Тригонометрични функции за манекени. Тригонометрията е проста и ясна. Тригонометрични формули за редукция

Още през 1905 г. руските читатели можеха да прочетат в Психологията на Уилям Джеймс разсъжденията му за това "защо тъпченето е толкова лош начин за учене?"

„Знанията, придобити чрез просто натъпкване, почти неизбежно се забравят напълно без следа. Напротив, умственият материал, натрупан от паметта постепенно, ден след ден, във връзка с различни контексти, свързван асоциативно с други външни събития и многократно подложен на обсъждане, формира такава система, влиза в такава връзка с други аспекти на нашия интелект. , лесно се подновява в паметта от маса външни причини, които остават дългосрочно солидно придобиване.

Оттогава минаха повече от 100 години, а тези думи удивително остават актуални. Виждате това всеки ден, когато работите с ученици. Масовите пропуски в знанията са толкова големи, че може да се твърди, че училищният курс по математика в дидактически и психологически аспект не е система, а вид устройство, което насърчава краткотрайна памети изобщо не се интересуват от дългосрочната памет.

Да познаваш училищния курс по математика означава да овладееш материала от всяка от областите на математиката, да можеш да актуализираш някоя от тях по всяко време. За да постигнете това, трябва систематично да се обърнете към всеки от тях, което понякога не винаги е възможно поради голямото натоварване в урока.

Има и друг начин за дългосрочно запаметяване на факти и формули - това са референтни сигнали.

Тригонометрията е един от големите раздели на училищната математика, изучаван в курса по геометрия в 8, 9 клас и в курса по алгебра в 9 клас, алгебра и началото на анализа в 10 клас.

Най-голямото количество изучаван материал по тригонометрия пада на 10 клас. Голяма част от този материал по тригонометрия може да бъде научен и запомнен тригонометричен кръг(окръжност с единичен радиус с център в началото правоъгълна системакоординати). Приложение1.ppt

Това са следните концепции на тригонометрията:

дефиниции на синус, косинус, тангенс и котангенс на ъгъл;
радианно измерване на ъгли;
област на дефиниция и обхват на тригонометричните функции
стойности на тригонометрични функции за някои стойности на числени и ъглови аргументи;
периодичност на тригонометричните функции;
четни и нечетни тригонометрични функции;
увеличаване и намаляване на тригонометрични функции;
формули за намаляване;
стойности на обратни тригонометрични функции;
решаване на най-прости тригонометрични уравнения;
решение на най-простите неравенства;
основни формули на тригонометрията.

Помислете за изучаването на тези понятия върху тригонометрична окръжност.

1) Дефиниция на синус, косинус, тангенс и котангенс.

След въвеждане на концепцията за тригонометрична окръжност (окръжност с единичен радиус с център в началото), начален радиус (радиус на окръжност по посока на оста Ox), ъгъл на завъртане, учениците самостоятелно получават определения за синус, косинус , тангенс и котангенс върху тригонометрична окръжност, използвайки дефиниции от геометрията на курса, т.е. разглеждайки правоъгълен триъгълник с хипотенуза, равна на 1.

Косинусът на ъгъл е абсцисата на точка от окръжност, когато първоначалният радиус се завърти на даден ъгъл.

Синусът на ъгъл е ординатата на точка от окръжност, когато първоначалният радиус се завърти на даден ъгъл.

2) Радианно измерване на ъгли върху тригонометрична окръжност.

След въвеждане на радианова мярка за ъгъл (1 радиан е централният ъгъл, който съответства на дължина на дъгата, равна на радиуса на окръжността), учениците заключават, че измерването на радианния ъгъл е числената стойност на ъгъла на завъртане на окръжността , равна на дължината на съответната дъга, когато началният радиус се завърти на даден ъгъл. .

Тригонометричният кръг е разделен на 12 равни части от диаметрите на кръга. Знаейки, че ъгълът е радиан, човек може да определи измерването на радиана за ъгли, кратни на .

И радианните измервания на ъгли, които са кратни, се получават по подобен начин:

3) Област на дефиниция и област на стойности на тригонометрични функции.

Ще бъде ли функция съответствието на ъглите на въртене и стойностите на координатите на точка в кръг?

Всеки ъгъл на въртене съответства на една точка от окръжността, така че това съответствие е функция.

Получаване на функции

Може да се види на тригонометричната окръжност, че областта на дефиниране на функциите е множеството от всички реални числа, а областта на стойностите е .

Нека въведем понятията за прави на тангенси и котангенти върху тригонометрична окръжност.

1) Нека Въвеждаме спомагателна права линия, успоредна на оста Oy, на която се определят допирателните за произволен числен аргумент.

2) По същия начин получаваме линия от котангенси. Нека y=1, тогава . Това означава, че стойностите на котангенса се определят на права линия, успоредна на оста Ox.

На тригонометрична окръжност може лесно да се определи областта на дефиниция и обхвата на стойностите на тригонометричните функции:

за допирателна -

за котангенс -

4) Стойности на тригонометрични функции върху тригонометрична окръжност.

Кракът срещу ъгъла при половината от хипотенузата, тоест другият катет според питагоровата теорема:

Така че чрез дефиницията на синус, косинус, тангенс, котангенс можете да определите стойности за ъгли, които са кратни или радиани. Стойностите на синуса се определят по оста Oy, стойностите на косинуса по оста Ox, а стойностите на тангенса и котангенса могат да бъдат определени от допълнителни оси, успоредни съответно на осите Oy и Ox.

Табличните стойности на синуса и косинуса са разположени на съответните оси, както следва:

Таблични стойности на тангенс и котангенс -

5) Периодичност на тригонометричните функции.

На тригонометричната окръжност се вижда, че стойностите на синуса, косинуса се повтарят на всеки радиан, а на тангенса и котангенса - на всеки радиан.

6) Четни и нечетни тригонометрични функции.

Това свойство може да се получи чрез сравняване на стойностите на положителните и противоположните ъгли на въртене на тригонометричните функции. Разбираме това

Така че косинусът е дори функция, всички други функции са странни.

7) Нарастващи и намаляващи тригонометрични функции.

Тригонометричният кръг показва, че функцията синус нараства и намалява

Разсъждавайки по подобен начин, получаваме интервалите на нарастване и намаляване на функциите косинус, тангенс и котангенс.

8) Формули за редукция.

За ъгъл вземаме по-малката стойност на ъгъла върху тригонометричната окръжност. Всички формули се получават чрез сравняване на стойностите на тригонометричните функции на краката на избрани правоъгълни триъгълници.

Алгоритъм за прилагане на формули за намаляване:

1) Определете знака на функцията при завъртане на даден ъгъл.

При завиване на ъгъл функцията се запазва, при завъртане на ъгъл - цяло число, нечетно число, получава се кофункция (

9) Стойности на обратни тригонометрични функции.

Въвеждаме обратни функции за тригонометрични функции, като използваме дефиницията на функция.

Всяка стойност на синус, косинус, тангенс и котангенс върху тригонометрична окръжност съответства само на една стойност на ъгъла на завъртане. И така, за функция, домейнът на дефиницията е , домейнът на стойностите е - За функцията, домейнът на дефиницията е , домейнът на стойностите е . По подобен начин получаваме областта на дефиницията и обхвата на обратните функции за косинус и котангенс.

Алгоритъм за намиране на стойностите на обратни тригонометрични функции:

1) намиране на съответната ос на стойността на аргумента на обратната тригонометрична функция;

2) намиране на ъгъла на въртене на първоначалния радиус, като се вземе предвид диапазонът от стойности на обратната тригонометрична функция.

Например:

10) Решение на най-простите уравнения върху тригонометрична окръжност.

За да решим уравнение от формата , намираме точки на окръжност, чиито ординати са равни, и записваме съответните ъгли, като вземем предвид периода на функцията.

За уравнението намираме точки на окръжността, чиито абциси са равни, и записваме съответните ъгли, като вземем предвид периода на функцията.

По същия начин за уравнения от формата Стойностите се определят по линиите на тангенси и котангенси и се записват съответните ъгли на завъртане.

Всички понятия и формули на тригонометрията се получават от самите ученици под ясното ръководство на учителя с помощта на тригонометричен кръг. В бъдеще този „кръг“ ще им служи като референтен сигнал или външен фактор за възпроизвеждане в паметта на понятията и формулите на тригонометрията.

Изучаването на тригонометрията върху тригонометричен кръг допринася за:

избор на стил на комуникация, който е оптимален за този урок, организиране на образователно сътрудничество;
целите на урока стават лично значими за всеки ученик;
нов материалбазиран на личен опитдействия, мислене, чувства на ученика;
урокът включва различни формиработа и методи за получаване и усвояване на знания; има елементи на взаимно и самообучение; самоконтрол и взаимоконтрол;
възниква бърза реакцияпри неразбиране и грешка (съвместно обсъждане, съвети за подкрепа, взаимни консултации).

Назад напред

внимание! Визуализацията на слайда е само за информационни цели и може да не представя пълния обем на презентацията. Ако си заинтересован тази работамоля, изтеглете пълната версия.

1. Въведение.

Приближавайки се до училището, чувам гласовете на момчетата от фитнеса, отивам по-далеч - те пеят, рисуват ... емоциите, чувствата са навсякъде. Моят кабинет, урок по алгебра, десетокласници. Ето нашия учебник, в който курсът по тригонометрия е половината от обема си и в него има две отметки - това са местата, където намерих думи, които не са свързани с теорията на тригонометрията.

Сред малкото са учениците, които обичат математиката, усещат нейната красота и не се питат защо е необходимо да се изучава тригонометрия, къде се прилага изучаваният материал? Повечето са тези, които просто изпълняват задачи, за да не получат лоша оценка. И ние сме твърдо убедени, че приложната стойност на математиката е да се получат знания, достатъчни за успех преминаване на изпитаи прием в университета (да влезеш и да забравиш).

Основната цел на представения урок е да покаже приложната стойност на тригонометрията в различни полетачовешки дейности. Дадените примери ще помогнат на учениците да видят връзката на този раздел от математиката с други предмети, изучавани в училище. Съдържанието на този урок е елемент от обучението на учениците.

Разкажете нещо ново за един на пръв поглед отдавна известен факт. Покажете логическа връзка между това, което вече знаем, и това, което предстои да се проучи. Отворете малко вратата и погледнете отвъд училищна програма. Необичайни задачи, връзка с днешните събития - това са техниките, които използвам, за да постигна целите си. В крайна сметка училищната математика като предмет допринася не толкова за обучението, колкото за развитието на индивида, неговото мислене, култура.

2. Обобщение на урока по алгебра и началото на анализа (10 клас).

Организационно време:Подредете шест маси в полукръг (модел на транспортир), работни листове за ученици върху масите (Приложение 1).

Обявяване на темата на урока: "Тригонометрията е проста и ясна."

В хода на алгебрата и началото на анализа започваме да изучаваме тригонометрията, бих искал да говоря за приложното значение на този раздел от математиката.

Теза на урока:

“страхотна книгаприродата може да бъде разчетена само от тези, които знаят езика, на който е написана, а този език е математиката.
(Г. Галилей).

В края на урока ще помислим заедно дали успяхме да надникнем в тази книга и да разберем езика, на който е написана.

Тригонометрия на остър ъгъл.

Тригонометрия е гръцка дума и означава „измерване на триъгълници“. Появата на тригонометрията е свързана с измерванията на земята, строителството и астрономията. И първото запознанство с нея се случи, когато взехте транспортир. Обърнахте ли внимание как стоят масите? Преценете наум: ако вземете една маса за хорда, тогава каква е градусната мярка на дъгата, която тя събира?

Припомнете си мярката на ъглите: 1 ° = 1/360част от кръга („градус“ - от латинското град - стъпка). Знаете ли защо окръжността е разделена на 360 части, защо не е разделена на 10, 100 или 1000 части, както се случва например при измерване на дължини? Ще ви кажа една от версиите.

Преди това хората вярваха, че Земята е центърът на Вселената и е неподвижна, а Слънцето прави едно завъртане около Земята на ден, геоцентричната система на света, "гео" - Земята ( Чертеж №1). Вавилонските свещеници, които извършват астрономически наблюдения, установяват, че в деня на равноденствието, от изгрев до залез, Слънцето описва полукръг на небесния свод, в който видимият диаметър (диаметър) на Слънцето се вписва точно 180 пъти, 1 ° - следа от слънцето. ( Фигура № 2).

Дълго време тригонометрията беше чисто геометрична по природа. В продължавате запознаването си с тригонометрията чрез решаване на правоъгълни триъгълници. Научавате, че синусът на остър ъгъл на правоъгълен триъгълник е отношението на противоположния катет към хипотенузата, косинусът е отношението на съседния катет към хипотенузата, тангенсът е отношението на срещуположния катет към съседния катет , а котангенсът е отношението на съседния катет към противоположния. И помнете това в правоъгълен триъгълник, който има даден ъгъл, отношението на страните не зависи от големината на триъгълника. Запознайте се със синусовата и косинусовата теореми за решаване на произволни триъгълници.

През 2010 г. Московското метро отпразнува своята 75-годишнина. Всеки ден слизаме в метрото и не забелязваме, че ...

Задача номер 1.Ъгълът на наклона на всички ескалатори в московското метро е 30 градуса. Знаейки това, броя на лампите на ескалатора и приблизителното разстояние между лампите, можете да изчислите приблизителната дълбочина на станцията. На ескалатора на станция Цветной булвар има 15 лампи, а на станция Пражская - 2 лампи. Изчислете дълбочината на тези станции, ако разстоянията между лампите, от входа на ескалатора до първата лампа и от последната лампа до изхода от ескалатора са 6 m ( Чертеж №3). Отговор: 48 m и 9 m

Домашна работа. Най-дълбоката станция на московското метро е Парк Победи. Каква е дълбочината му? Предлагам ви самостоятелно да намерите липсващите данни, за да решите проблема си с домашното.

Имам лазерна показалка в ръцете си, тя също е далекомер. Да измерим например разстоянието до дъската.

Китайският дизайнер Huan Qiaokong се досети да комбинира два лазерни далекомера, транспортир в едно устройство и получи инструмент, който ви позволява да определите разстоянието между две точки в равнина ( Чертеж №4). Как мислите, с помощта на коя теорема се решава тази задача? Спомнете си формулировката на косинусовата теорема. Съгласни ли сте с мен, че знанията ви вече са достатъчни, за да направите такова изобретение? Решавайте задачи по геометрия и правете малки открития всеки ден!

Сферична тригонометрия.

В допълнение към равнинната геометрия на Евклид (планиметрия), може да има други геометрии, в които свойствата на фигурите се разглеждат не в равнината, а на други повърхности, например върху повърхността на топка ( Чертеж №5). Първият математик, който постави основите за развитието на неевклидови геометрии, беше Н.И. Лобачевски - "Коперник на геометрията". От 1827 г. в продължение на 19 години е ректор на Казанския университет.

Сферичната тригонометрия, която е част от сферичната геометрия, разглежда отношенията между страните и ъглите на триъгълници върху сфера, образувана от дъги от големи кръгове върху сфера ( Чертеж №6).

В исторически план сферичната тригонометрия и геометрия възникват от нуждите на астрономията, геодезията, навигацията и картографията. Помислете коя от тези посоки последните годиниполучи толкова бързо развитие, че резултатът от него вече се използва в съвременните комуникатори. ... Модерно приложение на навигацията е сателитна навигационна система, която ви позволява да определите местоположението и скоростта на обект от сигнала на неговия приемник.

Глобална навигационна система (GPS). За да се определи географската ширина и дължина на приемника, е необходимо да се приемат сигнали от поне три сателита. Приемането на сигнал от четвъртия спътник също позволява да се определи височината на обекта над повърхността ( Чертеж №7).

Компютърът на приемника решава четири уравнения с четири неизвестни, докато се намери решение, което чертае всички окръжности през една точка ( Чертеж №8).

Познанията от тригонометрията на острия ъгъл се оказват недостатъчни за решаване на по-сложни практически задачи. При изучаване на ротационни и кръгови движения стойността на ъгъла и кръговата дъга не са ограничени. Възникна необходимост от преход към тригонометрия на обобщения аргумент.

Тригонометрия на обобщения аргумент.

Кръгът ( Чертеж №9). Положителните ъгли се изобразяват обратно на часовниковата стрелка, отрицателните ъгли се изобразяват по посока на часовниковата стрелка. Запознат ли сте с историята на такова споразумение?

Както знаете, механичните и слънчевите часовници са проектирани по такъв начин, че стрелките им да се въртят „според слънцето“, т.е. в същата посока, в която виждаме видимото движение на Слънцето около Земята. (Припомнете си началото на урока – геоцентричната система на света). Но с откритието от Коперник за истинското (положителното) движение на Земята около Слънцето, привидното (т.е. привидното) движение на Слънцето около Земята е фиктивно (отрицателно). Хелиоцентрична система на света (хелио - Слънце) ( Чертеж №10).

Загрявка.

Измъквам дясна ръкапред вас, успоредно на повърхността на масата и извършете кръгово завъртане на 720 градуса.
Измъквам лява ръкапред вас, успоредно на повърхността на масата и извършете кръгово завъртане с (-1080) градуса.
Поставете ръцете си на раменете и направете 4 кръгови движения напред и назад. Каква е сумата от ъглите на завъртане?

През 2010 г. зимата Олимпийски игривъв Ванкувър ще открием критериите за оценяване на упражнението на скейтъра, като решим проблема.

Задача номер 2.Ако скейтърът направи завой от 10 800 градуса, докато изпълнява упражнението с винт за 12 секунди, тогава той получава отлична оценка. Определете колко оборота ще направи скейтърът през това време и скоростта на неговото въртене (обороти в секунда). Отговор: 2,5 оборота / сек.

Домашна работа. Под какъв ъгъл се завърта скейтърът, получил оценката „незадоволително“, ако при същото време на въртене скоростта му е 2 оборота в секунда.

Оказа се, че най-удобната мярка за дъги и ъгли, свързани с въртеливи движения, е мярката радиан (радиус), като по-голяма единица за измерване на ъгъл или дъга ( Чертеж №11). Тази мярка за измерване на ъгъл навлиза в науката чрез забележителните трудове на Леонхард Ойлер. Швейцарец по произход, той е живял в Русия 30 години, бил е член на Академията на науките в Санкт Петербург. На него дължим „аналитичното“ тълкуване на цялата тригонометрия, той изведе формулите, които сега изучавате, въведе единни знаци:. грях х, cos х, tg х.ctg х.

Ако до 17 век развитието на учението за тригонометричните функции е изградено на геометрична основа, то от 17 век тригонометричните функции започват да се използват за решаване на проблеми в механиката, оптиката, електричеството, за описание на колебателни процеси, вълна размножаване. Навсякъде, където трябва да се работи с периодични процеси и колебания, тригонометричните функции намират приложение. Функциите, изразяващи законите на периодичните процеси, имат специално свойство, присъщо само на тях: те повтарят стойностите си през същия интервал на промяна на аргумента. Промените на всяка функция се предават най-ясно на нейната графика ( Чертеж №12).

Вече се обърнахме към тялото си за помощ при решаването на проблеми с въртенето. Да се вслушаме в туптенето на сърцето си. Сърцето е независим орган. Мозъкът контролира всеки мускул в нашето тяло, с изключение на сърцето. Тя има собствен контролен център - синусовия възел. При всяко свиване на сърцето в цялото тяло - като се започне от синусовия възел (с размер на просено зърно) - се разпространява електричество. Може да се запише с електрокардиограф. Той рисува електрокардиограма (синусоида) ( Чертеж №13).

Сега да поговорим за музика. Математиката е музика, тя е съюзът на ума и красотата.
Музиката е математика чрез изчисление, алгебра чрез абстракция, тригонометрия чрез красота. хармонично трептене(хармоничен) е синусоида. Графиката показва как се променя налягането на въздуха върху тъпанчето на слушателя: нагоре и надолу в дъга, периодично. Въздухът натиска по-силно, после по-слабо. Силата на удара е доста малка и трептенията възникват много бързо: стотици и хиляди удари всяка секунда. Ние възприемаме такива периодични вибрации като звук. Добавянето на два различни хармоника създава по-сложна форма на вълната. Сумата от три хармоници е още по-сложна, а естествените звуци и звуците на музикални инструменти са съставени от голям брой хармоници. ( Чертеж №14.)

Всеки хармоник се характеризира с три параметъра: амплитуда, честота и фаза. Честотата на трептене показва колко удара на въздушното налягане възникват за една секунда. Големите честоти се възприемат като "високи", "тънки" звуци. Над 10 kHz - скърцане, свирене. Малките честоти се възприемат като "ниски", "басови" звуци, тътен. Амплитудата е диапазонът на трептене. Колкото по-голям е обхватът, толкова по-силно е въздействието върху тъпанчето и по-силен звуккоито чуваме Чертеж №15). Фазата е изместването на трептенията във времето. Фазата може да се измерва в градуси или радиани. В зависимост от фазата, нулевият брой се измества на графиката. За да посочите хармоника, достатъчно е да посочите фазата от -180 до +180 градуса, тъй като трептенето се повтаря при големи стойности. Два синусоидални сигнала с еднаква амплитуда и честота, но различни фази се добавят алгебрично ( Чертеж №16).

Обобщение на урока.Мислите ли, че успяхме да прочетем няколко страници от Великата книга на природата? След като научихте за приложното значение на тригонометрията, разбрахте ли по-ясно нейната роля в различни области на човешката дейност, разбрахте ли представения материал? След това си спомнете и избройте областите на приложение на тригонометрията, които сте срещнали днес или сте знаели преди. Надявам се, че всеки от вас е намерил нещо ново и интересно за себе си в днешния урок. Може би този нов ще ви покаже пътя за избор бъдеща професия, но независимо кой ще станете, вашето математическо образование ще ви помогне да станете професионалист в своята област и интелектуално развит човек.

Домашна работа. Прочетете плана на урока

Веднъж в училище беше отделен отделен курс за изучаване на тригонометрия. В удостоверението се дават оценки по три математически дисциплини: алгебра, геометрия и тригонометрия.

Тогава, като част от реформата училищно образованиетригонометрията престава да съществува като отделен предмет. AT модерно училищепървото запознаване с тригонометрията се случва в курса по геометрия на 8 клас. По-задълбочено изучаване на темата продължава в курса по алгебра за 10. клас.

Дефинициите на синус, косинус, тангенс и котангенс са дадени за първи път в геометрията чрез връзката на страните на правоъгълен триъгълник.

Острият ъгъл в правоъгълен триъгълник е отношението на срещуположния катет към хипотенузата.

косинусостър ъгъл в правоъгълен триъгълник е отношението на прилежащия катет към хипотенузата.

допирателнаостър ъгъл в правоъгълен триъгълник е отношението на срещуположния катет към съседния.

Котангенсостър ъгъл в правоъгълен триъгълник се нарича отношението на съседния катет към противоположния.

Тези определения се прилагат само за остри ъгли (от 0º до 90°).

Например,

в триъгълник ABC, където ∠C=90°, BC е катетът срещу ъгъл A, AC е катетът, прилежащ на ъгъл A, AB е хипотенузата.

В курса по алгебра за 10. клас се въвеждат определенията за синус, косинус, тангенс и котангенс за произволен ъгъл (включително отрицателни).

Да разгледаме кръг с радиус R с център в началото, точката O(0;0). Пресечната точка на окръжността с положителната посока на оста x ще бъде означена с P 0 .

В геометрията ъгълът се разглежда като част от равнина, ограничена от два лъча. С тази дефиниция стойността на ъгъла варира от 0° до 180°.

В тригонометрията ъгълът се разглежда като резултат от въртенето на лъча OP 0 около началната точка O.

В същото време те се съгласиха да считат въртенето на лъча обратно на часовниковата стрелка за положителна посока на обхода, а по часовниковата стрелка за отрицателна (това споразумение е свързано с истинското движение на Слънцето около Земята).

Например, когато лъчът OP 0 се върти около точка O под ъгъл α обратно на часовниковата стрелка, точката P 0 ще отиде до точката P α,

при завъртане под ъгъл α по посока на часовниковата стрелка - до точка F.

С тази дефиниция ъгълът може да приеме произволна стойност.

Ако продължим да въртим лъча OP 0 обратно на часовниковата стрелка, при завъртане под ъгъл α°+360°, α°+360° 2,…,α°+360° n, където n е цяло число (n∈Ζ), отново стигаме до точката P α:

Ъглите се измерват в градуси и радиани.

1° е ъгъл, равен на 1/180 от градусовата мярка на прав ъгъл.

1 радиан е централен ъгъл, чиято дължина на дъгата е равна на радиуса на окръжността:

∠AOB=1 рад.

Нотацията за радиан обикновено не се записва. Означението на степента в записа не трябва да се пропуска.

Например,

Точката P α , получена от точката P 0 чрез завъртане на лъча OP 0 около точката O под ъгъл α обратно на часовниковата стрелка, има координати P α (x;y).

Нека пуснем перпендикуляра P α A от точката P α към оста x.

В правоъгълен триъгълник OP α A:

P α A е катет срещу ъгъл α,

OA е кракът, съседен на ъгъла α,

OP α е хипотенузата.

P α A=y, OA=x, OP α =R.

По дефиниция на синус, косинус, тангенс и котангенс в правоъгълен триъгълник имаме:

По този начин, в случай на окръжност с център в началото на произволен радиус синуситеъгъл α е отношението на ординатата на точката P α към дължината на радиуса.

косинусъгъл α е отношението на абсцисата на точката P α към дължината на радиуса.

допирателнаъгъл α е отношението на ординатата на точката P α към нейната абциса.

Котангенсъгъл α е отношението на абсцисата на точката P α към нейната ордината.

Стойностите на синус, косинус, тангенс и котангенс зависят само от стойността на α и не зависят от дължината на радиуса R (това следва от сходството на кръговете).

Следователно е удобно да изберете R=1.

Окръжност с център в началото и радиус R=1 се нарича единична окръжност.

Определения

1) синуситеъгълът α е ординатата на точката P α (x; y) от единичната окръжност:

2) косинусъгълът α се нарича абсцисата на точката P α (x; y) от единичната окръжност:

3) допирателнаъгъл α е съотношението на ординатата на точката P α (x; y) към нейната абциса, т.е. съотношението на sin α към cos α (където cos α≠ 0):

4) Котангенсъгъл α е съотношението на абсцисата на точката P α (x; y) към нейната ордината, т.е. съотношението на cosα към sinα (където sinα≠0):

Дефинициите, въведени по този начин, ни позволяват да разгледаме не само тригонометричните функции на ъглите, но и тригонометричните функции на числовите аргументи (ако разгледаме sinα, cosα, tgα и ctgα като съответните тригонометрични функции на ъгъл в α радиани, това е, синусът на числото α е синусът на ъгъла в α радиани, косинусът на α е косинусът на ъгъла в α радиани и т.н.).

Свойствата на тригонометричните функции се изучават в курса по алгебра в 10-11 клас като отделна тема. Тригонометрични функциишироко използвани във физиката.

Рубрика: |

Вашата поверителност е важна за нас. Поради тази причина разработихме Политика за поверителност, която описва как използваме и съхраняваме вашата информация. Моля, прочетете нашата политика за поверителност и ни уведомете, ако имате въпроси.

Събиране и използване на лична информация

Личната информация се отнася до данни, които могат да бъдат използвани за идентифициране на конкретно лице или за връзка с него.

Може да бъдете помолени да предоставите вашата лична информация по всяко време, когато се свържете с нас.

По-долу са дадени някои примери за видовете лична информация, която можем да събираме и как можем да използваме тази информация.

Каква лична информация събираме:

Когато подадете заявление на сайта, ние може да съберем различна информация, включително вашето име, телефонен номер, имейл адрес и др.

Как използваме вашата лична информация:

Личната информация, която събираме, ни позволява да се свързваме с вас относно уникални оферти, промоции и други събития и Предстоящи събития.
От време на време може да използваме вашата лична информация, за да ви изпращаме важни известия и съобщения.
Може също да използваме лична информация за вътрешни цели, като например извършване на одити, анализ на данни и различни изследвания, за да подобрим услугите, които предоставяме, и да ви предоставим препоръки относно нашите услуги.
Ако участвате в томбола, състезание или подобен стимул, ние може да използваме предоставената от вас информация за администриране на такива програми.

Разкриване на трети страни

Ние не разкриваме информация, получена от вас, на трети страни.

Изключения:

В случай, че е необходимо - в съответствие със закона, съдебния ред, в съдебно производство и / или въз основа на публични искания или искания от държавни органи на територията на Руската федерация - разкриване на вашата лична информация. Може също така да разкрием информация за вас, ако преценим, че такова разкриване е необходимо или подходящо от съображения за сигурност, правоприлагане или други причини от обществен интерес.
В случай на реорганизация, сливане или продажба, можем да прехвърлим личната информация, която събираме, на съответния приемник на трета страна.

Защита на личната информация

Ние вземаме предпазни мерки – включително административни, технически и физически – за да защитим вашата лична информация от загуба, кражба и злоупотреба, както и от неоторизиран достъп, разкриване, промяна и унищожаване.

Поддържане на вашата поверителност на фирмено ниво

За да гарантираме, че вашата лична информация е защитена, ние съобщаваме практиките за поверителност и сигурност на нашите служители и стриктно прилагаме практиките за поверителност.

В този урок ще говорим за това как възниква необходимостта от въвеждане на тригонометрични функции и защо те се изучават, какво трябва да разберете в тази тема и къде просто трябва да напълните ръката си (което е техника). Имайте предвид, че техниката и разбирането са две различни неща. Съгласете се, има разлика: да се научите да карате колело, тоест да разберете как да го направите, или да станете професионален колоездач. Ще говорим за разбиране, за това защо имаме нужда от тригонометрични функции.

Има четири тригонометрични функции, но всички те могат да бъдат изразени чрез една с помощта на идентичности (равенства, които ги свързват).

Формални дефиниции на тригонометрични функции за остри ъгли в правоъгълни триъгълници (фиг. 1).

синуситеОстър ъгъл на правоъгълен триъгълник се нарича съотношението на срещуположния катет към хипотенузата.

косинусОстър ъгъл на правоъгълен триъгълник се нарича съотношението на прилежащия катет към хипотенузата.

допирателнаОстър ъгъл на правоъгълен триъгълник се нарича отношението на срещуположния катет към съседния катет.

КотангенсОстър ъгъл на правоъгълен триъгълник се нарича отношението на съседния катет към противоположния катет.

Ориз. 1. Дефиниция на тригонометрични функции на остър ъгъл на правоъгълен триъгълник

Тези определения са формални. По-правилно е да се каже, че има само една функция, например синус. Ако не бяха толкова необходими (не толкова често използвани) в технологиите, толкова много различни тригонометрични функции нямаше да бъдат въведени.

Например косинусът на ъгъл е равен на синуса на същия ъгъл с добавяне на (). В допълнение, косинусът на ъгъл винаги може да бъде изразен чрез синуса на същия ъгъл, с точност до знак, като се използва основният тригонометрична идентичност(). Тангенсът на ъгъл е отношението на синус към косинус или обърнат котангенс (фиг. 2). Някои изобщо не използват котангенса, като го заменят с . Ето защо е важно да разбирате и да можете да работите с една тригонометрична функция.

Ориз. 2. Връзка на различни тригонометрични функции

Но защо изобщо имате нужда от такива функции? За какви практически проблеми се използват? Нека да разгледаме няколко примера.

Двама души ( НОи AT) избутайте колата от локвата (фиг. 3). Човек ATможе да бутне колата настрани, докато е малко вероятно да помогне НО. От друга страна, посоката на неговите усилия може постепенно да се измести (фиг. 4).

Ориз. 3. ATбута колата настрани

Ориз. четири. ATзапочва да променя посоката

Ясно е, че усилията им ще бъдат най-ефективни, когато бутат колата в една посока (фиг. 5).

Ориз. 5. Най-ефективното съвместно насочване на усилията

Колко ATподпомага бутането на машината, доколкото посоката на нейната сила е близка до посоката на силата, с която действа НО, е функция на ъгъла и се изразява чрез неговия косинус (фиг. 6).

Ориз. 6. Косинус като характеристика на ефективността на усилията AT

Ако умножим величината на силата, с която AT, върху косинуса на ъгъла, получаваме проекцията на неговата сила върху посоката на силата, с която действа НО. Колкото по-близо е ъгълът между посоките на силите до , толкова по-ефективен ще бъде резултатът. съвместни действия НОи AT(фиг. 7). Ако бутат колата с еднаква сила в противоположни посоки, колата ще остане на мястото си (фиг. 8).

Ориз. 7. Ефективността на съвместните усилия НОи AT

Ориз. 8. Противоположна посока на силите НОи AT

Важно е да разберем защо можем да заменим ъгъла (неговия принос към крайния резултат) с косинус (или друга тригонометрична функция на ъгъла). Всъщност това следва от такова свойство на подобни триъгълници. Тъй като всъщност казваме следното: ъгълът може да бъде заменен със съотношението на две числа (катет-хипотенуза или катет-катет). Това би било невъзможно, ако например при един и същ ъгъл на различни правоъгълни триъгълници тези съотношения биха били различни (фиг. 9).

Ориз. 9. Равни съотношения на страните в подобни триъгълници

Например, ако отношението и съотношението бяха различни, тогава нямаше да можем да въведем функцията на тангенса, тъй като за един и същ ъгъл в различни правоъгълни триъгълници тангенсът би бил различен. Но поради факта, че съотношенията на дължините на краката на подобни правоъгълни триъгълници са еднакви, стойността на функцията няма да зависи от триъгълника, което означава, че острия ъгъл и стойностите на неговата тригонометрия функциите са едно към едно.

Да предположим, че знаем височината на определено дърво (фиг. 10). Как да измерим височината на близката сграда?

Ориз. 10. Илюстрация на условието от пример 2

Намираме такава точка, че линията, прекарана през тази точка и върха на къщата, ще минава през върха на дървото (фиг. 11).

Ориз. 11. Илюстрация на решението на задачата от пример 2

Можем да измерим разстоянието от тази точка до дървото, разстоянието от него до къщата и знаем височината на дървото. От пропорцията можете да намерите височината на къщата:.

Пропорцияе отношението на две числа. AT този случайравенство на отношението на дължините на катетите на подобни правоъгълни триъгълници. Освен това тези съотношения са равни на някаква мярка на ъгъла, която се изразява чрез тригонометрична функция (по дефиниция това е тангенс). Получаваме, че за всеки остър ъгъл стойността на неговата тригонометрична функция е уникална. Тоест синус, косинус, тангенс, котангенс са наистина функции, тъй като всеки остър ъгъл съответства на точно една стойност на всяка от тях. Следователно те могат да бъдат допълнително изследвани и техните свойства могат да бъдат използвани. Стойностите на тригонометричните функции за всички ъгли вече са изчислени, те могат да се използват (те могат да бъдат намерени от таблиците на Bradis или с помощта на произволни инженерен калкулатор). Но за да решим обратния проблем (например, чрез стойността на синуса, за да възстановим мярката на ъгъла, който съответства на него), не винаги можем.

Нека синусът на някакъв ъгъл е равен или приблизително (фиг. 12). Какъв ъгъл ще съответства на тази стойност на синуса? Разбира се, можем отново да използваме таблицата на Брадис и да намерим някаква стойност, но се оказва, че няма да е единствената (фиг. 13).

Ориз. 12. Намиране на ъгъл по стойността на неговия синус

Ориз. 13. Поливалентност на обратни тригонометрични функции

Следователно, когато се възстановява стойността на тригонометричната функция на ъгъла, има полисемия на обратни тригонометрични функции. Може да изглежда сложно, но всъщност всеки ден се сблъскваме с подобни ситуации.

Ако завесите прозорците и не знаете дали навън е светло или тъмно, или ако се окажете в пещера, тогава, когато се събудите, е трудно да се каже дали сега е часът на деня, нощта или на следващия ден (фиг. 14). Всъщност, ако ни попитате "Колко е часът?", трябва честно да ви отговорим: "Час плюс умножено по къде"

Ориз. 14. Илюстрация на полисемията на примера на часовник

Можем да заключим, че - това е периодът (интервалът, след който часовникът ще показва същото време като сега). Тригонометричните функции също имат периоди: синус, косинус и др. Тоест техните стойности се повтарят след известна промяна в аргумента.

Ако планетата нямаше смяна на деня и нощта или смяна на сезоните, тогава не бихме могли да използваме периодично време. В крайна сметка ние само номерираме годините във възходящ ред, а денят има часове и всеки нов ден броенето започва отначало. Ситуацията е същата с месеците: ако сега е януари, след месеци януари ще дойде отново и т.н. Външните референтни точки ни помагат да използваме периодичното броене на времето (часове, месеци), например въртенето на Земята около оста си и промяната в положението на Слънцето и Луната в небето. Ако Слънцето винаги висеше в една и съща позиция, тогава, за да изчислим времето, ще броим броя секунди (минути) от появата на това изчисление. Тогава датата и часът биха могли да звучат така: милиард секунди.

Заключение: няма трудности по отношение на неяснотата на обратните функции. Наистина може да има опции, когато за един и същ синус има различни стойности на ъгъла (фиг. 15).

Ориз. 15. Възстановяване на ъгъл по стойността на неговия синус

Обикновено, когато решаваме практически задачи, винаги работим в стандартния диапазон от до . В този диапазон за всяка стойност на тригонометричната функция има само две съответстващи стойности на мярката на ъгъла.

Помислете за движеща се лента и махало под формата на кофа с дупка, от която пада пясък. Махалото се люлее, лентата се движи (фиг. 16). В резултат на това пясъкът ще остави следа под формата на графика на функцията синус (или косинус), която се нарича синусоида.

Всъщност графиките на синуса и косинуса се различават една от друга само в референтната точка (ако начертаете една от тях и след това изтриете координатните оси, тогава няма да можете да определите коя графика е начертана). Следователно няма смисъл да наричаме косинусовата графика (защо да измисляме отделно име за същата графика)?

Ориз. 16. Илюстрация на постановката на проблема в пример 4

От графиката на функцията можете също да разберете защо обратните функции ще имат много стойности. Ако стойността на синуса е фиксирана, т.е. начертайте права линия, успоредна на оста x, след което в пресечната точка получаваме всички точки, в които синусът на ъгъла е равен на дадения. Ясно е, че ще има безкрайно много такива точки. Както в примера с часовника, където стойността на времето се различава с , само тук стойността на ъгъла ще се различава с определена сума (фиг. 17).

Ориз. 17. Илюстрация на полисемията за синус

Ако разгледаме примера с часовника, тогава точката (краят на часовата стрелка) се движи около кръга. По същия начин могат да се дефинират и тригонометрични функции - разглеждайте не ъглите в правоъгълен триъгълник, а ъгъла между радиуса на окръжността и положителната посока на оста. Броят кръгове, които ще измине точката (уговорихме се да броим движението по посока на часовниковата стрелка със знак минус и обратно на часовниковата стрелка със знак плюс), това е периодът (фиг. 18).

Ориз. 18. Стойността на синуса върху окръжността

Така, обратна функцияе еднозначно дефиниран на някакъв интервал. За този интервал можем да изчислим неговите стойности и да получим всички останали от намерените стойности чрез добавяне и изваждане на периода на функцията.

Помислете за друг пример за период. Колата се движи по пътя. Представете си, че колелото й се е забило в боята или в локва. Можете да видите случайни следи от боя или локви по пътя (Фигура 19).

Ориз. 19. Илюстрация на периода

В училищния курс има много тригонометрични формули, но като цяло е достатъчно да запомните само една (фиг. 20).

Ориз. двадесет. Тригонометрични формули

Формула двоен ъгълсъщо така е лесно да се извлекат суми от синус чрез заместване (подобно за косинус). Можете също така да извлечете формули на продукта.

Всъщност трябва да запомните много малко, тъй като с решаването на проблеми тези формули ще бъдат запомнени сами. Разбира се, някой ще бъде твърде мързелив, за да реши много, но тогава няма да има нужда от тази техника, а оттам и от самите формули.

И тъй като формулите не са необходими, тогава няма нужда да ги запомняте. Просто трябва да разберете идеята, че тригонометричните функции са функции, с които например се изчисляват мостове. Почти никой механизъм не може без тяхното използване и изчисляване.

1. Често възниква въпросът дали проводниците могат да бъдат абсолютно успоредни на земята. Отговор: не, не могат, тъй като едната сила действа надолу, а другите действат успоредно - те никога няма да се балансират (фиг. 21).

2. Лебед, рак и щука теглят количката в една и съща равнина. Лебедът лети в едната посока, ракът дърпа в другата, а щуката в третата (фиг. 22). Техните сили могат да се балансират. Можете да изчислите това балансиране само с помощта на тригонометрични функции.