Онлайн калкулатор.
Решение на триъгълници.

Решението на триъгълник е намирането на всичките му шест елемента (т.е. три страни и три ъгъла) от всеки три дадени елемента, които определят триъгълника.

Тази математическа програма намира страна \(c \), ъгли \(\alpha \) и \(\beta \) при зададени от потребителя страни \(a, b \) и ъгъла между тях \(\gamma \)

Програмата не само дава отговор на проблема, но също така показва процеса на намиране на решение.

Този онлайн калкулатор може да бъде полезен за ученици от гимназията общообразователни училищав подготовка за контролна работаи изпити, при проверка на знанията преди изпит, родителите да контролират решаването на много задачи по математика и алгебра. Или може би ви е твърде скъпо да наемете учител или да закупите нови учебници? Или просто искате да го направите възможно най-скоро? домашна работаматематика или алгебра? В този случай можете да използвате и нашите програми с подробно решение.

По този начин можете да провеждате собствено обучение и/или обучение на вашите по-малки братя или сестри, като същевременно се повишава нивото на образование в областта на задачите, които трябва да се решават.

Ако не сте запознати с правилата за въвеждане на числа, препоръчваме ви да се запознаете с тях.

Правила за въвеждане на числа

Числата могат да се задават не само цели, но и дробни.
Целите и дробните части в десетичните дроби могат да бъдат разделени с точка или запетая.
Например можете да въведете десетични знацитака 2.5 или така 2.5

Въведете страните \(a, b \) и ъгъла между тях \(\gamma \) Решете триъгълника

Установено е, че някои скриптове, необходими за решаването на тази задача, не са се заредили и програмата може да не работи.
Може да сте активирали AdBlock.
В този случай го деактивирайте и опреснете страницата.

Имате деактивиран JavaScript в браузъра си.
JavaScript трябва да е активиран, за да се появи решението.
Ето инструкции как да активирате JavaScript във вашия браузър.

защото Има много хора, които искат да решат проблема, вашата заявка е на опашка.
След няколко секунди решението ще се появи по-долу.
Моля изчакайте сек...

Ако ти забеляза грешка в решението, тогава можете да пишете за това във формата за обратна връзка.
Не забравяй посочете коя задачавие решавате какво въведете в полетата.

Нашите игри, пъзели, емулатори:

Малко теория.

Синусова теорема

Теорема

Страните на триъгълника са пропорционални на синусите на противоположните ъгли:
$$ \frac(a)(\sin A) = \frac(b)(\sin B) = \frac(c)(\sin C) $$

Косинусова теорема

Теорема
Нека в триъгълник ABC AB = c, BC = a, CA = b. Тогава
Страничен квадрат на триъгълник е равно на суматаквадрати на другите две страни минус два пъти произведението на тези страни, умножено по косинуса на ъгъла между тях.
$$ a^2 = b^2+c^2-2ba \cos A $$

Решаване на триъгълници

Решението на триъгълник е намирането на всичките му шест елемента (т.е. три страни и три ъгъла) от всеки три дадени елемента, които определят триъгълника.

Разгледайте три задачи за решаване на триъгълник. В този случай ще използваме следното обозначение за страните на триъгълника ABC: AB = c, BC = a, CA = b.

Решение на триъгълник с две страни и ъгъл между тях

Дадено е: \(a, b, \ъгъл C \). Намерете \(c, \ъгъл A, \ъгъл B \)

Решение
1. По закона на косинусите намираме \(c\):

$$ c = \sqrt( a^2+b^2-2ab \cos C ) $$ 2. Използвайки косинусовата теорема, имаме:
$$ \cos A = \frac( b^2+c^2-a^2 )(2bc) $$

3. \(\ъгъл B = 180^\circ -\ъгъл A -\ъгъл C \)

Решение на триъгълник със страна и прилежащи ъгли

Дадено е: \(a, \ъгъл B, \ъгъл C \). Намерете \(\ъгъл A, b, c \)

Решение
1. \(\ъгъл A = 180^\circ -\ъгъл B -\ъгъл C \)

2. Използвайки синусовата теорема, изчисляваме b и c:
$$ b = a \frac(\sin B)(\sin A), \quad c = a \frac(\sin C)(\sin A) $$

Решаване на триъгълник с три страни

Дадено е: \(a, b, c\). Намерете \(\ъгъл A, \ъгъл B, \ъгъл C \)

Решение
1. Според косинусовата теорема получаваме:
$$ \cos A = \frac(b^2+c^2-a^2)(2bc) $$

Чрез \(\cos A \) намираме \(\ъгъл A \) с помощта на микрокалкулатор или от таблица.

2. По същия начин намираме ъгъл B.
3. \(\ъгъл C = 180^\circ -\ъгъл A -\ъгъл B \)

Решаване на триъгълник с две страни и ъгъл срещу известна страна

Дадено е: \(a, b, \ъгъл A\). Намерете \(c, \ъгъл B, \ъгъл C \)

Решение
1. По синусовата теорема намираме \(\sin B \) получаваме:
$$ \frac(a)(\sin A) = \frac(b)(\sin B) \Rightarrow \sin B = \frac(b)(a) \cdot \sin A $$

Нека въведем обозначението: \(D = \frac(b)(a) \cdot \sin A \). В зависимост от числото D са възможни следните случаи:
Ако D > 1, такъв триъгълник не съществува, т.к \(\sin B \) не може да бъде по-голямо от 1
Ако D = 1, има уникален \(\angle B: \quad \sin B = 1 \Rightarrow \angle B = 90^\circ \)
Ако D Ако D 2. \(\ъгъл C = 180^\circ -\ъгъл A -\ъгъл B \)

3. Използвайки синусовата теорема, изчисляваме страната c:
$$ c = a \frac(\sin C)(\sin A) $$

Книги (учебници) Резюмета на Единния държавен изпит и OGE тестове онлайн Игри, пъзели Графика на функциите Правописен речник на руския език Речник на младежкия жаргон Каталог на руските училища Каталог на средните училища в Русия Каталог на руските университети Списък със задачи

Правоъгълен триъгълник се намира в действителност на почти всеки ъгъл. Познаването на свойствата на тази фигура, както и способността да изчислявате нейната площ, несъмнено ще ви бъдат полезни не само за решаване на задачи в геометрията, но и в житейски ситуации.

триъгълна геометрия

В елементарната геометрия правоъгълният триъгълник е фигура, която се състои от три свързани сегмента, които образуват три ъгъла (два остри и един прав). Правоъгълният триъгълник е оригинална фигура, характеризираща се с редица важни свойства, които формират основата на тригонометрията. За разлика от обикновения триъгълник, страните на правоъгълната фигура имат свои имена:

• Хипотенузата е най-дългата страна на триъгълник, която е срещуположна прав ъгъл.
• Крака - сегменти, които образуват прав ъгъл. В зависимост от разглеждания ъгъл катетът може да бъде съседен на него (образувайки този ъгъл с хипотенузата) или противоположен (лежащ срещу ъгъла). За неправоъгълните триъгълници няма катети.

Това е съотношението на краката и хипотенузата, което формира основата на тригонометрията: синусите, тангенсите и секантите се определят като съотношението на страните правоъгълен триъгълник.

Правоъгълен триъгълник в действителност

Тази цифра се използва широко в реалността. Триъгълниците се използват в дизайна и технологиите, така че изчисляването на площта на фигурата трябва да се извършва от инженери, архитекти и дизайнери. Основите на тетраедрите или призмите имат формата на триъгълник - триизмерни фигури, които лесно се срещат в ежедневието. В допълнение, квадратът е най-простото представяне на "плосък" правоъгълен триъгълник в действителност. Квадратът е шлосерски, чертожен, строителен и дърводелски инструмент, който се използва за изграждане на ъгли както от ученици, така и от инженери.

Площ на триъгълник

Квадрат геометрична фигура- това е количествено определянекаква част от равнината е ограничена от страните на триъгълника. Площта на обикновен триъгълник може да се намери по пет начина, като се използва формулата на Heron или се работи в изчисления с такива променливи като основа, страна, ъгъл и радиус на вписания или описан кръг. Повечето проста формулаплощ се изразява като:

където a е страната на триъгълника, h е неговата височина.

Формулата за изчисляване на площта на правоъгълен триъгълник е още по-проста:

където a и b са крака.

Работейки с нашия онлайн калкулатор, можете да изчислите площта на триъгълник, като използвате три двойки параметъра:

• два крака;
• крак и прилежащ ъгъл;
• крак и противоположен ъгъл.

В задачи или ежедневни ситуации ще ви бъдат дадени различни комбинации от променливи, така че тази форма на калкулатор ви позволява да изчислявате площта на триъгълник по няколко начина. Нека да разгледаме няколко примера.

Примери от реалния живот

Керамични плочки

Да речем, че искате да облицовате стените на кухнята с керамични плочки, които имат формата на правоъгълен триъгълник. За да определите потреблението на плочки, трябва да разберете площта на всеки елемент от облицовката и общата площ на повърхността, която ще се третира. Нека трябва да обработите 7 квадратни метра. Дължината на краката на един елемент е 19 см всеки, тогава площта на плочката ще бъде равна на:

Това означава, че площта на един елемент е 24,5 квадратни сантиметра или 0,01805 квадратни метра. Познавайки тези параметри, можете да изчислите, че за да завършите 7 квадратни метра стена, ще ви трябват 7 / 0,01805 = 387 облицовъчни плочки.

училищна задача

Нека влезе училищна задачав геометрията се изисква да се намери площта на правоъгълен триъгълник, като се знае само, че страната на единия крак е 5 см, а стойността на противоположния ъгъл е 30 градуса. Нашият онлайн калкулатор е придружен от илюстрация, показваща страните и ъглите на правоъгълен триъгълник. Ако страна a = 5 cm, тогава срещуположният й ъгъл е ъгълът alpha, равен на 30 градуса. Въведете тези данни във формата на калкулатора и получете резултата:

По този начин калкулаторът не само изчислява площта на даден триъгълник, но също така определя дължината на съседния крак и хипотенузата, както и стойността на втория ъгъл.

Заключение

Правоъгълните триъгълници се срещат в нашия живот буквално на всеки ъгъл. Определянето на площта на такива фигури ще ви бъде полезно не само при решаване на училищни задачи по геометрия, но и в ежедневните и професионални дейности.

Триъгълникът се нарича правоъгълен, ако един от неговите ъгли е 90º. Страната срещу правия ъгъл се нарича хипотенуза, а другите две са катети.

За намиране на ъгъла в правоъгълен триъгълник се използват някои свойства на правоъгълните триъгълници, а именно: фактът, че сборът от острите ъгли е 90º, както и фактът, че срещу катета, чиято дължина е половината от хипотенузата, лежи ъгъл, равен на 30º.

Бърза навигация по статии

Равнобедрен триъгълник

Едно от свойствата на равнобедрения триъгълник е, че два от неговите ъгли са равни. За да изчислите стойностите на ъглите на правоъгълен равнобедрен триъгълник, трябва да знаете, че:

• Правият ъгъл е 90º.
• Стойностите на острите ъгли се определят по формулата: (180º-90º)/2=45º, т.е. ъглите α и β са 45º.

Ако е известна стойността на един от острите ъгли, вторият може да се намери по формулата: β=180º-90º-α, или α=180º-90º-β. Най-често това съотношение се използва, ако един от ъглите е 60º или 30º.

Ключови понятия

Сборът от вътрешните ъгли на триъгълник е 180º. Тъй като единият ъгъл е прав, другите два ще бъдат остри. За да ги намерите, трябва да знаете, че:

други методи

Стойностите на острите ъгли на правоъгълен триъгълник могат да бъдат изчислени, като се знае стойността на медианата - линия, начертана от върха до противоположната страна на триъгълника, и височината - права линия, която е перпендикуляр, паднал от прав ъгъл към хипотенузата. Нека s е медианата, изтеглена от правия ъгъл до средата на хипотенузата, h е височината. В този случай се оказва, че:

• sinα=b/(2*s); sinβ=a/(2*s).
• cosα=a/(2*s); cos β=b/(2*s).
• sinα=h/b; sinβ=h/a.

Две страни

Ако дължините на хипотенузата и единия от краката или двете страни са известни в правоъгълен триъгълник, тригонометричните идентичности се използват за намиране на стойностите на острите ъгли:

• α=arcsin(a/c), β=arcsin(b/c).
• α=arcos(b/c), β=arcos(a/c).
• α=arctg(a/b), β=arctg(b/a).

Първите са сегменти, които са съседни на правия ъгъл, а хипотенузата е най-дългата част от фигурата и е срещу ъгъла от 90 градуса. Питагоровият триъгълник е този, чиито страни са равни естествени числа; техните дължини в този случай се наричат ​​"питагорова тройка".

египетски триъгълник

За да може сегашното поколение да научи геометрията във формата, в която се преподава в училище сега, тя е разработвана в продължение на няколко века. Основната точка е Питагоровата теорема. Страните на правоъгълника са известни на целия свят) са 3, 4, 5.

Малко хора не са запознати с израза " Питагорови панталониравни във всички посоки." Всъщност обаче теоремата звучи така: c 2 (квадратът на хипотенузата) \u003d a 2 + b 2 (сумата от квадратите на краката).

Сред математиците триъгълник със страни 3, 4, 5 (cm, m и т.н.) се нарича "египетски". Интересно е, че вписаното във фигурата е равно на единица. Името възниква около 5 век пр.н.е., когато гръцки философи пътуват до Египет.

При построяването на пирамидите архитектите и геодезистите са използвали съотношението 3:4:5. Такива структури се оказаха пропорционални, приятни за гледане и просторни, а също така рядко се срутваха.

За да изградят прав ъгъл, строителите използвали въже, на което били вързани 12 възела. В този случай вероятността да се построи правоъгълен триъгълник се увеличи до 95%.

Знаци за равенство на фигури

• Остър ъгъл в правоъгълен триъгълник и голяма страна, които са равни на същите елементи във втория триъгълник, е безспорен знак за равенство на фигурите. Като се вземе предвид сумата от ъглите, лесно се доказва, че вторите остри ъгли също са равни. Така триъгълниците са еднакви по втория критерий.
• Когато две фигури се наслагват една върху друга, ние ги завъртаме по такъв начин, че когато се комбинират, те стават един равнобедрен триъгълник. Според свойствата си страните, или по-скоро хипотенузите, са равни, както и ъглите в основата, което означава, че тези фигури са еднакви.

По първия знак е много лесно да се докаже, че триъгълниците наистина са равни, основното е, че двете по-малки страни (т.е. краката) са равни една на друга.

Триъгълниците ще бъдат еднакви според знака II, чиято същност е равенството на крака и острия ъгъл.

Свойства на правоъгълен триъгълник

Височината, която е спусната под прав ъгъл, разделя фигурата на две равни части.

Страните на правоъгълен триъгълник и неговата медиана са лесни за разпознаване по правилото: медианата, която се спуска към хипотенузата, е равна на половината от нея. може да се намери както по формулата на Херон, така и по твърдението, че е равно на половината от произведението на краката.

В правоъгълен триъгълник се прилагат свойствата на ъглите 30 o, 45 o и 60 o.

• При ъгъл, който е 30 °, трябва да се помни, че противоположният крак ще бъде равен на 1/2 от най-голямата страна.
• Ако ъгълът е 45 o, тогава вторият остър ъгълсъщо 45 o. Това предполага, че триъгълникът е равнобедрен и краката му са еднакви.
• Свойството на ъгъл от 60 градуса е, че третият ъгъл има мярка 30 градуса.

Районът се намира лесно по една от трите формули:

1. през височината и страната, на която се спуска;
2. по формулата на Херон;
3. по страните и ъгъла между тях.

Страните на правоъгълен триъгълник, или по-скоро краката, се събират с две височини. За да се намери третият, е необходимо да се вземе предвид полученият триъгълник и след това, използвайки теоремата на Питагор, да се изчисли необходимата дължина. В допълнение към тази формула има и отношението на удвоената площ и дължината на хипотенузата. Най-често срещаният израз сред учениците е първият, тъй като изисква по-малко изчисления.

Теореми, приложими към правоъгълен триъгълник

Геометрията на правоъгълен триъгълник включва използването на теореми като:

В математиката, когато се разглежда триъгълник, непременно се обръща голямо внимание на неговите страни. Тъй като тези елементи образуват тази геометрична фигура. Страните на триъгълника се използват за решаване на много геометрични задачи.

Определение на понятието

Отсечките, свързващи три точки, които не лежат на една права линия, се наричат ​​страни на триъгълника. Разглежданите елементи ограничават част от равнината, която се нарича вътрешност на дадена геометрична фигура.

Математиците в своите изчисления допускат обобщения относно страните на геометричните фигури. И така, в изроден триъгълник три от неговите сегменти лежат на една права линия.

Характеристики на концепцията

Изчисляването на страните на триъгълника включва определянето на всички останали параметри на фигурата. Познавайки дължината на всеки от тези сегменти, можете лесно да изчислите периметъра, площта и дори ъглите на триъгълника.

Ориз. 1. Произволен триъгълник.

Като сумирате страните на тази фигура, можете да определите периметъра.

P=a+b+c, където a, b, c са страните на триъгълника

И за да намерите площта на триъгълник, тогава трябва да използвате формулата на Heron.

$$S=\sqrt(p(p-a)(p-b)(p-c))$$

Където p е полупериметърът.

Ъглите на дадена геометрична фигура се изчисляват чрез косинусовата теорема.

$$cos α=((b^2+c^2-a^2)\over(2bc))$$

Значение

Чрез съотношението на страните на триъгълника се изразяват някои свойства на тази геометрична фигура:

• Срещу най-малката страна на триъгълника е неговият най-малък ъгъл.
• Външният ъгъл на разглежданата геометрична фигура се получава чрез удължаване на една от страните.
• Срещу равни ъгли на триъгълник са равни страни.
• Във всеки триъгълник една от страните винаги е по-голяма от разликата на другите два сегмента. И сумата от кои да е две страни на тази фигура е по-голяма от третата.

Един от признаците за равенство на два триъгълника е съотношението на сумата от всички страни на геометрична фигура. Ако тези стойности са еднакви, тогава триъгълниците ще бъдат равни.

Някои свойства на триъгълника зависят от неговия тип. Следователно, първо трябва да вземете предвид размера на страните или ъглите на тази фигура.

Образуване на триъгълници

Ако двете страни на разглежданата геометрична фигура са еднакви, тогава този триъгълник се нарича равнобедрен.

Ориз. 2. Равнобедрен триъгълник.

Когато всички сегменти в триъгълник са равни, получавате равностранен триъгълник.

Ориз. 3. Равностранен триъгълник.

Всяко изчисление е по-удобно за извършване в случаите, когато произволен триъгълник може да бъде приписан на определен тип. Оттогава намирането на необходимия параметър на тази геометрична фигура ще бъде значително опростено.

Въпреки че правилно избраното тригонометрично уравнение ви позволява да решавате много задачи, в които се разглежда произволен триъгълник.

Какво научихме?

Три отсечки, които са свързани с точки и не принадлежат на една и съща права, образуват триъгълник. Тези страни образуват геометрична равнина, която се използва за определяне на площта. С помощта на тези сегменти можете да намерите много важни характеристики на фигура, като периметър и ъгли. Съотношението на страните на триъгълника помага да се намери неговият тип. Някои свойства на дадена геометрична фигура могат да се използват само ако са известни размерите на всяка от нейните страни.

Тематическа викторина

Рейтинг на статията

Среден рейтинг: 4.3. Общо получени оценки: 142.