, टूटी हुई रेखा, आदि:

यदि आप इन सभी आकृतियों को बारीकी से देखें, तो आप इनमें से दो का चयन कर सकते हैं, जो बंद रेखाओं (एक वृत्त और एक त्रिभुज) से बनी हैं। इन आकृतियों में एक प्रकार की सीमा होती है जो अंदर की चीज़ों को बाहर से अलग करती है। अर्थात्, सीमा समतल को दो भागों में विभाजित करती है: आंतरिक और बाहरी क्षेत्रउस आंकड़े के बारे में जिससे वह संदर्भित करता है:

परिमाप

परिमाप एक समतल की बंद सीमा है ज्यामितीय आकृतिअपने आंतरिक क्षेत्र को अपने बाहरी क्षेत्र से अलग करना।

किसी भी बंद ज्यामितीय आकृति का परिमाप होता है:

आकृति में, परिधि को एक लाल रेखा से चिह्नित किया गया है। ध्यान दें कि एक वृत्त की परिधि को अक्सर लंबाई के रूप में संदर्भित किया जाता है।

परिधि को लंबाई की इकाइयों में मापा जाता है: मिमी, सेमी, डीएम, मी, किमी।

सभी बहुभुजों के लिए, परिमाप ज्ञात करना सभी भुजाओं की लंबाई को जोड़ने के लिए घटाया जाता है, अर्थात बहुभुज का परिमाप हमेशा होता है योग के बराबर हैइसके पक्षों की लंबाई। परिधि की गणना करते समय, इसे अक्सर बड़े लैटिन अक्षर P द्वारा दर्शाया जाता है:

वर्ग

क्षेत्रफल समतल का वह भाग है जिस पर एक बंद समतल ज्यामितीय आकृति रहती है।

किसी भी समतल बंद ज्यामितीय आकृति का एक निश्चित क्षेत्रफल होता है। रेखाचित्रों में ज्यामितीय आकृतियों का क्षेत्रफल आंतरिक क्षेत्र होता है, अर्थात् समतल का वह भाग जो परिधि के अंदर होता है।

माप क्षेत्रआंकड़े - इसका मतलब यह पता लगाना है कि माप की एक इकाई के रूप में ली गई किसी दिए गए आंकड़े में कितनी बार एक और आंकड़ा रखा गया है। आमतौर पर, एक वर्ग को क्षेत्र माप की एक इकाई के रूप में लिया जाता है, जिसमें पक्ष लंबाई माप की इकाई के बराबर होता है: मिलीमीटर, सेंटीमीटर, मीटर, आदि।

आंकड़ा एक वर्ग सेंटीमीटर दिखाता है। - एक वर्ग जिसकी प्रत्येक भुजा 1 सेमी लंबी हो:

क्षेत्रफल में मापा जाता है वर्ग इकाइयाँआह मापने की लंबाई। क्षेत्र इकाइयों में शामिल हैं: मिमी 2, सेमी 2, मी 2, किमी 2, आदि।

वर्ग इकाई रूपांतरण तालिका

	मिमी 2	सेमी 2	डीएम 2	मी 2	एआर (बुनाई)	हेक्टेयर (हेक्टेयर)	किमी 2
मिमी 2	1 मिमी 2	0.01 सेमी2	10 -4 डीएम 2	10 -6 मीटर 2	10 -8 अर	10 -10 हेक्टेयर	10 -12 किमी 2
सेमी 2	100 मिमी 2	1 सेमी 2	0.01 डीएम 2	10 -4 मीटर 2	10 -6 हैं	10 -8 हेक्टेयर	10 -10 किमी 2
डीएम 2	10 4 मिमी 2	100 सेमी 2	1 डीएम 2	0.01 एम2	10 -4 एआर	10 -6 हेक्टेयर	10 -8 किमी 2
मी 2	10 6 मिमी 2	10 4 सेमी 2	100 डीएम 2	1 मीटर 2	0.01 हैं	10 -4 हेक्टेयर	10 -6 किमी 2
एआर	10 8 मिमी 2	10 6 सेमी 2	10 4 डीएम 2	100 एम2	1 हैं	0.01 हेक्टेयर	10 -4 किमी 2
हा	10 10 मिमी 2	10 8 सेमी 2	10 6 डीएम 2	10 4 मी 2	100 हैं	1 हेक्टेयर	0.01 किमी2
किमी 2	10 12 मिमी 2	10 10 सेमी 2	10 8 डीएम 2	10 6 मी 2	10 4 अर	100 हेक्टेयर	1 किमी 2

10 4 = 10 000	10 -4 = 0,000 1
10 6 = 1 000 000	10 -6 = 0,000 001
10 8 = 100 000 000	10 -8 = 0,000 000 01
10 10 = 10 000 000 000	10 -10 = 0,000 000 000 1
10 12 = 1 000 000 000 000	10 -12 = 0,000 000 000 001

परिधि का पता लगाने का ज्ञान, छात्रों को प्राप्त होता है प्राथमिक स्कूल. फिर इस जानकारी का लगातार गणित और ज्यामिति के पाठ्यक्रम में उपयोग किया जाता है।

सभी आंकड़ों के लिए सामान्य सिद्धांत

पार्टियों को आमतौर पर लैटिन अक्षरों में दर्शाया जाता है। इसके अलावा, उन्हें खंडों के रूप में नामित किया जा सकता है। फिर आपको प्रत्येक पक्ष के लिए दो अक्षरों की आवश्यकता होगी और बड़े अक्षरों में लिखे जाएंगे। या एक अक्षर के साथ पदनाम दर्ज करें, जो अनिवार्य रूप से छोटा होगा।
अक्षरों को हमेशा वर्णानुक्रम में चुना जाता है। एक त्रिभुज के लिए, वे पहले तीन होंगे। षट्भुज में उनमें से 6 होंगे - ए से एफ तक। यह सूत्रों को दर्ज करने के लिए उपयोगी है।

अब परिधि कैसे ज्ञात करें के बारे में। यह आकृति के सभी पक्षों की लंबाई का योग है। पदों की संख्या इसके प्रकार पर निर्भर करती है। परिधि को लैटिन अक्षर P द्वारा दर्शाया गया है। माप की इकाइयाँ वही हैं जो भुजाओं के लिए दी गई हैं।

विभिन्न आकृतियों के लिए परिधि सूत्र

त्रिभुज के लिए: P \u003d a + b + c। यदि यह समद्विबाहु है, तो सूत्र परिवर्तित होता है: P \u003d 2a + c। यदि त्रिभुज समबाहु है तो उसका परिमाप कैसे ज्ञात करें? इससे मदद मिलेगी: पी \u003d 3 ए।

एक मनमाना चतुर्भुज के लिए: P=a+b+c+d. इसका विशेष मामला वर्ग है, परिधि सूत्र: पी = 4 ए। एक आयत भी है, तो निम्नलिखित समानता की आवश्यकता है: पी \u003d 2 (ए + बी)।

क्या होगा यदि आप त्रिभुज के एक या अधिक पक्षों की लंबाई नहीं जानते हैं?

कोसाइन प्रमेय का उपयोग करें यदि डेटा के बीच दो पक्ष हैं और उनके बीच का कोण है, जिसे अक्षर ए द्वारा दर्शाया गया है। फिर, परिधि को खोजने से पहले, आपको तीसरे पक्ष की गणना करनी होगी। इसके लिए निम्न सूत्र उपयोगी है: c² \u003d a² + b² - 2 av cos (A)।

इस प्रमेय का एक विशेष मामला एक समकोण त्रिभुज के लिए पाइथागोरस द्वारा तैयार किया गया है। इसमें कोसाइन का मान होता है समकोणहो जाता है शून्य, जिसका अर्थ है कि अंतिम शब्द बस गायब हो जाता है।

ऐसी परिस्थितियाँ होती हैं जब आप यह पता लगा सकते हैं कि एक तरफ त्रिभुज का परिमाप कैसे ज्ञात किया जाए। लेकिन साथ ही, आकृति के कोण भी ज्ञात होते हैं। यहां साइन प्रमेय बचाव के लिए आता है, जब पक्षों की लंबाई और संबंधित विपरीत कोणों की ज्या का अनुपात बराबर होता है।

ऐसी स्थिति में जहां किसी आकृति का परिमाप क्षेत्रफल के आधार पर ज्ञात करने की आवश्यकता होती है, अन्य सूत्र काम में आएंगे। उदाहरण के लिए, यदि अंकित वृत्त की त्रिज्या ज्ञात है, तो त्रिभुज की परिधि कैसे ज्ञात करें, इस प्रश्न में, निम्न सूत्र उपयोगी है: S \u003d p * r, यहाँ p अर्ध-परिधि है। इसे इस सूत्र से प्राप्त किया जाना चाहिए और दो से गुणा किया जाना चाहिए।

कार्य उदाहरण

पहली शर्त।एक त्रिभुज का परिमाप ज्ञात कीजिए जिसकी भुजाएँ 3, 4 और 5 सेमी हैं।
समाधान।आपको ऊपर बताई गई समानता का उपयोग करने की आवश्यकता है, और बस डेटा को मूल्य कार्य में इसमें स्थानापन्न करें। गणना आसान है, वे संख्या 12 सेमी तक ले जाते हैं।
उत्तर।एक त्रिभुज का परिमाप 12 सेमी.

दूसरी शर्त।त्रिभुज की एक भुजा 10 सेमी है यह ज्ञात है कि दूसरा पहले से 2 सेमी बड़ा है, और तीसरा पहले से 1.5 गुना बड़ा है। इसकी परिधि की गणना करना आवश्यक है।
समाधान. यह पता लगाने के लिए, आपको दो पक्षों को गिनना होगा। दूसरे को 10 और 2 के योग के रूप में परिभाषित किया गया है, तीसरा 10 और 1.5 के गुणनफल के बराबर है। फिर यह केवल तीन मानों का योग गिनने के लिए रहता है: 10, 12 और 15। परिणाम 37 सेमी होगा।
उत्तर।परिधि 37 सेमी है।

तीसरी शर्त।एक आयत और एक वर्ग है। आयत की एक भुजा 4 सेमी और दूसरी 3 सेमी लंबी है। वर्ग की भुजा के मान की गणना करना आवश्यक है यदि इसका परिमाप आयत के परिमाप से 6 सेमी कम है।
समाधान।आयत की दूसरी भुजा 7 है। इसे जानकर इसकी परिधि की गणना करना आसान है। गणना 22 सेमी देती है।
वर्ग की भुजा ज्ञात करने के लिए, आपको पहले आयत के परिमाप से 6 घटाना होगा, और फिर परिणामी संख्या को 4 से भाग देना होगा। परिणामस्वरूप, हमारे पास संख्या 4 है।
उत्तर।वर्ग की भुजा 4 सेमी.

निश्चित रूप से हम में से प्रत्येक ने परिधि के रूप में ज्यामिति के ऐसे महत्वपूर्ण घटक को स्कूल में सीखा। कई समस्याओं को हल करने के लिए परिधि का पता लगाना आवश्यक है। हमारा लेख आपको बताएगा कि परिधि कैसे खोजें।

यह याद रखने योग्य है कि किसी भी आकृति का परिमाप लगभग हमेशा उसकी भुजाओं का योग होता है। आइए कुछ भिन्न ज्यामितीय आकृतियों को देखें।

1. एक आयत एक चतुर्भुज होता है जिसकी समानांतर भुजाएँ युग्मों में बराबर होती हैं। यदि एक भुजा X है और दूसरी Y है, तो हमें इस आकृति का परिमाप ज्ञात करने के लिए निम्न सूत्र प्राप्त होता है:

   पी = 2 (एक्स + वाई) = एक्स + वाई + एक्स + वाई = 2 एक्स + 2 वाई।

   समस्या को हल करने का एक उदाहरण:

   मान लीजिए कि भुजा X = 5 सेमी, भुजा Y = 10 सेमी। तो, इन मानों को हमारे सूत्र में प्रतिस्थापित करने पर, हम प्राप्त करते हैं - P = 2*5 सेमी + 2* 10cm = 30 सेमी।

2. एक समलम्ब चतुर्भुज एक चतुर्भुज है जिसकी दो विपरीत भुजाएँ समानांतर हैं लेकिन समान नहीं हैं। एक समलम्ब चतुर्भुज का परिमाप उसकी चारों भुजाओं का योग होता है:

   P = X+Y+Z+W, जहाँ X, Y, Z, W आकृति की भुजाएँ हैं।

   समस्या को हल करने का एक उदाहरण:

   मान लीजिए कि भुजा X = 5 सेमी, भुजा Y = 10 सेमी, भुजा Z = 8 सेमी, भुजा W = 20 सेमी। तो, इन मानों को हमारे सूत्र में प्रतिस्थापित करने पर, हम प्राप्त करते हैं - P = 5 सेमी + 10 सेमी + 8 सेमी + 20 सेमी = 43 सेमी।

3. एक वृत्त की परिधि (परिधि) की गणना सूत्र का उपयोग करके की जा सकती है:

   P = 2rπ = dπ, जहाँ r वृत्त की त्रिज्या है, d वृत्त का व्यास है।

   समस्या को हल करने का एक उदाहरण:

   मान लीजिए कि हमारे वृत्त की त्रिज्या r 5 सेमी है, तो व्यास d 2 ​​* 5 सेमी = 10 सेमी होगा। ज्ञात है कि π = 3.14। तो, इन मानों को हमारे सूत्र में प्रतिस्थापित करने पर, हम प्राप्त करते हैं - P = 2 * 5 सेमी * 3.14 = 31.4 सेमी।

4. यदि आपको किसी त्रिभुज की परिधि ज्ञात करने की आवश्यकता है, तो ऐसा करते समय आपको कई समस्याओं का सामना करना पड़ सकता है, क्योंकि त्रिभुजों के आकार बहुत भिन्न हो सकते हैं। उदाहरण के लिए, न्यून, अधिक, समद्विबाहु, सम या समबाहु त्रिभुज हैं। यद्यपि सभी प्रकार के त्रिभुजों का सूत्र है:

   P = X+Y+Z, जहाँ X, Y, Z आकृति की भुजाएँ हैं।

   समस्या यह है कि इस आकृति का परिमाप ज्ञात करने की अनेक समस्याओं को हल करते समय आपको सदैव सभी भुजाओं की लंबाई ज्ञात नहीं होगी। उदाहरण के लिए, किसी एक भुजा की लंबाई के बारे में जानकारी के बजाय, आपके पास कोण की डिग्री या किसी विशेष त्रिभुज की ऊंचाई की लंबाई हो सकती है। यह कार्य को महत्वपूर्ण रूप से जटिल करेगा, लेकिन इसके समाधान को अवास्तविक नहीं बनाएगा। त्रिभुज की परिधि कैसे ज्ञात करें, चाहे वह किसी भी आकार का हो, आप "" पढ़ सकते हैं।

5. समचतुर्भुज जैसी आकृति का परिमाप उसी प्रकार पाया जाता है जैसे वर्ग का परिमाप, क्योंकि समचतुर्भुज एक समांतर चतुर्भुज होता है, जिसमें समचतुर्भुज होता है। बराबर पक्ष. आप हमारी वेबसाइट "" पर लेख पढ़कर पता लगा सकते हैं कि एक वर्ग की परिधि का पता कैसे लगाया जाए।

   अब आप जानते हैं कि आपको जिस ज्यामितीय आकृति की आवश्यकता है, उसकी परिधि की भुजा कैसे ज्ञात करें!

अगले में परीक्षण कार्यआकृति में दिखाई गई आकृति का परिमाप ज्ञात कीजिए।

किसी आकृति की परिधि ज्ञात करने के कई तरीके हैं। आप मूल आकार को इस तरह से बदल सकते हैं कि नए आकार की परिधि की गणना आसानी से की जा सके (उदाहरण के लिए, आयत में परिवर्तन)।

एक अन्य उपाय यह है कि आकृति की परिधि को सीधे देखें (इसके सभी पक्षों की लंबाई के योग के रूप में)। लेकिन इस मामले में, केवल ड्राइंग पर भरोसा नहीं किया जा सकता है, बल्कि समस्या के डेटा के आधार पर खंडों की लंबाई का पता लगाया जा सकता है।

मैं आपको चेतावनी देना चाहता हूं: कार्यों में से एक में, प्रस्तावित उत्तरों में से, मुझे वह नहीं मिला जो मेरे लिए निकला।

सी) .

आइए छोटे आयतों के किनारों को आंतरिक क्षेत्र से बाहरी क्षेत्र में ले जाएं। नतीजतन, बड़ा आयत बंद हो जाता है। आयत का परिमाप ज्ञात करने का सूत्र

इस मामले में, a=9a, b=3a+a=4a. अत: P=2(9a+4a)=26a. बड़े आयत की परिधि में हम चार खंडों की लंबाई का योग जोड़ते हैं, जिनमें से प्रत्येक 3a के बराबर होता है। परिणामस्वरूप, P=26a+4∙3a= 38a .

सी) .

छोटे आयतों के आंतरिक पक्षों को बाहरी क्षेत्र में स्थानांतरित करने के बाद, हमें एक बड़ा आयत मिलता है, जिसकी परिधि P=2(10x+6x)=32x है, और चार खंड, x लंबाई के दो, 2x लंबाई के दो खंड हैं।

कुल, पी=32x+2∙2x+2∙x= 38x .

?) .

आइए 6 क्षैतिज "कदम" को अंदर से बाहर की ओर ले जाएं। परिणामी बड़े आयत का परिमाप P=2(6y+8y)=28y है। यह आयत 4y+6∙y=10y के अंदर के खंडों की लंबाई का योग ज्ञात करना बाकी है। अत: आकृति का परिमाप P=28y+10y= . है 38वर्ष .

डी) .

आइए ऊर्ध्वाधर खंडों को आकृति के आंतरिक क्षेत्र से बाईं ओर, बाहरी क्षेत्र में ले जाएं। एक बड़ा आयत पाने के लिए, 4x लंबाई में से किसी एक को निचले बाएँ कोने में ले जाएँ।

हम मूल आकृति की परिधि को इस बड़े आयत की परिधि और शेष तीन खंडों की लंबाई के योग के रूप में पाते हैं P=2(10x+8x)+6x+4x+2x= 48x .

इ) .

छोटे आयतों की भीतरी भुजाओं को बाहरी क्षेत्र में ले जाने पर हमें एक बड़ा वर्ग प्राप्त होता है। इसका परिमाप P=4∙10x=40x है। मूल आकृति की परिधि प्राप्त करने के लिए, आपको वर्ग की परिधि में आठ खंडों की लंबाई, प्रत्येक 3x लंबे, का योग जोड़ना होगा। कुल, पी=40x+8∙3x= 64x .

बी) .

आइए सभी क्षैतिज "चरणों" और ऊर्ध्वाधर ऊपरी खंडों को बाहरी क्षेत्र में ले जाएं। परिणामी आयत का परिमाप P=2(7y+4y)=22y है। मूल आकृति की परिधि को खोजने के लिए, आपको आयत की परिधि में चार खंडों की लंबाई का योग जोड़ना होगा, प्रत्येक की लंबाई y: P=22y+4∙y= 26वर्ष .

डी) .

सभी क्षैतिज रेखाओं को आंतरिक क्षेत्र से बाहरी क्षेत्र में ले जाएँ और दो ऊर्ध्वाधर बाहरी रेखाओं को क्रमशः बाएँ और दाएँ कोनों में, z को बाएँ और दाएँ घुमाएँ। परिणामस्वरूप, हमें एक बड़ा आयत मिलता है, जिसका परिमाप P=2(11z+3z)=28z है।

मूल आकृति का परिमाप बड़े आयत के परिमाप के योग और z में छह खंडों की लंबाई के योग के बराबर है: P=28z+6∙z= 34z .

बी) .

समाधान पूरी तरह से पिछले उदाहरण के समाधान के समान है। आकृति को बदलने के बाद, हम बड़े आयत का परिमाप पाते हैं:

पी=2(5z+3z)=16z। आयत की परिधि में हम शेष छह खंडों की लंबाई का योग जोड़ते हैं, जिनमें से प्रत्येक z के बराबर है: P=16z+6∙z= 22z .

ज्यामिति, अगर मैं गलत नहीं हूँ, मेरे समय में पाँचवीं कक्षा से अध्ययन किया गया था और परिधि प्रमुख अवधारणाओं में से एक थी और है। इसलिए, परिधि सभी पक्षों की लंबाई का योग है (लैटिन अक्षर P द्वारा निरूपित). सामान्य तौर पर, इस शब्द की व्याख्या अलग-अलग तरीकों से की जाती है, उदाहरण के लिए,

• आकृति की सीमा की कुल लंबाई,
• इसके सभी पक्षों की लंबाई,
• इसके चेहरों की लंबाई का योग,
• बाउंडिंग लाइन की लंबाई,
• बहुभुज के सभी पक्षों की लंबाई का योग

परिधि निर्धारित करने के लिए विभिन्न आकृतियों के अपने सूत्र होते हैं। स्वयं अर्थ को समझने के लिए, मैं कुछ सरल सूत्रों को स्वतंत्र रूप से निकालने का प्रस्ताव करता हूं:

1. एक वर्ग के लिए
2. एक आयत के लिए
3. समांतर चतुर्भुज के लिए
4. घन के लिए
5. एक बॉक्स के लिए

एक वर्ग का परिमाप

उदाहरण के लिए, आइए सबसे सरल - एक वर्ग की परिधि लें।

एक वर्ग की सभी भुजाएँ समान होती हैं। चलो एक पक्ष को "ए" (साथ ही अन्य तीन) कहा जाता है, फिर

पी = ए + ए + ए + ए

या अधिक कॉम्पैक्ट नोटेशन

एक आयत का परिमाप

आइए कार्य को जटिल करें और एक आयत लें। इस स्थिति में, यह कहना संभव नहीं है कि सभी भुजाएँ समान हैं, इसलिए आयत की भुजाओं की लंबाई a और b के बराबर होने दें।

तब सूत्र इस तरह दिखेगा:

पी = ए + बी + ए + बी

समांतर चतुर्भुज परिधि

एक समान स्थिति समांतर चतुर्भुज के साथ होगी (आयत की परिधि देखें)

घन परिधि

अगर हम त्रि-आयामी आकृति के साथ काम कर रहे हैं तो क्या करें? उदाहरण के लिए, एक घन लें। एक घन की 12 भुजाएँ होती हैं और वे सभी बराबर होती हैं। तदनुसार, घन की परिधि की गणना निम्नानुसार की जा सकती है:

बॉक्स की परिधि

खैर, सामग्री को ठीक करने के लिए, हम समानांतर चतुर्भुज की परिधि की गणना करते हैं। यहां थोड़ा सोचने की जरूरत है। चलो इसे एक साथ करते हैं। जैसा कि हम जानते हैं, घनाभ एक आकृति है जिसकी भुजाएँ आयत होती हैं। प्रत्येक समानांतर चतुर्भुज के दो आधार होते हैं। आइए आधारों में से एक लें और इसके पक्षों को देखें - उनकी लंबाई ए और बी है। तदनुसार, आधार का परिमाप P = 2a + 2b है। तब दोनों आधारों का परिमाप है

(2a + 2b) * 2 = 4a + 4b

लेकिन हमारे पास "सी" पक्ष भी है। तो समानांतर चतुर्भुज की परिधि की गणना करने का सूत्र इस तरह दिखेगा:

पी = 4ए + 4बी + 4सी

जैसा कि आप ऊपर दिए गए उदाहरणों से देख सकते हैं, किसी आकृति की परिधि को निर्धारित करने के लिए केवल प्रत्येक भुजा की लंबाई ज्ञात करना है, और फिर उन्हें जोड़ना है।

अंत में, मैं यह नोट करना चाहूंगा कि प्रत्येक आकृति का परिमाप नहीं होता है। उदाहरण के लिए, एक गोले की कोई परिधि नहीं होती है।