नियमित पॉलीहेड्रा ने प्राचीन काल से दार्शनिकों, बिल्डरों, वास्तुकारों, कलाकारों और गणितज्ञों का ध्यान आकर्षित किया है। वे इन आकृतियों की सुंदरता, पूर्णता, सामंजस्य से प्रभावित थे।

एक नियमित पॉलीहेड्रॉन एक बड़ा उत्तल ज्यामितीय आकृति है, जिसके सभी फलक समान नियमित बहुभुज होते हैं और शीर्षों पर सभी बहुफलकीय कोण एक दूसरे के बराबर होते हैं। कई नियमित बहुभुज हैं, लेकिन केवल पांच नियमित पॉलीहेड्रा हैं। इन पॉलीहेड्रा के नाम आते हैं प्राचीन ग्रीस, और वे संख्या ("टेट्रा" - 4, "हेक्सा" - 6, "ऑक्टा" - 8, "डोडेका" - 12, "इकोसा" - 20) चेहरे ("हेड्रा") इंगित करते हैं।

इन नियमित पॉलीहेड्रा को प्राचीन यूनानी दार्शनिक प्लेटो के बाद प्लेटोनिक ठोस कहा जाता था, जिन्होंने उन्हें एक रहस्यमय अर्थ दिया था, लेकिन वे प्लेटो से पहले भी जाने जाते थे। चतुष्फलक ने अग्नि को मूर्त रूप दिया, क्योंकि इसका शीर्ष ऊपर की ओर निर्देशित होता है, जैसे कि एक ज्वलनशील लौ; icosahedron - सबसे सुव्यवस्थित - पानी के रूप में; घन - आंकड़ों में सबसे स्थिर - पृथ्वी, और अष्टफलक - वायु। डोडेकेहेड्रॉन की पहचान पूरे ब्रह्मांड से की गई थी और इसे सबसे महत्वपूर्ण माना जाता था।

नियमित पॉलीहेड्रा प्रकृति में पाए जाते हैं। उदाहरण के लिए, फीओडारिया के एकल-कोशिका वाले जीव का कंकाल आकार में एक इकोसैहेड्रॉन जैसा दिखता है। पाइराइट क्रिस्टल (सल्फ्यूरस पाइराइट, FeS2) में एक डोडेकेहेड्रॉन का आकार होता है।

टेट्राहेड्रोन - सही त्रिकोणीय पिरामिड, और एक हेक्साहेड्रोन - एक घन - आंकड़े जिनके साथ हम लगातार मिलते हैं वास्तविक जीवन. अन्य प्लेटोनिक ठोसों के आकार को बेहतर ढंग से महसूस करने के लिए, आपको उन्हें मोटे कागज या कार्डबोर्ड से स्वयं बनाना चाहिए। आंकड़ों का सपाट स्कैन करना मुश्किल नहीं है। आकार देने की प्रक्रिया से नियमित पॉलीहेड्रा का निर्माण बेहद मनोरंजक है।

सजावटी कलाओं में नियमित पॉलीहेड्रॉन के पूर्ण और विचित्र रूपों का व्यापक रूप से उपयोग किया जाता है। यदि फ्लैट नियमित बहुभुजों को बहुभुज में फिट होने वाली अन्य आकृतियों द्वारा दर्शाया जाता है, तो वॉल्यूमेट्रिक आकृतियों को और अधिक मनोरंजक बनाया जा सकता है। उदाहरण के लिए: एक नियमित पेंटागन को एक तारे से बदला जा सकता है। ऐसी त्रि-आयामी आकृति में किनारे नहीं होंगे। इसे आप तारों की किरणों के सिरों को बांधकर इकट्ठा कर सकते हैं। और 10 स्टार एक फ्लैट स्कैन होने जा रहे हैं। शेष 2 तारों को स्थिर करके त्रिविमीय आकृति प्राप्त की जाती है।

यदि आपका बच्चा अपने कुशल हाथों से शिल्प बनाना पसंद करता है, तो उसे फ्लैट प्लास्टिक सितारों से त्रि-आयामी पॉलीहेड्रॉन डोडेकेड्रोन आकृति को इकट्ठा करने के लिए आमंत्रित करें। काम का परिणाम आपके बच्चे को खुश करेगा: वह अपने हाथों से एक मूल सजावटी डिजाइन तैयार करेगा, जिसका उपयोग बच्चों के कमरे को सजाने के लिए किया जा सकता है। लेकिन, सबसे खास बात यह है कि ओपनवर्क बॉल अंधेरे में चमकती है। प्लास्टिक के तारे एक आधुनिक हानिरहित पदार्थ - एक फॉस्फोर के अतिरिक्त के साथ बनाए जाते हैं।

प्लेटोनियन निकायों की ज्यामिति

रेव दिनांक 06/24/2013 - (अद्यतन)

मुख्य पांच प्लेटोनिक ठोस हैं: ऑक्टाहेड्रोन, स्टार टेट्राहेड्रोन, क्यूब, डोडेकेहेड्रोन, इकोसाहेड्रोन।

प्रत्येक ज्यामितीय पैटर्न, चाहे परमाणु नाभिक, माइक्रोक्लस्टर, वैश्विक ग्रिड या ग्रहों, सितारों, आकाशगंगाओं के बीच की दूरी, पांच मुख्य "प्लेटोनिक सॉलिड्स" में से एक है।

ये पैटर्न प्रकृति में इतनी बार क्यों होते हैं? पहले संकेतों में से एक: गणितज्ञ जानते थे कि इन आकृतियों में किसी भी त्रि-आयामी ज्यामिति की तुलना में अधिक "समरूपता" होती है जिसे हम बना सकते हैं।

रॉबर्ट लॉलोर से "पवित्र ज्यामिति"हम सीख सकते हैं कि हिंदुओं ने प्लेटोनिक सॉलिड्स की ज्यामिति को ऑक्टेव संरचना तक कम कर दिया जिसे हम ध्वनि और प्रकाश (नोट और रंग) के लिए देखते हैं। ग्रीक गणितज्ञ और दार्शनिक पाइथागोरस ने आवृत्ति को क्रमिक रूप से पांच से विभाजित करने की प्रक्रिया के माध्यम से, पहले आठ "शुद्ध" स्वरों को सप्तक के रूप में विकसित किया, जिसे डायटोनिक पैमाने के रूप में जाना जाता है। उन्होंने एक सिंगल-स्ट्रिंग "मोनोकॉर्ड" लिया, और विभिन्न नोटों को बजाते हुए सटीक तरंग दैर्ध्य को मापा। पाइथागोरस ने दिखाया कि प्रत्येक नोट की आवृत्ति (या कंपन की दर) को एक स्ट्रिंग के दो भागों, या दो संख्याओं के बीच के अनुपात के रूप में दर्शाया जा सकता है, इसलिए शब्द "डायटोनिक अनुपात" है।

नीचे दी गई तालिका ज्यामिति को एक विशेष क्रम में सूचीबद्ध करती है, इसे हेलिक्स संख्या के साथ जोड़ती है फाई()। यह एक संपूर्ण और संपूर्ण चित्र देता है कि विभिन्न कंपन एक साथ कैसे काम करते हैं। यह एक घन के किनारों की लंबाई निर्धारित करने पर आधारित है, जो " 1 ". फिर हम अन्य सभी आकृतियों के किनारों की तुलना इस मान से करते हैं, चाहे वे बड़े हों या छोटे। हम जानते हैं कि प्लेटोनिक सॉलिड में हर पहलू एक ही आकार का होता है, हर कोने समान होता है, प्रत्येक नोड अन्य सभी नोड्स से समान दूरी पर होता है, और प्रत्येक पंक्ति समान लंबाई होती है।

1 गोला (कोई फलक नहीं) 2 केंद्रीय icosahedron 1/phi 2 3 Octahedron 1/ √2 4 सितारा टेट्राहेड्रोन √2 5 घन 1 6 डोडेकाहेड्रोन 1/फी 7 इकोसाहेड्रोन फी 8 स्फीयर (कोई फलक नहीं)

इससे यह समझने में मदद मिलेगी कि फाई सर्पिल के कंपनों की मदद से प्लेटोनिक ठोस धीरे-धीरे एक दूसरे में कैसे प्रवाहित होते हैं।

ब्रह्मांड की बहुआयामीता

प्लेटोनिक ज्यामिति को उच्च विमानों से जोड़ने की अवधारणा उत्पन्न होती है क्योंकि वैज्ञानिक जानते हैं: ज्यामिति होनी चाहिए; उन्होंने इसे समीकरणों में पाया। अदृश्य अतिरिक्त कुल्हाड़ियों के लिए "छिपे हुए" 90 ° मोड़ में प्रकट होने के लिए प्लेटोनिक ज्यामिति को "अधिक जगह" प्रदान करने की आवश्यकता होती है। डेटा विश्लेषण पद्धति में, ज्यामितीय आकार का प्रत्येक चेहरा एक अलग अक्ष या योजना का प्रतिनिधित्व करता है जिसमें वह घूम सकता है। जब हम फुलर और जेनी के काम को देखना शुरू करते हैं, तो हम देखते हैं कि "छिपे हुए" 90 डिग्री मोड़ में मौजूद अन्य विमानों का विचार ज्यामिति के बीच "पवित्र" कनेक्शन के ज्ञान की कमी के आधार पर केवल एक गलत व्याख्या है। और कंपन।

यह बहुत संभव है कि पारंपरिक विद्वान यह कभी नहीं समझेंगे कि प्राचीन संस्कृतियों का एक "खोया हुआ संबंध" हो सकता है जो हर चीज को बहुत सरल और एकीकृत करता है। आधुनिक सिद्धांतअंतरिक्ष भौतिकी। हालांकि यह अविश्वसनीय लग सकता है कि एक "आदिम" संस्कृति की इस तरह की जानकारी तक पहुंच थी, इसके सबूत हैं। प्रसाद की क्लासिक किताब पढ़ें, अभी के लिए आप देख सकते हैं कि वैदिक ब्रह्मांड विज्ञान में एक अंतर्निहित वैज्ञानिक कौशल है।

आपको क्या लगता है आप देखते हैं? एक विस्फोट करने वाला तारा है जिसमें से धूल निकली है ... लेकिन यहाँ स्पष्ट रूप से किसी प्रकार का ऊर्जा क्षेत्र है, जो धूल को संरचित करता है क्योंकि यह एक बहुत ही सटीक ज्यामितीय पैटर्न में फैलता है:

समस्या यह है कि पारंपरिक भौतिकी मॉडल में विशिष्ट चुंबकीय क्षेत्र ऐसी ज्यामितीय सटीकता की अनुमति नहीं देते हैं। वैज्ञानिक वास्तव में नहीं जानते कि ऐसी चीजों को कैसे समझा जाए!

नीचे दी गई छवि न्यू नेबुला है, जो एक आदर्श "वर्ग" है। हालाँकि, यह अभी भी दो आयामी सोच है। तीन आयामों में एक वर्ग क्या है?
बेशक, घन!

इन्फ्रारेड में देखा गया, नेबुला एक चमकदार सफेद आंतरिक कोर के साथ आकाश में एक विशाल चमकते बॉक्स जैसा दिखता है। मरने वाला तारा MWC 922 प्रणाली के केंद्र में स्थित है और इसके आंतरिक भाग को विपरीत ध्रुवों से अंतरिक्ष में उगल रहा है। MWC 922 अपनी अधिकांश सामग्री को अंतरिक्ष में उत्सर्जित करने के बाद, यह एक घने तारकीय पिंड में सिकुड़ जाएगा, जिसे एक सफेद बौना के रूप में जाना जाता है, जो इसके अवशेष बादलों में छिपा हुआ है।

हालांकि यह दूर से संभव है कि तारे का विस्फोट केवल एक दिशा में फैलता है, एक अधिक पिरामिड आकार का निर्माण करता है, जो आप देख रहे हैं वह अंतरिक्ष में एक आदर्श घन है। चूँकि घन की चारों भुजाएँ समान लंबाई और एक-दूसरे से 90° के कोण पर पूर्ण होती हैं, और फिर से, घन में संरचित "चरण" होते हैं, जिन्हें हमने पिछली छवि में देखा था, वैज्ञानिक पूरी तरह से चकित हैं। घन में "आयताकार" निहारिका से भी बड़ी समरूपता है!

इस तरह के पैटर्न न केवल अंतरिक्ष की विशालता में दिखाई देते हैं। वे परमाणुओं और अणुओं के सबसे छोटे स्तर पर भी होते हैं, उदाहरण के लिए, साधारण टेबल नमक या सोडियम क्लोराइड की घन संरचना में। एक पैंग त्सया (जापान) ने एक एल्युमिनियम-तांबा-लौह मिश्र धातु के क्वासिक क्रिस्टल को डोडेकाहेड्रोन के रूप में और एक एल्यूमीनियम-निकल-कोबाल्ट मिश्र धातु को एक दशकीय (दस-पक्षीय) प्रिज्म (फोटो देखें) के रूप में चित्रित किया। समस्या यह है कि आप एक साथ बंधे एकल परमाणुओं का उपयोग करके ऐसे क्रिस्टल नहीं बना सकते हैं.

एक अन्य उदाहरण बोस-आइंस्टीन घनीभूत है। संक्षेप में, बोस-आइंस्टीन कंडेनसेट परमाणुओं का एक बड़ा समूह है जो एक एकल "कण" की तरह व्यवहार करता है जिसमें इसकी रचना करने वाला प्रत्येक परमाणु एक साथ पूरी संरचना में सभी स्थान और सभी समय घेरता है. यह मापा जाता है कि सभी परमाणु एक ही आवृत्ति पर कंपन करते हैं, एक ही गति से चलते हैं और अंतरिक्ष के एक ही क्षेत्र में स्थित होते हैं। विरोधाभासी रूप से, लेकिन प्रणाली के विभिन्न भाग समग्र रूप से कार्य करते हैं, व्यक्तित्व के सभी लक्षण खो देते हैं. यह वह संपत्ति है जो "सुपरकंडक्टर" के लिए आवश्यक है। आमतौर पर, बोस-आइंस्टीन कंडेनसेट बेहद कम तापमान पर बन सकते हैं। हालाँकि, यह ठीक ऐसी प्रक्रियाएँ हैं जिन्हें हम व्यक्तिगत परमाणु पहचान से रहित माइक्रोक्लस्टर और क्वासिक क्रिस्टल में देखते हैं।

एक अन्य समान प्रक्रिया लेजर प्रकाश की क्रिया है, जिसे "सुसंगत" प्रकाश के रूप में जाना जाता है। सभी अंतरिक्ष और समय में लेजर बीम एकल "फोटॉन" की तरह व्यवहार करता हैअर्थात्, एक लेज़र बीम में अलग-अलग फोटॉन को अलग करना असंभव है।

इसके अलावा, 1960 के दशक के अंत में अंग्रेजी भौतिक विज्ञानीहर्बर्ट फ्रोलिच ने सुझाव दिया कि जीवित प्रणालियाँ अक्सर बोस-आइंस्टीन संघनन की तरह व्यवहार करती हैं, केवल बड़े पैमाने पर।

निहारिका की तस्वीरें आश्चर्यजनक दृश्य प्रमाण प्रस्तुत करती हैं कि ज्यामिति चल रही है। के बारे मेंब्रह्मांड की ताकतों में एक भूमिका की तुलना में अधिकांश लोग विश्वास करेंगे। हमारे वैज्ञानिक केवल मौजूदा पारंपरिक मॉडलों के भीतर ही इस घटना को समझने के लिए संघर्ष कर सकते हैं।

स्टाखोव ए.पी.

दा विंची कोड, प्लेटोनिक और आर्किमिडीयन ठोस, क्वासिक क्रिस्टल, फुलरीन, पेनरोज़ जाली और कला की दुनियामाता तीजा क्रास्ज़ेकी

टिप्पणी

स्लोवेनियाई कलाकार मत्युष्का तीजा क्रशेक का काम रूसी भाषी पाठक के लिए बहुत कम जाना जाता है। साथ ही, पश्चिम में इसे "पूर्वी यूरोपीय एस्चर" और विश्व सांस्कृतिक समुदाय के लिए "स्लोवेनियाई उपहार" कहा जाता है। उनकी कलात्मक रचनाएँ नवीनतम वैज्ञानिक खोजों (फुलरीन, डैन शेचटमैन क्वासिक क्रिस्टल, पेनरोज़ टाइल्स) से प्रेरित हैं, जो बदले में नियमित और अर्ध-नियमित बहुभुजों (प्लेटो और आर्किमिडीज़ ठोस), गोल्डन सेक्शन और फिबोनाची संख्याओं पर आधारित हैं।

दा विंची कोड क्या है?

निश्चित रूप से प्रत्येक व्यक्ति ने इस प्रश्न के बारे में एक से अधिक बार सोचा है कि प्रकृति ऐसी अद्भुत सामंजस्यपूर्ण संरचनाएँ बनाने में सक्षम क्यों है जो आंख को प्रसन्न और प्रसन्न करती हैं। क्यों कलाकार, कवि, संगीतकार, वास्तुकार सदियों से कला के अद्भुत कार्यों का निर्माण करते हैं। उनके सद्भाव का रहस्य क्या है और इन सामंजस्यपूर्ण प्राणियों के कौन से कानून हैं?

इन कानूनों की खोज, "ब्रह्मांड के सद्भाव के नियम", प्राचीन विज्ञान में शुरू हुई। यह मानव इतिहास की इस अवधि के दौरान है कि वैज्ञानिक आश्चर्यजनक खोजों की एक श्रृंखला के लिए आते हैं जो विज्ञान के पूरे इतिहास में व्याप्त हैं। उनमें से पहला सद्भाव व्यक्त करने वाला एक अद्भुत गणितीय अनुपात माना जाता है। इसे अलग तरह से कहा जाता है: "गोल्डन रेश्यो", "गोल्डन नंबर", "गोल्डन मीन", "गोल्डन रेश्यो"और भी "दिव्य अनुपात"।गोल्डन सेक्शन को भी कहा जाता है पीएचआई नंबरमहान प्राचीन यूनानी मूर्तिकार फ़िडियास (फिडिअस) के सम्मान में, जिन्होंने अपनी मूर्तियों में इस संख्या का उपयोग किया था।

लोकप्रिय अंग्रेजी लेखक डैन ब्राउन द्वारा लिखित थ्रिलर द दा विंची कोड 21वीं सदी की बेस्टसेलर बन गई है। लेकिन दा विंची कोड का क्या मतलब है? इस प्रश्न के विभिन्न उत्तर हैं। यह ज्ञात है कि प्रसिद्ध "गोल्डन सेक्शन" लियोनार्डो दा विंची के लिए निकट ध्यान और उत्साह का विषय था। इसके अलावा, लियोनार्डो दा विंची द्वारा "गोल्डन सेक्शन" नाम को यूरोपीय संस्कृति में पेश किया गया था। लियोनार्डो की पहल पर, प्रसिद्ध इतालवी गणितज्ञ और विद्वान भिक्षु लुका पैसिओली, लियोनार्डो दा विंची के मित्र और वैज्ञानिक सलाहकार, ने "दिविना प्रोपोर्शन" पुस्तक प्रकाशित की, जो गोल्डन सेक्शन पर विश्व साहित्य में पहला गणितीय कार्य था, जिसे लेखक ने "दिव्य" कहा था। अनुपात"। यह भी ज्ञात है कि लियोनार्डो ने स्वयं इस प्रसिद्ध पुस्तक का चित्रण किया, इसके लिए 60 अद्भुत चित्र बनाए। यह ऐसे तथ्य हैं, जो सामान्य वैज्ञानिक समुदाय को बहुत अच्छी तरह से ज्ञात नहीं हैं, जो एक परिकल्पना को सामने रखने का अधिकार देते हैं कि दा विंची कोड गोल्डन सेक्शन के अलावा और कुछ नहीं है। और इस परिकल्पना की पुष्टि छात्रों के व्याख्यान में पाई जा सकती है विदेश महाविद्यालयजो उसे याद है मुख्य पात्रपुस्तक "द दा विंची कोड" प्रो. लैंगडन:

"अपने लगभग रहस्यमय मूल के बावजूद, PHI नंबर ने अपने तरीके से एक अनूठी भूमिका निभाई है। पृथ्वी पर सभी जीवन के निर्माण की नींव में ईंट की भूमिका। सभी पौधे, जानवर और यहां तक ​​कि मनुष्य भी से संपन्न हैं भौतिक अनुपात, PHI की संख्या 1 के अनुपात के मूल के लगभग बराबर। प्रकृति में PHI की यह सर्वव्यापीता ... सभी जीवित प्राणियों के संबंध को इंगित करती है। ऐसा माना जाता था कि PHI नंबर ब्रह्मांड के निर्माता द्वारा पूर्व निर्धारित किया गया था। पुरातनता के वैज्ञानिकों ने एक बिंदु छह सौ अठारह हजारवें हिस्से को "दिव्य अनुपात" कहा।

इस प्रकार, प्रसिद्ध अपरिमेय संख्या PHI = 1.618, जिसे लियोनार्डो दा विंची ने गोल्डन मीन कहा, दा विंची कोड है!

प्राचीन विज्ञान की एक और गणितीय खोज है नियमित पॉलीहेड्रा, जिन्हें नामित किया गया था "प्लेटोनिक ठोस"तथा "अर्ध-नियमित पॉलीहेड्रा", नामित "आर्किमिडीयन ठोस"।यह आश्चर्यजनक रूप से सुंदर स्थानिक ज्यामितीय आकार हैं जो दो सबसे बड़े वैज्ञानिक खोज 20 वीं सदी - क्वासिक क्रिस्टल(खोज के लेखक इजरायली भौतिक विज्ञानी डैन शेचमैन हैं) और फुलरीन(नोबेल पुरस्कार 1996)। ये दो खोजें इस तथ्य की सबसे महत्वपूर्ण पुष्टि हैं कि यह स्वर्ण अनुपात है जो कि यूनिवर्सल कोड ऑफ नेचर ("द दा विंची कोड") है, जो ब्रह्मांड का आधार है।

क्वासिक क्रिस्टल और फुलरीन की खोज ने कई समकालीन कलाकारों को ऐसे कार्यों को बनाने के लिए प्रेरित किया जो कलात्मक रूप में 20 वीं शताब्दी की सबसे महत्वपूर्ण भौतिक खोजों को दर्शाते हैं। इन कलाकारों में से एक स्लोवेनियाई कलाकार हैं माँ थिया क्रस्ज़ेक।यह लेख नवीनतम वैज्ञानिक खोजों के चश्मे के माध्यम से Matyushka Teija Krashek की कलात्मक दुनिया का परिचय देता है।

प्लेटोनिक ठोस

एक व्यक्ति अपनी सचेत गतिविधि के दौरान नियमित बहुभुज और पॉलीहेड्रा में रुचि दिखाता है - दो साल के बच्चे से लकड़ी के क्यूब्स के साथ खेलने से लेकर एक परिपक्व गणितज्ञ तक। कुछ नियमित और अर्ध-नियमित निकाय स्वाभाविक रूप से क्रिस्टल के रूप में होते हैं, अन्य वायरस के रूप में जिन्हें इलेक्ट्रॉन माइक्रोस्कोप से देखा जा सकता है।

एक नियमित पॉलीहेड्रॉन क्या है? एक बहुफलक को नियमित कहा जाता है यदि इसके सभी फलक एक दूसरे के बराबर (या सर्वांगसम) हों और एक ही समय में नियमित बहुभुज हों। कितने नियमित पॉलीहेड्रा हैं? पहली नज़र में, इस प्रश्न का उत्तर बहुत सरल है - जितने नियमित बहुभुज हैं। हालाँकि, ऐसा नहीं है। यूक्लिड के तत्वों में हम एक कठोर प्रमाण पाते हैं कि केवल पाँच उत्तल नियमित पॉलीहेड्रा हैं, और केवल तीन प्रकार के नियमित बहुभुज उनके चेहरे हो सकते हैं: त्रिभुज, वर्गोंतथा पेंटागन (नियमित पेंटागन).

कई किताबें पॉलीहेड्रा के सिद्धांत को समर्पित हैं। सबसे प्रसिद्ध में से एक अंग्रेजी गणितज्ञ एम। वेनिगर की पुस्तक "पॉलीहेड्रा के मॉडल" है। रूसी अनुवाद में, यह पुस्तक 1974 में मीर पब्लिशिंग हाउस द्वारा प्रकाशित की गई थी। पुस्तक का एपिग्राफ बर्ट्रेंड रसेल का कथन है: "गणित में न केवल सत्य है, बल्कि उच्च सौंदर्य भी है - सौंदर्य सम्मानित और सख्त, अत्यधिक शुद्ध और वास्तविक पूर्णता के लिए प्रयास करना, जो केवल कला के महानतम उदाहरणों की विशेषता है।"

पुस्तक तथाकथित के विवरण के साथ शुरू होती है नियमित पॉलीहेड्रा, अर्थात्, एक ही प्रकार के सरलतम नियमित बहुभुजों द्वारा निर्मित बहुफलक। ये बहुफलक कहलाते हैं प्लेटोनिक ठोस(चित्र एक) , इसका नाम प्राचीन यूनानी दार्शनिक प्लेटो के नाम पर रखा गया था, जिन्होंने अपने में नियमित पॉलीहेड्रा का इस्तेमाल किया था ब्रह्मांड विज्ञान

चित्र 1।प्लेटोनिक ठोस: (ए) ऑक्टाहेड्रोन ("अग्नि"), (बी) हेक्साहेड्रोन या क्यूब ("पृथ्वी"),

(सी) ऑक्टाहेड्रोन ("वायु"), (डी) आईकोसाहेड्रोन ("जल"), (ई) डोडेकाहेड्रॉन ("सार्वभौमिक दिमाग")

हम अपना विचार से शुरू करेंगे नियमित पॉलीहेड्रा, जिनके चेहरे हैं समबाहु त्रिभुज।इनमें से पहला है चतुर्पाश्वीय(चित्र 1-ए)। एक चतुष्फलक में, तीन समबाहु त्रिभुज एक शीर्ष पर मिलते हैं; जबकि उनके आधार एक नया समबाहु त्रिभुज बनाते हैं। चतुष्फलकीय है सबसे छोटी संख्याप्लेटोनिक ठोस के बीच का चेहरा और एक फ्लैट का त्रि-आयामी एनालॉग है सही त्रिकोण, जिसमें नियमित बहुभुजों में भुजाओं की संख्या सबसे कम है।

अगला पिंड, जो समबाहु त्रिभुजों से बनता है, कहलाता है अष्टफलक(चित्र 1-बी)। एक अष्टफलक में, चार त्रिभुज एक शीर्ष पर मिलते हैं; परिणाम एक चतुर्भुज आधार वाला एक पिरामिड है। यदि आप ऐसे दो पिरामिडों को आधारों से जोड़ते हैं, तो आपको आठ त्रिभुजाकार फलकों वाला एक सममितीय पिंड प्राप्त होता है - अष्टफलक.

अब आप एक बिंदु पर पांच समबाहु त्रिभुजों को जोड़ने का प्रयास कर सकते हैं। परिणाम एक आकृति है जिसमें 20 त्रिभुजाकार फलक हैं - विंशतिफलक(चित्र 1-डी)।

अगला नियमित बहुभुज आकार − . है वर्ग।यदि हम एक बिंदु पर तीन वर्गों को जोड़ते हैं और फिर तीन और जोड़ते हैं, तो हमें मिलता है उपयुक्त आकारछह पक्षों के साथ, कहा जाता है षट्फलकया घनक्षेत्र(चित्र 1-सी)।

अंत में, निम्नलिखित नियमित बहुभुज के उपयोग के आधार पर एक नियमित पॉलीहेड्रॉन के निर्माण की एक और संभावना है - पंचकोण. यदि हम 12 पंचभुजों को इस प्रकार एकत्रित करें कि प्रत्येक बिंदु पर तीन पंचभुज मिलें, तो हमें एक और प्लेटोनिक ठोस प्राप्त होता है, जिसे कहते हैं द्वादशफ़लक(चित्र 1-ई)।

अगला नियमित बहुभुज है षट्भुज. हालाँकि, यदि हम एक बिंदु पर तीन षट्भुजों को जोड़ते हैं, तो हमें एक सतह मिलती है, अर्थात षट्भुज से त्रि-आयामी आकृति बनाना असंभव है। षट्भुज के ऊपर कोई भी नियमित बहुभुज ठोस नहीं बना सकता। इन विचारों से यह निम्नानुसार है कि केवल पांच नियमित पॉलीहेड्रा हैं जिनके चेहरे केवल समबाहु त्रिभुज, वर्ग और पंचकोण हो सकते हैं।

सभी के बीच अद्भुत ज्यामितीय संबंध हैं नियमित पॉलीहेड्रा. उदाहरण के लिए, घनक्षेत्र(अंजीर.1-बी) और अष्टफलक(चित्र 1-सी) दोहरे हैं, अर्थात। एक दूसरे से प्राप्त होते हैं यदि एक के फलकों के केन्द्रक को दूसरे के शीर्ष के रूप में लिया जाता है और इसके विपरीत। इसी तरह दोहरी विंशतिफलक(अंजीर.1-डी) और द्वादशफ़लक(चित्र 1-ई) . चतुर्पाश्वीय(चित्र 1-क) अपने आप में दोहरा है। डोडेकाहेड्रोन को उसके चेहरों पर "छतें" बनाकर (यूक्लिड की विधि) बनाकर प्राप्त किया जाता है, टेट्राहेड्रोन के कोने क्यूब के चार कोने होते हैं जो किनारे के साथ जोड़ीदार नहीं होते हैं, यानी अन्य सभी नियमित पॉलीहेड्रा हो सकते हैं घन से प्राप्त होता है। तथ्य यह है कि वास्तव में केवल पांच नियमित पॉलीहेड्रा अद्भुत हैं - आखिरकार, विमान पर असीम रूप से कई नियमित बहुभुज हैं!

प्लेटोनिक ठोस की संख्यात्मक विशेषताएं

मुख्य संख्यात्मक विशेषताएं प्लेटोनिक ठोसचेहरे के पक्षों की संख्या है एम,प्रत्येक शीर्ष पर परिवर्तित होने वाले चेहरों की संख्या, एम,चेहरों की संख्या जी, शीर्षों की संख्या पर,पसलियों की संख्या आरऔर समतल कोनों की संख्या परएक बहुफलक की सतह पर, यूलर ने प्रसिद्ध सूत्र की खोज की और सिद्ध किया

वी - पी + जी = 2,

किसी उत्तल बहुफलक के शीर्षों, किनारों और फलकों की संख्या को जोड़ना। उपरोक्त संख्यात्मक विशेषताएँ तालिका में दी गई हैं। एक।

तालिका एक

प्लेटोनिक ठोस की संख्यात्मक विशेषताएं

बहुतल	चेहरे के पक्षों की संख्या, एम	शीर्ष पर परिवर्तित होने वाले चेहरों की संख्या, एन	चेहरों की संख्या	शीर्षों की संख्या	पसलियों की संख्या	सतह पर समतल कोनों की संख्या
चतुर्पाश्वीय
हेक्साहेड्रोन (घन)
विंशतिफलक
द्वादशफ़लक

डोडेकाहेड्रॉन और इकोसाहेड्रोन में स्वर्ण अनुपात

डोडेकाहेड्रोन और इसके दोहरे इकोसाहेड्रोन (चित्र 1-डी, ई) के बीच एक विशेष स्थान पर कब्जा है प्लेटोनिक ठोस. सबसे पहले, इस बात पर जोर दिया जाना चाहिए कि ज्यामिति द्वादशफ़लकतथा विंशतिफलकसीधे स्वर्ण अनुपात से संबंधित है। दरअसल, किनारों द्वादशफ़लक(चित्र 1-डी) हैं पंचकोण, अर्थात। सुनहरे अनुपात के आधार पर नियमित पेंटागन। गौर से देखे तो विंशतिफलक(चित्र 1-डी), तब आप देख सकते हैं कि पाँच त्रिभुज इसके प्रत्येक शीर्ष पर अभिसरण करते हैं, जिसकी बाहरी भुजाएँ बनती हैं पंचकोण. पहले से ही ये तथ्य यह सुनिश्चित करने के लिए पर्याप्त हैं कि इन दोनों के निर्माण में स्वर्णिम अनुपात एक आवश्यक भूमिका निभाता है प्लेटोनिक ठोस.

लेकिन सोने के अनुपात द्वारा निभाई गई मौलिक भूमिका के लिए गहरा गणितीय प्रमाण है विंशतिफलकतथा द्वादशफ़लक. यह ज्ञात है कि इन निकायों के तीन विशिष्ट क्षेत्र हैं। पहला (आंतरिक) गोला शरीर में खुदा हुआ है और इसके चेहरों को छूता है। आइए हम इस आंतरिक गोले की त्रिज्या को इस प्रकार निरूपित करें आर आई. दूसरा या मध्य गोला उसके किनारों को छूता है। आइए हम इस गोले की त्रिज्या को इस प्रकार निरूपित करें आर एम।अंत में, तीसरा (बाहरी) गोला शरीर के चारों ओर घिरा हुआ है और इसके शीर्षों से होकर गुजरता है। आइए इसकी त्रिज्या को द्वारा निरूपित करें आर सी. ज्यामिति में, यह साबित होता है कि संकेतित क्षेत्रों की त्रिज्या का मान द्वादशफ़लकतथा विंशतिफलक, जिसमें इकाई लंबाई का किनारा होता है, को सुनहरे अनुपात t (तालिका 2) के रूप में व्यक्त किया जाता है।

तालिका 2

डोडेकाहेड्रोन और इकोसाहेड्रोन के गोले में सुनहरा अनुपात

विंशतिफलक
द्वादशफ़लक

ध्यान दें कि त्रिज्या = का अनुपात के समान है विंशतिफलक, और के लिए द्वादशफ़लक. इस प्रकार, यदि द्वादशफ़लकतथा विंशतिफलकएक ही खुदा हुआ गोले हैं, तो उनके परिबद्ध गोले भी एक दूसरे के बराबर हैं। इस गणितीय परिणाम का प्रमाण में दिया गया है शुरुआतयूक्लिड।

ज्यामिति में, अन्य संबंधों के लिए भी जाना जाता है द्वादशफ़लकतथा विंशतिफलकसुनहरे अनुपात के साथ उनके संबंध की पुष्टि। उदाहरण के लिए, यदि हम लेते हैं विंशतिफलकतथा द्वादशफ़लकएक किनारे की लंबाई के बराबर एक के साथ, और उनके बाहरी क्षेत्र और मात्रा की गणना करें, फिर उन्हें सुनहरे अनुपात (तालिका 3) के माध्यम से व्यक्त किया जाता है।

टेबल तीन

बाहरी क्षेत्र में स्वर्ण अनुपात और डोडेकाहेड्रोन और इकोसाहेड्रोन का आयतन

	विंशतिफलक	द्वादशफ़लक
बाहरी क्षेत्र

इस प्रकार, प्राचीन गणितज्ञों द्वारा प्राप्त संबंधों की एक बड़ी संख्या है, जो इस उल्लेखनीय तथ्य की पुष्टि करती है कि यह है स्वर्ण अनुपात डोडेकाहेड्रॉन और इकोसाहेड्रोन का मुख्य अनुपात है, और यह तथ्य तथाकथित के दृष्टिकोण से विशेष रूप से दिलचस्प है "डोडेकेहेड्रल-आइकोसाहेड्रल सिद्धांत",जिस पर हम नीचे विचार करेंगे।

प्लेटो का ब्रह्मांड विज्ञान

ऊपर माना गया नियमित बहुफलक कहलाता है प्लेटोनिक ठोस, क्योंकि उन्होंने प्लेटो की ब्रह्मांड की संरचना की दार्शनिक अवधारणा में एक महत्वपूर्ण स्थान पर कब्जा कर लिया था।

प्लेटो (427-347 ईसा पूर्व)

चार पॉलीहेड्रॉन इसमें चार सार या "तत्व" हैं। चतुर्पाश्वीयप्रतीक आग, क्योंकि इसका शीर्ष ऊपर की ओर निर्देशित है; विंशतिफलक — पानी, चूंकि यह सबसे "सुव्यवस्थित" पॉलीहेड्रॉन है; घनक्षेत्र — धरती, सबसे "स्थिर" पॉलीहेड्रॉन के रूप में; अष्टफलक — हवा, सबसे "हवादार" पॉलीहेड्रॉन के रूप में। पांचवां पॉलीहेड्रॉन, द्वादशफ़लक, "सब कुछ मौजूद है", "सार्वभौमिक दिमाग", पूरे ब्रह्मांड का प्रतीक है और माना जाता था ब्रह्मांड की मुख्य ज्यामितीय आकृति।

प्राचीन यूनानियों ने सामंजस्यपूर्ण संबंधों को ब्रह्मांड का आधार माना था, इसलिए चार तत्व इस तरह के अनुपात से जुड़े हुए थे: पृथ्वी / जल = वायु / अग्नि। प्लेटो द्वारा "तत्वों" के परमाणुओं को एक गीत के चार तारों की तरह पूर्ण अनुरूपता में ट्यून किया गया था। याद रखें कि व्यंजन एक सुखद व्यंजन है। इन निकायों के संबंध में, यह कहना उचित होगा कि तत्वों की ऐसी प्रणाली, जिसमें चार तत्व शामिल थे - पृथ्वी, जल, वायु और अग्नि - अरस्तू द्वारा विहित किया गया था। ये तत्व कई शताब्दियों तक ब्रह्मांड के चार कोने के पत्थर बने रहे। हमारे लिए ज्ञात पदार्थ की चार अवस्थाओं - ठोस, तरल, गैसीय और प्लाज्मा के साथ उनकी पहचान करना काफी संभव है।

इस प्रकार, प्राचीन यूनानियों ने प्लेटोनिक ठोस में अपने अवतार के साथ होने के "थ्रू" सद्भाव के विचार को जोड़ा। प्रसिद्ध यूनानी विचारक प्लेटो का भी प्रभाव पड़ा शुरुआतयूक्लिड। इस पुस्तक में, जो सदियों से ज्यामिति की एकमात्र पाठ्यपुस्तक थी, "आदर्श" रेखाओं और "आदर्श" आकृतियों का विवरण दिया गया है। सबसे "आदर्श" पंक्ति - सीधा, और सबसे "आदर्श" बहुभुज - नियमित बहुभुज,रखना बराबर पक्षतथा समान कोण. सबसे सरल नियमित बहुभुज माना जा सकता है समभुज त्रिकोण,क्योंकि इसमें सबसे छोटी भुजाएँ होती हैं जो समतल के एक भाग को परिसीमित कर सकती हैं। यह दिलचस्प है कि शुरुआतयूक्लिड निर्माण के विवरण के साथ शुरू होता है सही त्रिकोणऔर पाँच के साथ समाप्त करें प्लेटोनिक ठोस।नोटिस जो प्लेटोनिक ठोसफाइनल के लिए समर्पित, यानी 13वीं किताब शुरू कियायूक्लिड। वैसे, यह तथ्य, अर्थात्, अंतिम में नियमित पॉलीहेड्रा के सिद्धांत की नियुक्ति (अर्थात, जैसा कि यह था, सबसे महत्वपूर्ण) पुस्तक शुरू कियायूक्लिड ने प्राचीन यूनानी गणितज्ञ प्रोक्लस को जन्म दिया, जो यूक्लिड पर एक टिप्पणीकार थे, उन्होंने यूक्लिड द्वारा अपनाए गए सच्चे लक्ष्यों के बारे में एक दिलचस्प परिकल्पना को सामने रखा, जिससे उनका निर्माण हुआ शुरुआत. प्रोक्लस के अनुसार, यूक्लिड ने बनाया शुरुआतज्यामिति को इस रूप में प्रस्तुत करने के उद्देश्य से नहीं, बल्कि "आदर्श" आंकड़ों के निर्माण का एक पूर्ण व्यवस्थित सिद्धांत देने के लिए, विशेष रूप से पांच में प्लेटोनिक ठोस, साथ ही गणित में कुछ नवीनतम उपलब्धियों पर प्रकाश डाला!

यह कोई संयोग नहीं है कि फुलरीन की खोज के लेखकों में से एक, नोबेल पुरस्कार विजेता हेरोल्ड क्रोटो, अपने नोबेल व्याख्यान में, समरूपता के बारे में अपनी कहानी "भौतिक दुनिया की हमारी धारणा के आधार" और "व्याख्या करने के प्रयासों में इसकी भूमिका" के रूप में शुरू करते हैं। यह व्यापक रूप से" ठीक साथ प्लेटोनिक ठोसऔर "सभी चीजों के तत्व": "संरचनात्मक समरूपता की अवधारणा पुरातनता की है ..." सबसे प्रसिद्ध उदाहरण, निश्चित रूप से प्लेटो के टिमियस में पाए जा सकते हैं, जहां धारा 53 में, "तत्वों" का जिक्र करते हुए, वह लिखते हैं: "सबसे पहले, प्रत्येक के लिए ( बेशक, यह स्पष्ट है कि अग्नि और पृथ्वी, जल और वायु शरीर हैं, और प्रत्येक शरीर ठोस है ”(!!) प्लेटो इन चार तत्वों की भाषा में रसायन विज्ञान की समस्याओं पर चर्चा करता है और उन्हें चार प्लेटोनिक ठोस से जोड़ता है। (उस समय केवल चार, जबकि हिप्पार्कस ने पांचवें - डोडेकाहेड्रॉन की खोज नहीं की थी)। हालाँकि पहली नज़र में ऐसा दर्शन कुछ भोला लग सकता है, यह इस बात की गहरी समझ का संकेत देता है कि प्रकृति वास्तव में कैसे कार्य करती है।

आर्किमिडीयन ठोस

अर्ध-नियमित पॉलीहेड्रा

और भी कई संपूर्ण शरीरों को जाना जाता है, जिन्हें कहा जाता है अर्ध-नियमित पॉलीहेड्राया आर्किमिडीज के शरीर।उनके सभी बहुफलकीय कोण भी समान होते हैं और सभी फलक नियमित बहुभुज होते हैं, लेकिन कई अलग - अलग प्रकार. 13 अर्ध-नियमित पॉलीहेड्रा हैं जिनकी खोज का श्रेय आर्किमिडीज को दिया जाता है।

आर्किमिडीज (287 ईसा पूर्व - 212 ईसा पूर्व)

बहुत सारा आर्किमिडीयन ठोसकई समूहों में विभाजित किया जा सकता है। इनमें से पहले में पाँच पॉलीहेड्रा होते हैं, जो से प्राप्त होते हैं प्लेटोनिक ठोसउनके परिणाम के रूप में काट-छाँटएक कटा हुआ शरीर एक कट ऑफ टॉप वाला शरीर है। के लिये प्लेटोनिक ठोसकाट-छाँट इस तरह से की जा सकती है कि परिणामी नए फलक और पुराने के शेष भाग दोनों नियमित बहुभुज हों। उदाहरण के लिए, चतुर्पाश्वीय(चित्र 1-ए) को छोटा किया जा सकता है ताकि इसके चार त्रिकोणीय फलक चार षट्कोणीय फलकों में बदल जाएं और उनमें चार नियमित त्रिभुजाकार फलक जुड़ जाएं। इस प्रकार पांच आर्किमिडीयन ठोस: काटे गए चतुष्फलक, काटे गए हेक्साहेड्रोन (घन), काटे गए अष्टफलक, काटे गए डोडेकाहेड्रॉनतथा काटे गए icosahedron(रेखा चित्र नम्बर 2)।

(एक)	(बी)	(में)

(जी)	(इ)

चित्रा 2. आर्किमिडीयन ठोस: (ए) कटा हुआ टेट्राहेड्रोन, (बी) छोटा घन, (सी) कटा हुआ ऑक्टाहेड्रोन, (डी) छोटा डोडेकाहेड्रॉन, (ई) छोटा आईकोसाहेड्रोन

अपने नोबेल व्याख्यान में, फुलरीन की प्रायोगिक खोज के लेखकों में से एक, अमेरिकी वैज्ञानिक स्माली, आर्किमिडीज (287-212 ईसा पूर्व) को विशेष रूप से काटे गए पॉलीहेड्रा के पहले शोधकर्ता के रूप में बोलते हैं, काटे गए icosahedronहालांकि, इस शर्त के साथ कि शायद आर्किमिडीज इस योग्यता को विनियोजित करता है और, शायद, उससे बहुत पहले ही आइकोसाहेड्रोन को काट दिया गया था। यह स्कॉटलैंड में पाए गए और 2000 ईसा पूर्व के आसपास के लोगों का उल्लेख करने के लिए पर्याप्त है। सैकड़ों पत्थर की वस्तुएं (जाहिरा तौर पर अनुष्ठान के लिए) गोले और विभिन्न के रूप में बहुकोणीय आकृति(सभी पक्षों पर चपटे से बंधे शव चेहरे के), जिसमें इकोसाहेड्रोन और डोडेकेहेड्रोन शामिल हैं। आर्किमिडीज का मूल कार्य, दुर्भाग्य से, संरक्षित नहीं किया गया है, और इसके परिणाम हमारे पास आ गए हैं, जैसा कि वे कहते हैं, "दूसरा हाथ"। पुनर्जागरण के दौरान सभी आर्किमिडीयन ठोसएक के बाद एक नए सिरे से "खोजे" गए। अंत में, केप्लर ने 1619 में अपनी पुस्तक "वर्ल्ड हार्मनी" ("हार्मोनिस मुंडी") में आर्किमिडीयन ठोस - पॉलीहेड्रा के पूरे सेट का विस्तृत विवरण दिया, जिसका प्रत्येक चेहरा है नियमित बहुभुज, और सभी चोटियोंएक समान स्थिति में हैं (जैसे C 60 अणु में कार्बन परमाणु)। आर्किमिडीयन ठोस में कम से कम दो विभिन्न प्रकार केबहुभुज, 5 . के विपरीत प्लेटोनिक ठोस, जिसके सभी फलक समान हैं (उदाहरण के लिए C 20 अणु में)।

चित्रा 3. आर्किमिडीज का निर्माण छोटा icosahedron
प्लेटोनिक icosahedron . से

तो आप कैसे निर्माण करते हैं आर्किमिडीज ने इकोसाहेड्रोन को काट दियासे प्लेटोनिक इकोसाहेड्रोन? उत्तर चित्र की सहायता से स्पष्ट किया गया है। 3. वास्तव में, जैसा कि तालिका से देखा जा सकता है। 1, 5 फलक आईकोसाहेड्रोन के 12 शीर्षों में से किसी एक पर अभिसरित होते हैं। यदि प्रत्येक शीर्ष पर icosahedron के 12 भागों को एक समतल द्वारा काट दिया जाता है, तो 12 नए पंचकोणीय फलक बनते हैं। पहले से मौजूद 20 चेहरों के साथ, जो इस तरह के कट के बाद त्रिकोणीय से हेक्सागोनल में बदल गए हैं, वे एक काटे गए आईकोसाहेड्रोन के 32 चेहरे बनाएंगे। इस मामले में, 90 किनारे और 60 कोने होंगे।

दूसरा समूह आर्किमिडीयन ठोसदो शरीर बनाते हैं जिन्हें कहा जाता है अर्ध-सहीबहुफलक "अर्ध" कण इस बात पर जोर देता है कि इन पॉलीहेड्रा के चेहरे केवल दो प्रकार के नियमित बहुभुज होते हैं, जिसमें एक प्रकार का प्रत्येक चेहरा दूसरे प्रकार के बहुभुज से घिरा होता है। इन दो निकायों को कहा जाता है समचतुर्भुजतथा आईकोसिडोडेकाहेड्रॉन(चित्र 4)।

चित्र 5. आर्किमिडीयन ठोस: (ए) रोम्बिक्यूबोक्टाहेड्रोन, (बी) रंबिकोसिडोडेकेड्रोन

अंत में, दो तथाकथित "स्नब" संशोधन हैं - एक क्यूब के लिए ( स्नब क्यूब), दूसरा डोडेकाहेड्रोन के लिए है ( स्नब डोडेकाहेड्रोन) (चित्र 6)।

(एक)	(बी)

चित्र 6आर्किमिडीज ठोस: (ए) स्नब क्यूब, (बी) स्नब डोडेकाहेड्रॉन

वेनिगर द्वारा उल्लिखित पुस्तक "पॉलीहेड्रा के मॉडल" (1974) में पाठक नियमित पॉलीहेड्रा के 75 विभिन्न मॉडल पा सकते हैं। "पॉलीहेड्रा का सिद्धांत, विशेष रूप से उत्तल पॉलीहेड्रा में, ज्यामिति के सबसे आकर्षक अध्यायों में से एक है"- यह रूसी गणितज्ञ एल.ए. की राय है। Lyusternak, जिन्होंने गणित के इस क्षेत्र में बहुत कुछ किया। इस सिद्धांत का विकास प्रमुख वैज्ञानिकों के नामों से जुड़ा है। पॉलीहेड्रा के सिद्धांत के विकास में एक महान योगदान जोहान्स केप्लर (1571-1630) द्वारा किया गया था। एक समय में उन्होंने "अबाउट ए स्नोफ्लेक" स्केच लिखा था, जिसमें उन्होंने निम्नलिखित टिप्पणी की थी: "नियमित निकायों में, सबसे पहले, बाकी की शुरुआत और पूर्वज घन है, और इसकी पत्नी, अगर मैं ऐसा कह सकता हूं, तो ऑक्टाहेड्रोन है, क्योंकि ऑक्टाहेड्रोन में उतने ही कोण होते हैं जितने घन के चेहरे होते हैं।"केप्लर ने सबसे पहले प्रकाशित किया था पूरी सूचीतेरह आर्किमिडीयन ठोसऔर उन्हें वे नाम दिए जिनके द्वारा वे आज तक जाने जाते हैं।

केप्लर तथाकथित का अध्ययन करने वाले पहले व्यक्ति थे स्टार पॉलीहेड्रा,जो, प्लेटोनिक और आर्किमिडीयन ठोस के विपरीत, नियमित उत्तल पॉलीहेड्रा हैं। पिछली शताब्दी की शुरुआत में, फ्रांसीसी गणितज्ञ और मैकेनिक एल। पॉइंसॉट (1777-1859), जिनके ज्यामितीय कार्य तारे के आकार के पॉलीहेड्रा से संबंधित हैं, ने केपलर के काम को विकसित किया और दो और प्रकार के नियमित गैर-उत्तल के अस्तित्व की खोज की। बहुफलक तो, केप्लर और पॉइन्सॉट के काम के लिए धन्यवाद, इस तरह के चार प्रकार के आंकड़े ज्ञात हो गए (चित्र 7)। 1812 में, ओ. कॉची ने साबित किया कि कोई अन्य नियमित तारे के आकार का पॉलीहेड्रा नहीं है।

चित्र 7रेगुलर स्टार पॉलीहेड्रा (प्वाइंटॉट सॉलिड)

कई पाठकों का प्रश्न हो सकता है: "नियमित पॉलीहेड्रा का अध्ययन बिल्कुल क्यों करें? उनका क्या उपयोग है?" इस प्रश्न का उत्तर दिया जा सकता है: “और संगीत या कविता का क्या उपयोग है? क्या सब कुछ सुंदर उपयोगी है? अंजीर में दिखाए गए पॉलीहेड्रा मॉडल। 1-7, सबसे पहले, हम पर एक सौंदर्य प्रभाव डालते हैं और इसे सजावटी आभूषण के रूप में इस्तेमाल किया जा सकता है। लेकिन वास्तव में, प्राकृतिक संरचनाओं में नियमित पॉलीहेड्रा की व्यापक अभिव्यक्ति ने ज्यामिति की इस शाखा में बहुत रुचि पैदा की आधुनिक विज्ञान.

मिस्र के कैलेंडर का रहस्य

एक कैलेंडर क्या है?

एक रूसी कहावत है: "समय इतिहास की आंख है।" ब्रह्मांड में जो कुछ भी मौजूद है: सूर्य, पृथ्वी, तारे, ग्रह, ज्ञात और अज्ञात दुनिया, और प्रकृति में मौजूद हर चीज, जीवित और निर्जीव, हर चीज का एक अंतरिक्ष-समय आयाम होता है। समय को एक निश्चित अवधि की समय-समय पर दोहराई जाने वाली प्रक्रियाओं को देखकर मापा जाता है।

प्राचीन काल में भी, लोगों ने देखा था कि दिन हमेशा रात का रास्ता देता है, और ऋतुएँ एक सख्त क्रम में गुजरती हैं: बसंत सर्दियों के बाद, ग्रीष्म ऋतु के बाद, ग्रीष्म के बाद पतझड़ आता है। इन घटनाओं के लिए एक सुराग की तलाश में, मनुष्य ने स्वर्गीय पिंडों - सूर्य, चंद्रमा, सितारों - और आकाश में उनके आंदोलन की कठोर आवधिकता की ओर ध्यान आकर्षित किया। ये सबसे प्राचीन विज्ञानों में से एक - खगोल विज्ञान के जन्म से पहले के पहले अवलोकन थे।

खगोल विज्ञान खगोलीय पिंडों की गति पर समय की माप पर आधारित है, जो तीन कारकों को दर्शाता है: अपनी धुरी के चारों ओर पृथ्वी का घूमना, पृथ्वी के चारों ओर चंद्रमा की परिक्रमा और सूर्य के चारों ओर पृथ्वी की गति। इनमें से किस घटना पर समय की माप आधारित है, समय की विभिन्न अवधारणाएं भी निर्भर करती हैं। खगोल विज्ञान जानता है तारकीयसमय, धूपसमय, स्थानीयसमय, कमरसमय, मातृत्व अवकाशसमय, परमाणुसमय, आदि

सूर्य, अन्य सभी प्रकाशकों की तरह, पूरे आकाश में गति में शामिल है। दैनिक गति के अलावा, सूर्य की तथाकथित वार्षिक गति है, और आकाश में सूर्य की वार्षिक गति के पूरे पथ को कहा जाता है अण्डाकार।यदि, उदाहरण के लिए, हम एक निश्चित शाम के समय नक्षत्रों के स्थान को नोटिस करते हैं, और फिर हर महीने इस अवलोकन को दोहराते हैं, तो हमारे सामने आकाश की एक अलग तस्वीर दिखाई देगी। तारों वाले आकाश का नज़ारा लगातार बदलता रहता है: हर मौसम में शाम के नक्षत्रों की अपनी तस्वीर होती है, और हर साल ऐसी हर तस्वीर दोहराई जाती है। नतीजतन, वर्ष की समाप्ति के बाद, सितारों के संबंध में सूर्य अपने मूल स्थान पर लौट आता है।

तारकीय दुनिया में अभिविन्यास की सुविधा के लिए, खगोलविदों ने पूरे आकाश को 88 नक्षत्रों में विभाजित किया। उनमें से प्रत्येक का अपना नाम है। 88 नक्षत्रों में से, खगोल विज्ञान में एक विशेष स्थान पर उनका कब्जा है, जिसके माध्यम से अण्डाकार गुजरता है। इन नक्षत्रों का अपने स्वयं के नामों के अतिरिक्त एक सामान्यीकृत नाम भी है - राशिचक्रीय(से ग्रीक शब्द"ज़ूप" - एक जानवर), साथ ही प्रतीकों (संकेत) को दुनिया भर में व्यापक रूप से जाना जाता है और कैलेंडर सिस्टम में शामिल विभिन्न रूपक चित्र।

यह ज्ञात है कि सूर्य ग्रहण के साथ चलने की प्रक्रिया में 13 नक्षत्रों को पार करता है। हालांकि, खगोलविदों ने सूर्य के पथ को 13 में नहीं, बल्कि 12 भागों में विभाजित करना आवश्यक पाया, नक्षत्र वृश्चिक और ओफ़िचस को एक में मिलाते हुए - सामान्य नाम वृश्चिक (क्यों?) के तहत।

समय मापने की समस्याओं का समाधान एक विशेष विज्ञान द्वारा किया जाता है जिसे कहा जाता है कालक्रम।यह मानव जाति द्वारा बनाई गई सभी कैलेंडर प्रणालियों को रेखांकित करता है। प्राचीन काल में कैलेंडर का निर्माण खगोल विज्ञान के सबसे महत्वपूर्ण कार्यों में से एक था।

एक "कैलेंडर" क्या है और क्या हैं कैलेंडर सिस्टम? शब्द पंचांगलैटिन शब्द . से आया है कलैण्डेरियम, जिसका शाब्दिक अर्थ है "ऋण पुस्तक"; ऐसी पुस्तकों में प्रत्येक महीने के पहले दिन इंगित किए गए थे - कैलेंडर,जिसमें प्राचीन रोमदेनदार ब्याज देते हैं।

पूर्वी और के देशों में प्राचीन काल से दक्षिण - पूर्व एशियाकैलेंडर बनाते समय बहुत महत्वसूर्य, चंद्रमा, साथ ही साथ की गति की आवधिकता दी बृहस्पतितथा शनि ग्रह, सौर मंडल के दो विशाल ग्रह। यह मानने का कारण है कि बनाने का विचार बृहस्पति कैलेंडररोटेशन से जुड़े 12 साल के पशु चक्र के आकाशीय प्रतीकवाद के साथ बृहस्पतिसूर्य के चारों ओर, जो लगभग 12 वर्षों (11.862 वर्ष) में सूर्य के चारों ओर एक पूर्ण क्रांति करता है। वहीं, सौरमंडल का दूसरा विशालकाय ग्रह - शनि ग्रहलगभग 30 वर्षों (29.458 वर्ष) में सूर्य के चारों ओर एक पूर्ण क्रांति करता है। विशाल ग्रहों की गति के चक्रों का समन्वय करना चाहते हुए, प्राचीन चीनी सौर मंडल के 60 साल के चक्र को पेश करने के विचार के साथ आए। इस चक्र के दौरान, शनि सूर्य के चारों ओर 2 पूर्ण चक्कर लगाता है, और बृहस्पति - 5 चक्कर लगाता है।

वार्षिक कैलेंडर बनाते समय, खगोलीय घटनाओं का उपयोग किया जाता है: दिन और रात का परिवर्तन, चंद्र चरणों में परिवर्तन और ऋतुओं का परिवर्तन। विभिन्न खगोलीय घटनाओं के उपयोग से विभिन्न लोगों के बीच तीन प्रकार के कैलेंडर का निर्माण हुआ: चंद्र,चंद्रमा की गति के आधार पर, सौर,सूर्य की गति के आधार पर, और चंद्र सौर

मिस्र के कैलेंडर की संरचना

पहले सौर कैलेंडर में से एक था मिस्र के, चौथी सहस्राब्दी ईसा पूर्व में बनाया गया। मूल मिस्र के कैलेंडर वर्ष में 360 दिन शामिल थे। वर्ष को ठीक 30 दिनों के 12 महीनों में विभाजित किया गया था। हालांकि, बाद में यह पाया गया कि कैलेंडर वर्ष की ऐसी अवधि खगोलीय वर्ष के अनुरूप नहीं है। और फिर मिस्रियोंने कलैण्डर वर्ष में 5 और दिन जोड़े, जो कि महीनों के दिन नहीं थे। यह 5 . था सार्वजनिक छुट्टियाँआसन्न कैलेंडर वर्षों को जोड़ना। इस प्रकार, मिस्र के कैलेंडर वर्ष में निम्नलिखित संरचना थी: 365 = 12ґ 30 + 5. ध्यान दें कि यह मिस्र का कैलेंडर है जो आधुनिक कैलेंडर का प्रोटोटाइप है।

प्रश्न उठता है: मिस्रवासियों ने कैलेंडर वर्ष को 12 महीनों में क्यों विभाजित किया? आखिरकार, साल में अलग-अलग महीनों के कैलेंडर थे। उदाहरण के लिए, माया कैलेंडर में, वर्ष में प्रति माह 20 दिनों के 18 महीने शामिल थे। मिस्र के कैलेंडर के बारे में अगला सवाल यह है कि हर महीने में ठीक 30 दिन क्यों होते हैं ( अधिक सटीक दिन)? मिस्र की समय मापने की प्रणाली के बारे में कुछ सवाल उठाए जा सकते हैं, विशेष रूप से समय की ऐसी इकाइयों की पसंद के बारे में: घंटा, मिनट, दूसरा।विशेष रूप से, प्रश्न उठता है: घंटे की इकाई को इस तरह से क्यों चुना गया कि वह दिन में ठीक 24 बार फिट हो, यानी 1 दिन = 24 (2ґ 12) घंटे क्यों? आगे: 1 घंटा = 60 मिनट और 1 मिनट = 60 सेकंड क्यों? कोणीय मात्राओं की इकाइयों के चुनाव पर भी यही प्रश्न लागू होते हैं, विशेष रूप से: वृत्त को 360° में क्यों विभाजित किया जाता है, अर्थात् 2p = 360° = 12ґ 30° क्यों? इन प्रश्नों में अन्य प्रश्न जोड़े जाते हैं, विशेष रूप से: खगोलविदों ने यह विचार करना क्यों समीचीन माना कि 12 . हैं राशिचक्रीयसंकेत, हालांकि वास्तव में, ग्रहण के साथ अपने आंदोलन की प्रक्रिया में, सूर्य 13 नक्षत्रों को पार करता है? और एक और "अजीब" प्रश्न: बेबीलोन की संख्या प्रणाली का एक बहुत ही असामान्य आधार क्यों था - संख्या 60?

डोडेकाहेड्रोन की संख्यात्मक विशेषताओं के साथ मिस्र के कैलेंडर का संबंध

मिस्र के कैलेंडर, साथ ही समय और कोणीय मूल्यों को मापने के लिए मिस्र की प्रणालियों का विश्लेषण करते हुए, हम पाते हैं कि चार संख्याओं को अद्भुत स्थिरता के साथ दोहराया जाता है: 12, 30, 60 और संख्या 360 \u003d 12ґ 30 उनसे प्राप्त हुई। सवाल उठता है: क्या कोई मौलिक वैज्ञानिक विचार है जो मिस्र के सिस्टम में इन नंबरों के उपयोग के लिए एक सरल और तार्किक स्पष्टीकरण दे सकता है?

इस प्रश्न का उत्तर देने के लिए, हम फिर से मुड़ते हैं द्वादशफ़लकचित्र में दिखाया गया है 1-डी. याद रखें कि डोडेकाहेड्रॉन के सभी ज्यामितीय अनुपात सुनहरे अनुपात पर आधारित होते हैं।

क्या मिस्रवासी डोडेकाहेड्रोन को जानते थे? गणित के इतिहासकार मानते हैं कि प्राचीन मिस्रवासियों को नियमित पॉलीहेड्रा का ज्ञान था। लेकिन क्या वे विशेष रूप से सभी पांच नियमित पॉलीहेड्रा को जानते थे? द्वादशफ़लकतथा विंशतिफलकसबसे कठिन कैसे? प्राचीन यूनानी गणितज्ञ प्रोक्लस ने नियमित पॉलीहेड्रा के निर्माण का श्रेय पाइथागोरस को दिया है। लेकिन कई गणितीय प्रमेय और परिणाम (विशेषकर, पाइथागोरस प्रमेय) पाइथागोरस ने मिस्र की अपनी बहुत लंबी "व्यावसायिक यात्रा" के दौरान प्राचीन मिस्रवासियों से उधार लिया था (कुछ रिपोर्टों के अनुसार, पाइथागोरस 22 वर्षों तक मिस्र में रहा था!) इसलिए, हम यह मान सकते हैं कि पाइथागोरस ने प्राचीन मिस्रियों (और संभवतः प्राचीन बेबीलोनियों से, क्योंकि पौराणिक कथा के अनुसार, पाइथागोरस 12 वर्षों तक प्राचीन बाबुल में रहते थे) से नियमित पॉलीहेड्रा के बारे में ज्ञान उधार लिया था। लेकिन अन्य, अधिक ठोस सबूत हैं कि मिस्रियों के पास सभी पांच नियमित पॉलीहेड्रा के बारे में जानकारी थी। विशेष रूप से, ब्रिटिश संग्रहालय में टॉलेमिक युग का एक पासा है, जिसका आकार है विंशतिफलक, वह है, "प्लेटोनिक सॉलिड", ड्यूल द्वादशफ़लक. ये सभी तथ्य हमें इस परिकल्पना को सामने रखने का अधिकार देते हैं कि मिस्रवासी डोडेकाहेड्रोन को जानते थे।और यदि ऐसा है, तो इस परिकल्पना से एक बहुत ही सामंजस्यपूर्ण प्रणाली का अनुसरण होता है, जो मिस्र के कैलेंडर की उत्पत्ति और साथ ही समय अंतराल और ज्यामितीय कोणों को मापने के लिए मिस्र की प्रणाली की उत्पत्ति की व्याख्या करना संभव बनाता है।

इससे पहले हमने स्थापित किया था कि डोडेकाहेड्रोन की सतह पर 12 फलक, 30 किनारे और 60 समतल कोने होते हैं (तालिका 1)। उस परिकल्पना के आधार पर जिसे मिस्रवासी जानते थे द्वादशफ़लकऔर इसकी संख्यात्मक विशेषताएँ 12, 30. 60 हैं, तो उन्हें क्या आश्चर्य हुआ जब उन्हें पता चला कि सौर मंडल के चक्रों को समान संख्याओं द्वारा व्यक्त किया जाता है, अर्थात् बृहस्पति का 12-वर्षीय चक्र, शनि का 30-वर्ष का चक्र और, अंत में, सौर मंडल का 60- ग्रीष्म चक्र। इस प्रकार, इस तरह के एक आदर्श स्थानिक आकृति के बीच द्वादशफ़लक, तथा सौर प्रणाली, एक गहरा गणितीय संबंध है! यह निष्कर्ष प्राचीन वैज्ञानिकों द्वारा किया गया था। इससे यह तथ्य सामने आया कि द्वादशफ़लक"मुख्य आकृति" के रूप में अपनाया गया था, जिसका प्रतीक ब्रह्मांड का सामंजस्य. और फिर मिस्रवासियों ने फैसला किया कि उनकी सभी मुख्य प्रणालियाँ (कैलेंडर प्रणाली, समय माप प्रणाली, कोण माप प्रणाली) संख्यात्मक मापदंडों के अनुरूप होनी चाहिए। द्वादशफ़लक! चूँकि, पूर्वजों के विचारों के अनुसार, अण्डाकार के साथ सूर्य की गति का एक सख्त गोलाकार चरित्र था, इसलिए, राशि चक्र के 12 संकेतों को चुना, जिसके बीच की चाप की दूरी ठीक 30 ° थी, मिस्रवासी आश्चर्यजनक रूप से खूबसूरती से सहमत हुए वार्षिक आंदोलनउनके कैलेंडर वर्ष की संरचना के साथ ग्रहण के साथ सूर्य: एक महीना राशि चक्र के दो पड़ोसी राशियों के बीच ग्रहण के साथ सूर्य की गति के अनुरूप है!इसके अलावा, एक डिग्री से सूर्य की गति मिस्र में एक दिन के अनुरूप थी कैलेंडर वर्ष! इस मामले में, एक्लिप्टिक स्वचालित रूप से 360 ° में विभाजित हो गया था। डोडेकाहेड्रोन का अनुसरण करते हुए, प्रत्येक दिन को दो भागों में विभाजित करते हुए, मिस्रियों ने दिन के प्रत्येक आधे हिस्से को 12 भागों (12 चेहरों) में विभाजित किया। द्वादशफ़लक) और इस प्रकार पेश किया गया घंटासमय की सबसे महत्वपूर्ण इकाई है। एक घंटे को 60 मिनट में विभाजित करना (सतह पर 60 समतल कोने द्वादशफ़लक), मिस्रियों ने इस तरह पेश किया मिनटसमय की अगली महत्वपूर्ण इकाई है। इसी तरह, उन्होंने प्रवेश किया मुझे एक सेकंड दे- उस अवधि के लिए समय की सबसे छोटी इकाई।

इस प्रकार, चुनना द्वादशफ़लकब्रह्मांड के मुख्य "हार्मोनिक" आंकड़े के रूप में, और डोडेकेहेड्रोन 12, 30, 60 की संख्यात्मक विशेषताओं का सख्ती से पालन करते हुए, मिस्रवासी एक अत्यंत सामंजस्यपूर्ण कैलेंडर बनाने में कामयाब रहे, साथ ही समय और कोणीय मूल्यों को मापने के लिए सिस्टम भी। ये प्रणालियाँ अपने "सद्भाव के सिद्धांत" के साथ पूरी तरह सहमत थीं, जो सुनहरे अनुपात पर आधारित थी, क्योंकि यह इस अनुपात का आधार है। द्वादशफ़लक.

तुलना से ये आश्चर्यजनक निष्कर्ष निकलते हैं द्वादशफ़लकसौर मंडल के साथ। और अगर हमारी परिकल्पना सही है (किसी को इसका खंडन करने का प्रयास करने दें), तो यह इस प्रकार है कि कई सदियों से मानवता जी रही है सुनहरे अनुपात के संकेत के तहत! और हर बार हम अपने वॉच फेस को देखते हैं, जो कि के उपयोग पर भी बना है संख्यात्मक विशेषताएं द्वादशफ़लक 12, 30 और 60, हम मुख्य "ब्रह्मांड के रहस्य" को छूते हैं - सुनहरा खंड, इसे जाने बिना!

डैन शेचटमैन द्वारा क्वासिक क्रिस्टल

12 नवंबर, 1984 को, इजरायल के भौतिक विज्ञानी डैन शेचमैन द्वारा आधिकारिक पत्रिका फिजिकल रिव्यू लेटर्स में प्रकाशित एक लघु लेख में, असाधारण गुणों के साथ एक धातु मिश्र धातु के अस्तित्व के लिए प्रायोगिक साक्ष्य प्रस्तुत किए गए थे। जब इलेक्ट्रॉन विवर्तन विधियों द्वारा अध्ययन किया गया, तो इस मिश्र धातु ने एक क्रिस्टल के सभी लक्षण दिखाए। इसका विवर्तन पैटर्न एक क्रिस्टल की तरह उज्ज्वल और नियमित रूप से दूरी वाले बिंदुओं से बना है। हालांकि, इस तस्वीर को "आइकोसाहेड्रल" या "पेंटांगोनल" समरूपता की उपस्थिति की विशेषता है, जो कि ज्यामितीय विचारों के कारण क्रिस्टल में सख्त वर्जित है। ऐसी असामान्य मिश्र धातुओं को कहा जाता था अर्ध-क्रिस्टल।एक साल से भी कम समय में, इस प्रकार की कई अन्य मिश्र धातुओं की खोज की गई। उनमें से इतने सारे थे कि अर्ध-क्रिस्टलीय अवस्था किसी की कल्पना से कहीं अधिक सामान्य हो गई।

इज़राइली भौतिक विज्ञानी डैन शेचटमैन

क्वासिक क्रिस्टल की अवधारणा मौलिक रुचि की है क्योंकि यह क्रिस्टल की परिभाषा को सामान्य और पूरा करती है। इस अवधारणा पर आधारित एक सिद्धांत प्रमुख अवधारणा के साथ "अंतरिक्ष में कड़ाई से आवधिक तरीके से दोहराई जाने वाली एक संरचनात्मक इकाई" के सदियों पुराने विचार को बदल देता है दूर का आदेश।जैसा कि "Quasicrystals" लेख में जोर दिया गया है प्रसिद्ध भौतिक विज्ञानीडी ग्रेटिया, "इस अवधारणा ने क्रिस्टलोग्राफी के विस्तार को जन्म दिया है, जिसे फिर से खोजा गया धन जिसे हम अभी तलाशना शुरू कर रहे हैं। खनिजों की दुनिया में इसके महत्व को गणित में परिमेय संख्याओं की अवधारणा को जोड़ने के साथ सममूल्य पर रखा जा सकता है।

एक क्वासिक क्रिस्टल क्या है? इसके गुण क्या हैं और इसका वर्णन कैसे किया जा सकता है? जैसा कि ऊपर उल्लेख किया गया है, के अनुसार क्रिस्टलोग्राफी का मौलिक नियमक्रिस्टल संरचना पर सख्त प्रतिबंध लगाए गए हैं। शास्त्रीय विचारों के अनुसार, एक क्रिस्टल एक एकल कोशिका से बना होता है, जो बिना किसी प्रतिबंध के पूरे विमान को घनी (आमने-सामने) "आच्छादित" करना चाहिए।

जैसा कि ज्ञात है, समतल का सघन भरण निम्न का उपयोग करके किया जा सकता है त्रिभुज(चित्र 7-ए), वर्गों(चित्र 7-बी) और षट्भुज(चित्र 7-डी)। का उपयोग करके पंचकोण (पंचकोण) ऐसा भरना असंभव है (चित्र 7-सी)।

एक)	बी)	में)	जी)

चित्र 7त्रिभुज (a), वर्ग (b) और षट्भुज (d) का उपयोग करके समतल की सघन भरण की जा सकती है

ये पारंपरिक क्रिस्टलोग्राफी के सिद्धांत थे जो एल्यूमीनियम और मैंगनीज के असामान्य मिश्र धातु की खोज से पहले मौजूद थे, जिसे क्वासिक क्रिस्टल कहा जाता था। ऐसी मिश्रधातु 10 6 के प्रति सेकंड की दर से पिघल के अल्ट्राफास्ट कूलिंग द्वारा बनाई गई है। उसी समय, इस तरह के मिश्र धातु के विवर्तन अध्ययन के दौरान, स्क्रीन पर एक आदेशित पैटर्न प्रदर्शित होता है, जो कि icosahedron की समरूपता की विशेषता है, जिसमें 5 वें क्रम के प्रसिद्ध निषिद्ध समरूपता अक्ष हैं।

अगले कुछ वर्षों में दुनिया भर के कई वैज्ञानिक समूहों ने इलेक्ट्रॉन माइक्रोस्कोपी के माध्यम से इस असामान्य मिश्र धातु का अध्ययन किया। उच्च संकल्प. उन सभी ने पदार्थ की आदर्श एकरूपता की पुष्टि की, जिसमें 5वें क्रम की समरूपता को परमाणुओं के करीब आयामों (कई दसियों नैनोमीटर) के साथ मैक्रोस्कोपिक क्षेत्रों में संरक्षित किया गया था।

आधुनिक विचारों के अनुसार, निम्नलिखित मॉडल को क्वासिक क्रिस्टल की क्रिस्टल संरचना प्राप्त करने के लिए विकसित किया गया है। यह मॉडल "मूल तत्व" की अवधारणा पर आधारित है। इस मॉडल के अनुसार, एल्युमीनियम परमाणुओं का आंतरिक आइसोसाहेड्रोन मैंगनीज परमाणुओं के बाहरी इकोसाहेड्रोन से घिरा होता है। Icosahedrons मैंगनीज परमाणुओं के अष्टफलक द्वारा जुड़े हुए हैं। "आधार तत्व" में 42 एल्यूमीनियम परमाणु और 12 मैंगनीज परमाणु होते हैं। जमने की प्रक्रिया में, "बुनियादी तत्वों" का तेजी से गठन होता है, जो कठोर अष्टकोणीय "पुलों" द्वारा एक दूसरे से जल्दी से जुड़े होते हैं। याद रखें कि icosahedron के फलक समबाहु त्रिभुज हैं। मैंगनीज का एक अष्टफलकीय पुल बनाने के लिए, यह आवश्यक है कि दो ऐसे त्रिकोण (प्रत्येक कोशिका में एक) एक दूसरे के काफी करीब पहुंचें और समानांतर में पंक्तिबद्ध हों। इस तरह की एक भौतिक प्रक्रिया के परिणामस्वरूप, "आइकोसाहेड्रल" समरूपता के साथ एक अर्ध-क्रिस्टलीय संरचना बनती है।

हाल के दशकों में, कई प्रकार के अर्ध-क्रिस्टलीय मिश्र धातुओं की खोज की गई है। "आइकोसाहेड्रल" समरूपता (5 वां क्रम) होने के अलावा, दशमलव समरूपता (10 वां क्रम) और डोडेकोनाल समरूपता (12 वां क्रम) के साथ मिश्र धातु भी हैं। हाल ही में क्वासिक क्रिस्टल के भौतिक गुणों की जांच की जाने लगी।

अर्ध-क्रिस्टल की खोज का व्यावहारिक महत्व क्या है? जैसा कि ऊपर उद्धृत ग्रैटिया के लेख में उल्लेख किया गया है, "अर्ध-क्रिस्टलीय मिश्र धातुओं की यांत्रिक शक्ति नाटकीय रूप से बढ़ जाती है; आवधिकता की अनुपस्थिति पारंपरिक धातुओं की तुलना में अव्यवस्थाओं के प्रसार में मंदी की ओर ले जाती है ... यह संपत्ति बहुत व्यावहारिक महत्व की है: इकोसाहेड्रल चरण के उपयोग से छोटे कणों को पेश करके प्रकाश और बहुत मजबूत मिश्र धातु प्राप्त करना संभव हो जाएगा। एक एल्यूमीनियम मैट्रिक्स में क्वासिक क्रिस्टल।

क्वासिक क्रिस्टल की खोज का पद्धतिगत महत्व क्या है? सबसे पहले, क्वासिक क्रिस्टल की खोज "डोडेकेहेड्रल-आइकोसाहेड्रल सिद्धांत" की महान विजय का क्षण है, जो प्राकृतिक विज्ञान के पूरे इतिहास में व्याप्त है और गहरे और उपयोगी वैज्ञानिक विचारों का स्रोत है। दूसरे, क्वासिक क्रिस्टल ने खनिजों की दुनिया के बीच एक दुर्गम विभाजन की पारंपरिक धारणा को नष्ट कर दिया, जिसमें "पंचकोणीय" समरूपता निषिद्ध थी, और वन्यजीवों की दुनिया, जहां "पेंटागोनल" समरूपता सबसे आम में से एक है। और हमें यह नहीं भूलना चाहिए कि icosahedron का मुख्य अनुपात "सुनहरा अनुपात" है। और क्वासिक क्रिस्टल की खोज एक और वैज्ञानिक पुष्टि है कि, शायद, यह "सुनहरा अनुपात" है, जो वन्यजीवों की दुनिया और खनिजों की दुनिया में खुद को प्रकट करता है, ब्रह्मांड का मुख्य अनुपात है।

पेनरोज़ टाइलें

जब डैन शेचमैन ने क्वासिक क्रिस्टल के अस्तित्व का प्रायोगिक प्रमाण दिया आइकोसाहेड्रल समरूपता, भौतिकविदों ने क्वासिक क्रिस्टल की घटना के लिए एक सैद्धांतिक व्याख्या की तलाश में, अंग्रेजी गणितज्ञ रोजर पेनरोज़ द्वारा 10 साल पहले की गई गणितीय खोज की ओर ध्यान आकर्षित किया। क्वासिक क्रिस्टल के "फ्लैट एनालॉग" के रूप में, हमने चुना पेनरोज़ टाइल्स, जो "गोल्डन सेक्शन" के अनुपात का पालन करते हुए, "मोटी" और "पतली" समचतुर्भुज द्वारा गठित एपेरियोडिक नियमित संरचनाएं हैं। बिल्कुल पेनरोज़ टाइल्सघटना की व्याख्या करने के लिए क्रिस्टलोग्राफरों द्वारा अपनाया गया था क्वासिक क्रिस्टल. साथ ही, भूमिका पेनरोज़ हीरेतीन आयामों के अंतरिक्ष में खेलना शुरू किया इकोसाहेड्रा, जिसकी मदद से त्रि-आयामी स्थान की सघन फिलिंग की जाती है।

अंजीर में दिए गए पेंटागन पर फिर से ध्यान से विचार करें। आठ।

आंकड़ा 8पंचकोण

इसमें विकर्ण खींचकर मूल पंचभुज को तीन प्रकार के समुच्चय के रूप में निरूपित किया जा सकता है ज्यामितीय आकार. केंद्र में एक नया पंचकोण है जो विकर्णों के प्रतिच्छेदन बिंदुओं से बनता है। इसके अलावा, अंजीर में पेंटागन। 8 में रंगीन पांच समद्विबाहु त्रिभुज शामिल हैं पीला, और पांच समद्विबाहु त्रिभुज लाल रंग के होते हैं। पीले त्रिकोण "सोने" हैं क्योंकि कूल्हे और आधार का अनुपात सुनहरे अनुपात के बराबर है; इनके शीर्ष पर 36° का न्यून कोण और आधार पर 72° का न्यून कोण होता है। लाल त्रिकोण भी "सुनहरा" हैं, क्योंकि कूल्हे और आधार का अनुपात सुनहरे अनुपात के बराबर है; उनके शीर्ष पर 108° का अधिक कोण और आधार पर 36° का न्यून कोण होता है।

और अब दो पीले त्रिभुजों और दो लाल त्रिभुजों को उनके आधारों से जोड़ते हैं। नतीजतन, हमें दो मिलते हैं "सुनहरा" रोम्बस. पहला वाला (पीला) है तेज़ कोने 36° पर और एक अधिक कोण 144° पर (चित्र 9)।

(एक)	(बी)

चित्र 9. "गोल्डन" रोम्बस: ए) "पतला" रोम्बस; (बी) "मोटा" रोम्बस

अंजीर में रोम्बस। 9-ए हम कॉल करेंगे पतला समचतुर्भुज,और अंजीर में समचतुर्भुज। 9-बी - मोटा समचतुर्भुज।

अंग्रेजी गणितज्ञ और भौतिक विज्ञानी रोजर्स पेनरोस ने अंजीर में "गोल्डन" रोम्बस का इस्तेमाल किया। 9 "गोल्डन" लकड़ी की छत के निर्माण के लिए, जिसका नाम रखा गया था पेनरोज़ टाइलें।पेनरोज़ टाइलें मोटे और पतले हीरों का एक संयोजन हैं, जिन्हें अंजीर में दिखाया गया है। दस।

चित्र 10. पेनरोज़ टाइलें

इस बात पर जोर देना जरूरी है कि पेनरोज़ टाइल्स 5 वें क्रम की "पंचकोणीय" समरूपता या समरूपता है, और मोटे समचतुर्भुज की संख्या और पतले वाले का अनुपात सुनहरे अनुपात में जाता है!

फुलरीन

और अब बात करते हैं रसायन विज्ञान के क्षेत्र में एक और उत्कृष्ट आधुनिक खोज की। यह खोज 1985 में हुई थी, यानी कुछ साल बाद क्वासिक क्रिस्टल से। हम तथाकथित "फुलरीन" के बारे में बात कर रहे हैं। "फुलरीन" शब्द बंद अणुओं जैसे सी 60, सी 70, सी 76, सी 84 को संदर्भित करता है, जिसमें सभी कार्बन परमाणु गोलाकार या गोलाकार सतह पर स्थित होते हैं। इन अणुओं में, कार्बन परमाणु नियमित हेक्सागोन्स या पेंटागन के शीर्ष पर स्थित होते हैं जो एक गोले या गोलाकार की सतह को कवर करते हैं। फुलरीन के बीच केंद्रीय स्थान पर सी 60 अणु का कब्जा है, जो उच्चतम समरूपता की विशेषता है और परिणामस्वरूप, उच्चतम स्थिरता है। इस अणु में, एक सॉकर बॉल टायर जैसा दिखता है और एक नियमित रूप से काटे गए इकोसाहेड्रोन (चित्र। 2e और चित्र 3) की संरचना वाले, कार्बन परमाणु एक गोलाकार सतह पर 20 नियमित हेक्सागोन और 12 नियमित पेंटागन के शीर्ष पर स्थित होते हैं, ताकि प्रत्येक षट्भुज की सीमा तीन षट्भुज और तीन पंचभुज पर होती है, और प्रत्येक पंचभुज की सीमा षट्भुज से होती है।

शब्द "फुलरीन" की उत्पत्ति अमेरिकी वास्तुकार बकमिन्स्टर फुलर के नाम से हुई है, जो यह पता चला है, इमारतों के गुंबदों का निर्माण करते समय ऐसी संरचनाओं का उपयोग किया जाता है (एक काटे गए इकोसैहेड्रॉन का एक और उपयोग!)

"फुलरीन" अनिवार्य रूप से "मानव निर्मित" संरचनाएं हैं जो मौलिक भौतिकी अनुसंधान से प्राप्त हुई हैं। पहली बार उन्हें वैज्ञानिकों जी। क्रोटो और आर। स्माली (जिन्होंने 1996 में प्राप्त किया था) द्वारा संश्लेषित किया गया था नोबेल पुरुस्कारइस खोज के लिए)। लेकिन वे अप्रत्याशित रूप से प्रीकैम्ब्रियन काल की चट्टानों में पाए गए, यानी फुलरीन न केवल "मानव निर्मित", बल्कि प्राकृतिक संरचनाएं निकलीं। अब फुलरीन का प्रयोगशालाओं में गहन अध्ययन किया जा रहा है। विभिन्न देश, उनके गठन, संरचना, गुणों और आवेदन के संभावित क्षेत्रों के लिए शर्तों को स्थापित करने की कोशिश कर रहा है। फुलरीन परिवार का सबसे पूर्ण रूप से अध्ययन किया गया प्रतिनिधि फुलरीन -60 (सी 60) है (इसे कभी-कभी बकमिनस्टर-फुलरीन कहा जाता है। फुलरीन सी 70 और सी 84 भी जाना जाता है। फुलरीन सी 60 हीलियम वातावरण में ग्रेफाइट के वाष्पीकरण द्वारा प्राप्त किया जाता है। यह एक महीन, कालिख जैसा पाउडर बनाता है जिसमें 10% कार्बन होता है, जब बेंजीन में घुल जाता है, तो पाउडर एक लाल घोल देता है, जिससे C 60 क्रिस्टल उगाए जाते हैं। भौतिक गुण. अतः उच्च दाब पर C 60 हीरे की तरह कठोर हो जाता है। इसके अणु एक क्रिस्टलीय संरचना बनाते हैं, जैसे कि पूरी तरह से चिकनी गेंदों से मिलकर, एक चेहरे-केंद्रित क्यूबिक जाली में स्वतंत्र रूप से घूमते हैं। इस संपत्ति के कारण, सी 60 को ठोस स्नेहक के रूप में इस्तेमाल किया जा सकता है। फुलरीन में चुंबकीय और अतिचालक गुण भी होते हैं।

रूसी वैज्ञानिक ए.वी. येलेत्स्की और बी.एम. स्मिरनोव ने अपने लेख "फुलेरेन्स" में, "उस्पेखी फ़िज़िचेस्किख नौक" पत्रिका में प्रकाशित (1993, खंड 163, संख्या 2), नोट किया कि "फुलरीन, जिसका अस्तित्व स्थापित किया गया था" 80 के दशक के मध्य में और कुशल प्रौद्योगिकीजिसका अलगाव 1990 में विकसित किया गया था, अब दर्जनों वैज्ञानिक समूहों द्वारा गहन शोध का विषय बन गया है। इन अध्ययनों के परिणामों की एप्लिकेशन फर्मों द्वारा बारीकी से निगरानी की जाती है। चूंकि कार्बन के इस संशोधन ने वैज्ञानिकों को कई आश्चर्य के साथ प्रस्तुत किया है, इसलिए भविष्यवाणियों पर चर्चा करना नासमझी होगी और संभावित परिणामअगले दशक में फुलरीन का अध्ययन, लेकिन नए आश्चर्य के लिए तैयार रहना चाहिए।"

स्लोवेनियाई कलाकार मतियुष्का तीजा क्रास्ज़ेकी की कलात्मक दुनिया

मतजुस्का तेजा क्रैसेक ने कॉलेज से पेंटिंग में स्नातक की डिग्री प्राप्त की दृश्य कला(लुब्लियाना, स्लोवेनिया) और एक स्वतंत्र कलाकार हैं। Ljubljana में रहता है और काम करता है. उसकी सैद्धांतिक और व्यावहारिक कार्यकला और विज्ञान के बीच एक जोड़ने वाली अवधारणा के रूप में समरूपता पर केंद्रित है। उनकी कलाकृति को कई अंतरराष्ट्रीय प्रदर्शनियों में प्रस्तुत किया गया है और अंतरराष्ट्रीय पत्रिकाओं (लियोनार्डो जर्नल, लियोनार्डो ऑनलाइन) में प्रकाशित किया गया है।

एम.टी. Kraszek अपनी प्रदर्शनी 'कैलिडोस्कोपिक फ्रेग्रेन्स' में, ज़ुब्लज़ाना, 2005

Matyushka Teija Kraszek का कलात्मक कार्य विभिन्न प्रकार की समरूपता, पेनरोज़ टाइलें और समचतुर्भुज, quasicrystals, समरूपता के मुख्य तत्व के रूप में सुनहरा खंड, फाइबोनैचि संख्या आदि से जुड़ा हुआ है। प्रतिबिंब, कल्पना और अंतर्ज्ञान की मदद से, वह कोशिश करती है इन तत्वों और संरचनाओं में नए संबंध, संरचना के नए स्तर, नए और विभिन्न प्रकार के क्रम खोजें। अपने कार्यों में, वह कलाकृतियों के निर्माण के लिए एक बहुत ही उपयोगी माध्यम के रूप में कंप्यूटर ग्राफिक्स का व्यापक उपयोग करती है, जो विज्ञान, गणित और कला के बीच की कड़ी है।

अंजीर पर। 11 टी.एम. की संरचना को दर्शाता है। फाइबोनैचि संख्याओं से जुड़े क्रैशेक। यदि हम इस बोधगम्य रूप से अस्थिर रचना में पेनरोज़ हीरे के किनारे की लंबाई के लिए फाइबोनैचि संख्याओं में से एक (उदाहरण के लिए, 21 सेमी) चुनते हैं, तो हम देख सकते हैं कि रचना में कुछ खंडों की लंबाई फिबोनाची अनुक्रम कैसे बनाती है।

चित्र 11. Matushka Teija Kraszek "फिबोनाची नंबर", कैनवास, 1998।

कलाकार की बड़ी संख्या में कलात्मक रचनाएँ शेचमैन के अर्ध-क्रिस्टल और पेनरोज़ जाली (चित्र। 12) को समर्पित हैं।

(एक)	(बी)

(में)	(जी)

चित्र 12.थिया क्रेस्ज़ेक की दुनिया: (ए) क्वासिक क्रिस्टल की दुनिया। कंप्यूटर ग्राफिक्स, 1996।
(बी) सितारे। कंप्यूटर ग्राफिक्स, 1998 (सी) 10/5। होल्स्ट, 1998 (डी) क्वासिक्यूब। कैनवास, 1999

Matyushka Teija Kraszek और क्लिफोर्ड पिकओवर "बायोजेनेसिस", 2005 (चित्र। 13) की रचना में, एक दशमलव प्रस्तुत किया गया है, जिसमें पेनरोज़ रोम्बस शामिल हैं। कोई भी पेट्रोस हीरे के बीच संबंध देख सकता है; प्रत्येक दो आसन्न पेनरोज़ हीरे एक पंचकोणीय तारा बनाते हैं।

चित्र 13. Matushka Theia Kraszek और क्लिफोर्ड पिकओवर। बायोजेनेसिस, 2005।

चित्र में डबल स्टार GA(चित्र 14) हम देखते हैं कि कैसे पेनरोज़ टाइलें एक साथ फिट होकर एक द्वि-आयामी आधार के साथ एक संभावित हाइपरडिमेंशनल ऑब्जेक्ट का द्वि-आयामी प्रतिनिधित्व बनाती हैं। पेंटिंग का चित्रण करते समय, कलाकार ने लियोनार्डो दा विंची द्वारा प्रस्तावित कठोर किनारों की विधि का उपयोग किया। यह चित्रण की यह विधि है जो एक विमान पर चित्र के प्रक्षेपण में बड़ी संख्या में पेंटागन और पेंटाकल्स को देखना संभव बनाती है, जो पेनरोज़ रम्बस के अलग-अलग किनारों के अनुमानों से बनते हैं। इसके अलावा, एक विमान पर चित्र के प्रक्षेपण में, हम 10 आसन्न पेनरोज़ समचतुर्भुज के किनारों से बने एक दशकोण को देखते हैं। संक्षेप में, इस तस्वीर में, Matyushka Teija Kraszek को एक नया नियमित पॉलीहेड्रॉन मिला, जो संभवतः वास्तव में प्रकृति में मौजूद है।

चित्र 14. Matushka Teia Kraszek। डबल स्टार GA

क्रैशेक "स्टार्स फॉर डोनाल्ड" (चित्र 15) की रचना में, हम रचना के केंद्रीय बिंदु की ओर घटते हुए पेनरोज़ रम्बस, पेंटाग्राम, पेंटागन की अंतहीन बातचीत का निरीक्षण कर सकते हैं। स्वर्ण अनुपात अनुपात को विभिन्न पैमानों पर कई अलग-अलग तरीकों से दर्शाया जाता है।

चित्र 15. Matyushka Teija Kraszek "स्टार्स फॉर डोनाल्ड", कंप्यूटर ग्राफिक्स, 2005।

Matyushka Teija Kraszek की कलात्मक रचनाओं ने विज्ञान और कला के प्रतिनिधियों का बहुत ध्यान आकर्षित किया। उसकी कला को मॉरीशस एस्चर की कला के साथ जोड़ा जाता है और स्लोवेनियाई कलाकार को "पूर्वी यूरोपीय एस्चर" और विश्व कला के लिए "स्लोवेनियाई उपहार" कहा जाता है।

स्टाखोव ए.पी. "द दा विंची कोड", प्लेटोनिक और आर्किमिडीयन सॉलिड, क्वासिक क्रिस्टल, फुलरीन, पेनरोज़ लैटिस और मैट्युष्का तीजा क्रैस्ज़ेक की कलात्मक दुनिया // "ट्रिनिटेरिज्म की अकादमी", एम।, एल नंबर 77-6567, प्रकाशन। 12561, 07.11। 2005

परिचय

यह शोध कार्य निम्न के लिए डिज़ाइन किया गया है:

1) मॉडलिंग सतहों और वस्तुओं, व्यावहारिक कौशल और तरीकों के सॉफ्टवेयर कार्यान्वयन के कौशल के क्षेत्र में सैद्धांतिक ज्ञान को समेकित, गहरा और विस्तारित करना;

2) स्वतंत्र कार्य के कौशल में सुधार;

3) निर्णय और निष्कर्ष तैयार करने की क्षमता विकसित करने के लिए, उन्हें तार्किक और निर्णायक रूप से बताने के लिए।

प्लेटो के ठोस

प्लेटो के ठोस उत्तल पॉलीहेड्रा होते हैं, जिनके सभी फलक नियमित बहुभुज होते हैं। एक नियमित बहुफलक के सभी बहुफलकीय कोण सर्वांगसम होते हैं। जैसा कि पहले से ही शीर्ष पर समतल कोणों के योग की गणना से है, पाँच से अधिक उत्तल नियमित पॉलीहेड्रा नहीं हैं। नीचे बताए गए तरीके से, यह साबित किया जा सकता है कि ठीक पाँच नियमित पॉलीहेड्रा हैं (यह यूक्लिड द्वारा सिद्ध किया गया था)। वे नियमित टेट्राहेड्रोन, हेक्साहेड्रोन (घन), ऑक्टाहेड्रोन, डोडेकेहेड्रोन और इकोसाहेड्रोन हैं। इन नियमित पॉलीहेड्रा के नाम ग्रीस से आते हैं। पर शाब्दिक अनुवादग्रीक "टेट्राहेड्रॉन", "ऑक्टाहेड्रोन", "हेक्साहेड्रोन", "डोडेकेहेड्रॉन", "आइकोसाहेड्रोन" से अर्थ: "टेट्राहेड्रॉन", "ऑक्टाहेड्रोन", "हेक्साहेड्रोन"। डोडेकाहेड्रोन, डोडेकाहेड्रोन।

तालिका संख्या 1

तालिका संख्या 2

नाम:	परिबद्ध गोले की त्रिज्या	खुदा हुआ गोले की त्रिज्या
चतुर्पाश्वीय
षट्फलक
द्वादशफ़लक
विंशतिफलक

चतुर्पाश्वीय- एक चतुष्फलक, जिसके सभी फलक त्रिभुज हैं, अर्थात्। त्रिकोणीय पिरामिड; एक नियमित चतुष्फलक चार समबाहु त्रिभुजों से घिरा होता है। (चित्र एक)।

घन या नियमित हेक्साहेड्रोन- सही चतुष्कोणीय प्रिज्मसमान किनारों के साथ, छह वर्गों से घिरा। (चित्र एक)।

अष्टफलक- अष्टफलक; आठ त्रिभुजों से घिरा एक पिंड; एक नियमित अष्टफलक आठ समबाहु त्रिभुजों से घिरा है; पांच नियमित पॉलीहेड्रा में से एक। (चित्र एक)।

द्वादशफ़लक- डोडेकाहेड्रोन, बारह बहुभुजों से घिरा एक शरीर; नियमित पंचकोण। (चित्र एक)।

विंशतिफलक- एक बीस-पक्षीय शरीर, बीस बहुभुजों से घिरा शरीर; एक नियमित icosahedron बीस समबाहु त्रिभुजों से घिरा है। (चित्र एक)।

घन और अष्टफलक दोहरे हैं, अर्थात्। एक दूसरे से प्राप्त होते हैं यदि एक के फलकों के केन्द्रक को दूसरे के शीर्ष के रूप में लिया जाता है और इसके विपरीत। डोडेकाहेड्रॉन और इकोसाहेड्रोन समान रूप से दोहरे हैं। टेट्राहेड्रोन अपने आप में दोहरी है। एक नियमित डोडेकाहेड्रोन एक घन से उसके चेहरे (यूक्लिड की विधि) पर "छत" का निर्माण करके प्राप्त किया जाता है, एक टेट्राहेड्रोन के कोने घन के चार कोने होते हैं जो एक किनारे के साथ जोड़ीदार नहीं होते हैं। इस प्रकार क्यूब से अन्य सभी नियमित पॉलीहेड्रा प्राप्त होते हैं। वास्तव में केवल पांच नियमित पॉलीहेड्रा के अस्तित्व का तथ्य आश्चर्यजनक है - आखिरकार, विमान पर असीम रूप से कई नियमित बहुभुज हैं!

सभी नियमित पॉलीहेड्रा प्राचीन ग्रीस में जाने जाते थे, और यूक्लिड की "बिगिनिंग्स" की 13 वीं पुस्तक उन्हें समर्पित है। उन्हें प्लेटो का शरीर भी कहा जाता है, क्योंकि। उन्होंने प्लेटो की ब्रह्मांड की संरचना की दार्शनिक अवधारणा में एक महत्वपूर्ण स्थान पर कब्जा कर लिया। चार पॉलीहेड्रॉन इसमें चार सार या "तत्व" हैं। चतुष्फलक आग का प्रतीक है, क्योंकि। इसका शीर्ष ऊपर की ओर निर्देशित है; आइकोसाहेड्रोन? पानी, क्योंकि वह सबसे "सुव्यवस्थित" है; घन - पृथ्वी, सबसे "स्थिर" के रूप में; अष्टफलक? हवा, सबसे "हवादार" के रूप में। पांचवां पॉलीहेड्रॉन, डोडेकेहेड्रोन, "सब कुछ जो मौजूद है" को सन्निहित करता है, पूरे ब्रह्मांड का प्रतीक है, और इसे मुख्य माना जाता था।

प्राचीन यूनानियों ने सामंजस्यपूर्ण संबंधों को ब्रह्मांड का आधार माना था, इसलिए चार तत्व इस तरह के अनुपात से जुड़े हुए थे: पृथ्वी / जल = वायु / अग्नि।

इन निकायों के संबंध में यह कहना उचित होगा कि तत्वों की पहली प्रणाली, जिसमें चार तत्व शामिल थे? पृथ्वी, जल, वायु और अग्नि - अरस्तू द्वारा विहित किया गया था। ये तत्व कई शताब्दियों तक ब्रह्मांड के चार कोने के पत्थर बने रहे। हमारे लिए ज्ञात पदार्थ की चार अवस्थाओं - ठोस, तरल, गैसीय और प्लाज्मा के साथ उनकी पहचान करना काफी संभव है।

आई। केप्लर द्वारा दुनिया की सामंजस्यपूर्ण संरचना की प्रणाली में नियमित पॉलीहेड्रा द्वारा एक महत्वपूर्ण स्थान पर कब्जा कर लिया गया था। सद्भाव, सुंदरता और ब्रह्मांड की गणितीय रूप से नियमित संरचना में सभी समान विश्वास ने आई। केप्लर को इस विचार के लिए प्रेरित किया कि चूंकि पांच नियमित पॉलीहेड्रा हैं, केवल छह ग्रह उनके अनुरूप हैं। उनकी राय में, ग्रहों के गोले उनमें खुदे हुए प्लेटोनिक ठोस पदार्थों द्वारा परस्पर जुड़े हुए हैं। चूंकि प्रत्येक नियमित पॉलीहेड्रॉन के लिए खुदा हुआ और परिचालित क्षेत्रों के केंद्र मेल खाते हैं, पूरे मॉडल में एक ही केंद्र होगा, जिसमें सूर्य स्थित होगा।

एक विशाल कम्प्यूटेशनल कार्य करने के बाद, 1596 में I. केप्लर ने अपनी खोज के परिणामों को "द सीक्रेट ऑफ़ द यूनिवर्स" पुस्तक में प्रकाशित किया। वह एक घन को शनि की कक्षा के गोले में, एक घन में अंकित करता है? बृहस्पति का गोला, बृहस्पति का गोला - एक चतुष्फलक, और इसी तरह मंगल के क्षेत्र में एक-दूसरे में क्रमिक रूप से फिट होते हैं? डोडेकाहेड्रोन, पृथ्वी का गोला? इकोसाहेड्रोन, शुक्र का गोला? अष्टफलक, बुध का गोला। ब्रह्मांड का रहस्य खुला लगता है।

आज यह कहना सुरक्षित है कि ग्रहों के बीच की दूरियों का किसी बहुफलक से कोई संबंध नहीं है। हालांकि, यह संभव है कि आई. केप्लर, नियमित पॉलीहेड्रा द्वारा "ब्रह्मांड के रहस्य", "विश्व के सद्भाव" के बिना, आई केप्लर के तीन प्रसिद्ध कानून नहीं होते, जो गति का वर्णन करने में महत्वपूर्ण भूमिका निभाते हैं। ग्रहों की।

आप इन अद्भुत निकायों को और कहां देख सकते हैं? पिछली शताब्दी की शुरुआत के जर्मन जीवविज्ञानी ई। हेकेल की पुस्तक में, "द ब्यूटी ऑफ फॉर्म्स इन नेचर," कोई निम्नलिखित पंक्तियों को पढ़ सकता है: "प्रकृति अपनी छाती में अद्भुत जीवों की एक अटूट संख्या का पोषण करती है जो अब तक पार कर गई है सुंदरता और विविधता में मानव कला द्वारा बनाए गए सभी रूप।" इस पुस्तक में प्रकृति की रचनाएँ सुंदर और सममित हैं। यह प्राकृतिक सद्भाव की एक अविभाज्य संपत्ति है। लेकिन यहाँ आप एककोशिकीय जीव भी देख सकते हैं? फीओडारी, जिसका आकार सटीक रूप से इकोसाहेड्रोन को व्यक्त करता है। इस तरह के प्राकृतिक ज्यामितीयकरण के कारण क्या हुआ? हो सकता है कि समान संख्या में फलकों वाले सभी बहुफलक के कारण, यह सबसे बड़ा आयतन वाला आइकोसाहेड्रोन है और सबसे छोटा क्षेत्रसतहें। यह ज्यामितीय गुण समुद्री सूक्ष्मजीवों को पानी के स्तंभ के दबाव को दूर करने में मदद करता है।

यह भी दिलचस्प है कि विषाणुओं के आकार के संबंध में अपने विवादों में जीव विज्ञानियों के ध्यान का केंद्र बिंदु आईकोसाहेड्रोन था। जैसा कि पहले सोचा गया था, वायरस पूरी तरह गोल नहीं हो सकता। इसके आकार को स्थापित करने के लिए, उन्होंने विभिन्न पॉलीहेड्रॉन लिए, उन पर उसी कोण पर प्रकाश का निर्देशन किया जिस तरह से वायरस में परमाणुओं का प्रवाह होता है। यह पता चला कि केवल एक पॉलीहेड्रॉन एक ही छाया देता है? आइकोसाहेड्रोन। उसके ज्यामितीय गुण, जिनका ऊपर उल्लेख किया गया था, आनुवंशिक जानकारी को सहेजने की अनुमति देते हैं। नियमित पॉलीहेड्रा? सबसे लाभदायक आंकड़े। और प्रकृति इसका फायदा उठाती है। हमारे परिचित कुछ पदार्थों के क्रिस्टल नियमित पॉलीहेड्रा के रूप में होते हैं। तो, क्यूब सोडियम क्लोराइड क्रिस्टल NaCl के आकार को बताता है, एल्यूमीनियम-पोटेशियम फिटकिरी (KAlSO4) 2 12H2O के एकल क्रिस्टल में एक ऑक्टाहेड्रोन का आकार होता है, पाइराइट सल्फाइड FeS के क्रिस्टल में एक डोडेकेहेड्रोन का आकार होता है, एंटीमनी सोडियम सल्फेट होता है एक चतुष्फलक, बोरॉन एक icosahedron है। नियमित पॉलीहेड्रा आकार को परिभाषित करता है क्रिस्टल जालीकुछ रसायन।

तो, नियमित पॉलीहेड्रा ने हमें विश्व सद्भाव के रहस्य तक पहुंचने के लिए वैज्ञानिकों के प्रयासों का खुलासा किया और इन ज्यामितीय आंकड़ों के अनूठे आकर्षण और सुंदरता को दिखाया।

प्राचीन काल में भी, लोगों ने देखा कि कुछ त्रि-आयामी आकृतियों में विशेष गुण होते हैं। ये तथाकथित हैं नियमित पॉलीहेड्रा- उनके सभी फलक समान हैं, शीर्षों पर सभी कोण समान हैं। इनमें से प्रत्येक आकृति स्थिर है और इसे एक गोले में अंकित किया जा सकता है। सभी प्रकार की विभिन्न आकृतियों के साथ, केवल 5 प्रकार के नियमित पॉलीहेड्रा होते हैं (चित्र 1)।

चतुर्पाश्वीय- एक नियमित चतुष्फलक, फलक समबाहु त्रिभुज होते हैं (चित्र 1a)।

घनक्षेत्र- सही षट्भुज, फलक वर्ग हैं (चित्र 1ख)।

अष्टफलक- एक नियमित अष्टफलक, फलक समबाहु त्रिभुज हैं (चित्र 1c)।

द्वादशफ़लक- एक नियमित डोडेकाहेड्रॉन, चेहरे नियमित पेंटागन होते हैं (चित्र 1 डी)।

विंशतिफलक- एक नियमित बीस-हेड्रोन, फलक समबाहु त्रिभुज हैं (चित्र 1e)।

प्राचीन यूनानी दार्शनिक प्लेटो का मानना ​​​​था कि नियमित पॉलीहेड्रा में से प्रत्येक 5 प्राथमिक तत्वों में से एक से मेल खाता है। प्लेटो के अनुसार, क्यूब पृथ्वी से मेल खाता है, टेट्राहेड्रोन आग से, ऑक्टाहेड्रोन हवा से, इकोसाहेड्रोन पानी से, और डोडेकेड्रोन ईथर से मेल खाता है। इसके अलावा, यूनानी दार्शनिकों ने एक और प्राथमिक तत्व - शून्यता का चयन किया। मेल खा रहा है ज्यामितीय आकारएक गोला जिसमें सभी प्लेटोनिक ठोस अंकित किए जा सकते हैं।

सभी छह तत्व ब्रह्मांड के निर्माण खंड हैं। उनमें से कुछ सामान्य हैं - पृथ्वी, जल, अग्नि और वायु। आज यह निश्चित रूप से जाना जाता है कि नियमित पॉलीहेड्रा, या प्लेटोनिक ठोस, क्रिस्टल की संरचना, विभिन्न रसायनों के अणुओं का आधार बनाते हैं।

मानव ऊर्जा खोल भी एक स्थानिक विन्यास है। मानव ऊर्जा क्षेत्र की बाहरी सीमा एक गोला है, इसके सबसे निकट की आकृति एक डोडेकाहेड्रॉन है। फिर ऊर्जा क्षेत्र के आंकड़े अलग-अलग चक्रों में दोहराते हुए एक निश्चित क्रम में एक दूसरे को प्रतिस्थापित करते हैं। उदाहरण के लिए, एक डीएनए अणु में, icosahedrons और dodecahedrons वैकल्पिक होते हैं।

यह पाया गया है कि प्लेटोनिक ठोस व्यक्ति पर लाभकारी प्रभाव डालने में सक्षम हैं। इन रूपों में मानव शरीर के चक्रों में ऊर्जा को संशोधित करने, व्यवस्थित करने की क्षमता है। इसके अलावा, प्रत्येक क्रिस्टलीय रूप का चक्र पर लाभकारी प्रभाव पड़ता है, जिसके प्राथमिक तत्व से यह मेल खाता है।

घन (पृथ्वी तत्व) का उपयोग करते समय मूलाधार में ऊर्जा का असंतुलन गायब हो जाता है, स्वाधिष्ठान इकोसाहेड्रोन (जल तत्व) के प्रभाव पर प्रतिक्रिया करता है, टेट्राहेड्रोन (अग्नि तत्व) का मणिपुर पर लाभकारी प्रभाव पड़ता है, अनाहत कार्यों की मदद से बहाल किया जाता है अष्टफलक (वायु तत्व)। यही आंकड़ा विशुद्ध के सामान्य कामकाज में योगदान देता है। दोनों ऊपरी चक्रों - आज्ञा और सहस्रार - को डोडेकाहेड्रोन से ठीक किया जा सकता है।

प्लेटोनिक ठोसों के गुणों का उपयोग करने के लिए, इन आकृतियों को तांबे के तार (आकार 10 से 30 सेमी व्यास) से बनाना आवश्यक है। आप उन्हें कागज पर खींच सकते हैं या उन्हें कार्डबोर्ड से गोंद कर सकते हैं, लेकिन तांबे के तार के फ्रेम अधिक प्रभावी होते हैं। प्लेटोनिक ठोस के मॉडल को संबंधित चक्रों के अनुमानों से जोड़ा जाना चाहिए और गहरी विश्राम में थोड़ी देर के लिए झूठ बोलना चाहिए।