एक बात में, आप एक सौ प्रतिशत सुनिश्चित हो सकते हैं कि जब पूछा गया कि कर्ण का वर्ग क्या है, तो कोई भी वयस्क साहसपूर्वक उत्तर देगा: "पैरों के वर्गों का योग।" यह सिद्धांत सभी के मन में मजबूती से बैठा है। शिक्षित व्यक्ति, लेकिन किसी को इसे साबित करने के लिए कहना ही काफी है, और फिर मुश्किलें खड़ी हो सकती हैं। इसलिए, आइए पाइथागोरस प्रमेय को सिद्ध करने के विभिन्न तरीकों को याद करें और उन पर विचार करें।

जीवनी का संक्षिप्त अवलोकन

पाइथागोरस प्रमेय लगभग सभी से परिचित है, लेकिन किसी कारण से इसे बनाने वाले की जीवनी इतनी लोकप्रिय नहीं है। हम इसे ठीक कर देंगे। इसलिए, पाइथागोरस प्रमेय को सिद्ध करने के विभिन्न तरीकों का अध्ययन करने से पहले, आपको उनके व्यक्तित्व से संक्षेप में परिचित होने की आवश्यकता है।

पाइथागोरस - एक दार्शनिक, गणितज्ञ, विचारक, मूल रूप से आज के इस महान व्यक्ति की स्मृति में विकसित की गई किंवदंतियों से उनकी जीवनी को अलग करना बहुत मुश्किल है। लेकिन जैसा कि उनके अनुयायियों के लेखन से पता चलता है, समोस के पाइथागोरस का जन्म समोस द्वीप पर हुआ था। उनके पिता एक साधारण पत्थर काटने वाले थे, लेकिन उनकी माँ एक कुलीन परिवार से थीं।

किंवदंती के अनुसार, पाइथागोरस के जन्म की भविष्यवाणी पाइथिया नाम की एक महिला ने की थी, जिसके सम्मान में लड़के का नाम रखा गया था। उनकी भविष्यवाणी के अनुसार, एक जन्म लेने वाला लड़का मानव जाति के लिए कई लाभ और अच्छाई लाने वाला था। जो उसने वास्तव में किया था।

एक प्रमेय का जन्म

अपनी युवावस्था में, पाइथागोरस मिस्र के प्रसिद्ध संतों से मिलने के लिए मिस्र चले गए। उनसे मिलने के बाद, उन्हें अध्ययन के लिए भर्ती कराया गया, जहाँ उन्होंने मिस्र के दर्शन, गणित और चिकित्सा की सभी महान उपलब्धियों को सीखा।

संभवतः, यह मिस्र में था कि पाइथागोरस पिरामिडों की महिमा और सुंदरता से प्रेरित थे और उन्होंने अपना खुद का पिरामिड बनाया। महान सिद्धांत. यह पाठकों को चौंका सकता है, लेकिन आधुनिक इतिहासकारों का मानना ​​है कि पाइथागोरस ने अपने सिद्धांत को साबित नहीं किया। लेकिन उन्होंने अपना ज्ञान केवल अपने अनुयायियों को दिया, जिन्होंने बाद में सभी आवश्यक गणितीय गणनाओं को पूरा किया।

जैसा कि हो सकता है, आज इस प्रमेय को सिद्ध करने की एक तकनीक ज्ञात नहीं है, लेकिन कई एक साथ। आज हम केवल अनुमान लगा सकते हैं कि प्राचीन यूनानियों ने अपनी गणना कैसे की थी, इसलिए यहां हम पाइथागोरस प्रमेय को सिद्ध करने के विभिन्न तरीकों पर विचार करेंगे।

पाइथागोरस प्रमेय

इससे पहले कि आप कोई गणना शुरू करें, आपको यह पता लगाना होगा कि किस सिद्धांत को साबित करना है। पाइथागोरस प्रमेय इस तरह लगता है: "एक त्रिभुज में जिसमें कोणों में से एक 90 o है, पैरों के वर्गों का योग कर्ण के वर्ग के बराबर होता है।"

पाइथागोरस प्रमेय को सिद्ध करने के कुल 15 तरीके हैं। यह काफी बड़ी संख्या है, तो आइए उनमें से सबसे लोकप्रिय पर ध्यान दें।

विधि एक

आइए पहले परिभाषित करें कि हमारे पास क्या है। यह डेटा पाइथागोरस प्रमेय को सिद्ध करने के अन्य तरीकों पर भी लागू होगा, इसलिए आपको सभी उपलब्ध संकेतन को तुरंत याद रखना चाहिए।

मान लीजिए कि एक समकोण त्रिभुज दिया गया है, जिसके पैर a, b और कर्ण c के बराबर हैं। प्रमाण का पहला तरीका इस तथ्य पर आधारित है कि सही त्रिकोणआपको एक वर्ग खींचने की जरूरत है।

ऐसा करने के लिए, आपको पैर के बराबर एक खंड को पैर की लंबाई a तक खींचना होगा, और इसके विपरीत। तो यह वर्ग के दो बराबर पक्षों को बाहर करना चाहिए। यह केवल दो समानांतर रेखाएँ खींचने के लिए बनी हुई है, और वर्ग तैयार है।

परिणामी आकृति के अंदर, आपको मूल त्रिभुज के कर्ण के बराबर एक और वर्ग बनाने की आवश्यकता है। ऐसा करने के लिए, ac और s शीर्षों से, आपको दो ड्रा करने होंगे समानांतर खंडके साथ बराबर। इस प्रकार, हमें वर्ग की तीन भुजाएँ प्राप्त होती हैं, जिनमें से एक मूल समकोण त्रिभुज का कर्ण है। यह केवल चौथा खंड खींचना बाकी है।

परिणामी आकृति के आधार पर, हम यह निष्कर्ष निकाल सकते हैं कि बाहरी वर्ग का क्षेत्रफल (a + b) 2 है। यदि आप आकृति के अंदर देखते हैं, तो आप देख सकते हैं कि आंतरिक वर्ग के अलावा, इसमें चार समकोण त्रिभुज हैं। प्रत्येक का क्षेत्रफल 0.5 av है।

इसलिए, क्षेत्रफल है: 4 * 0.5av + s 2 \u003d 2av + s 2

इसलिए (ए + सी) 2 \u003d 2av + सी 2

और, इसलिए, 2 \u003d के साथ 2 + में 2

प्रमेय सिद्ध हो चुका है।

विधि दो: समरूप त्रिभुज

पाइथागोरस प्रमेय के प्रमाण के लिए यह सूत्र समान त्रिभुजों के बारे में ज्यामिति के खंड के एक बयान के आधार पर प्राप्त किया गया था। यह कहता है कि एक समकोण त्रिभुज का पैर उसके कर्ण के समानुपाती होता है और कर्ण खंड 90 o के कोण के शीर्ष से निकलता है।

प्रारंभिक डेटा वही रहता है, तो चलिए तुरंत प्रमाण के साथ शुरू करते हैं। आइए हम भुजा AB पर लम्बवत एक खंड CD खींचते हैं। उपरोक्त कथन के आधार पर, त्रिभुजों की टाँगें बराबर हैं:

एसी = √AB * एडी, एसडब्ल्यू = √AB * डीवी।

पाइथागोरस प्रमेय को कैसे सिद्ध किया जाए, इस प्रश्न का उत्तर देने के लिए, दोनों असमानताओं को चुकता करके प्रमाण रखना होगा।

एसी 2 \u003d एबी * हेल और एसवी 2 \u003d एबी * डीवी

अब हमें परिणामी असमानताओं को जोड़ना होगा।

एसी 2 + एसवी 2 \u003d एबी * (एडी * डीवी), जहां एडी + डीवी \u003d एबी

परिणाम यह निकला:

एसी 2 + सीबी 2 \u003d एबी * एबी

और इसीलिए:

एसी 2 + सीबी 2 \u003d एबी 2

पाइथागोरस प्रमेय के प्रमाण और इसे हल करने के विभिन्न तरीकों के लिए इस समस्या के लिए एक बहुमुखी दृष्टिकोण की आवश्यकता होती है। हालाँकि, यह विकल्प सबसे सरल में से एक है।

एक और गणना विधि

पाइथागोरस प्रमेय को सिद्ध करने के विभिन्न तरीकों का वर्णन तब तक कुछ नहीं कह सकता, जब तक आप स्वयं अभ्यास करना शुरू नहीं कर देते। कई विधियों में न केवल गणितीय गणनाएं शामिल हैं, बल्कि मूल त्रिकोण से नए आंकड़ों का निर्माण भी शामिल है।

पर ये मामलाविमान के पैर से एक और समकोण त्रिभुज VSD को पूरा करना आवश्यक है। इस प्रकार, अब एक उभयनिष्ठ BC वाले दो त्रिभुज हैं।

यह जानते हुए कि समान आकृतियों के क्षेत्रों का अनुपात उनके समान रैखिक आयामों के वर्गों के रूप में होता है, तो:

एस एवीएस * एस 2 - एस एवीडी * 2 में \u003d एस एवीडी * ए 2 - एस वीडी * ए 2

एस एवीएस * (2 से 2 तक) \u003d ए 2 * (एस एवीडी -एस वीवीडी)

2 से 2 \u003d ए 2

सी 2 \u003d ए 2 + इन 2

चूंकि यह विकल्प ग्रेड 8 के लिए पाइथागोरस प्रमेय को साबित करने के विभिन्न तरीकों से शायद ही उपयुक्त है, आप निम्न तकनीक का उपयोग कर सकते हैं।

पाइथागोरस प्रमेय को सिद्ध करने का सबसे आसान तरीका। समीक्षा

इतिहासकारों का मानना ​​है कि प्राचीन ग्रीस में एक प्रमेय को सिद्ध करने के लिए सबसे पहले इस पद्धति का प्रयोग किया गया था। यह सबसे सरल है, क्योंकि इसके लिए बिल्कुल किसी गणना की आवश्यकता नहीं है। यदि आप सही ढंग से चित्र बनाते हैं, तो कथन का प्रमाण कि a 2 + b 2 \u003d c 2 स्पष्ट रूप से दिखाई देगा।

के लिए शर्तें यह विधिपिछले वाले से थोड़ा अलग होगा। प्रमेय को सिद्ध करने के लिए, मान लीजिए कि समकोण त्रिभुज ABC समद्विबाहु है।

हम कर्ण AC को वर्ग की भुजा के रूप में लेते हैं और इसकी तीन भुजाएँ खींचते हैं। इसके अलावा, परिणामी वर्ग में दो विकर्ण रेखाएँ खींचना आवश्यक है। ताकि इसके अंदर आपको चार समद्विबाहु त्रिभुज मिलें।

एबी और सीबी के पैरों के लिए, आपको एक वर्ग भी खींचना होगा और उनमें से प्रत्येक में एक विकर्ण रेखा खींचनी होगी। हम पहली पंक्ति को शीर्ष A से खींचते हैं, दूसरी - C से।

अब आपको परिणामी ड्राइंग को ध्यान से देखने की जरूरत है। चूँकि कर्ण AC पर मूल त्रिभुज के बराबर चार त्रिभुज और टाँगों पर दो त्रिभुज हैं, यह इस प्रमेय की सत्यता को दर्शाता है।

वैसे, पाइथागोरस प्रमेय को साबित करने की इस पद्धति के लिए धन्यवाद, प्रसिद्ध वाक्यांश का जन्म हुआ: "पायथागॉरियन पैंट सभी दिशाओं में समान हैं।"

जे गारफील्ड द्वारा सबूत

जेम्स गारफील्ड संयुक्त राज्य अमेरिका के 20वें राष्ट्रपति हैं। संयुक्त राज्य अमेरिका के शासक के रूप में इतिहास पर अपनी छाप छोड़ने के अलावा, वह एक प्रतिभाशाली स्व-शिक्षित भी थे।

अपने करियर की शुरुआत में, वह एक लोक स्कूल में एक साधारण शिक्षक थे, लेकिन जल्द ही एक उच्च विद्यालय के निदेशक बन गए शिक्षण संस्थानों. आत्म-विकास की इच्छा और उसे पेशकश करने की अनुमति दी नया सिद्धांतपाइथागोरस प्रमेय का प्रमाण। प्रमेय और इसके समाधान का एक उदाहरण इस प्रकार है।

पहले आपको कागज के एक टुकड़े पर दो समकोण त्रिभुज बनाने की आवश्यकता है ताकि उनमें से एक का पैर दूसरे की निरंतरता हो। इन त्रिभुजों के शीर्षों को एक समलम्बाकार के साथ जोड़ने के लिए जोड़ने की आवश्यकता है।

जैसा कि आप जानते हैं, एक समलम्ब चतुर्भुज का क्षेत्रफल उसके आधारों और ऊँचाई के आधे योग के गुणनफल के बराबर होता है।

एस=ए+बी/2 * (ए+बी)

यदि हम परिणामी समलम्ब को तीन त्रिभुजों वाली एक आकृति के रूप में मानते हैं, तो इसका क्षेत्रफल निम्नानुसार पाया जा सकता है:

एस \u003d एवी / 2 * 2 + एस 2/2

अब हमें दो मूल भावों की बराबरी करने की आवश्यकता है

2av / 2 + s / 2 \u003d (a + c) 2/2

सी 2 \u003d ए 2 + इन 2

पाइथागोरस प्रमेय के बारे में और इसे कैसे सिद्ध किया जाए, इसके बारे में एक से अधिक खंड लिखे जा सकते हैं अध्ययन गाइड. लेकिन क्या इसका कोई मतलब है जब इस ज्ञान को व्यवहार में नहीं लाया जा सकता है?

पाइथागोरस प्रमेय का व्यावहारिक अनुप्रयोग

दुर्भाग्य से, आधुनिक में स्कूल कार्यक्रमइस प्रमेय का उपयोग केवल में उपयोग करने के लिए किया गया है ज्यामितीय समस्याएं. स्नातक जल्द ही स्कूल की दीवारों को छोड़ देंगे बिना यह जाने कि वे अपने ज्ञान और कौशल को व्यवहार में कैसे लागू कर सकते हैं।

वास्तव में, हर कोई अपने दैनिक जीवन में पाइथागोरस प्रमेय का उपयोग कर सकता है। और न केवल में व्यावसायिक गतिविधिलेकिन सामान्य घरेलू कामों में भी। आइए कई मामलों पर विचार करें जब पाइथागोरस प्रमेय और इसके प्रमाण के तरीके अत्यंत आवश्यक हो सकते हैं।

प्रमेय और खगोल विज्ञान का कनेक्शन

ऐसा लगता है कि कागज पर तारों और त्रिकोणों को कैसे जोड़ा जा सकता है। वास्तव में, खगोल विज्ञान एक वैज्ञानिक क्षेत्र है जिसमें पाइथागोरस प्रमेय का व्यापक रूप से उपयोग किया जाता है।

उदाहरण के लिए, अंतरिक्ष में प्रकाश पुंज की गति पर विचार करें। हम जानते हैं कि प्रकाश दोनों दिशाओं में समान गति से गमन करता है। हम प्रक्षेपवक्र AB कहते हैं जिसके साथ प्रकाश किरण चलती है मैं. और प्रकाश को बिंदु A से बिंदु B तक पहुंचने में जितना समय लगता है, उसका आधा समय कॉल करते हैं टी. और बीम की गति - सी. परिणाम यह निकला: सी * टी = एल

यदि आप इसी बीम को दूसरे विमान से देखते हैं, उदाहरण के लिए, एक अंतरिक्ष लाइनर से जो गति v से चलता है, तो पिंडों के इस तरह के अवलोकन से उनकी गति बदल जाएगी। इस मामले में, स्थिर तत्व भी विपरीत दिशा में गति v के साथ आगे बढ़ेंगे।

मान लें कि कॉमिक लाइनर दाईं ओर नौकायन कर रहा है। फिर बिंदु A और B, जिसके बीच किरण दौड़ती है, बाईं ओर चली जाएगी। इसके अलावा, जब बीम बिंदु A से बिंदु B तक जाता है, तो बिंदु A के पास जाने का समय होता है और, तदनुसार, प्रकाश पहले से ही एक नए बिंदु C पर पहुंच जाएगा। बिंदु A द्वारा स्थानांतरित की गई आधी दूरी को खोजने के लिए, आपको गुणा करने की आवश्यकता है बीम के यात्रा समय के आधे से लाइनर की गति (टी ")।

और यह पता लगाने के लिए कि इस समय के दौरान प्रकाश की किरण कितनी दूर तक यात्रा कर सकती है, आपको नए बीच के आधे पथ को नामित करने और निम्नलिखित अभिव्यक्ति प्राप्त करने की आवश्यकता है:

यदि हम कल्पना करें कि प्रकाश C और B के बिंदु, साथ ही अंतरिक्ष लाइनर, एक समद्विबाहु त्रिभुज के शीर्ष हैं, तो बिंदु A से लाइनर तक का खंड इसे दो समकोण त्रिभुजों में विभाजित करेगा। इसलिए, पाइथागोरस प्रमेय के लिए धन्यवाद, आप वह दूरी पा सकते हैं जो प्रकाश की एक किरण यात्रा कर सकती है।

यह उदाहरण, निश्चित रूप से, सबसे सफल नहीं है, क्योंकि केवल कुछ ही भाग्यशाली हो सकते हैं जो इसे व्यवहार में आजमा सकते हैं। इसलिए, हम इस प्रमेय के अधिक सांसारिक अनुप्रयोगों पर विचार करते हैं।

मोबाइल सिग्नल ट्रांसमिशन रेंज

स्मार्टफोन के बिना आधुनिक जीवन की कल्पना नहीं की जा सकती है। लेकिन अगर वे मोबाइल संचार के माध्यम से ग्राहकों को नहीं जोड़ पाते तो उनका कितना उपयोग होता?!

मोबाइल संचार की गुणवत्ता सीधे उस ऊंचाई पर निर्भर करती है जिस पर मोबाइल ऑपरेटर का एंटीना स्थित है। यह गणना करने के लिए कि मोबाइल टावर से फोन कितनी दूर सिग्नल प्राप्त कर सकता है, आप पाइथागोरस प्रमेय लागू कर सकते हैं।

मान लीजिए कि आपको एक स्थिर टावर की अनुमानित ऊंचाई ज्ञात करने की आवश्यकता है ताकि वह 200 किलोमीटर के दायरे में एक संकेत प्रसारित कर सके।

एबी (टॉवर ऊंचाई) = एक्स;

बीसी (सिग्नल ट्रांसमिशन की त्रिज्या) = 200 किमी;

ओएस (त्रिज्या पृथ्वी) = 6380 किमी;

ओबी=ओए+एबीओबी=आर+एक्स

पाइथागोरस प्रमेय को लागू करने पर, हम पाते हैं कि टावर की न्यूनतम ऊंचाई 2.3 किलोमीटर होनी चाहिए।

दैनिक जीवन में पाइथागोरस प्रमेय

अजीब तरह से, पाइथागोरस प्रमेय रोजमर्रा के मामलों में भी उपयोगी हो सकता है, जैसे कि एक कोठरी की ऊंचाई निर्धारित करना, उदाहरण के लिए। पहली नज़र में, ऐसी जटिल गणनाओं का उपयोग करने की कोई आवश्यकता नहीं है, क्योंकि आप केवल टेप माप के साथ माप ले सकते हैं। लेकिन कई लोग आश्चर्यचकित हैं कि असेंबली प्रक्रिया के दौरान कुछ समस्याएं क्यों उत्पन्न होती हैं यदि सभी माप सही से अधिक किए गए थे।

तथ्य यह है कि अलमारी एक क्षैतिज स्थिति में इकट्ठी होती है और उसके बाद ही उठती है और दीवार के खिलाफ स्थापित होती है। इसलिए, संरचना को उठाने की प्रक्रिया में कैबिनेट के फुटपाथ को कमरे की ऊंचाई और तिरछे दोनों तरह से स्वतंत्र रूप से गुजरना चाहिए।

मान लीजिए कि एक अलमारी है जिसकी गहराई 800 मिमी है। फर्श से छत तक की दूरी - 2600 मिमी। एक अनुभवी फर्नीचर निर्माता कहेगा कि कैबिनेट की ऊंचाई कमरे की ऊंचाई से 126 मिमी कम होनी चाहिए। लेकिन ठीक 126 मिमी ही क्यों? आइए एक उदाहरण देखें।

कैबिनेट के आदर्श आयामों के साथ, आइए पाइथागोरस प्रमेय के संचालन की जाँच करें:

एसी \u003d एबी 2 + बीसी 2

एसी \u003d 2474 2 +800 2 \u003d 2600 मिमी - सब कुछ अभिसरण करता है।

बता दें कि कैबिनेट की ऊंचाई 2474 मिमी नहीं, बल्कि 2505 मिमी है। फिर:

एसी \u003d √2505 2 + √800 2 \u003d 2629 मिमी।

इसलिए, यह कैबिनेट इस कमरे में स्थापना के लिए उपयुक्त नहीं है। चूंकि इसे ऊर्ध्वाधर स्थिति में उठाने पर इसके शरीर को नुकसान हो सकता है।

शायद, विभिन्न वैज्ञानिकों द्वारा पाइथागोरस प्रमेय को सिद्ध करने के विभिन्न तरीकों पर विचार करने के बाद, हम यह निष्कर्ष निकाल सकते हैं कि यह सत्य से कहीं अधिक है। अब आप अपने दैनिक जीवन में प्राप्त जानकारी का उपयोग कर सकते हैं और पूरी तरह से सुनिश्चित हो सकते हैं कि सभी गणना न केवल उपयोगी होगी, बल्कि सही भी होगी।

» वारविक विश्वविद्यालय में गणित के सम्मानित प्रोफेसर, विज्ञान के प्रसिद्ध लोकप्रिय इयान स्टीवर्ट, मानव जाति के इतिहास में संख्याओं की भूमिका और हमारे समय में उनके अध्ययन की प्रासंगिकता के लिए समर्पित हैं।

पाइथागोरस कर्ण

पाइथागोरस त्रिभुजों में एक समकोण और पूर्णांक भुजाएँ होती हैं। उनमें से सबसे सरल में, सबसे लंबी भुजा की लंबाई 5 है, शेष 3 और 4 हैं। 5 . हैं नियमित पॉलीहेड्रा. पांचवीं डिग्री के समीकरण को पांचवीं डिग्री की जड़ों - या किसी अन्य जड़ों के साथ हल नहीं किया जा सकता है। समतल में और त्रि-आयामी अंतरिक्ष में जाली में पांच-लोब घूर्णी समरूपता नहीं होती है, इसलिए, क्रिस्टल में ऐसी समरूपता भी अनुपस्थित होती है। हालाँकि, वे झंझरी में हो सकते हैं चार आयामी अंतरिक्षऔर जिज्ञासु संरचनाओं में जिन्हें क्वासिक क्रिस्टल के रूप में जाना जाता है।

सबसे छोटे पायथागॉरियन ट्रिपल का कर्ण

पाइथागोरस प्रमेय में कहा गया है कि एक समकोण त्रिभुज की सबसे लंबी भुजा (कर्ण) उस त्रिभुज की अन्य दो भुजाओं से बहुत ही सरल और सुंदर तरीके से संबंधित है: कर्ण का वर्ग योग के बराबर हैअन्य दो पक्षों के वर्ग।

परंपरागत रूप से, हम इस प्रमेय को पाइथागोरस के बाद कहते हैं, लेकिन वास्तव में इसका इतिहास अस्पष्ट है। मिट्टी की गोलियों से पता चलता है कि प्राचीन बेबीलोन के लोग पाइथागोरस प्रमेय को पाइथागोरस से बहुत पहले से जानते थे; पाइथागोरस के गणितीय पंथ द्वारा खोजकर्ता की महिमा उनके लिए लाई गई थी, जिनके समर्थकों का मानना ​​​​था कि ब्रह्मांड संख्यात्मक पैटर्न पर आधारित था। प्राचीन लेखकों ने पाइथागोरस को जिम्मेदार ठहराया - और इसलिए पाइथागोरस के लिए - विभिन्न प्रकार के गणितीय प्रमेय, लेकिन वास्तव में हमें पता नहीं है कि पाइथागोरस किस तरह के गणित में लगे हुए थे। हम यह भी नहीं जानते हैं कि पाइथागोरस पायथागॉरियन प्रमेय को सिद्ध कर सकते हैं, या यदि वे केवल यह मानते हैं कि यह सच है। या, अधिक संभावना है, उनके पास इसकी सच्चाई के बारे में आश्वस्त करने वाला डेटा था, जो कि आज हम जिस प्रमाण को मानते हैं, उसके लिए पर्याप्त नहीं होता।

पाइथागोरस के साक्ष्य

पाइथागोरस प्रमेय का पहला ज्ञात प्रमाण यूक्लिड के तत्वों में मिलता है। यह एक ड्राइंग का उपयोग करते हुए एक जटिल सबूत है कि विक्टोरियन स्कूली बच्चे तुरंत "पायथागॉरियन पैंट" के रूप में पहचान लेंगे; चित्र वास्तव में एक रस्सी पर सूखने वाले जांघिया जैसा दिखता है। वस्तुतः सैकड़ों अन्य प्रमाण ज्ञात हैं, जिनमें से अधिकांश अभिकथन को और अधिक स्पष्ट करते हैं।

// चावल। 33. पाइथागोरस पैंट

सबसे सरल प्रमाणों में से एक एक प्रकार की गणितीय पहेली है। कोई भी समकोण त्रिभुज लें, उसकी चार प्रतियाँ बनाएँ और उन्हें वर्ग के अंदर जमा करें। एक बिछाने के साथ, हम कर्ण पर एक वर्ग देखते हैं; अन्य के साथ - त्रिभुज के अन्य दो पक्षों पर वर्ग। यह स्पष्ट है कि दोनों मामलों में क्षेत्र समान हैं।

// चावल। 34. बायां: कर्ण पर वर्ग (प्लस चार त्रिकोण)। दाएँ: अन्य दो भुजाओं के वर्गों का योग (साथ ही समान चार त्रिभुज)। अब त्रिभुजों को हटा दें

पेरिगल का विच्छेदन सबूत का एक और पहेली टुकड़ा है।

// चावल। 35. पेरिगल का विच्छेदन

समतल पर स्टैकिंग वर्गों का उपयोग करते हुए प्रमेय का एक प्रमाण भी है। शायद इसी तरह पाइथागोरस या उनके अज्ञात पूर्ववर्तियों ने इस प्रमेय की खोज की। यदि आप देखते हैं कि कैसे तिरछा वर्ग अन्य दो वर्गों को ओवरलैप करता है, तो आप देख सकते हैं कि बड़े वर्ग को टुकड़ों में कैसे काटें और फिर उन्हें दो छोटे वर्गों में एक साथ रखें। आप समकोण त्रिभुज भी देख सकते हैं, जिनकी भुजाएँ शामिल तीन वर्गों के आयाम देती हैं।

// चावल। 36. फ़र्श करके सबूत

त्रिकोणमिति में समरूप त्रिभुजों का उपयोग करने के दिलचस्प प्रमाण हैं। कम से कम पचास विभिन्न प्रमाण ज्ञात हैं।

पाइथागोरस त्रिक

संख्या सिद्धांत में, पाइथागोरस प्रमेय एक उपयोगी विचार का स्रोत बन गया: बीजीय समीकरणों के पूर्णांक समाधान खोजने के लिए। एक पायथागॉरियन ट्रिपल पूर्णांक ए, बी और सी का एक सेट है जैसे कि

ज्यामितीय रूप से, ऐसा ट्रिपल पूर्णांक पक्षों के साथ एक समकोण त्रिभुज को परिभाषित करता है।

पाइथागोरस त्रिक का सबसे छोटा कर्ण 5 होता है।

इस त्रिभुज की अन्य दो भुजाएँ 3 और 4 हैं। यहाँ

32 + 42 = 9 + 16 = 25 = 52.

अगला सबसे बड़ा कर्ण 10 है क्योंकि

62 + 82 = 36 + 64 = 100 = 102.

हालाँकि, यह अनिवार्य रूप से एक ही त्रिभुज है जिसमें दोगुने भुजाएँ हैं। अगला सबसे बड़ा और सही मायने में भिन्न कर्ण 13 है, जिसके लिए

52 + 122 = 25 + 144 = 169 = 132.

यूक्लिड जानता था कि पाइथागोरस त्रिक के विभिन्न रूपों की एक अनंत संख्या थी, और उन्होंने उन सभी को खोजने के लिए एक सूत्र दिया जिसे कहा जा सकता है। बाद में, अलेक्जेंड्रिया के डायोफैंटस ने एक साधारण नुस्खा पेश किया, मूल रूप से यूक्लिडियन के समान।

कोई दो प्राकृत संख्याएँ लीजिए और परिकलित कीजिए :

उनका दोहरा उत्पाद;

उनके वर्गों का अंतर;

उनके वर्गों का योग।

तीन परिणामी संख्याएँ पाइथागोरस त्रिभुज की भुजाएँ होंगी।

उदाहरण के लिए, संख्या 2 और 1 लें। गणना करें:

दोहरा उत्पाद: 2 × 2 × 1 = 4;

वर्गों का अंतर: 22 - 12 = 3;

वर्गों का योग: 22 + 12 = 5,

और हमें प्रसिद्ध 3-4-5 त्रिभुज मिला। यदि हम इसके स्थान पर संख्या 3 और 2 लेते हैं, तो हमें प्राप्त होता है:

दोहरा उत्पाद: 2 × 3 × 2 = 12;

वर्गों का अंतर: 32 - 22 = 5;

वर्गों का योग: 32 + 22 = 13,

और हमें अगला प्रसिद्ध त्रिभुज 5 - 12 - 13 मिलता है। आइए 42 और 23 की संख्याएँ लेने का प्रयास करें और प्राप्त करें:

दोहरा उत्पाद: 2 × 42 × 23 = 1932;

वर्गों का अंतर: 422 - 232 = 1235;

वर्गों का योग: 422 + 232 = 2293,

1235-1932-2293 त्रिभुज के बारे में किसी ने कभी नहीं सुना।

लेकिन ये नंबर भी काम करते हैं:

12352 + 19322 = 1525225 + 3732624 = 5257849 = 22932.

डायोफैंटाइन नियम में एक और विशेषता है जिसका संकेत पहले ही दिया जा चुका है: तीन संख्याएँ प्राप्त करने के बाद, हम एक और मनमाना संख्या ले सकते हैं और उन सभी को इससे गुणा कर सकते हैं। इस प्रकार, एक 3-4-5 त्रिभुज को सभी भुजाओं को 2 से गुणा करके 6-8-10 त्रिभुज में बदला जा सकता है, या 15-20-25 त्रिभुज में सभी को 5 से गुणा करके बनाया जा सकता है।

यदि हम बीजगणित की भाषा पर स्विच करते हैं, तो नियम निम्नलिखित रूप लेता है: मान लीजिए u, v और k प्राकृत संख्याएँ हैं। फिर भुजाओं वाला एक समकोण त्रिभुज

2kuv और k (u2 - v2) में एक कर्ण होता है

मुख्य विचार को प्रस्तुत करने के अन्य तरीके भी हैं, लेकिन वे सभी ऊपर वर्णित एक तक ही सीमित हैं। यह विधि आपको सभी पायथागॉरियन ट्रिपल प्राप्त करने की अनुमति देती है।

नियमित पॉलीहेड्रा

ठीक पाँच नियमित पॉलीहेड्रा हैं। एक नियमित पॉलीहेड्रॉन (या पॉलीहेड्रॉन) एक त्रि-आयामी आकृति है जिसमें सीमित संख्या में फ्लैट चेहरे होते हैं। पहलू किनारों नामक रेखाओं पर एक दूसरे के साथ अभिसरण करते हैं; किनारे उन बिंदुओं पर मिलते हैं जिन्हें शीर्ष कहते हैं।

यूक्लिडियन "बिगिनिंग्स" की परिणति इस बात का प्रमाण है कि केवल पांच नियमित पॉलीहेड्रा हो सकते हैं, यानी पॉलीहेड्रा जिसमें प्रत्येक चेहरा एक नियमित बहुभुज (बराबर पक्ष, समान कोण), सभी फलक समान होते हैं और सभी शीर्ष समान दूरी वाले फलकों की समान संख्या से घिरे होते हैं। यहाँ पाँच नियमित पॉलीहेड्रा हैं:

चतुष्फलक जिसमें चार त्रिभुजाकार फलक, चार शीर्ष और छह किनारे होते हैं;

क्यूब, या हेक्साहेड्रोन, जिसमें 6 वर्गाकार फलक, 8 कोने और 12 किनारे हों;

8 त्रिभुजाकार फलकों, 6 शीर्षों और 12 किनारों वाला अष्टफलक;

12 पंचकोणीय फलकों, 20 शीर्षों और 30 किनारों के साथ डोडेकाहेड्रोन;

icosahedron 20 त्रिकोणीय चेहरे, 12 कोने और 30 किनारों के साथ।

// चावल। 37. पांच नियमित पॉलीहेड्रा

नियमित पॉलीहेड्रा प्रकृति में भी पाया जा सकता है। 1904 में, अर्नस्ट हेकेल ने छोटे जीवों के चित्र प्रकाशित किए जिन्हें रेडियोलेरियन कहा जाता है; उनमें से कई समान पाँच नियमित पॉलीहेड्रा के आकार के हैं। शायद, हालांकि, उन्होंने प्रकृति को थोड़ा ठीक किया, और चित्र विशिष्ट जीवित प्राणियों के आकार को पूरी तरह से प्रतिबिंबित नहीं करते हैं। क्रिस्टल में पहले तीन संरचनाएं भी देखी जाती हैं। आपको क्रिस्टल में एक डोडेकाहेड्रोन और एक आईकोसाहेड्रोन नहीं मिलेगा, हालांकि अनियमित डोडेकाहेड्रॉन और आईकोसाहेड्रोन कभी-कभी वहां आते हैं। सच्चे डोडेकाहेड्रॉन क्वासिक क्रिस्टल के रूप में हो सकते हैं, जो हर तरह से क्रिस्टल की तरह होते हैं, सिवाय इसके कि उनके परमाणु आवधिक जाली नहीं बनाते हैं।

// चावल। 38. हेकेल द्वारा चित्र: नियमित पॉलीहेड्रा के रूप में रेडियोलेरियन

// चावल। 39. नियमित पॉलीहेड्रा का विकास

पहले परस्पर जुड़े चेहरों के एक सेट को काटकर कागज से नियमित पॉलीहेड्रा के मॉडल बनाना दिलचस्प हो सकता है - इसे पॉलीहेड्रॉन स्वीप कहा जाता है; स्कैन को किनारों के साथ मोड़ा जाता है और संबंधित किनारों को आपस में चिपकाया जाता है। इस तरह के प्रत्येक जोड़े के किनारों में से एक में गोंद के लिए एक अतिरिक्त क्षेत्र जोड़ना उपयोगी है, जैसा कि अंजीर में दिखाया गया है। 39. यदि ऐसा कोई प्लेटफॉर्म नहीं है, तो आप चिपकने वाली टेप का उपयोग कर सकते हैं।

पांचवीं डिग्री का समीकरण

5वीं डिग्री के समीकरणों को हल करने के लिए कोई बीजीय सूत्र नहीं है।

पर सामान्य दृष्टि से 5 वां समीकरण इस तरह दिखता है:

ax5 + bx4 + cx3 + dx2 + पूर्व + f = 0।

समस्या ऐसे समीकरण को हल करने के लिए एक सूत्र खोजने की है (इसमें अधिकतम पांच समाधान हो सकते हैं)। द्विघात और घन समीकरणों के साथ-साथ चौथी डिग्री के समीकरणों के साथ व्यवहार करने का अनुभव बताता है कि ऐसा सूत्र पाँचवीं डिग्री के समीकरणों के लिए भी मौजूद होना चाहिए, और, सिद्धांत रूप में, पाँचवीं, तीसरी और दूसरी डिग्री की जड़ें होनी चाहिए उसमें दिखाई देते हैं। फिर, हम सुरक्षित रूप से मान सकते हैं कि ऐसा सूत्र, यदि यह मौजूद है, तो बहुत, बहुत जटिल हो जाएगा।

यह धारणा अंततः गलत निकली। वास्तव में, ऐसा कोई सूत्र मौजूद नहीं है; कम से कम ए, बी, सी, डी, ई और एफ के गुणांक से युक्त कोई सूत्र नहीं है, जो जोड़, घटाव, गुणा और भाग का उपयोग करके और जड़ों को लेकर बना है। इस प्रकार, संख्या 5 के बारे में कुछ खास है। पांचों के इस असामान्य व्यवहार के कारण बहुत गहरे हैं, और उन्हें पता लगाने में काफी समय लगा।

एक समस्या का पहला संकेत यह था कि गणितज्ञों ने इस तरह के सूत्र को खोजने की कितनी भी कोशिश की, चाहे वे कितने भी चतुर क्यों न हों, वे हमेशा असफल रहे। कुछ समय के लिए, सभी का मानना ​​​​था कि कारण सूत्र की अविश्वसनीय जटिलता में निहित हैं। यह माना जाता था कि कोई भी इस बीजगणित को ठीक से नहीं समझ सकता है। हालांकि, समय के साथ, कुछ गणितज्ञों को संदेह होने लगा कि ऐसा कोई सूत्र भी मौजूद है, और 1823 में नील्स हेंड्रिक एबेल इसके विपरीत साबित करने में सक्षम थे। ऐसा कोई सूत्र नहीं है। इसके तुरंत बाद, variste Galois ने यह निर्धारित करने का एक तरीका खोजा कि क्या एक डिग्री या किसी अन्य का समीकरण - 5 वीं, 6 वीं, 7 वीं, आम तौर पर कोई भी - इस तरह के सूत्र का उपयोग करके हल करने योग्य है।

इस सब से निष्कर्ष सरल है: संख्या 5 विशेष है। आप बीजीय समीकरणों को हल कर सकते हैं ( . का उपयोग करके) nth . की जड़ेंडिग्री n के विभिन्न मानों के लिए) डिग्री 1, 2, 3 और 4 के लिए, लेकिन 5वीं डिग्री के लिए नहीं। यह वह जगह है जहाँ स्पष्ट पैटर्न समाप्त होता है।

किसी को आश्चर्य नहीं होता कि 5 से अधिक घातों के समीकरण और भी खराब व्यवहार करते हैं; विशेष रूप से, उन्हें एक ही कठिनाई होती है: नहीं सामान्य सूत्रउनके समाधान के लिए। इसका मतलब यह नहीं है कि समीकरणों का कोई हल नहीं है; इसका मतलब यह भी नहीं है कि इन समाधानों के बहुत सटीक संख्यात्मक मान खोजना असंभव है। यह सब पारंपरिक बीजगणित उपकरणों की सीमाओं के बारे में है। यह एक शासक और एक कंपास के साथ कोण को ट्राइसेक्ट करने की असंभवता की याद दिलाता है। एक उत्तर है, लेकिन सूचीबद्ध विधियां पर्याप्त नहीं हैं और आपको यह निर्धारित करने की अनुमति नहीं देती हैं कि यह क्या है।

क्रिस्टलोग्राफिक सीमा

दो और तीन आयामों में क्रिस्टल में 5-बीम घूर्णी समरूपता नहीं होती है।

क्रिस्टल में परमाणु एक जाली बनाते हैं, यानी एक संरचना जो समय-समय पर कई स्वतंत्र दिशाओं में दोहराती है। उदाहरण के लिए, वॉलपेपर पर पैटर्न को रोल की लंबाई के साथ दोहराया जाता है; इसके अलावा, यह आमतौर पर क्षैतिज दिशा में दोहराया जाता है, कभी-कभी वॉलपेपर के एक टुकड़े से दूसरे में बदलाव के साथ। अनिवार्य रूप से, वॉलपेपर एक द्वि-आयामी क्रिस्टल है।

विमान पर वॉलपेपर पैटर्न की 17 किस्में हैं (अध्याय 17 देखें)। वे समरूपता के प्रकारों में भिन्न होते हैं, अर्थात्, पैटर्न को कठोरता से स्थानांतरित करने के तरीकों में, ताकि यह अपनी मूल स्थिति में बिल्कुल अपने आप में स्थित हो। समरूपता के प्रकारों में, विशेष रूप से, घूर्णी समरूपता के विभिन्न रूप शामिल हैं, जहां पैटर्न को एक निश्चित बिंदु के चारों ओर एक निश्चित कोण के माध्यम से घुमाया जाना चाहिए - समरूपता का केंद्र।

घूर्णन की समरूपता का क्रम यह है कि आप कितनी बार शरीर को एक पूर्ण चक्र में घुमा सकते हैं ताकि चित्र के सभी विवरण अपनी मूल स्थिति में वापस आ जाएं। उदाहरण के लिए, एक 90° रोटेशन चौथा क्रम घूर्णी समरूपता* है। क्रिस्टल जाली में संभावित प्रकार की घूर्णी समरूपता की सूची फिर से संख्या 5 की असामान्यता की ओर इशारा करती है: यह वहां नहीं है। दूसरे, तीसरे, चौथे और छठे क्रम के घूर्णी समरूपता वाले वेरिएंट हैं, लेकिन किसी भी वॉलपेपर पैटर्न में 5 वें क्रम की घूर्णी समरूपता नहीं है। क्रिस्टल में 6 से अधिक क्रम की कोई घूर्णी समरूपता भी नहीं है, लेकिन अनुक्रम का पहला उल्लंघन अभी भी संख्या 5 पर होता है।

त्रि-आयामी अंतरिक्ष में क्रिस्टलोग्राफिक सिस्टम के साथ भी ऐसा ही होता है। यहां जाली तीन स्वतंत्र दिशाओं में खुद को दोहराती है। 219 . है विभिन्न प्रकार केसमरूपता, या 230 यदि आप गिनते हैं दर्पण प्रतिबिंबइसके एक अलग संस्करण के रूप में ड्राइंग - इसके अलावा, इस मामले में कोई दर्पण समरूपता नहीं है। फिर से, क्रम 2, 3, 4, और 6 की घूर्णी समरूपता देखी जाती है, लेकिन 5 नहीं। इस तथ्य को क्रिस्टलोग्राफिक बाधा कहा जाता है।

चार-आयामी अंतरिक्ष में, 5 वें क्रम समरूपता वाले जाली मौजूद हैं; सामान्य तौर पर, पर्याप्त रूप से उच्च आयाम के जाली के लिए, घूर्णी समरूपता का कोई पूर्व निर्धारित क्रम संभव है।

// चावल। 40. क्रिस्टल सेलनमक। डार्क बॉल सोडियम परमाणुओं का प्रतिनिधित्व करते हैं, हल्की गेंदें क्लोरीन परमाणुओं का प्रतिनिधित्व करती हैं।

क्वासिक क्रिस्टल

जबकि 2डी और 3डी जाली में 5वां क्रम घूर्णी समरूपता संभव नहीं है, यह थोड़े कम नियमित संरचनाओं में मौजूद हो सकता है जिन्हें क्वासिक क्रिस्टल के रूप में जाना जाता है। केप्लर के रेखाचित्रों का उपयोग करते हुए, रोजर पेनरोज़ ने अधिक के साथ फ्लैट सिस्टम की खोज की आम प्रकारपांच गुना समरूपता। उन्हें क्वासिक क्रिस्टल कहा जाता है।

प्रकृति में क्वासिक क्रिस्टल मौजूद हैं। 1984 में, डैनियल शेचमैन ने पाया कि एल्यूमीनियम और मैंगनीज का एक मिश्र धातु अर्ध-क्रिस्टल बना सकता है; प्रारंभ में, क्रिस्टलोग्राफरों ने कुछ संदेह के साथ उनके संदेश का स्वागत किया, लेकिन बाद में इस खोज की पुष्टि हुई, और 2011 में शेखतमैन को सम्मानित किया गया। नोबेल पुरुस्काररसायन विज्ञान में। 2009 में, लुका बिंदी के नेतृत्व में वैज्ञानिकों की एक टीम ने रूसी कोर्याक हाइलैंड्स से एक खनिज में अर्ध-क्रिस्टल की खोज की - एल्यूमीनियम, तांबा और लोहे का एक यौगिक। आज इस खनिज को icosahedrite कहा जाता है। एक मास स्पेक्ट्रोमीटर के साथ खनिज में विभिन्न ऑक्सीजन समस्थानिकों की सामग्री को मापकर, वैज्ञानिकों ने दिखाया कि यह खनिज पृथ्वी पर उत्पन्न नहीं हुआ था। यह लगभग 4.5 अरब साल पहले बना था, ऐसे समय में जब सौर प्रणालीअपनी शैशवावस्था में था, और अपना अधिकांश समय सूर्य की परिक्रमा करते हुए क्षुद्रग्रह बेल्ट में बिताया जब तक कि कुछ गड़बड़ी ने इसकी कक्षा को बदल नहीं दिया और अंततः इसे पृथ्वी पर ला दिया।

// चावल। 41. बाएं: दो अर्ध-क्रिस्टलीय जाली में से एक सटीक पांच गुना समरूपता के साथ। दाएं: एक आइकोसाहेड्रल एल्यूमीनियम-पैलेडियम-मैंगनीज क्वासिक क्रिस्टल का परमाणु मॉडल

पाइथागोरस प्रमेय को स्कूल के दिनों से ही सभी जानते हैं। एक उत्कृष्ट गणितज्ञ एक महान अनुमान साबित हुआ, जिसका उपयोग वर्तमान में बहुत से लोग करते हैं। नियम इस तरह लगता है: एक समकोण त्रिभुज के कर्ण की लंबाई का वर्ग पैरों के वर्गों के योग के बराबर होता है। कई दशकों से एक भी गणितज्ञ इस नियम पर बहस नहीं कर पाया है। आखिरकार, पाइथागोरस अपने लक्ष्य की ओर लंबे समय तक चला, जिसके परिणामस्वरूप चित्र रोजमर्रा की जिंदगी में आए।

1. इस प्रमेय का एक छोटा पद, जिसका आविष्कार प्रमाण के तुरंत बाद किया गया था, सीधे तौर पर परिकल्पना के गुणों को साबित करता है: "पाइथागोरस पैंट सभी दिशाओं में समान हैं।" यह दो-पंक्ति कई लोगों की स्मृति में जमा हो गई थी - गणना में कविता को आज भी याद किया जाता है।
2. इस प्रमेय को "पायथागॉरियन पैंट" कहा जाता था क्योंकि बीच में ड्राइंग करते समय, एक समकोण त्रिभुज प्राप्त होता था, जिसके किनारों पर वर्ग होते थे। दिखने में, यह चित्र पैंट जैसा दिखता था - इसलिए परिकल्पना का नाम।
3. पाइथागोरस को विकसित प्रमेय पर गर्व था, क्योंकि यह परिकल्पना अपने समान लोगों से अधिकतम साक्ष्य से भिन्न होती है। महत्वपूर्ण: 370 सत्य प्रमाणों के कारण समीकरण को गिनीज बुक ऑफ रिकॉर्ड्स में सूचीबद्ध किया गया था।
4. इस परिकल्पना को बड़ी संख्या में गणितज्ञों और प्रोफेसरों द्वारा सिद्ध किया गया था विभिन्न देशकई मायनों में. अंग्रेजी गणितज्ञ जोन्स ने परिकल्पना की घोषणा के तुरंत बाद एक अंतर समीकरण की मदद से इसे साबित कर दिया।
5. वर्तमान में पाइथागोरस द्वारा प्रमेय के प्रमाण के बारे में कोई नहीं जानता. एक गणितज्ञ के प्रमाणों के तथ्य आज किसी को ज्ञात नहीं हैं। यह माना जाता है कि यूक्लिड द्वारा चित्रों का प्रमाण पाइथागोरस का प्रमाण है। हालांकि, कुछ वैज्ञानिक इस कथन के साथ तर्क देते हैं: कई लोग मानते हैं कि यूक्लिड ने स्वतंत्र रूप से परिकल्पना के निर्माता की मदद के बिना, प्रमेय को साबित कर दिया।
6. वर्तमान वैज्ञानिकों ने पता लगाया है कि महान गणितज्ञ इस परिकल्पना की खोज करने वाले पहले व्यक्ति नहीं थे।. पाइथागोरस की खोज से बहुत पहले समीकरण ज्ञात था। यह गणितज्ञ केवल परिकल्पना को फिर से जोड़ने में कामयाब रहा।
7. पाइथागोरस ने समीकरण को "पाइथागोरस प्रमेय" नाम नहीं दिया. यह नाम "जोर से दो-पंक्ति" के बाद तय किया गया था। गणितज्ञ केवल यही चाहता था कि पूरी दुनिया उसके प्रयासों और खोजों को पहचाने और उसका उपयोग करे।
8. मोरित्ज़ कांटोर - महान महानतम गणितज्ञ ने एक प्राचीन पपीरस पर चित्र के साथ नोट्स पाए और देखे. इसके तुरंत बाद, कैंटोर ने महसूस किया कि इस प्रमेय को मिस्रियों को 2300 ईसा पूर्व के रूप में जाना जाता था। तभी किसी ने इसका फायदा नहीं उठाया और न ही इसे साबित करने की कोशिश की।
9. वर्तमान विद्वानों का मानना ​​है कि इस परिकल्पना को 8वीं शताब्दी ईसा पूर्व के रूप में जाना जाता था. उस समय के भारतीय वैज्ञानिकों ने समकोण वाले त्रिभुज के कर्ण की अनुमानित गणना की खोज की। सच है, उस समय कोई भी अनुमानित गणना द्वारा समीकरण को निश्चित रूप से सिद्ध नहीं कर सकता था।
10. महान गणितज्ञ बार्टेल वैन डेर वेर्डन ने परिकल्पना को सिद्ध करने के बाद एक महत्वपूर्ण निष्कर्ष निकाला: “यूनानी गणितज्ञ की योग्यता को दिशा और ज्यामिति की खोज नहीं, बल्कि उसका औचित्य ही माना जाता है। पाइथागोरस के हाथों में कम्प्यूटेशनल सूत्र थे जो मान्यताओं, गलत गणनाओं और अस्पष्ट विचारों पर आधारित थे। हालांकि, उत्कृष्ट वैज्ञानिक इसे एक सटीक विज्ञान में बदलने में कामयाब रहे।"
11. एक प्रसिद्ध कवि ने कहा कि जिस दिन उसने अपने चित्र की खोज की थी, उस दिन उसने बैलों के लिए एक शानदार बलिदान खड़ा किया था।. इस परिकल्पना की खोज के बाद अफवाहें फैलीं कि सौ बैलों की बलि "पुस्तकों और प्रकाशनों के पन्नों से भटकती रही।" बुद्धि आज तक मजाक करती है कि तब से सभी बैल एक नई खोज से डरते हैं।
12. सबूत है कि पाइथागोरस पैंट के बारे में एक कविता के साथ नहीं आया था ताकि वह उन चित्रों को साबित कर सके जो उन्होंने आगे रखे थे: महान गणितज्ञ के जीवन के दौरान अभी तक कोई पैंट नहीं थी. उनका आविष्कार कई दशकों बाद हुआ था।
13. पेक्का, लाइबनिज़ और कई अन्य वैज्ञानिकों ने पहले से ज्ञात प्रमेय को साबित करने की कोशिश की, लेकिन कोई भी सफल नहीं हुआ।
14. चित्र का नाम "पायथागॉरियन प्रमेय" का अर्थ है "भाषण द्वारा अनुनय". यह पाइथागोरस शब्द का अनुवाद है, जिसे गणितज्ञ ने छद्म नाम के रूप में लिया था।
15. पाइथागोरस के अपने शासन पर विचार: पृथ्वी पर मौजूद चीज़ों का रहस्य संख्याओं में है. आखिरकार, एक गणितज्ञ ने अपनी परिकल्पना पर भरोसा करते हुए, संख्याओं के गुणों का अध्ययन किया, समता और विषमता को प्रकट किया, और अनुपात बनाए।

हमें उम्मीद है कि आपको चित्रों का चयन पसंद आया होगा - रोचक तथ्यपाइथागोरस प्रमेय के बारे में: प्रसिद्ध प्रमेय के बारे में नई बातें सीखें (15 तस्वीरें) ऑनलाइन अच्छी गुणवत्ता. कृपया टिप्पणियों में अपनी राय दें! हर राय हमारे लिए मायने रखती है।

पायथागॉरियन पैंट पाइथागोरस प्रमेय का हास्य नाम, जो इस तथ्य के कारण उत्पन्न हुआ कि एक आयत के किनारों पर बने वर्ग और अलग-अलग दिशाओं में विचलन पैंट के कट जैसा दिखता है। मुझे ज्यामिति पसंद थी ... और आगे प्रवेश परीक्षाके गुणों की व्याख्या करने के लिए विश्वविद्यालय को गणित के प्रोफेसर चुमाकोव से भी प्रशंसा मिली समानांतर रेखाएंऔर पायथागॉरियन पैंट(एन। पिरोगोव। एक पुराने डॉक्टर की डायरी)।

वाक्यांशरूसी साहित्यिक भाषा. - एम .: एस्ट्रेल, एएसटी. ए. आई. फेडोरोव। 2008.

देखें कि "पायथागॉरियन पैंट" अन्य शब्दकोशों में क्या हैं:

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पायथागॉरियन पैंट- ... विकिपीडिया

पायथागॉरियन पैंट- ज़र्ग। स्कूल शटल। पाइथागोरस प्रमेय, जो कर्ण पर बने वर्गों के क्षेत्रों और एक समकोण त्रिभुज के पैरों के बीच संबंध स्थापित करता है। बीटीएस, 835... बड़ा शब्दकोशरूसी बातें

पायथागॉरियन पैंट- पाइथागोरस प्रमेय के लिए एक चंचल नाम, जो कर्ण पर बने वर्गों के क्षेत्रों और एक समकोण त्रिभुज के पैरों के बीच का अनुपात स्थापित करता है, जो चित्र में पैंट के कट जैसा दिखता है ... कई भावों का शब्दकोश

पाइथागोरस पैंट (आविष्कार)- विदेशी: एक प्रतिभाशाली व्यक्ति के बारे में सी.एफ. यह ऋषि की निश्चितता है। प्राचीन काल में, उन्होंने शायद पाइथागोरस पैंट का आविष्कार किया होगा ... साल्टीकोव। मोटली पत्र। पाइथागोरस पैंट (जियोम।): एक आयत में, कर्ण का वर्ग पैरों के वर्गों के बराबर होता है (शिक्षण ... ... माइकलसन का बड़ा व्याख्यात्मक वाक्यांशविज्ञान शब्दकोश

पायथागॉरियन पैंट सभी तरफ समान हैं- बटनों की संख्या ज्ञात है। डिक क्यों तंग है? (मोटे तौर पर) पैंट और पुरुष यौन अंग के बारे में। पाइथागोरस की पैंट सभी तरफ बराबर होती है। इसे साबित करने के लिए, पाइथागोरस प्रमेय के बारे में 1) को हटाना और दिखाना आवश्यक है; 2) चौड़ी पैंट के बारे में ... लाइव भाषण। बोलचाल की अभिव्यक्तियों का शब्दकोश

पाइथागोरस पैंट का आविष्कार- पाइथागोरस पैंट (आविष्कार) विदेशी। एक प्रतिभाशाली व्यक्ति के बारे में। बुध यह निस्संदेह ऋषि है। प्राचीन काल में, उन्होंने शायद पाइथागोरस पैंट का आविष्कार किया होगा ... साल्टीकोव। मोटली पत्र। पायथागॉरियन पैंट (जियोम।): एक आयत में, कर्ण का वर्ग ... ... माइकलसन का बड़ा व्याख्यात्मक वाक्यांशविज्ञान शब्दकोश (मूल वर्तनी)

पाइथागोरस पैंट सभी दिशाओं में समान हैं- पाइथागोरस प्रमेय का मज़ाक उड़ाने वाला सबूत; दोस्त के बैगी ट्राउजर के बारे में भी मजाक में... लोक वाक्यांशविज्ञान का शब्दकोश

Adj।, असभ्य ...

पायथागॉरियन पैंट सभी तरफ समान हैं (बटनों की संख्या ज्ञात है। यह करीब क्यों है? / यह साबित करने के लिए, इसे हटाना और दिखाना आवश्यक है)- adj।, असभ्य ... शब्दकोषसमकालीन बोलचाल की वाक्यांशवैज्ञानिक इकाइयाँऔर बातें

पैंट- संज्ञा, pl।, उपयोग कॉम्प. अक्सर आकृति विज्ञान: pl। क्या? पैंट, (नहीं) क्या? पैंट किस लिए? पैंट, (देखें) क्या? पैंट क्या? पैंट, क्या? पैंट के बारे में 1. पैंट कपड़ों का एक टुकड़ा है जिसमें दो छोटे या लंबे पैर होते हैं और नीचे की ओर ढके होते हैं ... ... दिमित्रीव का शब्दकोश

पुस्तकें

• पाइथागोरस पैंट, . इस किताब में आपको फंतासी और रोमांच, चमत्कार और कल्पना मिलेगी। मजेदार और दुखद, साधारण और रहस्यमय... और मनोरंजक पढ़ने के लिए और क्या चाहिए? मुख्य बात यह है कि…

रोमन वास्तुकार विट्रुवियस ने पाइथागोरस प्रमेय को "उन कई खोजों से अलग किया, जिन्होंने मानव जीवन के विकास के लिए सेवाएं प्रदान की हैं", और इसे सबसे बड़े सम्मान के साथ व्यवहार करने का आह्वान किया। यह पहली शताब्दी ईसा पूर्व में था। इ। 16वीं-17वीं शताब्दी के मोड़ पर, प्रसिद्ध जर्मन खगोलशास्त्री जोहान्स केपलर ने इसे ज्यामिति के खजाने में से एक कहा, जो सोने के माप के बराबर है। यह संभावना नहीं है कि सभी गणित में एक अधिक वजनदार और महत्वपूर्ण कथन है, क्योंकि वैज्ञानिक और व्यावहारिक अनुप्रयोगों की संख्या के संदर्भ में, पाइथागोरस प्रमेय के बराबर नहीं है।

समद्विबाहु समकोण त्रिभुज के मामले के लिए पाइथागोरस प्रमेय।

विज्ञान और जीवन // चित्र

मापने वाले ध्रुव (चीन, तीसरी शताब्दी ईसा पूर्व) पर ग्रंथ से पाइथागोरस प्रमेय का एक उदाहरण और इसके आधार पर एक प्रमाण का पुनर्निर्माण किया गया।

विज्ञान और जीवन // चित्र

एस पर्किन्स। पाइथागोरस।

पाइथागोरस के संभावित प्रमाण के लिए आरेखण।

पाइथागोरस प्रमेय के प्रमाण में "पायथागोरस का मोज़ेक" और तीन वर्गों के एक-नैरिज़ी का विभाजन।

पी डी होच। आंगन में मालकिन और नौकरानी। लगभग 1660।

I. ओहटरवेल्ट। एक अमीर घर के दरवाजे पर भटकते संगीतकार। 1665.

पायथागॉरियन पैंट

पाइथागोरस प्रमेय शायद सबसे अधिक पहचाने जाने योग्य और निस्संदेह, गणित के इतिहास में सबसे प्रसिद्ध है। ज्यामिति में, इसका प्रयोग हर कदम पर शाब्दिक रूप से किया जाता है। सूत्रीकरण की सरलता के बावजूद, यह प्रमेय किसी भी तरह से स्पष्ट नहीं है: पक्षों के साथ एक समकोण त्रिभुज को देखना a< b < c, усмотреть соотношение a 2 + b 2 = c 2 невозможно. Однажды известный американский логик и популяризатор науки Рэймонд Смаллиан, желая подвести учеников к открытию теоремы Пифагора, начертил на доске прямоугольный треугольник и по квадрату на каждой его стороне и сказал: «Представьте, что эти квадраты сделаны из кованого золота и вам предлагают взять себе либо один большой квадрат, либо два маленьких. Что вы выберете?» Мнения разделились пополам, возникла оживлённая дискуссия. Каково же было удивление учеников, когда учитель объяснил им, что никакой разницы нет! Но стоит только потребовать, чтобы катеты были равны, - и утверждение теоремы станет явным (рис. 1). И кто после этого усомнится, что «пифагоровы штаны» во все стороны равны? А вот те же самые «штаны», только в «сложенном» виде (рис. 2). Такой чертёж использовал герой одного из диалогов Платона под названием «Менон», знаменитый философ Сократ, разбирая с мальчиком-рабом задачу на построение квадрата, площадь которого в два раза больше площади данного квадрата. Его рассуждения, по сути, сводились к доказательству теоремы Пифагора, пусть и для конкретного треугольника.

अंजीर में दर्शाए गए आंकड़े। 1 और 2, वर्गों और उनके समान भागों के सबसे सरल आभूषण से मिलते जुलते हैं - एक ज्यामितीय पैटर्न जो अनादि काल से जाना जाता है। ये प्लेन को पूरी तरह से कवर कर सकते हैं। एक गणितज्ञ बहुभुज के साथ एक विमान के इस तरह के आवरण को एक लकड़ी की छत, या एक टाइलिंग कहेगा। पाइथागोरस यहाँ क्यों है? यह पता चला है कि वह नियमित लकड़ी की छत की समस्या को हल करने वाले पहले व्यक्ति थे, जिसने विभिन्न सतहों की टाइलिंग का अध्ययन शुरू किया। तो, पाइथागोरस ने दिखाया कि एक बिंदु के चारों ओर के तल को बिना अंतराल के केवल समान नियमित बहुभुजों द्वारा कवर किया जा सकता है तीन प्रकार: छह त्रिकोण, चार वर्ग और तीन षट्भुज।

4000 साल बाद

पाइथागोरस प्रमेय का इतिहास प्राचीन काल में वापस चला जाता है। इसका उल्लेख राजा हम्मुराबी (XVIII सदी ईसा पूर्व) के समय के बेबीलोनियन क्यूनिफॉर्म ग्रंथों में निहित है, यानी पाइथागोरस के जन्म से 1200 साल पहले। प्रमेय को कई समस्याओं में एक तैयार नियम के रूप में लागू किया गया है, जिनमें से सबसे सरल एक वर्ग के विकर्ण का पता लगाना है। यह संभव है कि एक मनमाना समकोण त्रिभुज के लिए संबंध a 2 + b 2 = c 2 बेबीलोनियाई लोगों द्वारा समानता a 2 + a 2 = c 2 को "सामान्यीकृत" करके प्राप्त किया गया था। लेकिन यह उनके लिए क्षम्य है - पूर्वजों की व्यावहारिक ज्यामिति के लिए, जिसे माप और गणना के लिए कम कर दिया गया था, सख्त औचित्य की आवश्यकता नहीं थी।

अब, लगभग 4000 साल बाद, हम संभावित प्रमाणों की संख्या के संदर्भ में एक रिकॉर्ड तोड़ने वाली प्रमेय के साथ काम कर रहे हैं। वैसे इनका संग्रह करने की एक लंबी परंपरा है। पाइथागोरस प्रमेय में रुचि का शिखर दूसरे स्थान पर गिर गया XIX का आधा- XX सदी की शुरुआत। और अगर पहले संग्रह में दो या तीन दर्जन से अधिक सबूत नहीं थे, तो देर से XIXसदी, उनकी संख्या 100 के करीब पहुंच गई, और एक और आधी सदी के बाद यह 360 से अधिक हो गई, और ये केवल वे हैं जो विभिन्न स्रोतों से एकत्र किए गए थे। इस चिरस्थायी कार्य का समाधान किसने नहीं उठाया - प्रख्यात वैज्ञानिकों और विज्ञान के लोकप्रिय लोगों से लेकर कांग्रेसियों और स्कूली बच्चों तक। और क्या उल्लेखनीय है, समाधान की मौलिकता और सादगी में, अन्य शौकिया पेशेवरों से कम नहीं थे!

पाइथागोरस प्रमेय का सबसे पुराना प्रमाण जो हमारे पास आया है वह लगभग 2300 वर्ष पुराना है। उनमें से एक - सख्त स्वयंसिद्ध - प्राचीन यूनानी गणितज्ञ यूक्लिड का है, जो ईसा पूर्व चौथी-तीसरी शताब्दी में रहते थे। इ। तत्वों की पुस्तक I में, पाइथागोरस प्रमेय को प्रस्ताव 47 के रूप में सूचीबद्ध किया गया है। सबसे अधिक दृश्य और सुंदर प्रमाण "पाइथागोरस पैंट" के पुन: आरेखण पर बनाए गए हैं। वे एक सरल वर्ग-काटने वाली पहेली की तरह दिखते हैं। लेकिन आंकड़े सही ढंग से चलते हैं - और वे आपको प्रसिद्ध प्रमेय का रहस्य बताएंगे।

यहाँ एक प्राचीन चीनी ग्रंथ (चित्र 3) से एक चित्र के आधार पर प्राप्त एक सुरुचिपूर्ण प्रमाण है, और एक वर्ग के क्षेत्रफल को दोगुना करने की समस्या से इसका संबंध तुरंत स्पष्ट हो जाता है।

यह इस बात का प्रमाण था कि अंग्रेजी लेखक एल्डस हक्सले की लघु कहानी "लिटिल आर्किमिडीज" के उज्ज्वल आंखों वाले नायक, सात वर्षीय गुइडो ने अपने छोटे दोस्त को समझाने की कोशिश की। यह उत्सुक है कि कथाकार, जिसने इस चित्र को देखा, ने साक्ष्य की सादगी और अनुनय-विनय पर ध्यान दिया, और इसलिए इसका श्रेय ... पाइथागोरस को दिया। परंतु मुख्य पात्रएवगेनी वेल्टिस्टोव की शानदार कहानी "इलेक्ट्रॉनिक्स - एक सूटकेस से एक लड़का" यूक्लिड द्वारा दिए गए सहित पाइथागोरस प्रमेय के 25 प्रमाण जानता था; सच है, उन्होंने गलती से इसे सबसे सरल कहा, हालांकि वास्तव में शुरुआत के आधुनिक संस्करण में यह डेढ़ पृष्ठों पर है!

प्रथम गणितज्ञ

समोस के पाइथागोरस (570-495 ईसा पूर्व), जिनका नाम लंबे समय से एक उल्लेखनीय प्रमेय के साथ अटूट रूप से जुड़ा हुआ है, एक अर्थ में उन्हें पहला गणितज्ञ कहा जा सकता है। यहीं से गणित की शुरुआत होती है। बिलकुल विज्ञान, जहां कोई भी नया ज्ञान अनुभव से सीखे गए दृश्य अभ्यावेदन और नियमों का परिणाम नहीं है, बल्कि तार्किक तर्क और निष्कर्ष का परिणाम है। किसी भी गणितीय प्रस्ताव की सत्यता को हमेशा के लिए स्थापित करने का यही एकमात्र तरीका है। पाइथागोरस से पहले, निगमन पद्धति का उपयोग केवल प्राचीन यूनानी दार्शनिक और वैज्ञानिक थेल्स ऑफ मिलेटस द्वारा किया जाता था, जो ईसा पूर्व 7वीं-छठी शताब्दी के मोड़ पर रहते थे। इ। उन्होंने सबूत के विचार को व्यक्त किया, लेकिन इसे एक नियम के रूप में, "व्यास सर्कल को द्विभाजित" जैसे स्पष्ट ज्यामितीय बयानों के लिए, एक नियम के रूप में, व्यवस्थित रूप से, चुनिंदा रूप से लागू किया। पाइथागोरस बहुत आगे निकल गया। ऐसा माना जाता है कि उन्होंने पहली परिभाषा, स्वयंसिद्ध और सबूत के तरीके पेश किए, और ज्यामिति में पहला पाठ्यक्रम भी बनाया, जिसे प्राचीन यूनानियों को "पाइथागोरस की परंपरा" नाम से जाना जाता है। और वह संख्या सिद्धांत और स्टीरियोमेट्री के मूल में खड़ा था।

पाइथागोरस की एक और महत्वपूर्ण योग्यता गणितज्ञों के एक शानदार स्कूल की नींव है, जिसने एक सदी से भी अधिक समय तक इस विज्ञान के विकास को निर्धारित किया है। प्राचीन ग्रीस. शब्द "गणित" स्वयं उनके नाम से जुड़ा है (से ग्रीक शब्दμαθημa - शिक्षण, विज्ञान), जिसने पाइथागोरस और उसके अनुयायियों द्वारा बनाए गए चार संबंधित विषयों को एकजुट किया - पाइथागोरस - ज्ञान की एक प्रणाली: ज्यामिति, अंकगणित, खगोल विज्ञान और हार्मोनिक्स।

पाइथागोरस की उपलब्धियों को उनके छात्रों की उपलब्धियों से अलग करना असंभव है: रिवाज का पालन करते हुए, उन्होंने अपने स्वयं के विचारों और खोजों का श्रेय अपने शिक्षक को दिया। प्रारंभिक पाइथागोरस ने कोई लेखन नहीं छोड़ा; उन्होंने सभी सूचनाओं को एक दूसरे को मौखिक रूप से प्रेषित किया। इसलिए, 2500 साल बाद, इतिहासकारों के पास अन्य, बाद के लेखकों के प्रतिलेखन के अनुसार खोए हुए ज्ञान को फिर से बनाने के अलावा कोई विकल्प नहीं है। आइए हम यूनानियों को श्रेय दें: हालाँकि उन्होंने पाइथागोरस के नाम को कई किंवदंतियों से घेर लिया था, लेकिन उन्होंने उसे ऐसा कुछ भी नहीं बताया जिसे वह खोज या एक सिद्धांत में विकसित नहीं कर सका। और उनके नाम का प्रमेय कोई अपवाद नहीं है।

इतना सरल प्रमाण

यह ज्ञात नहीं है कि पाइथागोरस ने स्वयं एक समकोण त्रिभुज की भुजाओं की लंबाई के अनुपात की खोज की थी या यह ज्ञान उधार लिया था। प्राचीन लेखकों ने दावा किया कि वह खुद, और अपनी खोज के सम्मान में, पाइथागोरस ने एक बैल की बलि कैसे दी, इसकी किंवदंती को फिर से बताना पसंद किया। आधुनिक इतिहासकारों का मानना ​​है कि उन्होंने बेबीलोन के गणित से परिचित होकर प्रमेय के बारे में सीखा। हम यह भी नहीं जानते कि पाइथागोरस ने किस रूप में प्रमेय तैयार किया: अंकगणितीय रूप से, जैसा कि आज प्रथागत है, कर्ण का वर्ग पैरों के वर्गों के योग के बराबर होता है, या ज्यामितीय रूप से, पूर्वजों की भावना में, निर्मित वर्ग एक समकोण त्रिभुज के कर्ण पर उसके स्केट्स पर बने वर्गों के योग के बराबर होता है।

ऐसा माना जाता है कि यह पाइथागोरस था जिसने अपने नाम के प्रमेय का पहला प्रमाण दिया था। यह जीवित नहीं रहा, बिल्कुल। एक संस्करण के अनुसार, पाइथागोरस अपने स्कूल में विकसित अनुपात के सिद्धांत का उपयोग कर सकते थे। इस पर आधारित था, विशेष रूप से, समानता का सिद्धांत, जिस पर तर्क आधारित है। आइए पैरों a और b वाले समकोण त्रिभुज में कर्ण c की ऊंचाई बनाएं। हमें तीन समान त्रिभुज मिलते हैं, जिनमें मूल त्रिभुज भी शामिल है। उनकी संबंधित भुजाएँ समानुपाती हैं, a: c = m: a और b: c = n: b, जहाँ से a 2 = c · m और b 2 = c · n। तब a 2 + b 2 = = c (m + n) = c 2 (चित्र 4)।

यह सिर्फ विज्ञान के इतिहासकारों में से एक द्वारा प्रस्तावित एक पुनर्निर्माण है, लेकिन सबूत, आप देखते हैं, काफी सरल है: इसमें केवल कुछ पंक्तियां होती हैं, आपको इमारत को फिर से आकार देने, कुछ भी गणना करने की आवश्यकता नहीं है ... यह है आश्चर्य नहीं कि इसे एक से अधिक बार फिर से खोजा गया था। यह, उदाहरण के लिए, पीसा के लियोनार्डो (1220) द्वारा "ज्यामिति के अभ्यास" में निहित है, और यह अभी भी पाठ्यपुस्तकों में दिया गया है।

इस तरह के प्रमाण ने पाइथागोरस के अनुरूपता के विचारों का खंडन नहीं किया: शुरू में उनका मानना ​​​​था कि किसी भी दो खंडों की लंबाई का अनुपात, और इसलिए रेक्टिलिनियर आंकड़ों के क्षेत्रों को प्राकृतिक संख्याओं का उपयोग करके व्यक्त किया जा सकता है। उन्होंने किसी अन्य संख्या पर विचार नहीं किया, यहां तक ​​​​कि अंशों की अनुमति नहीं दी, उन्हें अनुपात 1: 2, 2: 3, आदि के साथ बदल दिया। हालांकि, विडंबना यह है कि पाइथागोरस प्रमेय ने पाइथागोरस को विकर्ण की असंगति की खोज के लिए प्रेरित किया। वर्ग और उसकी भुजा का। संख्यात्मक रूप से इस विकर्ण की लंबाई का प्रतिनिधित्व करने के सभी प्रयास - एक इकाई वर्ग के लिए यह √2 के बराबर है - कुछ भी नहीं हुआ। यह साबित करना आसान हो गया कि समस्या अनसुलझी है। ऐसे मामले में, गणितज्ञों के पास एक सिद्ध विधि है - विरोधाभास द्वारा प्रमाण। वैसे इसका श्रेय पाइथागोरस को भी जाता है।

एक रिश्ते का अस्तित्व व्यक्त नहीं किया जा सकता प्राकृतिक संख्यापाइथागोरस के कई विचारों को समाप्त कर दिया। यह स्पष्ट हो गया कि वे जो संख्याएँ जानते थे, वे साधारण समस्याओं को हल करने के लिए पर्याप्त नहीं थीं, सभी ज्यामिति के बारे में कुछ भी नहीं कहने के लिए! यह खोज ग्रीक गणित के विकास में एक महत्वपूर्ण मोड़ थी, इसकी केंद्रीय समस्या. सबसे पहले, इसने अतुलनीय मात्राओं के सिद्धांत का विकास किया - तर्कहीनता, और फिर संख्या की अवधारणा के विस्तार के लिए। दूसरे शब्दों में, वास्तविक संख्याओं के समुच्चय के अध्ययन का सदियों पुराना इतिहास उसके साथ शुरू हुआ।

पाइथागोरस की मोज़ेक

यदि आप समतल को दो अलग-अलग आकारों के वर्गों से ढकते हैं, प्रत्येक छोटे वर्ग को चार बड़े वर्ग से घेरते हैं, तो आपको पाइथागोरस मोज़ेक लकड़ी की छत मिलती है। इस तरह के पैटर्न में लंबे समय से सजे हुए पत्थर के फर्श हैं, जो पाइथागोरस प्रमेय (इसलिए इसका नाम) के प्राचीन प्रमाणों की याद दिलाते हैं। लकड़ी की छत पर अलग-अलग तरीकों से एक वर्ग ग्रिड लगाकर, एक समकोण त्रिभुज के किनारों पर बने वर्गों के विभाजन प्राप्त कर सकते हैं, जो विभिन्न गणितज्ञों द्वारा प्रस्तावित किए गए थे। उदाहरण के लिए, यदि आप ग्रिड को इस प्रकार व्यवस्थित करते हैं कि उसके सभी नोड छोटे वर्गों के ऊपरी दाएँ कोने के साथ मेल खाते हैं, तो चित्र के टुकड़े मध्ययुगीन फ़ारसी गणितज्ञ एन-नैरिज़ी के प्रमाण के लिए दिखाई देंगे, जिसे उन्होंने यूक्लिड की टिप्पणियों में रखा था। सिद्धांतों"। यह देखना आसान है कि बड़े और छोटे वर्गों के क्षेत्रों का योग, लकड़ी की छत के प्रारंभिक तत्व, उस पर लगाए गए ग्रिड के एक वर्ग के क्षेत्रफल के बराबर है। और इसका मतलब है कि निर्दिष्ट विभाजन वास्तव में लकड़ी की छत बिछाने के लिए उपयुक्त है: परिणामी बहुभुजों को वर्गों में जोड़कर, जैसा कि चित्र में दिखाया गया है, आप पूरे विमान को बिना अंतराल और ओवरलैप के उनके साथ भर सकते हैं।