Вашата поверителност е важна за нас. Поради тази причина разработихме Политика за поверителност, която описва как използваме и съхраняваме вашата информация. Моля, прочетете нашата политика за поверителност и ни уведомете, ако имате въпроси.
Събиране и използване на лична информация
Личната информация се отнася до данни, които могат да бъдат използвани за идентифициране на конкретно лице или за връзка с него.
Може да бъдете помолени да предоставите вашата лична информация по всяко време, когато се свържете с нас.
По-долу са дадени някои примери за видовете лична информация, която можем да събираме и как можем да използваме тази информация.
Каква лична информация събираме:
- Когато подадете заявление на сайта, ние може да съберем различна информация, включително вашето име, телефонен номер, имейл адрес и др.
Как използваме вашата лична информация:
- Личната информация, която събираме, ни позволява да се свързваме с вас относно уникални оферти, промоции и други събития и Предстоящи събития.
- От време на време може да използваме вашата лична информация, за да ви изпращаме важни известия и съобщения.
- Може също да използваме лична информация за вътрешни цели, като например извършване на одити, анализ на данни и различни изследвания, за да подобрим услугите, които предоставяме, и да ви предоставим препоръки относно нашите услуги.
- Ако участвате в томбола, състезание или подобен стимул, ние може да използваме предоставената от вас информация за администриране на такива програми.
Разкриване на трети страни
Ние не разкриваме информация, получена от вас, на трети страни.
Изключения:
- В случай, че е необходимо - в съответствие със закона, съдебния ред, в съдебно производство и / или въз основа на публични искания или искания от държавни органи на територията на Руската федерация - разкриване на вашата лична информация. Може също така да разкрием информация за вас, ако преценим, че такова разкриване е необходимо или подходящо за целите на сигурността, правоприлагането или други цели от обществен интерес.
- В случай на реорганизация, сливане или продажба, можем да прехвърлим личната информация, която събираме, на съответния приемник на трета страна.
Защита на личната информация
Ние вземаме предпазни мерки – включително административни, технически и физически – за да защитим вашата лична информация от загуба, кражба и злоупотреба, както и от неоторизиран достъп, разкриване, промяна и унищожаване.
Поддържане на вашата поверителност на фирмено ниво
За да гарантираме, че вашата лична информация е защитена, ние съобщаваме практиките за поверителност и сигурност на нашите служители и стриктно прилагаме практиките за поверителност.
Y \u003d f (x) и ако в тази точка може да се начертае допирателна към графиката на функцията, която не е перпендикулярна на оста x, тогава наклонът на допирателната е f "(a). Вече използвахме това няколко пъти , Например в § 33 беше установено, че графиката на функцията y \u003d sin x (синусоида) в началото образува ъгъл от 45 ° с абсцисната ос (по-точно допирателната към графиката при начало сключва ъгъл от 45 ° с положителната посока на оста x), а в пример 5 от § 33 точки бяха намерени по даден график функции, в която допирателната е успоредна на оста x. В пример 2 на § 33 е съставено уравнение за допирателната към графиката на функцията y \u003d x 2 в точката x \u003d 1 (по-точно в точката (1; 1), но по-често само посочена е стойността на абсцисата, като се приема, че ако стойността на абсцисата е известна, тогава стойността на ординатата може да се намери от уравнението y = f(x)). В този раздел ще разработим алгоритъм за съставяне на уравнението на допирателната към графиката на всяка функция.
Нека функцията y \u003d f (x) и точката M (a; f (a)) са дадени и също така е известно, че f "(a) съществува. Нека съставим уравнението на допирателната към графиката на дадената функция в дадена точка Това уравнение е като уравнението на всяка права линия, която не е успоредна на оста y, има формата y = kx + m, така че проблемът е да се намерят стойностите на коефициентите k и м.
Няма проблеми с наклона k: знаем, че k \u003d f "(a). За да изчислим стойността на m, използваме факта, че желаната линия минава през точката M (a; f (a)). Това означава, че ако заместим координатните точки M в уравнението на права линия, получаваме правилното равенство: f (a) \u003d ka + m, откъдето намираме, че m \u003d f (a) - ka.
Остава да заменим намерените стойности на коефициентите на китовете в уравнениетоправ:
Получихме уравнението на допирателната към графиката на функцията y \u003d f (x) в точката x \u003d a.
ако, кажи,
Замествайки в уравнение (1) намерените стойности a \u003d 1, f (a) \u003d 1 f "(a) = 2, получаваме: y \u003d 1 + 2 (x-f), т.е. y = 2x -1.
Сравнете този резултат с този, получен в пример 2 на § 33. Естествено, същото се случи.
Нека съставим уравнението на допирателната към графиката на функцията y \u003d tg x в началото. Ние имаме: 
следователно cos x f "(0) = 1. Замествайки намерените стойности a \u003d 0, f (a) \u003d 0, f "(a) \u003d 1 в уравнение (1), получаваме: y \u003d x .
Ето защо начертахме тангентоида в § 15 (виж фиг. 62) през началото на координатите под ъгъл 45 ° спрямо абсцисната ос.
Решаването на тези проблеми е достатъчно прости примери, всъщност използвахме определен алгоритъм, който е заложен във формула (1). Нека направим този алгоритъм ясен.
АЛГОРИТЪМ ЗА СЪСТАВЯНЕ НА УРАВНЕНИЕТО НА ФУНКЦИЯТА, ДОПАТНА КЪМ ГРАФИКАТА y \u003d f (x)
1) Обозначете абсцисата на точката на контакт с буквата a.
2) Изчислете 1 (а).
3) Намерете f "(x) и изчислете f" (a).
4) Заместете намерените числа a, f(a), (a) във формула (1).
Пример 1Напишете уравнение за допирателната към графиката на функцията в точката x = 1.
Нека използваме алгоритъма, като вземем предвид това в този пример
На фиг. 126 показва хипербола, изградена е права линия y \u003d 2x.
Чертежът потвърждава горните изчисления: наистина линията y \u003d 2-x докосва хиперболата в точката (1; 1).
Отговор: y \u003d 2-x.
Пример 2Начертайте допирателна към графиката на функцията, така че да е успоредна на правата линия y \u003d 4x - 5.
Нека прецизираме формулировката на проблема. Изискването за „начертаване на допирателна“ обикновено означава „направете уравнение за допирателна“. Това е логично, защото ако човек е успял да състави уравнение за допирателна, тогава той едва ли ще има затруднения да надгражда координатна равнинаправа линия според нейното уравнение.
Нека използваме алгоритъма за съставяне на уравнението на допирателната, като се има предвид, че в този пример Но, за разлика от предишния пример, тук има неяснота: абсцисата на допирателната точка не е изрично посочена.
Нека започнем да говорим така. Желаната допирателна трябва да е успоредна на правата линия y \u003d 4x-5. Две прави са успоредни тогава и само ако техните наклони са еднакви. Това означава, че наклонът на тангентата трябва да бъде равен на наклона на дадената права линия: 
По този начин можем да намерим стойността на a от уравнението f "(a) \u003d 4.
Ние имаме: 
От уравнението И така, има две допирателни, които отговарят на условията на задачата: едната в точката с абсцисата 2, другата в точката с абсцисата -2.
Сега можете да действате според алгоритъма.
Пример 3От точката (0; 1) начертайте допирателна към графиката на функцията
Нека използваме алгоритъма за съставяне на уравнението на допирателната, имайки предвид, че в този пример Обърнете внимание, че тук, както в пример 2, абсцисата на допирателната точка не е изрично посочена. Въпреки това действаме според алгоритъма.
По условие допирателната минава през точката (0; 1). Замествайки в уравнение (2) стойностите x = 0, y = 1, получаваме: 
Както можете да видите, в този пример само на четвъртата стъпка от алгоритъма успяхме да намерим абсцисата на точката на допир. Замествайки стойността a \u003d 4 в уравнение (2), получаваме:
На фиг. 127 показва геометрична илюстрация на разглеждания пример: графика на функцията
В § 32 отбелязахме, че за функция y = f(x), която има производна във фиксирана точка x, е валидно приблизителното равенство:
За удобство на по-нататъшните разсъждения променяме нотацията: вместо x ще напишем a, вместо това ще напишем x и съответно вместо това ще напишем x-a. Тогава приблизителното равенство, написано по-горе, ще приеме формата:
Сега погледнете фиг. 128. Начертава се допирателна към графиката на функцията y \u003d f (x) в точка M (a; f (a)). Маркирана точка x на оста x близо до a. Ясно е, че f(x) е ординатата на графиката на функцията в определената точка x. И какво е f (a) + f "(a) (x-a)? Това е ординатата на допирателната, съответстваща на същата точка x - вижте формула (1). Какво е значението на приблизителното равенство (3)? Това до изчислява се приблизителната стойност на функцията, като се взема стойността на допирателната ордината.
Пример 4Намерете приблизителната стойност на числовия израз 1,02 7 .
Говорим за намиране на стойността на функцията y \u003d x 7 в точката x \u003d 1,02. Използваме формула (3), като вземем предвид това в този пример
В резултат на това получаваме:
Ако използваме калкулатор, получаваме: 1,02 7 = 1,148685667...
Както можете да видите, точността на приближението е доста приемлива.
Отговор: 1,02 7 =1,14.
А.Г. Мордкович алгебра 10 клас
Календарно-тематично планиране по математика, видеопо математика онлайн, Математика в училище изтегляне
Съдържание на урока резюме на урокаопорна рамка презентация на уроци ускорителни методи интерактивни технологии Практикувайте задачи и упражнения самопроверка работилници, обучения, казуси, куестове въпроси за домашна работа дискусия риторични въпросиот студенти Илюстрации аудио, видео клипове и мултимедияснимки, картинки графики, таблици, схеми хумор, анекдоти, вицове, комикси притчи, поговорки, кръстословици, цитати Добавки резюметастатии чипове за любознателни ясли учебници основни и допълнителни речник на термините други Подобряване на учебниците и уроцитекоригиране на грешки в учебникаактуализиране на фрагмент в учебника елементи на иновация в урока замяна на остарели знания с нови Само за учители перфектни уроци календарен планза година насокидискусионни програми Интегрирани уроциТип работа: 7
Състояние
Правата y=3x+2 е допирателна към графиката на функцията y=-12x^2+bx-10. Намерете b, като се има предвид, че абсцисата на допирната точка е по-малка от нула.
Покажи решениеРешение
Нека x_0 е абсцисата на точката от графиката на функцията y=-12x^2+bx-10, през която минава допирателната към тази графика.
Стойността на производната в точката x_0 е равна на наклона на тангентата, т.е. y"(x_0)=-24x_0+b=3. От друга страна, допирателната точка принадлежи както на графиката на функцията, така и на тангенс, т.е. -12x_0^2+bx_0-10= 3x_0 + 2. Получаваме система от уравнения \begin(cases) -24x_0+b=3,\\-12x_0^2+bx_0-10=3x_0+2. \край (случаи)
Решавайки тази система, получаваме x_0^2=1, което означава или x_0=-1, или x_0=1. Съгласно състоянието на абсцисата точките на допир са по-малки от нула, следователно x_0=-1, тогава b=3+24x_0=-21.
Отговор
Тип работа: 7
Тема: Геометричният смисъл на производната. Графика на допирателна към функция
Състояние
Правата y=-3x+4 е успоредна на допирателната към графиката на функцията y=-x^2+5x-7. Намерете абсцисата на точката на контакт.
Покажи решениеРешение
Наклонът на правата към графиката на функцията y=-x^2+5x-7 в произволна точка x_0 е y"(x_0). Но y"=-2x+5, така че y"(x_0)=- 2x_0 + 5. Ъгловият коефициент на правата y=-3x+4, определен в условието, е -3.
Получаваме: x_0 = 4.
Отговор
Източник: „Математика. Подготовка за матура-2017г. Ниво на профил". Изд. Ф. Ф. Лисенко, С. Ю. Кулабухова.
Тип работа: 7
Тема: Геометричният смисъл на производната. Графика на допирателна към функция
Състояние
Покажи решениеРешение
От фигурата определяме, че допирателната минава през точките A(-6; 2) и B(-1; 1). Означаваме с C(-6; 1) пресечната точка на правите x=-6 и y=1, а с \alpha ъгъла ABC (на фигурата се вижда, че е остър). Тогава правата AB образува тъп ъгъл \pi -\alpha с положителната посока на оста Ox.
Както знаете, tg(\pi -\alpha) ще бъде стойността на производната на функцията f(x) в точката x_0. забележи това tg \alpha =\frac(AC)(CB)=\frac(2-1)(-1-(-6))=\frac15.От тук по формулите за редукция получаваме: tg(\pi -\alpha) =-tg \alpha =-\frac15=-0,2.
Отговор
Източник: „Математика. Подготовка за матура-2017г. ниво на профил. Изд. Ф. Ф. Лисенко, С. Ю. Кулабухова.
Тип работа: 7
Тема: Геометричният смисъл на производната. Графика на допирателна към функция
Състояние
Правата y=-2x-4 е допирателна към графиката на функцията y=16x^2+bx+12. Намерете b, като се има предвид, че абсцисата на допирната точка е по-голяма от нула.
Покажи решениеРешение
Нека x_0 е абсцисата на точката върху графиката на функцията y=16x^2+bx+12, през която
е допирателна към тази графика.
Стойността на производната в точката x_0 е равна на наклона на тангентата, т.е. y "(x_0)=32x_0+b=-2. От друга страна, допирателната точка принадлежи както на графиката на функцията, така и на тангенс, т.е. 16x_0^2+bx_0+12=- 2x_0-4 Получаваме система от уравнения \begin(cases) 32x_0+b=-2,\\16x_0^2+bx_0+12=-2x_0-4. \край (случаи)
Решавайки системата, получаваме x_0^2=1, което означава или x_0=-1, или x_0=1. Съгласно условието на абсцисата допирните точки са по-големи от нула, следователно x_0=1, тогава b=-2-32x_0=-34.
Отговор
Източник: „Математика. Подготовка за матура-2017г. ниво на профил. Изд. Ф. Ф. Лисенко, С. Ю. Кулабухова.
Тип работа: 7
Тема: Геометричният смисъл на производната. Графика на допирателна към функция
Състояние
Фигурата показва графика на функцията y=f(x), дефинирана на интервала (-2; 8). Определете броя на точките, в които допирателната към графиката на функцията е успоредна на правата линия y=6.
Решение
Правата y=6 е успоредна на оста Ox. Следователно намираме такива точки, в които допирателната към графиката на функцията е успоредна на оста Ox. На тази диаграматакива точки са екстремни точки (максимални или минимални точки). Както можете да видите, има 4 точки на екстремум.
Отговор
Източник: „Математика. Подготовка за матура-2017г. ниво на профил. Изд. Ф. Ф. Лисенко, С. Ю. Кулабухова.
Тип работа: 7
Тема: Геометричният смисъл на производната. Графика на допирателна към функция
Състояние
Правата y=4x-6 е успоредна на допирателната към графиката на функцията y=x^2-4x+9. Намерете абсцисата на точката на контакт.
Покажи решениеРешение
Наклонът на допирателната към графиката на функцията y \u003d x ^ 2-4x + 9 в произволна точка x_0 е y "(x_0). Но y" \u003d 2x-4, което означава y "(x_0) \ u003d 2x_0-4 Наклонът на допирателната y \u003d 4x-7, посочен в условието, е равен на 4. Паралелните линии имат еднакви наклони. Следователно намираме такава стойност x_0, че 2x_0-4 \u003d 4. Получаваме : x_0 \u003d 4.
Отговор
Източник: „Математика. Подготовка за матура-2017г. ниво на профил. Изд. Ф. Ф. Лисенко, С. Ю. Кулабухова.
Тип работа: 7
Тема: Геометричният смисъл на производната. Графика на допирателна към функция
Състояние
Фигурата показва графиката на функцията y=f(x) и допирателната към нея в точката с абсцисата x_0. Намерете стойността на производната на функцията f(x) в точката x_0.
Решение
От фигурата определяме, че допирателната минава през точките A(1; 1) и B(5; 4). Означаваме с C(5; 1) пресечната точка на правите x=5 и y=1, а с \alpha ъгъла BAC (на фигурата се вижда, че е остър). Тогава правата AB образува ъгъл \alpha с положителната посока на оста Ox.
Допирателнае права, минаваща през точка от кривата и съвпадаща с нея в тази точка до първи ред (фиг. 1).
Друго определение: това е граничната позиция на секанса при Δ х→0.
Обяснение: Вземете линия, която пресича кривата в две точки: НОи b(виж снимката). Това е секанс. Ще го въртим по посока на часовниковата стрелка, докато остане само един обща точкас извивка. Така че получаваме допирателна.
Строга дефиниция на допирателна:
Графика на допирателна към функция f, диференцируеми в точка хотносно, е права, минаваща през точката ( хотносно; f(хотносно)) и с наклон f′( хотносно).
Наклонът има права линия y=kx +b. Коефициент ки е фактор на наклонатази права линия.
Ъгловият коефициент е равен на тангенса остър ъгълобразувана от тази права линия с абсцисната ос:
|
Тук ъгълът α е ъгълът между правата y=kx +bи положителната (т.е. обратно на часовниковата стрелка) посока на оста x. Нарича се ъгъл на наклон прав(фиг.1 и 2). 
Ако ъгълът на наклона е прав y=kx +bостър, тогава склонът е положително число. Графиката се увеличава (фиг. 1).
Ако ъгълът на наклона е прав y=kx +bтъп, тогава наклонът е отрицателно число. Графиката намалява (фиг. 2).
Ако правата е успоредна на оста x, тогава наклонът на линията е нула. В този случай наклонът на правата също е нула (тъй като тангенса на нула е нула). Уравнението на правата линия ще изглежда като y = b (фиг. 3).
Ако ъгълът на наклона на права линия е 90º (π/2), т.е. тя е перпендикулярна на оста x, тогава правата линия се дава от равенството x=° С, където ° С- някакво реално число (фиг. 4).
Уравнението на допирателната към графиката на функциятаг = f(х) в точката хотносно:
Пример: Нека намерим уравнението на допирателната към графиката на функцията f(х) = х 3 – 2х 2 + 1 в точката с абсцисата 2.
Решение .
Следваме алгоритъма.
1) Точка на допир хотносное равно на 2. Пресметнете f(хотносно):
f(хотносно) = f(2) = 2 3 – 2 ∙ 2 2 + 1 = 8 – 8 + 1 = 1
2) Намерете f′( х). За да направим това, ние използваме формулите за диференциране, посочени в предишния раздел. Според тези формули, х 2 = 2х, а х 3 = 3х 2. означава:
f′( х) = 3х 2 – 2 ∙ 2х = 3х 2 – 4х.
Сега, използвайки получената стойност f′( х), изчисли f′( хотносно):
f′( хотносно) = f′(2) = 3 ∙ 2 2 – 4 ∙ 2 = 12 – 8 = 4.
3) И така, имаме всички необходими данни: хотносно = 2, f(хотносно) = 1, f ′( хотносно) = 4. Заместваме тези числа в уравнението на допирателната и намираме крайното решение:
y= f(хотносно) + f′( хотносно) (x – x o) \u003d 1 + 4 ∙ (x - 2) = 1 + 4x - 8 \u003d -7 + 4x \u003d 4x - 7.
Отговор: y \u003d 4x - 7.
Уравнението на допирателната към графиката на функцията
П. Романов, Т. Романова,
Магнитогорск,
Челябинска област
Уравнението на допирателната към графиката на функцията
Статията е публикувана с подкрепата на Хотелски комплекс ИТАКА+. Оставайки в града на корабостроителите Северодвинск, няма да се сблъскате с проблема с намирането на временно жилище. , на уебсайта на хотелски комплекс "ITAKA +" http://itakaplus.ru, можете лесно и бързо да наемете апартамент в града, за всеки период, с ежедневно плащане.
На настоящ етапразвитието на образованието като една от основните му задачи е формирането на творчески мислеща личност. Способността за творчество при учениците може да се развие само ако те систематично се занимават с основите на изследователската дейност. Основата на учениците да използват своите творчески сили, способности и таланти са формираните пълноценни знания и умения. В тази връзка проблемът за формиране на система от основни знания и умения за всяка тема от училищния курс по математика е не малко важен. В същото време пълноценните умения трябва да бъдат дидактическата цел не на отделните задачи, а на тяхната внимателно обмислена система. В най-широк смисъл системата се разбира като набор от взаимосвързани взаимодействащи елементи, които имат цялост и стабилна структура.
Обмислете методология за обучение на студентите как да съставят уравнение на допирателна към графика на функция. По същество всички задачи за намиране на уравнението на допирателната се свеждат до необходимостта да се изберат от множеството (сноп, семейство) прави онези от тях, които отговарят на определено изискване - те са допирателни към графиката на определена функция. В този случай наборът от редове, от които се извършва изборът, може да бъде определен по два начина:
а) точка, лежаща на равнината xOy (централен молив от прави);
б) ъглов коефициент (успореден пакет от прави).
В тази връзка, когато изучаваме темата „Допирателна към графиката на функция“, за да изолираме елементите на системата, идентифицирахме два вида задачи:
1) задачи върху допирателна, зададена от точка, през която минава;
2) задачи за допирателна, зададена от нейния наклон.
Обучението за решаване на задачи по допирателна беше извършено с помощта на алгоритъма, предложен от A.G. Мордкович. Основната му разлика от вече известните е, че абсцисата на допирателната точка се обозначава с буквата a (вместо x0), във връзка с което уравнението на допирателната приема формата
y \u003d f (a) + f "(a) (x - a)
(сравнете с y \u003d f (x 0) + f "(x 0) (x - x 0)). Тази методическа техника, по наше мнение, позволява на учениците бързо и лесно да осъзнаят къде са записани координатите на текущата точка в общото уравнение на допирателната и къде са допирните точки.
Алгоритъм за съставяне на уравнението на допирателната към графиката на функцията y = f(x)
1. Означете с буквата а абсцисата на точката на контакт.
2. Намерете f(a).
3. Намерете f "(x) и f "(a).
4. Заменете намерените числа a, f (a), f "(a) в общо уравнениедопирателна y \u003d f (a) \u003d f "(a) (x - a).
Този алгоритъм може да бъде съставен въз основа на самостоятелен избор на операции от учениците и последователността на тяхното изпълнение.
Практиката показва, че последователното решение на всяка от ключовите задачи с помощта на алгоритъма ви позволява да формирате способността да напишете уравнението на допирателната към графиката на функцията на етапи, а стъпките на алгоритъма служат като опорни точки за действия . Този подход съответства на теорията за постепенното формиране на умствените действия, разработена от П.Я. Галперин и Н.Ф. Тализина.
В първия тип задачи бяха идентифицирани две ключови задачи:
- допирателната минава през точка, лежаща на кривата (задача 1);
- допирателната минава през точка, която не лежи на кривата (задача 2).
Задача 1. Приравнете допирателната към графиката на функцията 
в точката M(3; – 2).
Решение. Точката M(3; – 2) е точката на контакт, тъй като
1. a = 3 - абсцисата на точката на допир.
2. f(3) = – 2.
3. f "(x) \u003d x 2 - 4, f "(3) \u003d 5.
y \u003d - 2 + 5 (x - 3), y \u003d 5x - 17 е уравнението на допирателната.
Задача 2. Напишете уравненията на всички допирателни към графиката на функцията y = - x 2 - 4x + 2, минаващи през точката M(- 3; 6).
Решение. Точката M(– 3; 6) не е допирателна точка, тъй като f(– 3) 6 (фиг. 2).
2. f(a) = – a 2 – 4a + 2.
3. f "(x) \u003d - 2x - 4, f "(a) \u003d - 2a - 4.
4. y \u003d - a 2 - 4a + 2 - 2 (a + 2) (x - a) - уравнение на допирателната.
Допирателната минава през точката M(– 3; 6), следователно нейните координати удовлетворяват уравнението на допирателната.
6 = – a 2 – 4a + 2 – 2(a + 2)(– 3 – a),
a 2 + 6a + 8 = 0^ a 1 = - 4, a 2 = - 2.
Ако a = – 4, тогава уравнението на допирателната е y = 4x + 18.
Ако a \u003d - 2, тогава уравнението на допирателната има формата y \u003d 6.
Във втория тип основните задачи ще бъдат следните:
- допирателната е успоредна на права (задача 3);
- допирателната минава под някакъв ъгъл към дадената права (задача 4).
Задача 3. Напишете уравненията на всички допирателни към графиката на функцията y \u003d x 3 - 3x 2 + 3, успоредна на правата y \u003d 9x + 1.
Решение.
1. a - абсцисата на точката на допир.
2. f(a) = a 3 - 3a 2 + 3.
3. f "(x) \u003d 3x 2 - 6x, f "(a) \u003d 3a 2 - 6a.
Но, от друга страна, f "(a) \u003d 9 (условие за паралелизъм). Така че трябва да решим уравнението 3a 2 - 6a \u003d 9. Неговите корени a \u003d - 1, a \u003d 3 (фиг. 3).
4. 1) a = – 1;
2) f(– 1) = – 1;
3) f "(– 1) = 9;
4) y = – 1 + 9(x + 1);
y = 9x + 8 е уравнението на допирателната;
1) а = 3;
2) f(3) = 3;
3) f "(3) = 9;
4) y = 3 + 9 (x - 3);
y = 9x – 24 е уравнението на допирателната.
Задача 4. Напишете уравнението на допирателната към графиката на функцията y = 0,5x 2 - 3x + 1, минаваща под ъгъл 45 ° към правата линия y = 0 (фиг. 4).
Решение. От условието f "(a) \u003d tg 45 ° намираме a: a - 3 \u003d 1^a=4.
1. a = 4 - абсцисата на точката на допир.
2. f(4) = 8 - 12 + 1 = - 3.
3. f "(4) \u003d 4 - 3 \u003d 1.
4. y \u003d - 3 + 1 (x - 4).
y \u003d x - 7 - уравнението на допирателната.
Лесно е да се покаже, че решението на всеки друг проблем се свежда до решаването на един или няколко ключови проблема. Разгледайте следните два проблема като пример.
1. Напишете уравненията на допирателните към параболата y = 2x 2 - 5x - 2, ако допирателните се пресичат под прав ъгъл и едната от тях докосва параболата в точката с абсцисата 3 (фиг. 5).
Решение. Тъй като е дадена абсцисата на точката на контакт, първата част от решението се свежда до ключова задача 1.
1. a \u003d 3 - абсцисата на точката на контакт на една от страните на правия ъгъл.
2. f(3) = 1.
3. f "(x) \u003d 4x - 5, f "(3) \u003d 7.
4. y \u003d 1 + 7 (x - 3), y \u003d 7x - 20 - уравнението на първата допирателна.
Нека a е ъгълът на наклона на първата допирателна. Тъй като допирателните са перпендикулярни, тогава е ъгълът на наклон на втората допирателна. От уравнението y = 7x – 20 на първата допирателна имаме tg a = 7. Намерете
Това означава, че наклонът на втората допирателна е .
По-нататъшното решение се свежда до ключова задача 3.
Тогава нека B(c; f(c)) е допирателната точка на втората права
1. - абсцисата на втората точка на контакт.
2.
3.
4.е уравнението на втората допирателна.
Забележка. Ъгловият коефициент на тангентата може да бъде намерен по-лесно, ако учениците знаят отношението на коефициентите на перпендикулярните прави k 1 k 2 = - 1.
2. Напишете уравненията на всички общи допирателни към графиките на функциите
Решение. Задачата се свежда до намиране на абсцисите на допирните точки на общи допирателни, тоест до решаване на ключовата задача 1 в общи линии, съставяне на система от уравнения и след това нейното решаване (фиг. 6).
1. Нека a е абсцисата на допирната точка върху графиката на функцията y = x 2 + x + 1.
2. f(a) = a 2 + a + 1.
3. f "(a) = 2a + 1.
4. y \u003d a 2 + a + 1 + (2a + 1) (x - a) \u003d (2a + 1) x + 1 - a 2.
1. Нека c е абсцисата на допирателната точка върху графиката на функцията
2.
3. f "(c) = c.
4.
Тъй като допирателните са общи, тогава
Така че y = x + 1 и y = - 3x - 3 са общи тангенти.
Основната цел на разглежданите задачи е да подготвят учениците за самостоятелно разпознаване на типа ключова задача при решаване на по-сложни задачи, изискващи определени изследователски умения (способност за анализ, сравнение, обобщение, излагане на хипотеза и др.). Такива задачи включват всяка задача, в която ключовата задача е включена като компонент. Нека разгледаме като пример проблема (обратен на проблем 1) за намиране на функция от семейството на нейните допирателни.
3. За какво b и c са правите y \u003d x и y \u003d - 2x допирателни към графиката на функцията y \u003d x 2 + bx + c?
Решение.
Нека t е абсцисата на допирната точка на правата y = x с параболата y = x 2 + bx + c; p е абсцисата на точката на контакт на правата y = - 2x с параболата y = x 2 + bx + c. Тогава уравнението на допирателната y = x ще приеме формата y = (2t + b)x + c - t 2 , а уравнението на допирателната y = - 2x ще приеме формата y = (2p + b)x + c - p 2 .
Съставете и решете система от уравнения
Отговор: 
Задачи за самостоятелно решаване
1. Напишете уравненията на допирателните, начертани към графиката на функцията y = 2x 2 - 4x + 3 в пресечните точки на графиката с правата y = x + 3.
Отговор: y \u003d - 4x + 3, y \u003d 6x - 9,5.
2. За какви стойности на a допирателната, начертана към графиката на функцията y \u003d x 2 - ax в точката на графиката с абсцисата x 0 \u003d 1, преминава през точката M (2; 3) ?
Отговор: a = 0,5.
3. За какви стойности на p правата y = px - 5 докосва кривата y = 3x 2 - 4x - 2?
Отговор: p 1 \u003d - 10, p 2 \u003d 2.
4. Намерете всички общи точки на графиката на функцията y = 3x - x 3 и допирателната, прекарана към тази графика през точката P(0; 16).
Отговор: A(2; - 2), B(- 4; 52).
5. Намерете най-късото разстояние между параболата y = x 2 + 6x + 10 и правата
Отговор:
6. На кривата y \u003d x 2 - x + 1 намерете точката, в която допирателната към графиката е успоредна на правата y - 3x + 1 \u003d 0.
Отговор: M(2; 3).
7. Напишете уравнението на допирателната към графиката на функцията y = x 2 + 2x - | 4x | който го докосва в две точки. Направете рисунка.
Отговор: y = 2x - 4.
8. Докажете, че правата y = 2x – 1 не пресича кривата y = x 4 + 3x 2 + 2x. Намерете разстоянието между най-близките им точки.
Отговор:
9. На параболата y \u003d x 2 се вземат две точки с абсцисите x 1 \u003d 1, x 2 \u003d 3. През тези точки се изчертава секант. В коя точка на параболата допирателната към нея ще бъде успоредна на начертаната секуща? Напишете уравненията за секанса и тангенса.
Отговор: y \u003d 4x - 3 - секущо уравнение; y = 4x – 4 е уравнението на допирателната.
10. Намерете ъгъл q между допирателните към графиката на функцията y \u003d x 3 - 4x 2 + 3x + 1, начертани в точки с абсцисите 0 и 1.
Отговор: q = 45°.
11. В кои точки допирателната към графиката на функцията сключва ъгъл 135° с оста Ox?
Отговор: A(0; - 1), B(4; 3).
12. В точка A(1; 8) към кривата 
начертана е допирателна. Намерете дължината на допирателната отсечка, затворена между координатните оси.
Отговор:
13. Напишете уравнението на всички общи допирателни към графиките на функциите y \u003d x 2 - x + 1 и y \u003d 2x 2 - x + 0,5.
Отговор: y = - 3x и y = x.
14. Намерете разстоянието между допирателните към графиката на функцията 
успоредна на оста x.
Отговор:
15. Определете под какви ъгли параболата y \u003d x 2 + 2x - 8 пресича оста x.
Отговор: q 1 \u003d arctan 6, q 2 \u003d arctan (- 6).
16. На графиката на функцията 
намерете всички точки, допирателната във всяка от които към тази графика пресича положителните полуоси на координатите, отрязвайки равни сегменти от тях.
Отговор: A(-3; 11).
17. Правата y = 2x + 7 и параболата y = x 2 – 1 се пресичат в точки M и N. Намерете пресечната точка K на правите, допирателни към параболата в точки M и N.
Отговор: K(1; - 9).
18. За какви стойности на b е правата y \u003d 9x + b допирателна към графиката на функцията y \u003d x 3 - 3x + 15?
Отговор: - 1; 31.
19. За какви стойности на k правата y = kx – 10 има само една обща точка с графиката на функцията y = 2x 2 + 3x – 2? За намерените стойности на k определете координатите на точката.
Отговор: k 1 = - 5, A(- 2; 0); k 2 = 11, B(2; 12).
20. При какви стойности на b допирателната, начертана към графиката на функцията y = bx 3 – 2x 2 – 4 в точката с абсцисата x 0 = 2, минава през точката M(1; 8)?
Отговор: b = - 3.
21. Парабола с връх на оста x се допира до права, минаваща през точки A(1; 2) и B(2; 4) в точка B. Намерете уравнението на параболата.
Отговор: 
22. При каква стойност на коефициента k параболата y \u003d x 2 + kx + 1 докосва оста Ox?
Отговор: k = q 2.
23. Намерете ъглите между правата y = x + 2 и кривата y = 2x 2 + 4x - 3.
29. Намерете разстоянието между допирателните към графиката на функционалните генератори с положителна посока на оста Ox под ъгъл 45 °.
Отговор:
30. Намерете геометричното място на върховете на всички параболи от вида y = x 2 + ax + b, докосващи правата y = 4x - 1.
Отговор: права линия y = 4x + 3.
Литература
1. Звавич Л.И., Шляпочник Л.Я., Чинкина М.В. Алгебра и началото на анализа: 3600 задачи за ученици и кандидат-студенти. - М., Дропла, 1999.
2. Мордкович А. Четвъртият семинар за млади учители. Темата е "Производни приложения". - М., "Математика", № 21/94.
3. Формиране на знания и умения, основани на теорията за постепенното усвояване на умствените действия. / Ед. П.Я. Галперин, Н.Ф. Тализина. - М., Московски държавен университет, 1968 г.
