Kartezijevi pravokutni koordinatni sustavi. Pravokutne koordinate X i Y. Zonski Gauss-Kruegerov koordinatni sustav Koja se točka naziva ishodištem koordinatnog sustava

Koordinate - to su veličine koje određuju položaj bilo koje točke na površini ili u prostoru u prihvaćenom koordinatnom sustavu. Koordinatni sustav postavlja početne (izvorne) točke, pravce ili ravnine za očitavanje traženih veličina – ishodište koordinata i jedinice njihova izračuna. U topografiji i geodeziji najveću primjenu dobili su sustavi geografskih, pravokutnih, polarnih i bipolarnih koordinata.
Geografske koordinate (sl. 2.8) služe za određivanje položaja točaka Zemljine površine na elipsoidu (lopti). U ovom koordinatnom sustavu početna meridijanska ravnina i ekvatorska ravnina su početne. Meridijan je presjek elipsoida ravninom koja prolazi kroz njega dana točka i Zemljine osi rotacije.

Paralela je presjek elipsoida ravninom koja prolazi kroz danu točku i okomita je na Zemljinu os. Paralela čija ravnina prolazi središtem elipsoida naziva se ekvator. Kroz svaku točku na površini globus, možete nacrtati samo jedan meridijan i samo jednu paralelu.
Zemljopisne koordinate su kutne veličine: dužina l i širina j.
Zemljopisna dužina l naziva se diedralni kut, zatvoren između ravnine zadanog meridijana (koji prolazi kroz točku B) i ravnine početnog meridijana. Za početni (nulti) meridijan uzet je meridijan koji prolazi središtem glavne dvorane zvjezdarnice Greenwich u gradu Londonu. Za točku B, dužina je određena kutom l = WCD. Zemljopisne dužine računaju se od početnog meridijana u oba smjera – istočnom i zapadnom. S tim u vezi razlikujemo zapadnu i istočnu zemljopisnu dužinu, koje variraju od 0° do 180°.
Zemljopisna širina j je kut koji čine ravnina ekvatora i visak koji prolazi kroz zadanu točku. Ako se Zemlja uzme kao lopta, tada je za točku B (sl. 2.8) zemljopisna širina j određena kutom DCB. Geografske širine mjerene od ekvatora prema sjeveru nazivaju se sjevernim, a prema jugu - južnim, variraju od 0 ° na ekvatoru do 90 ° na polovima.
Geografske koordinate mogu se izvesti iz astronomskih promatranja ili geodetskih mjerenja. U prvom slučaju nazivaju se astronomskim, au drugom - geodetskim (L - dužina, B - širina). U astronomskim promatranjima, projekcija točaka na referentnu površinu provodi se viskom, u geodetskim mjerenjima - normalama. Stoga se vrijednosti astronomskih i geodetskih koordinata razlikuju za iznos odstupanja olovne linije.
Korištenje različitih referentnih elipsoida u različitim državama dovodi do razlika u koordinatama istih točaka izračunatih u odnosu na različite početne površine. U praksi se to izražava u općem pomaku kartografske slike u odnosu na meridijane i paralele na kartama velikih i srednjih mjerila.
Pravokutne koordinate linearne veličine nazivaju se - apscisa i ordinata, koje određuju položaj točke na ravnini u odnosu na izvorne pravce.

(Sl. 2.9)
U geodeziji i topografiji je prihvaćeno pravi sustav pravokutne koordinate. To ga razlikuje od lijevog koordinatnog sustava koji se koristi u matematici. Početni pravci su dva međusobno okomita pravca s ishodištem u točki njihova sjecišta O.
Pravac XX (os apscisa) poravnat je sa smjerom meridijana koji prolazi kroz ishodište ili sa smjerom paralelnim s nekim meridijanom. Pravac YY (os y) prolazi kroz točku O okomito na os apscisa. U takvom sustavu položaj točke na ravnini određen je najkraćom udaljenosti do nje od koordinatnih osi. Položaj točke A određen je duljinom okomica Xa i Ya. Odsječak Xa naziva se apscisa točke A, a Ya je ordinata te točke. Pravokutne koordinate obično se izražavaju u metrima. Osi apscisa i ordinata dijele teren u točki O na četiri četvrtine (sl. 2.9). Naziv četvrti određen je prihvaćenim oznakama zemalja svijeta. Četvrtine su numerirane u smjeru kazaljke na satu: I - SV; II - JI; III - JZ; IV - SZ.
U tablici. 2.3 prikazani su predznaci apscisa X i ordinata Y za točke koje se nalaze u različitim četvrtima i navedena su njihova imena.


Tablica 2.3
Apscise točaka koje se nalaze gore od ishodišta smatraju se pozitivnim, a dolje od njega - negativnim, ordinate točaka smještenih desno - pozitivnim, lijevo - negativnim. Sustav ravnih pravokutnih koordinata koristi se u ograničenim područjima Zemljina površina, što se može uzeti kao ravno.
Koordinate čije je ishodište bilo koja točka na terenu nazivaju se polarnim. U ovom koordinatnom sustavu mjere se kutovi orijentacije. Na vodoravnoj ravnini (sl. 2.10), kroz proizvoljno odabranu točku O, koja se naziva pol, povučena je pravac OX - polarna os.

Tada će položaj bilo koje točke, na primjer, M biti određen radijusom - vektorom r1 i smjernim kutom a1, a točka N - redom r2 i a2. Kutovi a1 i a2 mjere se od polarne osi u smjeru kazaljke na satu do radijus vektora. Polarna os može se postaviti proizvoljno ili kombinirati sa smjerom bilo kojeg meridijana koji prolazi kroz pol O.
Bipolarni koordinatni sustav (sl. 2.11) predstavlja dva odabrana nepomična pola O1 i O2, povezana ravnom linijom – polarnom osi. Ovaj koordinatni sustav omogućuje određivanje položaja točke M u odnosu na polarnu os na ravnini pomoću dva kuta b1 i b2, dva radijus vektora r1 i r2 ili njihove kombinacije. Ako su poznate pravokutne koordinate točaka O1 i O2, tada se može izračunati položaj točke M na analitički način.


Riža. 2.11

Riža. 2.12
Visine točaka na zemljinoj površini. Za određivanje položaja točaka fizičke površine Zemlje nije dovoljno znati samo planirane koordinate X, Y ili l, j, potrebna je i treća koordinata - visina točke H. Visina točke H. točka H (Sl. 2.12) udaljenost je duž okomitog smjera od dane točke (A´; B´ ´) do prihvaćene glavne ravnine površine MN. Brojčana vrijednost visine točke naziva se elevacija. Visine mjerene od glavne nivelete MN zovu se apsolutne visine (AA´; BB´´), a one određene u odnosu na proizvoljno odabranu niveletu zovu se uvjetne visine (V´V´´). Visinska razlika dviju točaka ili udaljenost duž vertikalnog pravca između ravnih ploha koje prolaze kroz bilo koje dvije točke na Zemlji naziva se relativna visina (V´V´´) ili eksces tih točaka h.
U Republici Bjelorusiji usvojen je baltički sustav visina iz 1977. Visine se računaju od razine površine, koja se podudara s prosječnom razinom vode u Finskom zaljevu, od nulte točke Kronstadtske stope.

Evo još jednog

4.1. PRAVOKUTNE KOORDINATE

U topografiji se najviše koriste pravokutne koordinate. Uzmite u ravnini dvije međusobno okomite linije - Ox i OY. Te se linije nazivaju koordinatnim osima, a točka njihova sjecišta ( O) je ishodište koordinata.

Riža. 4.1. Pravokutne koordinate

Položaj bilo koje točke na ravnini može se lako odrediti zadavanjem najkraćih udaljenosti od koordinatnih osi do zadane točke. Najkraće udaljenosti su okomice. Udaljenosti duž okomica od koordinatnih osi do dane točke nazivaju se pravokutne koordinate te točke. Segmenti linije paralelni s osi x, nazivaju se koordinate xALI , i paralelne osi Y- koordinate naALI .
Četvrtine pravokutnog koordinatnog sustava su numerirane. Njihovo brojanje ide u smjeru kazaljke na satu od pozitivnog smjera x-osi - I, II, III, IV (slika 4.1).
Gore razmotrene pravokutne koordinate koriste se na ravnini. Otuda su i dobili ime ravne pravokutne koordinate. Ovaj koordinatni sustav koristi se u malim područjima terena, uzetih kao ravnina.

4.2. ZONALNI GAUSSOV PRAVOKUTNI KOORDINATNI SUSTAV

Pri razmatranju pitanja "Projekcije topografskih karata" primijećeno je da se Zemljina površina projicira na površinu valjka koji dodiruje Zemljinu površinu duž aksijalnog meridijana. U ovom slučaju na cilindar se ne projicira cijela površina Zemlje, već samo njezin dio, ograničen sa 3° zemljopisne dužine prema zapadu i 3° prema istoku od aksijalnog meridijana. Budući da svaka od Gaussovih projekcija prenosi na ravninu samo dio Zemljine površine, ograničen meridijanima kroz 6° zemljopisne dužine, tada treba napraviti ukupno 60 projekcija (60 zona) na Zemljinu površinu. U svakoj od 60 projekcija, a odvojeni sustav pravokutne koordinate.
U svakoj zoni, os x je srednji (aksijalni) meridijan zone, koji se nalazi 500 km zapadno od svog stvarnog položaja, a os Y- ekvator (slika 4.2).


Riža. 4.2. Pravokutni koordinatni sustav
na topografskim kartama

Sjecište produženog aksijalnog meridijana s ekvatorom bit će ishodište koordinata: x=0, y=0. Točka sjecišta ekvatora i stvarnog aksijalnog meridijana ima koordinate : x = 0, y = 500 km.
Svaka zona ima svoje porijeklo. Zone se broje od Greenwičkog meridijana prema istoku. Prva zona od šest stupnjeva nalazi se između Greenwich meridijana i meridijana s istočnom zemljopisnom dužinom 6º (aksijalni meridijan 3º). Druga zona je 6º E. - 12º E (aksijalni meridijan 9º). Treća zona - 12º E - 18º E (aksijalni meridijan 15º). Četvrta zona - 18º E - 24º E (aksijalni meridijan 21º), itd.
Broj zone naveden je u koordinati na prva znamenka. Na primjer, unos na = 4 525 340 znači da je navedena točka u četvrtoj zoni (prva znamenka) na udaljenosti 525 340 m od aksijalnog meridijana zone, koji se nalazi zapadno od 500 km.

Za određivanje broja zone zemljopisnim koordinatama potrebno je geografskoj dužini izraženoj cijelim brojem stupnjeva dodati 6 i dobiveni iznos podijeliti sa 6. Kao rezultat dijeljenja ostavljamo samo cijeli broj.

Primjer. Odredite broj Gaussove zone za točku koja ima istočnu dužinu od 18º10".
Riješenje. Cijelom broju stupnjeva zemljopisne dužine 18 dodajte 6 i zbroj podijelite sa 6
(18 + 6) / 6 = 4.
Naša karta je u četvrtoj zoni.

Poteškoće u korištenju zonskog koordinatnog sustava nastaju kada se topografski i geodetski radovi izvode u graničnim područjima koja se nalaze u dvije susjedne (susjedne) zone. Koordinatne linije takvih zona nalaze se pod kutom jedna prema drugoj (slika 4.3).

Kako bi se uklonile nastale komplikacije, pojas preklapanja zone , u kojem se koordinate točaka mogu izračunati u dva susjedna sustava. Širina preklapanja 4°, 2° u svakoj zoni.

Dodatna mreža na karti primjenjuje se samo u obliku ispusta njezinih linija između minutnog i vanjskog okvira. Njegova digitalizacija nastavak je digitalizacije mrežnih linija susjedne zone. Dodatne linije mreže potpisane su izvan vanjskog okvira lista. Posljedično, na listu karte koji se nalazi u istočnoj zoni, pri spajanju izlaza istoimene dodatne mreže, dobiva se kilometarska mreža zapadne zone. Pomoću ove mreže možete odrediti, na primjer, pravokutne koordinate točke NA u sustavu pravokutnih koordinata zapadne zone, tj. pravokutnih koordinata točaka ALI i NA dobit će se u istom koordinatnom sustavu zapadne zone.

Riža. 4.3. Dodatne kilometarske crte na granici zona

Na karti mjerila 1:10 000 dodatna mreža je podijeljena samo na one listove u kojima je istočni ili zapadni meridijan unutarnjeg okvira (trapezoidni okvir) granica zone. Na topografskim planovima ne primjenjuje se dodatna mreža.

4.3. ODREĐIVANJE PRAVOKUTNIH KOORDINATA UZ POMOĆ KOMPAS-MJERA.

Važan element topografska karta (plan) je pravokutna mreža. Na svim listovima ove zone od 6 stupnjeva, mreža se primjenjuje u obliku nizova linija, paralelno sa središnjim meridijanom i ekvatorom(Slika 4.2). Okomite linije mreže paralelne su s aksijalnim meridijanom zone, a vodoravne linije paralelne su s ekvatorom. Horizontalne kilometarske linije broje se odozdo prema gore, a okomite - slijeva nadesno .

Razmaci između linija na kartama mjerila 1:200 000 - 1:50 000 su 2 cm, 1:25 000 - 4 cm, 1:10 000 - 10 cm, što odgovara cijelom broju kilometara na tlu. Stoga se naziva i pravokutna mreža kilometar, a njegove linije su kilometar.
Kilometarske linije najbliže uglovima okvira lista karte označene su punim brojem kilometara, a ostale - s posljednje dvije znamenke. Natpis 60 65 (vidi sl. 4.4) na jednoj od vodoravnih linija znači da je ta linija udaljena 6065 km od ekvatora (prema sjeveru): natpis 43 07 na okomitoj crti znači da se nalazi u četvrtoj zoni i udaljena je 307 km od početka računanja ordinata prema istoku. Ako je troznamenkasti broj napisan malim brojevima u blizini okomite kilometarske crte, prva dva označavaju broj zone.

Primjer. Potrebno je odrediti pravokutne koordinate neke točke na karti, npr. točke državne geodetske mreže (GGS) s oznakom 214,3 (sl. 4.4). Prvo zapišite (u kilometrima) apscisu južne strane kvadrata u kojem se ta točka nalazi (tj. 6065). Zatim pomoću mjernog šestara i linearnog mjerila odredite duljinu okomice Δx= 550 m pubertetlija od dana točka na ovu liniju. Rezultirajuća vrijednost (in ovaj slučaj 550 m) dodaje se apscisi pravca. Broj 6 065 550 je apscisa x točka GGS.
Ordinata GGS točke jednaka je ordinati zapadne stranice istog kvadrata (4307 km), dodanoj duljini okomice Δy= 250 m mjereno na karti. Broj 4 307 250 je ordinata iste točke.
U nedostatku mjernog kompasa, udaljenosti se mjere ravnalom ili trakom papira..

x = 6065550, na= 4307250
Riža. 4.4. Određivanje pravokutnih koordinata pomoću linearnog mjerila

4.4. ODREĐIVANJE PRAVOKUTNIH KOORDINATA POMOĆU KOORDINATOMERA

Koordinator - mali kvadrat s dvije okomite stranice. Uz unutarnje rubove ravnala označena su mjerila čije su duljine jednake duljini stranice koordinatnih ćelija karte zadanog mjerila. Podjelke na koordinatnom metru prenose se iz linearnog mjerila karte.
Horizontalno mjerilo je poravnato s donjom crtom kvadrata (u kojem se nalazi točka), a okomito mjerilo mora prolaziti kroz tu točku. Vage određuju udaljenost od točke do kilometarskih linija.


x A = 6135 350 y A = 5577 710
Riža. 4.5. Određivanje kartezijevih koordinata pomoću koordinatora

4.5. PRIMJENA TOČAKA NA KARTI ZADANIM PRAVOKUTNIM KOORDINATAMA

Za ucrtavanje točke na karti prema zadanim pravokutnim koordinatama postupite na sljedeći način: u zapisu koordinata nalaze se dvoznamenkasti brojevi koji su skraćivali linije pravokutne mreže. Prema prvom broju, na karti se nalazi vodoravna linija mreže, prema drugom - okomita. Njihovo sjecište čini jugozapadni kut kvadrata u kojem se nalazi željena točka. Na istočnoj i zapadnoj strani kvadrata položena su dva jednaka segmenta s njegove južne strane koji u mjerilu karte odgovaraju broju metara na apscisi. x . Krajevi segmenata spojeni su ravnom crtom i na njoj je sa zapadne strane kvadrata položen segment koji odgovara broju metara na ordinati u mjerilu karte; kraj ovog segmenta je željena točka.

4.6. IZRAČUN RAVNIH PRAVOKUTNIH GAUSSOVIH KOORDINATA IZ GEOGRAFSKIH KOORDINATA

Ravne Gaussove Kartezijeve koordinate x i na vrlo teško povezati s geografskim koordinatama φ (geografska širina) i λ (geografske dužine) točke na zemljinoj površini. Pretpostavimo neku točku ALI ima geografske koordinate φ i λ . Budući da je razlika u duljinama graničnih meridijana zone 6 °, tada je za svaku od zona moguće dobiti dužine krajnjih meridijana: 1. zona (0 ° - 6 °), 2. zona (6° - 12°), 3. zona (12° - 18°) itd. Dakle, prema zemljopisna dužina bodova ALI možete odrediti broj zone u kojoj se nalazi ova točka. Dok je zemljopisna dužina λ os aksijalnog meridijana zone određuje se formulom
λ os = (6°n - 3°),
pri čemu n- broj zone.

Za definiranje planarnih pravokutnih koordinata x i na po geografskim koordinatama φ i λ koristit ćemo formule izvedene za referentni elipsoid Krasovskog (referentni elipsoid je lik što bliži liku Zemlje u onom njezinom dijelu na kojem se nalazi dato stanje, ili grupa država):

x = 6367558,4969 (φ radostan ) − (a 0 −l 2 N) sinφ cosφ (4.1)
na(l) = lNcosφ (4.2)

Formule (4.1) i (4.2) koriste sljedeće oznake:
y(l) - udaljenost od točke do aksijalnog meridijana zone;
l= (λ - λ os ) - razlika između dužina određene točke i aksijalnog meridijana zone);
φ radostan - širina točke, izražena u radijanima;
N = 6399698,902 - jer 2φ;
a 0 = 32140,404 - cos 2 φ;
a 3 = (0,3333333 + 0,001123 cos 2 φ) jer 2φ - 0,1666667;
a 4 = (0,25 + 0,00252 jer 2φ) jer 2φ - 0,04166;
a 5 = 0,0083 - jer 2φ;
a 6 \u003d (0,166 cos 2 φ - 0,084) cos 2 φ.
y" - udaljenost od aksijalnog meridijana prema zapadu od 500 km.

Prema formuli (4.1), vrijednost koordinate y(l) dobivaju se u odnosu na aksijalni meridijan zone, tj. može se dobiti s predznacima plus za istočni dio zone ili predznacima minus za zapadni dio zone. Za snimanje koordinata g u zonskom koordinatnom sustavu potrebno je izračunati udaljenost do točke od aksijalnog meridijana zone, 500 km zapadno (na"u stolu ) , a ispred dobivene vrijednosti dodijeliti broj zone. Na primjer, s obzirom na vrijednost
y(l)= -303678,774 m u zoni 47.
Zatim
na= 47 (500000.000 - 303678.774) = 47196321.226 m.
Za izračune koristimo proračunske tablice. MicrosoftXL .

Primjer. Izračunajte pravokutne koordinate točke koja ima geografske koordinate:
φ \u003d 47º02 "15.0543" N; λ = 65º01"38.2456"E

Za stol MicrosoftXL upisati početne podatke i formule (tab. 4.1).

Tablica 4.1.

D

E

F

Parametar

Računalstvo

tuča

φ (stupnjevi)

D2+E2/60+F2/3600

φ (rad)

RADIJANI (C3)

Cos 2 φ

broj zone

CIJELI BROJ((D8+6)/6)

λos (stupnjevi)

l (stupnjevi)

D11+E11/60+F11/3600

l (rad)

RADIJANI (C12)

6399698,902-((21562,267-
(108,973-0,612*C6^2)*C6^2))*C6^2

a 0

32140,404-((135,3302-
(0,7092-0,004*C6^2)*C6^2))*C6^2

a 4

=(0,25+0,00252*C6^2)*C6^2-0,04166

a 6

=(0,166*C6^2-0,084)*C6^2

a 3

=(0,3333333+0,001123*C6^2)*C6^2-0,1666667

a 5

0,0083-((0,1667-(0,1968+0,004*C6^2)*C6^2))*C6^2

6367558.4969*C4-(((C15-(((0,5+(C16+C17*C20)*C20))

*C20*C14)*C5*C6)

=((1+(C18+C19*C20)*C20))*C13*C14*C6

OKRUGLO((500000+C23);3)

SPAJANJE (C9; C24)

Prikaz tablice nakon izračuna (tab. 4.2).

Tablica 4.2.

Parametar

Računalstvo

tuča

φ (stupnjevi, min, sek)

φ (stupnjevi)

φ (radijani)

Cos 2 φ

λ (stupnjevi, min, sek)

Broj zone

λos (stupnjevi)

l (min, s)

l (stupnjevi)

l (radijani)

a 0

a 4

a 6

a 3

a 5


4.7. IZRAČUN GEOGRAFSKIH KOORDINATA IZ RAVNIH PRAVOKUTNIH GAUSSOVIH KOORDINATA

Za rješavanje ovog problema također se koriste formule za ponovni izračun dobivene za referentni elipsoid Krasovskog.
Pretpostavimo da trebamo izračunati geografske koordinate φ i λ bodova ALI svojim ravnim pravokutnim koordinatama x i na dane u zonskom koordinatnom sustavu. U ovom slučaju, vrijednost koordinate na snimljeno uz navođenje broja zone i uzimajući u obzir pomak aksijalnog meridijana zone prema zapadu za 500 km.
Pre po vrijednosti na pronaći broj zone u kojoj se nalazi određena točka, odrediti zemljopisnu dužinu prema broju zone λ o aksijalni meridijan i udaljenost od točke do zapadnog aksijalnog meridijana pronađite udaljenost y(l) od točke do aksijalnog meridijana zone (potonji može biti s predznakom plus ili minus).
Vrijednosti geografskih koordinata φ i λ u ravnim pravokutnim koordinatama x i na nalaze se formulama:
φ = φ x -z 2 b 2 p″ (4,3)
λ = λ 0 + l (4,4)
l = zρ″ (4.5)

U formulama (4.3) i (4.5):
φ x ″= β″ +(50221746 + cos 2 β)10-10sinβcosβ ρ″;
β″ = (X / 6367558,4969) ρ″; ρ″ = 206264.8062″ - broj sekundi u jednom radijanu
z = Y(L) / (Nx cos φx);
N x \u003d 6399698,902 - cos 2 φ x;
b 2 \u003d (0,5 + 0,003369 cos 2 φ x) sin φ x cos φ x;
b 3 \u003d 0,333333 - (0,166667 - 0,001123 cos2 φ x) cos2 φ x;
b 4 \u003d 0,25 + (0,16161 + 0,00562 cos 2 φ x) cos 2 φ x;
b 5 \u003d 0,2 - (0,1667 - 0,0088 cos 2 φ x) cos 2 φ x.

Za izračune koristimo proračunske tablice. MicrosoftXL .
Primjer. Izračunajte geografske koordinate točke iz pravokutnika:
x = 5213504,619; y = 11654079.966.

Za stol MicrosoftXL upisati početne podatke i formule (tab. 4.3).

Tablica 4.3.

1

Parametar

izračun

Grad.

Min.

Sek.

2

1

x

5213504,619

2

na

11654079,966

4

3

№*zone

AKO (C3<1000000;
C3/100000;C3/1000000)

5

4

broj zone

CIJELA(C4)

6

5

λoos

C5*6-3

7

6

na"

C3-C5*1000000

8

7

y(l)

C7-500000

9

8

ρ″

206264,8062

10

9

β"

C2/6367558.4969*C9

11

10

β rad

RADIJANI (C10/3600)

12

11

β

CIJELA
(C10/3600)

CIJELA
((C10-D12*3600)/60)

C10-D12*
3600-E12*60

13

12

Sin β

SIN(C11)

14

13

Cosβ

COS(C11)

15

14

Cos 2 β

C14^2

16

15

φ x "

C10+(((50221746+((293622+
(2350+22*C14^2)*C14^2))*C14^2)))
*10^-10*C13*C14*C9

17

16

φ x radostan

RADIJANI (C16/3600)

18

17

φ x

CIJELA
(C16/3600)

CIJELA
((C16-D18*3600)/60)

C16-D18*
3600-E18*60

19

18

Sin phi.

SIN(C17)

20

19

Cos φ x

COS(C17)

21

20

Cos 2 φ x

C20^2

22

21

N x

6399698,902-((21562,267-
(108.973-0.612*C21)*C21))*C21

23

22

Ν x Cosφ x

C22*C20

24

23

z

C8/(C22*C20)

25

24

z 2

C24^2

26

25

b 4

0,25+(0,16161+0,00562*C21)*C21

27

26

b 2

=(0,5+0,003369*C21)*C19*C20

28

27

b 3

0,333333-(0,166667-0,001123*C21)*C21

29

28

b 5

0,2-(0,1667-0,0088*C21)*C21

30

29

C16-((1-(C26-0.12
*C25)*C25))*C25*C27*C9

31

30

φ

=CIJELI BROJ
(C30/3600)

=CIJELI BROJ
((C30-D31*3600)/60)

=C30-D31*
3600-E31*60

32

31

ja"

=((1-(C28-C29*C25)*C25))*C24*C9

33

32

l 0

=CIJELI BROJ
(C32/3600)

=CIJELI BROJ
((C32-D33*3600)/60)

=C32-D33*
3600-E33*60

34

33

λ

C6+D33

Prikaz tablice nakon izračuna (tab. 4.4).

Tablica 4.4.

Parametar

izračun

Grad.

Broj zone*

Broj zone

λoos (stupnjevi)

na"

β rad

Cos 2 β

φ x "

φ x radostan

φ x

Cos φ x

Cos 2 φ x

N x

Ν x Cos φ x

z 2

b 4

b 2

b 3

b 5

φ

l 0

λ

Ako su izračuni ispravno napravljeni, kopirajte obje tablice na jedan list, sakrijte retke srednjih izračuna i stupac br. p / p i ostavite samo retke za unos početnih podataka i rezultata izračuna. Tablicu oblikujemo i prilagođavamo nazive kolona i stupaca po želji.

Radni listovi mogu izgledati ovako

Tablica 4.5.


Bilješke.
1. Ovisno o potrebnoj točnosti, možete povećati ili smanjiti dubinu bita.
2. Broj redaka u tablici može se smanjiti kombiniranjem izračuna. Na primjer, nemojte računati radijane kuta zasebno, već ih odmah zapišite u formulu =SIN(RADIANS(C3)).
3. Zaokruživanje u paragrafu 23 tablice. 4.1. proizvodimo za "kvačilo". Broj znamenki do kruga 3.
4. Ako ne promijenite format ćelija u stupcima "Grad" i "Min", tada ispred brojeva neće biti nula. Promjena formata ovdje je napravljena samo za vizualnu percepciju (odlukom autora) i ne utječe na rezultate izračuna.
5. Kako slučajno ne biste oštetili formule, trebali biste zaštititi tablicu: Alati / Zaštiti list. Prije zaštite označite ćelije za unos početnih podataka, a zatim: Format ćelije / Zaštita / Zaštićena ćelija - odznačite.

4.8. ODNOS RAVNINSKOG PRAVOKUTNOG I POLARNOG KOORDINATNOG SUSTAVA

Jednostavnost polarnog koordinatnog sustava i mogućnost njegove konstrukcije u odnosu na bilo koju točku na terenu, uzetu kao pol, doveli su do njegove široke upotrebe u topografiji. Da bi se međusobno povezali polarni sustavi pojedinih točaka terena, potrebno je prijeći na određivanje položaja potonjih u pravokutnom koordinatnom sustavu, koji se može proširiti na mnogo veće područje. Veza između dva sustava uspostavlja se rješavanjem direktnih i inverznih geodetskih problema.
Izravni geodetski problem sastoji se u određivanju koordinata krajnje točke NA (Sl. 4.4) linije AB duž svoje dužine G horizontalnad , smjerα i koordinate početne točke xALI , naALI .


Riža. 4.6. Rješenje izravnih i inverznih geodetskih zadataka

Dakle, ako uzmemo poantu ALI(sl. 4.4) za pol polarnog koordinatnog sustava, a pravac AB- za polarnu os paralelnu s osi OH, zatim polarne koordinate točke NA htjeti d i α . Potrebno je izračunati pravokutne koordinate ove točke u sustavu KAKO.

Od fig. 3.4 to pokazuje xNA razlikuje se od xALI po vrijednosti ( xNA - xALI ) = Δ xAB , a naNA razlikuje se od naALI po vrijednosti ( naNA - naALI ) = Δ naAB . Razlike u koordinatama finala NA i primarni ALI linije točkice AB Δ x i Δ na nazvao koordinatni prirast . Inkrementi koordinata su ortogonalne projekcije pravca AB na koordinatnoj osi. Koordinate xNA i naNA može se izračunati pomoću formula:

xNA = xALI + Δ xAB (4.1)
naNA = naALI + Δ naAB (4.2)

Vrijednosti priraštaja određuju se iz pravokutnog trokuta ASV prema danom d i α, budući da su priraštaji Δ x i Δ na su noge ovog pravokutnog trokuta:

Δ xAB =dcos α (4.3)
Δ naAB = dgrijeh α (4.4)

Predznak koordinatnih prirasta ovisi o kutu položaja.

Tablica 4.1.

Zamjenom vrijednosti priraštaja Δ xAB i Δ naAB u formule (3.1 i 3.2) dobivamo formule za rješavanje izravnog geodetskog problema:

xNA = xALI + dcos α (4.5)
naNA = naALI + dgrijeh α (4.6)

Inverzni geodetski problem je odrediti duljinu horizontalnog rasponada pravac α pravca AB prema zadanim koordinatama njegove početne točke A (xA, yA) i krajnje točke B (xB, yB). Kut smjera izračunava se iz krakova pravokutnog trokuta:

tgα = (4.7)

Horizontalni razmak d, određeno formulom:

d = (4.8)

Za rješavanje izravnih i inverznih geodetskih problema možete koristiti proračunske tablice Microsoft excel .

Primjer.
Bod je dat ALI sa koordinatama: xALI = 6068318,25; naALI = 4313450.37. Horizontalni razmak (d) između točke ALI i točka NA jednak 5248.36 m. Kut između sjevernog smjera osi OH i smjer do točke NA(kut položaja - α ) jednak je 30º.

Izračunajte pravokutne koordinate točke B(xNA ,naNA ).

Unos neobrađenih podataka i formula u proračunske tablice Microsoft Excel (tablica 4.2).

Tablica 4.2.

Početni podaci

xALI

naALI

Računalstvo

Δ xAB =d cos α

B4*COS(RADIJANI(B5))

Δ naAB = d sin α

B4*SIN(RADIJANI(B5))

xNA

naNA


Tablični prikaz nakon izračuna (tab. 4.3).

Tablica 4.3.

Početni podaci

xALI

naALI

Računalstvo

Δ xAB =d cos α

Δ naAB = d sin α

xNA

naNA

Primjer.
Daju se bodovi ALI i NA sa koordinatama:
xALI = 6068318,25; naALI = 4313450,37;
xNA = 6072863,46; naNA = 4313450,37.
Izračunajte horizontalnu udaljenost d između točke ALI i točka NA, a također i kut α između sjeverne osi OH i smjer do točke NA.
Unos neobrađenih podataka i formula u proračunske tablice Microsoft Excel (tab. 4.4).

Tablica 4.4.

Početni podaci

xALI

naALI

xNA

naNA

Računalstvo

ΔxAB

ΔyAB

KORIJEN(B7^2+B8^2)

Tangens

Arktangens

stupnjeva

STUPNJEVI (B11)

Izbor

IF(B12<0;B12+180;B12)

Kut položaja (stupnjevi)

AKO(B8<0;B13+180;B13)
Prikaz tablice nakon izračuna (tab. 4.5).

Tablica 4.5.

Početni podaci

xALI

naALI

xNA

naNA

Računalstvo

ΔxAB

ΔyAB

Tangens

Arktangens

stupnjeva

Izbor

Kut položaja (stupnjevi)

Ako vaši izračuni odgovaraju onima iz vodiča, sakrijte međuizračune, formatirajte i zaštitite proračunsku tablicu.

Video
Pravokutne koordinate

Pitanja i zadaci za samokontrolu

  1. Koje se veličine nazivaju pravokutnim koordinatama?
  2. Na kojoj površini se koriste pravokutne koordinate?
  3. Što je bit zonskog sustava pravokutnih koordinata?
  4. Koji je broj zone od šest stupnjeva u kojoj se nalazi grad Lugansk s koordinatama: 48°35′ N.L. 39°20′ istočno
  5. Izračunajte dužinu aksijalnog meridijana zone od šest stupnjeva u kojoj se nalazi grad Lugansk.
  6. Kako se broje x i y koordinate u Gaussovom pravokutnom koordinatnom sustavu?
  7. Objasniti postupak određivanja pravokutnih koordinata na topografskoj karti pomoću mjernog šestara.
  8. Objasniti postupak određivanja pravokutnih koordinata na topografskoj karti pomoću koordinatnog metra.
  9. Što je bit izravnog geodetskog problema?
  10. Što je bit inverznog geodetskog problema?
  11. Koliki je prirast koordinata?
  12. Definirajte sinus, kosinus, tangens i kotangens kuta.
  13. Kako se Pitagorin poučak o odnosu stranica pravokutnog trokuta može primijeniti u topografiji?

1.10. PRAVOKUTNE KOORDINATE NA KARTI

Pravokutne koordinate (ravna) - linearne veličine: apscisa x i ordinataY ,određivanje položaja točaka na ravnini (na karti) u odnosu na dvije međusobno okomite osi x iY(slika 14). Apscisa x i ordinataYbodova ALI- udaljenosti od ishodišta koordinata do osnovica okomica spuštenih s točke ALI na odgovarajućim osima, označavajući znak.

Riža. četrnaest.Pravokutne koordinate

U topografiji i geodeziji, kao i na topografskim kartama, orijentacija se provodi duž sjevera, računajući kutove u smjeru kazaljke na satu, stoga se, kako bi se sačuvali znakovi trigonometrijskih funkcija, položaj koordinatnih osi, usvojen u matematici, rotira za 90°.

Pravokutne koordinate na topografskim kartama SSSR-a primijenjen na koordinatne zone. Koordinatne zone - dijelovi zemljine površine ograničeni meridijanima s dužinom koja je višestruka od 6 °. Prva zona ograničena je meridijanima 0° i 6°, druga - b" i 12°, treća - 12° i 18° itd.

Zone se broje od griničkog meridijana od zapada prema istoku. Teritorij SSSR-a nalazi se u 29 zona: od 4. do 32. uključivo. Duljina svake zone od sjevera prema jugu je oko 20.000 km.Širina zone na ekvatoru je oko 670 km, na geografskoj širini 40°- 510 km, t zemljopisna širina 50°-430 km, na geografskoj širini 60°-340 km.

Sve topografske karte unutar određene zone imaju zajednički sustav pravokutnih koordinata. Ishodište koordinata u svakoj zoni je točka sjecišta srednjeg (aksijalnog) meridijana zone s ekvatorom (slika 15), srednji meridijan zone odgovara


Riža. petnaest.Sustav pravokutnih koordinata na topografskim kartama: a-jedna zona; b-dijelovi zone

apscisne osi, a ekvator - ordinatne osi. S takvim rasporedom koordinatnih osi, apscise točaka koje se nalaze južno od ekvatora i ordinate točaka koje se nalaze zapadno od srednjeg meridijana imat će negativne vrijednosti. Radi praktičnosti korištenja koordinata na topografskim kartama, usvojen je uvjetni račun ordinata, isključujući negativne vrijednosti ordinata. To se postiže činjenicom da se ordinate ne broje od nule, već od vrijednosti 500 km, Odnosno, ishodište koordinata u svakoj zoni je takoreći pomaknuto za 500 km lijevo duž osiY .Osim toga, za nedvosmisleno određivanje položaja točke u pravokutnim koordinatama na globusu prema koordinatnoj vrijednostiYbroj zone je dodijeljen lijevo (jednoznamenkasti ili dvoznamenkasti broj).

Odnos između uvjetnih koordinata i njihovih stvarnih vrijednosti izražava se formulama:

X" \u003d X-, Y \u003d U- 500 000,

gdje x" i Y"-realne vrijednosti ordinata;X , Y -uvjetne vrijednosti ordinata. Na primjer, ako točka ima koordinate

X = 5 650 450: Y= 3 620 840,

onda to znači da se točka nalazi u trećoj zoni na udaljenosti od 120 km 840 m od srednjeg meridijana zone (620840-500000) i sjeverno od ekvatora na udaljenosti od 5650 km 450 m.

Pune koordinate - pravokutne koordinate napisane (imenovane) u cijelosti, bez ikakvih kratica. U gornjem primjeru dane su pune koordinate objekta:

x = 5 650 450; Y= 3620 840.

Skraćene koordinate koriste se za ubrzavanje označavanja cilja na topografskoj karti, u ovom slučaju su naznačene samo desetke i jedinice kilometara i metara. Na primjer, skraćene koordinate određenog objekta bile bi:

X = 50 450; Y = 20 840.

Skraćene koordinate se ne mogu koristiti pri gađanju na spoju koordinatnih zona i ako područje djelovanja obuhvaća prostor duljine veće od 100 km zemljopisnom širinom ili dužinom.

Koordinatna (kilometarska) mreža - mreža kvadrata na topografskim kartama, koju čine vodoravne i okomite crte povučene paralelno s osi pravokutnih koordinata u određenim razmacima (tablica 5). Te se linije nazivaju kilometrima. Koordinatna mreža je namijenjena za određivanje koordinata objekata i ucrtavanje objekata na karti po njihovim koordinatama, za označavanje cilja, orijentaciju karte, mjerenje direkcijskih kutova te za približno određivanje udaljenosti i površina.

Tablica 5. Koordinatne mreže na kartama

Mjerila karte

Veličine stranica kvadrata

površina kvadrata, kvadrat km

na karti, cm

na tlu, km

1:25 000

1

1:50 000

1:100 000

1:200 000

Na karti u mjerilu 1:500 000 koordinatna mreža nije prikazana u potpunosti; samo izlazi kilometarskih linija naneseni su na strane okvira (nakon 2 cm). Ako je potrebno, pomoću ovih izlaza na karti se može nacrtati koordinatna mreža.

Kilometarske linije na kartama označene su na svojim izlazima izvan igrališta i na nekoliko raskrižja unutar lista (slika 16). Kilometarske linije koje su krajnje na listu karte potpisane su u cijelosti, ostale su skraćene, s dvije znamenke (to jest, naznačene su samo desetice i jedinice kilometara). Potpisi u blizini vodoravnih linija odgovaraju udaljenostima od y-osi (ekvatora) u kilometrima. Na primjer, natpis 6082 u gornjem desnom kutu pokazuje da je ova linija udaljena 6082 od ekvatora km.

Okomite crte označavaju broj zone (jedna ili dvije prve znamenke) i udaljenost u kilometrima (uvijek tri znamenke) od ishodišta koordinata, uvjetno pomaknutih zapadno od srednjeg meridijana za 500 km. Na primjer, potpis 4308 u donjem lijevom kutu znači: 4 - broj zone, 308 - udaljenost od uvjetnog ishodišta u kilometrima.

Dodatna koordinatna (kilometarska) mreža može se ucrtati na topografskim kartama u mjerilu 1:25 000, 1:50 000, 1:100 000 i 1:200 000 na izlazima kilometarskih crta u susjednoj zapadnoj ili istočnoj zoni. Izlazi kilometarskih linija u obliku crtica s odgovarajućim potpisima dani su na kartama koje se nalaze na udaljenosti od 2 ° istočno i zapadno od graničnih meridijana zone.


riža. 16.Koordinatna (kilometarska) mreža na listu karte

Dodatna koordinatna mreža služi za pretvaranje koordinata jedne zone u koordinatni sustav druge, susjedne zone.

Na sl. 17 crtica na vanjskoj strani zapadnog okvira sa signaturama 81.6082 i na sjevernoj strani okvira sa signaturama 3693, 94, 95 itd. označavaju izlaze kilometarskih linija u koordinatnom sustavu susjedne (treće) zone. Po potrebi se na listu karte iscrtava dodatna koordinatna mreža spajanjem istoimenih crtica na suprotnim stranama okvira. Novoizgrađena mreža je nastavak kilometarske mreže lista karte susjedne zone i mora se s njom potpuno poklapati (stopiti) prilikom lijepljenja karte.

Koordinatna mreža zapadne (3.) zone

Riža. 17. Dodatna koordinatna mreža

Poglavlje I. Vektori u ravnini i prostoru

§ 13. Prijelaz iz jednog pravokutnog Kartezijevog koordinatnog sustava u drugi

Nudimo vam da razmotrite ovu temu u dvije verzije.

1) Na temelju udžbenika I.I. Privalova "Analitička geometrija" (udžbenik za više tehničke obrazovne ustanove, 1966.)

I.I. Privalov "Analitička geometrija"

§ 1. Problem transformacije koordinata.

Položaj točke na ravnini određen je dvjema koordinatama u odnosu na neki koordinatni sustav. Koordinate točke će se promijeniti ako odaberemo drugi koordinatni sustav.

Zadatak transformacije koordinata je da da, znajući koordinate točke u jednom koordinatnom sustavu, pronađe njezine koordinate u drugom sustavu.

Ovaj problem ćemo riješiti ako uspostavimo formule koje povezuju koordinate proizvoljne točke u dva sustava, a koeficijenti tih formula će uključivati ​​konstantne vrijednosti koje određuju međusobni položaj sustava.

Neka su dana dva kartezijanska koordinatna sustava hoj i XO 1Y(Slika 68).

Položaj novog sustava XO 1Y u odnosu na stari sustav hoj odredit će se ako su koordinate poznate a i b Novi početak O 1 po starom sustavu i kut α između osovina Oh i Oko 1 X. Označimo sa x i na koordinate proizvoljne točke M u odnosu na stari sustav, kroz X i Y-koordinate iste točke u odnosu na novi sustav. Naš zadatak je napraviti stare koordinate x i na izraženo u terminima novih X i Y. Rezultirajuće transformacijske formule moraju očito uključivati ​​konstante a, b i α .

Rješenje ovog općeg problema ćemo dobiti razmatranjem dva posebna slučaja.

1. Ishodište koordinata se mijenja, a smjerovi osi ostaju nepromijenjeni ( α = 0).

2. Mijenjaju se smjerovi osi, a ishodište koordinata ostaje nepromijenjeno ( a = b = 0).

§ 2. Prijenos podrijetla.

Neka su dana dva sustava kartezijevih koordinata s različitim ishodištima O i O 1 a isti smjerovi osi (slika 69).

Označimo sa a i b koordinate novog početka oko 1 u starom sustavu i kroz x, y i x, Y-koordinate proizvoljne točke M, redom, u starom i novom sustavu. Projiciranje točke M na os Oko 1 X i Oh, kao i točka oko 1 po osovini Oh, dolazimo na os Oh tri točkice Oh, a i R. Vrijednosti segmenata OA, AR i ILI povezani su sljedećim odnosom:

| OA| + | AR | = | ILI |. (1)

Primijetivši da | | OA| = a , | ILI | = x , | AR | = | O 1 R 1 | = x, jednakost (1) prepisujemo u obliku:

a + x = x ili x = x + a . (2)

Slično, projiciranje M i oko 1 na y-osi, dobivamo:

g = Y + b (3)

Tako, stara koordinata je jednaka novoj plus koordinata novog ishodišta prema starom sustavu.

Iz formula (2) i (3) nove koordinate se mogu izraziti preko starih:

x = x - a , (2")

Y = y-b . (3")

§ 3. Rotacija koordinatnih osi.

Neka su dana dva kartezijanska koordinatna sustava s istim ishodištem O a različiti smjerovi osi (slika 70).

Neka α je kut između osi Oh i OH. Označimo sa x, y i X, Y koordinate proizvoljne točke M, redom, u starom i novom sustavu:

x = | ILI | , na = | PM | ,

x= | ILI 1 |, Y= | R 1 M |.

Razmotrimo isprekidanu liniju ILI 1 MP i uzeti njegovu projekciju na os Oh. Uočivši da je projekcija izlomljene crte jednaka projekciji završnog segmenta (poglavlje I, § 8), imamo:

ILI 1 MP = | ILI |. (4)

S druge strane, projekcija izlomljene crte jednaka je zbroju projekcija njezinih karika (poglavlje I, § 8); stoga će jednakost (4) biti zapisana na sljedeći način:

itd ILI 1+ pr R 1 M+ pr MP= | ILI | (4")

Budući da je projekcija usmjerenog segmenta jednaka njegovoj vrijednosti pomnoženoj s kosinusom kuta između osi projekcije i osi na kojoj segment leži (poglavlje I, § 8), tada

itd ILI 1 = x cos α

itd R 1 M = Y cos (90° + α ) = - Y grijeh α ,

pr MP= 0.

Stoga nam jednakost (4") daje:

x = x cos α - Y grijeh α . (5)

Slično, projiciranje iste izlomljene linije na os OU, dobivamo izraz za na. Doista, imamo:

itd ILI 1+ pr R 1 M+ pr MP= pr ILI = 0.

Primijetivši to

itd ILI 1 = x cos( α - 90°) = x grijeh α ,

itd R 1 M = Y cos α ,

pr MP = - g ,

imat će:

x grijeh α + Y cos α - g = 0,

g = x grijeh α + Y cos α . (6)

Iz formula (5) i (6) dobivamo nove koordinate x i Y izraženo kroz staro x i na , ako jednadžbe (5) i (6) riješimo s obzirom na x i Y.

Komentar. Formule (5) i (6) mogu se dobiti različito.

Od fig. 71 imamo:

x = OP = OM cos ( α + φ ) = OM cos α cos φ - OM grijeh α grijeh φ ,

na = PM = OM sin ( α + φ ) = OM grijeh α cos φ + OM cos α grijeh φ .

Budući da (Ch. I, § 11) OM cos φ = x, OM grijeh φ =Y, onda

x = x cos α - Y grijeh α , (5)

g = x grijeh α + Y cos α . (6)

§ 4. Opći slučaj.

Neka su dana dva kartezijanska koordinatna sustava s različitim ishodištima i različitim smjerovima osi (slika 72).

Označimo sa a i b koordinate novog početka O, po starom sistemu, kroz α - kut rotacije koordinatnih osi i, konačno, kroz x, y i X, Y- koordinate proizvoljne točke M, prema starom i novom sustavu.

Izraziti x i na kroz x i Y, uvodimo pomoćni koordinatni sustav x 1 O 1 g 1 , čiji početak stavljamo u novi početak O 1 , i uzmite smjerove osi da se podudaraju sa smjerovima starih osi. Neka x 1 i g 1 označavaju koordinate točke M u odnosu na ovaj pomoćni sustav. Prelazeći sa starog koordinatnog sustava na pomoćni, imamo (§ 2):

x = x 1 + a , y = y 1 +b .

x 1 = x cos α - Y grijeh α , g 1 = x grijeh α + Y cos α .

Zamjena x 1 i g 1 u prethodnim formulama njihovim izrazima iz zadnjih formula konačno nalazimo:

x = x cos α - Y grijeh α + a

g = x grijeh α + Y cos α + b (ja)

Formule (I) sadrže, kao poseban slučaj, formule §§ 2 i 3. Dakle, za α = 0 formule (I) pretvaraju se u

x = x + a , g = Y + b ,

i kod a = b = 0 imamo:

x = x cos α - Y grijeh α , g = x grijeh α + Y cos α .

Iz formula (I) dobivamo nove koordinate x i Y izraženo kroz staro x i na ako su jednadžbe (I) rješive u odnosu na x i Y.

Napominjemo vrlo važno svojstvo formula (I): one su linearne u odnosu na x i Y, tj. oblika:

x = AX+BY+C, g = A 1 X+B 1 Y+C 1 .

Lako je provjeriti da su nove koordinate x i Y izražen kroz staro x i na također formule prvog stupnja s obzirom na x i g.

G.N. Yakovlev "Geometrija"

§ 13. Prijelaz iz jednog pravokutnog Kartezijevog koordinatnog sustava u drugi

Odabirom pravokutnog Kartezijevog koordinatnog sustava uspostavlja se jednoznačna korespondencija između točaka ravnine i uređenih parova realnih brojeva. To znači da svaka točka ravnine odgovara jednom paru brojeva, a svaki uređeni par realnih brojeva odgovara jednoj točki.

Izbor jednog ili drugog koordinatnog sustava nije ničim ograničen i određen je u svakom pojedinom slučaju samo razmatranjima pogodnosti. Često se isti skup mora razmatrati u različitim koordinatnim sustavima. Jedna te ista točka u različitim sustavima očito ima različite koordinate. Skup točaka (osobito kružnica, parabola, pravac) u različitim koordinatnim sustavima dan je različitim jednadžbama.

Otkrijmo kako se koordinate točaka ravnine transformiraju pri prijelazu iz jednog koordinatnog sustava u drugi.

Neka su na ravnini dana dva pravokutna koordinatna sustava: O, i J i o", i J" (Slika 41).

Prvi sustav s ishodištem u točki O i baznim vektorima i i j pristajemo nazvati staru, drugu - s početkom u točki O" i osnovnim vektorima ja" i j" - novi.

Položaj novog sustava u odnosu na stari smatrat ćemo poznatim: neka točka O" u starom sustavu ima koordinate ( a;b ), vektor ja" oblici s vektorom i kutak α . Kutak α računajući u suprotnom smjeru od kretanja kazaljke na satu.

Promotrimo proizvoljnu točku M. Označimo njene koordinate u starom sustavu kroz ( x;y ), u novom - kroz ( x"; y" ). Naš zadatak je utvrditi odnos između stare i nove koordinate točke M.

Spojimo u paru točke O i O", O" i M, O i M. Prema pravilu trokuta dobivamo

OM > = oo" > + O"M > . (1)

Rastavimo vektore OM> i oo"> baznim vektorima i i j , i vektor O"M> baznim vektorima ja" i j" :

OM > = x i+y j , oo" > = a i+b j , O"M > = x" i"+y" j "

Sada se jednakost (1) može napisati na sljedeći način:

x i+y j = (a i+b j ) + (x" i"+y" j "). (2)

Novi bazni vektori ja" i j" proširen preko starih baznih vektora i i j na sljedeći način:

ja" = cos α i + grijeh α j ,

j" = cos ( π / 2 + α ) i + grijeh ( π / 2 + α ) j = - grijeh α i + cos α j .

Zamjena pronađenih izraza za ja" i j" u formulu (2), dobivamo vektorsku jednakost

x i+y j = a i+b j + X"(cos α i + grijeh α j ) + na"(-grijeh α i + cos α j )

ekvivalentno dvama brojčane jednakosti:

x = a + X" cos α - na" grijeh α ,
na = b+ X" grijeh α + na" cos α

Formule (3) daju tražene izraze za stare koordinate x i na pokazuje kroz svoje nove koordinate X" i na". Da bi se pronašli izrazi za nove koordinate u odnosu na stare, dovoljno je riješiti sustav jednadžbi (3) s obzirom na nepoznanice X" i na".

Dakle, koordinate točaka pri pomicanju ishodišta u točku ( a; b ) i zakrenuti osi za kut α transformiraju se formulama (3).

Ako se mijenja samo ishodište koordinata, a smjerovi osi ostaju isti, tada, uz pretpostavku u formulama (3) α = 0, dobivamo

Formule (5) nazivaju se formule rotacije.

Zadatak 1. Neka su koordinate novog početka u starom sustavu (2; 3), a koordinate točke A u starom sustavu (4; -1). Pronađite koordinate točke A u novi sustav ako smjerovi osi ostanu isti.

Prema formulama (4) imamo

Odgovor. A(2;-4)

Zadatak 2. Neka su koordinate točke P u starom sustavu (-2; 1), au novom sustavu, čiji su pravci osi isti, koordinate te točke (5; 3). Pronađite koordinate novog početka u starom sustavu.

I Prema formulama (4) dobivamo

- 2= a + 5
 1 = b + 3

gdje a = - 7, b = - 2.

Odgovor. (-7; -2).

Zadatak 3. Koordinate točke A u novom sustavu (4; 2). Nađite koordinate te točke u starom sustavu, ako je ishodište ostalo isto, a koordinatne osi starog sustava su zakrenute za kut α = 45°.

Formulama (5) nalazimo

Zadatak 4. Koordinate točke A u starom sustavu (2 √3 ; - √3 ). Nađite koordinate te točke u novom sustavu, ako je ishodište starog sustava pomaknuto u točku (-1;-2), a osi zakrenute za kut α = 30°.

Prema formulama (3) imamo

Rješavanje ovog sustava jednadžbi za X" i na", pronašli smo: X" = 4, na" = -2.

Odgovor. A(4;-2).

Zadatak 5. S obzirom na jednadžbu pravca na = 2x - 6. Pronađite jednadžbu istog pravca u novom koordinatnom sustavu koji je dobiven iz starog sustava zakretanjem osi za kut. α = 45°.

Formule rotacije u ovom slučaju imaju oblik

Zamjena pravca u jednadžbi na = 2x - 6 starih varijabli x i na novo, dobivamo jednadžbu

√ 2 / 2 (x" + y") = 2 √ 2 / 2 (x" - y") - 6 ,

koja nakon pojednostavljenja poprima oblik y" = x" / 3 - 2√2

Za rješavanje većine problema u primijenjenim znanostima potrebno je poznavati položaj objekta ili točke koji se određuje pomoću jednog od prihvaćenih koordinatnih sustava. Osim toga, postoje sustavi nadmorske visine koji također određuju visinski položaj točke na

Što su koordinate

Koordinate su numeričke ili doslovne vrijednosti koje se mogu koristiti za određivanje položaja točke na terenu. Kao posljedica toga, koordinatni sustav je skup vrijednosti iste vrste koje imaju isti princip za pronalaženje točke ili objekta.

Pronalaženje položaja točke potrebno je za rješavanje mnogih praktičnih problema. U znanosti kao što je geodezija, lociranje točke u određenom prostoru je glavni cilj na kojoj se temelji sav kasniji rad.

Većina koordinatnih sustava, u pravilu, definira položaj točke na ravnini ograničenoj samo s dvije osi. Za određivanje položaja točke u trodimenzionalnom prostoru koristi se i sustav visina. Uz njegovu pomoć možete saznati točnu lokaciju željenog objekta.

Ukratko o koordinatnim sustavima koji se koriste u geodeziji

Koordinatni sustavi određuju položaj točke na teritoriju dajući joj tri vrijednosti. Načela njihova izračuna su različita za svaki koordinatni sustav.

Glavni prostorni koordinatni sustavi koji se koriste u geodeziji:

  1. Geodetski.
  2. Geografski.
  3. Polarni.
  4. Pravokutan.
  5. Zonske Gauss-Krugerove koordinate.

Svi sustavi imaju svoje polazište, vrijednosti za lokaciju objekta i opseg.

Geodetske koordinate

Glavni lik koji se koristi za očitavanje geodetskih koordinata je Zemljin elipsoid.

Elipsoid je trodimenzionalni komprimirani lik koji najbolji način predstavlja lik globusa. Zbog činjenice da je globus matematički neispravan lik, umjesto njega se za određivanje geodetskih koordinata koristi elipsoid. To olakšava provedbu mnogih izračuna za određivanje položaja tijela na površini.

Geodetske koordinate definiraju tri vrijednosti: geodetska širina, dužina i nadmorska visina.

  1. Geodetska širina je kut čiji početak leži na ravnini ekvatora, a kraj leži na okomici povučenoj na željenu točku.
  2. Geodetska dužina je kut koji se mjeri od nultog meridijana do meridijana na kojem se nalazi željena točka.
  3. Geodetska visina – vrijednost normale povučene na površinu elipsoida Zemljine rotacije iz dane točke.

Zemljopisne koordinate

Za rješavanje problema visoke geodezije visoke preciznosti potrebno je razlikovati geodetske i geografske koordinate. U sustavu koji se koristi u inženjerskoj geodeziji takvih razlika, zbog malog prostora obuhvaćenog radom, u pravilu nema.

Za određivanje geodetskih koordinata kao referentna ravnina koristi se elipsoid, a za određivanje geografskih koordinata geoid. Geoid je matematički neispravan lik koji je bliži stvarnom liku Zemlje. Pod njegovom ravnom površinom smatra se ona koja se u mirnom stanju nastavlja ispod razine mora.

Geografski koordinatni sustav koji se koristi u geodeziji opisuje položaj točke u prostoru s tri vrijednosti. zemljopisna dužina poklapa se s geodetskom, jer će se referentna točka također zvati Greenwich. Prolazi kroz istoimenu zvjezdarnicu u gradu Londonu. određena iz ekvatora nacrtanog na površini geoida.

Visina u lokalnom koordinatnom sustavu koji se koristi u geodeziji mjeri se od razine mora u mirnom stanju. Na području Rusije i zemalja bivše Unije, oznaka prema kojoj se određuju visine je Kronstadtska stopa. Nalazi se na razini Baltičkog mora.

Polarne koordinate

Polarni koordinatni sustav koji se koristi u geodeziji ima i druge nijanse proizvoda mjerenja. Koristi se na malim područjima terena za određivanje relativnog položaja točke. Referentna točka može biti bilo koji objekt označen kao izvor. Dakle, pomoću polarnih koordinata nemoguće je odrediti nedvosmisleno mjesto točke na teritoriju globusa.

Polarne koordinate definiraju dvije veličine: kut i udaljenost. Kut se mjeri od sjevernog smjera meridijana do određene točke, određujući njen položaj u prostoru. Ali jedan kut neće biti dovoljan, pa se uvodi radijus vektor - udaljenost od točke stajanja do željenog objekta. Pomoću ove dvije opcije možete odrediti lokaciju točke u lokalnom sustavu.

Obično se ovaj koordinatni sustav koristi za izvođenje inženjerski rad održava na malom prostoru.

Pravokutne koordinate

Pravokutni koordinatni sustav koji se koristi u geodeziji koristi se i na malim površinama terena. Glavni element sustava je koordinatna os s koje se vrši referenca. Koordinate točke nalaze se kao duljine okomica povučenih s apscisne i ordinatne osi na željenu točku.

Smjer sjevera x-osi i istok y-osi smatra se pozitivnim, a južni i zapadni su negativni. Ovisno o predznacima i četvrtima određuje se položaj točke u prostoru.

Gauss-Krugerove koordinate

Gauss-Krugerov koordinatni zonski sustav sličan je pravokutnom. Razlika je u tome što se može primijeniti na cijelom teritoriju zemaljske kugle, a ne samo na malim područjima.

Pravokutne koordinate Gauss-Krugerovih zona zapravo su projekcija globusa na ravninu. Nastala je u praktične svrhe za prikazivanje velikih područja Zemlje na papiru. Izobličenja prijenosa smatraju se beznačajnima.

Prema ovom sustavu, globus je podijeljen zemljopisnom dužinom u zone od šest stupnjeva s aksijalnim meridijanom u sredini. Ekvator je u središtu duž vodoravne linije. Kao rezultat toga, postoji 60 takvih zona.

Svaka od šezdeset zona ima svoj sustav pravokutnih koordinata, mjerenih duž ordinatne osi od X, i duž apscise - od područja zemljinog ekvatora Y. Da bi se nedvosmisleno odredio položaj na teritoriju cijelog svijeta, broj zone stavlja se ispred vrijednosti X i Y.

Vrijednosti x-osi u Rusiji su obično pozitivne, dok vrijednosti y mogu biti negativne. Kako bi se izbjegao znak minus u vrijednostima osi apscise, aksijalni meridijan svake zone uvjetno je pomaknut 500 metara prema zapadu. Tada sve koordinate postaju pozitivne.

Gauss je predložio koordinatni sustav kao mogući, a Krüger ga je matematički izračunao sredinom dvadesetog stoljeća. Od tada se koristi u geodeziji kao jedan od glavnih.

Visinski sustav

Sustavi koordinata i visina koji se koriste u geodeziji koriste se za točno određivanje položaja točke na Zemlji. Apsolutne visine mjere se od razine mora ili druge površine koja se uzima kao izvornik. Osim toga, postoje relativne visine. Potonji se računaju kao višak od željene točke do bilo koje druge. Pogodno ih je koristiti za rad u lokalnom koordinatnom sustavu kako bi se pojednostavila kasnija obrada rezultata.

Primjena koordinatnih sustava u geodeziji

Osim navedenih, u geodeziji se koriste i drugi koordinatni sustavi. Svaki od njih ima svoje prednosti i nedostatke. Postoje i vlastita područja rada za koja je relevantna ova ili ona metoda određivanja lokacije.

Svrha rada je ta koja određuje koje koordinatne sustave koji se koriste u geodeziji je najbolje koristiti. Za rad u malim područjima prikladno je koristiti pravokutne i polarne koordinatne sustave, a za rješavanje problema velikih razmjera potrebni su sustavi koji omogućuju pokrivanje cijelog teritorija zemljine površine.

Pročitajte također