एक नियमित प्रिज्म का पृष्ठीय क्षेत्रफल कैसे ज्ञात करें। नियमित चतुर्भुज प्रिज्म। प्रिज्म तत्व ढूँढना

प्रिज्म तत्व

नाम परिभाषा ड्राइंग पर पदनाम चित्रकला
नींव दो फलक जो सर्वांगसम बहुभुज हैं जो समांतर तलों में स्थित हैं। एबीसीडीइ , कलीएमएनपी
साइड फेस ठिकानों को छोड़कर सभी चेहरे। प्रत्येक भुजा का फलक अनिवार्य रूप से एक समांतर चतुर्भुज है। एबीलीक , बीसीएमली , सीडीएनएम , डीइपीएन , इएकपी
पार्श्व सतह साइड चेहरों को मिलाना।
पूर्ण सतह आधारों और पार्श्व सतह का संघ।
पार्श्व पसलियां पक्ष के आम पक्षों का सामना करना पड़ता है। एक , बीली , सीएम , डीएन , इपी
कद एक प्रिज्म के आधारों को जोड़ने वाला एक खंड और उनके लंबवत। कआर
विकर्ण प्रिज्म के दो शीर्षों को जोड़ने वाला खंड जो एक ही फलक से संबंधित नहीं है। बीपी
विकर्ण विमान प्रिज्म के पार्श्व किनारे और आधार के विकर्ण से गुजरने वाला तल।
विकर्ण खंड एक प्रिज्म और एक विकर्ण विमान का प्रतिच्छेदन। खंड में एक समांतर चतुर्भुज बनता है, जिसमें इसके विशेष मामले शामिल हैं - एक समचतुर्भुज, एक आयत, एक वर्ग। इबीलीपी
लंबवत खंड एक प्रिज्म का प्रतिच्छेदन और उसके किनारे के लंबवत समतल।

प्रिज्म गुण

  • 1. प्रिज्म के आधार बराबर बहुभुज होते हैं।
  • 2. प्रिज्म के पार्श्व फलक समांतर चतुर्भुज होते हैं।
  • 3. प्रिज्म के किनारे समानांतर और बराबर हैं।
  • 4. प्रिज्म वॉल्यूम उत्पाद के बराबर हैआधार क्षेत्र तक इसकी ऊंचाई:
  • 5. प्रिज्म की कुल सतह का क्षेत्रफल उसकी पार्श्व सतह के क्षेत्रफल के योग के बराबर होता है और आधार के क्षेत्रफल का दोगुना होता है।

प्रिज्म प्रकार

प्रिज्म हैं सीधातथा परोक्ष.

सीधा प्रिज्म- एक प्रिज्म जिसमें सभी पार्श्व किनारे आधार के लंबवत होते हैं।

पार्श्व सतह क्षेत्रएक सीधा प्रिज्म आधार की परिधि और ऊंचाई के गुणनफल के बराबर होता है।

झुका हुआ प्रिज्म- एक प्रिज्म जिसमें कम से कम एक पार्श्व किनारा आधार के लंबवत न हो।

पार्श्व सतह क्षेत्रएक झुके हुए प्रिज्म का मान लंबवत खंड की परिधि और पार्श्व पसली की लंबाई के गुणनफल के बराबर होता है। एक झुके हुए प्रिज्म का आयतनलंबवत खंड और पार्श्व किनारे के क्षेत्र के उत्पाद के बराबर है।

सही प्रिज्मएक सही प्रिज्म है जिसका आधार एक नियमित बहुभुज है।

एक नियमित प्रिज्म के गुण

  • 1. एक नियमित प्रिज्म के आधार नियमित बहुभुज होते हैं।
  • 2. एक नियमित प्रिज्म के पार्श्व फलक समान आयत होते हैं।
  • 3. एक नियमित प्रिज्म के किनारे बराबर होते हैं।

यह सभी देखें

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विकिमीडिया फाउंडेशन। 2010.

देखें कि "प्रिज्म (गणित)" अन्य शब्दकोशों में क्या है:

    - (शुरुआत) "नौ किताबों में गणित" (चीनी पारंपरिक ... विकिपीडिया

    गणित की एक शाखा जो विभिन्न आकृतियों (बिंदुओं, रेखाओं, कोणों, द्वि-आयामी और त्रि-आयामी वस्तुओं), उनके आकार और सापेक्ष स्थिति के गुणों का अध्ययन करती है। शिक्षण की सुविधा के लिए ज्यामिति को प्लेनीमेट्री और सॉलिड ज्योमेट्री में बांटा गया है। पर… … कोलियर इनसाइक्लोपीडिया

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चश्मेएक बहुफलक कहलाता है जिसके दो फलक होते हैं बराबर n-gons (मैदान) , समानांतर विमानों में झूठ बोलना, और शेष n फलक समांतर चतुर्भुज हैं (किनारे किनारे) . साइड रिब प्रिज्म पार्श्व फलक का वह भाग है जो आधार से संबंधित नहीं है।

एक प्रिज्म जिसके पार्श्व किनारे आधारों के तलों के लंबवत होते हैं, कहलाते हैं सीधा प्रिज्म (चित्र 1)। यदि पार्श्व किनारे आधारों के तलों के लंबवत न हों, तो प्रिज्म कहलाता है परोक्ष . सही प्रिज्म एक सीधा प्रिज्म है जिसका आधार नियमित बहुभुज है।

कदप्रिज्म को आधारों के तलों के बीच की दूरी कहते हैं। विकर्ण प्रिज्म एक ऐसा खंड है जो दो शीर्षों को जोड़ता है जो एक ही फलक से संबंधित नहीं हैं। विकर्ण खंड दो पार्श्व किनारों से गुजरने वाले समतल द्वारा प्रिज्म का एक खंड जो एक ही फलक से संबंधित नहीं होता है, कहलाता है। लंबवत खंड प्रिज्म के पार्श्व किनारे के लंबवत समतल द्वारा प्रिज्म के खंड को कहा जाता है।

पार्श्व सतह क्षेत्र प्रिज्म सभी पक्षों के चेहरों के क्षेत्रों का योग है। पूर्ण सतह क्षेत्र प्रिज्म के सभी फलकों के क्षेत्रफलों के योग को कहते हैं (अर्थात, भुजाओं के फलकों के क्षेत्रफलों और आधारों के क्षेत्रफलों का योग)।

एक मनमाना प्रिज्म के लिए, सूत्र सत्य हैं:

कहाँ पे मैंसाइड रिब की लंबाई है;

एच- कद;

पी

क्यू

एस साइड

एस पूर्ण

एस मुख्यठिकानों का क्षेत्र है;

वीप्रिज्म का आयतन है।

एक सीधे प्रिज्म के लिए, निम्नलिखित सूत्र सत्य हैं:

कहाँ पे पी- आधार की परिधि;

मैंसाइड रिब की लंबाई है;

एच- कद।

समानांतर खातएक प्रिज्म जिसका आधार एक समांतर चतुर्भुज होता है, कहलाता है। एक समानांतर चतुर्भुज जिसके पार्श्व किनारे आधारों के लंबवत होते हैं, कहलाते हैं प्रत्यक्ष (रेखा चित्र नम्बर 2)। यदि पार्श्व किनारे आधारों के लंबवत नहीं हैं, तो समांतर चतुर्भुज को कहा जाता है परोक्ष . एक समांतर चतुर्भुज जिसका आधार एक आयत है, कहलाता है आयताकार। एक आयताकार समांतर चतुर्भुज जिसमें सभी किनारे समान हों, कहलाते हैं घन।

समांतर चतुर्भुज के फलक जिनमें उभयनिष्ठ शीर्ष नहीं होते हैं, कहलाते हैं विलोम . एक शीर्ष से निकलने वाले किनारों की लंबाई कहलाती है मापन समानांतर चतुर्भुज। चूंकि बॉक्स एक प्रिज्म है, इसलिए इसके मुख्य तत्वों को उसी तरह परिभाषित किया जाता है जैसे उन्हें प्रिज्म के लिए परिभाषित किया जाता है।

प्रमेय।

1. समांतर चतुर्भुज के विकर्ण एक बिंदु पर प्रतिच्छेद करते हैं और इसे समद्विभाजित करते हैं।

2. एक आयताकार समानांतर चतुर्भुज में, विकर्ण की लंबाई का वर्ग उसके तीन आयामों के वर्गों के योग के बराबर होता है:

3. एक आयताकार समांतर चतुर्भुज के सभी चार विकर्ण एक दूसरे के बराबर होते हैं।

एक मनमाना समानांतर चतुर्भुज के लिए, निम्नलिखित सूत्र सत्य हैं:

कहाँ पे मैंसाइड रिब की लंबाई है;

एच- कद;

पीलंबवत खंड की परिधि है;

क्यू- लंबवत खंड का क्षेत्र;

एस साइडपार्श्व सतह क्षेत्र है;

एस पूर्णकुल सतह क्षेत्र है;

एस मुख्यठिकानों का क्षेत्र है;

वीप्रिज्म का आयतन है।

एक समांतर चतुर्भुज के लिए, निम्नलिखित सूत्र सत्य हैं:

कहाँ पे पी- आधार की परिधि;

मैंसाइड रिब की लंबाई है;

एचदाहिने समानांतर चतुर्भुज की ऊंचाई है।

एक आयताकार समानांतर चतुर्भुज के लिए, निम्नलिखित सूत्र सत्य हैं:

(3)

कहाँ पे पी- आधार की परिधि;

एच- कद;

डी- विकर्ण;

ए, बी, सी- एक समानांतर चतुर्भुज की माप।

घन के लिए सही सूत्र हैं:

कहाँ पे एकपसली की लंबाई है;

डीघन का विकर्ण है।

उदाहरण 1एक आयताकार घनाभ का विकर्ण 33 dm है, और इसकी माप 2:6:9 से संबंधित है। घनाभ की माप ज्ञात कीजिए।

समाधान।समानांतर चतुर्भुज के आयामों को खोजने के लिए, हम सूत्र (3) का उपयोग करते हैं, अर्थात। तथ्य यह है कि एक घनाभ के कर्ण का वर्ग उसकी विमाओं के वर्गों के योग के बराबर होता है। द्वारा निरूपित करें कआनुपातिकता का गुणांक। तब समांतर चतुर्भुज के आयाम 2 . के बराबर होंगे क, 6कऔर 9 क. हम समस्या डेटा के लिए सूत्र (3) लिखते हैं:

के लिए इस समीकरण को हल करना क, हम पाते हैं:

इसलिए, समानांतर चतुर्भुज के आयाम 6 डीएम, 18 डीएम और 27 डीएम हैं।

उत्तर: 6 डीएम, 18 डीएम, 27 डीएम।

उदाहरण 2एक झुके हुए त्रिकोणीय प्रिज्म का आयतन ज्ञात कीजिए जिसका आधार 8 सेमी की भुजा वाला एक समबाहु त्रिभुज है, यदि पार्श्व किनारा आधार की भुजा के बराबर है और आधार से 60º के कोण पर झुका हुआ है।

समाधान . आइए एक चित्र बनाएं (चित्र 3)।

एक झुके हुए प्रिज्म का आयतन ज्ञात करने के लिए, आपको इसके आधार और ऊँचाई का क्षेत्रफल जानना होगा। इस प्रिज्म के आधार का क्षेत्रफल 8 सेमी भुजा वाले एक समबाहु त्रिभुज का क्षेत्रफल है। आइए इसकी गणना करें:

प्रिज्म की ऊंचाई उसके आधारों के बीच की दूरी है। ऊपर से लेकिनऊपरी आधार के 1 हम निचले आधार के तल के लंबवत को कम करते हैं लेकिन 1 डी. इसकी लंबाई प्रिज्म की ऊंचाई होगी। डी पर विचार करें लेकिन 1 विज्ञापन: चूंकि यह पार्श्व पसली के झुकाव का कोण है लेकिन 1 लेकिनबेस प्लेन के लिए लेकिन 1 लेकिन= 8 सेमी. इस त्रिभुज से हम पाते हैं लेकिन 1 डी:

अब हम सूत्र (1) का उपयोग करके आयतन की गणना करते हैं:

उत्तर: 192 सेमी3.

उदाहरण 3एक नियमित हेक्सागोनल प्रिज्म का पार्श्व किनारा 14 सेमी है। सबसे बड़े विकर्ण खंड का क्षेत्रफल 168 सेमी 2 है। प्रिज्म का कुल पृष्ठीय क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए।

समाधान।आइए एक चित्र बनाएं (चित्र 4)


सबसे बड़ा विकर्ण खंड एक आयत है आ 1 डीडी 1 , विकर्ण के बाद से विज्ञापन नियमित षट्भुज एबीसीडीईएफसबसे बडा। प्रिज्म के पार्श्व सतह क्षेत्र की गणना करने के लिए, आधार के किनारे और पार्श्व पसली की लंबाई जानना आवश्यक है।

विकर्ण खंड (आयत) के क्षेत्र को जानने के बाद, हम आधार के विकर्ण का पता लगाते हैं।

तब से

तब से अब= 6 सेमी.

तब आधार का परिमाप है:

प्रिज्म की पार्श्व सतह का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए:

6 सेमी भुजा वाले एक नियमित षट्भुज का क्षेत्रफल है:

प्रिज्म का कुल पृष्ठीय क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए:

उत्तर:

उदाहरण 4एक समांतर चतुर्भुज का आधार एक समचतुर्भुज है। विकर्ण वर्गों का क्षेत्रफल 300 सेमी 2 और 875 सेमी 2 है। समानांतर चतुर्भुज की पार्श्व सतह का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए।

समाधान।आइए एक चित्र बनाएं (चित्र 5)।

समचतुर्भुज की भुजा को किसके द्वारा निरूपित करें? एक, समचतुर्भुज के विकर्ण डी 1 और डी 2, बॉक्स की ऊंचाई एच. एक सीधे समानांतर चतुर्भुज के पार्श्व सतह क्षेत्र को खोजने के लिए, आधार की परिधि को ऊंचाई से गुणा करना आवश्यक है: (सूत्र (2))। आधार परिधि पी = एबी + बीसी + सीडी + डीए = 4AB = 4a, इसलिये ए बी सी डी- समचतुर्भुज। एच = एए 1 = एच. उस। ढूंढना होगा एकतथा एच.

विकर्ण वर्गों पर विचार करें। आ 1 एसएस 1 - एक आयत, जिसकी एक भुजा समचतुर्भुज का विकर्ण है एसी = डी 1 , दूसरा - पार्श्व किनारा आ 1 = एच, फिर

इसी प्रकार अनुभाग के लिए बी बी 1 डीडी 1 हमें मिलता है:

एक समान्तर चतुर्भुज के गुण का इस प्रकार उपयोग करने पर कि विकर्णों के वर्गों का योग उसकी सभी भुजाओं के वर्गों के योग के बराबर हो, हमें वह समानता प्राप्त होती है जो हमें निम्नलिखित प्राप्त होती है।

लैटिन से "कुछ देखा हुआ" के रूप में। इस पॉलीहेड्रॉन में हमेशा दो आधार होते हैं, जो समानांतर विमानों में स्थित होते हैं और समान बहुभुज होते हैं। वे त्रिकोणीय, चतुर्भुज और एन-गोनल भी हो सकते हैं।

याद रखें कि अन्य (पक्ष) फलकों की संख्या आधार के प्रकार पर निर्भर करती है। यदि आधार पर एक त्रिभुज है, तो क्रमशः तीन भुजाएँ होंगी, एक चतुर्भुज - चार, और इसी तरह।

ध्यान रखें कि पसलियों पार्श्व किनारा आधार से 90o के कोण पर स्थित है, प्रिज्म को एक सीधी रेखा कहा जाता है। अन्यथा तिरछा। यदि एक सीधी रेखा प्रिज्मआधार पर एक नियमित बहुभुज होगा, यह एक नियमित प्रिज्म में बदल जाएगा। ऐसे का एक उदाहरण ज्यामितीय आकृति- घन।

एक प्रिज्म की परिधि की गणना करने के लिए, प्रिज्म के आधारों और भुजाओं की परिधि ज्ञात करें, और सभी आयामों को एक साथ जोड़ें। ऐसा करने के लिए, प्रत्येक फलकों की भुजाओं (या किनारों) की लंबाई मापने के लिए एक रूलर का उपयोग करें। और प्रत्येक बहुभुज की परिधि की गणना करें।

अपने कार्य को सरल बनाएं। चूंकि दोनों आधारों का आकार समान है, उनमें से केवल एक के किनारों की लंबाई मापें। सभी पक्षों के आयाम जोड़ें और परिणामी योग को दो से गुणा करें।

यदि आधारों के किनारे समान आकार के हैं, तो समान भुजाओं की संख्या ज्ञात कीजिए। इनमें से किसी एक फलक की भुजाओं की लंबाई मापिए, इसका परिमाप परिकलित कीजिए। परिणामी मान को से गुणा करें कुल गणनासमान किनारों।

उन पक्षों में से प्रत्येक की परिधि की अलग-अलग गणना करें जो कभी दोहराई नहीं जाती हैं।

सभी परिकलित परिमापों को जोड़ें - दो आधार, दोहराए जाने वाले पार्श्व फलक, और वे पार्श्व फलक जिनका कोई एनालॉग नहीं है। कुल राशिप्रिज्म की परिधि के बराबर होगा।

टिप्पणी

परिधि की गणना प्रिज्म के प्रकार पर निर्भर नहीं करती है। इसकी गणना सीधे और झुके हुए दोनों प्रिज्मों के लिए समान रूप से की जाती है।

स्रोत:

  • प्रिज्म

फोर्ब्स ऑनलाइन प्रकाशन के पत्रकारों ने पाया कि अंतरराज्यीय नीतिराष्ट्रपति प्रशासन के तहत प्रिज्म टर्मिनल का उपयोग करके इंटरनेट पर रूसियों की सामाजिक गतिविधि को ट्रैक और मॉनिटर करना शुरू किया। यह प्रणाली विभाग के प्रमुख व्याचेस्लाव वोलोशिन के कार्यालय में पहले ही स्थापित की जा चुकी है।

टर्मिनल का डेवलपर मीडियालॉजी कंपनी है, इसकी वेबसाइट का कहना है कि सिस्टम को उपयोगकर्ता गतिविधि को ट्रैक करने के लिए डिज़ाइन किया गया है सामाजिक व्यवस्थाऔर वास्तविक समय में 60 मिलियन स्रोतों से सूचना प्रवाह को संसाधित करने में सक्षम है। उपयोगकर्ता के लिए रुचि के विषय कोई भी हो सकते हैं और मैन्युअल रूप से कॉन्फ़िगर किए जाते हैं। विशेष रूप से, डेवलपर्स का दावा है कि टर्मिनल सामाजिक नेटवर्क उपयोगकर्ताओं की गतिविधि में वृद्धि को ट्रैक करने में सक्षम है, जो सामाजिक तनाव में वृद्धि से भरा है। जिन मुद्दों को सिस्टम नियंत्रित कर सकता है उनमें शामिल हैं: उग्रवाद, दंगों और अस्वीकृत रैलियों में भागीदारी, विरोध के मूड, मूल्य वृद्धि की चर्चा, उपयोगिता शुल्क, वेतन और पेंशन, और चिकित्सा देखभाल का स्तर।

टर्मिनल "प्रिज्मा" मंचों और ब्लॉगों पर प्रविष्टियों के भाषाई और शब्दार्थ विश्लेषण के आधार पर काम करते हैं। सिस्टम व्यक्तिगत ब्लॉग और सोशल मीडिया अकाउंट दोनों को ट्रैक कर सकता है। केवल 2-3% के बराबर त्रुटि के साथ बयानों के सकारात्मक या नकारात्मक स्वर का विश्लेषण और निदान करने की अनुमति का उपयोग किया जाता है।

उपयोगकर्ता का मॉनिटर सामाजिक नेटवर्क में सबसे अधिक प्रासंगिक और चर्चित समाचार प्रदर्शित करता है, उन्हें शीर्ष कहानियों के समूहों द्वारा दर्शाया जाता है। यदि वांछित है, तो आप यह कर सकते हैं कि किस ब्लॉग और प्रविष्टियों से यह या वह "" समाचार या विषय संकलित किया गया था। प्रत्येक प्लॉट के लिए, बयानों की प्रकृति के अनुसार एक आकलन दिया जाता है, जबकि मॉनिटर सकारात्मक और नकारात्मक दोनों आकलनों की संख्या को दर्शाता है। उनके लेखकों की सूची भी मिल सकती है। बयानों और आकलनों की गतिशीलता को एक ग्राफ के रूप में प्रस्तुत किया जा सकता है।

लेकिन सिस्टम ने कमजोर कड़ी, जो नेटवर्क संचार की बारीकियों से निर्धारित होते हैं। इस प्रकार, कुख्यात "अल्बानियाई" भाषा का उपयोग इसे मशीन की धारणा और बाद के विश्लेषण के लिए अनुपयुक्त बना सकता है। वही व्यंग्यात्मक, विडंबनापूर्ण और "उद्धृत" बयानों पर लागू होता है, हालांकि, कभी-कभी उन्हें पहचानना संभव नहीं होता है।

संबंधित वीडियो

स्रोत:

  • टर्मिनल कैसे काम करते हैं

अगस्त 2012 के मध्य में, फोर्ब्स ऑनलाइन प्रकाशन ने अपनी वेबसाइट पर जानकारी प्रकाशित की कि क्रेमलिन ने शीर्ष सरकारी अधिकारियों के कार्यालयों में स्थापित प्रिज्म टर्मिनलों का उपयोग करके सामाजिक नेटवर्क की निगरानी शुरू की। संयुक्त रूस के कार्यकर्ताओं से मिले दिमित्री मेदवेदेव के आश्वासन के बावजूद कि सरकार को सामाजिक नेटवर्क के उपयोगकर्ताओं की राय में कोई दिलचस्पी नहीं है, ऐसे टर्मिनलों का उपयोग करने का तथ्य इसके विपरीत इंगित करता है।

सामाजिक नेटवर्क के माध्यम से समाज के सक्रिय हिस्से की राजनीतिक भावनाओं को ट्रैक करने का अनुभव पश्चिम में पहले से ही उपलब्ध है। उदाहरण के लिए, संयुक्त राज्य अमेरिका में, ट्विटर एक माइक्रोब्लॉगिंग सेवा का रखरखाव करता है जो किसी विशेष चुनाव अभियान प्रतिभागी के बारे में सकारात्मक और नकारात्मक समीक्षाओं की संख्या की तुलना करता है। कुलप्रकाशित रिकॉर्ड। हर हफ्ते, बराक ओबामा या मिट रोमनी के बारे में लगभग दो मिलियन प्रविष्टियों का विश्लेषण किया जाता है।

पश्चिमी एक के समान एक प्रणाली के डेवलपर्स - प्रिज्म टर्मिनल - मेडियोलोजिया कंपनी हैं। उनका तर्क है कि विकास क्षमताएं काफी अधिक हैं - वास्तविक समय में, आप 60 मिलियन स्रोतों से एक साथ आने वाली जानकारी को संसाधित कर सकते हैं। प्रिज्म किसी विशेष घटना के लिए सकारात्मक या नकारात्मक समीक्षाओं की संख्या में परिवर्तन की गतिशीलता को ट्रैक करने में सक्षम है, जबकि बॉट हमलों के परिणामस्वरूप कृत्रिम धोखा देती है।

सांख्यिकीय नमूनों के लिए चुने गए विषयों को मैन्युअल रूप से कॉन्फ़िगर किया गया है। राष्ट्रपति प्रशासन के आंतरिक नीति विभाग से लीक की गई जानकारी का दावा है कि वहां स्थापित टर्मिनल आपको लाइवजर्नल, ट्विटर, यूट्यूब पर सामाजिक नेटवर्क और ब्लॉग पर चर्चा की प्रगति को ट्रैक करने की अनुमति देता है। राष्ट्रपति प्रशासन में एक स्रोत, जिसे फोर्ब्स विश्वसनीय कहता है, का दावा है कि ब्लॉग की निगरानी को बहुत गंभीरता से लिया जाता है, टर्मिनल सीधे कार्यालय के प्रमुख व्याचेस्लाव वोलोडिन के कार्यालय में स्थापित किया गया है।

डेवलपर्स की वेबसाइट बताती है कि प्रिज्म टर्मिनल का उपयोग करके उपयोगकर्ता गतिविधि की निगरानी करना और सोशल मीडिया गतिविधि की डिग्री निर्धारित करना संभव है जिससे राजनीतिक और सामाजिक तनाव में वृद्धि हो सकती है। सिस्टम विरोध और चरमपंथी भावनाओं में वृद्धि, मूल्य स्तर बढ़ाने के बारे में चर्चा, आवास और सांप्रदायिक सेवाओं की समस्याओं, वेतन और पेंशन, भ्रष्टाचार, चिकित्सा देखभाल के स्तर आदि से संबंधित मुद्दों की चर्चा पर नज़र रखता है।

इंटरनेट उपयोगकर्ताओं को चिंतित करने वाले अधिकारियों की यह रुचि, जो हर साल अधिक से अधिक होते जा रहे हैं, निश्चित रूप से प्रसन्न होते हैं। ही रहता है खुला प्रश्नवे प्राप्त जानकारी का सही उपयोग कैसे कर पाएंगे, और देश की आबादी का जो हिस्सा उपयोग करता है, उन समस्याओं को हल करने के लिए अधिकारी कैसे तैयार होंगे सामाजिक नेटवर्क.

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पर स्कूल के पाठ्यक्रमठोस ज्यामिति के दौरान, त्रि-आयामी आकृतियों का अध्ययन आमतौर पर एक साधारण ज्यामितीय शरीर - एक प्रिज्म पॉलीहेड्रॉन से शुरू होता है। इसके आधारों की भूमिका समांतर तलों में पड़े 2 समान बहुभुजों द्वारा निभाई जाती है। एक विशेष मामला एक नियमित चतुष्कोणीय प्रिज्म है। इसके आधार 2 समान नियमित चतुर्भुज होते हैं, जिनकी भुजाएँ लंबवत होती हैं, जिनमें समांतर चतुर्भुज का आकार होता है (या यदि प्रिज्म झुका हुआ नहीं है तो आयत)।

प्रिज्म कैसा दिखता है

एक नियमित चतुर्भुज प्रिज्म एक हेक्साहेड्रोन होता है, जिसके आधार पर 2 वर्ग होते हैं, और पक्ष के चेहरे आयतों द्वारा दर्शाए जाते हैं। इस ज्यामितीय आकृति का दूसरा नाम एक सीधी समानांतर चतुर्भुज है।

एक चतुर्भुज प्रिज्म को दर्शाने वाला चित्र नीचे दिखाया गया है।

आप भी तस्वीर में देख सकते हैं आवश्यक तत्व, जिसमें से यह शामिल है ज्यामितीय शरीर . उन्हें आमतौर पर कहा जाता है:

कभी-कभी ज्यामिति की समस्याओं में आप एक खंड की अवधारणा पा सकते हैं। परिभाषा इस तरह सुनाई देगी: एक खंड एक वॉल्यूमेट्रिक बॉडी के सभी बिंदु हैं जो काटने वाले विमान से संबंधित हैं। खंड लंबवत है (आकृति के किनारों को 90 डिग्री के कोण पर पार करता है)। एक आयताकार प्रिज्म के लिए, 2 किनारों और आधार के विकर्णों से गुजरते हुए एक विकर्ण खंड पर भी विचार किया जाता है (अधिकतम वर्गों का निर्माण किया जा सकता है 2)।

यदि खंड को इस तरह से खींचा जाता है कि काटने वाला विमान या तो आधारों या साइड चेहरों के समानांतर नहीं होता है, तो परिणाम एक छोटा प्रिज्म होता है।

कम किए गए प्रिज्मीय तत्वों को खोजने के लिए विभिन्न अनुपातों और सूत्रों का उपयोग किया जाता है। उनमें से कुछ को प्लानिमेट्री के पाठ्यक्रम से जाना जाता है (उदाहरण के लिए, एक प्रिज्म के आधार के क्षेत्र को खोजने के लिए, यह एक वर्ग के क्षेत्र के लिए सूत्र को याद करने के लिए पर्याप्त है)।

सतह क्षेत्र और मात्रा

सूत्र का उपयोग करके प्रिज्म का आयतन निर्धारित करने के लिए, आपको इसके आधार और ऊँचाई का क्षेत्रफल जानना होगा:

वी = स्प्रिम एच

चूँकि एक नियमित चतुष्फलकीय प्रिज्म का आधार भुजा वाला एक वर्ग है एक,आप सूत्र को अधिक विस्तृत रूप में लिख सकते हैं:

वी = ए² एच

यदि हम एक घन के बारे में बात कर रहे हैं - समान लंबाई, चौड़ाई और ऊंचाई वाला एक नियमित प्रिज्म, तो आयतन की गणना इस प्रकार की जाती है:

यह समझने के लिए कि किसी प्रिज्म का पार्श्व पृष्ठीय क्षेत्रफल कैसे ज्ञात किया जाए, आपको इसके स्वीप की कल्पना करने की आवश्यकता है।

चित्र से यह देखा जा सकता है कि पार्श्व सतह 4 समान आयतों से बनी है। इसके क्षेत्रफल की गणना आधार की परिधि और आकृति की ऊंचाई के गुणनफल के रूप में की जाती है:

साइड = पॉज़ एच

चूँकि एक वर्ग का परिमाप है पी = 4ए,सूत्र रूप लेता है:

साइड = 4a h

घन के लिए:

साइड = 4a²

प्रिज्म के कुल सतह क्षेत्र की गणना करने के लिए, पार्श्व क्षेत्र में 2 आधार क्षेत्र जोड़ें:

सफुल = साइड + 2Sbase

जैसा कि एक चतुर्भुज नियमित प्रिज्म पर लागू होता है, सूत्र का रूप होता है:

पूर्ण = 4a h + 2a²

घन के पृष्ठीय क्षेत्रफल के लिए:

पूर्ण = 6a²

आयतन या सतह क्षेत्र को जानकर, आप एक ज्यामितीय निकाय के अलग-अलग तत्वों की गणना कर सकते हैं।

प्रिज्म तत्व ढूँढना

अक्सर ऐसी समस्याएं होती हैं जिनमें वॉल्यूम दिया जाता है या पार्श्व सतह क्षेत्र का मूल्य ज्ञात होता है, जहां आधार के किनारे की लंबाई या ऊंचाई निर्धारित करना आवश्यक होता है। ऐसे मामलों में, सूत्र प्राप्त किए जा सकते हैं:

  • आधार पक्ष लंबाई: ए = साइड / 4 एच = (वी / एच);
  • ऊंचाई या साइड रिब लंबाई: एच = साइड / 4 ए = वी / ए²;
  • आधार क्षेत्र: स्प्रिम = वी / एच;
  • पार्श्व चेहरा क्षेत्र: पक्ष जीआर = साइड / 4।

यह निर्धारित करने के लिए कि एक विकर्ण खंड का क्षेत्रफल कितना है, आपको विकर्ण की लंबाई और आकृति की ऊंचाई जानने की आवश्यकता है। एक वर्ग के लिए डी = ए√2।इसलिए:

सदियग = आह√2

प्रिज्म के विकर्ण की गणना करने के लिए सूत्र का उपयोग किया जाता है:

dprize = (2a² + h²)

यह समझने के लिए कि उपरोक्त अनुपातों को कैसे लागू किया जाए, आप कुछ सरल कार्यों का अभ्यास और समाधान कर सकते हैं।

समाधान के साथ समस्याओं के उदाहरण

गणित में राज्य की अंतिम परीक्षा में आने वाले कुछ कार्य यहां दिए गए हैं।

अभ्यास 1।

रेत को एक नियमित चतुष्कोणीय प्रिज्म के आकार के डिब्बे में डाला जाता है। इसके स्तर की ऊंचाई 10 सेमी है यदि आप इसे उसी आकार के कंटेनर में ले जाते हैं, लेकिन आधार लंबाई 2 गुना अधिक है तो रेत का स्तर क्या होगा?

इसे निम्नानुसार तर्क दिया जाना चाहिए। पहले और दूसरे कंटेनर में रेत की मात्रा नहीं बदली, यानी उनमें इसकी मात्रा समान है। आप आधार की लंबाई को इस प्रकार परिभाषित कर सकते हैं एक. इस स्थिति में, पहले डिब्बे के लिए पदार्थ का आयतन होगा:

वी₁ = हा² = 10a²

दूसरे बॉक्स के लिए, आधार की लंबाई है 2ए, लेकिन रेत के स्तर की ऊंचाई अज्ञात है:

वी₂ = एच(2ए)² = 4ha²

क्यों कि वी₁ = वी₂, भावों की बराबरी की जा सकती है:

10a² = 4ha²

समीकरण के दोनों पक्षों को a² से कम करने पर, हम प्राप्त करते हैं:

परिणामस्वरूप, रेत का नया स्तर होगा एच = 10 / 4 = 2.5सेमी।

कार्य 2.

ABCDA₁B₁C₁D₁ एक नियमित प्रिज्म है। यह ज्ञात है कि BD = AB₁ = 6√2। शरीर का कुल पृष्ठीय क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए।

यह समझना आसान बनाने के लिए कि कौन से तत्व ज्ञात हैं, आप एक आकृति बना सकते हैं।

चूंकि हम एक नियमित प्रिज्म के बारे में बात कर रहे हैं, हम यह निष्कर्ष निकाल सकते हैं कि आधार 6√2 के विकर्ण के साथ एक वर्ग है। पार्श्व फलक के विकर्ण का मान समान होता है, इसलिए पार्श्व फलक का आकार भी आधार के बराबर वर्ग का होता है। यह पता चला है कि तीनों आयाम - लंबाई, चौड़ाई और ऊंचाई - समान हैं। हम यह निष्कर्ष निकाल सकते हैं कि ABCDA₁B₁C₁D₁ एक घन है।

किसी भी किनारे की लंबाई ज्ञात विकर्ण द्वारा निर्धारित की जाती है:

ए = डी / √2 = 6√2 / √2 = 6

कुल पृष्ठीय क्षेत्रफल घन के सूत्र द्वारा ज्ञात किया जाता है:

पूर्ण = 6a² = 6 6² = 216


कार्य 3.

कमरे की मरम्मत की जा रही है। यह ज्ञात है कि इसकी मंजिल 9 वर्ग मीटर के क्षेत्रफल के साथ एक वर्ग के आकार की है। कमरे की ऊंचाई 2.5 मीटर है यदि 1 वर्ग मीटर की लागत 50 रूबल है तो कमरे की दीवारपैरिंग की सबसे कम लागत क्या है?

चूंकि फर्श और छत वर्ग हैं, अर्थात् नियमित चतुर्भुज हैं, और इसकी दीवारें क्षैतिज सतहों के लंबवत हैं, हम यह निष्कर्ष निकाल सकते हैं कि यह एक नियमित प्रिज्म है। इसकी पार्श्व सतह के क्षेत्र को निर्धारित करना आवश्यक है।

कमरे की लंबाई है ए = √9 = 3एम।

वर्ग वॉलपेपर के साथ कवर किया जाएगा भुजा = 4 3 2.5 = 30 वर्ग मीटर.

इस कमरे के लिए वॉलपेपर की सबसे कम कीमत होगी 50 30 = 1500रूबल।

इस प्रकार, एक आयताकार प्रिज्म के लिए समस्याओं को हल करने के लिए, यह एक वर्ग और एक आयत के क्षेत्रफल और परिधि की गणना करने में सक्षम होने के साथ-साथ आयतन और सतह क्षेत्र को खोजने के लिए सूत्रों को जानने के लिए पर्याप्त है।

घन का क्षेत्रफल कैसे ज्ञात करें















परिभाषा.

यह एक षट्भुज है, जिसके आधार दो समान वर्ग हैं, और पार्श्व फलक समान आयत हैं।

साइड रिबदो आसन्न भुजाओं का उभयनिष्ठ पक्ष है

प्रिज्म ऊँचाईप्रिज्म के आधारों के लंबवत एक रेखा खंड है

प्रिज्म विकर्ण- आधारों के दो शीर्षों को जोड़ने वाला एक खंड जो एक ही फलक से संबंधित नहीं है

विकर्ण विमान- एक तल जो प्रिज्म के विकर्ण और उसके पार्श्व किनारों से होकर गुजरता है

विकर्ण खंड- प्रिज्म और विकर्ण तल के प्रतिच्छेदन की सीमाएं। एक नियमित चतुर्भुज प्रिज्म का विकर्ण खंड एक आयत है

लंबवत खंड (ऑर्थोगोनल सेक्शन)- यह एक प्रिज्म का प्रतिच्छेदन है और इसके किनारे के किनारों पर लंबवत खींचा गया एक विमान है

एक नियमित चतुर्भुज प्रिज्म के तत्व

यह आंकड़ा दो नियमित चतुर्भुज प्रिज्म दिखाता है, जो संबंधित अक्षरों से चिह्नित होते हैं:

  • आधार एबीसीडी और ए 1 बी 1 सी 1 डी 1 एक दूसरे के बराबर और समानांतर हैं
  • भुजा का मुख AA 1 D 1 D, AA 1 B 1 B, BB 1 C 1 C और CC 1 D 1 D है, जिनमें से प्रत्येक एक आयत है
  • पार्श्व सतह - प्रिज्म के सभी पक्षों के क्षेत्रों का योग
  • कुल सतह - सभी आधारों और पार्श्व फलकों के क्षेत्रफलों का योग (पक्ष की सतह और आधारों के क्षेत्रफल का योग)
  • साइड रिब्स एए 1, बीबी 1, सीसी 1 और डीडी 1।
  • विकर्ण बी 1 डी
  • आधार विकर्ण BD
  • विकर्ण खंड बी बी 1 डी 1 डी
  • लंबवत खंड ए 2 बी 2 सी 2 डी 2।

एक नियमित चतुष्कोणीय प्रिज्म के गुण

  • आधार दो बराबर वर्ग हैं
  • आधार एक दूसरे के समानांतर हैं
  • भुजाएँ आयताकार हैं।
  • पार्श्व फलक एक दूसरे के बराबर हैं
  • पार्श्व फलक आधारों के लंबवत होते हैं
  • पार्श्व पसलियां एक दूसरे के समानांतर और बराबर होती हैं
  • लंबवत खंड सभी तरफ की पसलियों के लंबवत और आधारों के समानांतर
  • लंबवत खंड कोण - दाएं
  • एक नियमित चतुर्भुज प्रिज्म का विकर्ण खंड एक आयत है
  • आधारों के समानांतर लंबवत (ऑर्थोगोनल सेक्शन)

एक नियमित चतुष्कोणीय प्रिज्म के लिए सूत्र

समस्याओं के समाधान के निर्देश

विषय पर समस्याओं को हल करते समय " नियमित चतुर्भुज प्रिज्म" इसका आशय है:

सही प्रिज्म- एक प्रिज्म जिसके आधार पर एक नियमित बहुभुज होता है, और किनारे के किनारे आधार के विमानों के लंबवत होते हैं। अर्थात्, एक नियमित चतुष्कोणीय प्रिज्म इसके आधार पर होता है वर्ग. (एक नियमित चतुष्कोणीय प्रिज्म के गुणों के ऊपर देखें) टिप्पणी. यह ज्यामिति (सेक्शन सॉलिड ज्योमेट्री - प्रिज्म) में कार्यों के साथ पाठ का हिस्सा है। यहां ऐसे कार्य हैं जो हल करने में कठिनाइयों का कारण बनते हैं। यदि आपको ज्यामिति में कोई समस्या हल करने की आवश्यकता है, जो यहाँ नहीं है - इसके बारे में फोरम में लिखें. निकालने की क्रिया को इंगित करने के लिए वर्गमूलसमस्या समाधान में प्रतीक का प्रयोग किया जाता है√ .

एक कार्य।

एक नियमित चतुर्भुज प्रिज्म में, आधार क्षेत्र 144 सेमी 2 और ऊंचाई 14 सेमी है। प्रिज्म का विकर्ण और कुल सतह क्षेत्र ज्ञात करें।

समाधान.
एक नियमित चतुर्भुज एक वर्ग है।
तदनुसार, आधार की भुजा बराबर होगी

√144 = 12 सेमी.
जहां से एक नियमित आयताकार प्रिज्म के आधार का विकर्ण बराबर होगा
√(12 2 + 12 2 ) = √288 = 12√2

एक नियमित प्रिज्म का विकर्ण आधार के विकर्ण और प्रिज्म की ऊंचाई के साथ बनता है सही त्रिकोण. तदनुसार, पाइथागोरस प्रमेय के अनुसार, किसी दिए गए नियमित चतुष्कोणीय प्रिज्म का विकर्ण बराबर होगा:
((12√2) 2 + 14 2 ) = 22 सेमी

उत्तर: 22 सेमी

एक कार्य

एक नियमित चतुष्कोणीय प्रिज्म का कुल पृष्ठीय क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए, यदि इसका विकर्ण 5 सेमी और पार्श्व फलक का विकर्ण 4 सेमी है।

समाधान.
चूँकि एक नियमित चतुष्कोणीय प्रिज्म का आधार एक वर्ग है, तो पाइथागोरस प्रमेय द्वारा आधार की भुजा (a के रूप में निरूपित) पाई जाती है:

ए 2 + ए 2 = 5 2
2ए 2 = 25
ए = √12.5

पार्श्व फलक की ऊंचाई (एच के रूप में निरूपित) तब इसके बराबर होगी:

एच 2 + 12.5 \u003d 4 2
एच 2 + 12.5 = 16
ज 2 \u003d 3.5
एच = √3.5

कुल सतह क्षेत्र पार्श्व सतह क्षेत्र के योग के बराबर होगा और आधार क्षेत्र का दोगुना होगा

एस = 2a 2 + 4ah
एस = 25 + 4√12.5 * √3.5
एस = 25 + 4√43.75
एस = 25 + 4√ (175/4)
एस = 25 + 4√ (7*25/4)
एस \u003d 25 + 10√7 51.46 सेमी 2.

उत्तर: 25 + 10√7 51.46 सेमी 2.

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