Този курс от лекции се провежда повече от 10 години за студенти по теоретична и приложна математика в Далекоизточния държавен университет. Отговаря на II поколение стандарт за тези специалности. Препоръчва се за студенти и студенти от математически специалности.

Теорема на Коши за съществуването и уникалността на решение на проблема на Коши за уравнение от първи ред.
В този раздел, чрез налагане на определени ограничения върху дясната страна на диференциалното уравнение от първи ред, ще докажем съществуването и уникалността на решение, определено от началните данни (x0,y0). Първото доказателство за съществуването на решение на диференциални уравнения се дължи на Коши; доказателството по-долу е дадено от Пикард; той се произвежда с помощта на метода на последователните приближения.

СЪДЪРЖАНИЕ
1. Уравнения от първи ред
1.0. Въведение
1.1. Уравнения с разделими променливи
1.2. Хомогенни уравнения
1.3. Обобщени хомогенни уравнения
1.4. Линейни уравнения от първи ред и техните редукции
1.5. Уравнение на Бернули
1.6. Уравнение на Рикати
1.7. Уравнение в общите диференциали
1.8. интегриращ фактор. Най-простите случаи на намиране на интегриращия фактор
1.9. Уравнения, които не са разрешени по отношение на производната
1.10. Теорема на Коши за съществуването и уникалността на решение на задачата на Коши за уравнение от първи ред
1.11. Особени точки
1.12. Специални решения
2. Уравнения от по-високи редове
2.1. Основни понятия и определения
2.2. Видове уравнения от n-ти ред, разрешими в квадратури
2.3. Междинни интеграли. Уравнения, позволяващи редукции в ред
3. Линейни диференциални уравнения от n-ти ред
3.1. Основни понятия
3.2. Линейни хомогенни диференциални уравнения от n-ти ред
3.3. Намаляване на реда на линейно хомогенно уравнение
3.4. Нееднородни линейни уравнения
3.5. Намаляване на реда в линейно нехомогенно уравнение
4. Линейни уравнения с постоянни коефициенти
4.1. Хомогенно линейно уравнение с постоянни коефициенти
4.2. Нееднородни линейни уравнения с постоянни коефициенти
4.3. Линейни уравнения от втори ред с осцилиращи решения
4.4. Интегриране чрез степенни редове
5. Линейни системи
5.1. Разнородни и хомогенни системи. Някои свойства на решенията на линейни системи
5.2. Необходими и достатъчни условия за линейна независимост на k решения на линейна хомогенна система
5.3. Наличие на фундаментална матрица. Построяване на общо решение на линейна хомогенна система
5.4. Построяване на цялото множество от фундаментални матрици на линейна хомогенна система
5.5. Хетерогенни системи. Построяване на общо решение по метода на вариация на произволни константи
5.6. Линейни еднородни системи с постоянни коефициенти
5.7. Малко информация от теорията на функциите на матриците
5.8. Построяване на основната матрица на система от линейни еднородни уравнения с постоянни коефициенти в общия случай
5.9. Теорема за съществуване и теореми за функционални свойства на решения на нормални системи от диференциални уравнения от първи ред
6. Елементи на теорията на устойчивостта
6.1
6.2. Най-простите видове точки за почивка
7. Уравнения в частни производни от 1-ви ред
7.1. Линейно хомогенно частично диференциално уравнение от 1-ви ред
7.2. Нехомогенно линейно частично диференциално уравнение от 1-ви ред
7.3. Система от две частични диференциални уравнения с 1 неизвестна функция
7.4. Уравнение на Пфаф
8. Варианти на контролни задачи
8.1. Тест №1
8.2. Изпит No2
8.3. Изпит No3
8.4. Контролна работа №4
8.5. Изпит No5
8.6. Тест No6
8.7. Контролна работа №7
8.8. Контролна работа номер 8.

Безплатно сваляне електронна книгав удобен формат, гледайте и четете:
Изтеглете книгата Курс на лекции по обикновени диференциални уравнения, Шепелева Р.П., 2006 - fileskachat.com, бързо и безплатно изтегляне.

Изтегли pdf
По-долу можете да закупите тази книга на най-добрата намалена цена с доставка в цяла Русия.

Александър Викторович Абросимов Дата на раждане: 16 ноември 1948 г. (1948 11 16) Място на раждане: Куйбишев Дата на смърт ... Wikipedia

I Диференциални уравнения уравнения, съдържащи търсените функции, техните производни от различен ред и независими променливи. Теория на D. at. възниква в края на 17 век. повлиян от нуждите на механиката и други природни науки, ... ... Велика съветска енциклопедия

Обикновените диференциални уравнения (ОДУ) са диференциално уравнение във формата където е неизвестна функция (евентуално векторна функция, тогава, като правило, също векторна функция със стойности в пространство със същото измерение; в това .. ... Уикипедия

В Wikipedia има статии за други хора с това фамилно име, вижте Юдович. Виктор Йосифович Юдович Дата на раждане: 4 октомври 1934 г. (1934 10 04) Място на раждане: Тбилиси, СССР Дата на смърт ... Wikipedia

Диференциал- (Диференциал) Дефиниция на диференциал, функция диференциал, блокировка на диференциал Информация за дефиниция на диференциал, функция диференциал, блокировка на диференциал Съдържание Съдържание математически Неофициално описание… … Енциклопедия на инвеститора

Едно от основните понятия в теорията на частичните диференциални уравнения. Ролята на X. се проявява в основните свойства на тези уравнения, като локалните свойства на решенията, разрешимостта различни задачи, тяхната коректност и т.н. Нека ... ... Математическа енциклопедия

Уравнение, в което неизвестното е функция на една независима променлива и това уравнение включва не само самата неизвестна функция, но и нейните производни от различни порядки. Терминът диференциални уравнения е предложен от G. ... ... Математическа енциклопедия

Треногин Владилен Александрович В. А. Треногин на лекция в MISiS Дата на раждане ... Wikipedia

Треногин, Владилен Александрович Треногин Владилен Александрович В. А. Треногин на лекция в MISiS Дата на раждане: 1931 (1931) ... Wikipedia

Уравнение на Гаус, линейно обикновено диференциално уравнение от 2-ри ред или, в самосвързана форма, променливи и параметри в общия случай могат да приемат всякакви комплексни стойности. След заместване се получава следната форма ... ... Математическа енциклопедия

Makarskaya E. V. В книгата: Дни на студентската наука. Пролет - 2011. М.: Московски държавен университет по икономика, статистика и информатика, 2011. С. 135-139.

Авторите разглеждат практическото приложение на теорията на линейните диференциални уравнения за изследване на икономически системи. Статията анализира динамичните модели на Кейнс и Самуелсън-Хикс с намиране на равновесните състояния на икономическите системи.

Иванов А. И., Исаков И., Демин А. В. и др., Част 5. М.: Слово, 2012.

Ръководството разглежда количествените методи за изследване на потреблението на кислород от човек по време на тестове с дозирана физическа активност, извършени в Държавния научен център на Руската федерация - IBMP RAS. Ръководството е предназначено за учени, физиолози и лекари, работещи в областта на космическата, подводната и спортната медицина.

Михеев А. В. Санкт Петербург: Отдел за оперативен печат NRU HSE - Санкт Петербург, 2012 г.

Този сборник съдържа задачи в курса по диференциални уравнения, четени от автора във факултета икономика НРУ HSE - Санкт Петербург. В началото на всяка тема, резюмеанализират се основни теоретични факти и примери за решения на типични проблеми. За студенти и слушатели на програми за висше професионално образование.

Конаков В.Д. STI. WP BRP. Издателство на Настоятелството на Механико-математическия факултет на Московския държавен университет, 2012 г. № 2012.

Този учебник се основава на специален курс по избор на студента, прочетен от автора в Механико-математическия факултет на Московския държавен университет. М.В. Ломоносов през 2010-2012 учебна година. Ръководството запознава читателя с параметричния метод и неговия дискретен аналог, разработен в най-много последно времеавторът на ръководството и неговите колеги съавтори. Той обединява материали, които преди това се съдържаха само в редица статии в списания. Без да се стреми към максимална обобщеност на изложението, авторът имаше за цел да демонстрира възможностите на метода при доказване на локални гранични теореми за конвергенцията на вериги на Марков към процес на дифузия и при получаване на двустранни оценки от типа на Аронсън за някои изродени дифузии.

бр. 20. Ню Йорк: Спрингър, 2012 г.

Тази публикация е сборник от отделни статии на „Трета Международна конференцияза динамиката на информационните системи”, който се проведе в Университета на Флорида, 16-18 февруари 2011 г. Целта на тази конференция беше да събере учени и инженери от индустрията, правителството и академичните среди, за да споделят нови открития и резултати по въпроси, свързани с теорията и практиката на динамиката на информационните системи. Dynamics of Information Systems: Mathematical Discovery е най-съвременно изследване и е предназначено за студенти и изследователи, които се интересуват от най-новите открития в теория на информациятаи динамични системи. Учените от други дисциплини също могат да се възползват от прилагането на нови разработки в своите области на обучение.

Палвелев Р., Сергеев А. Г. Трудове на Математическия институт. В.А. Стеклов РАН. 2012. Т. 277. С. 199-214.

Изследва се адиабатната граница в хиперболичните уравнения на Ландау-Гинзбург. Използвайки тази граница, се установява съответствие между решенията на уравненията на Гинзбург-Ландау и адиабатните траектории в пространството на модулите на статични решения, наречени вихри. Мантън предложи евристичен адиабатичен принцип, постулиращ, че всяко решение на уравненията на Гинзбург-Ландау с достатъчно малка кинетична енергия може да бъде получено като смущение на някаква адиабатна траектория. Строго доказателство за този факт беше намерено наскоро от първия автор

Ние даваме изрична формула за квази-изоморфизъм между операдите Hycomm (хомологията на пространството на модулите на стабилни криви от род 0) и BV/Δ (хомотопичното коефициент на операда Баталин-Вилковски от BV-оператора). С други думи, ние извличаме еквивалентност на Hycomm-алгебри и BV-алгебри, подобрени с хомотопия, която тривиализира BV-оператора. Тези формули са дадени по отношение на графиките на Гивентал и са доказани по два различни начина. Едното доказателство използва груповото действие на Гивентал, а другото доказателство минава през верига от изрични формули за резолюции на Hycomm и BV. Вторият подход дава, по-специално, хомологично обяснение на действието на групата Givental върху Hycomm-алгебри.

Под научни ред.: А. Михайлов кн. 14. М.: Факултет по социология на Московския държавен университет, 2012.

Статиите в този сборник са написани въз основа на доклади, направени през 2011 г. в Социологическия факултет на Московския държавен университет. М.В. Ломоносов на заседанието на XIV интердисциплинарен годишен научен семинар "Математическо моделиране на социални процеси" на име. герой социалистически трудакадемик А.А. Самара.

Публикацията е предназначена за научен състав, учители, студенти от университети и научни институции на Руската академия на науките, които се интересуват от проблемите, разработването и прилагането на методологията математическо моделиранесоциални процеси.

"ЛЕКЦИИ ПО ОБИКНОВЕНИТЕ ДИФЕРЕНЦИАЛНИ УРАВНЕНИЯ ЧАСТ 1. ЕЛЕМЕНТИ НА ОБЩАТА ТЕОРИЯ Учебникът очертава разпоредбите, които са в основата на теорията на обикновените диференциални уравнения: ..."

-- [ Страница 1 ] --

А. Е. Мамонтов

ЛЕКЦИИ ПО ОБЩ

ДИФЕРЕНЦИАЛНИ УРАВНЕНИЯ

ЕЛЕМЕНТИ НА ОБЩАТА ТЕОРИЯ

Ръководството за обучение определя разпоредбите, които съставляват

основа на теорията на обикновените диференциални уравнения: концепцията за решения, тяхното съществуване, уникалност,

зависимост от параметри. Също така (в § 3) се обръща известно внимание на "явното" решаване на определени класове уравнения. Ръководството е предназначено за задълбочено проучванекурс "Диференциални уравнения" от студенти, обучаващи се във Факултета по математика на Новосибирския държавен педагогически университет.

UDC 517.91 LBC B161.61 Предговор Учебникът е предназначен за студенти от катедрата по математика на Новосибирския държавен педагогически университет, които желаят да изучават задължителния курс "Диференциални уравнения" в разширен обем. На читателите се предлагат основните понятия и резултати, които формират основата на теорията на обикновените диференциални уравнения: понятия за решения, теореми за тяхното съществуване, уникалност и зависимост от параметри. Описаният материал е представен под формата на логически неделим текст в §§ 1, 2, 4, 5. Също така (в § 3, който стои малко встрани и временно прекъсва основната нишка на курса), най-популярните методи на Разгледани са накратко „явни“ решения за намиране на някои класове уравнения. На първо четене § 3 може да бъде пропуснат без съществено увреждане на логическата структура на курса.

Важна роля играят упражненията, които са включени в голям брой в текста. На читателя се препоръчва да ги решава "по горещи следи", което гарантира усвояването на материала и ще служи като тест. Нещо повече, тези упражнения често запълват логическата тъкан, т.е. без решаването им не всички твърдения ще бъдат строго доказани.

В квадратни скоби в средата на текста се правят забележки, които имат ролята на коментар (разширени или странични пояснения). Лексически тези фрагменти прекъсват основния текст (т.е. за съгласувано четене те трябва да бъдат „игнорирани“), но все пак са необходими като обяснения. С други думи, тези фрагменти трябва да се възприемат така, сякаш са изнесени в полето.

В текста има отделно рубрикирани „забележки за преподавателя“ - те могат да бъдат пропуснати при четене от студентите, но са полезни за учителя, който ще използва ръководството, например, когато изнася лекции - помагат за по-доброто разбиране на логиката на курса и посочете посоката на възможни подобрения (разширения) на курса. Развитието на тези коментари от студентите обаче може само да се приветства.

Подобна роля играят и "съображенията за учителя" - те предоставят в изключително сбита форма доказателството на някои от положенията, предложени на читателя като упражнения.

Най-често срещаните (ключови) термини са използвани като съкращения, чийто списък е даден в края за удобство. Има и списък с математически обозначения, които се срещат в текста, но не са сред най-често срещаните (и/или не са ясно разбрани в литературата).

Символът означава край на доказателството, формулиране на твърдението, забележки и т.н. (където е необходимо, за да се избегне объркване).

Формулите са номерирани независимо във всеки параграф. Когато се говори за част от формулата, се използват индекси, например (2)3 означава 3-та част от формулата (2) (частите от формулата се считат за фрагменти, разделени с типографски интервал, и от логическа позиция - куп "и").

Това ръководство не може напълно да замени задълбоченото изучаване на темата, което изисква самостоятелни упражнения и четене на допълнителна литература, например, чийто списък е даден в края на ръководството. Въпреки това, авторът се е опитал да представи основните положения на теорията в доста сбита форма, подходяща за лекционен курс. В тази връзка трябва да се отбележи, че при четене на лекционен курс по това ръководство са необходими около 10 лекции.

Предвижда се публикуването на още 2 части (тома), които продължават това ръководство и по този начин завършват цикъла от лекции по темата "обикновени диференциални уравнения": част 2 (линейни уравнения), част 3 (по-нататъшна теория на нелинейните уравнения, частни диференциални уравнения от първи ред).

§ 1. Въведение Диференциалното уравнение (DE) е връзка с вида u1 u1 un, по-високи производни F y, u(y),..., = 0, y1 y2 yk (1) където y = (y1,. .., yk) Rk са независими променливи, а u = u(y) са неизвестни функции1, u = (u1,..., un). Следователно има n неизвестни в (1), така че са необходими n уравнения, т.е. F = (F1,..., Fn), така че (1) е, най-общо казано, система от n уравнения. Ако има само една неизвестна функция (n = 1), тогава уравнение (1) е скаларно (едно уравнение).

И така, функцията(ите) F е дадена(и) и u се търси. Ако k = 1, тогава (1) се нарича ODE, а в противен случай - PDE. Вторият случай е предмет на специален курс на UMF, изложен в едноименната поредица от уроци. В тази поредица от ръководства (състояща се от 3 части-тома) ще изучаваме само ODE, с изключение на последния параграф от последната част (том), в който ще започнем да изучаваме някои специални случаи на PDE.

2u u Пример. 2 = 0 е PDE.

y1 y Неизвестните величини u могат да бъдат реални или комплексни, което не е от съществено значение, тъй като този момент се отнася само до формата на писане на уравнения: всяка сложна нотация може да се превърне в реална чрез разделяне на реалната и имагинерната част (но, разбира се, удвояване на броя на уравненията и неизвестните) и обратно, в някои случаи е удобно да се премине към сложна нотация.

du d2v dv 2 = uv; u3 = 2. Това е система от 2 ODE Пример.

dy dy dy за 2 неизвестни функции на независимата променлива y.

Ако k = 1 (ODE), тогава се използва "директният" знак d/dy.

u(y) du Пример. exp(sin z)dz е ODE, защото има пример. = u(u(y)) за n = 1 не е DE, а функционално диференциално уравнение.

Това не е DE, а интегро-диференциално уравнение, ние няма да изучаваме такива уравнения. Въпреки това, конкретно уравнение (2) лесно се свежда до ODE:

Упражнение. Редуцирайте (2) до ODE.

Но като цяло интегралните уравнения са по-сложен обект (частично се изучава в хода на функционалния анализ), въпреки че, както ще видим по-долу, с тяхна помощ се получават някои резултати за ODE.

DE произтичат както от вътрешноматематически нужди (например в диференциалната геометрия), така и от приложения (исторически за първи път, а сега главно във физиката). Най-простият DE е „основният проблем на диференциалното смятане“ за възстановяване на функция от нейната производна: = h(y). Както е известно от анализа, неговото решение има формата u(y) = + h(s)ds. По-общите DE изискват специални методи за тяхното решаване. Въпреки това, както ще видим по-долу, практически всички методи за решаване на ОДУ „в явна форма“ по същество се свеждат до посочения тривиален случай.

В приложенията ODE най-често възникват при описване на процеси, развиващи се във времето, така че ролята на независима променлива обикновено се играе от времето t.

по този начин значението на ODE в такива приложения е да опише промяната в параметрите на системата с течение на времето. Следователно е удобно при конструиране обща теория ODE обозначава независимата променлива с t (и я нарича време с всички произтичащи от това терминологични последствия), а неизвестната функция(и) с x = (x1,..., xn). По този начин, обща форма ODE (системата ODE) е както следва:

където F = (F1,..., Fn) - т.е. това е система от n ODE за n функции x, а ако n = 1, тогава едно ODE за 1 функция x.

Освен това x = x(t), t R и x обикновено е с комплексни стойности (това е за удобство, тъй като тогава някои системи могат да бъдат записани по-компактно).

Казва се, че системата (3) има ред m по отношение на xm.

Производните се наричат ​​старши, а останалите (включително xm = себе си) се наричат ​​младши. Ако всички m =, тогава просто казваме, че редът на системата е равен.

Вярно е, че числото m често се нарича ред на системата, което също е естествено, както ще стане ясно по-долу.

Въпросът за необходимостта от изучаване на ODE и техните приложения ще считаме за достатъчно обоснован от други дисциплини (диференциална геометрия, математически анализ, теоретична механика и др.) и е частично обхванат в хода на практическите упражнения при решаване на задачи (за пример от проблемна книга). В този курс ще се занимаваме изключително с математическото изследване на системи от формата (3), което означава да отговорим на следните въпроси:

1. какво означава "решаване" на уравнението (системата) (3);

2. как да го направя;

3. какви свойства имат тези разтвори, как да ги изследваме.

Въпрос 1 не е толкова очевиден, колкото изглежда - вижте по-долу. Веднага отбелязваме, че всяка система (3) може да бъде редуцирана до система от първи ред, обозначавайки по-ниски производни като нови неизвестни функции. Най-лесният начин да обясните тази процедура е с пример:

от 5 уравнения за 5 неизвестни. Лесно е да се разбере, че (4) и (5) са еквивалентни в смисъл, че решението на едно от тях (след съответното преименуване) е решение на другото. В този случай трябва само да поставим въпроса за гладкостта на решенията - ще направим това по-нататък, когато срещнем ODE от по-висок ред (т.е. не 1-ви).

Но сега е ясно, че е достатъчно да се изучават само ODE от първи ред, докато други може да са необходими само за удобство на нотацията (такава ситуация понякога ще възникне в нашия случай).

И сега се ограничаваме до ODE от първи ред:

dimx = dim F = n.

Изследването на уравнението (системата) (6) е неудобно поради факта, че не е разрешено по отношение на производните dx/dt. Както е известно от анализа (от теоремата за неявната функция), при определени условия на F, уравнение (6) може да бъде решено по отношение на dx/dt и записано във формата, където е дадено f: Rn+1 Rn и x: R Rn е необходимото. Казва се, че (7) е ОДУ, разрешено по отношение на производни (ОДУ с нормална форма). При преминаване от (6) към (7), естествено, могат да възникнат трудности:

Пример. Уравнението exp(x) = 0 не може да бъде написано във формата (7) и изобщо няма решения, т.е. exp няма нули дори в комплексната равнина.

Пример. Уравнението x 2 + x2 = 1 с разделителна способност се записва като две нормални ODE x = ± 1 x2. Трябва да решите всеки от тях и след това да интерпретирате резултата.

Коментирайте. При редуциране на (3) до (6) могат да възникнат трудности, ако (3) има ред 0 по отношение на някаква функция или част от функциите (т.е. това е функционално диференциално уравнение). Но тогава тези функции трябва да бъдат изключени от теоремата за имплицитната функция.

Пример. x = y, xy = 1 x = 1/x. Трябва да намерите x от полученото ODE и след това y от функционалното уравнение.

Но във всеки случай проблемът за прехода от (6) към (7) принадлежи повече към областта на математическия анализ, отколкото към DE и ние няма да се занимаваме с него. Въпреки това, при решаването на ODE от формата (6), могат да възникнат интересни моменти от гледна точка на ODE, така че този въпрос е подходящо да се изучава при решаване на задачи (както се прави, например, в ) и ще бъде леко докоснат в § 3. Но в останалата част от курса ще се занимаваме само с нормални системи и уравнения. Така че, помислете за ODE (система ODE) (7). Нека го напишем веднъж във формата компонент по компонент:

Концепцията за „решаване (7)“ (и като цяло всяко DE) отдавна се разбира като търсене на „явна формула“ за решението (т.е. под формата на елементарни функции, техните антипроизводни или специални функции, и т.н.), без акцент върху гладкостта на решението и интервала на неговото дефиниране. Въпреки това, сегашното състояние на теорията на ODE и други клонове на математиката (и естествените науки като цяло) показва, че подобен подход е незадоволителен, дори само защото делът на ODE, които могат да бъдат податливи на такава „явна интеграция“, е изключително голям малък (дори за най-простия ODE x = f (t), известно, че решението елементарни функциирядко се случва, въпреки че има "изрична формула").

Пример. Уравнението x = t2 + x2, въпреки изключителната си простота, няма решения в елементарни функции (и тук дори няма "формула").

И въпреки че е полезно да се знаят онези класове ODE, за които е възможно „изрично“ да се конструира решение (подобно на това колко полезно е да можете да „изчислите интеграли“, когато е възможно, въпреки че това е изключително рядко), В тази връзка следните термини звучат характерно: „интегриране на ODE“, „интеграл на ODE“ (остарели аналози на съвременните понятия „решаване на ODE“, „решение на ODE“), които отразяват предишните концепции за решението. Как да разбираме съвременните термини, сега ще обясним.

и този въпрос ще бъде разгледан в § 3 (и традиционно му се обръща много внимание при решаването на задачи в практическите занятия), но не трябва да се очаква универсалност от този подход. Като правило, под процеса на решаване на (7) имаме предвид напълно различни стъпки.

Трябва да се изясни коя функция x = x(t) може да се нарече решение на (7).

На първо място, отбелязваме, че ясна формулировка на концепцията за решение е невъзможна без уточняване на множеството, върху което е дефинирано.Макар само защото решението е функция, а всяка функция (според училищната дефиниция) е закон който съвпада с който и да е елемент от определен набор (наречен домейн на дефиницията на тази функция) някакъв елемент от друг набор (функционални стойности). По този начин да се говори за функция, без да се уточни нейният обхват, е абсурдно по дефиниция. Аналитичните функции (в по-широк смисъл - елементарните) тук служат като "изключение" (подвеждащи) поради следните причини (и някои други), но в случая на DE подобни волности не са позволени.

и като цяло без да се уточняват наборите от дефиниции на всички функции, включени в (7). Както ще стане ясно от това, което следва, целесъобразно е стриктно да се свърже концепцията за решение с множеството на неговата дефиниция и да се считат за различни решения, ако техните дефиниционни множества са различни, дори ако решенията съвпадат в пресечната точка на тези множества.

Най-често в конкретни ситуации това означава, че ако решенията са конструирани под формата на елементарни функции, така че 2 решения да имат „една и съща формула“, тогава е необходимо също да се изясни дали множествата, върху които са написани тези формули, съвпадат. Объркването, което цареше в този въпрос дълго време, беше извинително, докато се разглеждаха решения под формата на елементарни функции, тъй като аналитичните функции могат да бъдат уникално разширени до по-широки интервали.

Пример. x1(t) = et on (0,2) и x2(t) = et on (1,3) са различни решения на уравнението x = x.

В същото време е естествено да се вземе отворен интервал (може би безкраен) като множество от дефиниции на всяко решение, тъй като това множество трябва да бъде:

1. отворен, така че във всяка точка има смисъл да се говори за производна (двустранна);

2. свързани така, че решението да не се разпадне на несвързани части (в този случай е по-удобно да говорим за няколко решения) - вижте предишния пример.

Така решение (7) е двойка (, (a, b)), където a b + е дефинирано върху (a, b).

Бележка за учителя. В някои учебници е разрешено включването на краищата на отсечката в областта на решението, но това е непрактично, защото само усложнява представянето и не дава реално обобщение (виж § 4).

За по-лесно разбиране на по-нататъшните разсъждения е полезно да се използва геометричната интерпретация (7). В пространството Rn+1 = ((t, x)) във всяка точка (t, x), където f е дефинирано, можем да разгледаме вектора f (t, x). Ако построим графика на решението (7) в това пространство (тя се нарича интегрална крива на система (7)), тогава тя се състои от точки от формата (t, x(t)). Тъй като t (a, b) се променя, тази точка се движи по IC. Допирателната към IC в точката (t, x(t)) има формата (1, x (t)) = (1, f (t, x(t))). По този начин ICs са тези и само онези криви в пространството Rn+1, които във всяка от техните точки (t, x) имат допирателна, успоредна на вектора (1, f (t, x)). Въз основа на тази идея се създава т.нар методът на изоклина за приблизително конструиране на IC, който се използва при показване на графики на решения на специфични ODE (вж.

например ). Например, за n = 1, нашата конструкция означава следното: във всяка точка от IC нейният наклон към оста t има свойството tg = f (t, x). Естествено е да приемем, че вземайки всяка точка от дефиниционното множество f, можем да начертаем IC през нея. Тази идея ще бъде строго обоснована по-долу. Въпреки че ни липсва строга формулировка на гладкостта на решенията, това ще бъде направено по-долу.

Сега трябва да прецизираме множеството B, на което е дефинирано f. Този комплект е естествено да вземете:

1. отворен (така че IC да може да бъде изграден в близост до всяка точка от B), 2. свързан (в противен случай всички свързани части могат да се разглеждат отделно - така или иначе IC (като графика на непрекъсната функция) не може да скочи от едно парче на друго, така че това няма да повлияе на общото търсене на решения).

Ще разгледаме само класическите решения на (7), т.е. такива, че самото x и неговото x са непрекъснати върху (a, b). Тогава е естествено да се изисква f C(B). По-нататък това изискване винаги ще се подразбира от нас. И така, най-накрая получаваме Дефиницията. Нека B Rn+1 е област, f C(B).

Двойка (, (a, b)), a b +, дефинирана върху (a, b), се нарича решение на (7), ако C(a, b), за всяко t (a, b) точката (t , (t) ) B и (t) съществува и (t) = f (t, (t)) (тогава автоматично C 1(a, b)).

Геометрично е ясно, че (7) ще има много решения (което е лесно за разбиране графично), тъй като ако начертаем IR, започвайки от точки от формата (t0, x0), където t0 е фиксирано, тогава ще получим различни IR. В допълнение, промяната на интервала за определяне на решението ще даде различно решение, според нашата дефиниция.

Пример. x = 0. Решение: x = = const Rn. Ако обаче изберем някакво t0 и фиксираме стойността x0 на решението в точка t0: x(t0) = x0, тогава стойността се определя еднозначно: = x0, т.е. решението е уникално до избора на интервала (a, b) t0.

Наличието на "безличен" набор от решения е неудобно за работа с тях2 - по-удобно е да ги "номерирате", както следва: добавете допълнителни условия към (7) по такъв начин, че да подчертаете единственото (в известен смисъл ) решение и след това, сортирайки тези условия, работете с всяко решение поотделно (геометрично може да има едно решение (IR), но има много парчета - ще се справим с това неудобство по-късно).

Определение. Задачата за (7) е (7) с допълнителни условия.

Всъщност вече сме измислили най-простия проблем - това е проблемът на Коши: (7) с условия на формата (данни на Коши, начални данни):

От гледна точка на приложенията този проблем е естествен: например, ако (7) описва промяната на някои параметри x с времето t, тогава (8) означава, че в някакъв (първоначален) момент стойността на параметрите е известна . Има нужда от изучаване на други проблеми, ще говорим за това по-късно, но засега ще се съсредоточим върху проблема на Коши. Естествено, този проблем има смисъл за (t0, x0) B. Съответно, решение на проблем (7), (8) е решение (7) (в смисъла на определението, дадено по-горе), така че t0 (a, b ) и (осем).

Следващата ни задача е да докажем съществуването на решение на задачата на Коши (7), (8) и за определени допълнения Пример е квадратно уравнение, по-добре е да напишем x1 =..., x2 =... отколкото x = b/2 ±...

при определени предположения за f - и неговата уникалност в определен смисъл.

Коментирайте. Трябва да изясним концепцията за нормата на вектор и матрица (въпреки че ще имаме нужда от матрици само в част 2). Поради факта, че в едно крайномерно пространство всички норми са еквивалентни, изборът на конкретна норма няма значение, ако се интересуваме само от оценки, а не от точни количества. Например |x|p = (|xi|p)1/p може да се използва за вектори, p е сегментът на Peano (Picard). Да разгледаме конуса K = (|x x0| F |t t0|) и неговата пресечена част K1 = K (t IP ). Ясно е, че само K1 C.

Теорема. (Пеано). Нека са изпълнени изискванията за f в задача (1), посочени в дефиницията на решението, т.е.

f C(B), където B е област в Rn+1. Тогава за всички (t0, x0) B на Int(IP) съществува решение на задача (1).

Доказателство. Нека зададем произволно (0, T0] и построим така наречената Ойлерова начупена линия със стъпка, а именно: това е начупена линия в Rn+1, в която всяка връзка има проекция върху оста t на дължина, първата връзката отдясно започва в точката (t0, x0) и е такава, че dx/dt = f (t0, x0) върху нея, десният край на тази връзка (t1, x1) служи като ляв край на втората , на която dx/dt = f (t1, x1) и т.н., и подобно наляво. Получената полилиния дефинира частично линейна функция x = (t). Докато t IP, полилинията остава в K1 (и още повече в C, а оттам и в B), така че конструкцията е правилна - за това всъщност е направена спомагателна конструкция преди теоремата.

Наистина навсякъде освен точките на прекъсване съществуват и тогава (s) (t) = (z)dz, където произволни стойности на производната се вземат в точките на прекъсване.

В този случай (движение по прекъснатата линия по индукция) По-специално | (t)x0| F |t t0|.

По този начин при IP функции:

2. са равнопоставени, тъй като са липшицови:

Тук читателят трябва, ако е необходимо, да опресни знанията си за такива понятия и резултати като: равномерна непрекъснатост, равномерна конвергенция, теоремата на Арцела-Асколи и др.

По теоремата на Арзела-Асколи съществува последователност k 0, такава че k е на IP, където C(IP). По конструкция (t0) = x0, така че остава да проверим дали Доказваме това за s t.

Упражнение. По подобен начин разгледайте s t.

Поставяме 0 и намираме 0, така че за всички (t1, x1), (t2, x2) C да е вярно. Това може да се направи с оглед на равномерната непрекъснатост на f върху компактното множество C. Намерете m N, така че Fix t Int (IP) и вземете всеки s Int(IP), такъв че t s t +. Тогава за всички z имаме |k (z) k (t)| F, така че с оглед на (4) |k (z) (t)| 2F.

Обърнете внимание, че k (z) = k (z) = f (z, k (z)), където z е абсцисата на левия край на сегмента на полилинията, съдържащ точката (z, k (z)). Но точката (z, k (z)) попада в цилиндър с параметри (, 2F), изграден върху точката (t, (t)) (всъщност дори в пресечен конус - вижте фигурата, но не t има значение сега), така че с оглед на (3) получаваме |k (z) f (t, (t))|. За прекъсната линия имаме, както бе споменато по-горе, формулата. За k това ще даде (2).

Коментирайте. Нека f C 1(B). Тогава решението, дефинирано върху (a, b), ще бъде от клас C 2(a, b). Наистина, върху (a, b) имаме: съществува f (t, x(t)) = ft(t, x(t)) + (t, x(t))x (t) (тук е якобианът матрица) е непрекъсната функция. Така че има и 2 C(a, b). Можем допълнително да увеличим гладкостта на решението, ако f е гладко. Ако f е аналитично, тогава е възможно да се докаже съществуването и уникалността на аналитично решение (това е така наречената теорема на Коши), въпреки че това не следва от предходните разсъждения!

Тук е необходимо да си припомним какво е аналитична функция. Да не се бърка с функция, представена от степенен ред (това е просто представяне на аналитична функция върху, най-общо казано, част от нейната област на дефиниция)!

Коментирайте. За дадено (t0, x0) може да се опита да се максимизира T0 чрез промяна на T и R. Но по правило това не е толкова важно, тъй като има специални методи за изследване на максималния интервал на съществуване на решение (виж § 4).

Теоремата на Пеано не казва нищо за уникалността на решението. С нашето разбиране за решението, то винаги не е уникално, защото ако има решение, тогава неговите ограничения до по-тесни интервали ще бъдат други решения. Ще разгледаме тази точка по-подробно по-късно (в § 4), но засега под уникалност разбираме съвпадението на всеки две решения в пресечната точка на интервалите на тяхната дефиниция. Дори в този смисъл теоремата на Пеано не казва нищо за уникалност, което не е случайно, тъй като при нейните условия уникалността не може да бъде гарантирана.

Пример. n = 1, f (x) = 2 |x|. Проблемът на Коши има тривиално решение: x1 0 и освен това x2(t) = t|t|. От тези две решения може да се компилира цяло семейство от решения с 2 параметъра:

където + (безкрайните стойности означават липса на съответен клон). Ако разгледаме цялото R като област на дефиниране на всички тези решения, тогава все още има безкрайно много от тях.

Обърнете внимание, че ако използваме доказателството на теоремата на Пеано по отношение на начупените линии на Ойлер в тази задача, тогава ще се получи само нулевото решение. От друга страна, ако се допуска малка грешка на всяка стъпка в процеса на конструиране на начупени линии на Ойлер, тогава дори след като параметърът на грешката клони към нула, всички решения остават. По този начин теоремата на Пеано и начупените линии на Ойлер са естествени като метод за конструиране на решения и са тясно свързани с числените методи.

Проблемът, наблюдаван в примера, се дължи на факта, че функцията f не е гладка по x. Оказва се, че ако наложим допълнителни изисквания към редовността на f в x, тогава може да се осигури уникалност и тази стъпка е необходима в известен смисъл (виж по-долу).

Нека си припомним някои понятия от анализа. Функция (скаларна или векторна) g се нарича функция на Хьолдер с показател (0, 1] в множеството, ако се нарича условие на Липшиц за 1. За 1 това е възможно само за постоянни функции. Функция, дефинирана на сегмент (където изборът на 0 не е от съществено значение) се нарича модул на непрекъснатост, ако се казва, че g удовлетворява обобщеното условие на Хьолдер с модул, ако В този случай се нарича модул на непрекъснатост на g.

Може да се покаже, че всеки модул на непрекъснатост е модулът на непрекъснатост на някаква непрекъсната функция.

Обратният факт е важен за нас, а именно: всяка непрекъсната функция върху компактно множество има свой собствен модул на непрекъснатост, т.е. удовлетворява (5) с някои. Нека го докажем. Припомнете си, че ако е компактен и g е C(), тогава g е необходимо равномерно непрекъснато в, т.е.

= (): |x y| = |g(x) g(y)|. Оказва се, че това е еквивалентно на условие (5) с някои. Наистина, ако съществува, тогава е достатъчно да се конструира модул на непрекъснатост, така че (()), а след това за |x y| = = () получаваме Тъй като (и) са произволни, тогава x и y могат да бъдат произволни.

И обратно, ако (5) е вярно, тогава е достатъчно да се намери такова, че (()), а след това за |x y| = () получаваме Остава да обосновем логическите преходи:

За монотонни и е достатъчно да се вземат обратни функции, но в общия случай е необходимо да се използват т.нар. обобщени обратни функции. Тяхното съществуване изисква отделно доказателство, което няма да даваме, а само идея (полезно е да придружите четенето с рисунки):

за всяко F дефинираме F(x) = min F (y), F (x) = max F (y) - това е монотонни функции, и те имат обратни. Лесно е да се провери, че x x F (F (x)), (F)1(F (x)) x, F ((F)1(x)) x.

Най-добрият модул на непрекъснатост е линеен (условие на Липшиц). Това са "почти диференцируеми" функции. Придаването на строго значение на последното твърдение изисква известни усилия и ние ще се ограничим само до две забележки:

1. Строго погледнато, не всяка функция на Липшиц е диференцируема, както в примера g(x) = |x| към R;

2. но диференцируемостта предполага Липшиц, както показва следното твърдение. Всяка функция g, която има всички M върху изпъкнало множество, удовлетворява условието на Липшиц върху него.

[За момента, за краткост, разгледайте скаларните функции g.] Доказателство. За всички x, y имаме. Ясно е, че това твърдение е вярно и за векторни функции.

Коментирайте. Ако f = f (t, x) (най-общо казано, векторна функция), тогава можем да въведем понятието „f е Липшиц в x“, т.е. |f (t, x) f (t, y)| C|x y|; | през |x y|. За n = 1 обикновено се използва формулата за крайно нарастване: g(x)g(y) = g (z)(xy) (ако g е векторна функция, тогава z е различно за всеки компонент). За n 1 е удобно да се използва следният аналог на тази формула:

Лема. (Адамара). Нека f C(D) (най-общо казано векторна функция), където D (t = t) е изпъкнал за всяко t и f (t, x) f (t, y) = A(t, x, y) (x y), където A е непрекъсната правоъгълна матрица.

Доказателство. За всяко фиксирано t прилагаме изчислението от доказателството на твърдението за = D (t = t), g = fk. Получаваме желаното представяне с A(t, x, y) = A наистина е непрекъснато.

Да се ​​върнем към въпроса за уникалността на решението на задача (1).

Нека поставим въпроса по следния начин: какъв трябва да бъде модулът на непрекъснатост на f по отношение на x, така че решение (1) да е уникално в смисъл, че 2 решения, дефинирани на един и същи интервал, съвпадат? Отговорът се дава от следната теорема:

Теорема. (Озгуд). Нека при условията на теоремата на Пеано модулът на непрекъснатост на f по отношение на x в B, т.е. функцията в неравенството удовлетворява условието (можем да приемем C). Тогава задача (1) не може да има две различни решенияопределени на един интервал от формата (t0 a, t0 + b).

Сравнете с примера за неуникалност по-горе.

Лема. Ако z C 1(,), тогава като цяло (,):

1. в точки, където z = 0, |z| съществува и ||z| | |z|;

2. в точки, където z = 0, има едностранни производни |z|± и ||z|± | = |z | (по-специално, ако z = 0, тогава |z| = 0 съществува).

Пример. n = 1, z(t) = t. В точката t = 0, производната на |z| не съществува, но има едностранни производни.

Доказателство. (леми). В онези точки, където z = 0, имаме z z : съществува |z| = и ||z| | |z|. В тези точки t, където z(t) = 0, имаме:

Случай 1: z (t) = 0. Тогава получаваме съществуването на |z| (t) = 0.

Случай 2: z (t) = 0. Тогава, ако +0 или 0, тогава z(t +)| |z(t)| чийто модул е ​​равен на |z (t)|.

По предположение F C 1(0,), F 0, F, F (+0) = +. Нека z1,2 са две решения на (1), дефинирани върху (t0, t0 +). Означаваме z = z1 z2. Ние имаме:

Да предположим, че има t1 (за определеност t1 t0), така че z(t1) = 0. Множеството A = ( t t1 | z(t) = 0) не е празно (t0 A) и е ограничено отгоре. Следователно има горна граница t1. По конструкция z = 0 върху (, t1) и тъй като z е непрекъснато, имаме z() = 0.

По лема |z| C 1(, t1) и на този интервал |z| |z | (|z|), така че интегрирането върху (t, t1) (където t (, t1)) дава F (|z(t)|) F (|z(t1)|) t1 t. За t + 0 получаваме противоречие.

Следствие 1. Ако при условията на теоремата на Пеано f е Липшиц в x в B, тогава задача (1) има уникално решение в смисъла, описан в теоремата на Osgood, тъй като в този случай () = C удовлетворява (7).

Следствие 2. Ако C(B) при условията на теоремата на Peano, тогава решение (1), дефинирано върху Int(IP), е уникално.

Лема. Всяко решение (1), дефинирано на IP, трябва да удовлетворява оценката |x | = |f (t, x)| F, а неговата графика лежи в K1 и още повече в C.

Доказателство. Да предположим, че има t1 IP, така че (t, x(t)) C. За определеност нека t1 t0. Тогава има t2 (t0, t1], така че |x(t) x0| = R. Подобно на разсъжденията в доказателството на теоремата на Осгуд, можем да приемем, че t2 е най-лявата такава точка, но имаме (t, x (t)) C, така че |f (t, x(t))|F и следователно (t, x(t)) K1, което противоречи на |x(t2) x0| = R. Следователно (t, x(t) ) C на всички IP, и след това (повтарящи се изчисления) (t, x(t)) K1.

Доказателство. (Следствие 2). C е компактно множество, получаваме, че f е Липшиц в x в C, където графиките на всички решения лежат поради лемата. Чрез следствие 1 получаваме това, което се изисква.

Коментирайте. Условие (7) означава, че условието на Липшиц за f не може да бъде значително отслабено. Например условието на Хьолдер с 1 вече не е валидно. Подходящи са само модули на непрекъснатост, близки до линейни - като "най-лошия":

Упражнение. (доста сложно). Докажете, че ако (7) удовлетворява, тогава има 1, удовлетворяващо (7), така че 1/ да е нула.

В общия случай не е необходимо да се изисква точно нещо от модула на непрекъснатост на f в x за уникалност - възможни са всякакви специални случаи, например:

Изявление. Ако, при условията на теоремата на Пеано, тогава всички 2 решения (1), дефинирани на (9), са верни, ясно е, че x C 1(a, b), и тогава диференцирането (9) дава (1)1, и (1)2 е очевидно.

За разлика от (1), за (9) е естествено да се построи решение на затворен интервал.

Пикард предложи следния метод на последователни приближения за решаване на (1)=(9). Означаваме x0(t) x0 и след това по индукция Теорема. (Коши-Пикара). Нека при условията на теоремата на Пеано функцията f е Липшиц по x във всеки компактен набор K, изпъкнал по x в областта B, т.е.

Тогава за всеки (t0, x0) B проблемът на Коши (1) (известен още като (9)) има уникално решение на Int(IP) и xk x на IP, където xk са дефинирани в (10).

Коментирайте. Ясно е, че теоремата остава валидна, ако условие (11) се замени с C(B), тъй като (11) следва от това условие.

Бележка за учителя. Всъщност не всички компактни множества, изпъкнали по x, са необходими, а само цилиндри, но формулировката е направена по този начин, тъй като в § 5 ще имаме нужда от по-общи компактни множества и освен това точно с такава формулировка е Забележката изглежда най-естествена.

Доказателство. Избираме произволно (t0, x0) B и правим същата спомагателна конструкция, както преди теоремата на Пеано. Нека докажем чрез индукция, че всички xk са дефинирани и непрекъснати на IP и техните графики лежат в K1 и още повече в C. Това е очевидно за x0. Ако това е вярно за xk1, тогава е ясно от (10), че xk е дефинирано и непрекъснато на IP и това е принадлежността на K1.

Сега доказваме оценката на IP чрез индукция:

(C е компактно множество, изпъкнало по x в B, и L(C) е дефинирано за него). За k = 0 това е доказана оценка (t, x1(t)) K1. Ако (12) е вярно за k:= k 1, тогава от (10) имаме това, което се изискваше. По този начин серията се мажорира върху IP от конвергентна числена серия и следователно (това се нарича теорема на Вайерщрас) се сближава равномерно върху IP към някаква функция x C(IP). Но това означава xk x на IP. След това в (10) на IP преминаваме към лимита и получаваме (9) на IP, а оттам (1) на Int(IP).

Уникалността непосредствено следва от следствие 1 от теоремата на Осгуд, но е полезно да се докаже по друг начин, използвайки именно уравнение (9). Нека има 2 решения x1,2 на задача (1) (т.е. (9)) на Int(IP). Както бе споменато по-горе, тогава техните графики непременно лежат в K1 и още повече в C. Нека t I1 = (t0, t0 +), където е някои положително число. Тогава = 1/(2L(C)). Тогава = 0. Следователно x1 = x2 върху I1.

Бележка за учителя. Има и доказателство за уникалност с помощта на лемата на Gronwall, дори е по-естествено, тъй като преминава незабавно глобално, но досега лемата на Gronwall не е много удобна, тъй като е трудно да се възприеме адекватно преди линейните ODE.

Коментирайте. Последното доказателство за уникалност е поучително с това, че показва още веднъж в различна светлина как локалната уникалност води до глобална уникалност (което не е вярно за съществуването).

Упражнение. Докажете уникалността наведнъж на всички IP, като аргументирате противното, както в доказателството на теоремата на Osgood.

Важен специален случай (1) са линейните ODE, т.е. тези, при които стойността f (t, x) е линейна по x:

В този случай, за да попадне в условията на общата теория, трябва да се изисква. Така в този случай ролята на B е лента и условието да бъде Липшиц (и дори диференцируем) по отношение на x е удовлетворено автоматично: за всички t (a, b), x, y Rn имаме |f (t, x) f (t, y)| = |A(t)(x y)| |A(t)| · |(x y)|.

Ако временно изберем компактно множество (a, b), тогава върху него получаваме |f (t, x) f (t, y)| L|(x y)|, където L = max |A|.

Теоремите на Пеано и Осгуд или Коши-Пикар предполагат уникалната разрешимост на задача (13) на някакъв интервал (Пеано-Пикар), съдържащ t0. Освен това решението на този интервал е границата на последователните приближения на Пикар.

Упражнение. Намерете този интервал.

Но се оказва, че в този случай всички тези резултати могат да бъдат доказани глобално наведнъж, т.е. върху всичко (a, b):

Теорема. Нека (14) е вярно. Тогава задача (13) има уникално решение на (a, b) и последователните приближения на Пикар се събират равномерно към нея на всяко компактно множество (a, b).

Доказателство. Отново, както в TK-P, ние конструираме решение на интегралното уравнение (9), използвайки последователни приближения, използвайки формула (10). Но сега не е нужно да проверяваме условието графиката да попада в конуса и цилиндъра, тъй като

f е дефинирано за всички x до t (a, b). Трябва само да проверим дали всички xk са дефинирани и непрекъснати върху (a, b), което е очевидно по индукция.

Вместо (12), сега показваме подобна оценка на формата, където N е някакво число в зависимост от избора на . Първата стъпка на индукция за тази оценка е различна (защото не е свързана с K1): за k = 0 |x1(t) x0| N поради непрекъснатостта на x1 и следващите стъпки са подобни на (12).

Възможно е да не описваме това, тъй като е очевидно, но отново можем да отбележим xk x на , а x е решението на съответното (10) на . Но по този начин ние сме конструирали решение за всичко (a, b), тъй като изборът на компактното множество е произволен. Уникалността следва от теоремите на Осгуд или Коши-Пикар (и дискусията по-горе за глобалната уникалност).

Коментирайте. Както бе споменато по-горе, TC-P е формално излишен поради теоремите на Peano и Osgood, но е полезен по 3 причини - той:

1. ви позволява да свържете проблема на Коши за ODE с интегрално уравнение;

2. предлага конструктивен метод на последователни приближения;

3. улеснява доказването на глобалното съществуване на линейни ODE.

[въпреки че последното може да бъде изведено и от аргументите на § 4.] По-нататък най-често ще се позоваваме на него.

Пример. x = x, x(0) = 1. Последователни приближения Следователно, x(t) = e е решението на първоначалната задача върху цялото R.

Най-често няма да се получи серия, но остава известна конструктивност. Възможно е също така да се оцени грешката x xk (виж ).

Коментирайте. От теоремите на Пеано, Осгуд и Коши-Пикар е лесно да се получат съответните теореми за ODE от по-висок ред.

Упражнение. Формулирайте понятията на проблема на Коши, решението на системата и проблема на Коши, всички теореми за ODE от по-висок ред, като използвате редуцирането до системи от първи ред, описано в § 1.

Донякъде нарушавайки логиката на курса, но с цел по-добро усвояване и обосноваване на методите за решаване на задачи в практическите занятия, временно ще прекъснем изложението на общата теория и ще се занимаем с техническия проблем за „явно решаване на ODE“.

§ 3. Някои методи на интегриране По този начин разглеждаме скаларното уравнение = f (t, x). Най-простият частен случай, който се научихме да интегрираме е т.нар. URP, т.е. уравнение, в което f (t, x) = a(t)b(x). Формалният трик за интегриране на ERP е да "разделите" променливите t и x (оттук и името): = a(t)dt и след това да вземете интеграла:

където x = B (A(t)). Такова официално разсъждение съдържа няколко точки, които изискват обосновка.

1. Деление на b(x). Предполагаме, че f е непрекъснато, така че a C(,), b C(,), т.е. B е правоъгълник (,) (,)(най-общо казано безкрайно). Наборите (b(x) 0) и (b(x) 0) са отворени и следователно са крайни или изброими набори от интервали. Между тези интервали има точки или сегменти, където b = 0. Ако b(x0) = 0, тогава проблемът на Коши има решение x x0. Може би това решение не е уникално, тогава в неговата област на дефиниция има интервали, където b(x(t)) = 0, но тогава те могат да бъдат разделени на b(x(t)). Забележете между другото, че функцията B е монотонна на тези интервали и следователно можем да приемем B 1. Ако b(x0) = 0, тогава b(x(t)) = 0 в околност на t0 и процедурата е законна . По този начин описаната процедура трябва, най-общо казано, да се прилага при разделяне на областта на дефиниране на решение на части.

2. Интегриране на лявата и дясната част по отношение на различни променливи.

Метод I. Нека искаме да намерим решение на проблема Kod(t) shi (1) x = (t). Имаме: = a(t)b((t)), откъдето - получихме същата формула строго.

Метод II. Уравнението е т.нар. симетрична нотация на оригиналния ODE, т.е. такава, която не уточнява коя променлива е независима и коя е зависима. Такава форма има смисъл само в случая, когато разглеждаме едно уравнение от първи ред с оглед на теоремата за инвариантността на формата на първия диференциал.

Тук е подходящо да разгледаме по-подробно понятието диференциал, илюстрирайки го с примера на равнината ((t, x)), кривите върху нея, възникващите връзки, степени на свобода и параметър на кривата.

По този начин уравнение (2) свързва диференциалите t и x по желаната IC. Тогава интегрирането на уравнение (2) по начина, показан в началото, е напълно законно - това означава, ако желаете, интегриране върху всяка променлива, избрана като независима.

В метод I показахме това, като избрахме t като независима променлива. Сега ще покажем това, като изберем параметъра s по протежение на IC като независима променлива (защото това по-ясно показва равенството на t и x). Нека стойността s = s0 съответства на точката (t0, x0).

Тогава имаме: = a(t(s))t (s)ds, което след това дава Тук трябва да се съсредоточим върху универсалността на симетричния запис, например: кръгът не се записва нито като x(t), нито като t(x), но като x(s), t(s).

Някои други ODE от първи ред се свеждат до URP, което може да се види при решаване на проблеми (например според книгата с проблеми).

Друг важен случай е линейният ODE:

Метод I. Вариация на константата.

това е частен случай на по-общ подход, който ще бъде разгледан в част 2. Въпросът е, че търсенето на решение в специална форманамалява реда на уравнението.

Първо да решим. хомогенно уравнение:

По силата на уникалността или x 0, или навсякъде x = 0. В последния случай (нека x 0 за определеност), получаваме, че (4) дава всички решения на (3)0 (включително нулеви и отрицателни).

Формула (4) съдържа произволна константа C1.

Методът на постоянната вариация се състои в това, че решението (3) C1(t) = C0 + Може да се види (както за алгебричните линейни системи) структурата ORNY=CHRNY+OROU (повече за това в част 2).

Ако искаме да решим задачата на Коши x(t0) = x0, тогава трябва да намерим C0 от данните на Коши - лесно получаваме C0 = x0.

Метод II. Нека намерим IM, т.е. функция v, по която трябва да се умножи (3) (записана по такъв начин, че всички неизвестни да са събрани от лявата страна: x a(t)x = b(t)), така че производната от някаква удобна комбинация.

Имаме: vx vax = (vx), ако v = av, т.е. (такова уравнение, (3) е еквивалентно на уравнение, което вече е лесно решено и дава (5). Ако проблемът на Коши е решен, тогава в ( 6) удобно е да се вземе веднага определен интегралНякои други се свеждат до линейни ODE (3), както може да се види при решаването на задачи (например според книгата с проблеми). Важният случай на линейни ODE (веднага за всяко n) ще бъде разгледан по-подробно в част 2.

И двете разгледани ситуации са частен случай на т.нар. UPD. Помислете за ODE от първи ред (за n = 1) в симетрична форма:

Както вече беше споменато, (7) определя IC в равнината (t, x), без да уточнява коя променлива се счита за независима.

Ако умножим (7) по произволна функция M (t, x), получаваме еквивалентна форма на запис на същото уравнение:

По този начин един и същ ODE има много симетрични записи. Сред тях особена роля играят т.нар. записи в общи диференциали, името на UPD е неуспешно, тъй като това свойство не е уравнение, а формата на неговия запис, т.е. така, че лявата страна на (7) е равна на dF (t, x) с някои Е.

Ясно е, че (7) е SPD, ако и само ако A = Ft, B = Fx с някои F. Както е известно от анализа, за последното е необходимо и достатъчно Ние не обосноваваме строго технически точки, например гладкостта на всички функции. Факт е, че § играе второстепенна роля - той изобщо не е необходим за други части на курса и не бих искал да изразходвам излишни усилия за подробното му представяне.

По този начин, ако (9) е изпълнено, тогава има F (то е уникално до адитивна константа), така че (7) се пренаписва като dF (t, x) = 0 (по IR), т.е.

F (t, x) = const по IC, т.е. ICs са линиите на нивото на функцията F. Получаваме, че интегрирането на SPD е тривиална задача, тъй като търсенето на F от A и B удовлетворява (9 ) не е трудно. Ако (9) не е изпълнено, то следва да се намери т.нар. IM M (t, x), така че (8) е FDD, за което е необходимо и достатъчно да се извърши аналог на (9), който приема формата:

Както следва от теорията на PDE от първи ред (която ще разгледаме в част 3), уравнение (10) винаги има решение, така че IM съществува. По този начин всяко уравнение под формата (7) може да бъде написано под формата на FDD и следователно позволява "явна" интеграция. Но тези разсъждения не дават конструктивен метод в общия случай, тъй като за да се реши (10), най-общо казано, е необходимо да се намери решение (7), което търсим. Съществуват обаче редица техники за търсене на IM, които традиционно се разглеждат в практическите часове (вижте например).

Обърнете внимание, че горните методи за решаване на ERP и линейните ODE са специален случай на идеологията на IM.

Наистина, ERP dx/dt = a(t)b(x), записано в симетричната форма dx = a(t)b(x)dt, се решава чрез умножаване по IM 1/b(x), защото след това се превръща в FDD dx/b(x) = a(t)dt, т.е. dB(x) = dA(t). Линейното уравнение dx/dt = a(t)x + b(t), записано в симетричната форма dx a(t)xdt b(t)dt, се решава чрез умножаване по MI

(с изключение на големия блок, свързан с линейни системи) са, че с помощта на специални методи за намаляване на реда и промяна на променливите, те се редуцират до ODE от първи ред, които след това се редуцират до FDD, и се решават чрез прилагане на основна теорема на диференциалното смятане: dF = 0 F = const. Въпросът за понижаване на поръчката традиционно се включва в хода на практическите упражнения (вижте например).

Нека кажем няколко думи за ODE от първи ред, които не са разрешени по отношение на производната:

Както беше обсъдено в § 1, може да се опита да се реши (11) по отношение на x и да се получи нормална форма, но това не винаги е препоръчително. Често е по-удобно да се реши (11) директно.

Разгледайте пространството ((t, x, p)), където p = x временно се третира като независима променлива. Тогава (11) дефинира повърхност (F (t, x, p) = 0) в това пространство, която може да бъде записана параметрично:

Полезно е да запомните какво означава това, например с помощта на сфера в R3.

Желаните решения ще съответстват на криви на тази повърхност: t = s, x = x(s), p = x (s) - една степен на свобода се губи, защото има връзка dx = pdt върху решенията. Нека запишем тази връзка по отношение на параметрите на повърхността (12): gu du + gv dv = h(fudu + fv dv), т.е.

Така желаните решения съответстват на криви на повърхността (12), в които параметрите са свързани с уравнение (13). Последното е ODE в симетрична форма, която може да бъде решена.

Случай I. Ако в някакъв регион (gu hfu) = 0, тогава (12) тогава t = f ((v), v), x = g((v), v) дава параметрично представяне на желаните криви в равнина ((t, x)) (т.е. ние проектираме върху тази равнина, тъй като не се нуждаем от p).

Случай II. По същия начин, ако (gv hfv) = 0.

Случай III. В някои точки едновременно gu hfu = gv hfv = 0. Тук е необходим отделен анализ дали това множество съответства на някои решения (тогава те се наричат ​​сингулярни).

Пример. Уравнението на Clairaut x = tx + x 2. Имаме:

x = tp + p2. Параметризираме тази повърхност: t = u, p = v, x = uv + v 2. Уравнение (13) приема формата (u + 2v)dv = 0.

Случай I. Не е реализиран.

Случай II. u + 2v = 0, тогава dv = 0, т.е. v = C = const.

Следователно t = u, x = Cu + C 2 е параметричната нотация на IR.

Лесно е да го напишете изрично x = Ct + C 2.

Случай III. u + 2v = 0, т.е. v = u/2. Следователно t = u, x = u2/4 е параметричната нотация на „IC кандидата“.

За да проверим дали това наистина е IR, ние го записваме изрично x = t2/4. Оказа се, че това е (специално) решение.

Упражнение. Докажете, че специалното решение се отнася за всички останали.

Това е общ факт - графиката на всяко специално решение е обвивката на семейството на всички други решения. Това е основата за друга дефиниция на единично решение, именно като обвивка (виж ).

Упражнение. Докажете това за повече общо уравнение Clairaut x = tx (x) с изпъкнала функция, специалното решение има формата x = (t), където е трансформацията на Legendre на , т.е. = ()1, или (t) = max(tv (v)). По същия начин за уравнението x = tx + (x).

Коментирайте. Съдържанието на § 3 е описано по-подробно и по-точно в учебника.

Бележка за учителя. Когато изнасяте курс от лекции, може да е полезно да разширите § 3, като му придадете по-строга форма.

Сега нека се върнем към основната схема на курса, като продължим изложението, започнато в §§ 1,2.

§ 4. Глобална разрешимост на задачата на Коши В § 2 доказахме локалното съществуване на решение на задачата на Коши, т.е. само на някакъв интервал, съдържащ точката t0.

При някои допълнителни предположения за f ние също доказахме уникалността на решението, разбирайки го като съвпадение на две решения, дефинирани на един и същи интервал. Ако f е линейно по x, тогава се получава глобално съществуване, т.е. върху целия интервал, където коефициентите на уравнението (системата) са дефинирани и непрекъснати. Въпреки това, както показва опитът за прилагане на общата теория към линейна система, интервалът на Пеано-Пикар обикновено е по-малък от този, върху който може да се конструира решение. Възникват естествени въпроси:

1. как да се определи максималния интервал, на който може да се твърди съществуването на решение (1)?

2. Винаги ли този интервал съвпада с максималния интервал, на който дясната страна на (1)1 все още има смисъл?

3. как точно да се формулира концепцията за уникалност на решение без резерви относно интервала на неговото дефиниране?

Фактът, че отговорът на въпрос 2 обикновено е отрицателен (или по-скоро изисква голяма точност), се вижда от следния пример. x = x2, x(0) = x0. Ако x0 = 0, тогава x 0 - няма други решения по теоремата на Осгуд. Ако x0 = 0, тогава решаваме, че е полезно да направим чертеж). Интервалът на съществуване на решение не може да бъде по-голям от (, 1/x0) или (1/x0, +), съответно, за x0 0 и x0 0 (вторият клон на хиперболата не е свързан с решението! - това е типична грешкастуденти). На пръв поглед нищо в първоначалния проблем „не предвещаваше такъв изход“. В § 4 ще намерим обяснение на това явление.

На примера на уравнението x = t2 + x2 е показана типична грешка на учениците относно интервала на съществуване на решението. Тук фактът, че "уравнението е дефинирано навсякъде" изобщо не означава, че решението може да бъде разширено до цялата линия. Това е ясно дори от чисто битова гледна точка, например във връзка със законовите закони и процесите, които се развиват по тях: дори законът да не предписва изрично прекратяване на съществуването на дружество през 2015 г., това не означава, че изобщо, че тази фирма няма да фалира до тази година по вътрешни причини (въпреки че работи в рамките на закона).

За да се отговори на въпроси 1–3 (и дори да се формулират ясно), е необходимо понятието неразширяемо решение. Ние (както се съгласихме по-горе) ще разглеждаме решенията на уравнение (1)1 като двойки (, (tl (), tr ())).

Определение. Решението (, (tl (), tr ())) е продължението на решението (, (tl (), tr ())) if (tl (), tr ()) (tl (), tr () ) и |(tl(),tr()) =.

Определение. Решение (, (tl (), tr ())) е неразширяемо, ако няма нетривиални (т.е. различни) разширения. (вижте примера по-горе).

Ясно е, че ИС имат особена стойност и в техните термини е необходимо да се докаже съществуването и уникалността. Възниква естествен въпрос - винаги ли е възможно да се конструира ИС на базата на някакво локално решение или на проблема на Коши? Оказва се, че да. За да разберем това, нека представим понятията:

Определение. Набор от решения ((, (tl (), tr ()))) е съвместим, ако всеки 2 решения от този набор съвпадат в пресечната точка на интервали от тяхната дефиниция.

Определение. Съгласувано множество от решения се нарича максимално, ако към него не може да се добави още едно решение, така че новото множество да е съгласувано и да съдържа нови точки в обединението на областите на решенията.

Ясно е, че изграждането на INN е еквивалентно на изграждането на IS, а именно:

1. Ако има IS, тогава всяко INN, което го съдържа, може да бъде само набор от неговите ограничения.

Упражнение. Проверете.

2. Ако има INN, тогава HP (, (t, t+)) се конструира, както следва:

задаваме (t) = (t), където е всеки INN елемент, дефиниран в тази точка. Очевидно е, че такава функция ще бъде еднозначно дефинирана като цяло (t, t+) (уникалността следва от съгласуваността на множеството) и във всяка точка тя съвпада с всички елементи на INN, дефинирани в тази точка. За всяко t (t, t+) има някакво дефинирано в него, а оттам и в неговата околност, и тъй като има решение (1)1 в тази околност, тогава и това. Следователно има решение (1)1 като цяло (t, t+). Той е неразширяем, тъй като в противен случай към INN би могло да се добави нетривиално разширение, въпреки неговата максималност.

Конструирането на проблема ILS (1) в общия случай (при условията на теоремата на Пеано), когато няма локална уникалност, е възможно (вижте , ), но доста тромаво - основава се на стъпка по- стъпково приложение на теоремата на Пеано с по-ниска оценка за дължината на интервала на разширение. Следователно HP винаги съществува. Ще оправдаем това само в случай, че има локална уникалност, тогава конструкцията на INN (а оттам и на IR) е тривиална. Например, за определеност ще действаме в рамките на TC-P.

Теорема. Нека условията на TK-P са изпълнени в областта B Rn+1. Тогава за всеки (t0, x0) B проблем (1) има уникален IS.

Доказателство. Разгледайте множеството от всички решения на задача (1) (не е празно според TK-P). Той формира INN - последователен поради локална уникалност и максимален с оглед на това, че това е съвкупността от всички решения на задачата на Коши като цяло. Така че NR съществува. Той е уникален поради местната уникалност.

Ако се изисква да се конструира IS въз основа на наличното локално решение (1)1 (а не проблема на Коши), тогава този проблем, в случай на локална уникалност, се свежда до проблема на Коши: трябва да се избере всяка точка от съществуващ IR и разгледайте съответния проблем на Коши. IS на този проблем ще бъде продължение на оригиналното решение поради своята уникалност. Ако няма уникалност, тогава продължаването на даденото решение се извършва съгласно процедурата, посочена по-горе.

Коментирайте. HP не може да бъде удължен в края на своя интервал на съществуване (независимо от условието за уникалност), така че да е решение и в крайните точки. За обосновка е необходимо да се изясни какво се разбира под решението на ODE в краищата на сегмент:

1. Подход 1. Нека решението (1)1 на интервала се разбира като функция, която удовлетворява уравнението в краищата в смисъл на едностранна производна. Тогава възможността за посоченото разширение на някакво решение, например, в десния край на интервала на неговото съществуване (t, t+] означава, че IC има крайна точка вътре в B и C 1(t, t+]. Но тогава, след като решихме проблема на Коши x(t+) = (t+) за (1) и намерихме решението му, получаваме за десния край t+ (в точката t+ съществуват и двете едностранни производни и са равни на f (t+ , (t+)), което означава, че има обикновена производна), т.е. не е NR.

2. Подход 2. Ако под решение (1)1 на сегмент имаме предвид функция, която е непрекъсната само в краищата, но такава, че краищата на IC лежат в B (дори ако не се изисква уравнението да бъде удовлетворени в краищата), тогава все още получаваме същото разсъждение, само по отношение на съответното интегрално уравнение (вижте подробности).

По този начин, като незабавно се ограничихме само до отворени интервали като набори от дефиниции на решения, ние не нарушихме общото (а само избегнахме ненужното суетене с едностранни производни и т.н.).

В резултат на това отговорихме на въпрос 3, поставен в началото на § 4: при условието за уникалност (например Осгуд или Коши-Пикар), решението на задачата на Коши е уникално в HP. Ако условието за уникалност е нарушено, тогава може да има много IS на проблема на Коши, всеки със свой собствен интервал на съществуване. Всяко решение (1) (или просто (1)1) може да бъде разширено до IS.

За да се отговори на въпроси 1 и 2, е необходимо да се разглежда не променливата t отделно, а поведението на IC в пространството Rn+1. На въпроса как IC се държи „близо до краищата“, той отговаря Имайте предвид, че интервалът на съществуване има краища, но IC може да ги няма (краят на IC в B винаги не съществува - вижте забележката по-горе, но краят може да не съществува на B - виж по-долу).

Теорема. (относно напускането на компакта).

ние го формулираме при условия на локална уникалност, но това не е необходимо - виж , където ТПК е формулиран като критерий за NR.

При условията на TC-P, графиката на всеки IS на уравнение (1)1 напуска всяко компактно множество K B, т.е. K B (t, t+): (t, (t)) K при t .

Пример. K = ((t, x) B | ((t, x), B)).

Коментирайте. По този начин IC на IS близо до t± се доближава до B: ((t, (t)), B) 0 като t t± - процесът на продължаване на решението не може да приключи стриктно вътре в B.

положително, тук като упражнение е полезно да се докаже положителността на разстоянието между дизюнктни затворени множества, едно от които е компактно множество.

Доказателство. Фиксирайте K B. Вземете произволно 0 (0, (K, B)). Ако B = Rn+1, тогава по дефиниция приемаме (K, B) = +. Множеството K1 = ( (t, x) | ((t, x), K) 0 /2 ) също е компактно в B, така че съществува F = max |f |. Избираме числата T и R до K достатъчно малки, така че всеки цилиндър от формата Например, достатъчно е да вземем T 2 + R2 2/4. Тогава проблемът на Коши от формата, според TK-P, има решение на интервал не по-тесен от (t T0, t + T0), където T0 = min(T, R/F) за всички (t, x) К.

Сега, като желания сегмент, можете да вземете = . Наистина, трябва да покажем, че ако (t, (t)) K, тогава t + T0 t t + T0. Нека да покажем, например, второто неравенство. Решение на задачата на Коши (2) с x = (t) съществува отдясно поне до точката t + T0, но е IS на същата задача, която поради своята уникалност е разширение, така че t + T0 t+.

По този начин графиката на IS винаги "достига B", така че интервалът на съществуване на IS зависи от геометрията на IC.

Например:

Изявление. Нека B = (a, b)Rn (краен или безкраен интервал), f удовлетворява условията TC-P в B, е IS на задача (1) с t0 (a, b). Тогава или t+ = b, или |(t)| + за t t+ (и аналогично за t).

Доказателство. Така че нека t+ b, тогава t+ +.

Да разгледаме компактно множество K = B B. За всяко R +, според TPK, има (R) t+ такова, че за t ((R), t+) точката (t, (t)) K. Но тъй като t t+, това е възможно само за сметка |(t)| R. Но това означава |(t)| + за t t+.

В този конкретен случай виждаме, че ако f е дефинирано "за всички x", тогава интервалът на съществуване на IS може да бъде по-малък от максимално възможния (a, b) само поради тенденцията на IS да при доближаване до краищата на интервала (t, t+) (в общия случай - до границата B).

Упражнение. Обобщете последното твърдение за случая, когато B = (a, b), където Rn е произволна област.

Коментирайте. Трябва да се разбира, че |(t)| + не означава никакво k(t).

Така отговорихме на въпрос 2 (вижте примера в началото на § 4): IR достига B, но неговата проекция върху оста t може да не достигне краищата на проекцията на B върху оста t. Остава въпрос 1 - има ли признаци, по които, без да се решава ODE, може да се прецени възможността за продължаване на решението до "най-широкия възможен интервал"? Знаем, че за линейни ODE това разширение винаги е възможно, но в примера в началото на § 4 това е невъзможно.

Нека първо разгледаме, за илюстрация, частен случай на ERP за n = 1:

сходимостта на неправилния интеграл h(s)ds (неправилен поради = + или поради сингулярността на h в точката) не зависи от избора на (,). Затова по-долу ще пишем просто h(s)ds, когато говорим за конвергенция или дивергенция на този интеграл.

това вече може да се направи в теоремата на Осгуд и свързаните с нея твърдения.

Изявление. Нека a C(,), b C(, +), и двете функции са положителни на своите интервали. Нека проблемът на Коши (където t0 (,), x0) има IS x = x(t) на интервала (t, t+) (,). Тогава:

Последица. Ако a = 1, = +, тогава t+ = + Доказателство. (Твърдения). Обърнете внимание, че x нараства монотонно.

Упражнение. Докажи.

Следователно x(t+) = lim x(t) + съществува. Имаме случай 1. t+, x(t+) + - е невъзможно чрез TPK, тъй като x е IS.

И двата интеграла са или крайни, или безкрайни.

Упражнение. Добавете доказателство.

Обосновка на учителя. В резултат на това получаваме, че в случай 3: a(s)ds +, а в случай 4 (ако изобщо се реализира) същото.

По този начин, за най-простите ODE за n = 1 от формата x = f (x), разширяемостта на решенията до се определя от подобието.

автономни) уравнения, вижте част 3.

Пример. За f (x) = x, 1 (по-специално, линейният случай = 1) и f (x) = x ln x, разширяемостта на (положителните) решения до + може да бъде гарантирана. За f(x) = x и f(x) = x ln x при 1, решенията се „разлагат за крайно време“.

В общия случай ситуацията се определя от много фактори и не е толкова проста, но значението на "скоростта на нарастване на f в x" остава. За n 1 е трудно да се формулират критерии за разширяване, но съществуват достатъчни условия. По правило те се оправдават с помощта на т.нар. априорни оценки на решенията.

Определение. Нека h C(,), h 0. Казва се, че за решения на някои ОДУ, AO |x(t)| h(t) на (,) ако всяко решение на този ODE удовлетворява тази оценка за тази част от интервала (,), където е дефинирано (т.е. не се приема, че решенията са непременно дефинирани на целия интервал (,) ).

Но се оказва, че наличието на AO гарантира, че решенията все още ще бъдат дефинирани на всички (,) (и следователно ще удовлетворят оценката на целия интервал), така че априорната оценка се превръща в апостериорна:

Теорема. Нека задачата на Коши (1) удовлетворява условията на TK-P и за нейните решения има АО на интервала (,) с някои h C(,), и криволинейният цилиндър (|x| h(t), t (,)) B Тогава HP (1) е дефиниран на всички (,) (и следователно удовлетворява AO).

Доказателство. Нека докажем, че t+ (t е подобно). Да кажем t+. Да разгледаме компактно множество K = (|x| h(t), t ) B. Чрез TPK, като t t+ точката от графиката (t, x(t)) напуска K, което е невъзможно поради AO.

По този начин, за да се докаже разширението на решение до определен интервал, е достатъчно да се оцени формално решението за целия необходим интервал.

Аналогия: измеримостта на функция според Лебег и формалната оценка на интеграла водят до реалното съществуване на интеграла.

Ето няколко примера за ситуации, в които тази логика работи. Нека започнем, като илюстрираме горната теза за "растежът на f в x е доста бавен."

Изявление. Нека B = (,) Rn, f удовлетворява условията на TK-P в B, |f (t, x)| a(t)b(|x|), където a и b отговарят на условията на предишното предложение c = 0 и = +. Тогава IS на задача (1) съществува върху (,) за всички t0 (,), x0 Rn.

Лема. Ако и са непрекъснати, (t0) (t0); за t t Доказателство. Обърнете внимание, че в околността (t0, t0 +): ако (t0) (t0), тогава това е очевидно веднага, в противен случай (ако (t0) = (t0) = 0) имаме (t0) = g(t0, 0 ) (t0), което отново дава това, което се изисква.

Да предположим сега, че има t1 t0 такова, че (t1). Чрез очевидно разсъждение може да се намери (t1) t2 (t0, t1] така, че (t2) = (t2) и върху (t0, t2). Но тогава в точката t2 имаме =, - противоречие.

g е всякакъв и всъщност е необходим само C и където =, там. Но за да не ни претоварват главите, нека го разгледаме като в лемата. Тук има строго неравенство, но нелинейно ОДУ, а има и т.нар.

Бележка за учителя. Неравенства от този вид, както в лемата, се наричат ​​неравенства от типа на Чаплигин (NC). Лесно е да се види, че лемата не се нуждае от условие за уникалност, така че такова "строго NP" е вярно и в рамките на теоремата на Пеано. „Нестриктно LF“ очевидно е невярно без уникалност, тъй като равенството е специален случай на нестрого неравенство. И накрая, „нестрогият NP“ е верен в рамките на условието за уникалност, но може да се докаже само локално, с помощта на IM.

Доказателство. (Твърдения). Нека докажем, че t+ = (t = по подобен начин). Да предположим, че t+, тогава съгласно твърдението по-горе |x(t)| + за t t+, така че можем да приемем, че x = 0 върху . Ако докажем AO |x| h на ) (топката е затворена за удобство).

Проблемът на Коши x(0) = 0 има уникален IS x = 0 на R.

Нека посочим достатъчно условие за f, при което съществуването на IS върху R+ може да бъде гарантирано за всички достатъчно малки x0 = x(0). За целта да предположим, че (4) има т.нар функция на Ляпунов, т.е. функция V, така че:

1. V C 1(B(0, R));

2. sgnV (x) = sgn|x|;

Нека проверим изпълнението на условия А и Б:

A. Разгледайте проблема на Коши, където |x1| R/2. Нека построим цилиндър B = R B(0, R) - областта на функцията f, където тя е ограничена и от клас C 1, така че съществува F = max |f |. Съгласно TK-P има решение на (5), дефинирано на интервала (t1 T0, t1 + T0), където T0 = min(T, R/(2F)). Избирайки достатъчно голямо T, може да се постигне T0 = R/(2F). Важно е T0 да не зависи от избора на (t1, x1), при условие че |x1| R/2.

B. Докато решението (5) е дефинирано и остава в топката B(0, R), можем да направим следния аргумент. Ние имаме:

V (x(t)) = f (x(t)) V (x(t)) 0, т.е. V (x(t)) V (x1) M (r) = max V (y) . Ясно е, че m и M не намаляват; r са прекъснати при нула, m(0) = M (0) = 0, а извън нулата са положителни. Следователно, има R 0 такъв, че M (R) m(R/2). Ако |x1| R, тогава V (x(t)) V (x1) M (R) m(R/2), откъдето |x(t)| R/2. Обърнете внимание, че R R/2.

Сега можем да формулираме теорема, която от гл. A, B извежда глобалното съществуване на решения (4):

Теорема. Ако (4) има функция на Ляпунов в B(0, R), тогава за всички x0 B(0, R) (където R е дефинирано по-горе) IS на проблема на Коши x(t0) = x0 за система (4) (с всяко t0), дефинирано на +.

Доказателство. По т. A решението може да се конструира върху , където t1 = t0 + T0 /2. Това решение се намира в B(0, R) и ние прилагаме елемент B към него, така че |x(t1)| R/2. Отново прилагаме т. А и получаваме решение на , където t2 = t1 + T0/2, т.е. сега решението е изградено върху . Прилагаме елемент B към това решение и получаваме |x(t2)| R/2 и т.н. В преброим брой стъпки получаваме решение в § 5. Зависимост на решенията на ODE от Разгледайте проблема на Коши, където Rk. Ако за някои t0(), x0() тази задача на Коши има IS, тогава тя е x(t,). Възниква въпросът: как да изследваме зависимостта на x от? Този въпрос е важен поради различни приложения (и ще възникне особено в част 3), едно от които (макар и може би не най-важното) е приблизителното решение на ODE.

Пример. Нека разгледаме проблема на Коши.Неговият IS съществува и е уникален, както следва от TK-P, но е невъзможно да се изрази в елементарни функции. Как тогава да изследваме свойствата му? Един от начините е следният: забележете, че (2) е „близо“ до задачата y = y, y(0) = 1, чието решение се намира лесно: y(t) = et. Можем да приемем, че x(t) y(t) = et. Тази идея е ясно формулирана по следния начин: разгледайте проблема At = 1/100 това е (2), а at = 0 това е проблемът за y. Ако докажем, че x = x(t,) е непрекъснат в (в определен смисъл), тогава получаваме, че x(t,) y(t) при 0, което означава x(t, 1/100) y( t ) = et.

Вярно е, че остава неясно колко близо е x до y, но доказването, че x е непрекъснато по отношение на е първата необходима стъпка, без която по-нататъшният напредък е невъзможен.

По същия начин е полезно да се изследва зависимостта от параметрите в първоначалните данни. Както ще видим по-късно, тази зависимост може лесно да се сведе до зависимост от параметъра от дясната страна на уравнението, така че за момента се ограничаваме до задача от формата Нека f C(D), където D е регион в Rn+k+1; f е Липшиц в x във всяко компактно множество в D, изпъкнало в x (например C(D) е достатъчно). Фиксираме (t0, x0). Означаваме M = Rk | (t0, x0,) D е множеството от допустими (за които задача (4) има смисъл). Обърнете внимание, че M е отворено. Приемаме, че (t0, x0) са избрани така, че M =. Съгласно TK-P за всички M има единичен IS на задача (4) - функцията x = (t,), дефинирана на интервала t (t(), t+()).

Строго погледнато, тъй като зависи от много променливи, трябва да напишем (4) по следния начин:

където (5)1 е изпълнено в множеството G = ( (t,) | M, t (t (), t+()) ). Разликата между знаците d / dt и / t обаче е чисто психологическа (използването им зависи от същата психологическа концепция за "поправка"). По този начин множеството G е естественото максимално множество от дефиницията на функция и въпросът за непрекъснатостта трябва да се изследва точно върху G.

Имаме нужда от спомагателен резултат:

Лема. (Гронуол). Нека функцията C, 0, удовлетворява оценката за всички t. Тогава за всички е вярно Бележка за учителя. Когато четете лекция, не можете да запомните тази формула предварително, но оставете място и я въведете след заключението.

Но тогава дръжте тази формула на видно място, защото ще бъде необходима в ToNZ.

h = A + B Ah + B, откъдето откъде получаваме това, което се изисква.

Значението на тази лема: диференциално уравнение и неравенство, връзка между тях, интегрално уравнение и неравенство, връзка между всички тях, диференциална и интегрална леми на Гронуол и връзка между тях.

Коментирайте. Възможно е да докажем тази лема при по-общи предположения за A и B, но все още не се нуждаем от това, но ще бъде направено в курса UMF (по този начин е лесно да се види, че не сме използвали непрекъснатостта на A и Б и т.н.).

Вече сме готови да заявим ясно резултата:

Теорема. (ToNS) При предположенията, направени за f и във въведената по-горе нотация, можем да твърдим, че G е отворено, но C(G).

Коментирайте. Ясно е, че множеството M по принцип не е свързано, така че G също може да не е свързано.

Бележка за учителя. Въпреки това, ако включим (t0, x0) в броя на параметрите, тогава връзката ще бъде - това се прави в .

Доказателство. Нека (t,) G. Необходимо е да се докаже, че:

Нека, за определеност, t t0. Имаме: M, така че (t,) е дефинирано на (t(), t+()) t, t0, което означава, че на някакъв сегмент, такъв че t точката (t, (t,),) минава през компактна крива D (успоредна на хиперравнини ( = 0)). Това означава, че наборът от формуляра Определение трябва да бъде постоянно пред очите ви!

има и компактно множество в D за достатъчно малки a и b (изпъкнали в x), така че функцията f е Липшиц в x:

[Тази оценка трябва да бъде постоянно пред очите ви! ] и е равномерно непрекъснато във всички променливи и още повече |f (t, x, 1)f (t, x, 2)| (|12|), (t, x, 1), (t, x, 2).

[Тази оценка трябва да бъде постоянно пред очите ви! ] Да разгледаме произволно 1, такова че |1 | b и съответното решение (t, 1). Множеството ( = 1) е компактно в D ( = 1), а за t = t0 точката (t, (t, 1), 1) = (t0, x0, 1) = (t0, (t0,), 1) ( = 1), а според ТПК за t t+(1) точката (t, (t, 1), 1) напуска ( = 1). Нека t2 t0 (t2 t+(1)) е първата стойност, до която достига споменатата точка.

По конструкция, t2 (t0, t1]. Нашата задача ще бъде да покажем, че t2 = t1 при допълнителни ограничения върху. Нека сега t3 . Имаме (за всички такива t3, всички количества, използвани по-долу, са определени чрез конструкция):

(t3, 1)(t3,) = f (t, (t, 1), 1)f (t, (t,),) dt, Нека се опитаме да докажем, че тази стойност е по-малка от a по абсолютна стойност.

където интегралната функция се изчислява, както следва:

±f (t, (t,),), а не ±f (t, (t,),), тъй като разликата |(t, 1) (t,)| просто все още няма оценка, така че (t, (t, 1),) не е ясно, но за |1 | съществува и (t, (t,), 1) е известно.

така че |(t3, 1)(t3,)| K|(t, 1)(t,)|+(|1|) dt.

Така функцията (t3) = |(t3, 1) (t3,)| (това е непрекъсната функция) удовлетворява условията на лемата на Гронуол с A(s) K 0, B(s) (|1 |), T = t2, = 0, така че чрез тази лема получаваме [Тази оценка трябва да се запази в ума си по всяко време! ] ако вземем |1 | 1 (t1). Ще приемем, че 1(t1) b. Всички наши разсъждения са правилни за всички t3.

Така, с такъв избор на 1, когато t3 = t2, все още |(t2, 1) (t2,)| a, както и |1 | b. Следователно (t2, (t2, 1), 1) е възможно само поради факта, че t2 = t1. Но това означава, по-специално, че (t, 1) е дефинирано на целия интервал , т.е. t1 t+(1), и всички точки от формата (t, 1) G, ако t , |1 | 1 (t1).

Тоест, въпреки че t+ зависи от, но сегментът остава вляво от t+() при достатъчно близо до. На Фигура По подобен начин, при t t0, съществуването на числа t4 t0 и 2(t4) е показано. Ако t t0, тогава точката (t,) B(, 1) G, подобно за t t0, и ако t = t0, тогава и двата случая са приложими, така че (t0,) B(, 3) G, където 3 = min (12). Важно е, че за фиксирано (t,) може да се намери t1(t,), така че t1 t 0 (или t4, съответно) и 1(t1) = 1(t,) 0 (или 2, съответно), така че изборът на 0 = 0(t,) е ясен (тъй като топка може да бъде вписана в резултантната цилиндрична околност).

всъщност е доказано по-фино свойство: ако един IS е дефиниран на определен интервал, тогава всички IS с достатъчно близки параметри са дефинирани върху него (т.е.

всички леко смутени HPs). Въпреки това, и обратно, това свойство следва от отвореността на G, както ще бъде показано по-долу, така че това са еквивалентни формулировки.

Така доказахме т.1.

Ако се намираме в посочения цилиндър в пространството, тогава оценката е вярна за |1 | 4(, t,). В същото време |(t3,) (t,)| за |t3 t| 5(, t,) поради непрекъснатост в t. В резултат на това за (t3, 1) B((t,),) имаме |(t3, 1) (t,)|, където = min(4, 5). Това е точка 2.

„Министерство на образованието и науката на Руската федерация Федерална държавна бюджетна образователна институция за висше професионално образование ДЪРЖАВЕН УНИВЕРСИТЕТ ПО УПРАВЛЕНИЕ Институт за подготовка на научни, педагогически и научни кадри ПРОГРАМА ЗА ВХОДНИ ТЕСТОВЕ ПО СПЕЦИАЛНАТА ДИСЦИПЛИНА СОЦИОЛОГИЯ НА УПРАВЛЕНИЕТО МОСКВА - 2014 1. ОРГАНИЗАЦИОННИ И МЕТОДИЧЕСКИ УКАЗАНИЯ приемни изпити за висше училище в ... "

« Амурски държавен университет Катедра по психология и педагогика ОБРАЗОВАТЕЛЕН И МЕТОДОЛОГИЧЕСКИ КОМПЛЕКС ДИСЦИПЛИНА КОНСУЛТАТИВНА ПСИХОЛОГИЯ Основната образователна програма в посока бакалавърска степен 030300.62 Психология Благовещенск 2012 UMKd разработен Разгледан и препоръчан на заседание на катедрата по психология и педагогика Протокол ... "

"автомобилна индустрия) Омск - 2009 3 Федерална агенция за образование GOU VPO Сибирска държавна автомобилна и пътна академия (SibADI) Катедра по инженерна педагогика МЕТОДОЛОГИЧЕСКИ ИНСТРУКЦИИ за изучаване на дисциплината Педагогически технологии за студенти от специалност 050501 - Професионално обучение (автомобили и автомобили .. .“

"Поредица Учебна книга Г. С. Розенберг, Ф. Н. Рянски ТЕОРЕТИЧНА И ПРИЛОЖНА ЕКОЛОГИЯ Учебно ръководство образователни институциипо екологични специалности 2-ро издание Нижневартовск Издателство на Нижневартовския педагогически институт 2005 LBC 28.080.1ya73 P64 Рецензенти: д-р биол. наук, професор В. И. Попченко (Институт по екология...»

„МИНИСТЕРСТВО НА ОБРАЗОВАНИЕТО И НАУКАТА НА РУСКАТА ФЕДЕРАЦИЯ Федерална държавна бюджетна образователна институция за висше професионално образование КРАСНОЯРСКИ ДЪРЖАВЕН ПЕДАГОГИЧЕСКИ УНИВЕРСИТЕТ им. В.П. Астафиева Е.М. Антипова МАЛКА РАБОТИЛНА СЕМИНАРА ПО БОТАНИКА Електронно издание КРАСНОЯРСК 2013 LBC 28.5 A 721 Рецензенти: Василиев А.Н. В.П. Астафиев; Ямских Г.Ю., доктор на геологическите науки, професор на Сибирския федерален университет Третякова И.Н., доктор на биологичните науки, професор, водещ научен сътрудник на Института за гората...»

„Министерство на образованието и науката на Руската федерация Федерална държавна образователна бюджетна институция за висше професионално образование Амурски държавен университет Катедра по психология и педагогика ОБРАЗОВАТЕЛЕН И МЕТОДОЛОГИЧЕН КОМПЛЕКС НА ДИСЦИПЛИНА ОСНОВА НА ПЕДИАТРИЯ И ХИГИЕНА Основната образователна програма в посоката на обучение 050400.62 Психологическа и педагогическо образование Благовещенск 2012 1 UMKd разработен Разгледан и препоръчан на среща на катедрата по психология и ... "

„Проверка на задачи с подробен отговор Държавно (окончателно) сертифициране на завършили девети клас на образователни институции (в нова форма) 2013 г. ГЕОГРАФИЯ Москва 2013 г. Съставител: Амбарцумова Е.М. Повишаване на обективността на резултатите от държавното (окончателно) сертифициране на завършилите 9-ти клас на общообразователните институции (в ... "

„Практически препоръки относно използването на справочно, информационно и методическо съдържание за преподаване на руски език като държавен език на Руската федерация. Практическите препоръки са насочени към учителите по руски (включително като нероден език). Съдържание: Практически препоръкии насоки за подбор на 1. съдържанието на материала за обучение и образователни дейностипосветен на проблемите на функционирането на руския език като държавен език...»

«ЕВМУРЮКИНА РАЗВИТИЕ НА КРИТИЧНО МИСЛЕНЕ И МЕДИЙНА КОМПЕТЕНТНОСТ НА СТУДЕНТИ В ПРОЦЕСА НА АНАЛИЗ НА ПРЕСА учебник за университети Таганрог 2008 2 Muryukina Ye.V. Развитие на критичното мислене и медийната компетентност на студентите в процеса на анализ на пресата. Учебник за ВУЗ. Таганрог: НП Център за развитие на личността, 2008. 298 с. Учебникът се занимава с развитието на критичното мислене и медийната компетентност на учениците в процеса на медийното образование. Защото пресата днес..."

„О. П. Головченко ЗА ФОРМИРАНЕТО НА ФИЗИЧЕСКАТА АКТИВНОСТ НА ЧОВЕКА Част II ПЕДАГОГИКА И ДВИГАТЕЛНИ ДЕЙНОСТИ 3 Образователно издание Олег Петрович Головченко ФОРМИРАНЕ НА ФИЗИЧЕСКАТА АКТИВНОСТ НА ЧОВЕКА Част II Педагогика на двигателната активност Второ издание, коригирано *** Редактор N.I. Kosenkova Компютърното оформление е направено от D.V. Smolyak и S.V. Потапова *** Подписано за печат на 23.11. Формат 60 х 90/1/16. Хартия за писане Слушалки Времена Оперативен метод на печат Усл. п.л.."

«ДЪРЖАВНА ОБРАЗОВАТЕЛНА ИНСТИТУЦИЯ ЗА ВИСШЕ ПРОФЕСИОНАЛНО ОБРАЗОВАНИЕ Казански държавен университет на име V.I. В И. УЛЯНОВА-ЛЕНИНА Електронни библиотеки с научни и образователни ресурси. Учебно помагалоАбросимов А.Г. Лазарева Ю.И. Казан 2008 Електронни библиотеки с научни и образователни ресурси. Учебно помагало по направление Електрон образователни ресурси. - Казан: KSU, 2008. Учебното и методическо ръководство се публикува с решение ... "

„МИНИСТЕРСТВО НА ОБРАЗОВАНИЕТО НА РУСКАТА ФЕДЕРАЦИЯ Държавна образователна институция за висше професионално образование Оренбургски държавен университет Акбулак клон Катедра по педагогика V.A. ТЕЦКОВА МЕТОДИКА НА ОБУЧЕНИЕТО ПО ИЗКУСТВО В НАЧАЛНОТО УЧИЛИЩЕ НА ОБЩООБРАЗОВАТЕЛНОТО УЧИЛИЩЕ МЕТОДИЧЕСКИ УКАЗАНИЯ Препоръчано за публикуване от Редакционно-издателския съвет на Държавната образователна институцияпо-висок професионално образованиеОренбургски държавен университет...»

МИНИСТЕРСТВО НА ОБРАЗОВАНИЕТО И НАУКАТА НА РУСКАТА ФЕДЕРАЦИЯ Джегутанова ДЕТСКА ЛИТЕРАТУРА НА СТРАНИТЕ НА УЧЕБНИЯ ЕЗИК УЧЕБНО-МЕТОДИЧЕСКИ КОМПЛЕКС Ставропол 2010 1 Публикувано с решение UDC 82.0 на редакционно-издателския съвет на LBC 83.3 (0) GOU VPO Ставрополски държавен педагогически институт Рецензенти: ... "

„ПРАВИЛА за новата система за вътрешноучилищно оценяване на качеството на образованието MBOU Kamyshinskaya средно училище 1. Общи разпоредби 1.1. Наредбата за вътрешноучилищната система за оценяване на качеството на образованието (наричана по-нататък - наредбата) установява единни изисквания за прилагане на вътрешноучилищната система за оценяване на качеството на образованието (наричана по-нататък - SSEKO) в общинския бюджет. образователна институцияКамишинская среда средно училище(наричано по-нататък училището). 1.2. Практическото прилагане на SSOKO е изградено в съответствие с ... "

„МИНИСТЕРСТВО НА ЗДРАВЕОПАЗВАНЕТО НА РЕПУБЛИКА УЗБЕКИСТАН ТАШКЕНТСКА МЕДИЦИНСКА АКАДЕМИЯ ОТДЕЛЕНИЕ НА ОПЛ С КЛИНИЧНА АЛЕРГОЛОГИЯ ОДОБРЕНО от заместник-ректора по учебната дейност проф. О. Р. Тешаев _ 2012 г ПРЕПОРЪКИ ЗА РАЗРАБОТВАНЕ НА ОБРАЗОВАТЕЛНИ И МЕТОДИЧЕСКИ РАЗРАБОТКИ ЗА ПРАКТИЧЕСКИ ЗАНЯТИЯ ПО ЕДИННА МЕТОДИЧЕСКА СИСТЕМА Насокиза учители медицински университетиТашкент- 2012 МИНИСТЕРСТВО НА ЗДРАВЕОПАЗВАНЕТО НА РЕПУБЛИКАТА УЗБЕКИСТАН ЦЕНТЪР ЗА РАЗВИТИЕ НА МЕДИЦИНСКОТО ОБРАЗОВАНИЕ ТАШКЕНТ МЕДИЦИНСКИ...»

„Федерална агенция за образование Горно-Алтайски държавен университет А. П. Макошев ПОЛИТИЧЕСКА ГЕОГРАФИЯ И ГЕОПОЛИТИКА Учебно-методическо ръководство Горно-Алтайски РИО Горно-Алтайски държавен университет 2006 г. Публикувано с решение на Редакционно-издателския съвет на Горно-Алтайския държавен университет държавен университетМакошев А.П. ПОЛИТИЧЕСКА ГЕОГРАФИЯ И ГЕОПОЛИТИКА. Учебно помагало. - Горно-Алтайск: РИО ГАГУ, 2006.-103 с. Учебното помагало е разработено в съответствие с учебните ... "

„А.В. Новицкая, Л.И. Николаева УЧИЛИЩЕ НА БЪДЕЩЕТО СЪВРЕМЕННА ОБРАЗОВАТЕЛНА ПРОГРАМА ЕТАПИ НА ЖИВОТА 1 КЛАС МЕТОДИЧЕСКА ПОМОЩ ЗА УЧИТЕЛИ НАЧАЛНИ УЧИЛИЩА Москва 2009 UDC 371(075.8) LBC 74.00 N 68 Авторските права са защитени от закона, позоваването на авторите е задължително. Новицкая А.В., Николаева Л.И. H 68 Модерен образователна програмаЖитейски стъпки. – М.: Avvallon, 2009. – 176 с. ISBN 978 5 94989 141 4 Тази брошура е предназначена предимно за преподаватели, но със сигурност със своята информация...”

« Учебно-методически комплекс РУСКО БИЗНЕС ПРАВО 030500 - Право Москва 2013 г. Автор - съставител на катедрата по гражданскоправни дисциплини Рецензент - Учебно-методическият комплекс беше разгледан и одобрен на заседание на катедрата по гражданскоправни дисциплини протокол № _2013. Руското бизнес право: образователно и методическо ... "

"НО. А. Ямашкин В. В. Руженков Ал. А. Ямашкин ГЕОГРАФИЯ НА РЕПУБЛИКА МОРДОВИЯ Учебник САРАНСКО ИЗДАТЕЛСТВО НА МОРДОВСКИЯ УНИВЕРСИТЕТ 2004 UDC 91 (075) (470.345) LBC D9(2P351–6Mo) Ya549 Рецензенти: Катедрата по физическа география на Воронежския държавен педагогически университет; доктор по география, професор А. М. Носонов; учител на училищен комплекс № 39 на Саранск А. В. Леонтиев Публикувано с решение на образователния и методически съвет на факултета за предуниверситетско обучение и средно ... "

МИНИСТЕРСТВО НА ОБРАЗОВАНИЕТО И НАУКАТА НА РУСКАТА ФЕДЕРАЦИЯ НАЦИОНАЛЕН ИЗСЛЕДОВАТЕЛСКИ ЯДРЕЕН УНИВЕРСИТЕТ "МИФИ" Т. И. Бухарова, В. Л. Камынин, А. Б. Костин, Д. С. Ткаченко Курс на лекции по обикновени диференциални уравнения като учебно помагало за студенти от висши учебни заведения Москва 2011 г. Курс лекции по обикновен диференциални уравнения : Урок. - М .: NRNU MEPhI, 2011. - 228 с. Учебникът е създаден на базата на курс от лекции, изнасян от авторите в Московския инженерно-физически институт в продължение на много години. Предназначен е за студенти от Националния изследователски ядрен университет МИФИ от всички факултети, както и за студенти с напреднала математическа подготовка. Ръководството е изготвено в рамките на Програмата за създаване и развитие на НИЯУ МИФИ. Рецензент: доктор на физ.-мат. науки N.A. Кудряшов. ISBN 978-5-7262-1400-9 © Национален изследователски ядрен университет МИФИ, 2011 Съдържание Предговор. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5 I. Въведение в теорията на обикновените диференциални уравнения Основни понятия. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Проблемът на Коши. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6 6 11 II. Съществуване и уникалност на решение на проблема на Коши за уравнение от първи ред Теорема за уникалност за OLE от първи ред. . . . . . . . . . . . . . . . . . . Наличие на решение на проблема на Коши за OLE от първи ред. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Продължение на решението за ODE от първи ред. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . III. Задачата на Коши за нормална система от n-ти ред. Основни понятия и някои спомагателни свойства на векторните функции. . . . Уникалност на решението на задачата на Коши за нормална система. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ; . Концепцията за метрично пространство. Принципът на компресивните преобразувания. . . . . . Теореми за съществуване и единственост за решението на задачата на Коши за нормални системи. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14 14 23 34 38 38 43 44 48 IV. Някои класове обикновени диференциални уравнения, решени в квадратурно уравнение с разделими променливи. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Линейни OÄCs от първи ред. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Хомогенни уравнения. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Уравнение на Бернули. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Уравнение в общите диференциали. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55 55 58 63 64 65 V. 67 Уравнения от първи ред, които не са решени по отношение на производната. Теорема за съществуване и уникалност за решение на ОДУ, които не са решени по отношение на производната. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Специално решение. Дискриминантна крива. плик. . . . . . . . . . . . . . . . Метод за въвеждане на параметър. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Уравнение на Лагранж. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Уравнение на Клеро. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . VI. Линейни ОДУ системи Основни понятия. Теорема за съществуване и единственост за решението на задачата Хомогенни системи от линейни ОДУ. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Определителят на Вронски. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Комплексни решения на хомогенна система. Преход към реален dsr. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Нехомогенни системи от линейни ОДУ. Методът на вариация на константите. . . . . Хомогенни системи от линейни ОДУ с постоянни коефициенти. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Експоненциална функция на матрица. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 67 70 77 79 81 85 Коши 85 . . . 87 . . . 91 . . . . . . 96 97 . . . 100 . . . 111 Нееднородни системи от линейни ОДУ с постоянни коефициенти. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 116 VII. Линейни ODE от висок ред Редукция до система от линейни ODE. Теорема за съществуване и единственост за решението на задачата на Коши. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Хомогенен линеен ОДУ от висок ред. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Свойства на комплексни решения на хомогенен линеен ОДУ от висок ред. Преход от сложен ÔSR към реален. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Нехомогенни линейни OÄD от висок порядък. Методът на вариация на константите. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Хомогенни линейни OÄD от висок ред с постоянни коефициенти. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Нехомогенни линейни ОДУ от висок ред с постоянни коефициенти. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 126 VIII. Теория на устойчивостта. Основни понятия и определения, свързани с устойчивостта. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Устойчивост на решения на линейна система. . . . . . Теореми на Ляпунов за устойчивост. . . . . . . . . . Стабилност при първо приближение. . . . . . . Поведение на фазовите траектории в близост до точката на покой 162 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 126 128 136 139 142 150 162 168 172 182 187 IX. Първи интеграли на системи от ОДУ 198 Първи интеграли на автономни системи от обикновени диференциални уравнения 198 Неавтономни системи от ОДУ. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 205 Симетрична нотация на OÄC системи. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 206 X. Частични диференциални уравнения от първи ред Хомогенни линейни частни диференциални уравнения от първи ред Проблемът на Коши за линейно частично диференциално уравнение от първи ред. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Квазилинейни уравнения в частни производни от първи ред. . . . Задачата на Коши за квазилинейно частично диференциално уравнение от първи ред. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Библиография. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . -4-210. . . . . 210 . . . . . 212 . . . . . 216 . . . . . 223 . . . . . 227 ПРЕДГОВОР При подготовката на книгата авторите си поставиха за цел да съберат на едно място и да представят в достъпна форма информация по повечето въпроси, свързани с теорията на обикновените диференциални уравнения. Следователно, в допълнение към материала, включен в задължителната програма на курса по обикновени диференциални уравнения, преподаван в NRNU MEPhI (и други университети), ръководството включва и допълнителни въпроси, които по правило нямат достатъчно време в лекциите, но които ще бъдат полезни за по-доброто разбиране на предмета и ще бъдат полезни на настоящите студенти в бъдещата им професионална дейност. Дадени са математически строги доказателства за всички твърдения на предложеното ръководство. Тези доказателства, като правило, не са оригинални, но всички са преработени в съответствие със стила на представяне на математически курсове в MEPhI. Според широко разпространеното мнение сред учителите и учените математическите дисциплини трябва да се изучават с пълни и подробни доказателства, като постепенно се преминава от прости към сложни. Авторите на това ръководство са на същото мнение. Теоретичните сведения, дадени в книгата, са подкрепени с анализ на достатъчен брой примери, което, надяваме се, ще улесни читателя при изучаването на материала. Ръководството е предназначено за студенти с напреднала математическа подготовка, предимно за студенти от Националния изследователски ядрен университет МИФИ. В същото време ще бъде полезно и за всички, които се интересуват от теорията на диференциалните уравнения и използват този дял от математиката в работата си. -5- Глава I. Въведение в теорията на обикновените диференциални уравнения 1. 1. Основни понятия В това ръководство с ha, bi означаваме всяко от множествата (a, b), , (a, b], , получаваме x0 2 Zx ln 4C + 3 u(t)v(t) dt5 Zx v(t) dt.log C 6 x0 x0 След потенциране на последното неравенство и прилагане на (2.3), имаме 2 x 3 Zx Z u(x) 6 C + u(t)v (t) dt 6 C exp 4 v(t) dt5 x0 x0 за всички x 2 [ 1, 1]., y) 2 G. Така f удовлетворява условието на Липшиц с L = 1 , всъщност, дори и с L = sin 1 в y. Въпреки това, производната fy0 в точките (x, 0) 6= (0, 0) дори не съществува. Следната теорема, която е интересна сама по себе си, ни позволява за да се докаже уникалността на решението на задачата на Коши: Теорема 2.1 (Относно оценката на разликата на две решения) Нека G е област 2 в R и f (x, y) 2 C G и удовлетворява условието на Липшиц в G по y с константа L. Ако y1 , y2 са две решения на уравнението y 0 = f (x, y) на отсечката , тогава е валидно следното неравенство (оценка): jy2 (x) y1 (x)j 6 jy2 (x0) y1 (x0)j exp L(x x0) 6 y1 за всички x 2 . -19- y2 Доказателство. По дефиниция 2. 2 решения на уравнение (2.1) получаваме, че 8 x 2 точки x, y1 (x) и x, y2 (x) 2 G. За всички t 2 имаме правилните равенства y10 (t) = f t , y1 (t ) и y20 (t) = f t, y2 (t) , които интегрираме по отношение на t на сегмента , където x 2 . Интеграцията е законна, тъй като дясната и лявата страна са непрекъснати по функции. Получаваме системата от равенства Zx y1 (x) y1 (x0) = x0 Zx y2 (x) y2 (x0) = f t, y1 (t) dt, f t, y2 (t) dt. x0 Като извадим едното от другото, имаме jy1 (x) y2 (x)j = y1 (x0) y2 (x0) + Zx h f t, y1 (t) i f t, y2 (t) dt 6 x0 Zx 6 y1 (x0) y2 ( x0) + f t, y1 (t) f t, y2 (t) dt 6 x0 Zx 6 y1 (x0) y2 (x0) + L y1 (t) y2 (t) dt. x0 Означаваме C = y1 (x0) y2 (x0) > 0, v(t) = L > 0, u(t) = y1 (t) j 6 jy2 (x0) y1 (x0)j exp L(x x0) y2 (t) > 0. за всички x 2 . Теоремата е доказана. Като следствие от доказаната теорема получаваме теорема за уникалност за решението на проблема на Коши (2.1), (2.2). Следствие 1. Нека функция f (x, y) 2 C G и удовлетворява условието на Липшиц в y в G и нека функциите y1 (x) и y2 (x) са две решения на уравнение (2.1) на един и същи интервал , с x0 2 . Ако y1 (x0) = y2 (x0), тогава y1 (x) y2 (x) върху . Доказателство. Нека разгледаме два случая. -20- 1. Нека x > x0 , тогава от теорема 2. 1 следва, че h i т.е. y1 (x) y1 (x) y2 (x) 6 0 exp L(x x0) , y2 (x) за x > x0 . 2. Нека x 6 x0, направете промяната t = x, тогава yi (x) = yi (t) y~i (t) за i = 1, 2. Тъй като x 2 , то t 2 [ x0 , x1 ] и равенството y~1 (x0) = y~2 (x0) е в сила. Нека да открием кое уравнение y~i (t) удовлетворява. Следната верига от равенства е вярна: d y~i (t) = dt d~ yi (x) = dx f x, yi (x) = f (t, y~i (t)) . Тук сме използвали правилото за диференциране на сложна функция и факта, че yi (x) са решения на уравнение (2.1). Тъй като функцията f~(t, y) f (t, y) е непрекъсната и удовлетворява условието на Липшиц по отношение на y, тогава съгласно теорема 2.1 имаме, че y~1 (t) y~2 (t) на [ x0 , x1 ], т.е. y1 (x) y2 (x) до . Комбинирайки двата разгледани случая, получаваме твърдението на следствието. Следствие 2. (Относно непрекъсната зависимост от началните данни) Нека функция f (x, y) 2 C G и удовлетворява в G условието на Липшиц върху y с константа L, а функциите y1 (x) и y2 (x) са решения на Уравнение (2.1), дефинирано на . Означаваме l = x1 x0 и δ = y1 (x0) y2 (x0) . Тогава за 8 x 2 неравенството y1 (x) y2 (x) 6 δ eL l е вярно. Доказателството следва непосредствено от теорема 2. 1. Неравенството от следствие 2 се нарича оценка на устойчивостта на решението спрямо началните данни. Смисълът му се състои в това, че ако при x = x0 решенията са „близки“, то те са „близки“ и на крайния сегмент. Теорема 2.1 дава важна за приложенията оценка за модула на разликата на две решения, а следствие 1 дава уникалността на решението на задачата на Коши (2.1), (2.2). Има и други достатъчни условия за уникалност, едно от които представяме сега. Както беше отбелязано по-горе, геометричната уникалност на решението на проблема на Коши означава, че не повече от една интегрална крива на уравнение (2.1) може да минава през точката (x0, y0) от областта G. Теорема 2.2 (Осгуд за уникалността). Нека функция f (x, y) 2 C G и за 8 (x, y1), (x, y2) 2 G неравенството f (x, y1) f (x, y2) 6 6 ϕ jy1 y2 j , където ϕ ( u) > 0 за u 2 (0, β], ϕ(u) е непрекъснато и Zβ du ! +1, когато ε ! 0+. Тогава най-много една интегрална крива (2.1).-21- Доказателство. Нека има съществуват две решения y1 (x) и y2 (x) на уравнение (2.1), така че y1 (x0) = y2 (x0) = y0 , означете z(x) = y2 (x) y1 (x).dyi dx dz = f (x, y2) f (x, y1) jzj 6 ϕ jzj jzj, т.е. тогава z dx 1 d неравенството jzj2 6 ϕ jzj jzj, от което за jzj 6= 0 следва, че 2 dx двойно неравенство: Zjz2 j Zx2 dx 6 x1 2 d jzj 6 2 jzjϕ jzj Zx2 dx, (2.5) x1 jz1 j i = 1, 2. По предположение z(x) 6 0 и освен това е непрекъснат, така че има такъв сегмент, изберете го и го фиксирайте. Разгледайте множествата n o X1 = x x< x1 и z(x) = 0 , n o X2 = x x >x2 и z(x) = 0 . Поне едно от тези множества не е празно, тъй като z(x0) = 0 и x0 62 . Нека, например, X1 6= ∅, той е ограничен отгоре, така че 9 α = sup X1 . Забележете, че z(α) = 0, т.е. α 2 X1 , тъй като приемаме, че z(α) > 0, поради непрекъснатост, ще имаме z(x) > 0 на някакъв интервал α δ1 , α + δ1 , и това противоречи на дефиницията на α = sup X1 . От условието z(α) = 0 следва, че α< x1 . По построению z(x) > 0 за всички x 2 (α, x2 ] и тъй като z(x) ! 0+ е непрекъснато за x ! α + 0. Нека повторим аргументите при извеждането на (2.5), интегрирайки върху сегмента [α + δ, x2 ], където x2 е избрано по-горе и фиксирано, а δ 2 (0, x2 α) е произволно, получаваме следното неравенство: Zjz2 j Zx2 dx 6 α+δ d jzj2 6 неравенство, клоним към δ ! 0+, тогава z(α+δ) ! z(α) = 0, от Zjz2 j d jzj2 ! - Дясната страна на неравенството Rx2 dx = x2 α δ 6 x2 α е ограничена от α + δ отгоре с крайна стойност, което едновременно е невъзможно, че проблемът на Коши (2.1), (2.2) се разбира като следния задача за намиране на функцията y(x): 0 y = f (x, y), (x, y) 2 G, y(x0) = y0 , (x0 , y0 ) 2 G, където f (x, y) 2 C G и (x0 , y0) 2 G, G е област в R2 Лема 2. 2. Нека f (x, y) 2 C G Тогава са валидни следните твърдения: 1 ) всяко re решението ϕ(x) на уравнение (2.1) на интервала ha, bi, удовлетворяващо (2.2) x0 2 ha, bi е решение на ha, bi на интегралното уравнение Zx y(x) = y0 + f τ, y( τ) dτ ; (2.6) x0 2) ако ϕ(x) 2 C ha, bi е решение на интегралното уравнение (2.6) върху ha, bi, 1 където x0 2 ha, bi, тогава ϕ(x) 2 C ha, bi и е решение на (2.1), (2.2). Доказателство. 1. Нека ϕ(x) е решение на (2.1), (2.2) върху ha, bi. Тогава, съгласно забележка 2.2 ϕ(x) 2 C ha, bi и 8 τ 2 ha, bi, имаме равенството ϕ 0 (τ) = f τ, ϕ(τ) , интегрирайки което от x0 до x, получаваме ( за всеки x 2 ha, bi) Rx ϕ(x) ϕ(x0) = f τ, ϕ(τ) dτ и ϕ(x0) = y0, т.е. ϕ(x) е решението (2.6). x0 2. Нека y = ϕ(x) 2 C ha, bi е решение на (2.6). Тъй като f x, ϕ(x) е непрекъснат на ha, bi по предположение, тогава Zx ϕ(x) y0 + f τ, ϕ(τ) dτ 2 C 1 ha, bi x0 като интеграл с променлива горна граница на непрекъснат функция. Диференцирайки последното равенство по отношение на x, получаваме ϕ 0 (x) = f x, ϕ(x) 8 x 2 ha, bi и, очевидно, ϕ(x0) = y0 , т.е. ϕ(x) е решението на задачата на Коши (2.1), (2.2). (Както обикновено, производна в края на сегмент се разбира като означаваща съответната едностранна производна.) -23- Забележка 2. 6. Лема 2. 2 се нарича лема за еквивалентността на задачата на Коши (2.1) , (2.2) към интегралното уравнение (2.6). Ако докажем, че съществува решение на уравнение (2.6), тогава получаваме разрешимостта на проблема на Коши (2.1), (2.2). Този план е реализиран в следната теорема. Теорема 2.3 (Теорема за локално съществуване). Нека правоъгълникът P = (x, y) 2 R2: jx x0 j 6 α, jy y0 j 6 β лежи изцяло в областта G на функцията f (x, y). Функция f (x, y) 2 C G и удовлетворява условието на Липшиц за n y ov G с константа L. Означаваме β M = max f (x, y) , h = min α, M . Тогава съществува решение на задачата на Коши (2.1), (2.2) на интервала P. Доказателство. Нека установим съществуването на решение на интегралното уравнение (2.6) на интервала. За да направите това, разгледайте следната последователност от функции: Zx y0 (x) = y0 , y1 (x) = y0 + f τ, y0 (τ) dτ, ... x0 Zx yn (x) = y0 + f τ, yn 1 (τ ) dτ и т.н. x0 1. Нека покажем, че 8 n 2 N функциите yn (последователни приближения) са дефинирани, т.е. нека покажем, че за 8 x 2 неравенството yn (x) y0 6 β е валидно за всички n = 1, 2, . . . Използваме метода на математическата индукция (MMI): а) база на индукция: n = 1. Zx y1 (x) y0 = f τ, y0 (τ) dτ 6 M0 x x0 6 M h 6 β, x0 където M0 = max f (x, y0) за jx x 0 j 6 α, M0 6 M; б) предположение и стъпка на индукция. Нека неравенството е вярно за yn 1 (x), нека го докажем за yn (x): Zx yn (x) y0 = f τ, yn 1 (τ) dτ 6 M x x0 Така че, ако jx x0 j 6 h , тогава yn ( x) y0 6 β 8 n 2 N. -24- x0 6 M h 6 β. Нашата цел е да докажем конвергенцията на най-близкия 1 наследник yk (x) k=0 , за това е удобно да го представим като: yn = y0 + n X yk 1 (x) = y0 + y1 yk (x) y0 + y2 y1 + . . . + yn yn 1, k=1, т.е. поредици от частични суми на функционален ред. 2. Оценете членовете на тази редица, като докажете следните неравенства 8 n 2 N и 8 x 2 : x0 jn yn (x) yn 1 6 M0 L 6 M0 Ln n! Нека приложим метода на математическата индукция: jx n 1 1 hn . н! (2.7) а) индукционна база: n = 1. y1 (x) x y 0 6 M0 x0 6 M0 h, доказано по-горе; б) предположение и стъпка на индукция. Нека неравенството е вярно за n, да го кажем за n: Zx yn (x) yn 1 f τ, yn 1 (τ) = f τ, yn 2 (τ) 1, до dτ 6 x0 Zx i yn 6 от условието на Липшиц 6 L h yn 1 2 dτ 6 x0 h Zx i 6 по индукционната хипотеза 6 L n 2 M0 L jτ x0 jn 1 dτ = (n 1)! x0 M0 Ln 1 = (n 1)! Zx jτ n 1 x0 j M0 Ln 1 jx x0 jn M0 L n 6 dτ = (n 1)! n n! 1 x0 Rx Тук използвахме факта, че интегралът I = jτ x0 за x > x0 за x< x0 Rx I = (τ x0 Rx I = (x0 n 1 x0) τ)n 1 dτ = dτ = x0 (x (x0 x)n n Таким образом, неравенства (2.7) доказаны. -25- x0)n и n = jx x0 jn . n x0 jn 1 dτ : hn . 3. Рассмотрим тождество yn = y0 + ним функциональный ряд: y0 + 1 P n P yk (x) yk 1 (x) и связанный с k=1 yk 1 (x) . Частичные суммы это- yk (x) k=1 го ряда равны yn (x), поэтому, доказав его сходимость, получим сходимость 1 последовательности yk (x) k=0 . В силу неравенств (2.7) функциональный ряд мажорируется на отрезке k 1 P k 1 h числовым рядом M0 L . Этот числова серия сближава k! k=1 по критерия на д'Аламбер, тъй като M0 Lk hk+1 k! ak+1 = ak(k + 1)! M0 L k 1 hk = h L ! 0, k+1 k! 1. Тогава, съгласно теста на Вайерщрас за равномерна конвергенция, функционалната 1 P серия y0 + yk (x) yk 1 (x) се сближава абсолютно и равномерно в интервала k=1 ke , следователно функционалната последователност 1 yk (x ) k=0 се сближава равномерно в интервала към някаква функция ϕ(x), и тъй като yn (x) 2 C , следва, че ϕ(x) 2 C като граница на равномерно сходяща серия от непрекъснати функции. 4. Разгледайте дефиницията на yn (x): Zx yn (x) = y0 + f τ, yn 1 (τ) dτ (2.8) x0 е вярно равенство за всички n 2 N и x 2 . Лявата страна на равенството (2.8) има граница като n ! 1, тъй като yn (x) ⇒ ϕ(x) на , и следователно дясната страна на (2.8) също има Rx граница (същата). Нека покажем, че тя е равна на функцията y0 + f τ, ϕ(τ) dτ , x0, използвайки следния критерий за равномерна конвергенция на функционалната последователност: X yn (x) ⇒ ϕ(x) за n ! 1 () sup yn (x) y(x) ! 0 за n! един . x2X X Припомнете си, че записът yn (x) ⇒ ϕ(x) за n ! 1 обикновено се използва за равномерна конвергенция върху множеството X на функционалната последователност 1 на функцията yk (x) k=0 към функцията ϕ(x). -26- Нека покажем, че y0 + Rx X f τ, yn 1 (τ) dτ ⇒ y0 + x0 тук X = . За да направите това, разгледайте f τ, yn 1 (τ) f τ, ϕ(τ) dτ 6 x2X x0 Zx h i yn 1 (τ) 6 чрез условието на Липшиц 6 sup L ϕ(τ) dτ 6 x2X x0 6 L h sup yn 1 (τ) ϕ(τ) ! 0 за n! 1 τ 2X X 1 конвергенция yn (x) ⇒ ϕ(x). Така, преминавайки към границата в (2.8), получаваме за всички x 2 правилното равенство Zx ϕ(x) = y0 + f τ, ϕ(τ) dτ, x0, в което ϕ(x) 2 C . По лема 2.2, доказана по-горе, ϕ(x) е решение на проблема на Коши (2.1), (2.2). Теоремата е доказана. Забележка 2. 7. Теорема 2. 3 установява съществуването на решение на интервала . Съгласно следствие 1 от теорема 2.1 това решение е уникално в смисъл, че всяко друго дефинирано решение на проблема на Коши (2.1), (2.2) не съвпада с него на този сегмент. Забележка 2. 8. Представете правоъгълник P като обединение на два (пресичащи се) правоъгълника P = P [ P + , (фиг. 2. 3), където n P = (x, y) n P = (x, y) + x 2; x2; -27- jy jy o y0 j 6 β , o y0 j 6 β . Ориз. 2. 3. Обединение на правоъгълници Нека f (x, y . M − = max − f (x, y , M + = max + P P ) получаваме съществуването (и уникалността) на решение на сегмента n o β + + , където h = min α, M + или, съответно, on , n o β − Отбележете, че в този случай, най-общо казано, h+ 6= h− и h h = min α, M − от Теорема 2. 3 е минимумът на h+ и h−. Забележка 2. 9. Съществуването на решение на задача (2.1), (2.2) се гарантира от теорема 2. 3 само на някакъв интервал . В такъв случай се казва, че теоремата е локална. Възниква въпросът дали локалният характер на теорема 2.3 не е следствие от използвания метод за нейното доказване? Може би, използвайки друг метод на доказателство, е възможно да се установи съществуването на решение на целия интервал , т.е. глобално, какъвто беше случаят със свойството уникалност на решението на проблема на Коши (2.1), (2.2)? Следващият пример показва, че локалният характер на теорема 2.3 е свързан със „същността“ на проблема, а не с метода на доказателството му. Пример 2. 1. Разгледайте задачата на Коши 0 y = −y 2 , (2.9) y(0) = 1 n o в правоъгълника P = (x, y) jxj 6 2, jy − 1j 6 1 . Функцията f (x, y) = −y 2 е непрекъсната в P и fy0 = −2y 2 C P , така че всички условия на Theo1 β , α = и теорема 2.3 са изпълнени и M = max f (x, y) = 4. Тогава h = min P P M 4 -28- Теорема 2. 3 гарантира съществуването на решение на интервала 1 1 . Нека решим - , 4 4 този проблем на Коши, използвайки "разделяне на променливи": - dy = dx y2 () y(x) = 1 . x+C 1 е решението на задачата на Коши (2.9). x+1 Графиката на решението е показана на фиг. (2.4), което показва, че решение 1 за x< x = − покидает прямоугольник P , а при x 6 −1 даже не 2 существует. Подставляя x = 0, найдем C = 1 и y(x) = Рис. 2. 4. Локальный характер разрешимости задачи Коши В связи с этим возникает вопрос об условиях, обеспечивающих существование решения на всем отрезке . На приведенном примере мы видим, что решение покидает прямоугольник P , пересекая его «верхнее» основание, поэтому можно попробовать вместо прямоугольника P в теореме 2. 3 взять полосу: o n 2 A 6 x 6 B − 1 < y < +1 , A, B 2 R. Q = (x, y) 2 R Оказывается, что при этом решение существует на всем отрезке A, B , если f (x, y) удовлетворяет условию Липшица по переменной y в Q. А именно, имеет место следующая важная для приложений теорема. Теорема 2. 4. Пусть функция f (x, y) определена, непрерывна и удовлетворяет условию Липшица по y с константой L в полосе Q = (x, y) 2 R2: A 6 x 6 B, y 2 R , -29- где A, B 2 R. Òогда при любых начальных данных x0 2 , y0 2 R т.е. (x0 y0) 2 Q существует и притом единственное решение задачи Êоши (2.1), (2.2), определенное на всем . Доказательство. Áудем считать, что x0 2 (A, B). Проведем рассуждения по схеме теоремы 2. 3 отдельно для полосы o n + 2 x 2 y 2 R и Q = (x, y) 2 R n Q = (x, y) 2 R2 o x 2 y 2 R . + Если x0 = A или x0 = B, то один из этапов рассуждений (для Q или, соответственно, для Q) отсутствует. + Возьмем полосу Q и построим последовательные приближения yn+ (x), + как в теореме 2. 3. Поскольку Q не содержит ограничений на размер по y, то пункт 1) доказательства теоремы 2. 3 не проверяем. Далее, как в предыдущей теореме, от последовательности переходим к ряду с частичными суммами yn+ (x) = y0 + n X yk+ (x) yk+ 1 (x) , где x 2 . k=1 Повторяя рассуждения, доказываем оценку вида (2.7) x0 jn x0)n n 1 (B 6 M0 L 6 M0 L (2.10) n! n! при всех x 2 ; здесь M0 = max f (x, y0) при x 2 , откуда yn+ (x) yn+ 1 n 1 jx yn+ (x) как и выше в теореме 2. 3 получим, что ⇒ ϕ+ (x), n ! 1, причем ϕ+ (x) 2 C , ϕ+ (x) – решение интегрального уравнения (2.6) на . Возьмем полосу Q и построим последовательность yn (x). Действуя ана логично, получим, что 9 ϕ (x) 2 C , ϕ (x) – решение интегрального уравнения (2.6) на . Определим функцию ϕ(x) как «сшивку» по непрерывности ϕ+ и ϕ , т.е. + ϕ (x), при x 2 , ϕ(x) = ϕ (x), при x 2 . Отметим, что ϕ+ (x0) = ϕ (x0) = y0 и потому ϕ(x) 2 C . Функции ϕ (x) по построению удовлетворяют интегральному уравнению (2.6), т.е. Zx ϕ (x) = y0 + f τ, ϕ (τ) dτ, x0 -30- где x 2 для ϕ+ (x) и x 2 для ϕ (x), соответственно. Следовательно, при любом x 2 функция ϕ(x) удовлетворяет инте 1 гральному уравнению (2.6). Тогда по лемме 2. 2, ϕ(x) 2 C и является решением задачи Коши (2.1), (2.2). Теорема доказана. Из доказанной теоремы 2. 4 нетрудно получить следствие для интервала (A, B) (открытой полосы). Ñледствие. Пусть функция f (x, y) определена, непрерывна в открытой полосе Q = (x, y) 2 R2: x 2 (A, B), y 2 R , причем A и B 2 R могут быть символами 1 и +1 соответственно. Предположим, что f (x, y) удовлетворяет в полосе Q условию: 9 L(x) 2 C(A, B), такая, что 8 x 2 (A, B) и 8 y1 , y2 2 R выполняется неравенство f (x, y2) f (x, y1) 6 L(x) jy2 y1 j. Òогда при любых начальных данных x0 2 (A, B), y0 2 R т.е. (x0 y0) 2 Q существует и притом единственное решение задачи Êоши (2.1), (2.2), определенное на всем (A, B). Доказательство. Для любой полосы Q1 = (x, y) 2 R2: x 2 , y2R , где A1 >А, Б1< B, лежащей строго внутри Q и содержащей (x0 , y0), справедлива теорема 2. 4, так как при доказательстве оценок вида (2.10), необходимых для обоснования равномерной на сходимости последовательности yn (x) , используются постоянные M0 = max f (x, y0) при x 2 и L = max L(x) x 2 . Эти постоянные не убывают при расширении (A, B). Возьмем последовательность расширяющихся отрезков , удовлетворяющих условиям B >Bk+1 > Bk за всички k 2 N; 1) А< Ak+1 < Ak , 2) x0 2 при всех k 2 N; 3) Ak ! A, Bk ! B при k ! 1. Заметим сразу, что S = (A, B) и, более того, для любого x 2 (A, B) k найдется номер x 2 . N (x) 2 N, такой, что при всех -31- k >N е валидно. Нека докажем това спомагателно твърдение за случая A, B 2 R (т.е. A и B са крайни; ако A = 1 или B =+1, тогава по подобен начин). Вземете x A B x , произволно x 2 (A, B) и δ(x) = min , δ(x) > 0. Чрез 2 2 числото δ от конвергенцията Ak ! А и Бк! B получаваме, че 9 N1 (δ) 2 N: 8 k > N1 , A< Ak < A + δ < x, 9 N2 (δ) 2 N: 8 k >N2, х< B δ < Bk < B. Тогда для N = max N1 , N2 справедливо доказываемое свойство. Построим последовательность решений задачи Коши (2.1), (2.2) Yk (x), применяя теорему 2. 4 к соответствующему отрезку . Любые два из этих решений совпадают на общей области определения по следствию 1 из теоремы 2.1. Таким образом, два последовательных решения Yk (x) и Yk+1 (x) совпадают на , но Yk+1 (x) определено на более широком отрезке . Построим решение на всем (A, B). Возьмем и построим ϕ(x) – решение задачи (2.1), (2.2) на всем (по теореме 2. 4). Затем продолжим это решение на , . . . , . . . Получим, что решение ϕ(x) определено на всем (A, B). Докажем его единственность. Предположим, что существует решение ψ(x) задачи Коши (2.1), (2.2), также определенное на всем (A, B). Докажем, что ϕ(x) ψ(x) при любом x 2 (A, B). Пусть x – произвольная точка (A, B), найдется номер N (x) 2 N, такой, что x 2 при всех k >Н. Прилагайки следствие 1 от раздел 2.1 (т.е. теоремата за уникалността), получаваме, че ϕ(t) ψ(t) за всички t 2 и по-специално за t = x. Тъй като x е произволна точка в (A, B), уникалността на решението, а с него и следствието, са доказани. Забележка 2. 10. В току-що доказаното следствие за първи път срещнахме идеята за разширяване на решение към по-широко множество. В следващия параграф ще го проучим по-подробно. Нека дадем няколко примера. p Пример 2. 2. За уравнението y 0 = ejxj x2 + y 2 установете дали съществува решението му като цяло (A, B) = (1, +1). Разгледайте това уравнение в „ивицата“ Q = R2, функцията p jxj f (x, y) = e x2 + y 2 ∂f y = ejxj p , fy0 6 ejxj = L(x). ∂y x2 + y 2 Съгласно твърдение 2.1 от Раздел 2.1, функцията f (x, y) удовлетворява условието на Липшиц по отношение на y с „константата“ L = L(x), x е фиксирано. Тогава всички условия на следствието са изпълнени и за всякакви начални данни (x0 , y0) 2 R2 решението на задачата на Коши съществува и освен това е единствено по (1, +1). Имайте предвид, че самото уравнение не може да бъде решено в квадратури, но приблизителните решения могат да бъдат конструирани числено. е дефинирано и непрекъснато в Q, -32- Пример 2. 3. За уравнението y 0 = ex y 2 открийте дали има дефинирани решения на R. Ако разгледаме това уравнение отново в „ивицата“ Q = R2 , където функцията ∂ f f (x, y)= ex y 2 (x, y1) 6 L(x) jy2 y1 j за всички y1 , y2 2 R. Наистина, f (x, y2) f (x, y1) = ex jy2 + y1 j jy2 y1 j и изразът jy2 + y1 j не е ограничен за y1 , y2 2 R. Следователно следствието не е приложимо. Решаваме това уравнение чрез "разделяне на променливи", получаваме общото решение: " y(x) = 0, y(x) = 1. ex + C За определеност вземете x0 = 0, y0 2 R. Ако y0 = 0, тогава y(x ) 0 е решение на проблема на Коши върху R. 1 е решение на проблема на Коши, за y0 2 [ 1, 0) ex то е определено за всички x 2 R, докато за y0 2 ( 1, 1) [ (0, +1) решението не е y0 + 1 може да бъде продължено през точката x = ln По-точно, ако x > 0, тогава y0 1 решението y(x) = y0 +1 е дефинирано за x 2 (1, x), и ако x< 0 x e y0 y0 < 1 , то решение определено при x 2 (x , +1). В первом случае lim y(x) = +1, а во втором – lim y(x) = 1. Если y0 6= 0, то y(x) = x!x 0 y0 +1 y0 x!x +0 -33- Для наглядности нарисуем интегральные кривые при соответствующих значениях y0 (рис. 2. 5). Рис. 2. 5. Интегральные кривые уравнения y 0 = ex y 2 Таким образом, для задачи Коши 0 y = ex y 2 , y(0) = y0 имеем следующее: 1) если y0 2 [ 1, 0], то решение существует при всех x 2 R; y0 + 1 2) если y0 < 1, то решение существует лишь при x 2 ln ; +1 ; y0 y0 + 1 . 3) если y0 > 0, тогава решението съществува само за x 2 1; ln y0 Този пример показва, че ограничението върху растежа на функцията f (x, y) в следствието от теорема 2.4, доказано по-горе, е съществено за разширяване на решението към цялото (A, B). По подобен начин се получават примери с функцията f (x, y) = f1 (x) y 1+ε за всяко ε > 0; в горния пример ε = 1 е взето само за удобство на представянето. 2. 3. Продължение на решението за ODE от първи ред Определение 2. 5. Разгледайте уравнението y 0 = f (x, y) и нека y(x) е неговото решение върху ha, bi и Y (x) неговото решение на hA , Bi, където ha, bi се съдържа в hA, Bi и Y (x) = y(x) на ha, bi. Тогава Y (x) се нарича разширение на решението y(x) до hA, Bi, докато y(x) се нарича разширение до hA, Bi. -34- В раздел 2.2 доказахме локална теорема за съществуване за решение на проблема на Коши (2.1), (2.2). При какви условия това решение може да бъде разширено до по-широк интервал? Именно на този въпрос е посветен този раздел. Основният му резултат е следният. Теорема 2.5 (за продължението на решението в ограничена затворена област). Нека функция f (x, y) 2 C G и удовлетворява условието на Липшиц по отношение на y в R2 и (x0 , y0) е вътрешна точка на ограничена затворена област G G. Тогава решението на уравнението y 0 = f (x, y), разширим до ∂G от границата на G, т.е. може да се продължи до такава отсечка, че точките a, y(a) и b, y(b) лежат на ∂G. ∂f (x, y) е непрекъсната в ограничена ∂y затворена област G, изпъкнала по y, тогава функцията f (x, y) удовлетворява условието на Липшиц в G по отношение на променливата y. Вижте следствието от твърдение 2. 1 ∂f от подраздел 2.1. Следователно тази теорема ще бъде вярна, ако е непрекъсната в ∂y G. Забележка 2. 11. Припомнете си, че ако Доказателство. Тъй като (x0 , y0) е вътрешна точка на G, тогава има затворен правоъгълник n o 2 P = (x, y) 2 R x x0 6 α, y y0 6 β , който лежи изцяло в G. Тогава, по теорема 2. 3 от n 2.2 съществува h > 0, така че има (и уникално) решение y = ϕ(x) на уравнението y 0 = f (x, y) на интервала. Нека първо продължим това решение надясно до границата на областта G, разделяйки доказателството на отделни стъпки. 1. Разгледайте множеството E R: n o E = α > 0 решението y = ϕ(x) е разширимо, съществува решение y = ϕ1 (x) на уравнението y 0 = f (x, y), което отговаря на условията на Коши ϕ1 ~b = ϕ ~b . Така ϕ(x) и ϕ1 (x) са решения на интервала ~b h1 , ~b на същото уравнение, които съвпадат в точката x = ~b, така че те съвпадат на целия интервал ~b h1 , ~b и , следователно, ϕ1 (x) е разширение на решението ϕ(x) от интервала ~b h1 , ~b до ~b h1 , ~b + h1 . Да разгледаме функцията ψ(x): ϕ(x), x 2 x0 , ψ(x) = ϕ1 (x), x 2 ~b ~b , h1 , ~b + h1 ~b h1 , x0 + α0 + h1 , което е решение на уравнението y 0 = f (x, y) и удовлетворява условието на Коши ψ(x0) = y0 . Тогава числото α0 + h1 2 E, което противоречи на определението α0 = sup E. Следователно Случай 2 е невъзможен. По подобен начин решението ϕ(x) се простира наляво, до интервала , където точката е a, ϕ(a) 2 ∂G. Теоремата е напълно доказана. -37- Глава III. Проблемът на Коши за нормална система от n-ти ред 3. 1. Основни понятия и някои спомагателни свойства на векторните функции В тази глава ще разгледаме нормална система от n-ти ред с формата 8 > t, y , . . . , y y _ = f 1 n 1 1 > ,< y_ 2 = f2 t, y1 , . . . , yn , (3.1) . . . > > : y_ = f t, y , . . . , y , n n 1 n където неизвестни (желани) функции са y1 (t), . . . , yn (t), докато функциите fi са известни, i = 1, n, точката над функцията означава производната по отношение на t. Предполага се, че всички fi са дефинирани в областта G Rn+1. Удобно е системата (3.1) да се напише във векторна форма: y_ = f (t, y), където y(t) y1 (t) . . . , yn (t) , f (t, y) f1 (t, y) . . . , fn (t, y); Няма да пишем стрелки в обозначението на векторите за краткост. Такава нотация също ще бъде означена с (3.1). Нека точката t0 , y10 , . . . , yn0 лежи в G. Проблемът на Коши за (3.1) е да се намери решение ϕ(t) на система (3.1), което удовлетворява условието: ϕ1 (t0) = y10 , ϕ2 (t0) = y20 , ..., ϕn (t0) = yn0 , (3.2) или във векторна форма ϕ(t0) = y 0 . Както беше отбелязано в глава 1, под решението на система (3.1) на интервала ha, bi разбираме векторната функция ϕ(t) = ϕ1 (t), . . . , ϕn (t), отговарящи на следните условия: 1) 8 t 2 ha, bi точката t, ϕ(t) лежи в G; 2) 8 t 2 ha, bi 9 d dt ϕ(t); 38 3) 8 t 2 ha, bi ϕ(t) удовлетворява (3.1). Ако такова решение допълнително удовлетворява (3.2), където t0 2 ha, bi, тогава то се нарича решение на задачата на Коши. Условията (3.2) се наричат ​​начални условия или условия на Коши, а числата t0 , y10 , . . . , yn0 са данните на Коши (начални данни). В специалния случай, когато векторната функция f (t, y) (n+1) на променливата зависи от y1 , . . . , yn линейно, т.е. има формата: f (t, y) = A(t) y + g(t), където A(t) = aij (t) е n n матрица, системата (3.1) се нарича линейна. В това, което следва, ще ни трябват свойства на векторни функции, които представяме тук за удобство на справка. Правилата за събиране и умножение с число за вектори са известни от курса по линейна алгебра, тези основни операции се извършват по координати. n Ако въведем скаларното произведение x в R, y = x1 y1 + . . . + xn yn , тогава получаваме евклидово пространство, също означавано с Rn , с дължина s q n P на вектора jxj = x, x = x2k (или евклидовата норма). За скаларно k=1 произведение и дължина са верни две основни неравенства: 1) 8 x, y 2 Rn 2) 8 x, y 2 Rn x+y 6 x + y x, y 6 x (неравенство на триъгълник); y (неравенството на Коши-Буняков - От курса на математическия анализ на втория семестър е известно, че сближаването на последователност от точки (вектори) в евклидовото пространство (крайномерно) е еквивалентно на сближаването на последователности от координати на тези вектори, казват те, е еквивалентно на конвергенция по координати.Това лесно следва от неравенствата: q p max x 6 x21 + ... + x2n = jxj 6 n max xk .16k6n 16k6n Подобно на скаларния случай, производната и интеграл на векторна функция са дефинирани и свойствата се доказват лесно чрез преминаване към координати. Нека представим някои неравенства за векторни функции, които ще бъдат използвани по-нататък. 1. За всяка векторна функция y(t) = y1 (t), . . . , yn (t) , интегрируема (например непрекъсната) върху , важи следното неравенство: Zb Zb y(t) dt 6 a y(t) dt a -39- (3.3) или в координатната форма 0 Zb Zb y1 ( t) dt, @ y2 (t) dt, . . . , a 1 Zb a Zb q yn (t) dt A 6 y12 (t) + . . . yn2 (t) dt. a a Доказателство. Отбележете първо, че неравенството не изключва случая b< a, для этого случая в правой части присутствует знак внешнего модуля. По определению, интеграл от вектор-функции – это предел интегральn P ных сумм στ (y) = y(ξk) tk при характеристике («мелкости») разбиения k=1 λ(τ) = max tk стремящейся к нулю. По условию στ ! k=1, N Rb y(t) dt , а по a неравенству треугольника получим στ 6 n X Zb y(ξk) tk ! k=1 при λ(τ) ! 0 y(t) dt, a (здесь мы для определенности считаем a < b). По теореме о переходе к пределу в неравенстве получим доказываемое. Случай b < a сводится к изученному, Rb Ra так как = . a b Аналоги теорем Ролля и Лагранжа отсутствуют для вектор-функций, однако можно получить оценку, напоминающую теорему Лагранжа. 2. Для любой вектор-функции x(t), непрерывно дифференцируемой на , имеет место оценка ¾приращения¿: x(b) x(a) 6 max x 0 (t) b a. (3.4) Доказательство. Неравенство (3.4) сразу получается из (3.3) при y(t) = x 0 (t). При доказательстве теоремы разрешимости для линейных систем нам понадобятся оценки с n n матрицами, которые мы сейчас и рассмотрим. 3. Пусть A(t) = aij (t) n n матрица, обозначим произведение Ax через y. Как оценить y через матрицу A и x ? Оказывается, справедливо неравенство Ax 6 A -40- 2 x, (3.5) где x = p jx1 j2 + . . . + jxn j2 , A 2 = n P ! 12 a2ij , а элементы матрицы i,j=1 A и координаты вектора x могут быть комплексными. Доказательство. Для любого i = 1, n, ai – i-ти редматрица A, тогава: 2 2 2 yi = ai1 x1 + ai2 x2 + . . . + ain xn = ai , x 6 h i 2 6 чрез неравенството на Коши-Ауняковски 6 jai j2 x = ! ! n n X X 2 2 aik xl = , k=1 [имейл защитен] 2 2 l=1 2 x , k,i=1 което предполага (3.5). Определение 3. 1. Да кажем, че вектор-функцията f (t, y) удовлетворява условието на Липшиц по отношение на векторната променлива y върху множеството G от променливи (t, y), ако 9 L > 0, така че за всяко t , y , 2 t, y 2 G неравенството f t, y 2 f t, y 1 6 L y 2 y 1 е изпълнено. Както в случая на функция на две променливи (вижте твърдение 2.1), достатъчно условие за свойството на Липшиц в област G, „изпъкнала по y“, е частните производни да са ограничени. Нека дадем точно определение. Определение 3. 2. Област G от променливи (t, y) се нарича изпъкнала 1 2 в y, ако за всеки две точки t, y и t, y, лежащи в G, отсечката, свързваща тези две точки, принадлежи изцяло на нея, т.е. д. задайте n o t, y y = y 1 + τ y 2 y 1 , където τ 2 . Твърдение 3. 1. Ако областта G на променливите (t, y) е изпъкнала по y, а частните производни ∂fi са непрекъснати и ограничени от константа l в G за ∂yj на всички i, j = 1, n, тогава векторната функция f t, y удовлетворява в G на условието на Липшиц върху y с константата L = n l. 1 2 Доказателство. Да разгледаме произволни точки t, y и t, y от G и 1 2 отсечката, която ги свързва, т.е. задайте t, y , където y = y + τ y y1 , t е фиксирано и τ 2 . -41- Нека въведем векторна функция на един скаларен аргумент g(τ) = f t, y(τ) , 2 1 след това g(1) g(0) = f t, y f t, y и от друга страна Z1 g (1) g (0) = d g(τ) dτ = dτ Z1 A(τ) d y(τ) dτ = dτ 0 0 h = поради y = y 1 + τ y 2 y i 1 Z1 = A(τ) y 2 y 1 dτ , 0 където A(τ) е матрица с елементи ∂fi и ∂yj y2 y 1 е съответната колона. Тук използвахме правилото за диференциране на сложна функция, а именно за всички i = 1, n, t е фиксирано, имаме: gi0 (τ) = ∂fi ∂y1 ∂fi ∂y2 ∂fi ∂yn d fi t , y(τ) = + + ... + = dτ ∂y1 ∂τ ∂y2 ∂τ ∂yn ∂τ ∂fi ∂fi , ..., y2 y1 . = ∂y1 ∂yn Записвайки това в матрична форма, получаваме: 0 2 1 g (τ) = A(τ) y y с n n матрица A(τ) = aij (τ) ∂fi ∂yj . Използвайки интегралната оценка (3.3) и неравенството (3.5), след заместване получаваме: f t, y 2 f t, y 1 Z1 = g 0 (τ) dτ = 0 Z1 6 A(τ) y 2 Z1 y1 A(τ) y 2 0 Z1 dτ 6 0 A(τ) A(τ) dτ y2 y1 6 y2 y1 6 n l 0 6 max A(τ), тъй като 2 y ​​1 dτ 6 2 2 n P ∂fi = i,j=1 ∂yj 2 y2 y1 , 2 6 n2 l2 за 8 τ 2 . Твърдението е доказано. -42- 3. 2. Единственост на решението на задачата на Коши за нормална система Теорема 3. 1 (за оценяване на разликата на две решения). Нека G е някаква област Rn+1 и векторната функция f (x, y) е непрекъсната в G и удовлетворява условието на Липшиц по отношение на векторната променлива y в множеството G с константа L. Ако y 1 , y 2 са две решения на нормалната система (3.1) y_ = f (x, y) на сегмента, тогава оценката y 2 (t) y 1 (t) 6 y 2 (t0) y 1 (t0) exp L(t t0 ) е валиден за всички t 2 . Доказателството повтаря дословно доказателството на теорема 2.1 от раздел 2.1, като взема предвид очевидните повторения. 2 От тук е лесно да се получи теоремата за уникалност и устойчивост на решението по отношение на началните данни. Следствие 3.1. Нека векторната функция f (t, y) е непрекъсната в областта G и удовлетворява условието на Липшиц в y в G и нека функциите y 1 (t) и y 2 (t) са две решения на нормалната система (3.1 ) на същия сегмент и t0 2 . Ако y 1 (t0) = y 2 (t0), тогава y 1 (t) y 2 (t) върху . Следствие 3.2. (при непрекъсната зависимост от изходните данни). Нека векторната функция f (t, y) е непрекъсната в областта G и удовлетворява условието на Липшиц върху y с константа L > 0 в G и нека векторните функции y 1 (t) и y 2 (t) са решения на нормалната система (3.1), дефинирана на . Тогава за 8 t 2 е в сила неравенството y 1 (t), където δ = y 1 (t0) y 2 (t0) и l = t1 y 2 (t) 6 δ eL l , t0 . Доказателството на следствията повтаря дума по дума доказателствата на следствия 2.1 и 2.2, като се вземат предвид очевидните повторения. 2 Изследването на разрешимостта на задачата на Коши (3.1), (3.2), както и в едномерния случай, се свежда до разрешимостта на интегрално (векторно) уравнение. Лема 3. 1. Нека f (t, y) 2 C G; Rn 1 . Тогава са валидни следните твърдения: 1) всяко решение ϕ(t) на уравнение (3.1) на интервала ha, bi, удовлетворяващо (3.2) t0 2 ha, bi е непрекъснато решение на ha, bi 1 Чрез C G; H е обичайно да обозначава множеството от всички функции, непрекъснати в областта G със стойности в пространството H. Например, f (t, y) 2 C G; Rn компоненти), дефинирани на множеството G. е множеството от всички непрекъснати векторни функции (с n -43-интегрално уравнение y(t) = y 0 + Zt f τ, y(τ) dτ ; (3.6) t0 2), ако векторната функция ϕ(t) 2 C ha, bi е непрекъснато решение на интегралното уравнение (3.6) върху ha, bi, където t0 2 ha, bi, тогава ϕ(t) има непрекъсната производна върху ha, bi и е решение на (3.1), (3.2). Доказателство. 1. Нека 8 τ 2 ha, bi удовлетворява равенството dϕ(τ) = f τ, ϕ(τ) . Тогава, интегрирайки от t0 до t, като вземем предвид (3.2), получаваме dτ Rt 0, че ϕ(t) = y + f τ, ϕ(τ) dτ, т.е. ϕ(t) удовлетворява уравнение (3.6). t0 2. Нека една непрекъсната векторна функция ϕ(t) удовлетворява уравнение (3.6) върху ha, bi. Тогава f t, ϕ(t) е непрекъсната върху ha, bi по теоремата за непрекъснатост на съставната функция и следователно дясната страна на (3.6 ) (и следователно лявата страна) има непрекъсната производна по отношение на t върху ha, bi. За t = t0, от (3.6) ϕ(t0) = y 0 , т.е. ϕ(t) е решението на задачата на Коши (3.1), (3.2). Имайте предвид, че както обикновено, производната в края на сегмента (ако принадлежи към него) се разбира като едностранна производна на функцията. Лемата е доказана. Забележка 3. 1. Използвайки аналогията с едномерния случай (вижте глава 2) и доказаните по-горе твърдения, можем да докажем теоремата за съществуването и продължаването на решение на проблема на Коши чрез конструиране на итеративна последователност, сходна към решение на интегралното уравнение (3.6) на някакъв интервал t0 h, t0 + h . Тук представяме още едно доказателство за теоремата за съществуването (и уникалността) за решение, базирано на принципа на картографиране на свиването. Правим това, за да запознаем читателя с по-съвременни методи на теория, които ще се прилагат в бъдеще в курсовете по интегрални уравнения и уравнения на математическата физика. За да осъществим нашия план, се нуждаем от редица нови концепции и спомагателни твърдения, които сега ще разгледаме. 3. 3. Понятието метрично пространство. Принципът на свиващите преобразувания Най-важната концепция за граница в математиката се основава на концепцията за „близост“ на точките, т.е. за да можете да намерите разстоянието между тях. На числовата ос разстоянието е модулът на разликата между две числа, на равнината е добре известна формулаЕвклидови разстояния и др. Много факти на анализа не използват алгебричните свойства на елементите, а разчитат само на концепцията за разстоянието между тях. Развитието на този подход, т.е. отделянето на "битието", свързано с понятието граница, води до понятието метрично пространство. -44- Определение 3. 3. Нека X е множество от произволна природа и ρ(x, y) е реална функция на две променливи x, y 2 X, удовлетворяваща три аксиоми: 1) ρ(x, y) > 0 8 x, y 2 X и ρ(x, y) = 0 само за x = y; 2) ρ(x, y) = ρ(y, x) (аксиома на симетрията); 3) ρ(x, z) 6 ρ(x, y) + ρ(y, z) (неравенство на триъгълник). В този случай множеството X с дадена функцияρ(x, y) се нарича метрично пространство (ÌP), а функцията ρ(x, y) : X X 7! R, отговарящо на 1) – 3), – метрика или разстояние. Нека дадем няколко примера за метрични пространства. Пример 3. 1. Нека X = R с разстояние ρ(x, y) = x y , получаваме MT R. n o n xi 2 R, i = 1, n е Пример 3. 2. Нека X = R = x1 , . . . , xn е множеството от подредени колекции от n реални числа s n 2 P x = x1 , . . . , xn с разстояние ρ(x, y) = xk yk , получаваме n1 k=1 n мерно евклидово пространство R . n Пример 3. 3. Нека X = C a, b ; R е множеството от всички функции, непрекъснати на a, b със стойности в Rn, т.е. непрекъснати векторни функции, с разстояние ρ(f, g) = max f (t) g(t) , където f = f (t) = f1 (t), . . . , fn (t) , t2 s n 2 P g = g(t) g1 (t), . . . , gn (t) , f g = fk (t) gk (t) . k=1 За примери 3. 1 –3. 3-те аксиоми на MP са директно проверени, оставяме това като упражнение за съвестния читател. Както обикновено, ако всяко естествено n е свързано с елемент xn 2 X, тогава казваме, че е дадена поредица от точки xn MP X. Определение 3. 4. За поредица от точки xn MP X се казва, че се събира към точка x 2 X if lim ρ xn , x = 0. n!1 Определение 3. 5. Поредица xn се нарича фундаментална, ако за всяко ε > 0 съществува естествено число N (ε), такова че за всички n > N и m > N неравенството ρ xn , xm< ε. Определение 3. 6. МП X называется полным (ПÌП), если любая его фундаментальная последовательность сходится к элементу этого пространства. -45- Полнота пространств из примеров 3. 1 и 3. 2 доказана в курсе математиче ского анализа. Докажем полноту пространства X = C a, b ; Rn из примера 3. 3. Пусть последовательность вектор-функций fn (t) фундаментальна в X. Это означает, что 8 ε >0 9 N (ε) 2 N: 8m, n > N =) max fm (t) fn (t)< ε. Поэтому выполнены условия критерия Коши равномерной на a, b сходи мости функциональной последовательности, т.е. fn (t) ⇒ f (t) при n ! 1. Как известно, предел f (t) в этом случае – непрерывная функция. Докажем, что f (t) – это предел fn (t) в метрике пространства C a, b ; Rn . Из равномерной сходимости получим, что для любого ε >0 има число N (ε), такова че за всички n > N и за всички t 2 a, b неравенството fn (t) f (t)< ε, а так как в левой части неравенства стоит непрерывная функция, то и max fn (t) f (t) < ε. Это и есть сходимость в C a, b ; Rn , следовательно, полнота установлена. В заключение приведем пример МП, не являющегося полным. Пример 3. 4. Пусть X = Q – множество рациональных чисел, а расстояние ρ(x, y) = x y – модуль разностиpдвух чисел. Если взять последовательность десятичных приближений числа 2 , т.е. x1 = 1; x2 = 1, 4; x3 = 1, 41; . . ., p то, как известно, lim xn = 2 62 Q. При этом данная последовательность n!1 сходится в R, значит она фундаментальна в R, а следовательно, она фундаментальна и в Q. Итак, последовательность фундаментальна в Q, но предела, лежащего в Q, не имеет. Пространство не является полным. Определение 3. 7. Пусть X – метрическое пространство. Отображение A: X 7! X называется сжимающим отображением или сжатием, если 9 α < 1 такое, что для любых двух точек x, y 2 X выполняется неравенство: ρ Ax, Ay 6 α ρ(x, y). (3.7) Определение 3. 8. Точка x 2 X называется неподвижной точкой отображения A: X 7! X, если Ax = x . Замечание 3. 2. Всякое сжимающее отображение является непрерывным, т.е. любую сходящуюся последовательность xn ! x, n ! 1, переводит в сходящуюся последовательность Axn ! Ax, n ! 1, а предел последовательности – в предел ее образа. Действительно, если A – сжимающий оператор, то положив в (3.7) X X y = xn ! x, n ! 1, получим, что Axn ! Ax, n ! 1. Теорема 3. 2 (Принцип сжимающих отображений). Пусть X полное метрическое пространство, а отображение A: X 7! X является сжатием. Òогда A имеет и притом единственную неподвижную точку. Доказательство этого фундаментального факта см. , . -46- Приведем обобщение теоремы 3. 2, часто встречающееся в приложениях. Теорема 3. 3 (Принцип сжимающих отображений). Пусть X полное метрическое пространство, а отображение A: X 7! X таково, что оператор B = Am с некоторым m 2 N является сжатием. Òогда A имеет и притом единственную неподвижную точку. Доказательство. При m = 1 получаем теорему 3. 2. Пусть m > 1. Разгледайте B = Am , B: X 7! X, B - компресия. Съгласно теорема 3.2 операторът B има единствена фиксирана точка x . Тъй като A и B комутират AB = BA и тъй като Bx = x , имаме B Ax = A Bx = Ax , т.е. y = Ax също е неподвижна точка на B и тъй като такава точка е уникална по теорема 3.2, тогава y = x или Ax = x . Следователно x е неподвижна точка на оператора A. Нека докажем уникалност. Да предположим, че x~ 2 X и A~ x = x~, тогава m m 1 B x~ = A x~ = A x~ = . . . = x~, т.е. x~ също е фиксирана точка за B, откъдето x~ = x . Теоремата е доказана. Специален случай на метрично пространство е нормирано линейно пространство. Нека дадем точно определение. Определение 3. 9. Нека X е линейно пространство (реално или комплексно), върху което е дефинирана числова функция x, действаща от X към R и удовлетворяваща аксиомите: 1) 8 x 2 X, x > 0 и x = 0 само за x = θ; 2) 8 x 2 X и за 8 λ 2 R (или C) 3) 8 x, y 2 X е ник). x+y 6 x + y λx = jλj x ; (неравенството на триъгълника) Тогава X се нарича нормирано пространство, x: X 7!R, удовлетворяващо 1) – 3), се нарича норма. и функция В нормирано пространство можете да въведете разстоянието между елементите по формулата ρ x, y = x y . Изпълнението на аксиомите на MP се проверява лесно. Ако полученото метрично пространство е пълно, тогава съответното нормирано пространство се нарича пространство на Banax. Често е възможно да се въведе норма по различни начини в едно и също линейно пространство. В резултат на това възниква концепция. Определение 3. 10. Нека X е линейно пространство и нека и са две 1 2 норми, въведени върху него. Норми и се наричат ​​еквивалентни 1 2 норми, ако 9 C1 > 0 и C2 > 0: 8 x 2 X C1 x 1 6 x 2 6 C2 x 1 . Забележка 3. 3. Ако и са две еквивалентни норми върху X и 1 2 пространството X е пълно в едната от тях, то то е пълно и в другата норма. Това лесно следва от факта, че последователността xn X, която е фундаментална по отношение на, също е фундаментална по отношение на и се свежда до 1 2 същия елемент x 2 X. се използва, когато затворена топка на това пространство се приема като пълно n пространство o Br (a) = x 2 X ρ x, a 6 r , където r > 0 и a 2 X са фиксирани. Имайте предвид, че затворената топка в PMP сама по себе си е PMP със същото разстояние. Оставяме доказателството на този факт на читателя като упражнение. Забележка 3. 5. По-горе пълнотата на пространството беше установена от примера n мярка 3. 3. Отбележете, че в линейното пространство X = C 0, T , R можем да въведем нормата kxk = max x(t) така че получената нормализация ще бъде банахова. На същия набор от векторни функции, непрекъснати в пространството 0, T, можем да въведем еквивалентна норма по формулата kxkα = max e αt x(t) за всяко α 2 R. За α > 0 еквивалентността следва от неравенствата e αT x(t) 6 e αt x(t) 6 x(t) за всички t 2 0, T , откъдето e αT kxk 6 kxkα 6 kxk. Използваме това свойство на еквивалентни норми при доказване на теоремата за уникалната разрешимост на проблема на Коши за линейни (нормални) системи. 3. 4. Теореми за съществуване и уникалност за решението на задачата на Коши за нормални системи Да разгледаме задачата на Коши (3.1) – (3.2), където началните данни t0 , y 0 2 G, G Rn+1 са областта на векторна функция f (t, y). В този раздел ще приемем, че G има – някои n формата G = a, b o , където домейнът е Rn и топката е BR (y 0) = Теоремата е валидна. y 2 Rn y y0 6 R лежи изцяло в. Теорема 3. 4. Нека f (t, y) 2 C G е векторна функция; Rn и 9 M > 0 и L > 0, така че да са изпълнени следните условия: 1) 8 (t, y) 2 G = a, b f (t, y) 6 M ; 2) 8 (t, y 1), (t, y 2) 2 G f t, y 2 f t, y 1 6 L y 2 y 1 . Фиксираме число δ 2 (0, 1) и нека t0 2 (a, b). Тогава R 1 δ 9 h = min ; ; t0 a; b t0 > 0 M L, така че също така съществува единствено решение на задачата на Коши (3.1), (3.2) y(t) на интервала Jh = t0 h, t0 + h и y(t) y 0 6 R за всички t 2 Jh. -48- Доказателство. По лема 3.1 задачата на Коши (3.1), (3.2) е еквивалентна на интегралното уравнение (3.6) на интервала , а оттам и на Jh , където h е избрано по-горе. Разгледайте банахово пространство X = C (Jh ; Rn), набор от векторни функции x(t), непрекъснати в сегмента Jh с нормата kxk = max x(t), и въведете затворено множество в X: t2Jh SR y 0 n 8 t 2 Jh = y(t) 2 X y(t) n = y(t) 2 X y y(t) o 0 6R = o 0 y 6R е затворена топка в X. Операторът A, дефиниран от правилото : Ay = y 0 + Zt f τ , y(τ) dτ, t 2 Jh , t0 взема SR y 0 в себе си, тъй като y 0 = max Ay Zt t2Jh f τ, y(τ) dτ 6 h ​​​​M 6 R t0 по условие 1 на теоремата и дефиницията на h. Нека докажем, че A е свиващ оператор на SR. Нека вземем произволно 0 1 2 и оценим стойността: Zt 6 max t2Jh f τ, y 2 (τ) f τ, y 1 (τ) dτ 6 t0 6h L y2 y1 = q y2 y1 , където q = h L 6 1 δ< 1 по условию теоремы. Отметим (см. замечание 3.4), что замкнутый шар SR y 0 в банаховом пространстве X является ПМП. Поэтому применим принцип сжимающих отображений (теорема 3. 2), по которому существует единственное решение y(t) 2 X интегрального уравнения (3.6) на отрезке Jh = t0 h, t0 + h . Теорема доказана. Замечание 3. 6. Если t0 = a или t0 = b, то утверждение теоремы сохраняется с небольшими изменениями в формуле для h и отрезка Jh . Приведем эти изменения для случая t0 = a. В этом случае число h > 0 се избира според R по формулата h = min M ; 1L δ; b a , и навсякъде трябва да вземем -49- Jh = t0 , t0 + h = a, a + h като отсечката Jh. Всички други условия на теоремата не се променят, нейното доказателство, като се вземе предвид преименуването, R се запазва. За случая t0 = b, по подобен начин, h = min M ; 1L δ; b a и Jh = b h, b . n Забележка 3. 7. В теорема 3. 4 условието f (t, y) 2 C G; R, където G = a, b D, може да бъде отслабен чрез замяната му с изискването f (t, y) да бъде непрекъснат по отношение на променливата t за всяко y 2, като се запазват условия 1 и 2. Доказателството остава един и същ. Забележка 3. 8. Достатъчно е условията 1 и 2 на теорема 3. 4 да имат 0 за всички t, y 2 a, b BR y , докато константите M и L зависят, 0 най-общо казано, от y и R. ограничения на векторната функция f t, y , подобно на теорема 2.4, е валидна теоремата за съществуване и единственост за решението на задачата на Коши (3.1), (3.2) на целия интервал a, b. n Теорема 3. 5. Нека векторна функция f x, y 2 C G, R , където G = a, b Rn , и съществува L > 0 така, че условието 8 t, y 1 , t, y 2 2 G f t , y 2 f t, y 1 6 L y 2 y 1 . Тогава за всяко t0 2 и y 0 2 Rn съществува единствено решение на задачата на Коши (3.1), (3.2) върху a и b. Доказателство. Нека вземем произволни t0 2 и y 0 2 Rn и ги коригираме. Представяме множеството G = a, b Rn по следния начин: G = G [ G+ , където Rn , и G+ = t0 , b Rn , приемайки, че t0 2 a, b , в противен случай един G = a, t0 от етапите на доказателство ще отсъства. Нека разсъждаваме за лентата G+. В интервала t0 , b задачата на Коши (3.1), (3.2) е еквивалентна на уравнение (3.6). Въвеждаме оператор за интеграла n A: X 7! X, където X = C t0 , b ; R , съгласно формулата Ay = y 0 + Zt f τ, y(τ) dτ. t0 Тогава интегралното уравнение (3.6) може да се запише като операторно уравнение Ay = y. (3.8) Ако докажем, че операторното уравнение (3.8) има решение в PMP X, тогава получаваме разрешимостта на проблема на Коши върху t0 , b или върху a, t0 за G . Ако това решение е уникално, то по силата на еквивалентността решението на задачата на Коши също ще бъде уникално. Представяме две доказателства за уникалната разрешимост на уравнение (3.8). Доказателство 1. Да разгледаме произволни векторни функции 1 2 n y , y 2 X = C t0 , b ; R , тогава оценките са валидни за всяко -50- t 2 t0 , b Ay 2: Ay 1 Zt h f τ, y 2 (τ) = 1 f τ, y (τ) i dτ 6 t0 Zt y 2 (τ) 6L y 1 (τ) dτ 6 L t t0 max y 2 (τ) y 1 (τ) 6 τ 2 t0 6L t t0 y2 y1 . Спомнете си, че нормата в X се въвежда, както следва: kxk = max x(τ) . От полученото неравенство ще имаме ) dτ 6 L2 t0 Zt y2 y1 6 t0 6 L2 t t0 2! 2 y2 y1 . Продължавайки този процес, можем да докажем чрез индукция, че 8 k 2 N Ak y 2 Ak y 1 6 L t t0 k! k y2 y1. Оттук накрая получаваме оценката Ak y 2 Ak y 1 = max Ak y 2 L b t0 Ak y 1 6 L b t0 k! k y2 y1. k Тъй като α(k) = ! 0 за k! 1, тогава има k0 такова, че k! че α(k0)< 1. Применим теорему 3. 3 с m = k0 , получим, что A имеет в X неподвижную точку, причем единственную. Доказательство 2. В банаховом пространстве X = C t0 , b ; Rn введем семейство эквивалентных норм, при α >0 (виж Забележка 3. 5) по формулата: x α = max e αt x(t) . -51- Нека покажем, че е възможно да се избере α по такъв начин, че операторът A в пространството X с норма за α > L да бъде свиващ. Наистина, α Ay 2 Ay 1 α Zt h f τ, y 2 (τ) αt = max e 1 f τ, y (τ) i dτ 6 t0 6 max e αt Zt y 2 (τ) L y 1 (τ) dτ = t0 = L max e Zt αt e ατ y 2 (τ) eατ dτ 6 y 1 (τ) t0 6 L max e αt Zt eατ dτ max e ατ y 2 (τ) y 1 (τ) = y2 α t0 = L max e αt Тъй като α > L, тогава q = L α 1 1 αt e α e e αt0< 1 и оператор A – сжимающий (например, с α = L). Таким образом, доказано, что существует и притом единственная вектор + функция ϕ (t) – решение Коши (3.1), (3.2) на t0 , b . задачи Rn задачу Коши сведем к предыдущей при Для полосы G = a, t0 помощи линейной замены τ = 2t0 t. В самом деле, для вектор-функция y(t) = y 2t0 τ = y~(t), задача Коши (3.1), (3.2) запишется в виде: y~(τ) = f (2t0 τ, y~(τ)) f~ (τ, y~(τ)) , y~(t0) = y 0 на отрезке τ 2 t0 , 2t0 a . Поэтому можно применить предыдущие рассуждения, взяв b = 2t0 a. Итак, существует и притом единственное решение задачи Коши y~(τ) на всем отрезке τ 2 t0 , 2t0 a и,следовательно, ϕ (t) = y~ 2t0 t – решение задачи Коши (3.1), (3.2) на a, t0 . Возьмем «сшивку» вектор-функций ϕ (t) и ϕ+ (t), т.е. вектор-функцию ϕ (t), при t 2 a, t0 ; ϕ(t) = ϕ+ (t), при t 2 t0 , b . d dτ Как при доказательстве теоремы 2.4, устанавливаем, что ϕ(t) – это решение задачи Коши (3.1), (3.2) на a, b . Единственность его следует из следствия 3.1. Теорема доказана. -52- Замечание 3.9. Утверждение 3. 1 дает достаточное условие того, что векторфункция f t, y в выпуклой по y области G удовлетворяет условию Лип∂fi шица. А именно, для этого достаточно, чтобы все частные производные ∂yj были непрерывны и ограничены некоторой константой в G. Аналогично следствию из теоремы 2.4 получаем такое утверждение для нормальных систем. Ñледствие 3.3. Пусть вектор-функция f (t, y) определена, непрерывна в открытой полосе o n n Q = (t, y) t 2 (A, B), y 2 R , причем A и B могут быть символами 1 и +1 соответственно. Предположим, что вектор-функция f (t, y) удовлетворяет в полосе Q условию: 9 L(t) 2 C(A, B) такая, что 8 t 2 (A, B) и 8 y 1 , y 2 2 Rn выполняется неравенство f t, y 2 f t, y 1 6 L(t) y 2 y 1 . Òогда при любых начальных данных t0 2 (A, B), y 0 2 Rn существует и притом единственное решение задачи Êоши (3.1), (3.2) на всем интервале (A, B). Доказательство проводится повторением соответствующих рассуждений из п. 2.2, оставляем его добросовестному читателю. В качестве других следствий из доказанной теоремы 3. 5 получим теорему о существовании и единственности решения задачи Коши для линейной системы. Речь идет о задаче нахождения вектор-функции y(t) = (y1 (t), . . . , yn (t)) из условий: d y(t) = A(t)y(t) + f 0 (t), t 2 a, b , (3.9) dt y(t0) = y 0 , (3.10) где A(t) = aij (t) – n n матрица, f 0 (t) – вектор-функция переменной t, t0 2 a, b , y 0 2 Rn – заданы. n 0 Теорема 3. 6. Пусть a (t) 2 C a, b , f (t) 2 C a, b ; R , ij t0 2 a, b , y 0 2 Rn заданы. Òогда существует и притом единственное решение задачи Êоши (3.9), (3.10) на всем отрезке a, b . Доказательство. Проверим, что для функции f t, y = A(t)y + f 0 (t) выполнены теоремы 3. 5. Во-первых, f t, y 2 C G; Rn , где условия G = a, b Rn , как сумма двух непрерывных функций. Во-вторых, (см. неравенство (3.5)): Ay 2 Ay 1 = A(t) y 2 y 1 6 A 2 y 2 y 1 6 L y 2 y 1 , -53- поскольку A n P 2 ! 21 aij (t) 2 – непрерывная на a, b функция. Тогда i,j=1 по теореме 3. 5 получим доказываемое утверждение. Теорема 3. 7. Пусть aij (t) 2 C (R), f 0 (t) 2 C (R; Rn) заданы. Òогда при любых начальных данных t0 2 R, y 0 2 Rn существует и притом единственное решение задачи Êоши (3.9), (3.10) на всей числовой прямой. Доказательство. Проверим, что выполнены все условия следствия из теоре мы 3. 5 с A = 1, B = +1. Вектор-функция f t, y = A(t)y + f 0 (t) непрерывна в полосе Q = R Rn как функция (n + 1) переменной. Кроме того, L(t) y 2 y 1 , f t, y 2 f t, y 1 6 A(t) 2 y 2 y 1 где L(t) – непрерывная по условию теоремы на A, B = 1, +1 функция. Таким образом, все условия следствия выполнены, и теорема доказана. -54- Глава IV. Некоторые классы обыкновенных дифференциальных уравнений, решаемых в квадратурах В ряде случаев дифференциальное уравнение может быть решено в квадратурах, т.е. для его решения может быть получена явная формула. В таких случаях методика решения, как правило, следующая. 1. Предполагая, что решение существует, находят формулу, по которой решение выражается. 2. Существование решения затем доказывается непосредственной проверкой, т.е. подстановкой найденной формулы в исходное уравнение. 3. Используя дополнительные данные, (например, задавая начальные данные Коши) выделяют конкретное решение. 4. 1. Уравнение с разделяющимися переменными В данном параграфе применим уже использовавшуюся выше методику для решения уравнений с разделяющимися переменными, т.е. уравнений вида y 0 (x) = f1 (x) f2 (y), Áудем предполагать, что f1 (x) 2 C (ha, bi) , x 2 ha, bi, f2 (y) 2 C (hc, di) , y 2 hc, di. (4.1) f2 (y) 6= 0 на hc, di а следовательно, в силу непрерывности функции f2 (y), она сохраняет знак на hc, di . Итак, предположим, что в окрестности U(x0) точки x0 2 ha, bi существует решение y = ϕ(x) уравнения (4.1). Тогда имеем тождество dy = f1 (x) f2 (y), dx y = ϕ(x), 55 x 2 U(x0). Но тогда равны дифференциалы dy = f1 (x) dx f2 (y) мы учли, что f2 (y) 6= 0 . Из равенства дифференциалов вытекает равенство первообразных с точностью до постоянного слагаемого: Z Z dy = f1 (x) dx + C. (4.2) f2 (y) После введения обозначений Z F2 (y) = Z dy , f2 (y) F1 (x) = f1 (x) dx, получаем равенство F2 (y) = F1 (x) + C. (4.3) Заметим, что F20 (y) = 1/f2 (y) 6= 0, поэтому к соотношению (4.3) можно применить теорему об обратна функция , поради което може да се реши равенство (4.3) спрямо y и да се получи формулата y(x) = F2 1 F1 (x) + C , (4.4), която е валидна в околност на точката x0 . Нека покажем, че равенство (4.4) дава решение на уравнение (4.1) в околност на точката x0 . Наистина, използвайки теоремата за диференциране на обратната функция и като вземем предвид връзката F10 (x) = f1 (x), получаваме y 0 (x) = dF2 1 (z) dz z=F1 (x)+C F10 (x) = 1 F20 ( y) y=y(x) F10 (x) = f2 y(x) f1 (x), откъдето следва, че функцията y(x) от (4.4) е решение на уравнение (4.1). Разгледайте сега задачата на Коши за уравнение (4.1) с начално условие y(x0) = y0 . (4.5) Формула (4.2) може да бъде записана като Zy dξ = f2 (ξ) Zx f1 (x) dx + C. x0 y0 Замествайки първоначалното условие (4.5) тук, намираме, че C = 0, т.е. решението на задачата на Коши се определя от връзката Zy y0 dξ = f2 (ξ) Zx f1 (x) dx. x0 -56- (4.6) Очевидно е еднозначно определено. По този начин общото решение на уравнение (4.1) се дава от формула (4.4), а решението на задачата на Коши (4.4), (4.5) се намира от връзка (4.6). Забележка 4. 1. Ако f2 (y) = 0 за някои y = yj , (j = 1, 2, . . . , s), тогава, очевидно, решенията на уравнение (4.1) също са функциите y( x) yj , j = 1, 2, . . . , s, което се доказва чрез директно заместване на тези функции в уравнение (4.1). Забележка 4. 2. За уравнение (4.1) общото решение се определя от връзката F2 (y) F1 (x) = C. (4.7) Така лявата страна на връзката (4.7) е постоянна за всяко решение на уравнението (4.1). Отношения като (4.7) могат да бъдат записани и при решаване на други ODE. Такива отношения обикновено се наричат ​​интеграли (общи интеграли) на съответното ОДУ. Нека дадем точно определение. Определение 4. 1. Разгледайте уравнението y 0 (x) = f (x, y). (4.8) Отношението (x, y) = C, (4.9) където (x, y) е функция от клас C 1, се нарича общ интеграл на уравнение (4.8), ако това отношение не е изпълнено идентично, а е удовлетворени за всяко решение на уравнение (4.8). За всяка конкретна стойност на C 2 R получаваме частичен интеграл. Общото решение на уравнение (4.8) се получава от общия интеграл (4.9), като се използва теоремата за неявната функция. Пример 4. 1. Разгледайте уравнението x (4.10) y 0 (x) = y и началното условие y(2) = 4. (4.11) Прилагайки метода на разделяне на променливите, описан по-горе за решаване на уравнение (4.10), получаваме y dy = x dx , откъдето намираме общия интеграл за уравнение (4.10) y 2 x2 = C. Общото решение на уравнение (4.10) се записва с формулата p y= C + x2 , а решението на задачата на Коши ( 4.10), (4.11) се записва по формулата p y = 12 + x2 . -57- 4. 2. Линейни ОДУ от първи ред Линейни ОДУ от първи ред е уравнението y 0 (x) + p(x)y(x) = q(x), Ако q(x) 6 Ако q(x) x 2 ha, b. (4.12) 0, то уравнението се нарича нехомогенно. 0, тогава уравнението се нарича хомогенно: y 0 (x) + p(x)y(x) = 0. (4.120) Теорема 4. 1. 1) Ако y1 (x), y2 (x) са решения на хомогенно уравнение (4.120) , α, β са произволни числа, тогава функцията y (x) αy1 (x) + βy2 (x) също е решение на уравнение (4.120). 2) За общото решение на нехомогенното уравнение (4.12) има място формулата yon = yoo + ych; (4.13) тук yо е общото решение на нехомогенното уравнение (4.12), yн е частно решение на нехомогенното уравнение (4.12), yоо е общото решение на хомогенното уравнение (4.120). Доказателство. Първото твърдение на теоремата се доказва чрез пряка проверка: имаме y 0 αy10 + βy20 = αp(x)y1 βp(x)y2 = p(x) αy1 + βy2 = p(x)y . Нека докажем второто твърдение. Нека y0 е произволно решение на уравнение (4.120), тогава y00 = p(x)y0 . От друга страна, 0 ych = p(x)ych + q(x). Следователно 0 y0 + ych = p(x) y0 + ych + q(x), което означава, че y y0 + ych е решение на уравнение (4.12). Така формула (4.13) дава решение на нехомогенното уравнение (4.12). Нека покажем, че всички решения на уравнение (4.12) могат да бъдат получени от тази формула. Наистина, нека y^(x) е решение на уравнение (4.12). Поставяме y~(x) = y^(x) ych. Имаме y~ 0 (x) = y^ 0 (x) 0 ych (x) = p(x)^ y (x) + q(x) + p(x)ych (x) = p(x) y ^ (x) q(x) = ych (x) = p(x)~ y (x). Така y~(x) е решение на хомогенното уравнение (4.120) и имаме y^(x) = y~(x) + ych, което съответства на формула (4.13). Теоремата е доказана. -58- По-долу ще разгледаме задачите на Коши за уравнения (4.12) и (4.120) с начално условие y(x0) = y0 , x0 2 ha, bi. (4.14) По отношение на функциите p(x) и q(x) от (4.12) приемаме, че p(x), q(x) 2 C (ha, bi). Забележка 4. 3. Поставете F (x, y) = p(x)y + q(x). Тогава, с оглед на условията, наложени по-горе на p(x) и q(x), имаме F (x, y), ∂F (x, y) 2 C G , ∂y G = ha, bi R1 и, следователно, за проблема на Коши (4.12), (4.14) теоремите за съществуване и уникалност на решението, които бяха доказани в глава 2, са валидни. съществуват на целия интервал ha, bi. Разгледайте първо хомогенното уравнение (4.120). Теорема 4. 2. твърдения: Нека p(x) 2 C (ha, bi). Тогава са верни следните: 1) всяко решение на уравнение (4.120) е определено на целия интервал ha, bi; 2) общото решение на хомогенното уравнение (4. 120) се дава по формулата y(x) = C e където C R p(x) dx , (4.15) е произволна константа; 3) решението на задачата на Коши (4.120), (4.14) се дава по формулата Rx y(x) = y0 e x0 p(ξ) dξ . (4.16) Доказателство. Нека изведем формула (4.15) в съответствие с метода, даден в началото на главата. Първо, отбелязваме, че функцията y 0 е решение на уравнение (4.120). Нека y(x) е решение на уравнение (4.120) и нека y 6 0 върху ha, bi. Тогава 9 x1 2 ha, bi, така че y(x1) = y0 6= 0. Разгледайте уравнение (4.120) в околност на точката x1. Това е уравнение с разделими променливи и y(x) 6= 0 в някаква околност на точката x1. След това, следвайки резултатите от предходния параграф, получаваме изрична формула за решението Z dy = p(x) dx, ln y = p(x) dx + C, y -59- откъдето R y(x) = C e p(x) dx , c 6= 0, което съответства на формула (4.15). Освен това, решението y 0 също е дадено от формула (4.15) за C = 0. Чрез директно заместване в уравнение (4.120), виждаме, че функцията y(x), дадена от формула (4.15) за всяко C е решение на уравнение (4.120), освен това на целия интервал ha, bi. Нека покажем, че формула (4.15) определя общото решение на уравнение (4.120). Наистина, нека y^(x) е произволно решение на уравнение (4.120). Ако y^(x) 6= 0 върху ha, bi, тогава повтаряйки предишното разсъждение, получаваме, че тази функция е дадена с формула (4.15) за някои C: а именно, ако y^(x0) = y^0 , тогава Rx p( ξ) dξ . y^(x) = y^0 e x0 Ако 9x1 2 ha, bi е такова, че y^(x1) = 0, тогава задачата на Коши за уравнение (4.120) с начално условие y(x1) = 0 има две решения y ^(x) и y(x) 0. Съгласно забележка 4.3 решението на задачата на Коши е единствено; следователно y^(x) 0 и следователно е дадено с формула (4.15) за C = 0. По този начин доказахме, че уравнението на общото решение (4.120) е определено за всички ha, bi и е дадено с формула (4.15). Формула (4.16) очевидно е частен случай на формула (4.15), така че функцията y(x), която тя дефинира, е решение на уравнение (4.120). В допълнение, x R0 p(ξ) dξ y(x0) = y0 e x0 = y0 , така че формула (4.16) наистина дефинира решение на проблема на Коши (4.120), (4.14). Теорема 4.2 е доказана. Разгледайте сега нехомогенното уравнение (4.12). Теорема 4. 3. Нека p(x), q(x) 2 C (ha, bi). Тогава са верни следните твърдения: 1) всяко решение на уравнение (4.12) е определено на целия интервал ha, bi; 2) общото решение на нехомогенното уравнение (4.12) се дава по формулата Z R R R p(x) dx p(x) dx q(x)e ​​​​p(x) dx dx, (4.17) y(x) = Ce +e, където C е произволна константа; 3) решението на задачата на Коши (4.12), (4.14) се дава по формулата Rx y(x) = y0 e x0 Zx p(ξ) dξ + q(ξ)e x0 -60- Rx ξ p(θ) ) dθ dξ. (4.18) Доказателство. В съответствие с теорема 4.1 и формула (4.13) yon = yоо + yн е необходимо да се намери конкретно решение на уравнение (4.12). За да го намерим, прилагаме така наречения метод на вариация на произволна константа. Същността на този метод е следната: вземаме формула (4.15), заместваме константата C в нея с неизвестна функция C(x) и търсим конкретно решение на уравнение (4.12) във формата ych (x) = C (x) e R p(x) dx. (4.19) Заместваме yn (x) от (4.19) в уравнение (4.12) и намираме C(x), така че това уравнение да е изпълнено. Имаме R R 0 ych (x) = C 0 (x) e p(x) dx + C(x) e p(x) dx p(x) . Замествайки в (4.12), получаваме C 0 (x) e R p(x) dx + C(x) e R p(x) dx p(x) + C(x)p(x) e R p(x) ) dx = q(x), откъдето R C 0 (x) = q(x) e p(x) dx . Интегрирайки последното отношение и замествайки намереното C(x) във формула (4.19), получаваме, че Z R R p(x) dx ych (x) = e q(x) e p(x) dx dx. Освен това, по силата на теорема 4. 2 R yоо = C e p(x) dx . Следователно, използвайки формула (4.13) от теорема 4.1, получаваме, че Z R R R p(x) dx p(x) dx y(x) = yoo + ych = Ce +e q(x)e ​​​​p(x) dx dx, което съвпада с формула (4.17). Очевидно формула (4.17) дава решение на целия интервал ha, bi. И накрая, решението на задачата на Коши (4.12), (4.14) се дава от формулата Rx y(x) = y0 e Rx p(ξ) dξ x0 +e p(θ) dθ Zx Rξ p(θ) dθ q( ξ)ex0 x0 dξ. (4.20) x0 Наистина, формула (4.20) е специален случай на формула (4.17) за C = y0, така че дефинира решение на уравнение (4.12). В допълнение, x R0 y(x0) = y0 e x0 x R0 p(ξ) dξ +e p(θ) dθ Zx0 Rξ q(ξ)e x0 x0 x0 -61- p(θ) dθ dξ = y0 , така че първоначалното данни (4.14). Редуцираме формула (4.20) до вида (4.18). Действително, от (4.20) имаме Rx y(x) = y0 e Zx p(ξ) dξ + x0 Rξ q(ξ)e x p(θ) dθ Rx dξ = y0 e Zx p(ξ) dξ + x0 x0 Rx q ( ξ)e p(θ) dθ dξ, ξ x0 което съвпада с формула (4.18). Теорема 4.3 е ​​доказана. Следствие (при оценяване на решението на проблема на Коши за линейна система). x0 2 ha, bi, p(x), q(x) 2 C (ha, bi) и p(x) 6 K, q(x) 6 M Нека 8 x 2 ha, bi. Тогава решението на задачата на Коши (4.12), (4.14) удовлетворява оценката M Kjx x0 j Kjx x0 j y(x) 6 y0 e + e 1 . K (4.21) Доказателство. Нека първо x > x0 . По силата на (4.18) имаме Rx Zx K dξ y(x) 6 y0 ex0 Rx K dθ M eξ + dξ = y0 eK(x x0) Zx +M x0 = y0 e K(x x0) eK(x ξ ) dξ = x0 M + K e K(x ξ) ξ=x ξ=x0 = y0 e Kjx x0 j M Kjx + e K x0 j 1 . Сега нека x< x0 . Тогда, аналогично, получаем x R0 y(x) 6 y0 e x K dξ Zx0 + Rξ M ex K dθ dξ = y0 eK(x0 x) Zx0 +M x = y0 e K(x0 eK(ξ x) dξ = x M x) eK(ξ + K x) ξ=x0 ξ=x M h K(x0 x) = y0 e + e K M Kjx Kjx x0 j e = y0 e + K i 1 = K(x0 x) x0 j Таким образом, оценка (4.21) справедлива 8 x 2 ha, bi. Пример 4. 2. Решим уравнение y = x2 . x Решаем сначала однородное уравнение: y0 y0 y = 0, x dy dx = , y x ln jyj = ln jxj + C, -62- y = C x. 1 . Решение неоднородного уравнения ищем методом вариации произвольной постоянной: y чн = C(x) x, Cx = x2 , x 0 C x+C 0 C = x, x2 C(x) = , 2 откуда x3 , 2 y чн = а общее решение исходного уравнения y =Cx+ x3 . 2 4. 3. Однородные уравнения Однородным уравнением называется уравнение вида y 0 y (x) = f , (x, y) 2 G, x (4.22) G – некоторая область в R2 . Áудем предполагать, что f (t) – непрерывная функция, x 6= 0 при (x, y) 2 G. Однородное уравнение заменой y = xz, где z(x) – новая искомая функция, сводится к уравнению с разделяющимися переменными. В силу данной замены имеем y 0 = xz 0 + z. Подставляя в уравнение (4.22), получим xz 0 + z = f (z), откуда z 0 (x) = 1 x f (z) z . (4.23) Уравнение (4.23) представляет собой частный случай уравнения с разделяющимися переменными, рассмотренного в п. 4.1. Пусть z = ϕ(x) – решение уравнения (4.23). Тогда функция y = xϕ(x) является решением исходного уравнения (4.22). Действительно, y 0 = xϕ 0 (x) + ϕ(x) = x 1 x f (ϕ(x)) ϕ(x) + ϕ(x) = xϕ(x) y(x) = f ϕ(x) = f =f . x x Пример 4. 3. Ðешим уравнение y0 = y x -63- ey/x . Положим y = zx. Тогда xz 0 + z = z откуда y(x) = 1 z e, x z0 = ez , dz dx = , e z = ln jzj + C, z e x z = ln ln Cx , c 6= 0, x ln ln Cx , c 6= 0. 4. 4. Уравнение Áернулли Уравнением Áернулли называется уравнение вида y 0 = a(x)y + b(x)y α , α 6= 0, α 6= 1 . x 2 ha, bi (4.24) При α = 0 или α = 1 получаем линейное уравнение, которое было рассмотрено в п. 4.2. Áудем предполагать, что a(x), b(x) 2 C (ha, bi). Замечание 4. 4. Если α > 0, тогава очевидно функцията y(x) 0 е решение на уравнение (4.24). За да решим уравнението на Бернули (4.24) α 6= 0, α 6= 1, разделяме двете страни на уравнението на y α . За α > 0 трябва да вземем предвид, че по силата на забележка 4. 4 функцията y(x) 0 е решение на уравнение (4.24), което ще се загуби при такова деление. Следователно в бъдеще ще трябва да се добави към общото решение. След разделянето получаваме връзката y α y 0 = a(x)y 1 α + b(x). Нека въведем нова желана функция z = y 1 α , след това z 0 = (1 следователно достигаме до уравнение за z z 0 = (1 α)a(x)z + (1 α)y α)b(x) . α y 0 и (4.25) Уравнение (4.25) е линейно уравнение. Такива уравнения са разгледани в раздел 4.2, където е получена формула за общото решение, поради което решението z(x) на уравнение (4.25) се записва като z(x) = Ce R (α 1) a( x) dx + + (1 α )e R (α 1) a(x) dx 1 Z b(x)e R (α 1) a(x) dx dx. (4.26) Тогава функцията y(x) = z 1 α (x), където z(x) е дефинирана в (4.26), е решение на уравнението на Бернули (4.24). -64- Освен това, както е посочено по-горе, за α > 0, решението също е функцията y(x) 0. Пример 4. 4. Нека решим уравнението y 0 + 2y = y 2 ex . (4.27) Разделяме уравнение (4.27) на y 2 и правим промяната z = получаваме линейно нехомогенно уравнение 1 y. В резултат на това z 0 + 2z = ex . (4.28) Първо решаваме хомогенното уравнение: z 0 + 2z = 0, dz = 2dx, z ln jzj = 2x + c, z = Ce2x , C 2 R1 . Решението на нехомогенното уравнение (4.28) се търси по метода на вариация на произволна константа: zn = C(x)e2x , C 0 e2x 2Ce2x + 2Ce2x = ex , C 0 = e x, C(x) = e x , откъдето zn = ex , а общото решение на уравнението (4.28) z(x) = Ce2x + ex . Следователно решението на уравнението на Бернули (4.24) може да бъде записано като y(x) = 1 . ex + Ce2x В допълнение, решението на уравнение (4.24) също е функцията y(x) Загубихме това решение, когато разделихме това уравнение на y 2 . 0. 4. 5. Уравнение в пълните диференциали Разгледайте уравнението в диференциалите M (x, y)dx + N (x, y)dy = 0, (x, y) 2 G, (4.29) G е някаква област в R2 . Такова уравнение се нарича пълно диференциално уравнение, ако съществува функция F (x, y) 2 C 1 (G), наречена потенциал, така че dF (x, y) = M (x, y)dx + N ( x, y )dy, (x, y) 2 G. Нека приемем за простота, че M (x, y), N (x, y) 2 C 1 (G) и областта G е просто свързана. При тези предположения, в хода на математическия анализ (виж, например, ) се доказва, че потенциалът F (x, y) за уравнение (4.29) съществува (т.е. (4.29) е уравнение в общите диференциали), ако и само ако My (x, y) = Nx (x, y) -65- 8 (x, y) 2 G. Освен това (x, Z y) F (x, y) = M (x, y)dx + N (x, y)dy, (4.30) (x0, y0), където точката (x0, y0) е някаква фиксирана точка от G, (x, y) е текущата точка в G, а криволинейният интеграл се взема по всяка крива, свързваща точките (x0, y0) и (x, y) и лежаща изцяло в областта G. Ако уравнението ( 4.29) е уравнението