Այս հոդվածում մենք կանդրադառնանք հիմնական գործողություններ հանրահաշվական կոտորակներով:

• ֆրակցիայի կրճատում
• կոտորակների բազմապատկում
• կոտորակների բաժանում

Սկսենք նրանից կրճատումներ հանրահաշվական կոտորակներ .

Կարծես թե, ալգորիթմակնհայտ.

Դեպի կրճատել հանրահաշվական կոտորակները, կարիք

1. Գործոնացնել կոտորակի համարիչն ու հայտարարը:

2. Կրճատել նույն բազմապատկիչները:

Սակայն դպրոցականները հաճախ սխալվում են՝ «նվազեցնելով» ոչ թե գործոնները, այլ ժամկետները։ Օրինակ՝ սիրողականներ կան, որոնք կոտորակներով «նվազեցնում» են ու արդյունքում ստանում, ինչը, իհարկե, ճիշտ չէ։

Դիտարկենք օրինակներ.

1. Կրճատել կոտորակը.

1. Համարիչը գործոնացնում ենք ըստ գումարի քառակուսու բանաձևի, իսկ հայտարարը՝ ըստ քառակուսիների տարբերության բանաձևի.

2. Բաժանի՛ր համարիչն ու հայտարարը

2. Կրճատել կոտորակը.

1. Գործոնացնել համարիչը: Քանի որ համարիչը պարունակում է չորս տերմին, մենք կիրառում ենք խմբավորումը։

2. Գործոնավորեք հայտարարը: Նույնը վերաբերում է խմբավորմանը:

3. Գրենք ստացված կոտորակը և կրճատենք նույն գործոնները.

Հանրահաշվական կոտորակների բազմապատկում.

Հանրահաշվական կոտորակները բազմապատկելիս մենք համարիչը բազմապատկում ենք համարիչով, իսկ հայտարարը բազմապատկում ենք հայտարարով։

Կարևոր.Պետք չէ շտապել կոտորակի համարիչով և հայտարարով բազմապատկել: Կոտորակների համարիչների արտադրյալը համարիչում գրելուց հետո, իսկ հայտարարի արտադրյալի արտադրյալը, մենք պետք է գործոնենք յուրաքանչյուր գործակից և կրճատենք կոտորակը:

Դիտարկենք օրինակներ.

3. Պարզեցրեք արտահայտությունը.

1. Գրենք կոտորակների արտադրյալը՝ համարիչում՝ համարիչների արտադրյալը, իսկ հայտարարում՝ հայտարարների արտադրյալը.

2. Մենք գործոնացնում ենք յուրաքանչյուր փակագիծ.

Այժմ մենք պետք է կրճատենք նույն բազմապատկիչները: Նկատի ունեցեք, որ արտահայտությունները և տարբերվում են միայն նշանով. իսկ առաջին արտահայտությունը երկրորդի վրա բաժանելու արդյունքում ստանում ենք -1։

Այսպիսով,

Հանրահաշվական կոտորակների բաժանումը կատարում ենք հետևյալ կանոնի համաձայն.

Այն է Կոտորակի վրա բաժանելու համար անհրաժեշտ է բազմապատկել «շրջված» թվով։

Մենք տեսնում ենք, որ կոտորակների բաժանումը կրճատվում է բազմապատկման, և Բազմապատկումն ի վերջո հանգում է կոտորակների կրճատմանը:

Դիտարկենք մի օրինակ.

4. Պարզեցրեք արտահայտությունը.

Որպեսզի հասկանանք, թե ինչպես կարելի է կրճատել կոտորակները, նախ նայենք մեկ օրինակ:

Կոտորակը փոքրացնել նշանակում է համարիչն ու հայտարարը բաժանել նույնի վրա: Ե՛վ 360-ը, և՛ 420-ը վերջանում են թվով, ուստի մենք կարող ենք այս կոտորակը փոքրացնել 2-ով: Նոր կոտորակի դեպքում և՛ 180-ը, և՛ 210-ը նույնպես բաժանվում են 2-ի, մենք կրճատում ենք այս կոտորակը 2-ով: 90 և 105 թվերում գումարը. թվանշանները բաժանվում են 3-ի, ուստի այս երկու թվերն էլ բաժանվում են 3-ի, մենք կոտորակը փոքրացնում ենք 3-ով: Նոր կոտորակի դեպքում 30-ը և 35-ը վերջանում են 0-ով և 5-ով, ինչը նշանակում է, որ երկու թվերն էլ բաժանվում են 5-ի, ուստի մենք փոքրացնում ենք: կոտորակը 5-ով: Ստացված կոտորակը` վեց յոթերորդը, անկրճատելի է: Սա վերջնական պատասխանն է։

Նույն պատասխանին կարող ենք հանգել այլ կերպ։

Ե՛վ 360-ը, և՛ 420-ը վերջանում են զրոյով, ինչը նշանակում է, որ դրանք բաժանվում են 10-ի: Կոտորակը փոքրացնում ենք 10-ով: Հաջորդ կոտորակը և՛ 18-ը, և՛ հայտարարը 21-ը բաժանվում են 3-ի, ինչը նշանակում է, որ մենք կրճատում ենք կոտորակը 3-ով: Մենք եկանք արդյունքի՝ վեց յոթերորդ:

Եվ ևս մեկ լուծում.

Հաջորդ անգամ կքննարկենք կոտորակների կրճատման օրինակներ։

Այս հոդվածը շարունակում է հանրահաշվական կոտորակների փոխակերպման թեման. դիտարկել այնպիսի գործողություն, ինչպիսին է հանրահաշվական կոտորակների կրճատումը: Եկեք սահմանենք ինքնին տերմինը, ձևակերպենք հապավումների կանոնը և վերլուծենք գործնական օրինակները։

Yandex.RTB R-A-339285-1

Հանրահաշվական կոտորակի հապավումների իմաստը

Սովորական կոտորակի վերաբերյալ նյութերում մենք դիտարկել ենք դրա կրճատումը։ Ընդհանուր կոտորակի կրճատումը մենք սահմանել ենք որպես դրա համարիչի և հայտարարի բաժանում ընդհանուր գործակցի վրա:

Նմանատիպ գործողություն է հանրահաշվական կոտորակի կրճատումը:

Սահմանում 1

Հանրահաշվական կոտորակի կրճատումնրա համարիչի և հայտարարի բաժանումն է ընդհանուր գործակցի վրա։ Այս դեպքում, ի տարբերություն սովորական կոտորակի կրճատման (ընդհանուր հայտարար կարող է լինել միայն թիվը), բազմանդամը, մասնավորապես՝ միանդամը կամ թիվը, կարող է ծառայել որպես ընդհանուր գործոն հանրահաշվական կոտորակի համարիչի և հայտարարի համար։

Օրինակ՝ 3 x 2 + 6 x y 6 x 3 y + 12 x 2 y 2 հանրահաշվական կոտորակը կարելի է կրճատել 3 թվով, արդյունքում ստանում ենք՝ x 2 + 2 x y 6 x 3 y + 12 x 2 y. 2 . Մենք կարող ենք նույն կոտորակը կրճատել x փոփոխականով, և դա մեզ կտա 3 x + 6 y 6 x 2 y + 12 x y 2 արտահայտությունը: Հնարավոր է նաև տրված կոտորակը փոքրացնել միանդամով 3 xկամ բազմանդամներից որևէ մեկը x + 2 y, 3 x + 6 y , x 2 + 2 x y or 3 x 2 + 6 x y.

Հանրահաշվական կոտորակի կրճատման վերջնական նպատակը ավելի պարզ ձևի կոտորակն է, լավագույն դեպքում՝ անկրճատելի կոտորակը:

Արդյո՞ք բոլոր հանրահաշվական կոտորակները ենթակա են կրճատման:

Նորից սովորական կոտորակների նյութերից մենք իմանում ենք, որ կան կրճատվող և անկրճատվող կոտորակներ։ Անկրճատելի - սրանք կոտորակներ են, որոնք չունեն համարիչի և հայտարարի ընդհանուր գործակիցներ, բացի 1-ից:

Հանրահաշվական կոտորակների դեպքում ամեն ինչ նույնն է. դրանք կարող են ունենալ կամ չունենալ համարիչի և հայտարարի ընդհանուր գործակիցներ: Ընդհանուր գործոնների առկայությունը թույլ է տալիս պարզեցնել սկզբնական ֆրակցիան կրճատման միջոցով: Երբ չկան ընդհանուր գործոններ, անհնար է օպտիմալացնել տվյալ կոտորակը կրճատման մեթոդով։

Ընդհանուր դեպքերում, տվյալ տեսակի կոտորակի համար բավականին դժվար է հասկանալ, թե արդյոք այն ենթակա է կրճատման։ Իհարկե, որոշ դեպքերում ակնհայտ է համարիչի և հայտարարի ընդհանուր գործոնի առկայությունը։ Օրինակ, 3 · x 2 3 · y հանրահաշվական կոտորակի մեջ միանգամայն պարզ է, որ ընդհանուր գործակիցը 3 թիվն է:

Կոտորակի մեջ - x · y 5 · x · y · z 3 մենք նույնպես անմիջապես հասկանում ենք, որ հնարավոր է այն կրճատել x-ով, կամ y-ով, կամ x · y-ով: Եվ այնուամենայնիվ, հանրահաշվական կոտորակների օրինակները շատ ավելի տարածված են, երբ համարիչի և հայտարարի ընդհանուր գործոնն այնքան էլ հեշտ չէ տեսնել, և նույնիսկ ավելի հաճախ՝ այն պարզապես բացակայում է։

Օրինակ, մենք կարող ենք x 3 - 1 x 2 - 1 կոտորակը կրճատել x - 1-ով, մինչդեռ նշված ընդհանուր գործակիցը գրառման մեջ չկա: Բայց x 3 - x 2 + x - 1 x 3 + x 2 + 4 x + 4 կոտորակը չի կարող կրճատվել, քանի որ համարիչն ու հայտարարը չունեն ընդհանուր գործակից:

Այսպիսով, հանրահաշվական կոտորակի կծկվողությունը պարզելու հարցը այնքան էլ պարզ չէ, և հաճախ ավելի հեշտ է աշխատել տվյալ ձևի կոտորակի հետ, քան փորձել պարզել, թե արդյոք այն կծկվող է։ Այս դեպքում այնպիսի փոխակերպումներ են տեղի ունենում, որոնք առանձին դեպքերում թույլ են տալիս որոշել համարիչի և հայտարարի ընդհանուր գործակիցը կամ եզրակացնել, որ կոտորակն անկրճատելի է։ Այս հարցը մանրամասն կվերլուծենք հոդվածի հաջորդ պարբերությունում։

Հանրահաշվական կոտորակի կրճատման կանոն

Հանրահաշվական կոտորակի կրճատման կանոնբաղկացած է երկու հաջորդական քայլերից.

• գտնել համարիչի և հայտարարի ընդհանուր գործակիցները.
• այդպիսին գտնելու դեպքում կոտորակի կրճատման ուղղակի գործողության իրականացումը.

Ընդհանուր հայտարարներ գտնելու ամենահարմար մեթոդը տվյալ հանրահաշվական կոտորակի համարիչում և հայտարարում առկա բազմանդամների ֆակտորիզացումն է։ Սա թույլ է տալիս անմիջապես տեսողականորեն տեսնել ընդհանուր գործոնների առկայությունը կամ բացակայությունը:

Հանրահաշվական կոտորակի կրճատման բուն գործողությունը հիմնված է հանրահաշվական կոտորակի հիմնական հատկության վրա, որն արտահայտվում է չսահմանված հավասարությամբ, որտեղ a , b , c որոշ բազմանդամներ են, իսկ b և c-ն զրոյական չեն: Առաջին քայլը կոտորակի կրճատումն է a c b c ձևի, որում մենք անմիջապես նկատում ենք c ընդհանուր գործակիցը: Երկրորդ քայլը կրճատումը կատարելն է, այսինքն. անցում a b ձևի կոտորակի:

Տիպիկ օրինակներ

Չնայած որոշակի ակնհայտությանը, պարզաբանենք այն հատուկ դեպքը, երբ հանրահաշվական կոտորակի համարիչն ու հայտարարը հավասար են։ Նման կոտորակները նույնականորեն հավասար են 1-ի այս կոտորակի փոփոխականների ամբողջ ODZ-ի վրա.

5 5 = 1; - 2 3 - 2 3 = 1; x x = 1; - 3, 2 x 3 - 3, 2 x 3 = 1; 1 2 x - x 2 y 1 2 x - x 2 y;

Քանի որ ընդհանուր կոտորակներհանրահաշվական կոտորակների առանձնահատուկ դեպք են, հիշենք, թե ինչպես է կատարվում դրանց կրճատումը։ Հաշվիչում և հայտարարում գրված բնական թվերը տարրալուծվում են պարզ գործակիցների, ապա կրճատվում են ընդհանուր գործակիցները (եթե այդպիսիք կան)։

Օրինակ՝ 24 1260 = 2 2 2 3 2 2 3 3 5 7 = 2 3 5 7 = 2 105

Պարզ միանման գործակիցների արտադրյալը կարելի է գրել աստիճաններով, իսկ կոտորակների կրճատման գործընթացում օգտագործել նույն հիմքերով աստիճաններ բաժանելու հատկությունը։ Այնուհետև վերը նշված լուծումը կլինի.

24 1260 = 2 3 3 2 2 3 2 5 7 = 2 3 - 2 3 2 - 1 5 7 = 2 105

(համարիչը և հայտարարը բաժանված են ընդհանուր գործակցով 2 2 3) Կամ, պարզության համար, հիմնվելով բազմապատկման և բաժանման հատկությունների վրա, լուծումը կտանք հետևյալ ձևը.

24 1260 = 2 3 3 2 2 3 2 5 7 = 2 3 2 2 3 3 2 1 5 7 = 2 1 1 3 1 35 = 2 105

Համեմատությամբ կատարվում է հանրահաշվական կոտորակների կրճատում, որոնցում համարիչն ու հայտարարն ունեն միանդամներ՝ ամբողջ թվային գործակիցներով։

Օրինակ 1

Տրված է հանրահաշվական կոտորակը - 27 · a 5 · b 2 · c · z 6 · a 2 · b 2 · c 7 · z : Այն պետք է կրճատվի։

Լուծում

Հնարավոր է տրված կոտորակի համարիչն ու հայտարարը որպես արտադրյալ գրել հիմնական գործոններըև փոփոխականներ, այնուհետև կրճատել՝

27 a 5 b 2 c z 6 a 2 b 2 c 7 z = - 3 3 3 a a a a a a b b c z 2 3 a b b c c c c c c c z = = - 3 3 a a 2 c c c c c c c = - 9 a 3 2 c 6

Այնուամենայնիվ, ավելի ռացիոնալ ձև կլինի լուծումը գրել որպես ուժ ունեցող արտահայտություն.

27 a 5 b 2 c z 6 a 2 b 2 c 7 z = - 3 3 a 5 b 2 c z 2 3 a 2 b 2 c 7 z = - 3 3 2 3 a 5 a 2 b 2 b 2 c c 7 z z = = - 3 3 - 1 2 a 5 - 2 1 1 1 c 7 - 1 1 = - 3 2 a 3 2 c 6 = - 9 a 3 2 c 6:

Պատասխան.- 27 a 5 b 2 c z 6 a 2 b 2 c 7 z = - 9 a 3 2 c 6

Երբ հանրահաշվական կոտորակի համարիչում և հայտարարում կան կոտորակային թվային գործակիցներ, հետագա գործողությունների երկու եղանակ կա. բնական թիվ. Վերջին փոխակերպումն իրականացվում է հանրահաշվական կոտորակի հիմնական հատկության շնորհիվ (այդ մասին կարող եք կարդալ «Հանրահաշվական կոտորակի վերածումը նոր հայտարարի» հոդվածում):

Օրինակ 2

Տրված է 2 5 x 0, 3 x 3 կոտորակը: Այն պետք է կրճատվի։

Լուծում

Կոտորակը հնարավոր է կրճատել հետևյալ կերպ.

2 5 x 0, 3 x 3 = 2 5 3 10 x x 3 = 4 3 1 x 2 = 4 3 x 2

Փորձենք այլ կերպ լուծել խնդիրը՝ նախկինում ազատվելով կոտորակային գործակիցներից. մեկ LCM (5, 10) = 10: Այնուհետև մենք ստանում ենք.

2 5 x 0, 3 x 3 = 10 2 5 x 10 0, 3 x 3 = 4 x 3 x 3 = 4 3 x 2:

Պատասխան՝ 2 5 x 0, 3 x 3 = 4 3 x 2

Երբ փոքրացնում ենք հանրահաշվական կոտորակները ընդհանուր տեսարան, որտեղ համարիչները և հայտարարները կարող են լինել և՛ միանդամներ, և՛ բազմանդամներ, հնարավոր է խնդիր, երբ ընդհանուր գործոնը միշտ չէ, որ անմիջապես տեսանելի է։ Կամ ավելին, այն պարզապես գոյություն չունի: Այնուհետև ընդհանուր գործակիցը որոշելու կամ դրա բացակայության փաստը ֆիքսելու համար գործոնացվում են հանրահաշվական կոտորակի համարիչն ու հայտարարը։

Օրինակ 3

Տրված է ռացիոնալ կոտորակը 2 · a 2 · b 2 + 28 · a · b 2 + 98 · b 2 a 2 · b 3 - 49 · b 3: Այն պետք է կրճատվի։

Լուծում

Եկեք գործոնացնենք բազմանդամները համարիչի և հայտարարի մեջ: Անցնենք փակագծերը.

2 a 2 b 2 + 28 a b 2 + 98 b 2 a 2 b 3 - 49 b 3 = 2 b 2 (a 2 + 14 a + 49) b 3 (a 2 - 49)

Մենք տեսնում ենք, որ փակագծերում արտահայտությունը կարող է փոխակերպվել՝ օգտագործելով կրճատված բազմապատկման բանաձևերը.

2 b 2 (a 2 + 14 a + 49) b 3 (a 2 - 49) = 2 b 2 (a + 7) 2 b 3 (a - 7) (a + 7)

Հստակ երևում է, որ հնարավոր է կոտորակը կրճատել ընդհանուր գործոնով b 2 (a + 7). Եկեք կրճատում կատարենք.

2 բ 2 (ա + 7) 2 բ 3 (ա - 7) (ա + 7) = 2 (ա + 7) բ (ա - 7) = 2 ա + 14 ա բ - 7 բ

Մենք գրում ենք կարճ լուծում առանց բացատրության որպես հավասարումների շղթա.

2 a 2 b 2 + 28 a b 2 + 98 b 2 a 2 b 3 - 49 b 3 = 2 b 2 (a 2 + 14 a + 49) b 3 (a 2 - 49) = = 2 b 2 (a + 7) 2 բ 3 (ա - 7) (ա + 7) = 2 (ա + 7) բ (ա - 7) = 2 ա + 14 ա բ - 7 բ

Պատասխան. 2 a 2 b 2 + 28 a b 2 + 98 b 2 a 2 b 3 - 49 b 3 = 2 a + 14 a b - 7 b .

Պատահում է, որ ընդհանուր գործոնները թաքնված են թվային գործակիցներով։ Այնուհետև կոտորակները փոքրացնելիս օպտիմալ է թվային գործակիցները հանել համարիչի և հայտարարի ավելի մեծ հզորությունների դեպքում:

Օրինակ 4

Տրված է հանրահաշվական կոտորակ 1 5 x - 2 7 x 3 y 5 x 2 y - 3 1 2: Հնարավորության դեպքում այն ​​պետք է կրճատվի:

Լուծում

Առաջին հայացքից համարիչն ու հայտարարը չունեն ընդհանուր հայտարար։ Այնուամենայնիվ, փորձենք փոխարկել տրված կոտորակը։ Համարիչից հանենք x գործակիցը.

1 5 x - 2 7 x 3 y 5 x 2 y - 3 1 2 = x 1 5 - 2 7 x 2 y 5 x 2 y - 3 1 2

Այժմ դուք կարող եք տեսնել որոշակի նմանություն փակագծերում դրված արտահայտության և հայտարարի հայտարարի միջև x 2 y-ի պատճառով: . Եկեք հանենք այս բազմանդամների ավելի բարձր հզորությունների թվային գործակիցները.

x 1 5 - 2 7 x 2 y 5 x 2 y - 3 1 2 = x - 2 7 - 7 2 1 5 + x 2 y 5 x 2 y - 1 5 3 1 2 = = - 2 7 x - 7 10 + x 2 y 5 x 2 y - 7 10

Այժմ տեսանելի է դառնում ընդհանուր բազմապատկիչը, մենք իրականացնում ենք կրճատումը.

2 7 x - 7 10 + x 2 y 5 x 2 y - 7 10 = - 2 7 x 5 = - 2 35 x

Պատասխան. 1 5 x - 2 7 x 3 y 5 x 2 y - 3 1 2 = - 2 35 x .

Ընդգծենք, որ ռացիոնալ կոտորակները կրճատելու հմտությունը կախված է բազմանդամները ֆակտորիզացնելու ունակությունից։

Եթե ​​տեքստում սխալ եք նկատել, ընդգծեք այն և սեղմեք Ctrl+Enter

Անցյալ անգամ մենք պլան կազմեցինք, որից հետո դուք կարող եք սովորել, թե ինչպես արագ կրճատել կոտորակները: Այժմ դիտարկենք կոտորակի կրճատման կոնկրետ օրինակներ:

Օրինակներ.

Մենք ստուգում ենք, թե արդյոք ավելի մեծ թիվը բաժանվում է փոքրի վրա (համարիչ առ հայտարար, թե հայտարար առ համար): Այո, այս բոլոր երեք օրինակներում էլ ավելի մեծ թիվը բաժանվում է փոքրի վրա։ Այսպիսով, յուրաքանչյուր կոտորակ փոքրացնում ենք թվերից փոքրով (համարով կամ հայտարարով): Մենք ունենք:

Ստուգեք, արդյոք մեծ թիվը բաժանվում է փոքրի վրա: Չէ, չի կիսում:

Այնուհետև անցնում ենք հաջորդ կետի ստուգմանը. և՛ համարիչի, և՛ հայտարարի գրառումն ավարտվում է մեկ, երկու կամ ավելի զրոյով։ Առաջին օրինակում համարիչն ու հայտարարը վերջանում են զրոյով, երկրորդում՝ երկու զրոյով, երրորդում՝ երեք զրոյով։ Այսպիսով, առաջին կոտորակը կրճատում ենք 10-ով, երկրորդը՝ 100-ով, իսկ երրորդը՝ 1000-ով.

Ստացեք անկրճատելի կոտորակներ:

Ավելի մեծ թիվը չի բաժանվում փոքրի վրա, թվերի գրառումը չի ավարտվում զրոներով։

Այժմ մենք ստուգում ենք, թե արդյոք համարիչն ու հայտարարը բազմապատկման աղյուսակի նույն սյունակում են: 36-ը և 81-ը երկուսն էլ բաժանվում են 9-ի, 28-ի և 63-ի` 7-ի, իսկ 32-ը և 40-ը` 8-ի (նրանք նույնպես բաժանվում են 4-ի, բայց եթե ընտրություն լինի, մենք միշտ կնվազեցնենք ավելին): Այսպիսով, մենք հասնում ենք պատասխաններին.

Ստացված բոլոր թվերն անկրճատելի կոտորակներ են։

Ավելի մեծ թիվը չի բաժանվում փոքրի վրա: Բայց և՛ համարիչի, և՛ հայտարարի գրառումն ավարտվում է զրոյով։ Այսպիսով, մենք կրճատում ենք կոտորակը 10-ով.

Այս մասնաբաժինը դեռ կարող է կրճատվել: Ստուգում ենք ըստ բազմապատկման աղյուսակի՝ և՛ 48-ը, և՛ 72-ը բաժանվում են 8-ի: Կոտորակը փոքրացնում ենք 8-ով.

Ստացված կոտորակը կարող ենք նաև կրճատել 3-ով.

Այս մասնաբաժինը անկրճատելի է։

Մեծ թիվը չի բաժանվում փոքրի վրա։ Համարիչի և հայտարարի գրառումն ավարտվում է զրոյով, ուստի կոտորակը փոքրացնում ենք 10-ով։

Ստուգում ենք համարիչով և հայտարարով ստացված թվերը և . Քանի որ և՛ 27, և՛ 531 թվանշանների գումարը բաժանվում է 3-ի և 9-ի, այս կոտորակը կարող է կրճատվել և՛ 3-ով, և՛ 9-ով: Ընտրում ենք ավելի մեծը և փոքրացնում 9-ով:

Առաջին հայացքից հանրահաշվական կոտորակները շատ բարդ են թվում, և անպատրաստ ուսանողը կարող է մտածել, որ դրանցով որևէ բան անել հնարավոր չէ։ Փոփոխականների, թվերի և նույնիսկ ուժերի կուտակումը վախ է ներշնչում: Այնուամենայնիվ, նույն կանոններն օգտագործվում են կոտորակների (օրինակ՝ 15/25) և հանրահաշվական կոտորակների կրճատման համար։

Քայլեր

Կոտորակի կրճատում

Ստուգեք քայլերը պարզ կոտորակներ. Սովորական և հանրահաշվական կոտորակներով գործողությունները նման են։ Օրինակ վերցրեք 15/35 կոտորակը։ Այս մասնաբաժինը պարզեցնելու համար. գտնել ընդհանուր բաժանարար . Երկու թվերն էլ բաժանվում են հինգի, ուստի համարիչից և հայտարարից կարող ենք հանել 5.

15 → 5 * 3 35 → 5 * 7

Այժմ դուք կարող եք նվազեցնել ընդհանուր գործոնները, այսինքն՝ համարիչի և հայտարարի 5-ը հատի՛ր։ Արդյունքում մենք ստանում ենք պարզեցված կոտորակ 3/7 . Հանրահաշվական արտահայտություններում ընդհանուր գործոնները տարբերվում են այնպես, ինչպես սովորականների մեջ։ Նախորդ օրինակում մենք կարողացանք հեշտությամբ հանել 15-ից 5-ը. նույն սկզբունքը վերաբերում է ավելի բարդ արտահայտություններին, ինչպիսիք են 15x - 5: Եկեք գտնենք ընդհանուր գործակիցը: AT այս դեպքըսա կլինի 5, քանի որ երկու անդամներն էլ (15x և -5) բաժանվում են 5-ի: Ինչպես նախկինում, մենք հանում ենք ընդհանուր գործակիցը և փոխանցում այն: դեպի ձախ.

15x - 5 = 5 * (3x - 1)

Ստուգելու համար, թե արդյոք ամեն ինչ ճիշտ է, բավական է 5-ով բազմապատկել փակագծերի արտահայտությունը. արդյունքը կլինի նույն թվերը, որոնք եղել են սկզբում: Բաղադրյալ անդամներկարելի է տարբերել այնպես, ինչպես պարզերը։ Հանրահաշվական կոտորակների համար կիրառվում են նույն սկզբունքները, ինչ սովորական կոտորակների դեպքում։ Սա կոտորակի կրճատման ամենահեշտ ձևն է: Դիտարկենք հետևյալ կոտորակը.

(x+2)(x-3)(x+2) (x+10)

Նկատի ունեցեք, որ և՛ համարիչը (վերևում), և՛ հայտարարը (ներքև) ունեն անդամ (x+2), ուստի այն կարող է կրճատվել այնպես, ինչպես 15/35-ում 5 ընդհանուր գործակիցը.

(x+2) (x-3) → (x-3)(x+2) (x+10) → (x+10)

Արդյունքում մենք ստանում ենք պարզեցված արտահայտություն՝ (x-3)/(x+10)

Հանրահաշվական կոտորակների կրճատում

Գտե՛ք ընդհանուր գործակիցը համարիչում, այսինքն՝ կոտորակի վերևում: Հանրահաշվական կոտորակը կրճատելիս առաջին քայլը նրա երկու մասերի պարզեցումն է: Սկսեք համարիչից և փորձեք այն տարանջատել հնարավորինս շատերի ավելինբազմապատկիչներ. Դիտարկենք այս բաժնում հետևյալ կոտորակը.

9x-3 15x+6

Սկսենք համարիչից՝ 9x - 3։ 9x-ի և -3-ի համար ընդհանուր գործակիցը 3 թիվն է։ Փակագծերից հանենք 3-ը, ինչպես անում ենք սովորական թվերի դեպքում՝ 3 * (3x-1)։ Այս փոխակերպման արդյունքում կստացվի հետևյալ կոտորակը.

3 (3x-1) 15x+6

Գտեք համարիչի ընդհանուր գործակիցը: Շարունակենք վերը նշված օրինակի կատարումը և դուրս գրենք հայտարարը՝ 15x+6։ Ինչպես նախկինում, մենք գտնում ենք, թե ինչ թվով են բաժանվում երկու մասերը։ Եվ այս դեպքում ընդհանուր գործակիցը 3-ն է, ուստի կարող ենք գրել՝ 3 * (5x +2): Վերաշարադրենք կոտորակը հետևյալ ձևով.

3 (3x-1) 3 (5x+2)

Կրճատել նույնական տերմինները: Այս քայլով դուք կարող եք պարզեցնել կոտորակը: Չեղարկել համարիչի և հայտարարի նույն անդամները: Մեր օրինակում այս թիվը 3 է:

3 (3x-1) → (3x-1) 3 (5x+2) → (5x+2)

Որոշեք, որ կոտորակն ունի ամենապարզ ձևը: Կոտորակը լիովին պարզեցվում է, երբ համարիչում և հայտարարում ընդհանուր գործակիցներ չեն մնում։ Նկատի ունեցեք, որ դուք չեք կարող կրճատել այն տերմինները, որոնք գտնվում են փակագծերի ներսում. վերը նշված օրինակում x-ը 3x-ից և 5x-ից հանելու միջոց չկա, քանի որ (3x -1) և (5x + 2) լիիրավ անդամներ են: Այսպիսով, կոտորակը ենթակա չէ հետագա պարզեցման, և վերջնական պատասխանը հետևյալն է.

(3x-1)(5x+2)

Ինքներդ պրակտիկա փոքրացրեք կոտորակները: Լավագույն միջոցըսովորել մեթոդը՝ խնդիրներն ինքնուրույն լուծելն է: Ճիշտ պատասխանները տրված են օրինակների տակ:

4(x+2)(x-13)(4x+8)

Պատասխան.(x=13)

2x 2-x 5x

Պատասխան.(2x-1)/5

Հատուկ շարժումներ

Բացասական նշանը դուրս հանիր կոտորակից: Ենթադրենք մեզ տրված է հետևյալ կոտորակը.

3 (x-4) 5 (4x)

Նկատի ունեցեք, որ (x-4) և (4-x) «գրեթե» նույնական են, բայց դրանք չեն կարող ուղղակիորեն չեղարկվել, քանի որ դրանք «շրջված են»: Այնուամենայնիվ, (x - 4) կարող է գրվել որպես -1 * (4 - x), ճիշտ այնպես, ինչպես (4 + 2x) կարող է գրվել որպես 2 * (2 + x): Սա կոչվում է «նշանի հակադարձում»:

-1*3 (4-x) 5 (4x)

Այժմ դուք կարող եք կրճատել նույն պայմանները (4-x):

-1 * 3 (4-x) 5 (4x)

Այսպիսով, ահա վերջնական պատասխանը. -3/5 . Սովորեք ճանաչել քառակուսիների տարբերությունը: Քառակուսիների տարբերությունն այն է, երբ մի թվի քառակուսին հանվում է մեկ այլ թվի քառակուսուց, ինչպես արտահայտության մեջ (a 2 - b 2): տարբերությունը լրիվ քառակուսիներմիշտ կարելի է բաժանել երկու մասի` համապատասխանի գումարը և տարբերությունը քառակուսի արմատներ. Այնուհետև արտահայտությունը կունենա հետևյալ ձևը.

A 2 - b 2 = (a+b) (a-b)

Այս հնարքը շատ օգտակար է հանրահաշվական կոտորակներում ընդհանուր տերմիններ փնտրելիս։

• Ստուգեք՝ արդյոք ճիշտ եք հաշվի առել այս կամ այն ​​արտահայտությունը։ Դա անելու համար բազմապատկեք գործոնները. արդյունքը պետք է լինի նույն արտահայտությունը:
• Կոտորակն ամբողջությամբ պարզեցնելու համար միշտ ընտրեք ամենամեծ գործոնները: