В този урок ще си припомним всички вече изучени методи за факторизиране на полином и ще разгледаме примери за тяхното приложение, освен това ще изучаваме нов метод - метода на пълния квадрат и ще се научим как да го прилагаме при решаването на различни проблеми.

Тема:Факторизиране на полиноми

Урок:Факторизиране на полиноми. Метод за избор на пълен квадрат. Комбинация от методи

Припомнете си основните методи за факторизиране на полином, които бяха изучавани по-рано:

Методът за изваждане на общ множител извън скоби, т.е. множител, който присъства във всички членове на полинома. Помислете за пример:

Спомнете си, че мономът е произведение на степени и числа. В нашия пример и двата члена имат някои общи, идентични елементи.

И така, нека извадим общия множител извън скобите:

;

Спомнете си, че като умножите изобразения множител по скобата, можете да проверите правилността на изобразяването.

метод на групиране. Не винаги е възможно да се извади общ множител в полином. В този случай трябва да разделите членовете му на групи по такъв начин, че във всяка група да можете да извадите общ фактор и да се опитате да го разбиете, така че след като извадите факторите в групите, да се появи общ фактор за целият израз и разширяването може да продължи. Помислете за пример:

Групирайте съответно първия член с четвъртия, втория с петия и третия с шестия:

Нека извадим общите фактори в групите:

Изразът има общ делител. Нека го извадим:

Приложение на формули за съкратено умножение. Помислете за пример:

;

Нека напишем израза подробно:

Очевидно пред нас е формулата за квадрата на разликата, тъй като има сбор от квадратите на два израза и от него се изважда двойното им произведение. Нека се движим по формулата:

Днес ще научим друг начин - методът за избор на пълен квадрат. Основава се на формулите на квадрата на сбора и квадрата на разликата. Припомнете си ги:

Формулата за квадрат на сбора (разликата);

Особеността на тези формули е, че съдържат квадрати на два израза и тяхното двойно произведение. Помислете за пример:

Нека напишем израза:

Така че първият израз е , а вторият .

За да се направи формула за квадрат на сбора или разликата, двойното произведение на изразите не е достатъчно. Трябва да се добавят и изваждат:

Нека свием пълния квадрат на сумата:

Нека трансформираме получения израз:

Прилагаме формулата за разликата на квадратите, припомнете си, че разликата на квадратите на два израза е произведението и сумите по тяхната разлика:

И така, този метод се състои преди всичко в това, че е необходимо да се идентифицират изразите a и b, които са повдигнати на квадрат, тоест да се определи кои изрази са повдигнати на квадрат в този пример. След това трябва да проверите за наличието на двоен продукт и ако го няма, добавете и извадете, това няма да промени смисъла на примера, но полиномът може да бъде разложен на множители с помощта на формулите за квадрат на сбора или разликата и разликата на квадратите, ако е възможно.

Да преминем към решаване на примери.

Пример 1 - факторизиране:

Намерете изрази, които са повдигнати на квадрат:

Нека запишем какво трябва да бъде двойното им произведение:

Нека съберем и извадим двойното произведение:

Нека свием пълния квадрат на сбора и да дадем подобни:

Ще запишем по формулата на разликата на квадратите:

Пример 2 - решаване на уравнението:

;

В лявата страна на уравнението има тричлен. Трябва да го изключите. Използваме формулата на квадрата на разликата:

Имаме квадрат на първия израз и двойното произведение, квадратът на втория израз липсва, нека го съберем и извадим:

Нека свием пълния квадрат и дадем подобни условия:

Нека приложим формулата за разликата на квадратите:

Така че имаме уравнението

Знаем, че произведението е нула само ако поне един от факторите нула. Въз основа на това ще напишем уравнения:

Нека решим първото уравнение:

Нека решим второто уравнение:

Отговор: или

;

Действаме подобно на предишния пример - избираме квадрата на разликата.

Способността за извършване на такава процедура е изключително необходима в много теми от математиката, свързани с квадратен тричленбрадва 2 + bx + ° С . Най-често:

1) Чертане на параболи г= брадва 2 + bx+ ° С;

2) Решаване на много задачи за квадратен трином ( квадратни уравненияи неравенства, задачи с параметри и др.);

3) Работа с някои функции, съдържащи квадратен тричлен, както и работа с криви от втори ред (за ученици).

Полезно нещо, накратко! За петица ли си? Тогава нека се научим!)

Какво означава да изберете пълния квадрат на бином в квадратен тричлен?

Тази задача означава, че оригиналният квадратен трином трябва да бъде преобразуван с помощта на тази форма:

Номер акакво е отляво, какво е отдясно един и същ. Коефициент X на квадрат. Затова е отбелязано една буква. Умножава се вдясно с квадратни скоби. В самите скоби стои същия бином, който се обсъжда в тази тема. Сумата от чисто x и някакво число м. Да, моля, обърнете внимание чисто х! Важно е.

А ето и писмата ми нточно - някои новчисла. Какво ще се получи в резултат на нашите трансформации. Те могат да се окажат положителни, отрицателни, цели, дробни - всякакви! Ще се убедите сами в примерите по-долу. Тези числа зависят от коефа, bи° С. Те имат свои собствени специални общи формули. Доста обемисти, с фракции. Затова няма да ги дам точно тук и сега. Защо вашите светли умове се нуждаят от допълнителни боклуци? Да, и не е интересно. Нека бъдем креативни.)

Какво трябва да знаете и разбирате?

На първо място, трябва да знаете наизуст. Поне две от тях сума на квадрати разлика на квадрат.

Тези:

Без тази двойка формули - никъде. Не само в този урок, но и в почти цялата останала математика като цяло. Намекът ясен ли е?)

Но само запомнените формули тук не са достатъчни. Трябват повече умни можете да прилагате тези формули. И не толкова директно, отляво надясно, а обратното, от дясно на ляво. Тези. чрез оригиналния квадратен трином, можете да дешифрирате квадрата на сумата / разликата. Това означава, че трябва лесно, автоматично да разпознавате равенства на типове:

х 2 +4 х+4 = (х+2) 2

х 2 -10 х+25 = (х-5) 2

х 2 + х+0,25 = (х+0,5) 2

Без това полезно умение също няма начин ... Така че, ако има проблеми с тези прости неща, затворете тази страница. Твърде рано е за вас тук.) Първо отидете на връзката по-горе. Тя е за теб!

О, откога си в темата? Отлично! След това прочетете.)

Така:

Как да избера пълния квадрат на бином в квадратен трином?

Нека започнем, разбира се, с един прост.

Ниво 1. Коефициент при х2 е равно на 1

Това е най-простата ситуация, изискваща минимум допълнителни трансформации.

Например, даден квадратен трином:

х 2 +4x+6

Външно изразът е много подобен на квадрата на сумата. Знаем, че квадратът на сумата съдържа чистите квадрати на първия и втория израз ( а 2 и b 2 ), както и двойното произведение 2 абсъщите тези изрази.

Е, вече имаме квадрата на първия израз в неговата чиста форма. то х 2 . Всъщност това е простотата на примерите от това ниво. Трябва да се получи квадрат на втория израз b 2 . Тези. намирам b. И ще служи като следа израз с х на първа степен, т.е. 4x. След всичко 4xможе да се представи като двойно произведение xx за двойка. Като този:

4 х = 2 ́ х 2

Така че, ако 2 аб=2х2и а= х, тогава b=2 . Можеш да пишеш:

х 2 +4x+6 = x 2 +2 ́ х 2+2 2 ….

Така насИскам да. Но! МатематикаИскам нашите действия да бъдат същността на оригиналния израз не се е променило. Така е направена. Добавихме към двойното произведение 2 2 , като по този начин променя оригиналния израз. Така че, за да не обиждам математиката, това е най-много 2 2 нужда от него точно сега за вкъщи. Като този:

…= x 2 +2 ́ х 2+ 2 2 -2 2 ….

Почти всички. Остава само да добавим 6, в съответствие с първоначалния тричлен. Шестицата не е отишла никъде! Ние пишем:

= х 2 +2 ́ х 2+2 2 - 2 2 +6 = …

Сега първите три члена дават нетно (или - пълен) биномен квадрат х+2 . Или (х+2) 2 . Това се опитваме да постигнем.) Дори няма да бъда мързелив и да поставя скоби:

… = (x 2 +2 ́ х 2+2 2 ) - 2 2 +6 =…

Скобите не променят същността на израза, но ясно подсказват какво, как и защо. Остава да свиете тези три члена в пълен квадрат според формулата, пребройте оставащата опашка в числа -2 2 +6 (това ще бъде 2) и напишете:

х 2 +4x+6 = (х+2) 2 +2

Всичко. Ние откроениквадратна скоба (х+2) 2 от оригинала квадратен тричлен х 2 +4x+6. Превърна го в сума пълен квадратен бином (х+2) 2 и някакво постоянно число (две). И сега ще напиша цялата верига от нашите трансформации в компактна форма. За яснота.

И това е всичко.) Това е целият смисъл на процедурата за избор на пълен квадрат.

Между другото, какви са числата тук ми н? да Всеки от тях е равен на две: м=2, н=2 . Така се случи и по време на селекцията.

Друг пример:

Изберете пълния квадрат на бинома:

х 2 -6x+8

И отново, първият поглед е към члена с х. Превръщаме 6х в два пъти произведението на х и три. Преди двойно - минус. Така че ние отделяме разлика на квадрат. Добавяме (за да получим пълен квадрат) и веднага изваждаме (за да компенсираме) тройката в квадрата, т.е. 9. Е, не забравяйте за осемте. Получаваме:

Тук м=-3 и н=-1 . И двете са отрицателни.

Схващате ли принципа? След това беше време за овладяване и общ алгоритъм. Всичко е същото, но чрез писма. И така, имаме квадратен тричлен х 2 + bx+ ° С (а=1) . Какво правим:

bx b /2 :

b с.

Ясно? Първите два примера бяха много прости, с цели числа. За запознаване. По-лошо е, когато в хода на трансформациите излизат дроби. Основното тук е да не се страхувате! И за да не се страхувате, всеки трябва да знае действията с дроби, да ...) Но ето петото ниво, нали? Ние усложняваме задачата.

Да кажем, че е даден следният трином:

х 2 +x+1

Как да организираме квадрата на сбора в този тричлен? Няма проблем! Подобен. Работим по точки.

1. Разглеждаме члена с x на първа степен ( bx) и го превърнете в два пъти произведението на x поb /2 .

Нашият член с х е просто х. Какво от това? Как можем да превърнем самотния X в двойно произведение? Да, много лесно! Директно според инструкциите. Като този:

Номер bв оригиналния тричлен - едно. Това е, b/2 се оказва дробна. Половина. 1/2. Ми добре. Вече не е малко.)

2. Добавяме към двойното произведение и веднага изваждаме квадрата на числото b/2. Добавяме - за допълване до пълен квадрат. Ние отнемаме - срещу обезщетение. В самия край добавяме свободен термин с.

Продължаваме:

3. Превръщаме първите три члена в квадрат на сумата / разликата според съответната формула. Изразът, който остава извън, е внимателно изчислен в числа.

Първите три члена са разделени със скоби. Не можете да се разделите, разбира се. Това се прави само за удобство и яснота на нашите трансформации. Сега можете ясно да видите, че пълният квадрат на сумата е в скоби (х+1/2) 2 . И всичко останало извън квадрата на сумата (ако броите) дава +3/4. Финалната линия:

Отговор:

Тук м=1/2 , а н=3/4 . Дробни числа. Случва се. Такъв тричлен се хвана ...

Такава е технологията. Схванах го? Можете ли да преминете към следващото ниво?

Ниво 2. Коефициентът при x 2 не е равен на 1 - какво да правя?

Това е по-общ случай от случая а=1. Обемът на изчисленията, разбира се, се увеличава. Разстройва, да ... Но цялостно решениекато цяло остава същото. Към него се добавя само една нова стъпка. Това ме радва.)

Засега помислете за безвреден случай, без никакви дроби и други капани. Например:

2 х 2 -4 х+6

По средата има минус. И така, ще напаснем квадрата на разликата. Но коефициентът на квадрат от х е двойка. И е по-лесно да се работи с такъв. С чисто х. Какво да правя? И нека извадим тази двойка от скоби! За да не пречи. Имаме право! Получаваме:

2(х 2 -2 х+3)

Като този. Сега тричленът в скоби - вече с чистаХ на квадрат! Както се изисква от алгоритъма от ниво 1. И сега вече е възможно да се работи с този нов трином според старата утвърдена схема. Тук действаме. Нека го напишем отделно и го трансформираме:

х 2 -2 х+3 = х 2 -2х1+1 2 -1 2 +3 = (х 2 -2х1+1 2 ) -1 2 +3 = (х-1) 2 +2

Наполовина готово. Остава да вмъкнете получения израз вътре в скобите и да ги разширите обратно. Вземете:

2(х 2 -2 х+3) = 2((х-1) 2 +2) = 2(х-1) 2 +4

Готов!

Отговор:

2 х 2 -4 х+6 = 2( х -1) 2 +4

Поправяме в главата:

Ако коефициентът при квадрат на х не е равен на едно, тогава изваждаме този коефициент извън скобите. С тринома, оставащ в скобите, работим според обичайния алгоритъм за а=1. След като изберете пълен квадрат в него, поставете резултата на място и отворете външните скоби обратно.

Но какво ще стане, ако коефициентите b и c не се делят на a? Това е най-честият и в същото време най-лошият случай. После само дроби, да... Няма какво да се направи. Например:

3 х 2 +2 х-5

Всичко е същото, изпращаме трите извън скоби, получаваме:

За съжаление, нито две, нито пет се делят напълно на три, така че коефициентите на новия (редуциран) трином са дробен. Е, нищо страшно. Работа директно с дроби: дветерцините x се превръщат в двойнопроизведение на x по единтрето, добавете на квадрат една трета (т.е. 1/9), извадете го, извадете 5/3...

Като цяло разбирате!

Решете какво вече има. Трябва да завърши така:

И още един рейк. Известно е, че много студенти се борят с положителни цели числа и дори дробни коефициенти, но се придържат към отрицателните. Например:

- х 2 +2 х-3

Какво да правим с минус предих 2 ? Във формулата за квадрат на сумата / разликата е необходим всеки плюс ... Не е въпрос! Все същото. Изваждаме този минус за скоби. Тези. минус едно. Като този:

- х 2 +2 х-3 = -(х 2 -2 х+3) = (-1) (х 2 -2 х+3)

И всички неща. И с тричлена в скоби - пак по набраздения път.

х 2 -2 х+3 = (х 2 -2 х+1) -1+3 = (х-1) 2 +2

И така, минус:

- х 2 +2 х-3 = -((х-1) 2 +2) = -(х-1) 2 -2

Това е всичко. Какво? Не знаете как да поставите минус извън скоби? Е, това е въпрос за елементарна алгебра от седми клас, не за квадратни триноми...

Запомнете: работете с отрицателен коефициент анищо по същество различно от работата с положителното. Извеждане на негатива аизвън скоби, а след това - според всички правила.

Защо трябва да можете да изберете цял квадрат?

Първото полезно нещо е да рисувате параболи бързо и без грешки!

Например такава задача:

Начертайте функцията:г=- х 2 +2 х+3

какво ще правим Изграждане по точки? Разбира се, че е възможно. Малки стъпки по дългия път. Доста скучно и безинтересно...

На първо място ви напомням, че при изграждането всякаквипараболи, винаги й представяме стандартен набор от въпроси. Двама са. а именно:

1) Накъде са насочени клоновете на параболата?

2) Къде е горната част?

С посоката на клоните всичко е ясно още от оригиналния израз. Ще бъдат насочени клонове път надолу, тъй като коефициентът предих 2 - отрицателен. Минус едно. Минус преди х-квадрат винагиобръща параболата.

Но с местоположението на върха всичко не е толкова очевидно. Има, разбира се, обща формула за изчисляване на неговата абциса чрез коефициентите аи b.

Този:

Но не всеки помни тази формула, о, не всеки ... И 50% от тези, които все още помнят, се спъват неочаквано и се объркват в банална аритметика (обикновено при броене на игра). Жалко, нали?)

Сега ще научите как да намерите координатите на върха на всяка парабола в мислите миза една минута! И x, и y. С един замах и без никакви формули. как? Като изберете цял квадрат!

И така, избираме пълния квадрат в нашия израз. Получаваме:

y=-х 2 +2 х+3 = -(х-1) 2 +4

Който е добре запознат с Главна информацияза функциите и усвоих добре темата" трансформации на функционалната графика “, той лесно ще разбере, че желаната от нас парабола се получава от обичайната парабола г= х 2 с помощта на три трансформации. То:

1) Променете посоката на клоните.

Това се обозначава със знака минус пред квадратните скоби ( а=-1). Беше г= х 2 , стана г=- х 2 .

Преобразуване: f ( х ) -> - f ( х ) .

2) Паралелен превод на параболата y=- х 2 X 1 единица НАДЯСНО.

Така се получава междинният график y=-(х-1 ) 2 .

Преобразуване: - f ( х ) -> - f ( х + м ) (m=-1).

Защо изместването е надясно, а не наляво, въпреки че има минус в скоби? Това е теорията на трансформациите на графите. Това е отделен въпрос.

И накрая,

3) Паралелен трансфер параболи y=-( х -1) 2 с 4 единици НАГОРЕ.

Така се получава крайната парабола. y=-(х-1) 2 +4 .

Преобразуване: - f ( х + м ) -> - f ( х + м )+ н (n=+4)

И сега разглеждаме нашата верига от трансформации и мислим: Къде се движи върхът на параболата?г=x 2 ? Беше в точката (0; 0), след първата трансформация върхът не мръдна никъде (параболата просто се обърна), след втората се премести надолу с x с +1, а след третата с y с +4. Общо топ удари точката (1; 4) . Това е цялата тайна!

Картината ще бъде следната:

Всъщност точно поради тази причина с такава упоритост насочвам вниманието ви към числата. ми нполучени в процеса на избор на пълен квадрат. Не познахте защо? да Въпросът е, че точката с координати (- м ; н ) - винаги е връх на парабола г = а ( х + м ) 2 + н . Просто разглеждаме числата в преобразувания тричлен и в мислите мидаваме верния отговор, къде е върха. Удобно, нали?)

Рисуването на параболи е първото полезно нещо. Да преминем към второто.

Второто полезно нещо е решаването на квадратни уравнения и неравенства.

Да да! Изборът на пълния квадрат в много случаи се оказва много по-бързо и по-ефективнотрадиционни методи за решаване на подобни проблеми. Съмнение? Моля те! Ето една задача за вас:

Решете неравенството:

х 2 +4 х+5 > 0

Научени? да Това е класическо квадратно неравенство . Всички подобни неравенства се решават по стандартния алгоритъм. За това имаме нужда от:

1) Направете уравнение на стандартната форма от неравенството и го решете, намерете корените.

2) Начертайте оста X и маркирайте корените на уравнението с точки.

3) Схематично изобразете парабола според оригиналния израз.

4) Определете +/- областите на фигурата. Изберете желаните области според първоначалното неравенство и запишете отговора.

Всъщност целият този процес е досаден, да ...) И освен това не винаги спасява от грешки в нестандартни ситуации като този пример. Нека първо опитаме модела, става ли?

Така че нека направим първата точка. Съставяме уравнение от неравенството:

х 2 +4 х+5 = 0

Стандартно квадратно уравнение, без трикове. Ние решаваме! Разглеждаме дискриминанта:

д = b 2 -4 ак = 4 2 - 4∙1∙5 = -4

Това е! А дискриминантът е отрицателен! Уравнението няма корени! И няма какво да рисувам по оста ... Какво да правя?

Тук някои могат да заключат, че първоначалното неравенство също няма решения.. Това е фатална заблуда, да ... Но чрез подчертаване на пълния квадрат правилният отговор на това неравенство може да бъде даден за половин минута! Съмнение? Е, можете да го засечете.

И така, избираме пълния квадрат в нашия израз. Получаваме:

х 2 +4 х+5 = (х+2) 2 +1

Първоначалното неравенство започна да изглежда така:

(х+2) 2 +1 > 0

И сега, без да решаваме или трансформираме нищо повече, ние просто включваме елементарна логика и мислим: ако на квадрат на някакъв израз (стойността е очевидно неотрицателни!) добави още едно, тогава какво число ще получим?да Строго положителен!

Сега нека да разгледаме неравенството:

(х+2) 2 +1 > 0

Превеждаме записа от математическия език на руски: за който x е строго положителенизраз ще бъде строго Повече ▼нула? Не познахте? да С всякакви!

Ето вашия отговор: x е произволно число.

Сега да се върнем към алгоритъма. Все пак разбирането на същността и простото запаметяване са две различни неща.)

Същността на алгоритъма е, че правим парабола от лявата страна на стандартното неравенство и гледаме къде е над оста X и къде е отдолу. Тези. къде са положителни стойности на лявата страна, къде са отрицателни.

Ако направим парабола от нашата лява страна:

y=х 2 +4 х+5

И начертайте неговата графика, ще видим това всичкоцяла парабола минава над оста x.Картината ще изглежда така:

Параболата е крива, да ... Затова е схематична. Но в същото време всичко, от което се нуждаем, се вижда на снимката. Параболата няма точки на пресичане с оста X, няма нулеви стойности на играта. И, разбира се, няма и отрицателни стойности. Това се показва чрез засенчване на цялата X-ос. Между другото, Y-оста и координатите на върха съм изобразил тук с добра причина. Сравнете координатите на върха на параболата (-2; 1) и нашия трансформиран израз!

y=х 2 +4 х+5 = ( х +2) 2 +1

А вие как? да В нашия случай м=2 и н=1 . Следователно върхът на параболата има координати: (- м; н) = (-2; 1) . Всичко е логично.)

Друга задача:

Решете уравнението:

х 2 +4 х+3 = 0

Просто квадратно уравнение. Можете да решите по старомодния начин. Възможно е чрез. Както желаеш. Математиката няма нищо против.)

Да вземем корените: х 1 =-3 х 2 =-1

И ако нито единият, нито другият начин на това ... не си спомням? Е, свети ти двойка, в добрия смисъл, но ... Така да бъде, ще те спася! Ще ви покажа как можете да решавате някои квадратни уравнения, като използвате само методите от седми клас. Отново изберете цял квадрат!)

х 2 +4 х+3 = (х+2) 2 -1

И сега записваме получения израз като ... разлика на квадратите!Да, да, има един в седми клас:

а 2 -б 2 = (a-b)(a+b)

Актьорски състав астърчат скоби(х+2) , и в ролята b- един. Получаваме:

(х+2) 2 -1 = (х+2) 2 -1 2 = ((х+2)-1)((х+2)+1) = (х+1)(х+3)

Вмъкваме това разширение в уравнението вместо квадратния трином:

(х+1)(х+3)=0

Остава да разберем, че произведението на факторите е равно на нула тогава и само тогавакогато някой от тях е равен на нула. Така че приравняваме (в ума!) на нула всяка скоба.

Получаваме: х 1 =-3 х 2 =-1

Това е всичко. Същите два корена. Такъв е сръчният приемник. В допълнение към дискриминанта.)

Между другото, за дискриминанта и за обща формулакорени на квадратното уравнение:

В урока пропуснах извеждането на тази тромава формула. За безполезност. Но тук е мястото за него.) Искате ли да знаете как вземете тази формула? Откъде идва изразът за дискриминанта и защо точноb 2 -4ac, но не и по друг начин? Все пак пълното разбиране на същността на случващото се е много по-полезно от необмисленото драскане на всякакви букви и символи, нали?)

Третото полезно нещо е извеждането на формулата за корените на квадратно уравнение.

Ето ни! Взимаме квадратния трином общ изглед брадва 2 + bx+ ° Си… започваме да избираме цял квадрат!Да, направо чрез писма!Имаше аритметика, стана алгебра.) Първо, както обикновено, изваждаме буквата аизвън скобите и разделете всички други коефициенти на а:

Като този. Това е напълно законно преобразуване: а не е равно на нула, и може да се раздели на него. И ние отново работим със скоби според обичайния алгоритъм: от термина с x правим двоен продукт, добавяме / изваждаме квадрата на второто число ...

Всичко е същото, но с букви.) Опитайте се да го завършите сами! Здрави!)

След всички трансформации трябва да получите това:

И защо трябва да изграждаме такива купчини от безвреден тричлен - питате вие? Нищо, сега ще е интересно! И сега, разбира се, приравняваме това нещо до нула:

Решаваме го като нормално уравнение, работим по всички правила, само с букви. Правим елементарно:

1) Преместете по-голямата дроб надясно.При преместване на плюс преминаваме към минус. За да не рисувам минус пред самата дроб, просто ще сменя всички знаци в числителя. Отляво в числителя беше4ac-b 2 , а след прехвърлянето става -( 4ac-b 2 ) , т.е. b 2 -4 ак. Нещо познато, не мислите ли? да Дискриминант, той е най-много ...) Ще бъде така:

2) Изчистваме квадрата от скоби от коефициента.Разделяме двете части на " а". Отляво, преди скобите, буквата аизчезва и отдясно отива в знаменателя на голяма дроб, превръщайки я в 4 а 2 .

Оказва се това равенство:

Не ти ли се получи? Тогава темата "" е за вас. Отидете веднага!

Следваща стъпка извлечете корена. Интересуваме се от X, нали? И X седи под квадрата ... Извличаме според правилата за извличане на корени, разбира се. След екстракцията се случва следното:

Отляво е квадратът на сумата изчезваи остава само самата сума. Което е задължително.) Но вдясно се появява плюс/минус. За нашата тежка фракция, въпреки страхотния си външен вид, е просто някакво число. Дробно число. Зависи от коефициента а, b, ° С. В същото време коренът от числителя на тази дроб не е красиво извлечен, има разлика от два израза. И тук е коренът на знаменателя 4 а 2 доста извлекаем! Ще се окаже лесно 2 а.

"Сложен" въпрос за попълване: имах ли право, извличайки корена от израза 4 а2, дайте отговор само 2а?В крайна сметка правилото за извличане корен квадратен задължава да постави знака на модула, т.е.2|а| !

Помислете защо все пак пропуснах знака на модула. Много полезно. Съвет: отговорът се крие в знака плюс/минуспреди дробта.)

Остават празни места. Предоставяме чист x вляво. За да направите това, преместете малката фракция надясно. При смяна на знака пиперът е ясен. Напомням ви, че знакът в дроб може да се променя навсякъде и по всякакъв начин. Искаме да променим преди дробта, искаме в знаменателя, искаме в числителя. Ще сменя знака в числителя. Беше + b, стана – b. Надявам се, че няма възражения?) След прехвърлянето ще стане така:

Събираме две дроби с еднакви знаменатели и получаваме (накрая!):

Добре? Какво мога да кажа? Еха!)

Четвъртото полезно нещо е учениците да си вземат под внимание!

Сега да преминем плавно от училище към университет. Няма да повярвате, но изборът на пълен квадрат във висшата математика също е необходим!

Например такава задача:

Намерете неопределения интеграл:

Къде да започна? Директното приложение не се търкаля. Само избирането на цял квадрат запазва, да ...)

Тези, които не знаят как да изберат пълен квадрат, завинаги ще останат на този прост пример. И кой знае как разпределя и получава:

х 2 +4 х+8 = (х+2) 2 +4

А сега интеграла (за знаещите) се взима с една лява!

Страхотно е, нали? И не са само интеграли! Вече мълча за аналитичната геометрия, с нейните криви от втори ред – елипса, хипербола, парабола и окръжност.

Например:

Определете вида на кривата, дадено от уравнението:

х 2 + г 2 -6 х-8 г+16 = 0

Без възможност за избор на пълен квадрат задачата не може да бъде решена, да ... Но примерът не може да бъде по-лесен! За знаещите, разбира се.

Групираме членовете с x и y на купчини и избираме пълни квадратчета за всяка променлива. Вземете:

(х 2 -6x) + (г 2 -8 г) = -16

(х 2 -6x+9)-9 + (г 2 -8 г+16)-16 = -16

(х-3) 2 + (г-4) 2 = 9

(х-3) 2 + (г-4) 2 = 3 2

Е, как е? Разбрахте ли какъв вид животно?) Е, разбира се! Кръг с радиус три с център в точката (3; 4).

И това е всичко.) Полезно нещо е да изберете цял квадрат!)

Както вече отбелязах, в интегралното смятане няма удобна формула за интегриране на дроб. И следователно има тъжна тенденция: колкото по-„хитра“ е дробта, толкова по-трудно е да се намери интегралът от нея. В това отношение човек трябва да прибягва до различни трикове, които сега ще обсъдя. Подготвените читатели могат да използват веднага съдържание:

• Методът на подреждане под знака на диференциала за прости дроби

Метод на изкуствено преобразуване на числителя

Пример 1

Между другото, разглежданият интеграл може да бъде решен и чрез метода на промяна на променливата, обозначаващ , но решението ще бъде много по-дълго.

Пример 2

намирам неопределен интеграл. Пуснете проверка.

Това е пример за „направи си сам“. Трябва да се отбележи, че тук методът за заместване на променливи вече няма да работи.

Внимание важно! Примери № 1, 2 са типични и често срещани. По-специално, такива интеграли често възникват в хода на решаването на други интеграли, по-специално при интегриране на ирационални функции (корени).

Горният метод работи и в случая ако най-голямата степен на числителя е по-голяма от най-голямата степен на знаменателя.

Пример 3

Намерете неопределения интеграл. Пуснете проверка.

Да започнем с числителя.

Алгоритъмът за избор на числител е нещо подобно:

1) В числителя трябва да организирам, но там. Какво да правя? Ограждам в скоби и умножавам по: .

2) Сега се опитвам да отворя тези скоби, какво се случва? . Хм ... вече по-добре, но няма двойка с първоначално в числителя. Какво да правя? Трябва да умножите по:

3) Отново отваряне на скобите: . И ето го първият успех! Нужно се оказа! Но проблемът е, че се появи допълнителен термин. Какво да правя? За да не се промени изразът, трябва да добавя същото към моята конструкция:
. Животът стана по-лесен. Възможно ли е да се организира отново в числителя?

4) Можете. Опитваме: . Разгънете скобите на втория член:
. Съжалявам, но всъщност имах в предишната стъпка, а не . Какво да правя? Трябва да умножим втория член по:

5) Отново, за проверка, отварям скобите във втория член:
. Сега е нормално: получено от окончателната конструкция на параграф 3! Но отново има едно малко „но“, появи се допълнителен термин, което означава, че трябва да добавя към израза си:

Ако всичко е направено правилно, тогава при отваряне на всички скоби трябва да получим оригиналния числител на интегранта. Ние проверяваме:
Добре.

По този начин:

Готов. В последния семестър приложих метода за привеждане на функцията под диференциала.

Ако намерим производната на отговора и приведем израза към общ знаменател, тогава получаваме точно оригиналния интегранд. Разглежданият метод за разширяване в сума не е нищо повече от обратното действие за привеждане на израза към общ знаменател.

Алгоритъмът за избор на числител в такива примери се изпълнява най-добре на чернова. С някои умения ще работи и психически. Спомням си рекордно време, когато направих селекция за 11-та степен и разширяването на числителя отне почти два реда на Werd.

Пример 4

Намерете неопределения интеграл. Пуснете проверка.

Това е пример за „направи си сам“.

Методът на подреждане под знака на диференциала за прости дроби

Да преминем към следващия вид дроби.
, , , (коефициентите и не са равни на нула).

Всъщност, няколко случая с арксинус и арктангенс вече са пропуснати в урока Метод на промяна на променлива в неопределен интеграл. Такива примери се решават чрез поставяне на функцията под знака на диференциала и след това интегриране с помощта на таблицата. Ето още няколко типични примера с дълъг и висок логаритъм:

Пример 5

Пример 6

Тук е препоръчително да вземете таблица с интеграли и да следвате какви формули и какнастъпва трансформация. Забележка, как и защоквадратите са подчертани в тези примери. По-специално, в пример 6 първо трябва да представим знаменателя като , след това поставете под знака на диференциала. И трябва да направите всичко това, за да използвате стандартната таблична формула .

Но какво да гледате, опитайте се да решите сами примери № 7,8, особено след като са доста кратки:

Пример 7

Пример 8

Намерете неопределения интеграл:

Ако можете да проверите и тези примери, тогава голямо уважение са вашите умения за диференциране в най-добрия им вид.

Метод за избор на пълен квадрат

Интеграли от формата , (коефициенти и не са равни на нула) се решават метод за избор на пълен квадрат, който вече се появи в урока Трансформации на геометрични графики.

Всъщност такива интеграли се свеждат до един от четирите таблични интеграла, които току-що разгледахме. И това се постига с помощта на познатите формули за съкратено умножение:

Формулите се прилагат в тази посока, тоест идеята на метода е изкуствено да организира изрази в знаменателя или , след което да ги преобразува съответно в или .

Пример 9

Намерете неопределения интеграл

то най-простият пример, при което с термина - единичен коеф(а не някакво число или минус).

Гледаме знаменателя, тук всичко е ясно сведено до случая. Нека започнем да преобразуваме знаменателя:

Очевидно трябва да добавите 4. И така, че изразът да не се променя - същите четири и извадете:

Сега можете да приложите формулата:

След като преобразуването приключи ВИНАГИжелателно е да се извърши обратно движение: всичко е наред, няма грешки.

Чистият дизайн на въпросния пример трябва да изглежда по следния начин:

Готов. Привеждането на "свободна" комплексна функция под диференциалния знак: по принцип може да бъде пренебрегнато

Пример 10

Намерете неопределения интеграл:

Това е пример за самостоятелно решаване, отговорът е в края на урока.

Пример 11

Намерете неопределения интеграл:

Какво да правим, когато има минус отпред? В този случай трябва да извадите минуса от скобите и да подредите условията в реда, от който се нуждаем:. Константа("двойно" в този случай) не докосвайте!

Сега добавяме един в скоби. Анализирайки израза, стигаме до извода, че имаме нужда от един зад скобата - добавете:

Ето формулата, приложете:

ВИНАГИизвършваме проверка на черновата:
, което трябваше да бъде проверено.

Изчистеният дизайн на примера изглежда по следния начин:

Ние усложняваме задачата

Пример 12

Намерете неопределения интеграл:

Тук с термина вече не става въпрос за единичен коефициент, а за „петица“.

(1) Ако се намери константа при, веднага я изваждаме от скоби.

(2) По принцип винаги е по-добре тази константа да бъде извадена от интеграла, за да не пречи.

(3) Очевидно е, че всичко ще се сведе до формулата . Необходимо е да разберете термина, а именно да получите "две"

(4) Да, . И така, добавяме към израза и изваждаме същата дроб.

(5) Сега изберете цял квадрат. В общия случай също е необходимо да се изчисли , но тук имаме формула за дълъг логаритъм , и действието няма смисъл да се изпълнява, защо - ще стане ясно малко по-долу.

(6) Всъщност можем да приложим формулата , само че вместо "x" имаме, което не отменя валидността на табличния интеграл. Строго погледнато, липсва една стъпка - преди интегрирането функцията трябва да бъде поставена под диференциалния знак: , но, както многократно съм отбелязвал, това често се пренебрегва.

(7) В отговора под корена е желателно да отворите всички скоби назад:

Труден? Това не е най-трудното в интегралното смятане. Въпреки това, разглежданите примери не са толкова сложни, колкото изискват добра техника на изчисление.

Пример 13

Намерете неопределения интеграл:

Това е пример за „направи си сам“. Отговорете в края на урока.

Има интеграли с корени в знаменателя, които с помощта на замяна се редуцират до интеграли от разглеждания тип, можете да прочетете за тях в статията Комплексни интеграли, но е предназначен за високо подготвени ученици.

Привеждане на числителя под знака на диференциала

Това е последната част от урока, но интегралите от този тип са доста често срещани! Ако умората е натрупана, може би е по-добре да прочетете утре? ;)

Интегралите, които ще разгледаме, са подобни на интегралите от предишния параграф, те имат формата: или (коефициентите , и не са равни на нула).

Тоест в числителя, който имаме линейна функция. Как се решават такива интеграли?

Определение

Изрази като 2 x 2 + 3 x + 5 се наричат ​​квадратен трином. В общия случай квадратният трином е израз на формата a x 2 + b x + c, където a, b, c a, b, c са произволни числа и a ≠ 0.

Да разгледаме квадратния тричлен x 2 - 4 x + 5 . Нека го запишем в следния вид: x 2 - 2 2 x + 5. Нека добавим 2 2 към този израз и извадим 2 2 , получаваме: x 2 - 2 2 x + 2 2 - 2 2 + 5. Обърнете внимание, че x 2 - 2 2 x + 2 2 = (x - 2) 2, така че x 2 - 4 x + 5 = (x - 2) 2 - 4 + 5 = (x - 2) 2 + 1 . Трансформацията, която направихме, се нарича "избор на пълен квадрат от квадратен тричлен".

Изберете идеалния квадрат от квадратния тричлен 9 x 2 + 3 x + 1.

Обърнете внимание, че 9 x 2 = (3 x) 2, `3x=2*1/2*3x`. Тогава '9x^2+3x+1=(3x)^2+2*1/2*3x+1'. Добавете и извадете към получения израз `(1/2)^2`, получаваме

`((3x)^2+2*1/2*3x+(1/2)^2)+1-(1/2)^2=(3x+1/2)^2+3/4`.

Нека покажем как методът за извличане на пълен квадрат от квадратен тричлен се използва за факторизиране на квадратен трином.

Разложете на множители квадратния тричлен 4 x 2 - 12 x + 5 .

Избираме пълния квадрат от квадратния тричлен: 2 x 2 - 2 2 x 3 + 3 2 - 3 2 + 5 = 2 x - 3 2 - 4 = (2 x - 3) 2 - 2 2 . Сега прилагаме формулата a 2 - b 2 = (a - b) (a + b) , получаваме: (2 x - 3 - 2) (2 x - 3 + 2) = (2 x - 5) (2 x - 1 ) .

Разложете квадратния тричлен - 9 x 2 + 12 x + 5 .

9 x 2 + 12 x + 5 = - 9 x 2 - 12 x + 5 . Сега забележете, че 9 x 2 = 3 x 2, - 12 x = - 2 3 x 2.

Добавяме термина 2 2 към израза 9 x 2 - 12 x, получаваме:

3 x 2 - 2 3 x 2 + 2 2 - 2 2 + 5 = - 3 x - 2 2 - 4 + 5 = 3 x - 2 2 + 4 + 5 = - 3 x - 2 2 + 9 = 3 2 - 3 x - 2 2 .

Прилагаме формулата за разликата на квадратите, имаме:

9 x 2 + 12 x + 5 = 3 - 3 x - 2 3 + (3 x - 2) = (5 - 3 x) (3 x + 1) .

Разложете на множители квадратния тричлен 3 x 2 - 14 x - 5 .

Не можем да представим израза 3 x 2 като квадрат на някакъв израз, защото все още не сме го учили в училище. Ще преминете през това по-късно, а вече в задача № 4 ще учим квадратни корени. Нека покажем как можем да разложим на множители даден квадратен трином:

`3x^2-14x-5=3(x^2-14/3 x-5/3)=3(x^2-2*7/3 x+(7/3)^2-(7/3) ^2-5/3)=`

`=3((x-7/3)^2-49/9-5/3)=3((x-7/3)^2-64/9)=3((x-7/3)^ 2-8/3)^2)=`

`=3(x-7/3-8/3)(x-7/3+8/3)=3(x-5)(x+1/3)=(x-5)(3x+1) `.

Ще покажем как методът на пълен квадрат се използва за намиране на най-големите или най-малките стойности на квадратен трином.
Да разгледаме квадратния тричлен x 2 - x + 3 . Избиране на пълен квадрат:

`(x)^2-2*x*1/2+(1/2)^2-(1/2)^2+3=(x-1/2)^2+11/4`. Имайте предвид, че когато `x=1/2` стойността на квадратния трином е `11/4`, а когато `x!=1/2` стойността на `11/4` се добавя към положително число, така че получаваме число, по-голямо от „11/4“. По този начин, най-малка стойностквадратен трином е „11/4“ и се получава с „x=1/2“.

Намерете най-голямата стойност на квадратния тричлен - 16 2 + 8 x + 6 .

Избираме пълния квадрат от квадратния трином: - 16 x 2 + 8 x + 6 = - 4 x 2 - 2 4 x 1 + 1 - 1 + 6 = - 4 x - 1 2 - 1 + 6 = - 4 x - 1 2 + 7 .

При `x=1/4` стойността на квадратния трином е 7 , а при `x!=1/4` от числото 7 се изважда положително число, тоест получаваме число по-малко от 7 . Значи числото 7 е най-висока стойностквадратен трином и се получава с `x=1/4`.

Разложете числителя и знаменателя на `(x^2+2x-15)/(x^2-6x+9)` и съкратете дробта.

Обърнете внимание, че знаменателят на дробта x 2 - 6 x + 9 = x - 3 2 . Разлагаме числителя на дробта на множители, използвайки метода за извличане на пълния квадрат от квадратния тричлен. x 2 + 2 x - 15 = x 2 + 2 x 1 + 1 - 1 - 15 = x + 1 2 - 16 = x + 1 2 - 4 2 = = (x + 1 + 4) (x + 1 - 4 ) = (x + 5) (x - 3) .

Тази дроб беше намалена до формата `((x+5)(x-3))/(x-3)^2` след намаляване с (x - 3) получаваме `(x+5)/(x-3 )`.

Разложете полинома на множители x 4 - 13 x 2 + 36.

Нека приложим метода на пълния квадрат към този полином. `x^4-13x^2+36=(x^2)^2-2*x^2*13/2+(13/2)^2-(13/2)^2+36=(x^ 2-13/2)^2-169/4+36=(x^2-13/2)^2-25/4=`