अध्याय III।
समानांतर रेखाएं

§ 35. दो सीधी रेखाओं की समानता के लक्षण।

यह प्रमेय कि एक रेखा पर दो लंबवत समानांतर हैं (§ 33) एक संकेत देता है कि दो रेखाएं समानांतर हैं। आप और अधिक निकाल सकते हैं आम सुविधाएंदो पंक्तियों की समानता।

1. समानता का पहला संकेत।

यदि, दो रेखाओं के एक तिहाई के साथ प्रतिच्छेदन पर, अंतः कोण समान हों, तो ये रेखाएँ समानांतर होती हैं।

माना रेखाएँ AB और CD रेखा EF और . को प्रतिच्छेद करती हैं / 1 = / 2. बिंदु O - सेकेंट EF के खंड KL के मध्य को लें (चित्र 189)।

आइए हम लंब OM को बिंदु O से रेखा AB पर छोड़ते हैं और इसे तब तक जारी रखते हैं जब तक कि यह रेखा CD, AB_|_MN के साथ प्रतिच्छेद न कर दे। आइए हम सिद्ध करें कि CD_|_MN.
ऐसा करने के लिए, दो त्रिभुजों पर विचार करें: एमओई और एनओके। ये त्रिभुज एक दूसरे के बराबर होते हैं। वास्तव में: / 1 = / 2 प्रमेय की स्थिति से; OK = OL - निर्माण द्वारा;
/ एमओएल = / ऊर्ध्वाधर कोनों के रूप में NOK। इस प्रकार, एक त्रिभुज की भुजा और उसके निकट के दो कोण क्रमशः दूसरे त्रिभुज की भुजा और उसके आसन्न दो कोणों के बराबर होते हैं; फलस्वरूप, /\ एमओएल = /\ NOK, और इसलिए
/ एलएमओ = / पता है लेकिन / एलएमओ प्रत्यक्ष है, इसलिए, और / KNO भी प्रत्यक्ष है। इस प्रकार, रेखाएँ AB और CD एक ही रेखा MN पर लंबवत हैं, इसलिए वे समानांतर (§ 33) हैं, जिसे सिद्ध करना था।

टिप्पणी। MO और CD रेखाओं का प्रतिच्छेदन त्रिभुज MOL को बिंदु O के चारों ओर 180° घुमाकर स्थापित किया जा सकता है।

2. समांतरता का दूसरा संकेत।

आइए देखें कि क्या रेखाएँ AB और CD समांतर हैं, यदि उनकी तीसरी रेखा EF के प्रतिच्छेदन पर संगत कोण बराबर हों।

मान लीजिए कि कुछ संगत कोण बराबर हैं, उदाहरण के लिए / 3 = / 2 (देव। 190);
/ 3 = / 1, क्योंकि कोने लंबवत हैं; साधन, / 2 बराबर होगा / 1. लेकिन कोण 2 और 1 आंतरिक क्रॉसवाइज झूठ कोण हैं, और हम पहले से ही जानते हैं कि यदि दो रेखाओं के एक तिहाई के चौराहे पर, आंतरिक क्रॉसवाइज झूठ बोलने वाले कोण बराबर हैं, तो ये रेखाएं समानांतर हैं। इसलिए, एबी || सीडी.

यदि तीसरी की दो रेखाओं के प्रतिच्छेदन पर संगत कोण बराबर हों, तो ये दोनों रेखाएँ समानांतर होती हैं।

एक रूलर और एक आरेखण त्रिभुज की सहायता से समानांतर रेखाओं का निर्माण इसी गुण पर आधारित होता है। यह अग्रानुसार होगा।

आइए हम त्रिभुज को रूलर से जोड़ते हैं जैसा कि चित्र 191 में दिखाया गया है। हम त्रिभुज को इस तरह से घुमाएंगे कि इसकी एक भुजा रूलर के साथ स्लाइड करे, और त्रिभुज के किसी अन्य पक्ष के साथ कई सीधी रेखाएँ खींचे। ये रेखाएं समानांतर होंगी।

3. समांतरता का तीसरा संकेत।

बता दें कि तीसरी रेखा से दो रेखा AB और CD के प्रतिच्छेदन पर किसी भी आंतरिक एकतरफा कोणों का योग 2 के बराबर होता है डी(या 180°)। क्या इस स्थिति में रेखाएँ AB और CD समानांतर होंगी (चित्र 192)।

होने देना / 1 और / 2 आंतरिक एक तरफा कोण और 2 . तक जोड़ें डी.
परंतु / 3 + / 2 = 2डीआसन्न कोणों के रूप में। फलस्वरूप, / 1 + / 2 = / 3+ / 2.

यहाँ से / 1 = / 3, और ये कोने आंतरिक रूप से तिरछे पड़े हैं। इसलिए, एबी || सीडी.

यदि दो रेखाओं के प्रतिच्छेदन पर एक तिहाई से, आंतरिक एक तरफा कोणों का योग बराबर है 2 d, तो दो रेखाएँ समानांतर हैं।

एक व्यायाम।

सिद्ध कीजिए कि रेखाएँ समानांतर हैं:
क) यदि बाह्य अनुप्रस्थ कोण समान हैं (चित्र 193);
बी) यदि बाहरी एकतरफा कोणों का योग 2 . है डी(शैतान 194)।

दो कोण ऊर्ध्वाधर कहलाते हैं यदि एक कोण की भुजाएँ दूसरे कोण की भुजाओं का विस्तार हों।

आंकड़ा कोनों को दिखाता है 1 तथा 3 , साथ ही कोण 2 तथा 4 - खड़ा। कोना 2 दोनों कोणों के निकट है 1 , और कोण के साथ 3. संपत्ति से आसन्न कोने 1 +2 =180 0 और 3 +2 = 1800. यहाँ से हमें मिलता है: 1=180 0 -2 , 3=180 0 -2. इस प्रकार, कोणों की डिग्री माप 1 तथा 3 बराबर हैं। यह इस प्रकार है कि कोण स्वयं बराबर हैं। अत: उर्ध्वाधर कोण बराबर होते हैं।

2. त्रिभुजों की समता के चिह्न।

यदि एक त्रिभुज की दो भुजाएँ और उनके बीच का कोण क्रमशः दूसरे त्रिभुज की दो भुजाओं और उनके बीच के कोण के बराबर हों, तो ऐसे त्रिभुज सर्वांगसम होते हैं।

यदि एक त्रिभुज की एक भुजा और दो आसन्न कोण क्रमशः एक अन्य त्रिभुज की एक भुजा और दो आसन्न कोणों के बराबर हों, तो ऐसे त्रिभुज सर्वांगसम होते हैं।

3. यदि एक त्रिभुज की तीन भुजाएँ क्रमशः दूसरे त्रिभुज की तीन भुजाओं के बराबर हों, तो ऐसे त्रिभुज बराबर होते हैं।

त्रिभुजों की समानता का 1 चिन्ह:

त्रिभुज एबीसी और ए 1 बी 1 सी 1 पर विचार करें, जिसमें एबी \u003d ए 1 बी 1, एसी \u003d ए 1 सी 1, कोण ए और ए 1 बराबर हैं। आइए हम सिद्ध करें कि ABC=A 1 B 1 C 1 ।
चूँकि (y) A \u003d (y) A 1, तो त्रिभुज ABC को त्रिभुज A 1 B 1 C 1 पर आरोपित किया जा सकता है, ताकि शीर्ष A, शीर्ष A1 के साथ संरेखित हो, और AB और AC की भुजाएँ आरोपित हों, क्रमशः ए 1 बी 1 और ए 1 सी 1 किरणों पर। चूंकि एबी \u003d ए 1 बी 1, एसी \u003d ए 1 सी 1, तो साइड एबी को साइड ए 1 बी 1 और साइड एसी के साथ जोड़ा जाएगा - साइड ए 1 सी 1 के साथ; विशेष रूप से, अंक बी और बी 1, सी और सी 1 संयोग करेंगे। इसलिए, भुजाएँ BC और B 1 C 1 संरेखित होंगी। तो, त्रिभुज ABC और A 1 B 1 C 1 पूरी तरह से संगत हैं, जिसका अर्थ है कि वे बराबर हैं। सीटीडी

3. एक समद्विबाहु त्रिभुज के समद्विभाजक पर प्रमेय।

एक समद्विबाहु त्रिभुज में, आधार पर खींचा गया द्विभाजक माध्यिका और ऊँचाई होता है।

आइए हम उस आकृति की ओर मुड़ें, जिसमें ABC एक समद्विबाहु त्रिभुज है जिसका आधार BC है, AD इसका समद्विभाजक है।

त्रिभुज ABD और ACD की समानता से (त्रिभुजों की समानता के लिए दूसरे मानदंड के अनुसार: AD उभयनिष्ठ है; कोण 1 और 2 बराबर हैं क्योंकि AD-द्विभाजक; AB=AC, क्योंकि त्रिभुज समद्विबाहु है) यह इस प्रकार है कि BD = DC और 3 = 4। समानता BD = DC का अर्थ है कि बिंदु D भुजा BC का मध्यबिंदु है और इसलिए AD त्रिभुज ABC की माध्यिका है। चूँकि कोण 3 और 4 एक दूसरे के निकट और बराबर हैं, इसलिए वे समकोण हैं। इसलिए, खंड AO त्रिभुज ABC की ऊंचाई भी है। सी.एच.टी.डी.

4. यदि रेखाएँ समानांतर हैं -> कोण…। (वैकल्पिक)

5. यदि कोण ... ..-> रेखाएं समानांतर हैं (वैकल्पिक)

यदि एक छेदक की दो रेखाओं के प्रतिच्छेदन पर संगत कोण बराबर हों, तो रेखाएँ समानांतर होती हैं।

मान लीजिए कि छेदक की रेखा a और b के प्रतिच्छेदन पर संगत कोण बराबर होते हैं, उदाहरण के लिए 1=2।

चूँकि कोण 2 और 3 लंबवत हैं, तो 2=3। इन दो समानताओं से यह निष्कर्ष निकलता है कि 1=3. लेकिन कोण 1 और 3 क्रॉसवाइज हैं, इसलिए रेखाएं a और b समानांतर हैं। सी.एच.टी.डी.

6. त्रिभुज के कोणों के योग पर प्रमेय।

त्रिभुज के कोणों का योग 180 0 . होता है.

एक मनमाना त्रिभुज ABC लें और सिद्ध करें कि A+B+C=180 0 ।

आइए हम भुजा AC के समांतर शीर्ष B से होकर एक सीधी रेखा a खींचते हैं। कोण 1 और 4 छेदक AB द्वारा समांतर रेखाओं a और AC के प्रतिच्छेदन पर अनुप्रस्थ कोण हैं, और कोण 3 और 5 छेदक BC द्वारा समान समानांतर रेखाओं के प्रतिच्छेदन पर अनुप्रस्थ कोण हैं। इसलिए (1)4=1; 5=3.

जाहिर है, कोण 4, 2 और 5 का योग शीर्ष बी के साथ सीधे कोण के बराबर है, यानी। 4+2+5=1800। इसलिए, समानताएं (1) को ध्यान में रखते हुए, हम प्राप्त करते हैं: 1+2+3=180 0 या A+B+C=180 0 ।

7. समकोण त्रिभुजों की समानता का चिह्न।

1. समानता का पहला संकेत।

यदि, दो रेखाओं के एक तिहाई के साथ प्रतिच्छेदन पर, अंतः कोण समान हों, तो ये रेखाएँ समानांतर होती हैं।

मान लीजिए कि रेखाएँ AB और CD रेखा EF और 1 = ∠2 द्वारा प्रतिच्छेद करती हैं। आइए बिंदु O - सेकेंट EF (चित्र।) के खंड KL के मध्य को लें।

आइए हम लंब OM को बिंदु O से रेखा AB पर छोड़ते हैं और इसे तब तक जारी रखते हैं जब तक कि यह रेखा CD, AB MN के साथ प्रतिच्छेद न कर दे। आइए हम सिद्ध करें कि CD MN भी है।

ऐसा करने के लिए, दो त्रिभुजों पर विचार करें: एमओई और एनओके। ये त्रिभुज एक दूसरे के बराबर होते हैं। दरअसल: 1 = ∠2 प्रमेय की परिकल्पना से; OK = OL - निर्माण द्वारा;

MOL = NOK ऊर्ध्वाधर कोणों के रूप में। इस प्रकार, एक त्रिभुज की भुजा और उसके निकट के दो कोण क्रमशः दूसरे त्रिभुज की भुजा और उसके आसन्न दो कोणों के बराबर होते हैं; इसलिए, MOL = NOK, और इसलिए ∠LMO = ∠KNO,
लेकिन LMO प्रत्यक्ष है, इसलिए KNO भी प्रत्यक्ष है। इस प्रकार, रेखाएँ AB और CD एक ही रेखा MN पर लंबवत हैं, इसलिए, वे समानांतर हैं, जिसे सिद्ध किया जाना था।

टिप्पणी। MO और CD रेखाओं का प्रतिच्छेदन त्रिभुज MOL को बिंदु O के चारों ओर 180° घुमाकर स्थापित किया जा सकता है।

2. समांतरता का दूसरा संकेत।

आइए देखें कि क्या रेखाएँ AB और CD समांतर हैं, यदि उनकी तीसरी रेखा EF के प्रतिच्छेदन पर संगत कोण बराबर हों।

मान लीजिए कि कुछ संगत कोण बराबर हैं, उदाहरण के लिए ∠ 3 = 2 (चित्र।);

∠3 = ∠1 ऊर्ध्वाधर कोणों के रूप में; तो ∠2 1 के बराबर होगा। लेकिन कोण 2 और 1 आंतरिक क्रॉसवाइज कोण हैं, और हम पहले से ही जानते हैं कि यदि दो रेखाओं के एक तिहाई के चौराहे पर, आंतरिक क्रॉसवाइज झूठ बोलने वाले कोण बराबर हैं, तो ये रेखाएं समानांतर हैं। इसलिए, एबी || सीडी.

यदि तीसरी की दो रेखाओं के प्रतिच्छेदन पर संगत कोण बराबर हों, तो ये दोनों रेखाएँ समानांतर होती हैं।

एक रूलर और एक आरेखण त्रिभुज की सहायता से समानांतर रेखाओं का निर्माण इसी गुण पर आधारित होता है। यह अग्रानुसार होगा।

आइए हम एक त्रिभुज को रूलर से जोड़ते हैं जैसा कि चित्र में दिखाया गया है। हम त्रिभुज को इस प्रकार घुमाएंगे कि उसकी एक भुजा रूलर के अनुदिश सरक जाए, और त्रिभुज की किसी अन्य भुजा के अनुदिश कई सीधी रेखाएँ खींचे। ये रेखाएं समानांतर होंगी।

3. समांतरता का तीसरा संकेत।

बता दें कि तीसरी रेखा से दो रेखा AB और CD के प्रतिच्छेदन पर किसी भी आंतरिक एकतरफा कोणों का योग 2 के बराबर होता है डी(या 180°)। क्या इस स्थिति में रेखाएँ AB और CD समानांतर होंगी (चित्र।)

मान लीजिए 1 और ∠2 एकतरफा आंतरिक कोण हैं और 2 . तक जोड़ते हैं डी.

लेकिन 3 + ∠2 = 2 डीआसन्न कोणों के रूप में। इसलिए, ∠1 + 2 = ∠3+ ∠2।

अत: ∠1 = ∠3, और ये अंतः कोण क्रॉसवाइज हैं। इसलिए, एबी || सीडी.

यदि दो रेखाओं के प्रतिच्छेदन पर एक तिहाई से, आंतरिक एक तरफा कोणों का योग बराबर है 2 d (या 180°), तो दोनों रेखाएँ समानांतर हैं।

समानांतर रेखाओं के संकेत:

1. यदि दो सीधी रेखाओं के प्रतिच्छेदन पर एक तिहाई से आंतरिक अनुप्रस्थ कोण समान हों, तो ये रेखाएँ समानांतर होती हैं।

2. यदि तीसरी की दो रेखाओं के प्रतिच्छेदन पर संगत कोण बराबर हों, तो ये दोनों रेखाएँ समानांतर होती हैं।

3. यदि तीसरी की दो रेखाओं के प्रतिच्छेदन पर आंतरिक एक तरफा कोणों का योग 180° हो, तो ये दोनों रेखाएँ समानांतर होती हैं।

4. यदि दो रेखाएँ तीसरी रेखा के समानांतर हों, तो वे एक दूसरे के समानांतर होती हैं।

5. यदि दो रेखाएँ तीसरी रेखा पर लंबवत हों, तो वे एक-दूसरे के समानांतर होती हैं।

समानता का यूक्लिड का स्वयंसिद्ध

एक कार्य। रेखा AB के बाहर लिए गए बिंदु M से होकर रेखा AB के समांतर एक रेखा खींचिए।

समांतर रेखाओं के चिन्हों पर सिद्ध प्रमेयों का प्रयोग करके इस समस्या को विभिन्न तरीकों से हल किया जा सकता है,

समाधान।पहला एस ओ एस ओ बी (चित्र। 199)।

हम MN⊥AB खींचते हैं और बिंदु M से होकर हम CD⊥MN खींचते हैं;

हमें CD⊥MN और AB⊥MN मिलता है।

प्रमेय के आधार पर ("यदि दो रेखाएं एक ही रेखा पर लंबवत हैं, तो वे समानांतर हैं।") हम निष्कर्ष निकालते हैं कि सीडी || एबी.

दूसरा एस पी ओ एस ओ बी (चित्र। 200)।

हम AB को किसी भी कोण α पर प्रतिच्छेद करते हुए एक MK खींचते हैं, और बिंदु M से हम एक सीधी रेखा EF खींचते हैं, जिससे एक सीधी रेखा MK के साथ एक कोण EMK बनता है, कोण के बराबरएक। प्रमेय () के आधार पर हम यह निष्कर्ष निकालते हैं कि EF || एबी.

इस समस्या को हल करने के बाद, हम यह मान सकते हैं कि यह साबित हुआ है कि रेखा AB के बाहर लिए गए किसी भी बिंदु M से उसके समानांतर एक रेखा खींचना संभव है। प्रश्न यह उठता है कि किसी दी गई रेखा के समांतर और दिए गए बिंदु से गुजरने वाली कितनी रेखाएं मौजूद हो सकती हैं?

निर्माण का अभ्यास हमें यह मानने की अनुमति देता है कि केवल एक ही ऐसी रेखा है, क्योंकि सावधानीपूर्वक निष्पादित ड्राइंग के साथ, एक ही रेखा के समानांतर एक ही बिंदु के माध्यम से विभिन्न तरीकों से खींची गई रेखाएं मिलती हैं।

सिद्धांत रूप में, इस प्रश्न का उत्तर यूक्लिड के समानांतरवाद के तथाकथित स्वयंसिद्ध द्वारा दिया गया है; इसे इस तरह तैयार किया गया है:

किसी दी गई रेखा के बाहर किसी बिंदु से होकर इस रेखा के समानांतर केवल एक ही रेखा खींची जा सकती है।

रेखाचित्र 201 में, बिंदु O से होकर सीधी रेखा AB के समानांतर एक सीधी रेखा SK खींची गई है।

बिंदु O से गुजरने वाली कोई अन्य रेखा अब रेखा AB के समानांतर नहीं होगी, बल्कि उसे काटेगी।

यूक्लिड द्वारा अपने तत्वों में अपनाया गया अभिगृहीत, जिसमें कहा गया है कि किसी दी गई रेखा के बाहर एक बिंदु के माध्यम से एक विमान पर, इस रेखा के समानांतर केवल एक रेखा खींची जा सकती है, कहलाती है समानता का यूक्लिड का स्वयंसिद्ध.

यूक्लिड के दो हजार से अधिक वर्षों के बाद, कई गणितज्ञों ने इस गणितीय प्रस्ताव को साबित करने की कोशिश की, लेकिन उनके प्रयास हमेशा असफल रहे। केवल 1826 में महान रूसी वैज्ञानिक, कज़ान विश्वविद्यालय के प्रोफेसर निकोलाई इवानोविच लोबचेवस्की ने साबित किया कि, यूक्लिड के अन्य सभी स्वयंसिद्धों का उपयोग करके, यह गणितीय प्रस्ताव साबित नहीं किया जा सकता है, कि इसे वास्तव में एक स्वयंसिद्ध के रूप में लिया जाना चाहिए। एन. आई. लोबचेवस्की ने बनाया नई ज्यामिति, जो यूक्लिड की ज्यामिति के विपरीत, लोबचेवस्की की ज्यामिति कहलाती है।

अबतथा सेडीतीसरी पंक्ति द्वारा पार किया गया एम.एन., तो इस मामले में बनने वाले कोणों को जोड़े में निम्नलिखित नाम मिलते हैं:

सभी तरीके से: 1 और 5, 4 और 8, 2 और 6, 3 और 7;

आंतरिक क्रॉस-झूठ वाले कोने: 3 और 5, 4 और 6;

बाहरी क्रॉस-झूठ वाले कोने: 1 और 7, 2 और 8;

आंतरिक एक तरफा कोने: 3 और 6, 4 और 5;

बाहरी एक तरफा कोने: 1 और 8, 2 और 7.

तो, 2 = ∠ 4 और 8 = 6, लेकिन सिद्ध द्वारा 4 = 6।

इसलिए, 2 = 8.

3. संबंधित कोण 2 और 6 समान हैं, क्योंकि 2 = 4, और ∠ 4 = 6. हम यह भी सुनिश्चित करते हैं कि अन्य संगत कोण बराबर हों।

4. जोड़ आंतरिक एक तरफा कोने 3 और 6 2d होंगे क्योंकि योग आसन्न कोने 3 और 4 2d = 180 0 के बराबर है, और 4 को समान ∠ 6 से बदला जा सकता है। यह भी सुनिश्चित करें कि कोणों का योग 4 और 5 2d के बराबर है।

5. जोड़ बाहरी एक तरफा कोने 2d होगा क्योंकि ये कोण क्रमशः बराबर हैं आंतरिक एक तरफा कोनेकोनों की तरह खड़ा.

ऊपर सिद्ध किए गए औचित्य से, हम प्राप्त करते हैं उलटा प्रमेय।

जब, एक मनमाना तीसरी रेखा की दो पंक्तियों के प्रतिच्छेदन पर, हम प्राप्त करते हैं:

1. आंतरिक क्रॉस झूठ कोण समान हैं;

या 2.बाहरी क्रॉस झूठ कोण समान हैं;

या 3.संगत कोण समान हैं;

या 4.आंतरिक एक तरफा कोणों का योग 2d = 180 0 के बराबर होता है;

या 5.बाहरी एक तरफा का योग 2d = 180 0 . है ,

तो पहली दो पंक्तियाँ समानांतर हैं।

यह अध्याय समानांतर रेखाओं के अध्ययन के लिए समर्पित है। यह एक समतल में दो सीधी रेखाओं को दिया गया नाम है जो प्रतिच्छेद नहीं करती हैं। हम पर्यावरण में समानांतर रेखाओं के खंड देखते हैं - ये एक आयताकार मेज के दो किनारे, एक किताब के कवर के दो किनारे, दो ट्रॉलीबस बार आदि हैं। समानांतर रेखाएँ ज्यामिति में बहुत महत्वपूर्ण भूमिका निभाती हैं। इस अध्याय में, आप सीखेंगे कि ज्यामिति के अभिगृहीत क्या हैं और समानांतर रेखाओं के अभिगृहीत में क्या शामिल हैं - ज्यामिति के सबसे प्रसिद्ध अभिगृहीतों में से एक।

खंड 1 में, हमने देखा कि दो रेखाओं में या तो एक उभयनिष्ठ बिंदु होता है, अर्थात प्रतिच्छेद करता है, या उनमें से कोई भी नहीं है आम बात, यानी, प्रतिच्छेद न करें।

परिभाषा

रेखाओं a और b की समांतरता को इस प्रकार दर्शाया गया है: a || बी।

चित्र 98 रेखा a और b को रेखा c के लंबवत दिखाता है। खंड 12 में हमने स्थापित किया कि ऐसी रेखाएँ a और b प्रतिच्छेद नहीं करती हैं, अर्थात वे समानांतर हैं।

चावल। 98

समानांतर रेखाओं के साथ-साथ, अक्सर माना जाता है समानांतर खंड. दो खंडों को कहा जाता है समानांतरयदि वे समानांतर रेखाओं पर स्थित हैं। आकृति 99 में, और खंड AB और CD समानांतर (AB || CD) हैं, और खंड MN और CD समानांतर नहीं हैं। इसी तरह, एक खंड और एक सीधी रेखा (चित्र। 99, बी), एक किरण और एक सीधी रेखा, एक खंड और एक किरण, दो किरणों (चित्र। 99, सी) की समानता निर्धारित की जाती है।

चावल। 99दो रेखाओं की समानता के लक्षण

डायरेक्ट के साथ कहा जाता है काटनेवालारेखाओं a और b के संबंध में, यदि यह उन्हें दो बिंदुओं पर काटती है (चित्र 100)। रेखा a और b के प्रतिच्छेदन पर, छेदक c आठ कोण बनाता है, जिन्हें चित्र 100 में संख्याओं द्वारा दर्शाया गया है। इन कोणों के कुछ युग्मों के विशेष नाम हैं:

क्रॉस-क्रॉस कॉर्नर: 3 और 5, 4 और 6;
एक तरफा कोने: 4 और 5, 3 और 6;
सभी तरीके से: 1 और 5, 4 और 8, 2 और 6, 3 और 7।

चावल। 100

कोणों के इन युग्मों से जुड़ी दो रेखाओं की समांतरता के तीन संकेतों पर विचार करें।

प्रमेय

सबूत

मान लीजिए कि एक छेदक AB द्वारा रेखाओं a और b के प्रतिच्छेदन पर, कोण बराबर हैं: 1 = 2 (चित्र 101, a)।

आइए हम साबित करें कि एक || बी। यदि कोण 1 और 2 समकोण हैं (आकृति 101, b), तो रेखाएँ a और b रेखा AB पर लंबवत हैं और इसलिए, समानांतर हैं।

चावल। 101

उस स्थिति पर विचार करें जब कोण 1 और 2 सही नहीं हैं।

खंड AB के मध्य O से सीधी रेखा a पर एक लंब OH खींचिए (चित्र 101, c)। बिंदु बी से रेखा बी पर, हम खंड वीएच 1 को खंड एएच के बराबर सेट करते हैं, जैसा कि चित्र 101, सी में दिखाया गया है, और खंड ओएच 1 को ड्रा करें। त्रिभुज ओएनए और ओएच 1 वी दो पक्षों में बराबर हैं और उनके बीच का कोण (एओ = बीओ, एएन = वीएन 1, ∠1 = ∠2), इसलिए ∠3 = ∠4 और ∠5 = ∠6। समानता ∠3 = ∠4 से यह निम्नानुसार है कि बिंदु एच 1 किरण ओएच की निरंतरता पर स्थित है, यानी बिंदु एच, ओ और एच 1 एक ही सीधी रेखा पर स्थित हैं, और समानता ∠5 = ∠6 से यह इस प्रकार कोण 6 एक सीधी रेखा है (चूंकि कोण 5 एक समकोण है)। अतः रेखाएँ a और b रेखा HH 1 के लंबवत हैं, इसलिए वे समानांतर हैं। प्रमेय सिद्ध हो चुका है।

प्रमेय

सबूत

मान लीजिए कि रेखाओं a और b के प्रतिच्छेदन पर संगत कोणों वाला छेदक बराबर होता है, उदाहरण के लिए 1 = 2 (चित्र 102)।

चावल। 102

चूँकि कोण 2 और 3 लंबवत हैं, तो ∠2 = 3। इन दो समानताओं का अर्थ है कि 1 = 3। लेकिन कोण 1 और 3 क्रॉसवाइज हैं, इसलिए रेखाएं a और b समानांतर हैं। प्रमेय सिद्ध हो चुका है।

प्रमेय

सबूत

मान लीजिए, रेखाओं a और b के प्रतिच्छेदन पर, एक तरफा कोणों के योग वाला छेदक 180° है, उदाहरण के लिए 1 + 4 = 180° (चित्र 102 देखें)।

चूँकि कोण 3 और 4 आसन्न हैं, तो 3 + 4 = 180°। इन दो समानताओं से यह निम्नानुसार है कि क्रॉसवाइज कोण 1 और 3 बराबर हैं, इसलिए रेखाएं ए और बी समानांतर हैं। प्रमेय सिद्ध हो चुका है।

समानांतर रेखाएँ खींचने के व्यावहारिक तरीके

समानांतर रेखाओं के चिन्ह व्यवहार में उपयोग किए जाने वाले विभिन्न उपकरणों की सहायता से समानांतर रेखाओं के निर्माण के तरीकों के अंतर्गत आते हैं। उदाहरण के लिए, एक आरेखण वर्ग और एक रूलर का उपयोग करके समानांतर रेखाएँ बनाने की एक विधि पर विचार करें। बिंदु M से होकर जाने वाली एक सीधी रेखा बनाने के लिए और दी गई रेखा a के समानांतर, हम एक आरेखण वर्ग को सीधी रेखा a पर और उस पर एक रूलर लगाते हैं जैसा कि चित्र 103 में दिखाया गया है। फिर, वर्ग को रूलर के अनुदिश घुमाते हुए, हम यह सुनिश्चित करेगा कि बिंदु M वर्ग के किनारे पर है, और एक रेखा b खींचे। रेखाएँ a और b समानांतर हैं, क्योंकि संबंधित कोण, जिन्हें α और β अक्षरों द्वारा चित्र 103 में दर्शाया गया है, समान हैं।

चावल। 103चित्र 104 एक टी-स्क्वायर का उपयोग करके समानांतर रेखाएँ बनाने की एक विधि दिखाता है। इस पद्धति का उपयोग ड्राइंग अभ्यास में किया जाता है।

चावल। 104बढ़ईगीरी का काम करते समय एक समान विधि का उपयोग किया जाता है, जहां समानांतर रेखाओं को चिह्नित करने के लिए एक बेवल का उपयोग किया जाता है (दो लकड़ी के तख्तों को एक काज के साथ बांधा जाता है, चित्र 105)।

चावल। 105

कार्य

186. चित्र 106 में, रेखाएँ a और b रेखा c द्वारा प्रतिच्छेद की जाती हैं। साबित करें कि एक || ख अगर:

क) 1 = 37°, ∠7 = 143°;
बी) 1 = ∠6;
c) l = 45°, और कोण 7 कोण 3 से तीन गुना बड़ा है।

चावल। 106

187. आकृति 107 के अनुसार सिद्ध कीजिए कि AB || डे।

चावल। 107

188. खंड AB और CD अपने उभयनिष्ठ मध्य में प्रतिच्छेद करते हैं। सिद्ध कीजिए कि रेखाएँ AC और BD समानांतर हैं।

189. चित्र 108 में दिए गए आँकड़ों का प्रयोग करके सिद्ध कीजिए कि BC || ई.

चावल। 108

190. आकृति 109 में AB = BC, AD = DE, C = 70°, EAC = 35°। सिद्ध कीजिए कि DE || जैसा।

चावल। 109

191. खंड VK त्रिभुज ABC का समद्विभाजक है। बिंदु K से होकर एक सीधी रेखा खींची जाती है, जो भुजा BC को बिंदु M पर प्रतिच्छेद करती है ताकि BM = MK हो। सिद्ध कीजिए कि रेखाएँ KM और AB समानांतर हैं।

192. त्रिभुज ABC में, कोण A 40° है, और कोण ACB से लगा हुआ कोण 80° है। सिद्ध कीजिए कि कोण ALL का समद्विभाजक रेखा AB के समांतर है।

193. त्रिभुज ABC में A = 40°, B = 70°। रेखा BD को शीर्ष B से इस प्रकार खींचा जाता है कि किरण BC कोण ABD का समद्विभाजक हो। सिद्ध कीजिए कि रेखाएँ AC और BD समानांतर हैं।

194. एक त्रिभुज बनाएं। इस त्रिभुज के प्रत्येक शीर्ष के माध्यम से, एक आरेखण वर्ग और एक रूलर का उपयोग करते हुए, विपरीत भुजा के समानांतर एक सीधी रेखा खींचें।

195. त्रिभुज ABC खींचिए और भुजा AC पर बिंदु D अंकित कीजिए। बिंदु D से होकर, एक आरेखण वर्ग और एक रूलर का उपयोग करते हुए, त्रिभुज की अन्य दो भुजाओं के समानांतर सीधी रेखाएँ खींचिए।