परिभाषा। बगल का चहेरा- यह एक त्रिभुज है जिसमें एक कोण पिरामिड के शीर्ष पर स्थित होता है, और इसका विपरीत भाग आधार (बहुभुज) के किनारे से मेल खाता है।

परिभाषा। पार्श्व पसलियांपार्श्व चेहरों के सामान्य पक्ष हैं। एक पिरामिड में उतने ही किनारे होते हैं जितने एक बहुभुज में कोने होते हैं।

परिभाषा। पिरामिड ऊंचाईपिरामिड के शीर्ष से आधार तक गिराया गया एक लंबवत है।

परिभाषा। एपोथेम- यह पिरामिड के पार्श्व चेहरे का लंबवत है, जो पिरामिड के शीर्ष से आधार के किनारे तक उतारा जाता है।

परिभाषा। विकर्ण खंड- यह पिरामिड के शीर्ष और आधार के विकर्ण से गुजरने वाले विमान द्वारा पिरामिड का एक खंड है।

परिभाषा। सही पिरामिडएक पिरामिड है जिसमें आधार एक नियमित बहुभुज है, और ऊंचाई आधार के केंद्र तक उतरती है।

पिरामिड का आयतन और सतह क्षेत्र

सूत्र। पिरामिड मात्राआधार क्षेत्र और ऊंचाई के माध्यम से:

पिरामिड गुण

यदि सभी पार्श्व किनारे समान हैं, तो पिरामिड के आधार के चारों ओर एक वृत्त परिबद्ध किया जा सकता है, और आधार का केंद्र वृत्त के केंद्र के साथ मेल खाता है। साथ ही, ऊपर से गिरा हुआ लम्ब आधार (वृत्त) के केंद्र से होकर गुजरता है।

यदि सभी पार्श्व पसलियां समान हैं, तो वे समान कोणों पर आधार तल की ओर झुकी हुई हैं।

जब वे आधार के तल के साथ बनते हैं तो साइड पसलियां बराबर होती हैं समान कोणया यदि पिरामिड के आधार के चारों ओर एक वृत्त परिबद्ध किया जा सकता है।

यदि पार्श्व चेहरे एक कोण पर आधार के तल पर झुके हुए हैं, तो पिरामिड के आधार में एक वृत्त अंकित किया जा सकता है, और पिरामिड के शीर्ष को इसके केंद्र में प्रक्षेपित किया जाता है।

यदि पार्श्व फलक एक कोण पर आधार तल की ओर झुके हों, तो पार्श्व फलकों के एपोथेम बराबर होते हैं।

एक नियमित पिरामिड के गुण

1. पिरामिड का शीर्ष आधार के सभी कोनों से समान दूरी पर है।

2. सभी किनारे बराबर हैं।

3. सभी पार्श्व पसलियां आधार से समान कोण पर झुकी हुई हैं।

4. सभी पक्षों के एपोथेम समान हैं।

5. सभी भुजाओं के फलकों का क्षेत्रफल बराबर होता है।

6. सभी फलकों में एक ही द्विफलक (सपाट) कोण होते हैं।

7. पिरामिड के चारों ओर एक गोले का वर्णन किया जा सकता है। वर्णित गोले का केंद्र किनारों के बीच से गुजरने वाले लंबों का प्रतिच्छेदन बिंदु होगा।

8. एक गोले को पिरामिड में अंकित किया जा सकता है। उत्कीर्ण गोले का केंद्र किनारे और आधार के बीच के कोण से निकलने वाले द्विभाजक का प्रतिच्छेदन बिंदु होगा।

9. यदि खुदा हुआ गोले का केंद्र परिचालित गोले के केंद्र के साथ मेल खाता है, तो शीर्ष पर समतल कोणों का योग π या इसके विपरीत होता है, एक कोण π / n के बराबर होता है, जहाँ n संख्या होती है पिरामिड के आधार पर कोणों का।

गोले के साथ पिरामिड का संबंध

पिरामिड के चारों ओर एक गोले का वर्णन किया जा सकता है जब पिरामिड के आधार पर एक पॉलीहेड्रॉन होता है जिसके चारों ओर एक वृत्त का वर्णन किया जा सकता है (एक आवश्यक और पर्याप्त स्थिति)। गोले का केंद्र पिरामिड के पार्श्व किनारों के मध्य बिंदुओं से लंबवत गुजरने वाले विमानों के प्रतिच्छेदन का बिंदु होगा।

किसी भी त्रिकोणीय या नियमित पिरामिड के चारों ओर हमेशा एक गोले का वर्णन किया जा सकता है।

एक गोले को पिरामिड में अंकित किया जा सकता है यदि पिरामिड के आंतरिक डायहेड्रल कोणों के द्विभाजक विमान एक बिंदु (एक आवश्यक और पर्याप्त स्थिति) पर प्रतिच्छेद करते हैं। यह बिंदु गोले का केंद्र होगा।

शंकु के साथ पिरामिड का संबंध

एक शंकु को पिरामिड में अंकित कहा जाता है यदि उसके शीर्ष संपाती हों और शंकु का आधार पिरामिड के आधार में अंकित हो।

एक शंकु को पिरामिड में अंकित किया जा सकता है यदि पिरामिड के एपोथेम्स समान हों।

एक शंकु को एक पिरामिड के चारों ओर परिबद्ध कहा जाता है यदि उसके शीर्ष संपाती हों और शंकु का आधार पिरामिड के आधार के चारों ओर परिबद्ध हो।

पिरामिड के चारों ओर एक शंकु का वर्णन किया जा सकता है यदि पिरामिड के सभी किनारे एक दूसरे के बराबर हों।

एक सिलेंडर के साथ एक पिरामिड का कनेक्शन

एक पिरामिड को एक सिलेंडर में खुदा हुआ कहा जाता है यदि पिरामिड का शीर्ष सिलेंडर के एक आधार पर होता है, और पिरामिड का आधार सिलेंडर के दूसरे आधार में खुदा होता है।

यदि पिरामिड के आधार के चारों ओर एक वृत्त परिबद्ध किया जा सकता है, तो एक सिलेंडर को पिरामिड के चारों ओर परिचालित किया जा सकता है।

परिभाषा। काटे गए पिरामिड (पिरामिडल प्रिज्म)- यह एक पॉलीहेड्रॉन है जो पिरामिड के आधार और सेक्शन प्लेन के बीच स्थित होता है, आधार के समानांतर. इस प्रकार पिरामिड का एक बड़ा आधार और एक छोटा आधार होता है जो बड़े के समान होता है। पार्श्व चेहरे ट्रेपेज़ॉइड हैं।

परिभाषा। त्रिकोणीय पिरामिड (टेट्राहेड्रॉन)- यह एक पिरामिड है जिसमें तीन फलक और आधार मनमाना त्रिभुज हैं।

एक चतुष्फलक के चार फलक और चार शीर्ष और छह किनारे होते हैं, जहां किन्हीं दो किनारों का कोई उभयनिष्ठ शीर्ष नहीं होता है लेकिन स्पर्श नहीं करते हैं।

प्रत्येक शीर्ष में तीन फलक और किनारे होते हैं जो बनते हैं त्रिफलक कोण.

चतुष्फलक के शीर्ष को विपरीत फलक के केंद्र से जोड़ने वाले खंड को कहते हैं चतुष्फलक की माध्यिका(जीएम)।

बिमीडियनविपरीत किनारों के मध्य बिंदुओं को जोड़ने वाला खंड कहलाता है जो स्पर्श नहीं करते (KL)।

एक चतुष्फलक के सभी द्विमाध्यक और माध्यिकाएँ एक बिंदु (S) पर प्रतिच्छेद करती हैं। इस मामले में, बिमीडियन आधे में विभाजित होते हैं, और मध्य ऊपर से शुरू होकर 3: 1 के अनुपात में होते हैं।

परिभाषा। झुका हुआ पिरामिडएक पिरामिड है जिसमें किनारों में से एक आधार के साथ एक अधिक कोण (β) बनाता है।

परिभाषा। आयताकार पिरामिडएक पिरामिड है जिसमें एक पक्ष का फलक आधार के लंबवत होता है।

परिभाषा। एक्यूट एंगल्ड पिरामिडएक पिरामिड है जिसमें एपोथेम आधार के किनारे की लंबाई के आधे से अधिक है।

परिभाषा। अधिक पिरामिडएक पिरामिड है जिसमें एपोथेम आधार के किनारे की लंबाई से आधे से भी कम है।

परिभाषा। नियमित चतुष्फलकएक चतुष्फलक जिसके चार फलक समबाहु त्रिभुज हैं। यह पांच नियमित बहुभुजों में से एक है। सभी एक नियमित चतुष्फलक में विकर्ण कोण(फलकों के बीच) और त्रिभुज कोण (शीर्ष पर) बराबर होते हैं।

परिभाषा। आयताकार चतुष्फलकएक चतुष्फलक कहलाता है जिसके शीर्ष पर तीन किनारों के बीच एक समकोण होता है (किनारे लंबवत होते हैं)। तीन चेहरे बनते हैं आयताकार त्रिभुज कोणऔर फलक समकोण त्रिभुज हैं, और आधार एक मनमाना त्रिभुज है। किसी भी चेहरे का एपोटेम उस आधार के आधे हिस्से के बराबर होता है जिस पर एपोथेम गिरता है।

परिभाषा। आइसोहेड्रल टेट्राहेड्रोनएक चतुष्फलक कहलाता है जिसमें भुजाएँ एक दूसरे के बराबर होती हैं, और आधार एक नियमित त्रिभुज होता है। ऐसे चतुष्फलक के फलक समद्विबाहु त्रिभुज होते हैं।

परिभाषा। ऑर्थोसेन्ट्रिक टेट्राहेड्रोनएक चतुष्फलक कहलाता है जिसमें ऊपर से विपरीत फलक तक कम की गई सभी ऊंचाईयां (लंबवत) एक बिंदु पर प्रतिच्छेद करती हैं।

परिभाषा। तारा पिरामिडएक बहुफलक जिसका आधार एक तारा होता है, कहलाता है।

परिभाषा। bipyramid- एक पॉलीहेड्रॉन जिसमें दो अलग-अलग पिरामिड होते हैं (पिरामिड को भी काटा जा सकता है), जिसमें एक सामान्य आधार होता है, और कोने बेस प्लेन के विपरीत किनारों पर स्थित होते हैं।

त्रिकोणीय पिरामिडएक बहुफलक एक बहुफलक कहलाता है जिसका आधार एक नियमित त्रिभुज होता है।

ऐसे पिरामिड में आधार के फलक और भुजाओं के किनारे एक दूसरे के बराबर होते हैं। तदनुसार, भुजाओं के फलकों का क्षेत्रफल तीन समरूप त्रिभुजों के क्षेत्रफलों के योग से ज्ञात होता है। आप सूत्र का उपयोग करके एक नियमित पिरामिड का पार्श्व पृष्ठीय क्षेत्रफल ज्ञात कर सकते हैं। और आप गणना कई गुना तेज कर सकते हैं। ऐसा करने के लिए, पार्श्व सतह क्षेत्र के लिए सूत्र लागू करें त्रिकोणीय पिरामिड:

जहाँ p आधार का परिमाप है, जिसकी सभी भुजाएँ b के बराबर हैं, a शीर्ष से इस आधार तक नीचा है। त्रिकोणीय पिरामिड के क्षेत्रफल की गणना के एक उदाहरण पर विचार करें।

कार्य: मान लीजिए कि सही पिरामिड दिया गया है। आधार पर स्थित त्रिभुज की भुजा b = 4 सेमी है। पिरामिड का एपोथेम a = 7 सेमी है। पिरामिड की पार्श्व सतह का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए।
चूंकि, समस्या की स्थितियों के अनुसार, हम सभी की लंबाई जानते हैं आवश्यक तत्व, परिधि का पता लगाएं। याद रखें कि एक नियमित त्रिभुज में, सभी भुजाएँ समान होती हैं, और इसलिए, परिमाप की गणना सूत्र द्वारा की जाती है:

डेटा को प्रतिस्थापित करें और मान पाएं:

अब, परिधि जानने के बाद, हम पार्श्व सतह क्षेत्र की गणना कर सकते हैं:

त्रिभुजाकार पिरामिड के क्षेत्रफल के लिए सूत्र को लागू करने के लिए पूर्ण मान की गणना करने के लिए, आपको बहुफलक के आधार का क्षेत्रफल ज्ञात करना होगा। इसके लिए, सूत्र का उपयोग किया जाता है:

त्रिकोणीय पिरामिड के आधार के क्षेत्रफल का सूत्र भिन्न हो सकता है। किसी दिए गए आंकड़े के लिए मापदंडों की किसी भी गणना का उपयोग करने की अनुमति है, लेकिन अक्सर इसकी आवश्यकता नहीं होती है। एक त्रिकोणीय पिरामिड के आधार के क्षेत्रफल की गणना के एक उदाहरण पर विचार करें।

कार्य: एक नियमित पिरामिड में, आधार पर स्थित त्रिभुज की भुजा = 6 सेमी है। आधार के क्षेत्रफल की गणना करें।
गणना करने के लिए, हमें केवल पिरामिड के आधार पर स्थित एक नियमित त्रिभुज की भुजा की लंबाई चाहिए। डेटा को सूत्र में बदलें:

बहुफलक का कुल क्षेत्रफल ज्ञात करना अक्सर आवश्यक होता है। ऐसा करने के लिए, आपको पक्ष की सतह और आधार के क्षेत्र को जोड़ने की आवश्यकता है।

त्रिकोणीय पिरामिड के क्षेत्रफल की गणना के एक उदाहरण पर विचार करें।

प्रश्न: मान लीजिए कि एक नियमित त्रिभुजाकार पिरामिड दिया गया है। आधार की भुजा b = 4 सेमी है, एपोथेम a = 6 सेमी है। पिरामिड का कुल क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए।
सबसे पहले, पार्श्व सतह क्षेत्र का पता लगाएं प्रसिद्ध सूत्र. परिधि की गणना करें:

हम सूत्र में डेटा को प्रतिस्थापित करते हैं:
अब आधार का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए:
आधार और पार्श्व सतह का क्षेत्रफल जानने के बाद, हम पिरामिड का कुल क्षेत्रफल ज्ञात करते हैं:

एक नियमित पिरामिड के क्षेत्र की गणना करते समय, किसी को यह नहीं भूलना चाहिए कि आधार एक नियमित त्रिभुज है और इस बहुफलक के कई तत्व एक दूसरे के बराबर हैं।

पिरामिड, जिसके आधार पर स्थित है नियमित षट्भुज, और भुजाएँ नियमित त्रिभुजों द्वारा बनती हैं, कहलाती हैं षट्कोणीय.

इस पॉलीहेड्रॉन में कई गुण हैं:

• आधार की सभी भुजाएँ और कोण एक दूसरे के बराबर हैं;
• सभी किनारों और डायहेड्रल कोयला पिरामिड भी एक दूसरे के बराबर हैं;
• भुजाओं को बनाने वाले त्रिभुज क्रमशः समान होते हैं, उनका क्षेत्रफल, भुजाएँ और ऊँचाईयाँ समान होती हैं।

सही क्षेत्र की गणना करने के लिए षट्कोणीय पिरामिडहेक्सागोनल पिरामिड के पार्श्व सतह क्षेत्र के लिए मानक सूत्र लागू होता है:

जहाँ P आधार की परिधि है, a पिरामिड के एपोथेम की लंबाई है। ज्यादातर मामलों में, आप इस सूत्र का उपयोग करके पार्श्व क्षेत्र की गणना कर सकते हैं, लेकिन कभी-कभी आप किसी अन्य विधि का उपयोग कर सकते हैं। चूँकि पिरामिड के पार्श्व फलक समान त्रिभुजों से बनते हैं, आप एक त्रिभुज का क्षेत्रफल ज्ञात कर सकते हैं, और फिर इसे भुजाओं की संख्या से गुणा कर सकते हैं। हेक्सागोनल पिरामिड में उनमें से 6 हैं। लेकिन इस पद्धति का उपयोग गणना में भी किया जा सकता है। आइए एक हेक्सागोनल पिरामिड के पार्श्व सतह क्षेत्र की गणना के एक उदाहरण पर विचार करें।

मान लीजिए एक नियमित हेक्सागोनल पिरामिड दिया गया है, जिसमें एपोथेम a = 7 सेमी है, आधार की भुजा b = 3 सेमी है। पॉलीहेड्रॉन की पार्श्व सतह के क्षेत्रफल की गणना करें।
सबसे पहले, आधार की परिधि पाएं। चूंकि पिरामिड नियमित है, इसके आधार पर एक नियमित षट्भुज है। तो, इसकी सभी भुजाएँ समान हैं, और परिमाप की गणना सूत्र द्वारा की जाती है:
हम सूत्र में डेटा को प्रतिस्थापित करते हैं:
अब हम पाए गए मान को मुख्य सूत्र में प्रतिस्थापित करके आसानी से पार्श्व पृष्ठीय क्षेत्रफल ज्ञात कर सकते हैं:

आधार के क्षेत्र की खोज भी एक महत्वपूर्ण बिंदु है। एक हेक्सागोनल पिरामिड के आधार के क्षेत्र के लिए सूत्र एक नियमित षट्भुज के गुणों से प्राप्त होता है:

आइए एक हेक्सागोनल पिरामिड के आधार के क्षेत्र की गणना करने के एक उदाहरण पर विचार करें, पिछले उदाहरण से शर्तों को आधार के रूप में लेते हुए। उनसे हम जानते हैं कि आधार का पक्ष b = 3 सेमी है। आइए डेटा को इसमें स्थानापन्न करें सूत्र:

एक हेक्सागोनल पिरामिड के क्षेत्र के लिए सूत्र आधार के क्षेत्र और साइड स्कैन का योग है:

एक हेक्सागोनल पिरामिड के क्षेत्र की गणना के एक उदाहरण पर विचार करें।

मान लीजिए कि एक पिरामिड दिया गया है, जिसके आधार पर एक नियमित षट्भुज है जिसकी भुजा b = 4 सेमी है। दिए गए बहुफलक का एपोथेम a = 6 सेमी है। कुल क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए।
हम जानते हैं कि कुल क्षेत्रफल में आधार और पार्श्व झाडू के क्षेत्र होते हैं। तो चलिए पहले उन्हें ढूंढते हैं। परिधि की गणना करें:

अब पार्श्व पृष्ठीय क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए:

अगला, हम उस आधार के क्षेत्र की गणना करते हैं जिसमें नियमित षट्भुज निहित है:

अब हम परिणाम जोड़ सकते हैं:

गणित में परीक्षा की तैयारी करते समय, छात्रों को बीजगणित और ज्यामिति के अपने ज्ञान को व्यवस्थित करना होता है। मैं सभी ज्ञात सूचनाओं को जोड़ना चाहता हूं, उदाहरण के लिए, पिरामिड के क्षेत्र की गणना कैसे करें। इसके अलावा, बेस और साइड फेस से शुरू होकर पूरे सतह क्षेत्र तक। यदि भुजाओं के फलकों के साथ स्थिति स्पष्ट है, क्योंकि वे त्रिभुज हैं, तो आधार हमेशा भिन्न होता है।

पिरामिड के आधार का क्षेत्रफल ज्ञात करते समय क्या करें?

यह बिल्कुल कोई भी आकृति हो सकती है: एक मनमाना त्रिभुज से n-gon तक। और यह आधार, कोणों की संख्या में अंतर के अलावा, एक नियमित आंकड़ा या गलत हो सकता है। स्कूली बच्चों के हित के यूएसई असाइनमेंट में, आधार पर सही आंकड़ों के साथ केवल असाइनमेंट होते हैं। इसलिए, हम केवल उनके बारे में बात करेंगे।

सही त्रिकोण

वह समबाहु है। एक जिसमें सभी भुजाएँ समान हैं और "a" अक्षर से निरूपित होती हैं। इस मामले में, पिरामिड के आधार के क्षेत्र की गणना सूत्र द्वारा की जाती है:

एस = (ए 2 * √3) / 4।

वर्ग

इसके क्षेत्रफल की गणना करने का सूत्र सबसे सरल है, यहाँ "a" फिर से भुजा है:

मनमाना नियमित n-gon

बहुभुज के किनारे का एक ही पदनाम है। कोनों की संख्या के लिए लैटिन अक्षर n का उपयोग किया जाता है।

एस = (एन * ए 2) / (4 * टीजी (180º/एन))।

पार्श्व और कुल सतह क्षेत्र की गणना करते समय कैसे आगे बढ़ें?

चूँकि आधार एक नियमित आकृति है, पिरामिड के सभी फलक समान हैं। इसके अलावा, उनमें से प्रत्येक एक समद्विबाहु त्रिभुज है, क्योंकि किनारे बराबर हैं। फिर, पिरामिड के पार्श्व क्षेत्र की गणना करने के लिए, आपको समान मोनोमियल के योग से युक्त एक सूत्र की आवश्यकता होती है। पदों की संख्या आधार की भुजाओं की संख्या से निर्धारित होती है।

एक समद्विबाहु त्रिभुज के क्षेत्रफल की गणना उस सूत्र द्वारा की जाती है जिसमें आधार के आधे गुणनफल को ऊँचाई से गुणा किया जाता है। पिरामिड में इस ऊंचाई को एपोथेम कहा जाता है। इसका पदनाम "ए" है। सामान्य सूत्रपार्श्व सतह क्षेत्र के लिए इस तरह दिखता है:

एस \u003d ½ पी * ए, जहां पी पिरामिड के आधार की परिधि है।

ऐसी स्थितियाँ होती हैं जब आधार की भुजाएँ ज्ञात नहीं होती हैं, लेकिन भुजाएँ (c) और इसके शीर्ष पर समतल कोण (α) दिए जाते हैं। फिर पिरामिड के पार्श्व क्षेत्र की गणना करने के लिए इस तरह के सूत्र का उपयोग करना चाहिए:

एस = एन/2 * 2 पाप में α .

कार्य 1

स्थि‍ति।पिरामिड का कुल क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए यदि इसका आधार 4 सेमी की भुजा के साथ स्थित है, और एपोथेम का मान √3 सेमी है।

समाधान।आपको आधार की परिधि की गणना करके शुरू करने की आवश्यकता है। चूंकि यह एक नियमित त्रिकोण है, तो पी \u003d 3 * 4 \u003d 12 सेमी। चूंकि एपोथेम ज्ञात है, आप तुरंत पूरे पार्श्व सतह के क्षेत्र की गणना कर सकते हैं: ½ * 12 * 3 = 6 3 सेमी 2.

आधार पर एक त्रिभुज के लिए, आपको निम्नलिखित क्षेत्रफल मान मिलता है: (4 2 * 3) / 4 \u003d 4 3 सेमी 2।

पूरे क्षेत्र को निर्धारित करने के लिए, आपको दो परिणामी मान जोड़ने होंगे: 6√3 + 4√3 = 10√3 सेमी 2।

उत्तर। 10√3 सेमी2।

कार्य #2

स्थि‍ति. एक नियमित चतुर्भुज पिरामिड है। आधार के किनारे की लंबाई 7 मिमी है, किनारे का किनारा 16 मिमी है। आपको इसका पृष्ठीय क्षेत्रफल जानना होगा।

समाधान।चूँकि बहुफलक चतुर्भुज और नियमित है, तो इसका आधार एक वर्ग है। आधार और पार्श्व चेहरों के क्षेत्रों को जानने के बाद, पिरामिड के क्षेत्र की गणना करना संभव होगा। वर्ग का सूत्र ऊपर दिया गया है। और भुजाओं के फलकों पर त्रिभुज की सभी भुजाएँ ज्ञात होती हैं। इसलिए, आप उनके क्षेत्रों की गणना करने के लिए हीरोन के सूत्र का उपयोग कर सकते हैं।

पहली गणना सरल है और इस संख्या की ओर ले जाती है: 49 मिमी 2। दूसरे मान के लिए, आपको अर्ध-परिधि की गणना करनी होगी: (7 + 16 * 2): 2 = 19.5 मिमी। अब आप समद्विबाहु त्रिभुज के क्षेत्रफल की गणना कर सकते हैं: (19.5 * (19.5-7) * (19.5-16) 2) = √2985.9375 = 54.644 मिमी 2. ऐसे केवल चार त्रिभुज हैं, इसलिए अंतिम संख्या की गणना करते समय, आपको इसे 4 से गुणा करना होगा।

यह पता चला है: 49 + 4 * 54.644 \u003d 267.576 मिमी 2.

उत्तर. वांछित मूल्य 267.576 मिमी 2 है।

कार्य #3

स्थि‍ति. एक नियमित चतुर्भुज पिरामिड के लिए, आपको क्षेत्र की गणना करने की आवश्यकता है। इसमें वर्ग की भुजा 6 सेमी तथा ऊँचाई 4 सेमी है।

समाधान।परिधि और एपोथेम के उत्पाद के साथ सूत्र का उपयोग करना सबसे आसान तरीका है। पहला मूल्य खोजना आसान है। दूसरा थोड़ा और कठिन है।

हमें पाइथागोरस प्रमेय को याद रखना होगा और विचार करना होगा कि यह पिरामिड की ऊंचाई और एपोथेम से बना है, जो कर्ण है। दूसरा पैर वर्ग के आधे हिस्से के बराबर है, क्योंकि पॉलीहेड्रॉन की ऊंचाई इसके बीच में आती है।

वांछित एपोथेम (कर्ण) सही त्रिकोण) (3 2 + 4 2) = 5 (सेमी) के बराबर है।

अब आप वांछित मूल्य की गणना कर सकते हैं: ½ * (4 * 6) * 5 + 6 2 \u003d 96 (सेमी 2)।

उत्तर। 96 सेमी2.

टास्क #4

स्थि‍ति।दान दाईं ओरइसके आधार 22 मिमी, पार्श्व पसलियाँ - 61 मिमी हैं। इस बहुफलक के पार्श्व पृष्ठ का क्षेत्रफल क्या है?

समाधान।इसमें तर्क वही है जो समस्या संख्या 2 में वर्णित है। केवल आधार पर एक वर्ग के साथ एक पिरामिड दिया गया था, और अब यह एक षट्भुज है।

सबसे पहले, आधार के क्षेत्र की गणना उपरोक्त सूत्र का उपयोग करके की जाती है: (6 * 22 2) / (4 * tg (180º / 6)) \u003d 726 / (tg30º) \u003d 726√3 सेमी 2.

अब आपको एक समद्विबाहु त्रिभुज का अर्ध-परिधि ज्ञात करने की आवश्यकता है, जो एक भुजा फलक है। (22 + 61 * 2): 2 = 72 सेमी। यह बगुला सूत्र का उपयोग करके ऐसे प्रत्येक त्रिभुज के क्षेत्रफल की गणना करने के लिए बनी हुई है, और फिर इसे छह से गुणा करें और इसे उस एक में जोड़ें जो इसके लिए निकला आधार।

बगुला सूत्र का उपयोग करके गणना: (72 * (72-22) * (72-61) 2) \u003d √ 435600 \u003d 660 सेमी 2। गणना जो पार्श्व सतह क्षेत्र देगी: 660 * 6 \u003d 3960 सेमी 2। पूरी सतह का पता लगाने के लिए उन्हें जोड़ना बाकी है: 5217.47≈5217 सेमी 2.

उत्तर।आधार - 726√3 सेमी 2, पार्श्व सतह - 3960 सेमी 2, संपूर्ण क्षेत्रफल - 5217 सेमी 2।