Ще анализираме два вида системи за решаване на уравнения:
1. Решение на системата чрез метода на заместване.
2. Решение на системата чрез почленно събиране (изваждане) на уравненията на системата.
За да се реши системата от уравнения метод на заместванетрябва да следвате прост алгоритъм:
1. Изразяваме. От всяко уравнение ние изразяваме една променлива.
2. Заместник. Заместваме получената стойност в друго уравнение вместо изразената променлива.
3. Решаваме полученото уравнение с една променлива. Ние намираме решение на системата.
Разрешавам система чрез почленно събиране (изваждане)трябва:
1. Изберете променлива, за която ще направим същите коефициенти.
2. Събираме или изваждаме уравненията, като в резултат получаваме уравнение с една променлива.
3. Решаваме полученото линейно уравнение. Ние намираме решение на системата.
Решението на системата са пресечните точки на графиките на функцията.
Нека разгледаме подробно решението на системите, използвайки примери.
Пример #1:
Нека решим по метода на заместването
Решаване на системата от уравнения чрез метода на заместване2x+5y=1 (1 уравнение)
x-10y=3 (2-ро уравнение)
1. Експрес
Вижда се, че във второто уравнение има променлива x с коефициент 1, следователно се оказва, че най-лесно е да изразим променливата x от второто уравнение.
x=3+10y
2. След като изразим, заместваме 3 + 10y в първото уравнение вместо променливата x.
2(3+10y)+5y=1
3. Решаваме полученото уравнение с една променлива.
2(3+10y)+5y=1 (отворени скоби)
6+20y+5y=1
25y=1-6
25y=-5 |: (25)
y=-5:25
y=-0,2
Решението на системата от уравнения са пресечните точки на графиките, следователно трябва да намерим x и y, тъй като пресечната точка се състои от x и y. Нека намерим x, в първия параграф, където изразихме, заместваме y там.
x=3+10y
x=3+10*(-0,2)=1
Обичайно е да пишем точки на първо място, пишем променливата x, а на второ място променливата y.
Отговор: (1; -0,2)
Пример #2:
Нека решим чрез събиране (изваждане) член по член.
Решаване на система от уравнения по метода на събиране3x-2y=1 (1 уравнение)
2x-3y=-10 (2-ро уравнение)
1. Изберете променлива, да кажем, че изберем x. В първото уравнение променливата x има коефициент 3, във второто - 2. Трябва да направим коефициентите еднакви, за това имаме право да умножаваме уравненията или да разделяме на произволно число. Умножете първото уравнение по 2 и второто по 3, за да получите общ коефициент 6.
3x-2y=1 |*2
6x-4y=2
2x-3y=-10 |*3
6x-9y=-30
2. От първото уравнение извадете второто, за да се отървете от променливата x. Решете линейното уравнение.
__6x-4y=2
5y=32 | :5
y=6,4
3. Намерете x. Заместваме намереното у във всяко от уравненията, да кажем в първото уравнение.
3x-2y=1
3x-2*6,4=1
3x-12,8=1
3x=1+12,8
3x=13,8 |:3
х=4,6
Точката на пресичане ще бъде x=4.6; y=6,4
Отговор: (4,6; 6,4)
Искате ли да се подготвите за изпити безплатно? Учител онлайн е свободен. Без майтап.
Предлаганият на вашето внимание безплатен калкулатор разполага с богат арсенал от възможности за математически изчисления. Тя ви позволява да използвате онлайн калкулатора в различни полетадейности: образователен, професионалени търговски. Разбира се, използването на онлайн калкулатор е особено популярно студентии ученици, това ги прави много по-лесни да извършват различни изчисления.
Въпреки това, калкулаторът може да бъде полезен инструмент в някои сфери на бизнеса и за хора от различни професии. Разбира се, необходимостта от използване на калкулатор в бизнеса или работата се определя преди всичко от вида на самата дейност. Ако бизнесът и професията са свързани с постоянни изчисления и изчисления, тогава си струва да изпробвате електронен калкулатор и да оцените степента на неговата полезност за конкретен бизнес.
Този онлайн калкулатор може
- Правилно изпълнение на стандартни математически функции, написани в един ред като - 12*3-(7/2) и може да обработва числа, по-големи от тези, които броим огромни числа в онлайн калкулатор. Дори не знаем как да извикаме правилно такова число ( има 34 символа и това изобщо не е ограничението).
- С изключение допирателна, косинус, синуситеи други стандартни функции - калкулаторът поддържа изчислителни операции дъгова допирателна, дъгова допирателнаи други.
- Предлага се в арсенала логаритми, факториелии други страхотни функции
- Този онлайн калкулатор може да прави диаграми!!!
За начертаване на графики услугата използва специален бутон (начертава се сива графика) или буквално представяне на тази функция (График). За да изградите графика в онлайн калкулатор, просто напишете функция: plot(tan(x)),x=-360..360.
Взехме най-простата графика за тангенса и след десетичната запетая посочихме диапазона на променливата X от -360 до 360.
Можете да изградите абсолютно всяка функция с произволен брой променливи, например: графика (cos(x)/3z, x=-180..360,z=4)Или дори по-сложно, отколкото можете да си представите. Обръщаме внимание на поведението на променливата X - интервалът от и до се обозначава с две точки.
Единственият отрицателен (въпреки че е трудно да го наречем отрицателен) от това онлайн калкулатортова е, че той не знае как да строи сфери и други триизмерни фигури - само равнина.
Как се работи с математическия калкулатор
1. Дисплеят (екранът на калкулатора) показва въведения израз и резултата от неговото изчисление с обикновени знаци, както пишем на хартия. Това поле е просто за преглед на текущата операция. Записът се показва на дисплея, докато въвеждате математически израз в реда за въвеждане.
2. Полето за въвеждане на израз е предназначено за запис на израза, който ще се изчислява. Тук трябва да се отбележи, че математическите символи, използвани в компютърните програми, не винаги съвпадат с тези, които обикновено използваме на хартия. В прегледа на всяка функция на калкулатора ще намерите правилното обозначение за конкретна операция и примери за изчисления в калкулатора. На тази страница по-долу има списък с всички възможни операции в калкулатора, като също така се посочва правилното им изписване.
3. Лента с инструменти - това са бутони на калкулатора, които заместват ръчното въвеждане на математически символи, обозначаващи съответната операция. Някои бутони на калкулатора (допълнителни функции, конвертор на единици, решение на матрици и уравнения, графики) допълват лентата на задачите с нови полета, където се въвеждат данни за конкретно изчисление. Полето "История" съдържа примери за писане на математически изрази, както и вашите последни шест записа.
Имайте предвид, че при натискане на бутоните за извикване на допълнителни функции, преобразувател на стойности, решаване на матрици и уравнения, чертане на графики, целият панел на калкулатора се измества нагоре, покривайки част от дисплея. Попълнете задължителните полета и натиснете клавиша "I" (маркиран в червено на фигурата), за да видите дисплея в пълен размер.
4. Цифровата клавиатура съдържа цифри и аритметични знаци. Бутонът "C" изтрива целия запис в полето за въвеждане на израз. За да изтриете символи един по един, трябва да използвате стрелката вдясно от реда за въвеждане.
Опитайте се винаги да затваряте скоби в края на израза. За повечето операции това не е критично, онлайн калкулаторът ще изчисли всичко правилно. В някои случаи обаче са възможни грешки. Например, когато се повдига на дробна степен, незатворените скоби ще накарат знаменателят на дробта в експонента да премине към знаменателя на основата. На дисплея затварящата скоба е показана в бледо сиво, тя трябва да бъде затворена, когато записът приключи.
| Ключ | Символ | Операция |
|---|---|---|
| пи | пи | постоянно пи |
| д | д | Число на Ойлер |
| % | % | Процент |
| () | () | Отваряне/затваряне на скоби |
| , | , | Запетая |
| грях | грях(?) | Синус на ъгъл |
| cos | защото (?) | Косинус |
| тен | тен(y) | Допирателна |
| sinh | sinh() | Хиперболичен синус |
| пари в брой | cosh() | Хиперболичен косинус |
| танх | tanh () | Хиперболичен тангенс |
| грях-1 | asin() | Обратен синус |
| cos-1 | acos() | обратен косинус |
| тен-1 | тен() | обратна допирателна |
| sinh-1 | asinh() | Обратен хиперболичен синус |
| кош-1 | acosh() | Обратен хиперболичен косинус |
| танх-1 | atanh() | Обратен хиперболичен тангенс |
| x2 | ^2 | Квадратура |
| х 3 | ^3 | куб |
| x y | ^ | степенуване |
| 10 х | 10^() | Степенене при основа 10 |
| пр | exp() | Степенене на числото на Ойлер |
| vx | sqrt(x) | Корен квадратен |
| 3vx | sqrt3(x) | Корен от 3 степен |
| yvx | квадрат (x,y) | извличане на корени |
| дневник 2 x | log2(x) | двоичен логаритъм |
| дневник | log(x) | Десетичен логаритъм |
| вътре | log(x) | натурален логаритъм |
| дневник y x | log(x,y) | Логаритъм |
| I / II | Минимизиране/извикване на допълнителни функции | |
| мерна единица | Преобразувател на единици | |
| матрица | матрици | |
| решавам | Уравнения и системи от уравнения | |
| Парцелиране | ||
| Допълнителни функции (обаждане с клавиш II) | ||
| мод | мод | Деление с остатък |
| ! | ! | Факториал |
| i/j | i/j | имагинерна единица |
| Re | Re() | Избор на цялата реална част |
| Аз съм | Аз съм() | Изключване на реалната част |
| |x| | коремни мускули() | Абсолютната стойност на число |
| Арг | arg() | Аргумент на функцията |
| nCr | ncr() | Биномен коефициент |
| gcd | gcd() | GCD |
| lcm | lcm() | НОК |
| сума | сума () | Сумата на всички решения |
| фак | факторизиране() | Разлагане на прости множители |
| диф | разл.() | Диференциация |
| степен | степени | |
| Рад | радиани | |
I. брадва 2 \u003d 0 – непълна квадратно уравнение (b=0, c=0 ). Решение: x=0. Отговор: 0.
Решете уравнения.
2x·(x+3)=6x-x 2 .
Решение.Разширете скобите чрез умножение 2xза всеки термин в скоби:
2x2 +6x=6x-x2 ; преместване на условията от дясната към лявата страна:
2x2 +6x-6x+x2=0; Ето подобни термини:
3x 2 =0, следователно x=0.
Отговор: 0.
II. ax2+bx=0 –непълна квадратно уравнение (s=0 ). Решение: x (ax+b)=0 → x 1 =0 или ax+b=0 → x 2 =-b/a. Отговор: 0; -b/a.
5x2 -26x=0.
Решение.Извадете общия множител хза скоби:
x(5x-26)=0; всеки фактор може да бъде нула:
х=0или 5x-26=0→ 5x=26, разделете двете страни на равенството на 5 и получаваме: x \u003d 5.2.
Отговор: 0; 5,2.
Пример 3 64x+4x2=0.
Решение.Извадете общия множител 4xза скоби:
4x(16+x)=0. Имаме три фактора, 4≠0, следователно, или х=0или 16+x=0. От последното равенство получаваме x=-16.
Отговор: -16; 0.
Пример 4(x-3) 2 +5x=9.
Решение.Прилагайки формулата за квадрат на разликата на два израза, отворете скобите:
x 2 -6x+9+5x=9; преобразувайте във формата: x 2 -6x+9+5x-9=0; Ето подобни термини:
х2-х=0; издържам хизвън скобите, получаваме: x (x-1)=0. От тук или х=0или х-1=0→ x=1.
Отговор: 0; 1.
III. ax2+c=0 –непълна квадратно уравнение (b=0 ); Решение: ax 2 \u003d -c → x 2 \u003d -c / a.
Ако (-c/a)<0 , тогава няма реални корени. Ако (-s/a)>0
Пример 5х 2 -49=0.
Решение.
x 2 \u003d 49, от тук x=±7. Отговор:-7; 7.
Пример 6 9x2-4=0.
Решение.
Често се изисква да се намери сумата от квадрати (x 1 2 + x 2 2) или сумата от кубове (x 1 3 + x 2 3) на корените на квадратно уравнение, по-рядко - сумата от реципрочните стойности на квадратите на корените или сумата на аритметиката квадратни корениот корените на квадратното уравнение:
Теоремата на Vieta може да помогне с това:
x 2 +px+q=0
x 1 + x 2 \u003d-p; x 1 ∙ x 2 \u003d q.
Експрес през стри р:
1) сумата от квадратите на корените на уравнението x2+px+q=0;
2) сумата от кубовете на корените на уравнението x2+px+q=0.
Решение.
1) Изразяване x 1 2 + x 2 2получено чрез повдигане на квадрат на двете страни на уравнението x 1 + x 2 \u003d-p;
(x 1 + x 2) 2 \u003d (-p) 2; отворете скобите: x 1 2 +2x 1 x 2 + x 2 2 =p 2; изразяваме желаната сума: x 1 2 +x 2 2 \u003d p 2 -2x 1 x 2 \u003d p 2 -2q. Имаме полезно уравнение: x 1 2 + x 2 2 \u003d p 2 -2q.
2) Изразяване x 1 3 + x 2 3представят по формулата на сумата от кубове във формата:
(x 1 3 +x 2 3)=(x 1 +x 2)(x 1 2 -x 1 x 2 +x 2 2)=-p (p 2 -2q-q)=-p (p 2 -3q ).
Друго полезно уравнение: x 1 3 + x 2 3 \u003d-p (p 2 -3q).
Примери.
3) x 2 -3x-4=0.Без да решавате уравнението, изчислете стойността на израза x 1 2 + x 2 2.
Решение.
x 1 + x 2 \u003d-p \u003d 3,и работата x 1 ∙x 2 \u003d q \u003dв пример 1) равенство:
x 1 2 + x 2 2 \u003d p 2 -2q.Ние имаме -стр=x 1 +x 2 = 3 → p 2 =3 2 =9; q= x 1 x 2 = -4. Тогава x 1 2 + x 2 2 =9-2 (-4)=9+8=17.
Отговор: x 1 2 + x 2 2 =17.
4) х 2 -2х-4=0.Изчислете: x 1 3 +x 2 3 .
Решение.
По теоремата на Виета, сумата от корените на това редуцирано квадратно уравнение x 1 + x 2 \u003d-p \u003d 2,и работата x 1 ∙x 2 \u003d q \u003d-четири. Нека приложим полученото ( в пример 2) равенство: x 1 3 + x 2 3 \u003d-p (p 2 -3q) \u003d 2 (2 2 -3 (-4))=2 (4+12)=2 16=32.
Отговор: x 1 3 + x 2 3 =32.
Въпрос: какво ще стане, ако ни е дадено нередуцирано квадратно уравнение? Отговор: винаги може да се „намали“ чрез разделяне на член по член на първия коефициент.
5) 2x2 -5x-7=0.Без да решавате, изчислете: x 1 2 + x 2 2.
Решение.Дадено ни е пълно квадратно уравнение. Разделете двете страни на уравнението на 2 (първия коефициент) и получете следното квадратно уравнение: x 2 -2,5x-3,5 \u003d 0.
По теоремата на Виета сумата от корените е 2,5 ; продуктът на корените е -3,5 .
Решаваме по същия начин като пример 3) използвайки равенството: x 1 2 + x 2 2 \u003d p 2 -2q.
x 1 2 + x 2 2 =p 2 -2q= 2,5 2 -2∙(-3,5)=6,25+7=13,25.
Отговор: x 1 2 + x 2 2 = 13,25.
6) x2 -5x-2=0.Намирам:
Нека преобразуваме това равенство и, като заменим сумата от корените по отношение на теоремата на Виета, -стр, и произведението на корените през р, получаваме още една полезна формула. При извеждането на формулата използвахме равенство 1): x 1 2 + x 2 2 \u003d p 2 -2q.
В нашия пример x 1 + x 2 \u003d -p \u003d 5; x 1 ∙x 2 \u003d q \u003d-2. Заменете тези стойности в получената формула:
7) x 2 -13x+36=0.Намирам:
Нека преобразуваме тази сума и да получим формула, чрез която ще бъде възможно да се намери сумата от аритметични квадратни корени от корените на квадратно уравнение.
Ние имаме x 1 + x 2 \u003d -p \u003d 13; x 1 ∙x 2 \u003d q \u003d 36. Заменете тези стойности в получената формула:
съвет : винаги проверявайте възможността за намиране на корените на квадратното уравнение по подходящ начин, след всичко 4 прегледани полезни формуливи позволяват бързо да изпълните задачата, преди всичко в случаите, когато дискриминантът е „неудобно“ число. Във всички прости случаи намерете корените и ги оперирайте. Например, в последния пример, ние избираме корените, използвайки теоремата на Vieta: сумата от корените трябва да бъде равна на 13 , и произведението на корените 36 . Какви са тези числа? Разбира се, 4 и 9.Сега изчислете сумата от квадратните корени на тези числа: 2+3=5. Това е!
I. Теорема на Виетаза редуцираното квадратно уравнение.
Сумата от корените на редуцираното квадратно уравнение x 2 +px+q=0е равен на втория коефициент, взет с обратен знак, а произведението на корените е равно на свободния член:
x 1 + x 2 \u003d-p; x 1 ∙ x 2 \u003d q.
Намерете корените на даденото квадратно уравнение, като използвате теоремата на Виета.
Пример 1) x 2 -x-30=0.Това е редуцираното квадратно уравнение ( x 2 +px+q=0), вторият коефициент р=-1, и свободния термин q=-30.Първо се уверете, че даденото уравнение има корени и че корените (ако има такива) ще бъдат изразени като цели числа. За това е достатъчно дискриминантът да бъде пълен квадратцяло число.
Намиране на дискриминанта д=b 2 - 4ac=(-1) 2 -4∙1∙(-30)=1+120=121= 11 2 .
Сега, според теоремата на Vieta, сумата от корените трябва да бъде равна на втория коефициент, взет с обратен знак, т.е. ( -стр), а произведението е равно на свободния срок, т.е. ( р). Тогава:
x 1 + x 2 =1; x 1 ∙ x 2 \u003d -30.Трябва да изберем такива две числа, така че произведението им да е равно на -30 , а сумата е мерна единица. Това са числата -5 и 6 . Отговор: -5; 6.
Пример 2) x 2 +6x+8=0.Имаме редуцираното квадратно уравнение с втория коефициент р=6и безплатен член q=8. Уверете се, че има цели корени. Нека намерим дискриминанта D1 D1=3 2 -1∙8=9-8=1=1 2 . Дискриминантът D 1 е перфектният квадрат на числото 1 , така че корените на това уравнение са цели числа. Избираме корените според теоремата на Виета: сумата от корените е равна на –p=-6, а произведението на корените е q=8. Това са числата -4 и -2 .
Всъщност: -4-2=-6=-p; -4∙(-2)=8=q. Отговор: -4; -2.
Пример 3) x 2 +2x-4=0. В това намалено квадратно уравнение, вторият коефициент р=2, и свободния термин q=-4. Нека намерим дискриминанта D1, тъй като вторият коефициент е четно число. D1=1 2 -1∙(-4)=1+4=5. Дискриминантът не е перфектен квадрат на число, така че го правим заключение: корените на това уравнение не са цели числа и не могат да бъдат намерени с помощта на теоремата на Виета.И така, решаваме това уравнение, както обикновено, съгласно формулите (в този случайформули). Получаваме:
Пример 4).Напишете квадратно уравнение, като използвате неговите корени if x 1 \u003d -7, x 2 \u003d 4.
Решение.Желаното уравнение ще бъде написано във формата: x 2 +px+q=0, освен това, въз основа на теоремата на Виета –p=x1 +x2=-7+4=-3 →p=3; q=x 1 ∙x 2=-7∙4=-28 . Тогава уравнението ще приеме формата: x2 +3x-28=0.
Пример 5).Напишете квадратно уравнение, като използвате неговите корени, ако:
II. Теорема на Виетаза пълното квадратно уравнение ax2+bx+c=0.
Сборът на корените е минус bразделена на а, произведението на корените е сразделена на а:
x 1 + x 2 \u003d -b / a; x 1 ∙ x 2 \u003d c / a.
Пример 6).Намерете сумата от корените на квадратно уравнение 2x2 -7x-11=0.
Решение.
Убедени сме, че това уравнение ще има корени. За да направите това, достатъчно е да напишете израз за дискриминанта и без да го изчислявате, просто се уверете, че дискриминантът е по-голям от нула. д=7 2 -4∙2∙(-11)>0 . А сега да използваме теорема Виетаза пълни квадратни уравнения.
x 1 + x 2 =-b:a=- (-7):2=3,5.
Пример 7). Намерете произведението на корените на квадратно уравнение 3x2 +8x-21=0.
Решение.
Нека намерим дискриминанта D1, тъй като вторият коефициент ( 8 ) е четно число. D1=4 2 -3∙(-21)=16+63=79>0 . Квадратното уравнение има 2 корен, според теоремата на Виета, произведението на корените x 1 ∙ x 2 \u003d c: a=-21:3=-7.
I. брадва 2 +bx+c=0е общо квадратно уравнение
Дискриминанта D=b 2 - 4ac.
Ако D>0, тогава имаме два реални корена:
Ако D=0, тогава имаме един корен (или два равни корена) x=-b/(2a).
Ако Д<0, то действительных корней нет.
Пример 1) 2x2 +5x-3=0.
Решение. а=2; b=5; ° С=-3.
D=b 2-4ac=5 2 -4∙2∙(-3)=25+24=49=7 2 >0; 2 истински корена.
4x2 +21x+5=0.
Решение. а=4; b=21; ° С=5.
D=b 2-4ac=21 2 - 4∙4∙5=441-80=361=19 2 >0; 2 истински корена.
II. ax2+bx+c=0 – специално квадратно уравнение за дори секунда
коефициент b
Пример 3) 3x2 -10x+3=0.
Решение. а=3; b\u003d -10 (четно число); ° С=3.
Пример 4) 5x2-14x-3=0.
Решение. а=5; b= -14 (четно число); ° С=-3.
Пример 5) 71x2 +144x+4=0.
Решение. а=71; b=144 (четно число); ° С=4.
Пример 6) 9x 2 -30x+25=0.
Решение. а=9; b\u003d -30 (четно число); ° С=25.
III. ax2+bx+c=0 – квадратно уравнение частен тип, предвиден: a-b+c=0.
Първият корен винаги е минус едно, а вторият корен е минус сразделена на а:
x 1 \u003d -1, x 2 \u003d - c / a.
Пример 7) 2x2+9x+7=0.
Решение. а=2; b=9; ° С=7. Нека проверим равенството: a-b+c=0.Получаваме: 2-9+7=0 .
Тогава x 1 \u003d -1, x 2 \u003d -c / a = -7 / 2 \u003d -3,5.Отговор: -1; -3,5.
IV. ax2+bx+c=0 – квадратно уравнение с определена форма при условие : a+b+c=0.
Първият корен винаги е равен на едно, а вторият корен е равен на сразделена на а:
x 1 \u003d 1, x 2 \u003d c / a.
Пример 8) 2x2 -9x+7=0.
Решение. а=2; b=-9; ° С=7. Нека проверим равенството: a+b+c=0.Получаваме: 2-9+7=0 .
Тогава x 1 \u003d 1, x 2 \u003d c / a \u003d 7/2 = 3,5.Отговор: 1; 3,5.
Страница 1 от 1 1
Квадратните уравнения се изучават в 8 клас, така че тук няма нищо сложно. Способността да ги решавате е от съществено значение.
Квадратно уравнение е уравнение от вида ax 2 + bx + c = 0, където коефициентите a , b и c са произволни числа и a ≠ 0.
Преди да изучаваме конкретни методи за решаване, отбелязваме, че всички квадратни уравнения могат да бъдат разделени на три класа:
- Нямат корени;
- Те имат точно един корен;
- Те имат два различни корена.
Това е важна разлика между квадратните и линейните уравнения, където коренът винаги съществува и е уникален. Как да определим колко корена има едно уравнение? Има нещо прекрасно за това - дискриминанта.
Дискриминанта
Нека е дадено квадратното уравнение ax 2 + bx + c = 0. Тогава дискриминантът е просто числото D = b 2 − 4ac.
Тази формула трябва да се знае наизуст. Сега не е важно откъде идва. Друго нещо е важно: чрез знака на дискриминанта можете да определите колко корена има едно квадратно уравнение. а именно:
- Ако Д< 0, корней нет;
- Ако D = 0, има точно един корен;
- Ако D > 0, ще има два корена.
Моля, обърнете внимание: дискриминантът показва броя на корените, а не изобщо техните знаци, както по някаква причина много хора мислят. Разгледайте примерите и сами ще разберете всичко:
Задача. Колко корена имат квадратните уравнения:
- x 2 - 8x + 12 = 0;
- 5x2 + 3x + 7 = 0;
- x 2 − 6x + 9 = 0.
Записваме коефициентите за първото уравнение и намираме дискриминанта:
a = 1, b = −8, c = 12;
D = (−8) 2 − 4 1 12 = 64 − 48 = 16
И така, дискриминантът е положителен, така че уравнението има два различни корена. Анализираме второто уравнение по същия начин:
а = 5; b = 3; c = 7;
D \u003d 3 2 - 4 5 7 \u003d 9 - 140 \u003d -131.
Дискриминантът е отрицателен, няма корени. Остава последното уравнение:
а = 1; b = -6; c = 9;
D = (−6) 2 − 4 1 9 = 36 − 36 = 0.
Дискриминанта нула- коренът ще бъде един.
Имайте предвид, че коефициентите са записани за всяко уравнение. Да, дълго е, да, досадно е - но няма да объркате шансовете и да не правите глупави грешки. Изберете сами: скорост или качество.
Между другото, ако „напълните ръката си“, след известно време вече няма да е необходимо да пишете всички коефициенти. Ще извършвате такива операции в главата си. Повечето хора започват да правят това някъде след 50-70 решени уравнения - като цяло не са толкова много.
Корените на квадратно уравнение
Сега да преминем към решението. Ако дискриминантът D > 0, корените могат да бъдат намерени по формулите:
Основната формула за корените на квадратно уравнение
Когато D = 0, можете да използвате всяка от тези формули - получавате същото число, което ще бъде отговорът. И накрая, ако Д< 0, корней нет — ничего считать не надо.
- x 2 - 2x - 3 = 0;
- 15 - 2x - x2 = 0;
- x2 + 12x + 36 = 0.
Първо уравнение:
x 2 - 2x - 3 = 0 ⇒ a = 1; b = −2; с = -3;
D = (−2) 2 − 4 1 (−3) = 16.
D > 0 ⇒ уравнението има два корена. Нека ги намерим:
Второ уравнение:
15 − 2x − x 2 = 0 ⇒ a = −1; b = −2; с = 15;
D = (−2) 2 − 4 (−1) 15 = 64.
D > 0 ⇒ уравнението отново има два корена. Да ги намерим
\[\begin(align) & ((x)_(1))=\frac(2+\sqrt(64))(2\cdot \left(-1 \right))=-5; \\ & ((x)_(2))=\frac(2-\sqrt(64))(2\cdot \left(-1 \right))=3. \\ \край (подравняване)\]
И накрая, третото уравнение:
x 2 + 12x + 36 = 0 ⇒ a = 1; b = 12; с = 36;
D = 12 2 − 4 1 36 = 0.
D = 0 ⇒ уравнението има един корен. Всяка формула може да се използва. Например първото:
Както можете да видите от примерите, всичко е много просто. Ако знаете формулите и можете да смятате, няма да има проблеми. Най-често възникват грешки, когато във формулата се заменят отрицателни коефициенти. Тук отново ще ви помогне описаната по-горе техника: погледнете формулата буквално, нарисувайте всяка стъпка - и се отървете от грешките много скоро.
Непълни квадратни уравнения
Случва се квадратното уравнение да е малко по-различно от даденото в дефиницията. Например:
- x2 + 9x = 0;
- x2 − 16 = 0.
Лесно се вижда, че един от членовете липсва в тези уравнения. Такива квадратни уравнения са дори по-лесни за решаване от стандартните: те дори не трябва да изчисляват дискриминанта. Така че нека въведем нова концепция:
Уравнението ax 2 + bx + c = 0 се нарича непълно квадратно уравнение, ако b = 0 или c = 0, т.е. коефициентът на променливата x или свободния елемент е равен на нула.
Разбира се, възможен е много труден случай, когато и двата коефициента са равни на нула: b \u003d c \u003d 0. В този случай уравнението приема формата ax 2 \u003d 0. Очевидно такова уравнение има един корен: x \u003d 0.
Да разгледаме други случаи. Нека b \u003d 0, тогава получаваме непълно квадратно уравнение под формата ax 2 + c \u003d 0. Нека леко го трансформираме:
Тъй като аритметичният квадратен корен съществува само от неотрицателно число, последното равенство има смисъл само когато (−c / a ) ≥ 0. Заключение:
- Ако непълно квадратно уравнение от вида ax 2 + c = 0 удовлетворява неравенството (−c / a ) ≥ 0, ще има два корена. Формулата е дадена по-горе;
- Ако (−c / a)< 0, корней нет.
Както можете да видите, дискриминантът не е задължителен - не е пълен квадратни уравненияникакви сложни изчисления. Всъщност дори не е необходимо да помним неравенството (−c / a ) ≥ 0. Достатъчно е да изразим стойността на x 2 и да видим какво има от другата страна на знака за равенство. Ако има положително числоще има два корена. Ако е отрицателен, изобщо няма да има корени.
Сега нека разгледаме уравнения от формата ax 2 + bx = 0, в които свободният елемент е равен на нула. Тук всичко е просто: винаги ще има два корена. Достатъчно е да факторизираме полинома:
Изваждане на общия множител от скобатаПроизведението е равно на нула, когато поне един от множителите е равен на нула. От тук идват корените. В заключение ще анализираме няколко от тези уравнения:
Задача. Решаване на квадратни уравнения:
- x2 − 7x = 0;
- 5x2 + 30 = 0;
- 4x2 − 9 = 0.
x 2 − 7x = 0 ⇒ x (x − 7) = 0 ⇒ x 1 = 0; x2 = −(−7)/1 = 7.
5x2 + 30 = 0 ⇒ 5x2 = -30 ⇒ x2 = -6. Няма корени, т.к квадратът не може да бъде равен на отрицателно число.
4x 2 − 9 = 0 ⇒ 4x 2 = 9 ⇒ x 2 = 9/4 ⇒ x 1 = 3/2 = 1,5; x 2 \u003d -1,5.
