Формули за обем на фигури на въртене около ос. Изчисляване на обемите на телата на въртене с помощта на определен интеграл. Изчисляване на обема на тяло, образувано от въртенето на плоска фигура около ос

Използване на интеграли за намиране на обеми на въртеливото тяло

Практическата полезност на математиката се дължи на факта, че без

специфични математически знания, е трудно да се разберат принципите на устройството и употребата модерна технология. Всеки човек в живота си трябва да извършва доста сложни изчисления, да използва често използвано оборудване, да намира необходимите формули в справочници и да съставя прости алгоритми за решаване на проблеми. AT модерно обществоповече специалности, изискващи високо нивообразованието е свързано с прякото приложение на математиката. Така за ученик математиката се превръща в професионално значим предмет. Водещата роля принадлежи на математиката във формирането на алгоритмично мислене, възпитава способността да се действа по даден алгоритъм и да се проектират нови алгоритми.

Изучавайки темата за използването на интеграла за изчисляване на обемите на телата на революция, предлагам на учениците в факултативните часове да разгледат темата: „Обеми на телата на революция с помощта на интеграли“. Ето някои насоки за справяне с тази тема:

1. Площта на плоска фигура.

От курса по алгебра знаем, че практическите проблеми са довели до концепцията за определен интеграл..gif" width="88" height="51">.jpg" width="526" height="262 src=">

https://pandia.ru/text/77/502/images/image006_95.gif" width="127" height="25 src=">.

За да намерим обема на въртящо се тяло, образувано от въртенето на криволинеен трапец около оста Ox, ограничено от начупена линия y=f(x), оста Ox, прави x=a и x=b, изчисляваме по формулата

https://pandia.ru/text/77/502/images/image008_26.jpg" width="352" height="283 src=">Y

3. Обемът на цилиндъра.

https://pandia.ru/text/77/502/images/image011_58.gif" width="85" height="51">..gif" width="13" height="25">..jpg" width="401" height="355">Конусът се получава чрез завъртане правоъгълен триъгълник ABC(C=90) около оста Ox, на която лежи кракът AC.

Отсечката AB лежи на правата y=kx+c, където https://pandia.ru/text/77/502/images/image019_33.gif" width="59" height="41 src=">.

Нека a=0, b=H (H е височината на конуса), тогава Vhttps://pandia.ru/text/77/502/images/image021_27.gif" width="13" height="23 src= ">.

5. Обемът на пресечен конус.

Чрез въртене може да се получи пресечен конус правоъгълен трапец ABCD (CDOx) около оста Ox.

Отсечката AB лежи на правата y=kx+c, където , c=r.

Тъй като правата минава през точката A (0; r).

Така правата линия изглежда така https://pandia.ru/text/77/502/images/image027_17.gif" width="303" height="291 src=">

Нека a=0, b=H (H е височината на пресечения конус), тогава https://pandia.ru/text/77/502/images/image030_16.gif" width="36" height="17 src ="> = .

6. Обемът на топката.

Топката може да бъде получена чрез завъртане на кръг с център (0;0) около оста x. Полукръгът, разположен над оста x, е даден от уравнението

https://pandia.ru/text/77/502/images/image034_13.gif" width="13" height="16 src=">x R.

Тема: "Изчисляване на обемите на телата на въртене с помощта на определен интеграл"

Тип урок:комбинирани.

Целта на урока:научете се да изчислявате обемите на телата на въртене с помощта на интеграли.

Задачи:

консолидирайте способността да избирате криволинейни трапеци от ред геометрични формии отработи умение за изчисляване на площите на криволинейни трапеци;

запознават се с понятието триизмерна фигура;

научете се да изчислявате обемите на телата на въртене;

допринасят за развитието логично мислене, компетентна математическа реч, точност при изграждането на чертежи;

да култивира интерес към предмета, да оперира с математически понятия и образи, да култивира волята, независимостта, постоянството в постигането на крайния резултат.

По време на часовете

I. Организационен момент.

Групов поздрав. Съобщение на учениците за целите на урока.

Бих искал да започна днешния урок с една притча. „Имало един мъдър човек, който знаел всичко. Един човек искаше да докаже, че мъдрецът не знае всичко. Стискайки пеперудата в ръцете си, той попита: "Кажи ми, мъдрец, коя пеперуда е в ръцете ми: мъртва или жива?" А самият той си мисли: „Ако каже живата, ще я убия, ако каже мъртвата, ще я пусна.” Мъдрецът, след като помисли, отговори: „Всичко е във вашите ръце“.

Затова нека днес да работим ползотворно, да придобием нов запас от знания и ще приложим придобитите умения и способности в по-късен живот и в практически дейности. „Всичко е във вашите ръце.“

II. Повторение на предварително изучен материал.

Нека си припомним основните моменти от изучения по-рано материал. За да направим това, ще изпълним задачата „Изтриване на допълнителната дума“.

(Учениците казват допълнителна дума.)

Правилно "Диференциал".Опитайте с останалите думи да назовете една обща дума. (Интегрално смятане.)

Нека си припомним основните етапи и концепции, свързани с интегралното смятане.

Упражнение.Възстановяване на пропуски. (Ученикът излиза и пише с маркер необходими думи.)

Работа в тетрадки.

Изведена е формулата на Нютон-Лайбниц английски физикИсак Нютон (1643-1727) и немският философ Готфрид Лайбниц (1646-1716). И това не е изненадващо, защото математиката е езикът, на който говори самата природа.

Помислете как тази формула се използва при решаване на практически задачи.

Пример 1: Изчислете площта на фигура, ограничена от линии

Решение:Да надграждаме координатна равнинафункционални графики . Изберете областта на фигурата, която да намерите.

III. Учене на нов материал.

Обърнете внимание на екрана. Какво е показано на първата снимка? (Фигурата показва плоска фигура.)

Какво е показано на втората снимка? Тази фигура плоска ли е? (Фигурата показва триизмерна фигура.)

В космоса, на земята и в ежедневието се срещаме не само с плоски фигури, но и с триизмерни, но как да изчислим обема на такива тела? Например: обемът на планета, комета, метеорит и др.

Те мислят за обема, когато строят къщи и преливат вода от един съд в друг. Трябваше да възникнат правила и методи за изчисляване на обемите, друго е колко точни и обосновани бяха те.

1612 г. е за жителите австрийски градЛинц, където е живял тогава известният астроном Йоханес Кеплер, е много продуктивен, особено за грозде. Хората приготвяха бъчви за вино и искаха да знаят как на практика да определят обемите им.

Така разглежданите трудове на Кеплер поставят началото на цял поток от изследвания, чиято кулминация е през последната четвърт на 17 век. дизайн в произведенията на И. Нютон и Г.В. Диференциално и интегрално смятане на Лайбниц. Оттогава математиката на величините променливи заема водещо място в системата на математическите знания.

Така че днес ще се занимаваме с такива практически дейности, следователно,

Темата на нашия урок: "Изчисляване на обемите на телата на революция с помощта на определен интеграл."

Ще научите определението за тяло на въртене, като изпълните следната задача.

"Лабиринт".

Упражнение.Намерете изход от конфузната ситуация и запишете определението.

IVИзчисляване на обеми.

Използвайки определен интеграл, можете да изчислите обема на тялото, по-специално на тялото на въртене.

Тялото на въртене е тяло, получено чрез въртене на криволинейния трапец около основата му (фиг. 1, 2)

Обемът на тялото на въртене се изчислява по една от формулите:

1. около оста x.

2. , ако въртенето на криволинейния трапец около оста y.

Учениците записват основните формули в тетрадка.

Учителят обяснява решението на примерите на дъската.

1. Намерете обема на тялото, получено при въртене около оста y на криволинейния трапец, ограничен от линии: x2 + y2 = 64, y = -5, y = 5, x = 0.

Решение.

Отговор: 1163 cm3.

2. Намерете обема на тялото, получено чрез завъртане на параболичен трапец около абсцисната ос y = , x = 4, y = 0.

Решение.

V. Математически симулатор.

2. Множеството от всички първоизводни на дадена функция се нарича

НО) неопределен интеграл,

Б) функция,

Б) диференциация.

7. Намерете обема на тялото, получено чрез въртене около оста на абсцисата на криволинейния трапец, ограничен от линии:

D/Z. Фиксиране на нов материал

Изчислете обема на тялото, образувано от въртенето на венчелистчето около оста x y=x2, y2=x.

Нека начертаем графиките на функцията. y=x2, y2=x. Графиката y2 = x се трансформира във вида y = .

Имаме V = V1 - V2 Нека изчислим обема на всяка функция:

Заключение:

Определеният интеграл е един вид основа за изучаване на математиката, която има незаменим принос за решаването на проблеми с практическо съдържание.

Темата "Интеграл" нагледно демонстрира връзката между математиката и физиката, биологията, икономиката и технологиите.

развитие съвременна науканемислимо без използването на интеграла. В тази връзка е необходимо да започнете да го изучавате в рамките на средата специално образование!

VI. Класиране.(С коментар.)

Великият Омар Хаям - математик, поет, философ. Той призовава да бъдем господари на съдбата си. Чуйте откъс от творчеството му:

Казвате, че този живот е само миг.
Оценявайте го, черпете вдъхновение от него.
Както го похарчиш, така ще мине.
Не забравяйте: тя е вашето творение.

Определение 3. Въртящо тяло е тяло, получено чрез въртене на плоска фигура около ос, която не пресича фигурата и лежи в една равнина с нея.

Оста на въртене също може да пресича фигурата, ако е оста на симетрия на фигурата.

Теорема 2.
, ос
и прави сегменти
и

се върти около ос
. Тогава обемът на полученото тяло на въртене може да се изчисли по формулата

(2)

Доказателство. За такова тяло сечението с абсцисата е кръг с радиус
, означава
и формула (1) дава желания резултат.

Ако фигурата е ограничена от графиките на две непрекъснати функции
и
, и сегменти от линия
и
, освен това
и
, то при въртене около абсцисната ос се получава тяло, чийто обем

Пример 3 Изчислете обема на тор, получен при въртене на окръжност, ограничена от окръжност

около оста x.

Р решение. Посочената окръжност е ограничена отдолу от графиката на функцията
, и отгоре -
. Разликата на квадратите на тези функции:

Желан обем

(графиката на интегранд е горният полукръг, така че интегралът, написан по-горе, е площта на полукръга).

Пример 4 Параболичен сегмент с основа
, и височина , се върти около основата. Изчислете обема на полученото тяло ("лимон" на Кавалиери).

Р решение. Поставете параболата, както е показано на фигурата. Тогава неговото уравнение
, и
. Нека намерим стойността на параметъра :
. И така, желаният обем:

Теорема 3. Нека криволинейният трапец е ограничен от графиката на непрекъсната неотрицателна функция
, ос
и прави сегменти
и
, освен това
, се върти около ос
. Тогава обемът на полученото тяло на въртене може да се намери по формулата

(3)

доказателствена идея. Разделяне на сегмента
точки

, на части и начертайте прави линии
. Целият трапец ще се разложи на ленти, които могат да се считат приблизително за правоъгълници с основа
и височина
.

Цилиндърът, получен в резултат на въртенето на такъв правоъгълник, се нарязва по протежение на генератора и се разгъва. Получаваме "почти" паралелепипед с размери:
,
и
. Обемът му
. Така че за обема на едно въртящо се тяло ще имаме приблизително равенство

За да получим точно равенство, трябва да преминем към границата при
. Сумата, написана по-горе, е интегралната сума за функцията
, следователно в границата получаваме интеграла от формула (3). Теоремата е доказана.

Забележка 1. В теореми 2 и 3 условието
може да се пропусне: формула (2) обикновено е нечувствителна към знака
, а във формула (3) е достатъчно
заменен от
.

Пример 5 Параболичен сегмент (основа
, височина ) се върти около височината. Намерете обема на полученото тяло.

Решение. Подредете параболата, както е показано на фигурата. И въпреки че оста на въртене пресича фигурата, тя - оста - е оста на симетрия. Следователно трябва да се вземе предвид само дясната половина на сегмента. Уравнение на парабола
, и
, означава
. Имаме за обем:

Забележка 2. Ако криволинейната граница на криволинейния трапец е дадена от параметричните уравнения
,
,
и
,
тогава формули (2) и (3) могат да се използват със замяната на
и
на
когато се промени Tот
преди .

Пример 6 Фигурата е ограничена от първата дъга на циклоидата
,
,
, и абсцисната ос. Намерете обема на тялото, получено при завъртане на тази фигура около: 1) оста
; 2) оси
.

Решение. 1) Обща формула
В нашия случай:

2) Обща формула
За нашата фигура:

Ние насърчаваме учениците сами да правят всички изчисления.

Забележка 3. Нека криволинеен сектор, ограничен от непрекъсната линия
и лъчи
,

, се върти около полярната ос. Обемът на полученото тяло може да се изчисли по формулата.

Пример 7 Част от фигура, ограничена от кардиоида
, лежащ извън кръга
, се върти около полярната ос. Намерете обема на полученото тяло.

Решение. И двете линии, а оттам и фигурата, която те ограничават, са симетрични спрямо полярната ос. Следователно е необходимо да се разгледа само частта, за която
. Кривите се пресичат при
и

при
. Освен това фигурата може да се разглежда като разликата на два сектора и следователно обемът може да се изчисли като разликата на два интеграла. Ние имаме:

Задачи за независимо решение.

1. Окръжен сегмент, чиято основа
, височина , се върти около основата. Намерете обема на тялото на въртене.

2. Намерете обема на параболоид на въртене, чиято основа , а височината е .

3. Фигура, ограничена от астроид
,
се върти около оста x. Намерете обема на тялото, което се получава в този случай.

4. Фигура, ограничена с линии
и
се върти около оста x. Намерете обема на тялото на въртене.

I. Обем на телата на въртене. Предварително изучете глава XII, стр. 197, 198, според учебника на Г. М. Фихтенгольц * Анализирайте подробно примерите, дадени в стр. 198.

508. Изчислете обема на тялото, образувано от въртенето на елипсата около оста x.

По този начин,

530. Намерете площта на повърхността, образувана от въртенето около оста Ox на дъгата на синусоидата y \u003d sin x от точката X \u003d 0 до точката X = It.

531. Изчислете повърхността на конус с височина h и радиус r.

532. Изчислете повърхността, образувана от

въртене на астроида x3 -) - y* - a3 около оста x.

533. Изчислете площта на повърхността, образувана от обръщането на цикъла на кривата 18 y-x(6-x)r около оста x.

534. Намерете повърхността на тора, получена от въртенето на окръжността X2 - j - (y-3)2 = 4 около оста x.

535. Изчислете площта на повърхността, образувана от въртенето на кръга X = a cost, y = asint около оста Ox.

536. Изчислете площта на повърхността, образувана от въртенето на цикъла на кривата x = 9t2, y = St - 9t3 около оста Ox.

537. Намерете площта на повърхността, образувана от въртенето на дъгата на кривата x = e * sint, y = el cost около оста Ox

от t = 0 до t = -.

538. Покажете, че повърхността, получена от въртенето на дъгата на циклоидата x = a (q> - sin φ), y = a (I - cos φ) около оста Oy, е равна на 16 u2 o2.

539. Намерете повърхността, получена при въртене на кардиоида около полярната ос.

540. Намерете площта на повърхността, образувана от въртенето на лемниската около полярната ос.

Допълнителни задачи към глава IV

Площи на равнинни фигури

541. Намерете цялата площ на област, ограничена от крива И ос О.

542. Намерете площта на областта, ограничена от кривата

И ос О.

543. Намерете частта от площта на региона, разположена в първия квадрант и ограничена от кривата

l координатни оси.

544. Намерете площта на областта, съдържаща се вътре

цикли:

545. Намерете площта на областта, ограничена от един цикъл на кривата:

546. Намерете площта на областта, съдържаща се вътре в цикъла:

547. Намерете площта на областта, ограничена от кривата

И ос О.

548. Намерете площта на областта, ограничена от кривата

И ос О.

549. Намерете площта на областта, ограничена от оста Oxr

права и крива

С изключение намиране на площта на плоска фигура с помощта на определен интеграл (виж 7.2.3.)най-важното приложение на темата е изчисляване на обема на въртеливото тяло. Материалът е прост, но читателят трябва да бъде подготвен: необходимо е да можете да решите неопределени интегралисредна сложност и приложете формулата на Нютон-Лайбниц в определен интеграл, nНеобходими са и добри умения за чертане. Като цяло има много интересни приложения в интегралното смятане; използвайки определен интеграл, можете да изчислите площта на фигура, обема на въртящо се тяло, дължината на дъга, повърхността на тялото и много повече. Представете си някои плоска фигурана координатната равнина. Представено? ... Сега тази фигура също може да се завърта, и то по два начина:

- около оста x ;

- около оста y .

Нека да разгледаме и двата случая. Вторият метод на въртене е особено интересен, той причинява най-големи трудности, но всъщност решението е почти същото като при по-често срещаното въртене около оста x. Нека започнем с най-популярния тип ротация.

Изчисляване на обема на тяло, образувано от въртенето на плоска фигура около ос ОХ

Пример 1

Изчислете обема на тялото, получено при завъртане на фигурата, ограничена с линии, около оста.

Решение:Както в проблема с намирането на областта, решението започва с чертеж на плоска фигура. Тоест в самолета XOYнеобходимо е да се изгради фигура, ограничена от линии, като не се забравя, че уравнението определя оста. Чертежът тук е доста прост:

Желаната плоска фигура е оцветена в синьо, тя е тази, която се върти около оста. В резултат на въртене се получава такава леко яйцевидна летяща чиния с два остри върха по оста. ОХ, симетричен спрямо оста ОХ. Всъщност тялото има математическо име, вижте в справочника.

Как да изчислим обема на въртеливото тяло? Ако тялото е образувано в резултат на въртене около осОХ, мислено се разделя на успоредни слоеве с малка дебелина dxкоито са перпендикулярни на оста ОХ. Обемът на цялото тяло очевидно е равен на сумата от обемите на такива елементарни слоеве. Всеки слой, подобно на кръгъл резен лимон, е висок нисък цилиндър dxи с основен радиус f(х). Тогава обемът на един слой е произведението на основната площ π f 2 до височината на цилиндъра ( dx), или π∙ f 2 (х)∙dx. И площта на цялото тяло на революция е сумата от елементарни обеми или съответния определен интеграл. Обемът на въртеливото тяло може да се изчисли по формулата:

Как да зададете границите на интеграция "a" и "be" е лесно да се познае от завършения чертеж. Функция... каква е тази функция? Да погледнем чертежа. Плоската фигура е ограничена от параболата отгоре. Това е функцията, която се подразбира във формулата. В практически задачи понякога плоска фигура може да бъде разположена под оста ОХ. Това не променя нищо - функцията във формулата е на квадрат: f 2 (х), по този начин, обемът на тялото на въртене винаги е неотрицателен, което е съвсем логично. Изчислете обема на тялото на въртене, като използвате тази формула:

Както вече отбелязахме, интегралът почти винаги се оказва прост, основното е да бъдете внимателни.

Отговор:

В отговора е необходимо да посочите размерността - кубични единици. Тоест в нашето тяло на въртене има приблизително 3,35 "кубчета". Защо точно кубичен единици? Защото това е най-универсалната формула. Може да са кубични сантиметри, може Кубични метри, може би кубични километри и т.н., ето колко малки зелени човечета вашето въображение може да побере в една летяща чиния.

Пример 2

Намерете обема на тяло, образувано от въртене около ос ОХфигура, ограничена от линии , , .

Това е пример за „направи си сам“. Цялостно решениеи отговорът в края на урока.

Пример 3

Изчислете обема на тялото, получено при завъртане около абсцисната ос на фигурата, ограничена от линиите , , и .

Решение:Нека изобразим на чертежа плоска фигура, ограничена от линии , , , , като не забравяме, че уравнението х= 0 определя оста ой:

Желаната фигура е оцветена в синьо. Когато се върти около оста ОХсе оказва плосък ъглов багел (шайба с две конични повърхности).

Обемът на тялото на въртене се изчислява като разлика в обема на тялото. Първо, нека разгледаме фигурата, която е оградена в червено. Когато се върти около оста ОХкоето води до пресечен конус. Нека обозначим обема на този пресечен конус като V 1 .

Помислете за фигурата, която е оградена в зелено. Ако завъртим тази фигура около оста ОХ, тогава получавате и пресечен конус, само малко по-малък. Нека означим неговия обем с V 2 .

Очевидно разликата в обема V = V 1 - V 2 е обемът на нашата "поничка".

Използваме стандартната формула за намиране на обема на въртящо се тяло:

1) Фигурата, оградена в червено, е ограничена отгоре с права линия, следователно:

2) Фигурата, оградена в зелено, е ограничена отгоре с права линия, следователно:

3) Обемът на желаното тяло на въртене: