Задача 16:

Възможно ли е да се обменят 25 рубли с десет банкноти в купюри от 1, 3 и 5 рубли? Решение:

Отговор: Не

Задача 17:

Петя купи обикновена тетрадка с обем 96 листа и номерира всичките й страници по ред с числа от 1 до 192. Вася откъсна 25 листа от тази тетрадка и събра всичките 50 числа, които са написани на тях. Можеше ли да направи 1990 г.? Решение:

На всеки лист сборът от номерата на страниците е нечетен, а сборът от 25-те нечетни числа е нечетен.

Задача 18:

Произведението на 22 цели числа е равно на 1. Докажете, че сборът им не е равен на нула. Решение:

Сред тези числа - четен брой„минус единици“, а за да е равен сборът на нула, те трябва да са точно 11.

Задача 19:

Възможно ли е да се направи магически квадрат от първите 36 прости числа? Решение:

Сред тези числа едно (2) е четно, а останалите са нечетни. Следователно в реда, където има двойка, сборът на числата е нечетен, а в останалите е четен.

Задача 20:

Подредени са числата от 1 до 10. Възможно ли е между тях да се поставят знаците “+” и “-” така, че стойността на получения израз да е равна на нула?

Забележка: Моля, обърнете внимание на това отрицателни числасъщо са нечетни и четни. Решение:

Наистина сборът на числата от 1 до 10 е 55 и сменяйки знаците в него, ние променяме целия израз на четно число.

Задача 21:

Скакалецът скача по права линия, като първия път е скочил 1 см в някаква посока, вторият път е скочил 2 см и т.н. Докажете, че след 1985 скока той не може да бъде там, където е започнал. Решение:

Забележка: Сборът 1 + 2 + … + 1985 е нечетен.

Задача 22:

На дъската са записани числата 1, 2, 3, ..., 1984, 1985. Позволено е да изтриете произволни две числа от дъската и вместо това да запишете модула на разликата им. В крайна сметка на дъската ще остане само едно число. Може ли да е нула? Решение:

Проверете дали посочените операции не променят четността на сумата от всички числа, записани на дъската.

Задача 23:

Възможно ли е да се покрие шахматна дъскадомино 1 × 2, така че само клетки a1 и h8 да останат свободни? Решение:

Всяко домино покрива едно черно и едно бяло квадратче, а когато квадратчетата a1 и h8 се изхвърлят, има 2 черни квадратчета по-малко от белите.

Задача 24:

Към 17-цифреното число се добавя числото, изписано със същите цифри, но в обратен ред. Докажете, че поне една цифра от получения сбор е четна. Решение:

Анализирайте два случая: сумата от първата и последната цифра на числото е по-малка от 10, а сумата от първата и последната цифра на числото не е по-малка от 10. Ако приемем, че всички цифри на сумата са нечетни , тогава в първия случай не трябва да има нито едно пренасяне в цифрите (което очевидно води до противоречие), а във втория случай наличието на пренасяне при движение отдясно наляво или отляво надясно се редува с липса на пренасяне и в резултат получаваме, че цифрата на сумата в деветата цифра е задължително четна.

Задача 25:

В народния отряд има 100 души, като всяка вечер трима от тях дават дежурство. Може ли след време да се окаже, че всеки е бил дежурен с всеки точно по веднъж? Решение:

Тъй като на всяко задължение, в което участва този човек, той е на пост с още двама, тогава всички останали могат да бъдат разделени по двойки. Все пак 99 е нечетно число.

Задача 26:

На правата са отбелязани 45 точки, които лежат извън отсечката AB. Докажете, че сборът от разстоянията от тези точки до точка A не е равен на сбора от разстоянията от тези точки до точка B. Решение:

За всяка точка X, лежаща извън AB, имаме AX - BX = ± AB. Ако приемем, че сумите на разстоянията са равни, тогава получаваме, че изразът ± AB ± AB ± … ± AB, в който участват 45 членове, е равен на нула. Но това е невъзможно.

Задача 27:

Има 9 числа, подредени в кръг - 4 единици и 5 нули. Всяка секунда върху числата се извършва следната операция: между съседни числа се поставя нула, ако са различни, и единица, ако са равни; след това старите номера се изтриват. Могат ли всички числа да станат еднакви след известно време? Решение:

Ясно е, че не може да се получи комбинация от девет единици преди девет нули. Ако имаше девет нули, тогава при предишния ход трябваше да се редуват нули и единици, което е невъзможно, тъй като има само нечетен брой от тях.

Задача 28:

25 момчета и 25 момичета седят на кръгла маса. Докажете, че един от хората, които седят на масата, има и двете съседни момчета. Решение:

Нека проведем нашето доказателство от противното. Номерираме всички седящи на масата по ред, започвайки от някое място. Ако е включено k-то мястоседи момче, ясно е, че (k - 2)-то и (k + 2)-то място са заети от момичета. Но тъй като има равен брой момчета и момичета, тогава за всяко момиче, което седи на n-то място, е вярно, че (n - 2)-то и (n + 2)-то място са заети от момчета. Ако сега разгледаме само тези 25 души, които седят на "четни" места, тогава получаваме, че сред тях момчета и момичета се редуват, ако обикалят масата в някаква посока. Но 25 е нечетно число.

Задача 29:

Охлювът пълзи по самолета с постоянна скорост, завъртайки се под прав ъгъл на всеки 15 минути. Докажете, че може да се върне в началната точка само след цял брой часове. Решение:

Ясно е, че броят на участъците, в които охлювът е пропълзял нагоре или надолу, е равен на броя на участъците, в които е пропълзял надясно или наляво. Остава само да отбележим, че a е четно.

Задача 30:

Три скакалци играят скок на права линия. Всеки път един от тях прескача другия (но не и двама наведнъж!). Могат ли да се върнат на първоначалните си позиции след скока от 1991 г.? Решение:

Обозначете скакалците A, B и C. Нека наречем разположението на скакалците ABC, BCA и CAB (отляво надясно) правилно, а ACB, BAC и CBA неправилно. Лесно е да се види, че с всеки скок типът на подредбата се променя.

Задача 31:

Има 101 монети, от които 50 фалшиви, които се различават по тегло с 1 грам от истинските. Петя взе една монета и за едната, която тегли на везната със стрелка, показваща разликата в грамажите на чашите, иска да установи дали е фалшива. Може ли да го направи? Решение:

Трябва да оставите тази монета настрана и след това да разделите останалите 100 монети на две купчини по 50 монети и да сравните теглата на тези купчини. Ако те се различават с четен брой грамове, тогава монетата, която ни интересува, е истинска. Ако разликата между теглата е нечетна, тогава монетата е фалшива.

Задача 32:

Възможно ли е да се изпишат веднъж подред числата от 1 до 9, така че да има нечетен брой цифри между едно и две, две и три, ..., осем и девет? Решение:

В противен случай всички числа в реда биха били на места с еднакъв паритет.

Тази работа Петя купи обикновена тетрадка с обем 96 листа и номерира всичките й страници по ред с числа от 1 до 192. Вася извади (Контролна) по темата (АХД и финансов анализ), беше изработена по поръчка от нашата фирма специалисти и премина успешна защита. Работа - Петя купи обикновена тетрадка с обем 96 листа и номерира всичките й страници по ред с числа от 1 до 192. Вася извади темата за AHD и финансовият анализ отразява нейната тема и логическия компонент на нейното разкриване, Разкрива се същността на разглеждания въпрос, подчертават се основните положения и водещи идеи в тази тема.
Работа - Петя купи една обща тетрадка с обем 96 листа и номерира всичките й страници по ред с числа от 1 до 192. Вася я разкъса, съдържа: таблици, рисунки, най-новите литературни източници, годината на предаване и защита на работата - 2017 г. В работата Петя купи общ тефтер с обем от 96 листа и номерира всичките му страници по ред с номера от 1 до 192. Вася извади (AHD и финансов анализ) се разкрива уместността на темата за изследване, отразява се степента на развитие на проблема въз основа на задълбочена оценка и анализ на научните и методическа литература, в работата по темата AHD и финансов анализ, обектът на анализ и неговите въпроси са изчерпателно разгледани, както от теоретична, така и от практическа страна, формулирани са целта и специфичните задачи на разглежданата тема, има логика на представяне на материала и неговата последователност.

Раздели: Математика

Уважаеми участник в олимпиадата!

Ученическата олимпиада по математика се провежда в един кръг.
Има 5 задачи с различни нива на трудност.
Няма специални изисквания към оформлението на произведението. Формата на представяне на решението на проблемите, както и методите за решаване, могат да бъдат всякакви. Ако имате индивидуални мисли относно конкретна задача, но не можете да доведете решението до края, не се колебайте да изразите всичките си мисли. Дори частично решените задачи се оценяват със съответния брой точки.
Започнете да решавате задачи, които ви се струват по-лесни, и след това преминете към останалите. По този начин спестявате време.

Желаем Ви успех!

училищен етап Всеруска олимпиадаученици по математика

5 клас

Упражнение 1. В израза 1*2*3*4*5 заменете "*" със знаци за действие и поставете скобите така. За да получите израз, чиято стойност е 100.

Задача 2. Необходимо е да се дешифрира записът на аритметично равенство, в който числата се заменят с букви, а различните числа се заменят с различни букви, едни и същи са еднакви.

ПЕТ - ТРИ \u003d ДВЕИзвестно е, че вместо букв НОтрябва да поставите числото 2.

Задача 3. Как да разделя 80 кг пирони на две части - 15 кг и 65 кг с помощта на кантар без тежести?

Задача 4. Разрежете фигурата, показана на фигурата, на две равни части, така че всяка част да има една звезда. Можете да режете само по линията на мрежата.

Задача 5. Чаша и чинийка заедно струват 25 рубли, а 4 чаши и 3 чинийки струват 88 рубли. Намерете цената на чашата и цената на чинийката.

6 клас.

Упражнение 1. Сравнете дроби, без да ги привеждате към общ знаменател.

Задача 2. Необходимо е да се дешифрира записът на аритметично равенство, в който числата се заменят с букви, а различните числа се заменят с различни букви, едни и същи са едни и същи. Приема се, че първоначалното равенство е вярно и е написано според обичайните правила на аритметиката.

РАБОТА
+ ВОЛЯ
КЪСМЕТ

Задача 3. Трима приятели дойдоха в летния лагер за почивка: Миша, Володя и Петя. Известно е, че всеки от тях носи едно от следните фамилни имена: Иванов, Семенов, Герасимов. Миша не е Герасимов. Бащата на Володя е инженер. Володя е в 6 клас. Герасимов е в 5 клас. Бащата на Иванов е учител. Какво е фамилното име на всеки от тримата приятели?

Задача 4. Разделете фигурата по линиите на мрежата на четири еднакви части, така че всяка част да има една точка.

Задача 5. Скачащото водно конче спеше половината от времето на всеки ден от червеното лято, танцуваше една трета от времето на всеки ден и пееше шестата част. Останалото време тя реши да посвети на подготовката за зимата. По колко часа на ден водното конче се е подготвяло за зимата?

7 клас.

Упражнение 1. Решете ребуса, ако знаете, че най-голямата цифра в числото СИЛЕН е 5:

РЕШИ
АКО
СИЛЕН

Задача 2. Решете уравнението│7 - x│ = 9,3

Задача 3. След седем измивания дължината, ширината и дебелината на сапуна бяха намалели наполовина. За колко от същите измивания ще стигне останалият сапун?

Задача 4 . Разделете правоъгълника от 4 × 9 клетки по страните на клетките на две равни части, така че след това да можете да направите квадрат от тях.

Задача 5. Дървено кубче беше боядисано с бяла боя от всички страни и след това нарязано на 64 еднакви кубчета. Колко кубчета се оказаха оцветени от три страни? От две страни?
Една страна? Колко кубчета не са оцветени?

8 клас.

Упражнение 1. Какви две цифри завършват числото 13!

Задача 2. Намалете фракцията:

Задача 3. Училищният драматичен кръг, подготвящ се за продуциране на откъс от приказката на А.С. Пушкин за цар Салтан, реши да разпредели ролите между участниците.
- Аз ще бъда Черномор - каза Юра.
- Не, аз ще бъда Черномор - каза Коля.
- Добре - отстъпи му Юра, - мога да играя Гвидон.
- Е, мога да стана Салтан - Коля също показа съответствие.
- Съгласен съм да бъда само Гуидон! каза Миша.
Желанията на момчетата бяха удовлетворени. Как бяха разпределени ролите?

Задача 4. Медианата AD е начертана в равнобедрен триъгълник ABC с основа AB = 8m. Периметърът на триъгълник ACD е по-голям от периметъра на триъгълник ABD с 2m. Намерете AS.

Задача 5. Николай купи обикновена тетрадка от 96 листа и номерира страниците от 1 до 192. Неговият племенник Артур откъсна 35 листа от тази тетрадка и събра всичките 70 числа, които бяха написани на тях. Може ли да получи 2010 г.

9 клас

Упражнение 1. Намерете последната цифра на 1989 1989 .

Задача 2. Сумата от корените на някои квадратно уравнениее 1, а сборът от техните квадрати е 2. Какъв е сборът от техните кубове?

Задача 3. Като използвате три медиани m a , m b и m c ∆ ABC, намерете дължината на страната AC = b.

Задача 4. Намалете фракцията .

Задача 5. По колко начина можете да изберете гласна и съгласна в думата "камзол"?

10 клас.

Упражнение 1. В момента има монети от 1, 2, 5, 10 рубли. Посочете всички парични суми, които могат да бъдат платени както с четен, така и с нечетен брой монети.

Задача 2. Докажете, че 5 + 5 2 + 5 3 + … + 5 2010 се дели на 6.

Задача 3. В четириъгълник ABCDдиагоналите се пресичат в точка М. Известно е, че AM = 1,
VM = 2, CM = 4. На какви стойности DMчетириъгълник ABCDе трапец?

Задача 4. Решете система от уравнения

Задача 5. Тридесет ученици - десетокласници и единадесетокласници си подадоха ръка. В същото време се оказа, че всеки десетокласник се ръкува с осем единадесетокласника, а всеки единадесетокласник със седем десетокласника. Колко десетокласници и колко единадесетокласници?