, стр. 6

11 Основни функции на комплексна променлива

Припомнете си дефиницията на комплексния показател - . Тогава

Разширение на серията Maclaurin. Радиусът на сходимост на този ред е +∞, което означава, че комплексният показател е аналитичен в цялата комплексна равнина и

(exp z)"=exp z; exp 0=1. (2)

Първото равенство тук следва, например, от теоремата за член по член диференциране на степенен ред.

11.1 Тригонометрични и хиперболични функции

Синус на комплексна променливанаречена функция

Косинус на комплексна променливаима функция

Хиперболичен синус на комплексна променливасе определя така:

Хиперболичен косинус на комплексна променлива-- е функция

Отбелязваме някои свойства на нововъведените функции.

А.Ако x∈ ℝ, тогава cos x, sin x, ch x, sh x∈ ℝ.

б.Съществува следната връзка между тригонометрични и хиперболични функции:

cos iz=ch z; sin iz=ish z, ch iz=cos z; shiz=isinz.

Б. Основни тригонометрични и хиперболични тъждества:

cos 2 z+sin 2 z=1; ch 2 z-sh 2 z=1.

Доказателство за основното хиперболично тъждество.

Основен тригонометрична идентичностследва от ононианското хиперболично тъждество, когато се вземе предвид връзката между тригонометрични и хиперболични функции (виж свойство B)

Ж Формули за добавяне:

По-специално,

Д.За да се изчислят производните на тригонометрични и хиперболични функции, трябва да се приложи теоремата за член по член диференциране на степенен ред. Получаваме:

(cos z)"=-sin z; (sin z)"=cos z; (ch z)"=sh z; (sh z)"=ch z.

д.Функциите cos z, ch z са четни, докато функциите sin z, sh z са нечетни.

Ж. (Периодичност)Функцията e z е периодична с период 2π i. Функциите cos z, sin z са периодични с период 2π, а функциите ch z, sh z са периодични с период 2πi. Освен това,

Прилагайки формулите за сбор, получаваме

У. Разлагане на реални и имагинерни части:

Ако еднозначна аналитична функция f(z) биективно нанася област D върху област G, тогава D се нарича област на еднозначност.

И.Област D k =( x+iy | 2π k≤ y<2π (k+1)} для любого целого k является областью однолистности функции e z , которая отображает ее на область ℂ* .

Доказателство. Съотношението (5) предполага, че картографирането exp:D k → ℂ е инективно. Нека w е всяко ненулево комплексно число. След това, решаване на уравненията e x =|w| и e iy =w/|w| с реални променливи x и y (избираме y от полуинтервала); понякога взети под внимание ... ... Енциклопедичен речник F.A. Brockhaus и I.A. Ефрон

Функции, обратни на хиперболични функции (Виж Хиперболични функции) sh x, ch x, th x; те се изразяват с формули (прочетете: хиперболичен аренсин, хиперболичен площ косинус, арентангенс ... ... Велика съветска енциклопедия

Функции, обратни на хиперболичните. функции; изразени във формули... Естествени науки. енциклопедичен речник

Обратните хиперболични функции се дефинират като обратни на хиперболичните функции. Тези функции определят площта на единичния хиперболен сектор x2 − y2 = 1 по същия начин, по който обратните тригонометрични функции определят дължината ... ... Wikipedia

Книги

• Хиперболични функции , Янполски А. Р. Книгата описва свойствата на хиперболичните и обратните хиперболични функции и дава връзката между тях и други елементарни функции. Приложения на хиперболични функции към...

Може да се запише в параметрична форма с помощта на хиперболични функции (това обяснява името им).

Означаваме y= b·sht , тогава x2 / a2=1+sh2t =ch2t . Откъдето x=± a·cht .

Така стигаме до следните параметрични уравнения на хиперболата:

Y= в sht , –< t < . (6)

Ориз. един.

Знакът "+" в горната формула (6) съответства на десния клон на хиперболата, а знакът ""– "" съответства на левия клон (виж фиг. 1). Върховете на хиперболата A(– a; 0) и B(a; 0) съответстват на стойността на параметъра t=0.

За сравнение можем да дадем параметричните уравнения на елипса, използвайки тригонометрични функции:

X=разход,

Y=in sint , 0 t 2p . (7)

3. Очевидно функцията y=chx е четна и приема само положителни стойности. Функцията y=shx е странна, защото :

Функциите y=thx и y=cthx са нечетни като частни на четна и нечетна функция. Имайте предвид, че за разлика от тригонометричните функции, хиперболичните функции не са периодични.

4. Нека проучим поведението на функцията y= cthx в околността на точката на прекъсване x=0:

Така оста y е вертикалната асимптота на графиката на функцията y=cthx. Нека дефинираме наклонени (хоризонтални) асимптоти:

Следователно правата y=1 е дясната хоризонтална асимптота на графиката на функцията y=cthx . Поради нечетността на тази функция, нейната лява хоризонтална асимптота е правата линия y= –1. Лесно е да се покаже, че тези линии са едновременно асимптоти за функцията y=thx. Функциите shx и chx нямат асимптоти.

2) (chx)"=shx (показва се по подобен начин).

4)

Съществува и известна аналогия с тригонометричните функции. Пълна таблица на производните на всички хиперболични функции е дадена в раздел IV.

Тангенс, котангенс

Дефиниции на хиперболични функции, техните области на дефиниции и стойности

ш х- хиперболичен синус
, -∞ < x < +∞; -∞ < y < +∞ .
ch x- хиперболичен косинус
, -∞ < x < +∞; 1 ≤ y< +∞ .
Мерси- хиперболичен тангенс
, -∞ < x < +∞; - 1 < y < +1 .
cth x- хиперболичен котангенс
, x ≠ 0; г< -1 или y > +1 .

Графики на хиперболични функции

График на хиперболичния синус y = ш х

График на хиперболичния косинус y = ch x

График на хиперболичния тангенс y= Мерси

График на хиперболичния котангенс y= cth x

Формули с хиперболични функции

Връзка с тригонометрични функции

sin iz = i sh z ; cos iz = ch z
sh iz = i sin z; ch iz = cos z
tgiz = i th z ; ctg iz = - i cth z
th iz = i tg z ; cth iz = - i ctg z
Тук i е въображаема единица, i 2 = - 1 .

Прилагайки тези формули към тригонометрични функции, получаваме формули, свързващи хиперболични функции.

Паритет

sh(-x) = - sh x; ch(-x) = ch x.
th(-x) = -th x; cth(-x) = - cth x.

функция ch(x)- дори. Функции sh(x), Мерси), cth(x)- странно.

Разлика на квадратите

ch 2 x - sh 2 x = 1.

Формули за сбор и разлика на аргументи

sh(x y) = sh x ch y ch x sh y,
ch(x y) = ch x ch y sh x sh y,
,
,

sh 2 x = 2 sh x ch x,
ch 2 x = ch 2 x + sh 2 x = 2 ch 2 x - 1 = 1 + 2 sh 2 x,
.

Формули за произведения на хиперболичен синус и косинус

,
,
,

,
,
.

Формули за сбор и разлика на хиперболични функции

,
,
,
,
.

Връзка на хиперболичен синус и косинус с тангенс и котангенс

, ,
, .

Деривати

,

Интеграли от sh x, ch x, th x, cth x

,
,
.

Разширения в серии

Обратни функции

Ареасинус

При - ∞< x < ∞ и - ∞ < y < ∞ имеют место формулы:
,
.

Ареакосинус

При 1 ≤ x< ∞ и 0 ≤ y< ∞ има формули:
,
.

Вторият клон на арекосинуса се намира на 1 ≤ x< ∞ и - ∞< y ≤ 0 :
.

Повърхностна допирателна

на - 1 < x < 1 и - ∞< y < ∞ имеют место формулы:
,

Заедно с връзката между тригонометрични и експоненциални функции, които открихме в комплексната област (формули на Ойлер)

в сложната област има много проста връзка между тригонометрични и хиперболични функции.

Припомнете си, че според определението:

Ако в тъждеството (3) заменим с тогава от дясната страна получаваме същия израз, който е от дясната страна на тъждеството, от което следва равенството на левите страни. Същото важи и за тъждествата (4) и (2).

Разделяйки двете части на идентичността (6) на съответните части на идентичността (5) и обратно (5) чрез (6), получаваме:

Подобна замяна в идентичности (1) и (2) и сравнение с идентичности (3) и (4) дава:

И накрая, от идентичностите (9) и (10) намираме:

Ако поставим идентичности (5) - (12), където x е реално число, т.е. считаме аргумента за чисто въображаем, тогава получаваме още осем идентичности между тригонометричните функции на чисто въображаем аргумент и съответните хиперболични функции на реален аргумент, както и между хиперболични функции на чисто въображаем въображаем аргумент и съответните тригонометрични функции на реалния аргумент:

Получените отношения позволяват да се премине от тригонометрични функции към хиперболични и от

хиперболични функции към тригонометрични със замяната на имагинерния аргумент с реалния. Те могат да бъдат формулирани като следното правило:

За да преминете от тригонометрични функции на въображаем аргумент към хиперболични или, обратно, от хиперболични функции на въображаем аргумент към тригонометрични, трябва да извадите въображаемата единица от знака на функцията за синус и тангенс и да я изхвърлите напълно за косинуса.

Установената връзка е забележителна по-специално с това, че позволява да се получат всички отношения между хиперболични функции от известни отношения между тригонометрични функции чрез заместване на последните с хиперболични функции

Нека покажем как е. се прави.

Вземете за пример основната тригонометрична идентичност

и поставете в него, където x е реално число; получаваме:

Ако в това тъждество заместим синуса и косинуса с хиперболичния синус и косинус съгласно формулите, тогава получаваме или и това е основното тъждество между предварително получените по различен начин.

По същия начин можете да изведете всички други формули, включително формули за хиперболичните функции на сумата и разликата на аргументи, двойни и половин аргументи и т.н., като по този начин от обикновената тригонометрия получавате "хиперболична тригонометрия".