)+\left(y_(N) -y_(M) \աջ)\cdot \bar (j)+\ձախ (z_(N) -z_(M) \աջ)\cdot \bar(k).\]

Արտահայտությունները փոխարինում ենք $M$ և $N$ կետերի կոորդինատներով.

\[\ overline(MN)=\left(1+5\cdot n-\left(2-5\cdot m\right)\right)\cdot \bar(i)+\] \[+\left(- 2+9\cdot n-\left(-4+9\cdot m\right)\right)\cdot \bar(j)+\left(8-10\cdot n-\left(-1+7\cdot m\right)\right)\cdot \bar(k).\]

Քայլերը կատարելուց հետո մենք ստանում ենք.

\[\ overline(MN)=\left(-1+5\cdot n+5\cdot m\right)\cdot \bar(i)+\left(2+9\cdot n-9\cdot m\right) )\cdot \bar(j)+\left(9-10\cdot n-7\cdot m\right)\cdot \bar(k).\]

Քանի որ $AB$ և $MN$ տողերը ուղղահայաց են, համապատասխան վեկտորների սկալյար արտադրյալը հավասար է զրոյի, այսինքն $\overline(AB)\cdot \overline(MN)=0$:

\[-5\cdot \left(-1+5\cdot n+5\cdot m\right)+9\cdot \left(2+9\cdot n-9\cdot m\right)+7\cdot \ ձախ (9-10\cdot n-7\cdot m\right)=0;\] \

Քայլերն ավարտելուց հետո ստանում ենք $m$ և $n$ որոշելու առաջին հավասարումը. $155\cdot m+14\cdot n=86$։

Քանի որ $CD$ և $MN$ տողերը ուղղահայաց են, համապատասխան վեկտորների սկալյար արտադրյալը հավասար է զրոյի, այսինքն $\overline(CD)\cdot \overline(MN)=0$:

\ \[-5+25\cdot n+25\cdot m+18+81\cdot n-81\cdot m-90+100\cdot n+70\cdot m=0:\]

Քայլերն ավարտելուց հետո ստանում ենք $m$ և $n$ որոշելու երկրորդ հավասարումը. $14\cdot m+206\cdot n=77$։

Գտեք $m$ և $n$՝ լուծելով $\left$\begin(array)(c) (155\cdot m+14\cdot n=86) \\ (14\cdot m+206$ հավասարումների համակարգը cdot n =77) \end(array)\right.$.

Մենք կիրառում ենք Cramer մեթոդը.

Գտեք $M$ և $N$ կետերի կոորդինատները.

\ \

Վերջապես.

Ի վերջո, մենք գրում ենք $\overline(MN)$ վեկտորը.

$\overline(MN)=\left(2.691-\left(-0.6215\աջ)\աջ)\cdot \bar(i)+\left(1.0438-0.7187\աջ)\cdot \bar (j)+\ձախ (4,618-2,6701\աջ)\cdot \bar(k)$ կամ $\overline(MN)=3,3125\cdot \bar(i)+0,3251\cdot \bar(j)+1.9479\cdot \բար(կ)$.

$AB$ և $CD$ տողերի միջև հեռավորությունը $\overline(MN)$:$d=\sqrt(3.3125^(2) +0.3251^(2) +1.9479^(2) ) վեկտորի երկարությունն է: մոտ 3,8565$ lin. միավորներ

Oh-oh-oh-oh-oh ... լավ, դա թիթեղ է, կարծես նախադասությունը կարդում եք ինքներդ =) Այնուամենայնիվ, ապա հանգիստը կօգնի, մանավանդ որ այսօր ես գնել եմ համապատասխան պարագաներ: Հետևաբար, անցնենք առաջին բաժնին, հուսով եմ, մինչև հոդվածի ավարտը կպահպանեմ ուրախ տրամադրությունը։

Երկու ուղիղ գծերի փոխադարձ դասավորություն

Այն դեպքը, երբ դահլիճը երգում է երգչախմբով։ Երկու տող կարող է:

1) համընկնում;

2) լինել զուգահեռ.

3) կամ հատվում են մեկ կետում.

Օգնեք դավաճաններին Խնդրում եմ հիշեք խաչմերուկի մաթեմատիկական նշանը, այն շատ հաճախ տեղի կունենա: Մուտքը նշանակում է, որ ուղիղը հատվում է կետի գծի հետ:

Ինչպե՞ս որոշել երկու տողերի հարաբերական դիրքը:

Սկսենք առաջին դեպքից.

Երկու տող համընկնում են, եթե և միայն այն դեպքում, եթե դրանց համապատասխան գործակիցները համաչափ են, այսինքն կա այնպիսի թիվ «լամբդա», որ հավասարությունները

Դիտարկենք ուղիղ գծեր և համապատասխան գործակիցներից կազմենք երեք հավասարումներ. Յուրաքանչյուր հավասարումից հետևում է, որ, հետևաբար, այս տողերը համընկնում են:

Իսկապես, եթե հավասարման բոլոր գործակիցները բազմապատկել -1-ով (փոփոխության նշաններ), և հավասարման բոլոր գործակիցները կրճատել 2-ով, ստացվում է նույն հավասարումը.

Երկրորդ դեպքը, երբ ուղիղները զուգահեռ են.

Երկու ուղիղները զուգահեռ են, եթե և միայն այն դեպքում, երբ դրանց գործակիցները փոփոխականներում համաչափ են. , բայց.

Որպես օրինակ, դիտարկենք երկու ուղիղ գիծ: Մենք ստուգում ենք համապատասխան գործակիցների համաչափությունը փոփոխականների համար.

Այնուամենայնիվ, պարզ է, որ.

Եվ երրորդ դեպքը, երբ գծերը հատվում են.

Երկու ուղիղ հատվում են, եթե և միայն այն դեպքում, եթե փոփոխականների նրանց գործակիցները ՉԵՆ համաչափ, այսինքն՝ «լամբդա»-ի այնպիսի արժեք ՉԻ, որ հավասարությունները կատարվեն

Այսպիսով, ուղիղ գծերի համար մենք կկազմենք համակարգ.

Առաջին հավասարումից հետևում է, որ, իսկ երկրորդից՝ հետևաբար, համակարգը անհամապատասխան է(լուծումներ չկան): Այսպիսով, փոփոխականների գործակիցները համաչափ չեն:

Եզրակացություն՝ գծերը հատվում են

Գործնական խնդիրներում կարող է օգտագործվել հենց նոր դիտարկված լուծման սխեման: Ի դեպ, այն շատ նման է վեկտորների համակողմանիության ստուգման ալգորիթմին, որը մենք դիտարկել ենք դասում։ Վեկտորների գծային (ոչ) կախվածության հասկացությունը. Վեկտորային հիմք. Բայց կա ավելի քաղաքակիրթ փաթեթ.

Օրինակ 1

Պարզեք տողերի հարաբերական դիրքը.

Լուծումհիմնված ուղիղ գծերի ուղղորդող վեկտորների ուսումնասիրության վրա.

ա) Հավասարումներից գտնում ենք ուղիղների ուղղության վեկտորները. .

, ուստի վեկտորները համագիծ չեն, և ուղիղները հատվում են։

Համենայն դեպս, ես խաչմերուկում ցուցիչներով քար կդնեմ.

Մնացածը ցատկում է քարի վրայով և հետևում ուղիղ դեպի Կաշչեյ Անմահ =)

բ) Գտե՛ք ուղիղների ուղղության վեկտորները.

Գծերն ունեն նույն ուղղության վեկտորը, ինչը նշանակում է, որ դրանք կամ զուգահեռ են, կամ նույնը: Այստեղ որոշիչն անհրաժեշտ չէ։

Ակնհայտ է, որ անհայտների գործակիցները համաչափ են, մինչդեռ .

Եկեք պարզենք, թե արդյոք հավասարությունը ճշմարիտ է.

Այս կերպ,

գ) Գտե՛ք ուղիղների ուղղության վեկտորները.

Եկեք հաշվարկենք որոշիչը՝ կազմված այս վեկտորների կոորդինատներից.
, հետևաբար, ուղղության վեկտորները համակողմանի են: Գծերը կամ զուգահեռ են, կամ համընկնում են:

Համաչափության գործակիցը «լամբդա» հեշտ է տեսնել ուղիղ ուղղության վեկտորների հարաբերակցությունից: Այնուամենայնիվ, այն կարելի է գտնել նաև հենց հավասարումների գործակիցների միջոցով. .

Հիմա եկեք պարզենք, թե արդյոք հավասարությունը ճշմարիտ է: Երկու անվճար տերմիններն էլ զրո են, ուստի.

Ստացված արժեքը բավարարում է այս հավասարումը (ցանկացած թիվ ընդհանուր առմամբ բավարարում է դրան):

Այսպիսով, տողերը համընկնում են:

Պատասխանել:

Շատ շուտով դուք կսովորեք (կամ նույնիսկ արդեն սովորել եք) դիտարկված խնդիրը բառացիորեն լուծել վայրկյանների ընթացքում։ Այս առումով, ես անկախ լուծման համար ինչ-որ բան առաջարկելու պատճառ չեմ տեսնում, ավելի լավ է երկրաչափական հիմքում դնել ևս մեկ կարևոր աղյուս.

Ինչպե՞ս գծել տրվածին զուգահեռ ուղիղ:

Այս ամենապարզ առաջադրանքից անտեղյակության համար ավազակ գիշերը խստորեն պատժում է:

Օրինակ 2

Ուղիղ գիծը տրված է հավասարմամբ. Գրի՛ր կետի միջով անցնող զուգահեռ ուղիղի հավասարումը:

ԼուծումԱնհայտ տողը նշե՛ք տառով: Ի՞նչ է ասում պայմանը դրա մասին: Գիծն անցնում է կետով։ Իսկ եթե ուղիղները զուգահեռ են, ապա ակնհայտ է, որ «ce» ուղղի ուղղորդող վեկտորը նույնպես հարմար է «de» ուղիղը կառուցելու համար։

Մենք հավասարումից հանում ենք ուղղության վեկտորը.

Պատասխանել:

Օրինակի երկրաչափությունը պարզ է թվում.

Վերլուծական ստուգումը բաղկացած է հետևյալ քայլերից.

1) Ստուգում ենք, որ գծերն ունեն նույն ուղղության վեկտորը (եթե գծի հավասարումը պատշաճ կերպով պարզեցված չէ, ապա վեկտորները կլինեն համագիծ):

2) Ստուգեք, արդյոք կետը բավարարում է ստացված հավասարմանը:

Վերլուծական ստուգումը շատ դեպքերում հեշտ է իրականացնել բանավոր: Նայեք երկու հավասարումներին և ձեզնից շատերը արագ կհասկանան, թե ինչպես են ուղիղները զուգահեռ առանց որևէ գծագրի:

Այսօր ինքնալուծվելու օրինակները ստեղծագործական կլինեն։ Որովհետև դու դեռ պետք է մրցես Բաբա Յագայի հետ, իսկ նա, գիտես, ամեն տեսակ հանելուկների սիրահար է։

Օրինակ 3

Հավասարում գրե՛ք այն ուղիղի համար, որն անցնում է ուղիղին զուգահեռ կետով, եթե

Կա լուծման ռացիոնալ և ոչ շատ ռացիոնալ ճանապարհ։ Ամենակարճ ճանապարհը դասի վերջում է:

Մենք մի փոքր աշխատանք կատարեցինք զուգահեռ գծերով և կանդրադառնանք դրանց ավելի ուշ: Համընկնող տողերի դեպքը քիչ հետաքրքրություն է ներկայացնում, ուստի հաշվի առեք մի խնդիր, որը ձեզ քաջ հայտնի է դպրոցական ծրագիր:

Ինչպե՞ս գտնել երկու ուղիղների հատման կետը:

Եթե ուղիղ հատվում են կետում, ապա դրա կոորդինատները լուծումն են գծային հավասարումների համակարգեր

Ինչպե՞ս գտնել գծերի հատման կետը: Լուծել համակարգը.

Ահա ձեզ երկրաչափական իմաստերկու գծային հավասարումների համակարգեր երկու անհայտներովերկու հատվող (առավել հաճախ) ուղիղ գծեր են հարթության վրա։

Օրինակ 4

Գտեք ուղիղների հատման կետը

ԼուծումԼուծման երկու եղանակ կա՝ գրաֆիկական և վերլուծական:

Գրաֆիկական եղանակուղղակի գծել տրված գծերը և ուղղակիորեն պարզել հատման կետը գծագրից.

Ահա մեր միտքը. Ստուգելու համար դուք պետք է փոխարինեք դրա կոորդինատները ուղիղ գծի յուրաքանչյուր հավասարման մեջ, դրանք պետք է տեղավորվեն և՛ այնտեղ, և՛ այնտեղ: Այլ կերպ ասած, կետի կոորդինատները համակարգի լուծումն են: Փաստորեն, մենք դիտարկեցինք լուծման գրաֆիկական տարբերակ գծային հավասարումների համակարգերերկու հավասարումներով, երկու անհայտով:

Գրաֆիկական մեթոդը, իհարկե, վատ չէ, բայց նկատելի թերություններ կան։ Ո՛չ, բանն այն չէ, որ յոթերորդ դասարանցիներն այսպես են որոշում, բանն այն է, որ ժամանակ է պետք ճիշտ և ՃԻՇՏ նկարչություն անելու համար։ Բացի այդ, որոշ գծեր այնքան էլ հեշտ չէ կառուցել, և հատման կետն ինքնին կարող է լինել ինչ-որ տեղ երեսուներորդ թագավորությունում՝ նոթատետրից դուրս:

Ուստի ավելի նպատակահարմար է փնտրել հատման կետը վերլուծական մեթոդ. Եկեք լուծենք համակարգը.

Համակարգը լուծելու համար օգտագործվել է հավասարումների ժամկետային գումարման մեթոդը։ Համապատասխան հմտությունները զարգացնելու համար այցելեք դասին Ինչպե՞ս լուծել հավասարումների համակարգը:

Պատասխանել:

Ստուգումը չնչին է. հատման կետի կոորդինատները պետք է բավարարեն համակարգի յուրաքանչյուր հավասարումը:

Օրինակ 5

Գտե՛ք ուղիղների հատման կետը, եթե դրանք հատվում են։

Սա «ինքներդ արա» օրինակ է: Առաջադրանքը կարելի է հարմարավետորեն բաժանել մի քանի փուլերի. Վիճակի վերլուծությունը ցույց է տալիս, որ անհրաժեշտ է.
1) Գրի՛ր ուղիղ գծի հավասարումը.
2) Գրի՛ր ուղիղ գծի հավասարումը.
3) Պարզեք գծերի հարաբերական դիրքը.
4) Եթե ուղիղները հատվում են, ապա գտե՛ք հատման կետը:

Գործողությունների ալգորիթմի մշակումը բնորոշ է շատերին երկրաչափական խնդիրներ, և ես բազմիցս կկենտրոնանամ սրա վրա:

Ամբողջական լուծումև պատասխանը դասի վերջում.

Մի զույգ կոշիկ դեռ չի մաշվել, քանի որ հասանք դասի երկրորդ հատվածին.

Ուղղահայաց գծեր. Հեռավորությունը կետից մինչև գիծ:
Անկյուն գծերի միջև

Սկսենք բնորոշ և շատ կարևոր առաջադրանքից. Առաջին մասում սովորեցինք, թե ինչպես կարելի է ուղիղ գիծ կառուցել տրվածին զուգահեռ, իսկ հիմա հավի ոտքերի վրա խրճիթը կշրջվի 90 աստիճանով.

Ինչպե՞ս գծել տրվածին ուղղահայաց գիծ:

Օրինակ 6

Ուղիղ գիծը տրված է հավասարմամբ. Գրի՛ր կետի միջով անցնող ուղղահայաց ուղղի հավասարումը:

ԼուծումՀայտնի է ենթադրությամբ, որ. Լավ կլիներ գտնել ուղիղ գծի ուղղության վեկտորը։ Քանի որ գծերն ուղղահայաց են, հնարքը պարզ է.

Հավասարումից «հեռացնում ենք» նորմալ վեկտորը՝ , որը կլինի ուղիղ գծի ուղղորդող վեկտորը։

Մենք կազմում ենք ուղիղ գծի հավասարումը կետով և ուղղորդող վեկտորով.

Պատասխանել:

Եկեք բացենք երկրաչափական ուրվագիծը.

Հմմ... Նարնջագույն երկինք, նարնջագույն ծով, նարնջագույն ուղտ:

Լուծման վերլուծական ստուգում.

1) Հավասարումներից հանի՛ր ուղղության վեկտորները և օգնությամբ վեկտորների կետային արտադրյալմենք եզրակացնում ենք, որ ուղիղներն իսկապես ուղղահայաց են.

Ի դեպ, դուք կարող եք օգտագործել նորմալ վեկտորներ, դա նույնիսկ ավելի հեշտ է:

2) Ստուգեք, արդյոք կետը բավարարում է ստացված հավասարմանը .

Ստուգումը, կրկին, հեշտ է բանավոր կատարել:

Օրինակ 7

Գտե՛ք ուղղահայաց ուղիղների հատման կետը, եթե հավասարումը հայտնի է և կետ.

Սա «ինքներդ արա» օրինակ է: Առաջադրանքում կան մի քանի գործողություններ, ուստի հարմար է լուծումը դասավորել կետ առ կետ։

Մեր հետաքրքիր ճանապարհորդությունը շարունակվում է.

Հեռավորությունը կետից տող

Մեր առջև գետի ուղիղ շերտն է, և մեր խնդիրն է ամենակարճ ճանապարհով հասնել դրան։ Խոչընդոտներ չկան, և ամենաօպտիմալ երթուղին կլինի ուղղահայաց երկայնքով շարժումը: Այսինքն՝ կետից մինչև ուղիղ հեռավորությունը ուղղահայաց հատվածի երկարությունն է։

Երկրաչափության մեջ հեռավորությունը ավանդաբար նշվում է հունարեն «ro» տառով, օրինակ՝ - հեռավորությունը «էմ» կետից մինչև «դե» ուղիղ գիծը։

Հեռավորությունը կետից տող արտահայտվում է բանաձևով

Օրինակ 8

Գտեք կետից մինչև ուղիղ հեռավորությունը

ԼուծումՁեզ անհրաժեշտ է թվերը զգուշորեն փոխարինել բանաձևով և կատարել հաշվարկները.

Պատասխանել:

Եկեք կատարենք գծագիրը.

Կետից մինչև ուղիղ հայտնաբերված հեռավորությունը ճիշտ կարմիր հատվածի երկարությունն է: Եթե վանդակավոր թղթի վրա նկար եք անում 1 միավորի սանդղակով. \u003d 1 սմ (2 բջիջ), ապա հեռավորությունը կարելի է չափել սովորական քանոնով:

Դիտարկենք մեկ այլ առաջադրանք ըստ նույն գծագրի.

Խնդիրն է գտնել այն կետի կոորդինատները, որոնք համաչափ են ուղիղի նկատմամբ . Ես առաջարկում եմ գործողությունները կատարել ինքնուրույն, այնուամենայնիվ, ես կուրվագծեմ լուծման ալգորիթմը միջանկյալ արդյունքներով.

1) Գտի՛ր ուղիղը, որն ուղղահայաց է:

2) Գտե՛ք ուղիղների հատման կետը. .

Երկու գործողություններն էլ մանրամասն քննարկվում են այս դասում:

3) կետը հատվածի միջնակետն է: Մենք գիտենք միջինի և ծայրերից մեկի կոորդինատները։ Ըստ հատվածի կեսի կոորդինատների բանաձևերգտնել .

Ավելորդ չի լինի ստուգել, որ հեռավորությունը նույնպես հավասար է 2,2 միավորի։

Այստեղ դժվարություններ կարող են առաջանալ հաշվարկների մեջ, բայց աշտարակում միկրոհաշվիչը շատ է օգնում, որը թույլ է տալիս հաշվել. ընդհանուր կոտորակներ. Բազմիցս խորհուրդ եմ տվել և նորից խորհուրդ կտամ:

Ինչպե՞ս գտնել երկու զուգահեռ գծերի միջև հեռավորությունը:

Օրինակ 9

Գտեք երկու զուգահեռ ուղիղների միջև եղած հեռավորությունը

Սա ևս մեկ օրինակ է անկախ լուծման համար։ Մի փոքր հուշում. լուծման անսահման շատ եղանակներ կան: Դեբրիֆինգ դասի վերջում, բայց ավելի լավ է փորձեք ինքներդ գուշակել, կարծում եմ ձեր հնարամտությունը լավ ցրվեց:

Անկյուն երկու գծերի միջև

Ինչ էլ որ լինի անկյունը, ապա ջամբը.

Երկրաչափության մեջ երկու ուղիղ գծերի միջև ընկած անկյունն ընդունվում է որպես ԱՎԵԼԻ ՓՈՔՐ անկյուն, որից ինքնաբերաբար հետևում է, որ այն չի կարող բութ լինել։ Նկարում կարմիր աղեղով նշված անկյունը չի համարվում հատվող գծերի միջև ընկած անկյունը: Իսկ նրա «կանաչ» հարեւանը կամ հակառակ կողմնորոշվածբոսորագույն անկյուն.

Եթե գծերը ուղղահայաց են, ապա 4 անկյուններից որևէ մեկը կարելի է ընդունել որպես նրանց միջև եղած անկյուն։

Ինչպե՞ս են տարբեր անկյունները: Կողմնորոշում. Նախ, անկյունը «ոլորելու» ուղղությունը սկզբունքորեն կարևոր է: Երկրորդ, բացասական կողմնորոշված անկյունը գրվում է մինուս նշանով, օրինակ, եթե .

Ինչու ես սա ասացի: Թվում է, թե դուք կարող եք յոլա գնալ անկյունի սովորական հայեցակարգով: Փաստն այն է, որ այն բանաձեւերում, որոնցով մենք կգտնենք անկյունները, հեշտությամբ կարելի է բացասական արդյունք ստանալ, և դա չպետք է ձեզ զարմացնի։ Մինուս նշանով անկյունն ավելի վատ չէ և ունի շատ կոնկրետ երկրաչափական նշանակություն: Բացասական անկյան գծագրում պարտադիր է սլաքով նշել դրա կողմնորոշումը (ժամացույցի սլաքի ուղղությամբ):

Ինչպե՞ս գտնել անկյունը երկու գծերի միջև:Գործող երկու բանաձև կա.

Օրինակ 10

Գտի՛ր տողերի միջև եղած անկյունը

Լուծումև Մեթոդ առաջին

Դիտարկենք երկու տող տրված է հավասարումներովընդհանրապես:

Եթե ուղիղ ոչ ուղղահայաց, ապա կողմնորոշվածՆրանց միջև անկյունը կարելի է հաշվարկել բանաձևով.

Եկեք ուշադրությամբ ուշադրություն դարձնենք հայտարարին՝ սա հենց այդպես է սկալյար արտադրանքՈւղիղ գծերի ուղղության վեկտորները.

Եթե , ապա բանաձևի հայտարարը անհետանում է, և վեկտորները կլինեն ուղղանկյուն, իսկ ուղիղները՝ ուղղահայաց: Այդ պատճառով էլ վերապահում է արվել ձեւակերպման մեջ գծերի ոչ ուղղահայաց լինելու վերաբերյալ։

Ելնելով վերը նշվածից՝ լուծումը հարմար ձևակերպվում է երկու քայլով.

1) Հաշվել ուղիղ գծերի ուղղորդող վեկտորների սկալյար արտադրյալը.
այնպես որ գծերն ուղղահայաց չեն:

2) Գծերի միջև անկյունը գտնում ենք բանաձևով.

Օգտագործելով հակադարձ ֆունկցիահեշտ է գտնել անկյունն ինքնին: Այս դեպքում մենք օգտագործում ենք աղեղի շոշափողի տարօրինակությունը (տես Նկ. Տարրական ֆունկցիաների գրաֆիկները և հատկությունները):

Պատասխանել:

Պատասխանում մենք նշում ենք ճշգրիտ արժեքը, ինչպես նաև մոտավոր արժեքը (ցանկալի է և՛ աստիճաններով, և՛ ռադիաններով), որը հաշվարկվում է հաշվիչի միջոցով։

Դե, մինուս, ուրեմն մինուս, լավ է: Ահա մի երկրաչափական նկարազարդում.

Զարմանալի չէ, որ անկյունը բացասական կողմնորոշման է դուրս եկել, քանի որ խնդրի պայմաններում առաջին թիվը ուղիղ գիծ է, և անկյան «ոլորումը» սկսվել է հենց դրանից։

Եթե իսկապես ցանկանում եք դրական անկյուն ստանալ, ապա պետք է փոխեք ուղիղ գծերը, այսինքն՝ վերցնեք գործակիցները երկրորդ հավասարումից։ , և վերցրեք գործակիցները առաջին հավասարումից: Մի խոսքով, դուք պետք է սկսել ուղիղ .

Ես հակիրճ կլինեմ. Անկյուն երկու գծերի միջև հավասար է անկյաննրանց ուղղության վեկտորների միջև: Այսպիսով, եթե ձեզ հաջողվի գտնել a \u003d (x 1; y 1; z 1) և b \u003d (x 2; y 2; z 2) ուղղության վեկտորների կոորդինատները, ապա կարող եք գտնել անկյունը: Ավելի ճիշտ, անկյան կոսինուսը ըստ բանաձևի.

Տեսնենք, թե ինչպես է այս բանաձևը աշխատում կոնկրետ օրինակների վրա.

Առաջադրանք. E և F կետերը նշված են ABCDA 1 B 1 C 1 D 1 խորանարդի մեջ՝ համապատասխանաբար A 1 B 1 և B 1 C 1 եզրերի միջնակետերը: Գտեք անկյունը AE և BF ուղիղների միջև:

Քանի որ խորանարդի եզրը նշված չէ, մենք սահմանում ենք AB = 1: Մենք ներկայացնում ենք ստանդարտ կոորդինատային համակարգ. սկզբնաղբյուրը գտնվում է A կետում, իսկ x, y, z առանցքներն ուղղված են համապատասխանաբար AB, AD և AA 1 երկայնքով: . Միավոր հատվածը հավասար է AB = 1-ի: Այժմ եկեք գտնենք մեր տողերի ուղղության վեկտորների կոորդինատները:

Գտե՛ք AE վեկտորի կոորդինատները: Դա անելու համար մեզ անհրաժեշտ են միավորներ A = (0; 0; 0) և E = (0.5; 0; 1): Քանի որ E կետը A 1 B 1 հատվածի միջինն է, դրա կոորդինատները հավասար են ծայրերի կոորդինատների միջին թվաբանականին։ Նկատի ունեցեք, որ AE վեկտորի ծագումը համընկնում է ծագման հետ, ուստի AE = (0.5; 0; 1):

Այժմ անդրադառնանք BF վեկտորին: Նմանապես, մենք վերլուծում ենք B = (1; 0; 0) և F = (1; 0.5; 1) կետերը, քանի որ. F - B 1 C 1 հատվածի կեսը: Մենք ունենք:
BF = (1 - 1; 0.5 - 0; 1 - 0) = (0; 0.5; 1):

Այսպիսով, ուղղության վեկտորները պատրաստ են: Գծերի միջև անկյան կոսինուսը ուղղության վեկտորների միջև անկյան կոսինուսն է, ուստի մենք ունենք.

Առաջադրանք. Կանոնավոր եռանկյուն ABCA 1 B 1 C 1 պրիզմայում, որի բոլոր եզրերը հավասար են 1-ի, նշված են D և E կետերը` համապատասխանաբար A 1 B 1 և B 1 C 1 եզրերի միջնակետերը: Գտեք անկյունը AD և BE տողերի միջև:

Մենք ներկայացնում ենք ստանդարտ կոորդինատային համակարգ. սկզբնաղբյուրը գտնվում է A կետում, x-առանցքը ուղղված է AB երկայնքով, z-ը AA 1 երկայնքով: Մենք ուղղում ենք y առանցքը, որպեսզի OXY հարթությունը համընկնի ABC հարթության հետ: Միավոր հատվածը հավասար է AB = 1-ի: Գտեք ցանկալի գծերի ուղղության վեկտորների կոորդինատները:

Նախ, եկեք գտնենք AD վեկտորի կոորդինատները: Հաշվի առեք կետերը. A = (0; 0; 0) և D = (0.5; 0; 1), քանի որ D - A 1 B 1 հատվածի կեսը: Քանի որ AD վեկտորի սկիզբը համընկնում է ծագման հետ, մենք ստանում ենք AD = (0.5; 0; 1):

Հիմա եկեք գտնենք BE վեկտորի կոորդինատները։ Բ կետը = (1; 0; 0) հեշտ է հաշվարկել: E կետով - C 1 B 1 հատվածի կեսը - մի փոքր ավելի բարդ: Մենք ունենք:

Մնում է գտնել անկյան կոսինուսը.

Առաջադրանք. Կանոնավոր վեցանկյուն պրիզմայում ABCDEFA 1 B 1 C 1 D 1 E 1 F 1 , որի բոլոր եզրերը հավասար են 1-ի, նշված են K և L կետերը՝ A 1 B 1 և B 1 C 1 եզրերի միջնակետերը, համապատասխանաբար. Գտեք անկյունը AK և BL ուղիղների միջև:

Մենք ներկայացնում ենք ստանդարտ կոորդինատային համակարգ պրիզմայի համար. կոորդինատների սկզբնաղբյուրը տեղադրում ենք ստորին հիմքի կենտրոնում, x առանցքը ուղղում ենք FC երկայնքով, y առանցքը AB և DE հատվածների միջնակետերի միջով և z առանցքը: ուղղահայաց դեպի վեր: Միավոր հատվածը կրկին հավասար է AB = 1-ի: Եկեք գրենք մեզ հետաքրքրող կետերի կոորդինատները.

K և L կետերը համապատասխանաբար A 1 B 1 և B 1 C 1 հատվածների միջնակետերն են, ուստի դրանց կոորդինատները հայտնաբերվում են միջին թվաբանականի միջոցով: Իմանալով կետերը՝ մենք գտնում ենք AK և BL ուղղության վեկտորների կոորդինատները.

Հիմա եկեք գտնենք անկյան կոսինուսը.

Առաջադրանք. SABCD կանոնավոր քառանկյուն բուրգում, որի բոլոր եզրերը հավասար են 1-ի, նշված են E և F կետերը՝ համապատասխանաբար SB և SC կողմերի միջնակետերը: Գտեք անկյունը AE և BF ուղիղների միջև:

Մենք ներկայացնում ենք ստանդարտ կոորդինատային համակարգ. սկզբնաղբյուրը գտնվում է A կետում, x և y առանցքներն ուղղված են համապատասխանաբար AB և AD երկայնքով, իսկ z առանցքը ուղղահայաց դեպի վեր: Միավոր հատվածը հավասար է AB = 1:

E և F կետերը համապատասխանաբար SB և SC հատվածների միջնակետերն են, ուստի դրանց կոորդինատները հայտնաբերվում են որպես ծայրերի միջին թվաբանական: Մենք գրում ենք մեզ հետաքրքրող կետերի կոորդինատները.
A = (0; 0; 0); B = (1; 0; 0)

Իմանալով կետերը՝ մենք գտնում ենք AE և BF ուղղության վեկտորների կոորդինատները.

AE վեկտորի կոորդինատները համընկնում են E կետի կոորդինատների հետ, քանի որ A կետը սկիզբն է: Մնում է գտնել անկյան կոսինուսը.

Հոդվածում խոսվում է հարթությունների միջև անկյունը գտնելու մասին։ Սահմանումը բերելուց հետո մենք կնշենք գրաֆիկական նկարազարդում, կդիտարկենք մեթոդով կոորդինատները գտնելու մանրամասն մեթոդ: Մենք ստանում ենք հատվող հարթությունների բանաձև, որը ներառում է կոորդինատները նորմալ վեկտորներ.

Նյութը կօգտագործի տվյալներ և հասկացություններ, որոնք նախկինում ուսումնասիրվել են հարթության և տիեզերքում գծի մասին հոդվածներում: Սկսելու համար անհրաժեշտ է անցնել այն դատողություններին, որոնք թույլ են տալիս որոշակի մոտեցում ունենալ երկու հատվող հարթությունների միջև անկյունը որոշելու հարցում:

Տրված են երկու հատվող հարթություններ γ 1 և γ 2: Նրանց խաչմերուկը կվերցնի c նշումը: Χ հարթության կառուցումը կապված է այս հարթությունների հատման հետ։ χ հարթությունը M կետով անցնում է որպես ուղիղ c: γ 1 և γ 2 հարթությունները կհատվեն χ հարթության միջոցով: Մենք ընդունում ենք γ 1-ը և χ-ը հատող ուղիղի նշանակումները a տողի համար, իսկ γ 2-ը և χ-ը հատող՝ b տողի համար: Ստանում ենք, որ a և b ուղիղների հատումից ստացվում է M կետը:

M կետի գտնվելու վայրը չի ազդում a և b հատվող ուղիղների անկյան վրա, իսկ M կետը գտնվում է c ուղղի վրա, որով անցնում է χ հարթությունը։

Անհրաժեշտ է կառուցել χ 1 հարթություն c ուղղին ուղղահայաց և χ հարթությունից տարբեր: γ 1 և γ 2 հարթությունների խաչմերուկը χ 1-ի օգնությամբ կընդունի a 1 և b 1 ուղիղների նշանակումը:

Երևում է, որ χ և χ 1-ը կառուցելիս a և b ուղիղները ուղղահայաց են c ուղղին, ապա a 1, b 1 ուղղահայաց են c ուղղին։ Գ 1 հարթությունում գտնելով a և a 1 ուղիղները c ուղղին ուղղահայացությամբ, ապա դրանք կարելի է զուգահեռ համարել։ Նույն կերպ b և b 1-ի տեղադրությունը γ 2 հարթության մեջ c ուղղի ուղղահայացությամբ ցույց է տալիս դրանց զուգահեռությունը։ Սա նշանակում է, որ անհրաժեշտ է χ 1 հարթության զուգահեռ փոխանցում կատարել χ, որտեղ ստանում ենք երկու համընկնող ուղիղներ a և a 1, b և b 1: Ստանում ենք, որ a և b 1 հատվող ուղիղների միջև անկյունը հավասար է a և b հատվող ուղիղների անկյունին։

Դիտարկենք ստորև բերված նկարը:

Այս դատողությունն ապացուցվում է նրանով, որ a և b հատվող ուղիղների միջև կա մի անկյուն, որը կախված չէ M կետի, այսինքն՝ հատման կետից։ Այս գծերը գտնվում են γ 1 և γ 2 հարթություններում: Փաստորեն, ստացված անկյունը կարելի է համարել որպես երկու հատվող հարթությունների անկյուն։

Անցնենք գոյություն ունեցող γ 1 և γ 2 հատվող հարթությունների միջև անկյունի որոշմանը:

Սահմանում 1

Անկյուն երկու հատվող հարթությունների γ 1 և γ 2անվանել a և b ուղիղների հատումից առաջացած անկյունը, որտեղ γ 1 և γ 2 հարթությունները հատվում են c ուղղին ուղղահայաց χ հարթության հետ։

Դիտարկենք ստորև բերված նկարը:

Սահմանումը կարող է ներկայացվել այլ ձևով: γ 1 և γ 2 հարթությունների խաչմերուկում, որտեղ c-ն այն ուղիղն է, որի վրա դրանք հատվում են, նշեք M կետը, որով գծեք a և b ուղիղներ c ուղղին ուղղահայաց և գ 1 և γ 2 հարթություններում ընկած: , ապա a և b տողերի անկյունը կլինի հարթությունների միջև ընկած անկյունը։ Գործնականում դա կիրառելի է հարթությունների միջև անկյուն կառուցելու համար:

Խաչմերուկում ձևավորվում է մի անկյուն, որն ունի 90 աստիճանից պակաս արժեք, այսինքն՝ անկյան աստիճանի չափումը վավեր է այս տիպի (0, 90] ինտերվալի վրա։ Միևնույն ժամանակ, այդ հարթությունները կոչվում են ուղղահայաց։ եթե խաչմերուկում կազմված է ուղիղ անկյուն Զուգահեռ հարթությունների անկյունը համարվում է հավասար զրոյի։

Հատվող հարթությունների միջև անկյունը գտնելու սովորական եղանակը լրացուցիչ կոնստրուկցիաներ կատարելն է։ Սա օգնում է ճշգրիտ որոշել այն, և դա կարելի է անել՝ օգտագործելով եռանկյան, սինուսների, անկյան կոսինուսների հավասարության կամ նմանության նշանները։

Դիտարկենք խնդիրները լուծելու օրինակ՝ օգտագործելով C 2 բլոկի միասնական պետական քննության խնդիրներից:

Օրինակ 1

Տրված է ուղղանկյուն զուգահեռագիծ A B C D A 1 B 1 C 1 D 1, որտեղ A B \u003d 2, A D \u003d 3, A A 1 \u003d 7, E կետը բաժանում է A A 1 կողմը 4: 3 հարաբերակցությամբ: Գտեք անկյունը A B C և B E D 1 հարթությունների միջև:

Լուծում

Պարզության համար անհրաժեշտ է նկարել: Մենք դա հասկանում ենք

Տեսողական պատկերը անհրաժեշտ է հարթությունների միջև անկյան հետ աշխատելն ավելի հարմար դարձնելու համար:

Կատարում ենք ուղիղ գծի սահմանումը, որի երկայնքով հատվում են A B C և B E D 1 հարթությունները: Բ կետը ընդհանուր կետ է: Պետք է գտնել ևս մեկ ընդհանուր խաչմերուկ: Դիտարկենք D A և D 1 E ուղիղները, որոնք գտնվում են նույն հարթության վրա A D D 1: Նրանց գտնվելու վայրը չի ցույց տալիս զուգահեռություն, ինչը նշանակում է, որ նրանք ունեն ընդհանուր խաչմերուկ:

Այնուամենայնիվ, D A տողը գտնվում է A B C հարթությունում, իսկ D 1 E-ը B E D 1-ում: Այսպիսով, մենք ստանում ենք, որ տողերը Դ Աև Դ 1 Եունեն ընդհանուր հատման կետ, որը նույնպես բնորոշ է A B C և B E D 1 հարթությունների համար: Ցույց է տալիս գծերի հատման կետը Դ Աև Դ 1 Ե նամակ Ֆ. Այստեղից մենք ստանում ենք, որ B F-ն ուղիղ գիծ է, որի երկայնքով հատվում են A B C և B E D 1 հարթությունները:

Դիտարկենք ստորև բերված նկարը:

Պատասխան ստանալու համար անհրաժեշտ է կառուցել ուղիղ գծեր, որոնք գտնվում են A B C և B E D 1 հարթություններում B F գծի վրա գտնվող և դրան ուղղահայաց կետով անցումով: Այնուհետև այս գծերի միջև ստացված անկյունը համարվում է ցանկալի անկյուն A B C և B E D 1 հարթությունների միջև:

Այստեղից երևում է, որ A կետը E կետի պրոյեկցիան է A B C հարթության վրա: Անհրաժեշտ է ուղիղ անկյան տակ գծել B F ուղիղը M կետում: Տեսանելի է, որ ուղիղը A M-ը E M ուղիղի պրոյեկցիան է A B C հարթության վրա՝ հիմնված A M ⊥ B F ուղղանկյունների մասին թեորեմի վրա: Դիտարկենք ստորև բերված նկարը:

∠ A M E-ը A B C և B E D 1 հարթությունների կողմից ձևավորված ցանկալի անկյունն է: Ստացված A E M եռանկյունից կարող ենք գտնել անկյան սինուսը, կոսինուսը կամ շոշափողը, որից հետո անկյունն ինքը՝ միայն իր երկու հայտնի կողմերի հետ։ Պայմանով մենք ունենք, որ A E-ի երկարությունը գտնվի այսպես. A A 1 ուղիղը բաժանվում է E կետի 4:3 հարաբերությամբ, ինչը նշանակում է, որ գծի ընդհանուր երկարությունը 7 մաս է, այնուհետև A E \u003d 4 մաս. Մենք գտնում ենք Ա.Մ.

Պետք է հաշվի առնել ուղղանկյուն եռանկյունԱ Բ Ֆ. Մենք ունենք A ուղղանկյուն A M բարձրությամբ: A B \u003d 2 պայմանից, ապա մենք կարող ենք գտնել A F երկարությունը D D 1 F և A E F եռանկյունների նմանությամբ: Մենք ստանում ենք, որ A E D D 1 = A F D F ⇔ A E D D 1 = A F D A + A F ⇒ 4 7 = A F 3 + A F ⇔ A F = 4

Անհրաժեշտ է գտնել B F կողմի երկարությունը A B F եռանկյունից՝ օգտագործելով Պյութագորասի թեորեմը: Մենք ստանում ենք, որ B F = A B 2 + A F 2 = 2 2 + 4 2 = 2 5: A M կողմի երկարությունը հայտնաբերվում է A B F եռանկյունու տարածքով: Ունենք, որ տարածքը կարող է հավասար լինել և՛ S A B C = 1 2 · A B · A F , և՛ S A B C = 1 2 · B F · A M :

Մենք ստանում ենք, որ A M = A B A F B F = 2 4 2 5 = 4 5 5

Այնուհետև մենք կարող ենք գտնել A E M եռանկյան անկյան շոշափողի արժեքը: Ստանում ենք.

t g ∠ A M E = A E A M = 4 4 5 5 = 5

A B C և B E D 1 հարթությունների հատման արդյունքում ստացված ցանկալի անկյունը հավասար է a r c t g 5-ի, ապա պարզեցնելով մենք ստանում ենք r c t g 5 = a r c sin 30 6 = a r c cos 6 6:

Պատասխան. a r c t g 5 = a r c sin 30 6 = a r c cos 6 6 .

Հատվող ուղիղների միջև անկյունը գտնելու որոշ դեպքեր բերված են օգտագործելով կոորդինատային հարթություն x y z-ի և կոորդինատային մեթոդի մասին: Դիտարկենք ավելի մանրամասն:

Եթե տրված է խնդիր, որտեղ անհրաժեշտ է գտնել γ 1 և γ 2 հատվող հարթությունների անկյունը, ապա ցանկալի անկյունը նշանակում ենք α-ով։

Այնուհետև տրված կոորդինատային համակարգը ցույց է տալիս, որ մենք ունենք γ 1 և γ 2 հատվող հարթությունների նորմալ վեկտորների կոորդինատները։ Այնուհետև մենք նշում ենք, որ n 1 → = n 1 x, n 1 y, n 1 z-ը γ 1 հարթության նորմալ վեկտորն է, իսկ n 2 → = (n 2 x, n 2 y, n 2 z) - համար ինքնաթիռ γ 2. Դիտարկենք այս հարթությունների միջև գտնվող անկյան մանրամասն հայտնաբերումը ըստ վեկտորների կոորդինատների:

Անհրաժեշտ է նշանակել այն ուղիղը, որի երկայնքով γ 1 և γ 2 հարթությունները հատվում են c տառի հետ։ հետ ուղիղի վրա ունենք M կետ, որով գծում ենք χ հարթություն՝ c-ին ուղղահայաց։ A և b ուղիղների χ հարթությունը հատում է γ 1 և γ 2 հարթությունները M կետում: սահմանումից բխում է, որ γ 1 և γ 2 հատվող հարթությունների անկյունը հավասար է այդ հարթություններին պատկանող համապատասխանաբար a և b հատվող ուղիղների անկյունին։

Χ հարթությունում մենք մի կողմ ենք դնում նորմալ վեկտորները M կետից և նշում n 1 → և n 2 →: Վեկտորը n 1 → գտնվում է a ուղղին ուղղահայաց գծի վրա, իսկ վեկտորը n 2 → բ ուղղին ուղղահայաց գծի վրա։ Այստեղից ստանում ենք, որ տրված χ հարթությունը ունի a-ի ուղիղ գծի նորմալ վեկտոր, որը հավասար է n 1 → իսկ b ուղիղ գծի համար՝ հավասար է n 2 → ։ Դիտարկենք ստորև բերված նկարը:

Այստեղից մենք ստանում ենք բանաձև, որով մենք կարող ենք հաշվարկել հատվող ուղիղների անկյան սինուսը՝ օգտագործելով վեկտորների կոորդինատները։ Մենք պարզեցինք, որ a և b ուղիղների միջև անկյան կոսինուսը նույնն է, ինչ γ 1 և γ 2 հատվող հարթությունների միջև ընկած կոսինուսը, բխում է cos α = cos n 1 → , n 2 → ^ = n 1 x n բանաձևից։ 2 x + n 1 y n 2 y + n 1 z n 2 z n 1 x 2 + n 1 y 2 + n 1 z 2 n 2 x 2 + n 2 y 2 + n 2 z 2, որտեղ մենք ունենք n 1 → = (n 1 x, n 1 y, n 1 z) և n 2 → = (n 2 x, n 2 y, n 2 z) ներկայացված հարթությունների վեկտորների կոորդինատներն են։

Անկյունը հատվող գծերի միջև հաշվարկվում է բանաձևով

α = a r c cos n 1 x n 2 x + n 1 y n 2 y + n 1 z n 2 z n 1 x 2 + n 1 y 2 + n 1 z 2 n 2 x 2 + n 2 y 2 + n 2 z 2

Օրինակ 2

Պայմանով տրված է զուգահեռագիծ А В С D A 1 B 1 C 1 D 1 , որտեղ A B \u003d 2, A D \u003d 3, A A 1 \u003d 7, իսկ E կետը բաժանում է A A կողմը 1 4: 3: Գտեք անկյունը A B C և B E D 1 հարթությունների միջև:

Լուծում

Դա երևում է այն պայմանից, որ նրա կողմերը զույգ-զույգ ուղղահայաց են։ Սա նշանակում է, որ անհրաժեշտ է ներմուծել O x y z կոորդինատային համակարգ՝ C կետում գագաթով և O x, O y, O z կոորդինատային առանցքներով: Անհրաժեշտ է ուղղությունը դնել համապատասխան կողմերի վրա։ Դիտարկենք ստորև բերված նկարը:

Փոխհատվող հարթություններ A B Cև B E D 1կազմեք անկյուն, որը կարելի է գտնել 2 x 2 + n 2 y 2 + n 2 z 2 բանաձևով, որտեղ n 1 → = (n 1 x, n 1 y, n 1 z) և n 2 → = (n): 2 x , n 2 y , n 2 z ) այս հարթությունների նորմալ վեկտորներն են։ Անհրաժեշտ է որոշել կոորդինատները։ Նկարից տեսնում ենք, որ O x y կոորդինատային առանցքը համընկնում է A B C հարթությունում, ինչը նշանակում է, որ նորմալ վեկտորի k → կոորդինատները հավասար են n 1 → = k → = (0, 0, 1) արժեքին:

B E D 1 հարթության նորմալ վեկտորը B E → և B D 1 → վեկտորային արտադրյալն է, որտեղ դրանց կոորդինատները հայտնաբերվում են կոորդինատներով: ծայրահեղ կետեր B, E, D 1 , որոնք որոշվում են՝ հիմնվելով խնդրի վիճակի վրա։

Մենք ստանում ենք, որ B (0 , 3 , 0) , D 1 (2 , 0 , 7) . Քանի որ A E E A 1 = 4 3 , A 2 , 3 , 0 , A 1 2 , 3 , 7 կետերի կոորդինատներից գտնում ենք E 2 , 3 , 4 : Մենք ստանում ենք, որ B E → = (2 , 0 , 4) , B D 1 → = 2 , - 3 , 7 n 2 → = B E → × B D 1 = i → j → k → 2 0 4 2 - 3 7 = 12 i → - 6 j → - 6 k → ⇔ n 2 → = (12, - 6, - 6)

Գտնված կոորդինատները անհրաժեշտ է փոխարինել աղեղի կոսինուսով անկյունը հաշվարկելու բանաձևով։ Մենք ստանում ենք

α = a r c cos 0 12 + 0 (- 6) + 1 (- 6) 0 2 + 0 2 + 1 2 12 2 + (- 6) 2 + (- 6) 2 = a r c cos 6 6 6 = a r c cos 6 6

Նմանատիպ արդյունք է տալիս կոորդինատային մեթոդը։

Պատասխան. a r c cos 6 6 .

Վերջնական խնդիրը դիտարկվում է` հարթությունների հասանելի հայտնի հավասարումներով հատվող հարթությունների միջև անկյունը գտնելու համար:

Օրինակ 3

Հաշվե՛ք անկյան սինուսը, կոսինուսը և անկյան արժեքը, որոնք ձևավորվում են երկու հատվող ուղիղներով, որոնք սահմանված են O x y z կոորդինատային համակարգում և տրված են 2 x - 4 y + z + 1 = 0 և 3 y - հավասարումներով: z - 1 = 0:

Լուծում

Թեմա ուսումնասիրելիս ընդհանուր հավասարումը A x + B y + C z + D = 0 ձևի տողը պարզեց, որ A, B, C գործակիցները հավասար են նորմալ վեկտորի կոորդինատներին: Այսպիսով, n 1 → = 2, - 4, 1 և n 2 → = 0, 3, - 1 տրված տողերի նորմալ վեկտորներ են:

Հարկավոր է հարթությունների նորմալ վեկտորների կոորդինատները փոխարինել հատվող հարթությունների ցանկալի անկյունը հաշվարկելու բանաձևով։ Հետո մենք ստանում ենք դա

α = a r c cos 2 0 + - 4 3 + 1 (- 1) 2 2 + - 4 2 + 1 2 = a r c cos 13 210

Այսպիսով, մենք ունենք, որ անկյան կոսինուսը ընդունում է cos α = 13 210 ձևը: Այնուհետև հատվող գծերի անկյունը բութ չէ։ Փոխարինում է եռանկյունաչափական ինքնություն, ստանում ենք, որ անկյան սինուսի արժեքը հավասար է արտահայտությանը։ Մենք հաշվարկում և ստանում ենք դա

մեղք α = 1 - cos 2 α = 1 - 13 210 = 41 210

Պատասխան. sin α = 41 210, cos α = 13 210, α = a r c cos 13 210 = a r c sin 41 210:

Եթե տեքստում սխալ եք նկատել, ընդգծեք այն և սեղմեք Ctrl+Enter