Դեռևս 1905 թ.-ին ռուս ընթերցողները կարող էին կարդալ Ուիլյամ Ջեյմսի «Հոգեբանություն» գրքում նրա հիմնավորումը «ինչու՞ է խցանումն այդքան վատ սովորելու ձև»:

«Գիտելիքը, որը ձեռք է բերվել սոսկ խճողման արդյունքում, գրեթե անխուսափելիորեն ամբողջությամբ մոռացվում է առանց հետքի: Ընդհակառակը, մտավոր նյութը, որը կուտակվում է հիշողության մեջ աստիճանաբար, օր օրի, տարբեր համատեքստերի հետ կապված, ասոցիատիվ կերպով կապված այլ արտաքին իրադարձությունների հետ և բազմիցս ենթարկվում է քննարկման, ձևավորում է այդպիսի համակարգ և նման կապի մեջ է մտնում մեր ինտելեկտի այլ կողմերի հետ: , հեշտությամբ վերականգնվում է հիշողության մեջ մի շարք արտաքին պատճառներով, որոնք մնում են երկարաժամկետ ամուր ձեռքբերում:

Դրանից հետո անցել է ավելի քան 100 տարի, և այս խոսքերը զարմանալիորեն մնում են արդիական։ Սա տեսնում ես ամեն օր, երբ աշխատում ես դպրոցականների հետ։ Գիտելիքների զանգվածային բացերն այնքան մեծ են, որ կարելի է պնդել, որ դպրոցական մաթեմատիկայի դասընթացը դիդակտիկ և հոգեբանական առումներով համակարգ չէ, այլ մի տեսակ սարք, որը խրախուսում է. կարճաժամկետ հիշողությունև ընդհանրապես չի հետաքրքրում երկարաժամկետ հիշողությանը:

Իմանալ մաթեմատիկայի դպրոցական դասընթացը նշանակում է տիրապետել մաթեմատիկայի բնագավառներից յուրաքանչյուրի նյութին, ցանկացած պահի կարողանալ թարմացնել դրանցից որևէ մեկը։ Դրան հասնելու համար պետք է համակարգված կերպով անդրադառնալ դրանցից յուրաքանչյուրին, ինչը երբեմն միշտ չէ, որ հնարավոր է լինում դասի ծանրաբեռնվածության պատճառով:

Գոյություն ունի փաստերի և բանաձևերի երկարաժամկետ անգիր սովորելու ևս մեկ միջոց՝ դրանք հղումային ազդանշաններ են։

Եռանկյունաչափությունը դպրոցական մաթեմատիկայի խոշոր բաժիններից մեկն է, որն ուսումնասիրվում է 8, 9-րդ դասարանների երկրաչափության և 9-րդ դասարանի հանրահաշիվ, հանրահաշիվ և 10-րդ դասարանի վերլուծության սկիզբ:

Եռանկյունաչափության մեջ ուսումնասիրված նյութի ամենամեծ քանակությունը բաժին է ընկնում 10-րդ դասարանին: Այս եռանկյունաչափական նյութի մեծ մասը կարելի է սովորել և անգիր անել եռանկյունաչափական շրջան(միավոր շառավիղի շրջանակը կենտրոնացած սկզբում ուղղանկյուն համակարգկոորդինատներ): Application1.ppt

Սրանք եռանկյունաչափության հետևյալ հասկացություններն են.

• Անկյունի սինուսի, կոսինուսի, տանգենսի և կոտանգենսի սահմանումները.
• Անկյունների ճառագայթային չափում;
• եռանկյունաչափական ֆունկցիաների սահմանման տիրույթ և տիրույթ
• եռանկյունաչափական ֆունկցիաների արժեքներ թվային և անկյունային փաստարկների որոշ արժեքների համար.
• եռանկյունաչափական ֆունկցիաների պարբերականություն;
• զույգ և կենտ եռանկյունաչափական ֆունկցիաներ;
• եռանկյունաչափական ֆունկցիաների ավելացում և նվազում;
• նվազեցման բանաձևեր;
• հակադարձ եռանկյունաչափական ֆունկցիաների արժեքներ;
• պարզագույն եռանկյունաչափական հավասարումների լուծում;
• պարզագույն անհավասարությունների լուծում;
• Եռանկյունաչափության հիմնական բանաձևերը.

Դիտարկենք այս հասկացությունների ուսումնասիրությունը եռանկյունաչափական շրջանի վրա:

1) Սինուսի, կոսինուսի, շոշափողի և կոտանգենսի սահմանումը.

Եռանկյունաչափական շրջանի (սկզբում կենտրոնացած միավորի շառավիղի շրջան), սկզբնական շառավիղը (օքսի առանցքի ուղղությամբ շրջանագծի շառավիղ), պտտման անկյուն հասկացությունը ներկայացնելուց հետո ուսանողներն ինքնուրույն ստանում են սինուսի, կոսինուսի սահմանումներ։ , շոշափող և կոտանգենս եռանկյունաչափ շրջանագծի վրա՝ օգտագործելով դասընթացի երկրաչափության սահմանումները, այսինքն՝ դիտարկելով 1-ի հավասար հիպոթենուսով ուղղանկյուն եռանկյունը։

Անկյունի կոսինուսը շրջանագծի կետի աբսցիսա է, երբ սկզբնական շառավիղը պտտվում է տվյալ անկյան տակ։

Անկյունի սինուսը շրջանագծի այն կետի օրդինատն է, երբ սկզբնական շառավիղը պտտվում է տվյալ անկյան տակ։

2) Եռանկյունաչափական շրջանագծի վրա անկյունների ճառագայթային չափում.

Անկյան ռադիանի չափումը ներկայացնելուց հետո (1 ռադիանը կենտրոնական անկյունն է, որը համապատասխանում է շրջանագծի շառավղին հավասար աղեղի երկարությանը), ուսանողները եզրակացնում են, որ ռադիանի անկյան չափումը շրջանագծի վրա պտտման անկյան թվային արժեքն է։ , հավասար է համապատասխան աղեղի երկարությանը, երբ սկզբնական շառավիղը պտտվում է տվյալ անկյան տակ։ .

Եռանկյունաչափական շրջանագիծը շրջանագծի տրամագծերով բաժանվում է 12 հավասար մասերի։ Իմանալով, որ անկյունը ռադիան է, կարելի է որոշել ռադիանի չափումը այն անկյունների համար, որոնք բազմապատիկ են:

Եվ բազմապատիկ անկյունների ճառագայթային չափումները ստացվում են նույն կերպ.

3) եռանկյունաչափական ֆունկցիաների սահմանման և արժեքների տիրույթ.

Արդյո՞ք շրջանագծի վրա պտտվող անկյունների և կետի կոորդինատային արժեքների համապատասխանությունը ֆունկցիա է լինելու:

Պտտման յուրաքանչյուր անկյուն համապատասխանում է շրջանագծի մեկ կետին, ուստի այս համապատասխանությունը ֆունկցիա է:

Գործառույթների ստացում

Եռանկյունաչափական շրջանագծի վրա կարելի է տեսնել, որ ֆունկցիաների սահմանման տիրույթը բոլոր իրական թվերի բազմությունն է, իսկ արժեքների տիրույթը՝ .

Ներկայացնենք եռանկյունաչափական շրջանագծի վրա շոշափողների և կոտանգենսների ուղիղների հասկացությունները:

1) Թող Ներկայացնում ենք Oy առանցքին զուգահեռ օժանդակ ուղիղ, որի վրա որոշվում են շոշափողները ցանկացած թվային արգումենտի համար։

2) Նմանապես, մենք ստանում ենք կոտանգենսների գիծ: Թող y=1, ապա . Սա նշանակում է, որ կոտանգենսի արժեքները որոշվում են Ox առանցքին զուգահեռ ուղիղ գծի վրա:

Եռանկյունաչափական շրջանակի վրա կարելի է հեշտությամբ որոշել սահմանման տիրույթը և եռանկյունաչափական ֆունկցիաների արժեքների շրջանակը.

շոշափողի համար -

կոտանգենտի համար -

4) Եռանկյունաչափական ֆունկցիաների արժեքները եռանկյունաչափական շրջանագծի վրա.

Հիպոթենուսի կեսի անկյան հակառակ ոտքը, այսինքն՝ մյուս ոտքը՝ ըստ Պյութագորասի թեորեմի.

Այսպիսով, ըստ սինուսի, կոսինուսի, շոշափողի, կոտանգենսի սահմանման, դուք կարող եք արժեքներ որոշել անկյունների համար, որոնք բազմապատիկ կամ ռադիաններ են: Սինուսի արժեքները որոշվում են Oy առանցքի երկայնքով, կոսինուսի արժեքները Ox առանցքի երկայնքով, իսկ շոշափող և կոտանգենս արժեքները կարող են որոշվել համապատասխանաբար Oy և Ox առանցքներին զուգահեռ լրացուցիչ առանցքներից:

Սինուսի և կոսինուսի աղյուսակային արժեքները գտնվում են համապատասխան առանցքների վրա հետևյալ կերպ.

Տանգենսի և կոտանգենսի աղյուսակային արժեքները -

5) Եռանկյունաչափական ֆունկցիաների պարբերականությունը.

Եռանկյունաչափական շրջանագծի վրա կարելի է տեսնել, որ սինուսի, կոսինուսի արժեքները կրկնվում են յուրաքանչյուր ռադիանի, իսկ շոշափողն ու կոտանգենսը՝ յուրաքանչյուր ռադիանի:

6) Զույգ և կենտ եռանկյունաչափական ֆունկցիաներ.

Այս հատկությունը կարելի է ձեռք բերել՝ համեմատելով եռանկյունաչափական ֆունկցիաների պտտման դրական և հակառակ անկյունների արժեքները: Մենք դա հասկանում ենք

Այսպիսով, կոսինուսը նույնիսկ գործառույթ, մնացած բոլոր ֆունկցիաները կենտ են։

7) եռանկյունաչափական ֆունկցիաների մեծացում և նվազում.

Եռանկյունաչափական շրջանագիծը ցույց է տալիս, որ սինուսի ֆունկցիան մեծանում է և նվազում է

Նմանապես վիճելով՝ մենք ստանում ենք կոսինուսի, շոշափողի և կոտանգենսի ֆունկցիաների մեծացման և նվազման միջակայքերը։

8) Կրճատման բանաձեւեր.

Անկյունի համար մենք վերցնում ենք եռանկյունաչափական շրջանագծի անկյան փոքր արժեքը: Բոլոր բանաձևերը ստացվում են՝ համեմատելով ընտրված ուղղանկյուն եռանկյունների ոտքերի եռանկյունաչափական ֆունկցիաների արժեքները:

Կրճատման բանաձևերի կիրառման ալգորիթմ.

1) Որոշե՛ք ֆունկցիայի նշանը տվյալ անկյան տակ պտտվելիս.

Անկյուն շրջելիս ֆունկցիան պահպանվում է, երբ անկյունով պտտվելիս ստացվում է ամբողջ թիվ, կենտ թիվ, համակցություն (

9) հակադարձ եռանկյունաչափական ֆունկցիաների արժեքներ.

Մենք ներկայացնում ենք հակադարձ ֆունկցիաներ եռանկյունաչափական ֆունկցիաների համար՝ օգտագործելով ֆունկցիայի սահմանումը:

Եռանկյունաչափական շրջանագծի վրա սինուսի, կոսինուսի, շոշափողի և կոտանգենսի յուրաքանչյուր արժեք համապատասխանում է պտտման անկյան միայն մեկ արժեքին: Այսպիսով, ֆունկցիայի համար սահմանման տիրույթն է, արժեքների տիրույթը - Ֆունկցիայի համար սահմանման տիրույթն է, արժեքների տիրույթը: Նմանապես, մենք ստանում ենք սահմանման տիրույթը և հակադարձ ֆունկցիաների շրջանակը կոսինուսի և կոտանգենսի համար:

Հակադարձ եռանկյունաչափական ֆունկցիաների արժեքները գտնելու ալգորիթմ.

1) համապատասխան առանցքի վրա գտնել հակադարձ եռանկյունաչափական ֆունկցիայի փաստարկի արժեքը.

2) գտնել սկզբնական շառավիղի պտտման անկյունը՝ հաշվի առնելով հակադարձ եռանկյունաչափական ֆունկցիայի արժեքների միջակայքը։

Օրինակ:

10) Եռանկյունաչափական շրջանագծի վրա պարզագույն հավասարումների լուծում.

Ձևի հավասարումը լուծելու համար շրջանագծի վրա գտնում ենք կետեր, որոնց օրդինատները հավասար են և գրում ենք համապատասխան անկյունները՝ հաշվի առնելով ֆունկցիայի պարբերությունը։

Հավասարման համար մենք գտնում ենք շրջանագծի այն կետերը, որոնց աբսցիսները հավասար են և գրում ենք համապատասխան անկյունները՝ հաշվի առնելով ֆունկցիայի պարբերությունը։

Նմանապես ձևի հավասարումների համար Արժեքները որոշվում են շոշափողների և կոտանգենսների գծերի վրա և գրանցվում են պտտման համապատասխան անկյունները:

Եռանկյունաչափության բոլոր հասկացությունները և բանաձևերը եռանկյունաչափական շրջանագծի օգնությամբ ստանում են հենց իրենք՝ սովորողները՝ ուսուցչի հստակ ղեկավարությամբ։ Հետագայում այս «շրջանակը» նրանց համար կծառայի որպես տեղեկատու ազդանշան կամ արտաքին գործոն՝ եռանկյունաչափության հասկացությունները և բանաձևերը հիշողության մեջ վերարտադրելու համար։

Եռանկյունաչափության ուսումնասիրությունը եռանկյունաչափական շրջանագծի վրա նպաստում է.

• այս դասի համար օպտիմալ հաղորդակցման ոճի ընտրություն, կրթական համագործակցության կազմակերպում.
• դասի թիրախները դառնում են անձնապես կարևոր յուրաքանչյուր ուսանողի համար.
• նոր նյութհիմնված անձնական փորձաշակերտի գործողությունները, մտածողությունը, զգացմունքները;
• դասը ներառում է տարբեր ձևերգիտելիքների ձեռքբերման և յուրացման աշխատանք և մեթոդներ. կան փոխադարձ և ինքնաուսուցման տարրեր. ինքնակառավարման և փոխադարձ վերահսկողություն;
• տեղի է ունենում արագ արձագանքթյուրիմացության և սխալի մասին (համատեղ քննարկում, աջակցություն-ակնարկներ, փոխադարձ խորհրդակցություններ):

Հետ առաջ

Ուշադրություն. Սլայդի նախադիտումը միայն տեղեկատվական նպատակների համար է և կարող է չներկայացնել ներկայացման ամբողջ ծավալը: Եթե ​​դուք հետաքրքրված եք այս աշխատանքըխնդրում ենք ներբեռնել ամբողջական տարբերակը:

1. Ներածություն.

Մոտենալով դպրոցին՝ լսում եմ մարզադահլիճից տղաների ձայները, առաջ եմ գնում՝ երգում են, նկարում... հույզերն են, ապրումներն ամենուր են։ Իմ գրասենյակը, հանրահաշիվի դաս, տասներորդ դասարանցիներ. Ահա մեր դասագիրքը, որում եռանկյունաչափության դասընթացը կազմում է իր ծավալի կեսը, և դրանում կա երկու էջանիշ՝ սրանք այն վայրերն են, որտեղ ես գտա բառեր, որոնք կապված չեն եռանկյունաչափության տեսության հետ։

Քչերի շարքում կան ուսանողներ, ովքեր սիրում են մաթեմատիկան, զգում են դրա գեղեցկությունը և չեն հարցնում, թե ինչու է անհրաժեշտ ուսումնասիրել եռանկյունաչափությունը, որտե՞ղ է կիրառվում ուսումնասիրված նյութը։ Մեծամասնությունը նրանք են, ովքեր պարզապես կատարում են առաջադրանքները, որպեսզի վատ գնահատական ​​չստանան։ Եվ մենք հաստատապես համոզված ենք, որ մաթեմատիկայի կիրառական արժեքը հաջողության համար բավարար գիտելիքներ ձեռք բերելն է քննություն հանձնելըեւ ընդունվել համալսարան (մտնել եւ մոռանալ):

Ներկայացված դասի հիմնական նպատակն է ցույց տալ եռանկյունաչափության կիրառական արժեքը տարբեր ոլորտներմարդկային գործունեությունը. Բերված օրինակները կօգնեն աշակերտներին տեսնել մաթեմատիկայի այս բաժնի կապը դպրոցում սովորած այլ առարկաների հետ։ Այս դասի բովանդակությունը ուսանողների վերապատրաստման տարր է:

Նոր բան ասեք վաղուց հայտնի թվացող փաստի մասին։ Ցույց տվեք տրամաբանական կապ այն ամենի միջև, ինչ մենք արդեն գիտենք և այն, ինչ մնում է ուսումնասիրել: Մի փոքր բացեք դուռը և նայեք այն կողմ դպրոցական ծրագիր. Անսովոր առաջադրանքներ, կապ այսօրվա իրադարձությունների հետ. սրանք այն տեխնիկան են, որոնք ես օգտագործում եմ իմ նպատակներին հասնելու համար: Ի վերջո, դպրոցական մաթեմատիկան որպես առարկա նպաստում է ոչ այնքան սովորելուն, որքան անհատի, նրա մտածողության, մշակույթի զարգացմանը։

2. Հանրահաշվի և վերլուծության սկզբի դասի ամփոփում (10-րդ դասարան):

Կազմակերպման ժամանակը.Սեղանների վրա դասավորեք վեց աղյուսակներ կիսաշրջանով (նշանաչափի մոդել), ուսանողների համար նախատեսված աշխատանքային թերթիկներ (Հավելված 1).

Դասի թեմայի հայտարարություն՝ «Եռանկյունաչափությունը պարզ և պարզ է».

Հանրահաշվի ընթացքում և վերլուծության սկզբում մենք սկսում ենք ուսումնասիրել եռանկյունաչափությունը, ես կցանկանայի խոսել մաթեմատիկայի այս բաժնի կիրառական նշանակության մասին:

Դասի թեզ.

“մեծ գիրքբնությունը կարող են կարդալ միայն նրանք, ովքեր գիտեն այն լեզուն, որով այն գրված է, իսկ այդ լեզուն մաթեմատիկան է»:
(Գ. Գալիլեո):

Դասի վերջում մենք միասին կմտածենք, թե արդյոք կարողացանք ուսումնասիրել այս գիրքը և հասկանալ այն լեզուն, որով այն գրված է:

Սուր անկյան եռանկյունաչափություն.

Եռանկյունաչափությունը հունարեն բառ է և նշանակում է «եռանկյունների չափում»։ Եռանկյունաչափության առաջացումը կապված է հողի վրա չափումների, շինարարության և աստղագիտության հետ: Եվ նրա հետ առաջին ծանոթությունը տեղի ունեցավ այն ժամանակ, երբ դու վերցրեցիր անկյունաչափը։ Ուշադրություն դարձրե՞լ եք, թե ինչպես են կանգնած սեղանները: Գնահատեք ձեր մտքում. եթե ակորդի համար վերցնում եք մեկ սեղան, ապա ո՞րն է աղեղի աստիճանի չափը, որը այն ձգում է իրար:

Հիշեք անկյունների չափը՝ 1 ° = 1/360շրջանագծի մի մասը («աստիճան» - լատիներեն grad - քայլ): Գիտե՞ք, թե ինչու է շրջանագիծը բաժանվել 360 մասի, ինչո՞ւ չի բաժանվել 10, 100 կամ 1000 մասի, ինչպես պատահում է, օրինակ, երկարությունները չափելիս։ Ես ձեզ կասեմ տարբերակներից մեկը.

Նախկինում մարդիկ հավատում էին, որ Երկիրը Տիեզերքի կենտրոնն է և այն անշարժ է, և Արևը օրական մեկ պտույտ է կատարում Երկրի շուրջ, աշխարհի աշխարհակենտրոն համակարգը, «geo» - Երկիրը ( Գծանկար թիվ 1) Բաբելոնի քահանաները, ովքեր աստղագիտական ​​դիտարկումներ են կատարել, պարզել են, որ գիշերահավասարի օրը՝ արևածագից մինչև մայրամուտ, Արևը երկնակամարում նկարագրում է կիսաշրջան, որում Արեգակի տեսանելի տրամագիծը (տրամագիծը) համապատասխանում է ուղիղ 180 անգամ՝ 1։ ° - արևի հետք. ( Նկար թիվ 2).

Երկար ժամանակ եռանկյունաչափությունը զուտ երկրաչափական բնույթ ուներ։ Դուք շարունակեք ձեր ծանոթությունը եռանկյունաչափության հետ՝ լուծելով ուղղանկյուն եռանկյուններ։ Դուք սովորում եք, որ ուղղանկյուն եռանկյան սուր անկյան սինուսը հակառակ ոտքի և հիպոթենուսի հարաբերությունն է, կոսինուսը հարևան ոտքի հարաբերությունն է հիպոթենուսին, շոշափողը հակառակ ոտքի և հարակից ոտքի հարաբերությունն է: , իսկ կոտանգենսը հարակից ոտքի հարաբերակցությունն է հակառակին։ Եվ հիշեք, որ ներս ուղղանկյուն եռանկյուն, որն ունի տրված անկյուն, կողմերի հարաբերակցությունը կախված չէ եռանկյան մեծությունից։ Ծանոթացեք կամայական եռանկյունների լուծման սինուսների և կոսինուսների թեորեմներին։

2010 թվականին Մոսկվայի մետրոպոլիտենը նշեց իր 75-ամյակը։ Ամեն օր իջնում ​​ենք մետրո և չենք նկատում, որ ...

Առաջադրանք թիվ 1.Մոսկվայի մետրոյում բոլոր շարժասանդուղքների թեքության անկյունը 30 աստիճան է։ Իմանալով սա, շարժասանդուղքի վրա գտնվող լամպերի քանակը և լամպերի միջև մոտավոր հեռավորությունը, կարող եք հաշվարկել կայանի մոտավոր խորությունը: Ցվետնոյ Բուլվար կայարանի շարժասանդուղքի վրա կա 15 լամպ, իսկ Պրաժսկայա կայարանում՝ 2 լամպ։ Հաշվեք այս կայանների խորությունը, եթե լամպերի միջև եղած հեռավորությունները՝ շարժասանդուղքի մուտքից մինչև առաջին լամպը և վերջին լամպից մինչև շարժասանդուղքից ելքը 6 մ են ( Գծանկար թիվ 3) Պատասխան՝ 48 մ և 9 մ

Տնային աշխատանք. Մոսկվայի մետրոյի ամենախոր կայարանը Պարկ Պոբեդին է։ Ո՞րն է դրա խորությունը: Առաջարկում եմ ինքնուրույն գտնել բաց թողնված տվյալները՝ տնային առաջադրանքների խնդիրը լուծելու համար։

Ձեռքերիս լազերային ցուցիչ կա, այն նաև հեռաչափ է։ Չափենք, օրինակ, տախտակի հեռավորությունը։

Չինացի դիզայներ Հուան Քյաոկոնգը կռահել է, որ միավորել է երկու լազերային հեռաչափ, անկյունաչափ մեկ սարքի մեջ և ստացել գործիք, որը թույլ է տալիս որոշել ինքնաթիռի երկու կետերի միջև հեռավորությունը ( Գծանկար թիվ 4) Ի՞նչ եք կարծում, ո՞ր թեորեմի օգնությամբ է լուծվում այս խնդիրը։ Հիշեք կոսինուսի թեորեմի ձևակերպումը. Համաձա՞յն եք ինձ հետ, որ ձեր գիտելիքներն արդեն բավարար են նման գյուտ անելու համար։ Լուծեք երկրաչափության խնդիրներ և ամեն օր փոքրիկ բացահայտումներ արեք:

Գնդաձև եռանկյունաչափություն.

Բացի Էվկլիդեսի հարթ երկրաչափությունից (պլանաչափություն), կարող են լինել նաև այլ երկրաչափություններ, որոնցում պատկերների հատկությունները դիտարկվում են ոչ թե հարթության վրա, այլ այլ մակերեսների, օրինակ՝ գնդակի մակերեսի վրա ( Գծանկար թիվ 5) Առաջին մաթեմատիկոսը, ով հիմք դրեց ոչ Էվկլիդեսյան երկրաչափությունների զարգացմանը, Ն.Ի. Լոբաչևսկի - «Երկրաչափության Կոպեռնիկ». 1827 թվականից 19 տարի եղել է Կազանի համալսարանի ռեկտորը։

Գնդաձև եռանկյունաչափությունը, որը գնդաձև երկրաչափության մի մասն է, դիտարկում է եռանկյունների կողմերի և անկյունների միջև փոխհարաբերությունները մի գնդիկի վրա, որը ձևավորվում է գնդերի վրա մեծ շրջանակների կամարներով ( Գծանկար թիվ 6).

Պատմականորեն գնդաձև եռանկյունաչափությունը և երկրաչափությունը առաջացել են աստղագիտության, գեոդեզիայի, նավիգացիայի և քարտեզագրության կարիքներից։ Մտածեք, թե այս ուղղություններից որն է վերջին տարիներըայնպիսի արագ զարգացում է ստացել, որ դրա արդյունքն արդեն օգտագործվում է ժամանակակից կոմունիկատորների մեջ։ ... Նավիգացիայի ժամանակակից կիրառումը արբանյակային նավիգացիոն համակարգ է, որը թույլ է տալիս որոշել օբյեկտի գտնվելու վայրը և արագությունը նրա ստացողի ազդանշանից:

Գլոբալ նավիգացիոն համակարգ (GPS): Ստացողի լայնությունը և երկայնությունը որոշելու համար անհրաժեշտ է ազդանշաններ ստանալ առնվազն երեք արբանյակներից։ Չորրորդ արբանյակից ազդանշանի ընդունումը նաև հնարավորություն է տալիս որոշել մակերևույթից վերև գտնվող օբյեկտի բարձրությունը ( Թիվ 7 գծանկար).

Ընդունիչ համակարգիչը լուծում է չորս հավասարումներ չորս անհայտներում, մինչև գտնվի լուծում, որը գծում է բոլոր շրջանները մեկ կետով ( Գծանկար թիվ 8).

Սուր անկյան եռանկյունաչափությունից ստացված գիտելիքներն անբավարար են պարզվել ավելի բարդ գործնական խնդիրներ լուծելու համար։ Պտտվող և շրջանաձև շարժումներն ուսումնասիրելիս անկյան և շրջանաձև աղեղի արժեքը սահմանափակված չէ: Ընդհանրացված փաստարկի եռանկյունաչափության անցնելու անհրաժեշտություն կար։

Ընդհանրացված փաստարկի եռանկյունաչափություն.

Շրջանակ ( Թիվ 9 գծանկար) Դրական անկյունները գծագրվում են ժամացույցի սլաքի ուղղությամբ, բացասական անկյունները՝ ժամացույցի սլաքի ուղղությամբ: Ծանո՞թ եք նման համաձայնագրի պատմությանը։

Ինչպես գիտեք, մեխանիկական և արևային ժամացույցները նախագծված են այնպես, որ նրանց ձեռքերը պտտվեն «ըստ արևի», այսինքն. նույն ուղղությամբ, որով մենք տեսնում ենք Արեգակի ակնհայտ շարժումը Երկրի շուրջ: (Հիշեք դասի սկիզբը՝ աշխարհի աշխարհակենտրոն համակարգը): Բայց Կոպեռնիկոսի կողմից Արեգակի շուրջ Երկրի իրական (դրական) շարժման բացահայտմամբ, Արեգակի ակնհայտ (այսինքն ակնհայտ) շարժումը Երկրի շուրջ հորինված է (բացասական): Աշխարհի հելիոկենտրոն համակարգ (հելիո - Արև) ( Թիվ 10 գծանկար).

Ջերմացեք.

1. Դուրս քաշեք աջ ձեռքձեր առջև, սեղանի մակերեսին զուգահեռ և կատարեք շրջանաձև պտույտ 720 աստիճանով:
2. Դուրս քաշեք ձախ ձեռքձեր առջև՝ սեղանի մակերեսին զուգահեռ և կատարեք շրջանաձև շրջադարձ (-1080) աստիճանով։
3. Ձեռքերդ դրեք ուսերին և կատարեք 4 շրջանաձև շարժումներ հետ ու առաջ: Որքա՞ն է պտտման անկյունների գումարը:

2010 թվականին ձմեռ Օլիմպիական խաղերՎանկուվերում մենք կպարզենք չմշկողի վարժությունը գնահատելու չափանիշները՝ լուծելով խնդիրը։

Առաջադրանք թիվ 2.Եթե ​​չմշկորդը պտուտակով վարժություն կատարելիս 12 վայրկյանում շրջադարձ կատարի 10800 աստիճանով, ապա նա ստանում է «գերազանց» գնահատական։ Որոշեք, թե քանի պտույտ կանի չմշկորդը այս ընթացքում և նրա պտտման արագությունը (պտույտներ վայրկյանում): Պատասխան՝ 2,5 պտույտ/վրկ.

Տնային աշխատանք. Ի՞նչ անկյան տակ է պտտվում «անբավարար» գնահատական ​​ստացած չմշկորդը, եթե նույն պտույտի ժամանակ նրա արագությունը վայրկյանում 2 պտույտ էր։

Պտտման շարժումների հետ կապված աղեղների և անկյունների ամենահարմար չափումը պարզվեց, որ ճառագայթային (շառավիղ) չափումն է՝ որպես անկյունի կամ աղեղի չափման ավելի մեծ միավոր ( Թիվ 11 գծանկար) Անկյունների չափման այս չափումը գիտություն մտավ Լեոնհարդ Էյլերի ուշագրավ աշխատությունների միջոցով։ Ծնունդով շվեյցարացի է, 30 տարի ապրել է Ռուսաստանում, եղել է Սանկտ Պետերբուրգի Գիտությունների ակադեմիայի անդամ։ Հենց նրան ենք պարտական ​​ամբողջ եռանկյունաչափության «վերլուծական» մեկնաբանությունը, նա դուրս բերեց այն բանաձևերը, որոնք դուք այժմ ուսումնասիրում եք, ներկայացրեց միատեսակ նշաններ. մեղք x, կո x, տգ x.ctg x.

Եթե ​​մինչև 17-րդ դարը եռանկյունաչափական ֆունկցիաների ուսմունքի զարգացումը կառուցված էր երկրաչափական հիմքի վրա, ապա 17-րդ դարից սկսած եռանկյունաչափական ֆունկցիաները սկսեցին օգտագործվել մեխանիկայի, օպտիկայի, էլեկտրականության խնդիրներ լուծելու, տատանողական պրոցեսները, ալիքը նկարագրելու համար։ տարածում. Այնտեղ, որտեղ պետք է գործ ունենալ պարբերական գործընթացների և տատանումների հետ, եռանկյունաչափական ֆունկցիաները կիրառություն են գտել։ Պարբերական գործընթացների օրենքներն արտահայտող գործառույթներն ունեն հատուկ հատկություն, որը բնորոշ է միայն նրանց. նրանք կրկնում են իրենց արժեքները փաստարկի փոփոխման նույն միջակայքով: Ցանկացած ֆունկցիայի փոփոխությունները առավել հստակորեն փոխանցվում են դրա գրաֆիկի վրա ( Թիվ 12 գծանկար).

Մենք արդեն դիմել ենք մեր մարմնին՝ պտտման խնդիրները լուծելու համար։ Եկեք լսենք մեր սրտի բաբախյունը։ Սիրտը անկախ օրգան է։ Ուղեղը վերահսկում է մեր մարմնի բոլոր մկանները, բացառությամբ սրտի: Նա ունի իր սեփական կառավարման կենտրոնը՝ սինուսային հանգույցը: Սրտի յուրաքանչյուր կծկումով ամբողջ մարմնում՝ սկսած սինուսային հանգույցից (կորեկի հատիկի չափով) տարածվում է։ էլեկտրաէներգիա. Այն կարելի է գրանցել էլեկտրասրտագրության միջոցով: Այն նկարում է էլեկտրասրտագրություն (սինուսոիդ) ( Թիվ 13 գծանկար).

Հիմա խոսենք երաժշտության մասին։ Մաթեմատիկան երաժշտություն է, այն մտքի և գեղեցկության միավորումն է։
Երաժշտությունը հաշվարկով մաթեմատիկա է, աբստրակցիայով հանրահաշիվը, գեղեցկությամբ՝ եռանկյունաչափությունը։ ներդաշնակ տատանում(ներդաշնակ) սինուսային ալիք է: Գրաֆիկը ցույց է տալիս, թե ինչպես է փոխվում օդի ճնշումը լսողի թմբկաթաղանթի վրա՝ վեր ու վար՝ աղեղով, պարբերաբար: Օդն ավելի ուժեղ է մղում, հետո ավելի թույլ: Հարվածի ուժը բավականին փոքր է, և տատանումները տեղի են ունենում շատ արագ՝ հարյուրավոր և հազարավոր ցնցումներ ամեն վայրկյան: Նման պարբերական թրթռումները մենք ընկալում ենք որպես ձայն։ Երկու տարբեր ներդաշնակության ավելացումով ստացվում է ավելի բարդ ալիքի ձև: Երեք ներդաշնակության գումարն էլ ավելի բարդ է, իսկ բնական հնչյուններն ու երաժշտական ​​գործիքների հնչյունները կազմված են մեծ թվով ներդաշնակություններից։ ( Գծանկար թիվ 14.)

Յուրաքանչյուր ներդաշնակություն բնութագրվում է երեք պարամետրով՝ առատություն, հաճախականություն և փուլ: Տատանումների հաճախականությունը ցույց է տալիս, թե օդի ճնշման քանի հարված է տեղի ունենում մեկ վայրկյանում: Մեծ հաճախականություններն ընկալվում են որպես «բարձր», «բարակ» ձայներ։ 10 կՀց-ից բարձր՝ ճռռոց, սուլոց: Փոքր հաճախականություններն ընկալվում են որպես «ցածր», «բաս» հնչյուններ, դղրդյուն։ Ամպլիտուդը տատանումների միջակայքն է։ Որքան մեծ է բացվածքը, այնքան ուժեղ է ազդեցությունը թմբկաթաղանթի վրա, և ավելի բարձր ձայնորը մենք լսում ենք Թիվ 15 գծանկար) Փուլը տատանումների տեղաշարժն է ժամանակի մեջ: Փուլը կարող է չափվել աստիճաններով կամ ռադիաններով: Կախված փուլից, զրոյական հաշվարկը տեղափոխվում է գրաֆիկի վրա: Հարմոնիկը նշելու համար բավական է նշել փուլը -180-ից մինչև +180 աստիճան, քանի որ տատանումը կրկնվում է մեծ արժեքներով: Երկու սինուսոիդային ազդանշաններ նույն ամպլիտուդով և հաճախականությամբ, բայց տարբեր փուլերով ավելացվում են հանրահաշվական եղանակով ( Թիվ 16 գծանկար).

Դասի ամփոփում.Ի՞նչ եք կարծում, մենք կարողացա՞նք կարդալ մի քանի էջ Բնության Մեծ Գրքից: Տեղեկանալով եռանկյունաչափության կիրառական նշանակության մասին՝ հասկացա՞ք դրա դերը մարդկային գործունեության տարբեր բնագավառներում, հասկանու՞մ եք ներկայացված նյութը։ Այնուհետև հիշեք և թվարկեք եռանկյունաչափության կիրառման ոլորտները, որոնց հանդիպել եք այսօր կամ գիտեիք նախկինում: Հուսով եմ, որ ձեզնից յուրաքանչյուրն այսօրվա դասում ինչ-որ նոր և հետաքրքիր բան գտավ ձեզ համար: Թերևս այս նորը ձեզ ցույց կտա ընտրելու ճանապարհը ապագա մասնագիտություն, բայց անկախ նրանից, թե ով դառնաք, ձեր մաթեմատիկական կրթությունը կօգնի ձեզ դառնալ ձեր ոլորտում պրոֆեսիոնալ և ինտելեկտուալ զարգացած մարդ:

Տնային աշխատանք. Կարդացեք դասի ուրվագիծը

Մի անգամ դպրոցում առանձին դասընթաց հատկացվեց եռանկյունաչափության ուսումնասիրության համար։ Վկայականին տրվել են գնահատականներ երեք մաթեմատիկական առարկաներից՝ հանրահաշիվ, երկրաչափություն և եռանկյունաչափություն:

Հետո՝ բարեփոխման շրջանակներում դպրոցական կրթությունեռանկյունաչափությունը դադարեց գոյություն ունենալ որպես առանձին առարկա։ AT ժամանակակից դպրոցԵռանկյունաչափության հետ առաջին ծանոթությունը տեղի է ունենում 8-րդ դասարանի երկրաչափության դասընթացում։ 10-րդ դասարանի հանրահաշիվ դասընթացում շարունակվում է առարկայի ավելի խոր ուսումնասիրությունը։

Սինուսի, կոսինուսի, շոշափողի և կոտանգենսի սահմանումները նախ տրված են երկրաչափության մեջ՝ ուղղանկյուն եռանկյան կողմերի փոխհարաբերությունների միջոցով։

Ուղղանկյուն եռանկյան սուր անկյունը հակառակ ոտքի և հիպոթենուսի հարաբերությունն է:

կոսինուսՈւղղանկյուն եռանկյան սուր անկյունը հարակից ոտքի և հիպոթենուսի հարաբերակցությունն է:

շոշափողՈւղղանկյուն եռանկյան սուր անկյունը հակառակ ոտքի հարաբերակցությունն է հարևանին:

ԿոտանգենսՈւղղանկյուն եռանկյան սուր անկյունը կոչվում է հարակից ոտքի հարաբերակցությունը հակառակին:

Այս սահմանումները վերաբերում են միայն սուր անկյուններին (0º-ից մինչև 90°):

Օրինակ,

ABC եռանկյան մեջ, որտեղ ∠C=90°, BC-ն A անկյան հակառակ ոտքն է, AC-ը A անկյան հարակից ոտքն է, AB-ը հիպոթենուսն է:

10-րդ դասարանի հանրահաշիվ դասընթացում ներկայացվում են սինուսի, կոսինուսի, շոշափողի և կոտանգենսի սահմանումները ցանկացած անկյան համար (այդ թվում՝ բացասական):

Դիտարկենք R շառավղով շրջանագիծ, որը կենտրոնացած է սկզբնակետում, O(0;0) կետը: Շրջանակի հատման կետը x առանցքի դրական ուղղության հետ կնշանակվի P 0-ով:

Երկրաչափության մեջ անկյունը համարվում է երկու ճառագայթներով սահմանափակված հարթության մաս։ Այս սահմանմամբ անկյան արժեքը տատանվում է 0°-ից մինչև 180°:

Եռանկյունաչափության մեջ անկյունը համարվում է OP 0 ճառագայթի պտտման արդյունք O ելակետի շուրջ։

Միաժամանակ նրանք պայմանավորվել են ճառագայթի պտույտը ժամացույցի սլաքի ուղղությամբ դիտարկել որպես շրջանցման դրական ուղղություն, իսկ ժամացույցի սլաքի ուղղությամբ՝ բացասական (այս համաձայնությունը կապված է Երկրի շուրջ Արեգակի իրական շարժման հետ)։

Օրինակ, երբ OP 0 ճառագայթը պտտվում է O կետի շուրջ α անկյան տակ ժամսլաքի ուղղությամբ, P 0 կետը կգնա դեպի P α կետը,

α անկյան միջով ժամացույցի սլաքի ուղղությամբ պտտվելիս՝ մինչև F կետը:

Այս սահմանման դեպքում անկյունը կարող է վերցնել ցանկացած արժեք:

Եթե ​​շարունակենք պտտել OP 0 ճառագայթը ժամացույցի սլաքի ուղղությամբ, α°+360° անկյան տակով պտտվելիս, α°+360° 2,…,α°+360° n, որտեղ n-ն ամբողջ թիվ է (n∈Ζ), կրկին. մենք հասնում ենք P α կետին.

Անկյունները չափվում են աստիճաններով և ռադիաններով:

1°-ը ուղիղ անկյան աստիճանի չափման 1/180-ին հավասար անկյուն է։

1 ռադիանը կենտրոնական անկյուն է, որի աղեղի երկարությունը հավասար է շրջանագծի շառավղին.

∠AOB=1 ռադ.

Ռադիանի նշումը սովորաբար չի գրվում: Գրառման մեջ աստիճանի նշանակումը չպետք է բաց թողնվի:

Օրինակ,

P α կետը, որը ստացվում է P 0 կետից՝ OP 0 ճառագայթը O կետի շուրջ α անկյան տակ ժամացույցի սլաքի ուղղությամբ պտտելով, ունի P α (x;y) կոորդինատները։

Եկեք P α A ուղղահայացը գցենք P α կետից դեպի x առանցքը:

Ուղղանկյուն եռանկյունում OP α A:

P α A-ն α անկյան հակառակ ոտքն է,

OA-ն α անկյան հարեւանությամբ գտնվող ոտքն է,

OP α-ն հիպոթենուսն է:

P α A=y, OA=x, OP α =R.

Ուղղանկյուն եռանկյունու սինուսի, կոսինուսի, տանգենսի և կոտանգենսի սահմանմամբ մենք ունենք.

Այսպիսով, կամայական շառավիղի սկզբնակետում կենտրոնացած շրջանագծի դեպքում սինուսα անկյունը P α կետի օրդինատի հարաբերությունն է շառավիղի երկարությանը:

կոսինուսα անկյունը P α կետի աբսցիսայի հարաբերությունն է շառավիղի երկարությանը:

շոշափողα անկյունը P α կետի օրդինատի հարաբերությունն է նրա աբսցիսային:

Կոտանգենսα անկյունը P α կետի աբսցիսայի հարաբերությունն է նրա օրդինատին:

Սինուսի, կոսինուսի, շոշափողի և կոտանգենսի արժեքները կախված են միայն α-ի արժեքից և կախված չեն R շառավիղի երկարությունից (սա բխում է շրջանների նմանությունից):

Ուստի հարմար է ընտրել R=1։

Շրջանակը կենտրոնացած սկզբնակետում և R=1 շառավղով կոչվում է միավոր շրջան։

Սահմանումներ

1) սինուսα անկյունը միավոր շրջանագծի P α (x; y) կետի օրդինատն է.

2) կոսինուսα անկյունը կոչվում է միավոր շրջանագծի P α (x; y) կետի աբսցիսա.

3) շոշափողα անկյունը P α (x; y) կետի օրդինատի հարաբերությունն է նրա աբսցիսային, այսինքն՝ sin α-ի և cos α-ի հարաբերակցությունը (որտեղ cos α≠ 0):

4) Կոտանգենսα անկյունը P α (x; y) կետի աբսցիսայի հարաբերությունն է նրա օրդինատին, այսինքն՝ cosα-ի և sinα-ի հարաբերակցությունը (որտեղ sinα≠0):

Այս ձևով ներկայացված սահմանումները թույլ են տալիս դիտարկել ոչ միայն անկյունների եռանկյունաչափական ֆունկցիաները, այլև թվային փաստարկների եռանկյունաչափական ֆունկցիաները (եթե sinα, cosα, tgα և ctgα դիտարկենք որպես α ռադիաններում անկյան համապատասխան եռանկյունաչափական ֆունկցիաներ, է, α թվի սինուսը α ռադիաններով անկյան սինուսն է, α-ի կոսինուսը՝ α ռադիաններով անկյան կոսինուսը և այլն)։

Եռանկյունաչափական ֆունկցիաների հատկությունները 10-րդ կամ 11-րդ դասարանի հանրահաշիվ դասընթացում ուսումնասիրվում են որպես առանձին թեմա։ Եռանկյունաչափական ֆունկցիաներլայնորեն կիրառվում է ֆիզիկայում։

Ռուբրիկա՝ |

Ձեր գաղտնիությունը կարևոր է մեզ համար: Այդ իսկ պատճառով մենք մշակել ենք Գաղտնիության քաղաքականություն, որը նկարագրում է, թե ինչպես ենք մենք օգտագործում և պահպանում ձեր տվյալները: Խնդրում ենք կարդալ մեր գաղտնիության քաղաքականությունը և եթե հարցեր ունեք, տեղեկացրեք մեզ:

Անձնական տեղեկատվության հավաքագրում և օգտագործում

Անձնական տեղեկատվությունը վերաբերում է այն տվյալներին, որոնք կարող են օգտագործվել կոնկրետ անձի նույնականացման կամ կապ հաստատելու համար:

Ձեզանից կարող է պահանջվել տրամադրել ձեր անձնական տվյալները ցանկացած ժամանակ, երբ դուք կապվեք մեզ հետ:

Ստորև բերված են անձնական տեղեկատվության տեսակների մի քանի օրինակներ, որոնք մենք կարող ենք հավաքել և ինչպես կարող ենք օգտագործել այդպիսի տեղեկատվությունը:

Ինչ անձնական տվյալներ ենք մենք հավաքում.

• Երբ դուք դիմում եք ներկայացնում կայքում, մենք կարող ենք հավաքել տարբեր տեղեկություններ, ներառյալ ձեր անունը, հեռախոսահամարը, էլ.փոստի հասցեն և այլն:

Ինչպես ենք մենք օգտագործում ձեր անձնական տվյալները.

• Մեր հավաքած անձնական տվյալները թույլ են տալիս մեզ կապվել ձեզ հետ եզակի առաջարկների, առաջխաղացումների և այլ միջոցառումների և Սպասվող իրադարձություններ.
• Ժամանակ առ ժամանակ մենք կարող ենք օգտագործել ձեր անձնական տվյալները՝ ձեզ կարևոր ծանուցումներ և հաղորդակցություններ ուղարկելու համար:
• Մենք կարող ենք նաև օգտագործել անձնական տեղեկությունները ներքին նպատակների համար, ինչպիսիք են աուդիտի, տվյալների վերլուծության և տարբեր հետազոտությունների անցկացումը՝ մեր կողմից մատուցվող ծառայությունները բարելավելու և ձեզ մեր ծառայությունների վերաբերյալ առաջարկություններ տրամադրելու համար:
• Եթե ​​դուք մասնակցում եք մրցանակների խաղարկության, մրցույթի կամ նմանատիպ խրախուսանքի, մենք կարող ենք օգտագործել ձեր տրամադրած տեղեկատվությունը նման ծրագրերը կառավարելու համար:

Բացահայտում երրորդ կողմերին

Մենք ձեզանից ստացված տեղեկատվությունը երրորդ կողմերին չենք բացահայտում:

Բացառություններ.

• Այն դեպքում, երբ դա անհրաժեշտ է, օրենքին համապատասխան, դատական ​​կարգով, դատական ​​վարույթում և (կամ) Ռուսաստանի Դաշնության տարածքում պետական ​​մարմինների հանրային խնդրանքների կամ խնդրանքների հիման վրա, բացահայտեք ձեր անձնական տվյալները: Մենք կարող ենք նաև բացահայտել ձեր մասին տեղեկությունները, եթե որոշենք, որ նման բացահայտումն անհրաժեշտ է կամ տեղին է անվտանգության, օրենքի կիրարկման կամ հանրային շահերի այլ նպատակներով:
• Վերակազմակերպման, միաձուլման կամ վաճառքի դեպքում մենք կարող ենք փոխանցել մեր հավաքած անձնական տվյալները համապատասխան երրորդ կողմի իրավահաջորդին:

Անձնական տեղեկատվության պաշտպանություն

Մենք նախազգուշական միջոցներ ենք ձեռնարկում, ներառյալ վարչական, տեխնիկական և ֆիզիկական, պաշտպանելու ձեր անձնական տվյալները կորստից, գողությունից և չարաշահումից, ինչպես նաև չարտոնված մուտքից, բացահայտումից, փոփոխությունից և ոչնչացումից:

Պահպանեք ձեր գաղտնիությունը ընկերության մակարդակով

Ապահովելու համար, որ ձեր անձնական տվյալները անվտանգ են, մենք գաղտնիության և անվտանգության պրակտիկաները հաղորդում ենք մեր աշխատակիցներին և խստորեն կիրառում ենք գաղտնիության պրակտիկան:

Այս դասում մենք կխոսենք այն մասին, թե ինչպես է առաջանում եռանկյունաչափական ֆունկցիաների ներդրման անհրաժեշտությունը և ինչու են դրանք ուսումնասիրվում, ինչ պետք է հասկանաք այս թեմայում և որտեղ պետք է պարզապես լցնել ձեր ձեռքը (որը տեխնիկա է): Նկատի ունեցեք, որ տեխնիկան և հասկացողությունը երկու տարբեր բաներ են: Համաձայնեք՝ տարբերություն կա՝ սովորել հեծանիվ վարել, այսինքն՝ հասկանալ, թե ինչպես դա անել, թե՞ դառնալ պրոֆեսիոնալ հեծանվորդ։ Մենք կխոսենք հասկանալու մասին, թե ինչու են մեզ անհրաժեշտ եռանկյունաչափական ֆունկցիաները։

Կան չորս եռանկյունաչափական ֆունկցիաներ, բայց դրանք բոլորը կարող են արտահայտվել մեկով, օգտագործելով նույնականությունները (դրանց կապող հավասարումներ):

Ուղղանկյուն եռանկյունների սուր անկյունների եռանկյունաչափական ֆունկցիաների պաշտոնական սահմանումները (նկ. 1):

սինուսՈւղղանկյուն եռանկյան սուր անկյունը կոչվում է հակառակ ոտքի և հիպոթենուսի հարաբերություն:

կոսինուսՈւղղանկյուն եռանկյան սուր անկյունը կոչվում է հարակից ոտքի և հիպոթենուսի հարաբերություն:

շոշափողՈւղղանկյուն եռանկյան սուր անկյունը կոչվում է հակառակ ոտքի և հարակից ոտքի հարաբերակցությունը:

ԿոտանգենսՈւղղանկյուն եռանկյան սուր անկյունը կոչվում է հարակից ոտքի և հակառակ ոտքի հարաբերակցությունը:

Բրինձ. 1. Ուղղանկյուն եռանկյան սուր անկյան եռանկյունաչափական ֆունկցիաների սահմանում

Այս սահմանումները ֆորմալ են: Ավելի ճիշտ է ասել, որ կա միայն մեկ ֆունկցիա, օրինակ՝ սինուս։ Եթե ​​դրանք այդքան անհրաժեշտ չլինեին (ոչ այնքան հաճախ օգտագործվեին) տեխնոլոգիայի մեջ, ապա այդքան տարբեր եռանկյունաչափական ֆունկցիաներ չէին ներդրվի։

Օրինակ, անկյան կոսինուսը հավասար է նույն անկյան սինուսին (-ի գումարումով): Բացի այդ, անկյան կոսինուսը միշտ կարող է արտահայտվել նույն անկյան սինուսով, մինչև նշան, օգտագործելով հիմնականը. եռանկյունաչափական ինքնություն(). Անկյան շոշափողը սինուսի և կոսինուսի կամ շրջված կոտանգենսի հարաբերությունն է (նկ. 2): Ոմանք ընդհանրապես չեն օգտագործում կոտանգենսը՝ այն փոխարինելով . Ուստի կարևոր է հասկանալ և կարողանալ աշխատել մեկ եռանկյունաչափական ֆունկցիայի հետ։

Բրինձ. 2. Տարբեր եռանկյունաչափական ֆունկցիաների միացում

Բայց ինչի՞ն են ձեզ ընդհանրապես պետք նման գործառույթները: Ի՞նչ գործնական խնդիրների համար են դրանք օգտագործվում: Դիտարկենք մի քանի օրինակ։

Երկու մարդ ( ԲԱՅՑև AT) մեքենան դուրս մղեք ջրափոսից (նկ. 3): Մարդ ATկարող է մեքենան կողք մղել, մինչդեռ դա դժվար թե օգնի ԲԱՅՑ. Մյուս կողմից, նրա ջանքերի ուղղությունը կարող է աստիճանաբար փոխվել (նկ. 4):

Բրինձ. 3. ATմեքենան կողք է հրում

Բրինձ. չորս. ATսկսում է փոխել ուղղությունը

Հասկանալի է, որ նրանց ջանքերն առավել արդյունավետ կլինեն, երբ մեքենան հրեն մեկ ուղղությամբ (նկ. 5):

Բրինձ. 5. ջանքերի ամենաարդյունավետ համատեղ ուղղությունը

Ինչքան ATօգնում է մղել մեքենան այնքանով, որքանով դրա ուժի ուղղությունը մոտ է այն ուժի ուղղությանը, որով այն գործում է. ԲԱՅՑ, անկյան ֆունկցիա է և արտահայտվում է նրա կոսինուսով (նկ. 6)։

Բրինձ. 6. Կոսինուսը որպես ջանքերի արդյունավետության հատկանիշ AT

Եթե ​​բազմապատկենք այն ուժի մեծությունը, որով AT, անկյան կոսինուսի վրա մենք ստանում ենք նրա ուժի պրոյեկցիան այն ուժի ուղղությամբ, որով այն գործում է. ԲԱՅՑ. Որքան մոտ լինի ուժերի ուղղությունների միջև ընկած անկյունը, այնքան ավելի արդյունավետ կլինի արդյունքը: համատեղ գործողություն ԲԱՅՑև AT(նկ. 7): Եթե ​​նրանք նույն ուժով մեքենան հրեն հակառակ ուղղություններով, մեքենան կմնա տեղում (նկ. 8):

Բրինձ. 7. Համատեղ ջանքերի արդյունավետությունը ԲԱՅՑև AT

Բրինձ. 8. Ուժերի հակառակ ուղղությունը ԲԱՅՑև AT

Կարևոր է հասկանալ, թե ինչու մենք կարող ենք փոխարինել անկյունը (դրա ներդրումը վերջնական արդյունքի մեջ) կոսինուսով (կամ անկյան այլ եռանկյունաչափական ֆունկցիայով): Փաստորեն, սա բխում է նմանատիպ եռանկյունների նման հատկությունից։ Քանի որ իրականում մենք ասում ենք հետևյալը. անկյունը կարող է փոխարինվել երկու թվերի հարաբերությամբ (ոտք-հիպոթենուզ կամ ոտք-ոտք): Դա անհնար կլիներ, եթե, օրինակ, տարբեր ուղղանկյուն եռանկյունների միևնույն անկյան դեպքում այդ հարաբերությունները տարբեր լինեին (նկ. 9):

Բրինձ. 9. Կողմերի հավասար հարաբերակցությունները նմանատիպ եռանկյուններում

Օրինակ, եթե հարաբերակցությունը և հարաբերակցությունը տարբեր լինեին, ապա մենք չէինք կարողանա ներմուծել շոշափող ֆունկցիան, քանի որ տարբեր ուղղանկյուն եռանկյունների միևնույն անկյան համար շոշափողը տարբեր կլիներ: Բայց քանի որ նմանատիպ ուղղանկյուն եռանկյունների ոտքերի երկարությունների հարաբերությունները նույնն են, ֆունկցիայի արժեքը կախված չի լինի եռանկյունուց, ինչը նշանակում է, որ սուր անկյունը և դրա եռանկյունաչափական արժեքները. գործառույթները մեկ առ մեկ են:

Ենթադրենք գիտենք որոշակի ծառի բարձրությունը (նկ. 10): Ինչպե՞ս չափել մոտակա շենքի բարձրությունը:

Բրինձ. 10. Օրինակ 2-ի պայմանի նկարազարդումը

Մենք այնպիսի կետ ենք գտնում, որ այս կետով գծված գիծը և տան գագաթը կանցնեն ծառի գագաթով (նկ. 11):

Բրինձ. 11. Օրինակ 2-ի խնդրի լուծման նկարազարդում

Մենք կարող ենք չափել հեռավորությունը այս կետից մինչև ծառը, հեռավորությունը նրանից մինչև տուն, և մենք գիտենք ծառի բարձրությունը: Համամասնությունից կարող եք գտնել տան բարձրությունը.

համամասնությունըերկու թվերի հարաբերությունն է։ AT այս դեպքըՆմանատիպ ուղղանկյուն եռանկյունների ոտքերի երկարությունների հարաբերակցության հավասարությունը: Ավելին, այդ հարաբերությունները հավասար են անկյան որոշ չափի, որն արտահայտվում է եռանկյունաչափական ֆունկցիայի տեսքով (ըստ սահմանման, սա շոշափող է): Մենք ստանում ենք, որ յուրաքանչյուր սուր անկյան համար նրա եռանկյունաչափական ֆունկցիայի արժեքը եզակի է: Այսինքն՝ սինուսը, կոսինուսը, շոշափողը, կոտանգենսը իրականում ֆունկցիաներ են, քանի որ յուրաքանչյուր սուր անկյուն համապատասխանում է դրանցից յուրաքանչյուրի ճշգրիտ մեկ արժեքին։ Հետեւաբար, դրանք կարող են հետագայում ուսումնասիրվել եւ դրանց հատկությունները կարող են օգտագործվել: Բոլոր անկյունների համար եռանկյունաչափական ֆունկցիաների արժեքներն արդեն հաշվարկված են, դրանք կարող են օգտագործվել (դրանք կարելի է գտնել Բրադիսի աղյուսակներից կամ օգտագործել ցանկացած ինժեներական հաշվիչ) Բայց հակադարձ խնդիրը լուծելու համար (օրինակ, սինուսի արժեքով վերականգնել անկյան չափը, որը համապատասխանում է դրան), մենք միշտ չէ, որ կարող ենք:

Թող որոշ անկյան սինուսը հավասար լինի կամ մոտավորապես (նկ. 12): Ո՞ր անկյունը կհամապատասխանի սինուսի այս արժեքին: Իհարկե, մենք կարող ենք կրկին օգտագործել Bradis աղյուսակը և գտնել որոշակի արժեք, բայց պարզվում է, որ այն միակը չի լինի (նկ. 13):

Բրինձ. 12. Անկյուն գտնելն իր սինուսի արժեքով

Բրինձ. 13. Հակադարձ եռանկյունաչափական ֆունկցիաների բազմավալենտություն

Ուստի անկյան եռանկյունաչափական ֆունկցիայի արժեքը վերականգնելիս առաջանում է հակադարձ եռանկյունաչափական ֆունկցիաների բազմիմաստություն։ Դա կարող է բարդ թվալ, բայց իրականում մենք ամեն օր նման իրավիճակների ենք հանդիպում։

Եթե ​​դուք վարագույր եք դնում պատուհանները և չգիտեք՝ դրսում լույս է, թե մութ, կամ հայտնվել եք քարանձավում, ապա արթնանալուն պես դժվար է ասել՝ հիմա ցերեկվա ժամն է, գիշերը, թե՞։ հաջորդ օրը (նկ. 14): Փաստորեն, եթե մեզ հարցնեք «Ժամը քանիսն է», մենք պետք է անկեղծորեն պատասխանենք. «Ժամը գումարած բազմապատկեք որտեղ»:

Բրինձ. 14. Բազմիմաստության նկարազարդում ժամացույցի օրինակով

Կարելի է եզրակացնել, որ սա այն ժամանակահատվածն է (միջակայքը, որից հետո ժամացույցը ցույց կտա նույն ժամանակը, ինչ հիմա): Եռանկյունաչափական ֆունկցիաներն ունեն նաև ժամանակաշրջաններ՝ սինուս, կոսինուս և այլն։ Այսինքն, դրանց արժեքները կրկնվում են փաստարկի որոշակի փոփոխությունից հետո:

Եթե ​​մոլորակը չունենար ցերեկվա և գիշերվա փոփոխություն կամ եղանակների փոփոխություն, ապա մենք չէինք կարող օգտագործել պարբերական ժամանակը։ Ի վերջո, մենք միայն թվարկում ենք տարիները աճման կարգով, իսկ օրվա մեջ կան ժամեր, և ամեն նոր օր հաշվարկը նորից է սկսվում։ Նույն վիճակն է ամիսների դեպքում՝ եթե հիմա հունվար է, ապա ամիսներ հետո նորից հունվար է գալու և այլն։ Արտաքին հղման կետերն օգնում են մեզ օգտագործել ժամանակի պարբերական հաշվումը (ժամեր, ամիսներ), օրինակ՝ Երկրի պտույտն իր առանցքի շուրջը և երկնքում Արեգակի և Լուսնի դիրքի փոփոխությունը։ Եթե ​​Արևը միշտ կախված լիներ նույն դիրքում, ապա ժամանակը հաշվարկելու համար մենք կհաշվեինք վայրկյանների (րոպեների) քանակը հենց այս հաշվարկից հետո: Ամսաթիվն ու ժամը կարող են հնչել այսպես՝ միլիարդ վայրկյան:

Եզրակացություն՝ հակադարձ ֆունկցիաների անորոշության առումով դժվարություններ չկան։ Իրոք, կարող են լինել տարբերակներ, երբ նույն սինուսի համար կան տարբեր անկյունային արժեքներ (նկ. 15):

Բրինձ. 15. Անկյունի վերականգնում իր սինուսի արժեքով

Սովորաբար գործնական խնդիրներ լուծելիս մենք միշտ աշխատում ենք ստանդարտ միջակայքում՝ սկսած մինչև . Այս միջակայքում, եռանկյունաչափական ֆունկցիայի յուրաքանչյուր արժեքի համար կա անկյան չափման միայն երկու համապատասխան արժեք:

Դիտարկենք շարժվող գոտին և ճոճանակը դույլի տեսքով, որի անցքից ավազ է թափվում: Ճոճանակը ճոճվում է, ժապավենը շարժվում է (նկ. 16): Արդյունքում ավազը հետք կթողնի սինուսի (կամ կոսինուսի) ֆունկցիայի գրաֆիկի տեսքով, որը կոչվում է սինուսային ալիք։

Փաստորեն, սինուսի և կոսինուսի գրաֆիկները միմյանցից տարբերվում են միայն հղման կետով (եթե նկարում եք դրանցից մեկը և հետո ջնջում կոորդինատային առանցքները, ապա չեք կարողանա որոշել, թե որ գրաֆիկն է գծված): Հետևաբար, իմաստ չունի կոսինուսի գրաֆիկ անվանել (ինչու՞ նույն գրաֆիկի համար առանձին անուն հորինել):

Բրինձ. 16. Խնդրի դրույթի նկարազարդումը օրինակ 4-ում

Ֆունկցիայի գրաֆիկից կարելի է հասկանալ նաև, թե ինչու հակադարձ ֆունկցիաները կունենան բազմաթիվ արժեքներ։ Եթե ​​սինուսի արժեքը ֆիքսված է, այսինքն. գծեք x-ի առանցքին զուգահեռ ուղիղ գիծ, ​​ապա խաչմերուկում ստանում ենք բոլոր այն կետերը, որոնցում անկյան սինուսը հավասար է տրվածին։ Հասկանալի է, որ նման կետերն անսահման շատ են լինելու։ Ինչպես ժամացույցի օրինակում, որտեղ ժամանակի արժեքը տարբերվում է , միայն այստեղ անկյան արժեքը կտարբերվի որոշակի քանակությամբ (նկ. 17):

Բրինձ. 17. Սինուսի պոլիսեմիայի նկարազարդում

Եթե ​​դիտարկենք ժամացույցի օրինակը, ապա կետը (ժամացույցի վերջը) շարժվում է շրջանագծի շուրջ: Նույն կերպ կարելի է սահմանել եռանկյունաչափական ֆունկցիաները՝ դիտարկել ոչ թե ուղղանկյուն եռանկյան անկյունները, այլ շրջանագծի շառավղի և առանցքի դրական ուղղության միջև ընկած անկյունը։ Շրջանակների թիվը, որով կանցնի կետը (պայմանավորվեցինք շարժումը հաշվել ժամացույցի սլաքի ուղղությամբ՝ մինուս նշանով, իսկ հակառակը՝ գումարած), սա այն ժամանակահատվածն է (նկ. 18):

Բրինձ. 18. Շրջանակի վրա սինուսի արժեքը

Այսպիսով, հակադարձ ֆունկցիաեզակիորեն սահմանվում է որոշակի ընդմիջումով: Այս միջակայքի համար մենք կարող ենք հաշվարկել դրա արժեքները, իսկ մնացածը ստանալ գտնված արժեքներից՝ ավելացնելով և հանելով ֆունկցիայի ժամանակաշրջանը:

Դիտարկենք ժամանակաշրջանի մեկ այլ օրինակ: Մեքենան շարժվում է ճանապարհի երկայնքով։ Պատկերացրեք, որ նրա անիվը մխրճվել է ներկի կամ ջրափոսի մեջ: Դուք կարող եք երբեմն տեսնել ներկերի հետքեր կամ ջրափոսեր ճանապարհին (Նկար 19):

Բրինձ. 19. Ժամանակաշրջանի նկարազարդում

Դպրոցական դասընթացում կան բազմաթիվ եռանկյունաչափական բանաձեւեր, բայց մեծ հաշվով բավական է միայն մեկը հիշել (նկ. 20):

Բրինձ. քսան. Եռանկյունաչափական բանաձևեր

Բանաձև կրկնակի անկյունհեշտ է նաև սինուսից գումարներ դուրս բերել՝ փոխարինելով (նմանապես՝ կոսինուսով)։ Կարող եք նաև ստանալ արտադրանքի բանաձևեր:

Փաստորեն, պետք է շատ քիչ բան հիշել, քանի որ խնդիրների լուծման դեպքում այս բանաձևերը կհիշվեն ինքնուրույն: Իհարկե, ինչ-որ մեկը շատ ծույլ կլինի շատ բան որոշել, բայց հետո նրան պետք չի լինի այս տեխնիկան, հետևաբար՝ բանաձևերը:

Իսկ քանի որ բանաձևերը պետք չեն, ուրեմն դրանք անգիր անելու կարիք էլ չկա։ Պարզապես պետք է հասկանալ այն գաղափարը, որ եռանկյունաչափական ֆունկցիաները ֆունկցիաներ են, որոնցով, օրինակ, հաշվարկվում են կամուրջները։ Գրեթե ոչ մի մեխանիզմ չի կարող անել առանց դրանց օգտագործման ու հաշվարկի։

1. Հաճախ հարց է առաջանում, թե արդյոք լարերը կարող են բացարձակ զուգահեռ լինել գետնին: Պատասխան. ոչ, նրանք չեն կարող, քանի որ մի ուժը գործում է դեպի ներքև, իսկ մյուսները գործում են զուգահեռ. նրանք երբեք չեն հավասարակշռվի (նկ. 21):

2. Կարապը, խեցգետինը և խեցգետինը սայլը քաշում են նույն հարթության մեջ: Կարապը թռչում է մի ուղղությամբ, խեցգետինը մյուս ուղղությամբ, իսկ խոզուկը երրորդում (նկ. 22): Նրանց ուժերը կարող են հավասարակշռել: Դուք կարող եք հաշվարկել այս հավասարակշռությունը միայն եռանկյունաչափական ֆունկցիաների օգնությամբ:

3. Մալուխային կամուրջ (նկ. 23): Եռանկյունաչափական ֆունկցիաները օգնում են հաշվարկել ծածկոցների քանակը, ինչպես դրանք պետք է ուղղվեն և լարվեն:

Բրինձ. 23. Ճոպանուղու կամուրջ

Բրինձ. 24. «Լարային կամուրջ»

Բրինձ. 25. Մեծ Օբուխովսկի կամուրջ

Հղումներ ma-te-ri-a-ly կայքինInternetUrok

Մաթեմատիկա 6 դասարան:

Երկրաչափություն Դասարան 8: