- (Math.) Функцията y \u003d f (x) се извиква дори ако не се променя, когато независимата променлива променя само знака, т.е. ако f (x) \u003d f (x). Ако f (x) = f (x), тогава функцията f (x) се нарича нечетна. Например y \u003d cosx, y \u003d x2 ... ...

F(x) = x е пример за нечетна функция. f(x) = x2 е пример за четна функция. f(x) = x3 ... Уикипедия

Функция, която удовлетворява равенството f (x) = f (x). Вижте функциите за четни и нечетни... Велика съветска енциклопедия

F(x) = x е пример за нечетна функция. f(x) = x2 е пример за четна функция. f(x) = x3 ... Уикипедия

F(x) = x е пример за нечетна функция. f(x) = x2 е пример за четна функция. f(x) = x3 ... Уикипедия

F(x) = x е пример за нечетна функция. f(x) = x2 е пример за четна функция. f(x) = x3 ... Уикипедия

F(x) = x е пример за нечетна функция. f(x) = x2 е пример за четна функция. f(x) = x3 ... Уикипедия

Специални функции, въведени от френския математик Е. Матийо през 1868 г. при решаване на задачи за вибрациите на елипсовидна мембрана. М. ф. се използват и при изследване на разпространението електромагнитни вълнив елипсовиден цилиндър... Велика съветска енциклопедия

Заявката "грех" се пренасочва тук; вижте и други значения. Заявката "sec" се пренасочва тук; вижте и други значения. „Sine“ пренасочва тук; вижте и други значения ... Wikipedia

Функция се нарича четна (нечетна), ако за всяко и равенството

.

Графиката на четната функция е симетрична спрямо оста
.

Графиката на нечетна функция е симетрична спрямо началото.

Пример 6.2.Проверете за четни или нечетни функции

1)
; 2)
; 3)
.

Решение.

1) Функцията е дефинирана с
. Да намерим
.

Тези.
. означава, дадена функцияе дори.

2) Функцията е дефинирана за

Тези.
. Следователно тази функция е странна.

3) функцията е дефинирана за , т.е. за

,
. Следователно функцията не е нито четна, нито нечетна. Нека го наречем обща функция.

3. Изследване на функция за монотонност.

функция
се нарича нарастваща (намаляваща) на някакъв интервал, ако в този интервал всяка по-голяма стойност на аргумента съответства на по-голяма (по-малка) стойност на функцията.

Функциите, нарастващи (намаляващи) на някакъв интервал, се наричат ​​монотонни.

Ако функцията
диференцируеми на интервала
и има положителна (отрицателна) производна
, след това функцията
нараства (намалява) в този интервал.

Пример 6.3. Намерете интервали на монотонност на функциите

1)
; 3)
.

Решение.

1) Тази функция е дефинирана върху цялата числова ос. Нека намерим производната.

Производната е нула, ако
и
. Област на дефиниране - числова ос, разделена на точки
,
за интервали. Нека определим знака на производната във всеки интервал.

В интервала
производната е отрицателна, функцията намалява на този интервал.

В интервала
производната е положителна, следователно функцията нараства на този интервал.

2) Тази функция е дефинирана, ако
или

.

Определяме знака на квадратния трином във всеки интервал.

По този начин обхватът на функцията

Нека намерим производната
,
, ако
, т.е.
, но
. Нека определим знака на производната в интервалите
.

В интервала
производната е отрицателна, следователно функцията намалява на интервала
. В интервала
производната е положителна, функцията нараства на интервала
.

4. Изследване на функция за екстремум.

Точка
се нарича точка на максимум (минимум) на функцията
, ако има такава близост на точката че за всички
това съседство удовлетворява неравенството

.

Максималните и минималните точки на функцията се наричат ​​точки на екстремум.

Ако функцията
в точката има екстремум, то производната на функцията в тази точка е равна на нула или не съществува (необходимо условие за съществуване на екстремум).

Точките, в които производната е равна на нула или не съществува, се наричат ​​критични.

5. Достатъчни условия за съществуване на екстремум.

Правило 1. Ако при прехода (отляво надясно) през критичната точка производна
променя знака от "+" на "-", след това в точката функция
има максимум; ако от "-" до "+", тогава минимумът; ако
не променя знака, тогава няма екстремум.

Правило 2. Нека в точката
първа производна на функцията
нула
, а втората производна съществува и е различна от нула. Ако
, тогава е максималната точка, ако
, тогава е минималната точка на функцията.

Пример 6.4 . Разгледайте максималните и минималните функции:

1)
; 2)
; 3)
;

4)
.

Решение.

1) Функцията е дефинирана и непрекъсната на интервала
.

Нека намерим производната
и реши уравнението
, т.е.
.оттук
са критични точки.

Нека определим знака на производната в интервалите ,
.

При преминаване през точки
и
производната променя знака от "–" на "+", следователно, съгласно правило 1
са минималните точки.

При преминаване през точка
производната променя знака от "+" на "-", така че
е максималната точка.

,
.

2) Функцията е дефинирана и непрекъсната в интервала
. Нека намерим производната
.

Чрез решаване на уравнението
, намирам
и
са критични точки. Ако знаменателят
, т.е.
, тогава производната не съществува. Така,
е третата критична точка. Нека определим знака на производната в интервали.

Следователно функцията има минимум в точката
, максимум в точки
и
.

3) Функцията е дефинирана и непрекъсната, ако
, т.е. при
.

Нека намерим производната

.

Нека намерим критичните точки:

Околности на точките
не принадлежат към областта на дефиницията, така че не са екстремум t. Така че нека проучим критичните точки
и
.

4) Функцията е дефинирана и непрекъсната на интервала
. Използваме правило 2. Намерете производната
.

Нека намерим критичните точки:

Нека намерим втората производна
и определете знака му в точките

По точки
функция има минимум.

По точки
функция има максимум.

Зависимостта на променливата y от променливата x, при която всяка стойност на x съответства на една единствена стойност на y, се нарича функция. Нотацията е y=f(x). Всяка функция има редица основни свойства, като монотонност, паритет, периодичност и други.

Разгледайте свойството паритет по-подробно.

Функция y=f(x) се извиква дори ако отговаря на следните две условия:

2. Стойността на функцията в точката x, принадлежаща на обхвата на функцията, трябва да бъде равна на стойността на функцията в точката -x. Тоест, за всяка точка x, от домейна на функцията, трябва да е вярно следното равенство f (x) \u003d f (-x).

Графика на четна функция

Ако построите графика на четна функция, тя ще бъде симетрична спрямо оста y.

Например функцията y=x^2 е четна. Нека го проверим. Областта на дефиниране е цялата числена ос, което означава, че тя е симетрична спрямо точката O.

Вземете произволно x=3. f(x)=3^2=9.

f(-x)=(-3)^2=9. Следователно f(x) = f(-x). Така и двете условия за нас са изпълнени, което означава, че функцията е четна. По-долу има графика на функцията y=x^2.

Фигурата показва, че графиката е симетрична спрямо оста y.

Графика на нечетна функция

Функция y=f(x) се нарича нечетна, ако удовлетворява следните две условия:

1. Областта на дадената функция трябва да е симетрична спрямо точката O. Тоест, ако някаква точка a принадлежи към областта на функцията, то съответната точка -a също трябва да принадлежи към областта на дадената функция.

2. За всяка точка x, от областта на функцията, трябва да бъде изпълнено следното равенство f (x) \u003d -f (x).

Графиката на нечетна функция е симетрична спрямо точката O - началото. Например функцията y=x^3 е нечетна. Нека го проверим. Областта на дефиниране е цялата числена ос, което означава, че тя е симетрична спрямо точката O.

Вземете произволно x=2. f(x)=2^3=8.

f(-x)=(-2)^3=-8. Следователно f(x) = -f(x). Така и двете условия за нас са изпълнени, което означава, че функцията е нечетна. По-долу има графика на функцията y=x^3.

Фигурата ясно показва, че нечетната функция y=x^3 е симетрична по отношение на началото.

Определение 1. Функцията се извиква дори (странно ), ако заедно с всяка стойност на променливата
значение - хсъщо принадлежи
и равенството

По този начин една функция може да бъде четна или нечетна само когато нейната област на дефиниция е симетрична по отношение на началото на реалната права (числа хи - хедновременно принадлежат
). Например функцията
не е нито четен, нито нечетен, тъй като неговата област на дефиниция
не е симетричен относно произхода.

функция
дори, защото
симетрични по отношение на началото на координатите и.

функция
странно, защото
и
.

функция
не е нито четен, нито нечетен, тъй като въпреки че
и е симетричен спрямо началото, равенствата (11.1) не са изпълнени. Например,.

Графиката на четната функция е симетрична спрямо оста OU, тъй като ако точката

също принадлежи към графиката. Графиката на нечетна функция е симетрична относно произхода, защото ако
принадлежи на графиката, тогава точката
също принадлежи към графиката.

Когато доказвате дали дадена функция е четна или нечетна, следните твърдения са полезни.

Теорема 1. а) Сумата от две четни (нечетни) функции е четна (нечетна) функция.

б) Произведението на две четни (нечетни) функции е четна функция.

в) Произведението на четна и нечетна функция е нечетна функция.

г) Ако fе четна функция на множеството х, и функцията ж определени на снимачната площадка
, след това функцията
- дори.

д) Ако fе странна функция на комплекта х, и функцията ж определени на снимачната площадка
и четен (нечетен), тогава функцията
- дори странно).

Доказателство. Нека докажем например b) и d).

б) Нека
и
са дори функции. Тогава, следователно. Случаят на нечетните функции се разглежда по подобен начин
и
.

г) Нека f е четна функция. Тогава.

Другите твърдения на теоремата се доказват по подобен начин. Теоремата е доказана.

Теорема 2. Всяка функция
, определени на множеството х, която е симетрична спрямо началото, може да бъде представена като сбор от четна и нечетна функция.

Доказателство. функция
може да се запише във формата

.

функция
е дори, тъй като
, и функцията
е странно, защото. По този начин,
, където
- дори и
е странна функция. Теоремата е доказана.

Определение 2. Функция
Наречен периодично издание ако има номер
, такива, че за всякакви
числа
и
също принадлежат към областта на дефиницията
и равенствата

Такъв номер TНаречен месечен цикъл функции
.

Определение 1 предполага, че ако T– период на функциониране
, след това числото Tсъщо е периодът на функцията
(защото при смяната Tна - Tравенството се запазва). Използвайки метода на математическата индукция, може да се покаже, че ако T– период на функциониране f, след това и
, също е период. От това следва, че ако една функция има период, то тя има безкрайно много периоди.

Определение 3. Най-малкият от положителните периоди на функцията се нарича неин основен месечен цикъл.

Теорема 3. Ако Tе основният период на функцията f, тогава останалите периоди са кратни на него.

Доказателство. Да приемем обратното, тоест, че има период функции f (>0), не множество T. След това, разделяне на Tс остатъка получаваме
, където
. Ето защо

това е – период на функциониране f, и
, което противоречи на факта, че Tе основният период на функцията f. Твърдението на теоремата следва от полученото противоречие. Теоремата е доказана.

Добре известно е, че тригонометричните функции са периодични. Основен период
и
се равнява
,
и
. Намерете периода на функцията
. Позволявам
е периодът на тази функция. Тогава

(защото
.

ororor
.

Значение T, определено от първото равенство, не може да бъде период, тъй като зависи от х, т.е. е функция на х, а не постоянно число. Периодът се определя от второто равенство:
. Има безкрайно много периоди
най-малкият положителен период се получава, когато
:
. Това е основният период на функцията
.

Пример за по-сложна периодична функция е функцията на Дирихле

Имайте предвид, че ако Tтогава е рационално число
и
са рационални числа под рационални хи ирационално, когато е ирационално х. Ето защо

за всяко рационално число T. Следователно всяко рационално число Tе периодът на функцията на Дирихле. Ясно е, че тази функция няма основен период, тъй като има положителни рационални числа, произволно близки до нула (например, рационално число може да бъде направено чрез избиране нпроизволно близо до нула).

Теорема 4. Ако функция f набор на снимачната площадка хи има период T, и функцията ж набор на снимачната площадка
, след това сложната функция
също има период T.

Доказателство. Следователно имаме

т. е. твърдението на теоремата е доказано.

Например, тъй като cos х има период
, след това функциите
имам период
.

Определение 4. Функции, които не са периодични, се наричат непериодични .

Скриване на шоуто

Начини за задаване на функция

Нека функцията е дадена по формулата: y=2x^(2)-3 . Като присвоите произволна стойност на независимата променлива x, можете да използвате тази формула, за да изчислите съответните стойности на зависимата променлива y. Например, ако x=-0,5 , тогава използвайки формулата, получаваме, че съответната стойност на y е y=2 \cdot (-0,5)^(2)-3=-2,5 .

Като се има предвид всяка стойност, взета от аргумента x във формулата y=2x^(2)-3 , може да се изчисли само една функционална стойност, която съответства на нея. Функцията може да бъде представена като таблица:

х	−2	−1	0	1	2	3
г	−4	−3	−2	−1	0	1

Използвайки тази таблица, можете да разберете, че за стойността на аргумента -1 ще съответства стойността на функцията -3; и стойността x=2 ще съответства на y=0 и т.н. Също така е важно да знаете, че всяка стойност на аргумент в таблицата отговаря само на една стойност на функцията.

Повече функции могат да бъдат зададени с помощта на графики. С помощта на графиката се установява коя стойност на функцията корелира с определена стойност на x. Най-често това ще бъде приблизителна стойност на функцията.

Четна и нечетна функция

Функцията е дори функция, когато f(-x)=f(x) за всяко x от домейна. Такава функция ще бъде симетрична спрямо оста Oy.

Функцията е странна функциякогато f(-x)=-f(x) за всяко x в домейна. Такава функция ще бъде симетрична спрямо началото O (0;0) .

Функцията е дори не, нито страннои се обади функция общ изглед когато няма симетрия спрямо оста или началото.

Разглеждаме следната функция за паритет:

f(x)=3x^(3)-7x^(7)

D(f)=(-\infty ; +\infty) със симетрична област на дефиниция относно произхода. f(-x)= 3 \cdot (-x)^(3)-7 \cdot (-x)^(7)= -3x^(3)+7x^(7)= -(3x^(3)-7x^(7))= -f(x).

Следователно функцията f(x)=3x^(3)-7x^(7) е нечетна.

Периодична функция

Функцията y=f(x), в чиято област f(x+T)=f(x-T)=f(x) е вярна за всяко x, се нарича периодична функцияс период T \neq 0 .

Повторение на графиката на функцията върху всеки сегмент от абсцисната ос, който има дължина T .

Интервали, където функцията е положителна, т.е. f (x) > 0 - сегменти от абсцисната ос, които съответстват на точките от графиката на функцията, които лежат над абсцисната ос.

f(x) > 0 включено (x_(1); x_(2)) \чаша (x_(3); +\infty)

Пропуски, при които функцията е отрицателна, т.е. f(x)< 0 - отрезки оси абсцисс, которые отвечают точкам графика функции, лежащих ниже оси абсцисс.

f(x)< 0 на (-\infty; x_(1)) \чаша (x_(2); x_(3))

Ограничение на функцията

ограничен отдолуобичайно е да се извиква функция y=f(x), x \in X, когато съществува число A, за което неравенството f(x) \geq A е валидно за всяко x \in X .

Пример за функция, ограничена по-долу: y=\sqrt(1+x^(2)), тъй като y=\sqrt(1+x^(2)) \geq 1 за всяко x .

ограничен отгорефункция y=f(x), x \in X се извиква, ако съществува число B, за което неравенството f(x) \neq B е в сила за всяко x \in X .

Пример за функция, ограничена по-долу: y=\sqrt(1-x^(2)), x \in [-1;1]тъй като y=\sqrt(1+x^(2)) \neq 1 за всяко x \in [-1;1] .

Ограниченобичайно е да се извиква функция y=f(x), x \in X, когато съществува число K > 0, за което неравенството \left | f(x) \right | \neq K за всяко x \in X .

Пример ограничена функция: y=\sin x е ограничен на цялата числова ос, защото \ляво | \sin x \right | \neq 1.

Нарастваща и намаляваща функция

Прието е да се говори за функция, която нараства на разглеждания интервал като увеличаваща се функциякогато по-голяма стойност на x ще съответства на по-голяма стойност на функцията y=f(x) . Оттук се оказва, че като вземем от разглеждания интервал две произволни стойности на аргумента x_(1) и x_(2) , и x_(1) > x_(2) , ще бъде y(x_(1)) > y(x_(2)) .

Извиква се функция, която намалява на разглеждания интервал намаляваща функциякогато по-голяма стойност на x ще съответства на по-малка стойност на функцията y(x) . Оттук се оказва, че като вземем от разглеждания интервал две произволни стойности на аргумента x_(1) и x_(2) , и x_(1) > x_(2) , ще бъде y(x_(1))< y(x_{2}) .

Функционални корениобичайно е да се назовават точките, в които функцията F=y(x) пресича абсцисната ос (те се получават в резултат на решаване на уравнението y(x)=0 ).

а) Ако четна функция расте при x > 0, тогава тя намалява при x< 0

б) Когато четна функция намалява за x > 0, тогава тя нараства за x< 0

в) Когато нечетна функция расте за x > 0, тогава тя също нараства за x< 0

г) Когато нечетна функция намалява за x > 0, тогава тя също ще намалява за x< 0

Функционални крайности

Функционална минимална точка y=f(x) е обичайно да наричаме такава точка x=x_(0) , в която нейната околност ще има други точки (с изключение на точката x=x_(0) ), и тогава неравенството f(x) > f (x_(0)) . y_(min) - обозначение на функцията в точката min.

Функционална максимална точка y=f(x) е обичайно да наричаме такава точка x=x_(0) , в която нейната околност ще има други точки (с изключение на точката x=x_(0) ), и тогава неравенството f(x) ще бъдат доволни за тях< f(x^{0}) . y_{max} - обозначение функции в точке max.

Необходимо условие

Според теоремата на Ферма: f"(x)=0, тогава когато функцията f(x) , която е диференцируема в точката x_(0) , в тази точка ще се появи екстремум.

Достатъчно условие

1. Когато знакът на производната се промени от плюс на минус, тогава x_(0) ще бъде минималната точка;
2. x_(0) - ще бъде максимална точка само когато производната промени знака от минус на плюс при преминаване през стационарната точка x_(0) .

Най-голямата и най-малката стойност на функцията на интервала

Стъпки на изчисление:

1. Търси се производна f"(x) ;
2. Намират се стационарни и критични точки на функцията и се избират принадлежащите към интервала;
3. Стойностите на функцията f(x) се намират в стационарните и критичните точки и краищата на сегмента. Най-малкият от резултатите ще бъде най-малката стойност на функцията, и още - най велик.