Nastavljamo razgovor o formulama koje se najčešće koriste u trigonometriji. Najvažnije od njih su adicijske formule.

Definicija 1

Formule zbrajanja omogućuju vam da izrazite funkcije razlike ili zbroja dvaju kutova pomoću trigonometrijskih funkcija tih kutova.

Za početak ćemo predstaviti puni popis adicijskih formula, zatim ćemo ih dokazati i analizirati nekoliko ilustrativnih primjera.

Yandex.RTB R-A-339285-1

Osnovne adicijske formule u trigonometriji

Postoji osam osnovnih formula: sinus zbroja i sinus razlike dvaju kutova, kosinus zbroja i razlike, tangens i kotangens zbroja i razlike. Ispod su njihove standardne formulacije i izračuni.

1. Sinus zbroja dvaju kutova može se dobiti na sljedeći način:

Izračunavamo umnožak sinusa prvog kuta s kosinusom drugog kuta;

Pomnožite kosinus prvog kuta sa sinusom prvog kuta;

Zbrojite dobivene vrijednosti.

Grafički zapis formule izgleda ovako: sin (α + β) = sin α cos β + cos α sin β

2. Sinus razlike izračunava se gotovo na isti način, samo se dobiveni produkti ne smiju zbrajati, već međusobno oduzimati. Dakle, izračunavamo umnoške sinusa prvog kuta s kosinusom drugog i kosinusa prvog kuta s sinusom drugog kuta i nalazimo njihovu razliku. Formula se piše ovako: sin (α - β) = sin α cos β + sin α sin β

3. Kosinus zbroja. Za njega nalazimo umnoške kosinusa prvog kuta s kosinusom drugog i sinusa prvog kuta s sinusom drugog kuta, te nalazimo njihovu razliku: cos (α + β) = cos α cos β - sin α sin β

4. Razlika kosinusa: izračunavamo umnoške sinusa i kosinusa zadanih kutova, kao i prije, te ih zbrajamo. Formula: cos (α - β) = cos α cos β + sin α sin β

5. Tangens zbroja. Ova se formula izražava razlomkom u čijem je brojniku zbroj tangensa traženih kutova, a u nazivniku jedinica od koje se oduzima umnožak tangensa traženih kutova. Iz njenog grafičkog zapisa sve je jasno: t g (α + β) = t g α + t g β 1 - t g α t g β

6. Tangens razlike. Izračunavamo vrijednosti razlike i umnoška tangenti tih kutova i postupamo s njima na sličan način. U nazivniku zbrajamo jedan, a ne obrnuto: t g (α - β) = t g α - t g β 1 + t g α t g β

7. Kotangens zbroja. Za izračune pomoću ove formule potreban nam je umnožak i zbroj kotangenata ovih kutova, s kojim postupamo na sljedeći način: c t g (α + β) = - 1 + c t g α c t g β c t g α + c t g β

8. Kotangens razlike . Formula je slična prethodnoj, ali u brojniku i nazivniku - minus, a ne plus c t g (α - β) = - 1 - c t g α c t g β c t g α - c t g β.

Vjerojatno ste primijetili da su ove formule u paru slične. Koristeći znakove ± (plus-minus) i ∓ (minus-plus), možemo ih grupirati radi lakšeg označavanja:

sin (α ± β) = sin α cos β ± cos α sin β cos (α ± β) = cos α cos β ∓ sin α sin β t g (α ± β) = t g α ± t g β 1 ∓ t g α t g β c t g (α ± β) = - 1 ± c t g α c t g β c t g α ± c t g β

Prema tome, imamo jednu formulu za snimanje zbroja i razlike svake vrijednosti, samo u jednom slučaju obraćamo pažnju na gornji znak, u drugom - na donji.

Definicija 2

Možemo uzeti bilo koje kutove α i β, a formule zbrajanja za kosinus i sinus će raditi za njih. Ako možemo ispravno odrediti vrijednosti tangensa i kotangensa ovih kutova, tada će za njih vrijediti i formule zbrajanja za tangens i kotangens.

Kao i većina pojmova u algebri, formule zbrajanja mogu se dokazati. Prva formula koju ćemo dokazati je formula kosinusa razlike. Iz toga možete lako zaključiti ostatak dokaza.

Pojasnimo osnovne pojmove. Trebamo jedinični krug. Ispostavit će se ako uzmemo određenu točku A i zakrenemo oko središta (točke O) kutove α i β. Tada će kut između vektora O A 1 → i O A → 2 biti jednak (α - β) + 2 π z ili 2 π - (α - β) + 2 π z (z je bilo koji cijeli broj). Rezultirajući vektori tvore kut koji je jednak α - β ili 2 π - (α - β) , ili se može razlikovati od ovih vrijednosti za cijeli broj potpunih okretaja. Pogledajte sliku:

Koristili smo formule redukcije i dobili sljedeće rezultate:

cos ((α - β) + 2 π z) = cos (α - β) cos (2 π - (α - β) + 2 π z) = cos (α - β)

Donja crta: kosinus kuta između vektora O A 1 → i O A 2 → jednak je kosinusu kuta α - β, dakle, cos (O A 1 → O A 2 →) = cos (α - β) .

Prisjetimo se definicije sinusa i kosinusa: sinus je funkcija kuta jednaka omjeru kraka suprotnog kuta i hipotenuze, kosinus je sinus dodatnog kuta. Stoga, bodovi A 1 i A2 imaju koordinate (cos α , sin α) i (cos β , sin β) .

Dobivamo sljedeće:

O A 1 → = (cos α , sin α) i O A 2 → = (cos β , sin β)

Ako nije jasno, pogledajte koordinate točaka koje se nalaze na početku i kraju vektora.

Duljine vektora su jednake 1, jer imamo jedan krug.

Analizirajmo sada skalarni produkt vektora O A 1 → i O A 2 → . U koordinatama to izgleda ovako:

(O A 1 → , O A 2) → = cos α cos β + sin α sin β

Iz ovoga možemo izvesti jednakost:

cos (α - β) = cos α cos β + sin α sin β

Time je formula za kosinus razlike dokazana.

Sada ćemo dokazati sljedeću formulu - kosinus zbroja. To je lakše jer možemo koristiti prethodne izračune. Uzmimo reprezentaciju α + β = α - (- β) . Imamo:

cos (α + β) = cos (α - (- β)) = = cos α cos (- β) + sin α sin (- β) = = cos α cos β + sin α sin β

Ovo je dokaz formule za kosinus zbroja. Posljednji redak koristi svojstvo sinusa i kosinusa suprotnih kutova.

Formula za sinus zbroja može se izvesti iz formule za kosinus razlike. Uzmimo formulu redukcije za ovo:

oblika sin (α + β) = cos (π 2 (α + β)) . Tako
sin (α + β) \u003d cos (π 2 (α + β)) \u003d cos ((π 2 - α) - β) \u003d \u003d cos (π 2 - α) cos β + sin (π 2 - α) sin β = = sin α cos β + cos α sin β

A evo i dokaza formule za sinus razlike:

sin (α - β) = sin (α + (- β)) = sin α cos (- β) + cos α sin (- β) = = sin α cos β - cos α sin β
Obratite pažnju na upotrebu svojstava sinusa i kosinusa suprotnih kutova u zadnjem izračunu.

Zatim, trebamo dokaze adicijskih formula za tangens i kotangens. Prisjetimo se osnovnih definicija (tangens je omjer sinusa i kosinusa, a kotangens obrnuto) i uzmimo već unaprijed izvedene formule. Uspjeli smo:

t g (α + β) = sin (α + β) cos (α + β) = sin α cos β + cos α sin β cos α cos β - sin α sin β

Imamo složeni razlomak. Zatim, trebamo podijeliti njegov brojnik i nazivnik sa cos α cos β, s obzirom da je cos α ≠ 0 i cos β ≠ 0, dobivamo:
sin α cos β + cos α sin β cos α cos β cos α cos β - sin α sin β cos α cos β = sin α cos β cos α cos β + cos α sin β cos α cos β cos α cos β cos α cos β - sin α sin β cos α cos β

Sada reduciramo razlomke i dobijemo formulu sljedećeg oblika: sin α cos α + sin β cos β 1 - sin α cos α s i n β cos β = t g α + t g β 1 - t g α t g β.
Dobili smo t g (α + β) = t g α + t g β 1 - t g α · t g β . Ovo je dokaz formule zbrajanja tangente.

Sljedeća formula koju ćemo dokazati je formula razlike tangensa. Sve je jasno prikazano u proračunima:

t g (α - β) = t g (α + (- β)) = t g α + t g (- β) 1 - t g α t g (- β) = t g α - t g β 1 + t g α t g β

Formule za kotangens dokazuju se na sličan način:
c t g (α + β) = cos (α + β) sin (α + β) = cos α cos β - sin α sin β sin α cos β + cos α sin β = = cos α cos β - sin α sin β sin α sin β sin α cos β + cos α sin β sin α sin β = cos α cos β sin α sin β - 1 sin α cos β sin α sin β + cos α sin β sin α sin β = = - 1 + c t g α c t g β c t g α + c t g β
Unaprijediti:
c t g (α - β) = c t g   (α + (- β)) = - 1 + c t g α c t g (- β) c t g α + c t g (- β) = - 1 - c t g α c t g β c t g α - c t g β

Formule dodavanja koriste se za izražavanje kroz sinuse i kosinuse kutova a i b, vrijednosti funkcija cos (a + b), cos (a-b), sin (a + b), sin (a-b).

Formule zbrajanja za sinuse i kosinuse

Teorem: Za bilo koje a i b vrijedi sljedeća jednakost cos(a+b) = cos(a)*cos(b) - sin(a)*sin(b).

Dokažimo ovaj teorem. Razmotrite sljedeću sliku:

Na njemu su točke Ma, M-b, M(a+b) dobivene rotacijom točke Mo za kutove a, -b, odnosno a+b. Iz definicija sinusa i kosinusa, koordinate ovih točaka bit će sljedeće: Ma(cos(a); sin(a)), M-b (cos(-b); sin(-b)), M(a+ b) (cos(a+ b);sin(a+b)). Kut MoOM (a + b) \u003d kut M-bOM, stoga su trokuti MoOM (a + b) i M-bOM jednaki i jednakokračni. Dakle, baze MoM (a-b) i M-bMa su također jednake. Prema tome, (MoM(a-b))^2 = (M-bMa)^2. Koristeći formulu za udaljenost između dviju točaka, dobivamo:

(1 - cos(a+b))^2 + (sin(a+b))^2 = (cos(-b) - cos(a))^2 + (sin(-b) - sin(a) )^2.

sin(-a) = -sin(a) i cos(-a) = cos(a). Transformirajmo našu jednakost, uzimajući u obzir ove formule i kvadrat zbroja i razlike, a zatim:

1 -2*cos(a+b) + (cos(a+b))^2 +(sin(a+b))^2 = (cos(b))^2 - 2*cos(b)*cos (a) + (cos(a)^2 +(sin(b))^2 +2*sin(b)*sin(a) + (sin(a))^2.

Sada primjenjujemo osnovni trigonometrijski identitet:

2-2*cos(a+b) = 2 - 2*cos(a)*cos(b) + 2*sin(a)*sin(b).

Dajemo slične i smanjujemo za -2:

cos(a+b) = cos(a)*cos(b) - sin(a)*sin(b). Q.E.D.

Sljedeće formule također vrijede:

• cos(a-b) = cos(a)*cos(b) + sin(a)*sin(b);
• sin(a+b) = sin(a)*cos(b) + cos(a)*sin(b);
• sin(a-b) = sin(a)*cos(b) - cos(a)*sin(b).

Ove se formule mogu dobiti iz gore dokazane, korištenjem redukcijskih formula i zamjenom b s -b. Za tangente i kotangense također postoje formule zbrajanja, ali one neće vrijediti ni za jedan argument.

Formule za zbrajanje tangensa i kotangensa

Za bilo koje kutovi a,b osim a=pi/2+pi*k, b=pi/2 +pi*n i a+b =pi/2 +pi*m, za bilo koji cijeli brojevi k,n,m vrijedit će sljedeća formula:

tg(a+b) = (tg(a) + tg(b))/(1-tg(a)*tg(b)).

Za bilo koje kutove a,b osim a=pi/2+pi*k, b=pi/2 +pi*n i a-b =pi/2 +pi*m, za sve cijele brojeve k,n,m vrijedit će sljedeća formula :

tg(a-b) = (tg(a)-tg(b))/(1+tg(a)*tg(b)).

Za sve kutove a,b osim a=pi*k, b=pi*n, a+b = pi*m i za bilo koje cijele brojeve k,n,m vrijedit će sljedeća formula:

ctg(a+b) = (ctg(a)*ctg(b) -1)/(ctg(b)+ctg(a)).

Dani su omjeri između glavnih trigonometrijskih funkcija - sinusa, kosinusa, tangensa i kotangensa trigonometrijske formule. A budući da postoji dosta veza između trigonometrijskih funkcija, to također objašnjava obilje trigonometrijskih formula. Neke formule povezuju trigonometrijske funkcije istog kuta, druge - funkcije višestrukog kuta, druge - omogućuju snižavanje stupnja, četvrte - izražavanje svih funkcija kroz tangentu polukuta itd.

U ovom ćemo članku redom navesti sve glavne trigonometrijske formule, koji su dovoljni za rješavanje velike većine trigonometrijskih problema. Radi lakšeg pamćenja i korištenja, grupirat ćemo ih prema namjeni, te unijeti u tablice.

Navigacija po stranici.

Osnovni trigonometrijski identiteti

Glavni trigonometrijski identiteti postaviti odnos između sinusa, kosinusa, tangensa i kotangensa jednog kuta. Oni proizlaze iz definicije sinusa, kosinusa, tangensa i kotangensa, kao i pojma jedinične kružnice. Omogućuju vam izražavanje jedne trigonometrijske funkcije kroz bilo koju drugu.

Za detaljan opis ovih trigonometrijskih formula, njihovo izvođenje i primjere primjene, pogledajte članak.

Cast formule

Cast formule proizlaze iz svojstava sinusa, kosinusa, tangensa i kotangensa, odnosno odražavaju svojstvo periodičnosti trigonometrijskih funkcija, svojstvo simetrije, kao i svojstvo pomaka za zadani kut. Ove trigonometrijske formule omogućuju vam prijelaz s rada s proizvoljnim kutovima na rad s kutovima u rasponu od nula do 90 stupnjeva.

Obrazloženje ovih formula, mnemoničko pravilo za njihovo pamćenje i primjeri njihove primjene mogu se proučiti u članku.

Formule zbrajanja

Trigonometrijske adicijske formule pokazati kako se trigonometrijske funkcije zbroja ili razlike dvaju kutova izražavaju preko trigonometrijskih funkcija tih kutova. Ove formule služe kao osnova za izvođenje sljedećih trigonometrijskih formula.

Formule za dvostruko, trostruko itd. kut

Formule za dvostruko, trostruko itd. kut (također se nazivaju formulama višestrukih kutova) pokazuju kako trigonometrijske funkcije dvostrukog, trostrukog itd. kutovi () su izraženi u smislu trigonometrijskih funkcija jednog kuta. Njihovo izvođenje temelji se na adicijskim formulama.

Detaljnije informacije prikupljene su u članku formule za dvostruko, trostruko itd. kut .

Formule polukuta

Formule polukuta pokazati kako se trigonometrijske funkcije polukuta izražavaju preko kosinusa cijelog kuta. Ove trigonometrijske formule slijede iz formula dvostruki kut.

Njihov zaključak i primjeri primjene mogu se naći u članku.

Formule redukcije

Trigonometrijske formule za opadanje stupnjeva dizajnirani su za olakšavanje prijelaza s prirodnih potencija trigonometrijskih funkcija na sinuse i kosinuse na prvom stupnju, ali više kutova. Drugim riječima, oni omogućuju smanjenje potencije trigonometrijskih funkcija na prvu.

Formule za zbroj i razliku trigonometrijskih funkcija

glavno odredište formule zbroja i razlike trigonometrijskih funkcija je prijeći na umnožak funkcija, što je vrlo korisno pri pojednostavljenju trigonometrijski izrazi. Ove se formule također naširoko koriste u rješavanju trigonometrijskih jednadžbi jer omogućuju rastavljanje zbroja i razlike sinusa i kosinusa.

Formule za umnožak sinusa, kosinusa i sinusa za kosinus

Prijelaz s umnoška trigonometrijskih funkcija na zbroj ili razliku provodi se pomoću formula za umnožak sinusa, kosinusa i sinusa za kosinus.

Univerzalna trigonometrijska supstitucija

Pregled osnovnih formula trigonometrije završavamo formulama koje izražavaju trigonometrijske funkcije preko tangensa polukuta. Ova zamjena se zove univerzalna trigonometrijska supstitucija. Njegova pogodnost leži u činjenici da su sve trigonometrijske funkcije izražene u smislu tangensa polukuta racionalno bez korijena.

Bibliografija.

• Algebra: Proc. za 9 ćelija. prosj. škola / Yu. N. Makarychev, N. G. Mindyuk, K. I. Neshkov, S. B. Suvorova; ur. S. A. Telyakovsky.- M.: Prosvjetljenje, 1990.- 272 str.: Ill.- ISBN 5-09-002727-7
• Bashmakov M.I. Algebra i početak analize: Proc. za 10-11 ćelija. prosj. škola - 3. izd. - M.: Prosvjetljenje, 1993. - 351 str.: ilustr. - ISBN 5-09-004617-4.
• Algebra i početak analize: Proc. za 10-11 ćelija. opće obrazovanje institucije / A. N. Kolmogorov, A. M. Abramov, Yu. P. Dudnitsyn i drugi; ur. A. N. Kolmogorova.- 14. izd.- M.: Prosvjetljenje, 2004.- 384 str.: ilustr.- ISBN 5-09-013651-3.
• Gusev V. A., Mordkovich A. G. Matematika (priručnik za pristupnike tehničkim školama): Proc. dodatak.- M.; viši škola, 1984.-351 str., ilustr.

Autorska prava pametnih učenika

Sva prava pridržana.
Zaštićeno zakonom o autorskim pravima. Nijedan dio stranice, uključujući unutarnje materijale i vanjski dizajn, ne smije se reproducirati u bilo kojem obliku ili koristiti bez prethodnog pisanog dopuštenja nositelja autorskih prava.

Neću vas uvjeravati da ne pišete varalice. Pisati! Uključujući varalice o trigonometriji. Kasnije planiram objasniti zašto su varalice potrebne i kako su varalice korisne. I ovdje - informacije o tome kako ne učiti, ali zapamtiti neke trigonometrijske formule. Dakle - trigonometrija bez varalice!Za pamćenje koristimo asocijacije.

1. Formule zbrajanja:

kosinusi uvijek "idu u paru": kosinus-kosinus, sinus-sinus. I još nešto: kosinusi su "neadekvatni". Njima je “sve krivo” pa mijenjaju znakove: “-” u “+” i obrnuto.

Sinusi - "mix": sinus-kosinus, kosinus-sinus.

2. Formule zbroja i razlike:

kosinus uvijek "ide u paru". Dodavanjem dva kosinusa - "buns", dobivamo par kosinusa - "koloboks". I oduzimajući, definitivno nećemo dobiti koloboke. Dobivamo par sinusa. I dalje s minusom ispred.

Sinusi - "mix" :

3. Formule za pretvaranje umnoška u zbroj i razliku.

Kada ćemo dobiti par kosinusa? Pri zbrajanju kosinusa. Zato

Kada ćemo dobiti par sinusa? Kod oduzimanja kosinusa. Odavde:

"Miješanje" se dobiva i zbrajanjem i oduzimanjem sinusa. Što je zabavnije: zbrajanje ili oduzimanje? Tako je, fold. A za formulu uzmite zbrajanje:

U prvoj i trećoj formuli u zagradi - iznos. Preraspodjelom mjesta članova zbroj se ne mijenja. Redoslijed je važan samo za drugu formulu. No, da ne bude zabune, radi lakšeg pamćenja, u sve tri formule u prve zagrade uzimamo razliku

i drugo, zbroj

Plahte za krevetić u vašem džepu pružaju mir: ako zaboravite formulu, možete je otpisati. I ulijevaju povjerenje: ako ne uspijete koristiti varalicu, formule se mogu lako zapamtiti.