Правильні багатогранники з давніх часів привертали увагу філософів, будівельників, архітекторів, художників, математиків. Їх вражала краса, досконалість, гармонія цих постатей.

Правильний багатогранник – об'ємна опукла геометрична фігура, усі грані якої – однакові правильні багатокутники та всі багатогранні кути при вершинах рівні між собою. Існує безліч правильних багатокутників, але правильних багатогранників лише п'ять. Назви цих багатогранників прийшли з Стародавню Грецію, і в них вказується число (тетра - 4, гекса - 6, окта - 8, додека - 12, ікоса - 20) граней (едра).

Ці правильні багатогранники одержали назву платонових тіл на ім'я давньогрецького філософа Платона, який надавав їм містичний зміст, але були відомі вони і до Платона. Тетраедр уособлював вогонь, оскільки його вершина спрямована вгору, як у полум'я, що розгорілося; ікосаедр - як самий обтічний - воду; куб - найстійкіша з фігур - землю, а октаедр - повітря. Додекаедр ототожнювався з усього Всесвіту і вважався найголовнішим.

Правильні багатогранники зустрічаються у живій природі. Наприклад, скелет одноклітинного організму феодарії формою нагадує ікосаедр. Кристал піриту (сірчистого колчедану, FeS2) має форму додекаедра.

Тетраедр – правильна трикутна піраміда, і гексаедр – куб – фігури, з якими ми постійно зустрічаємо у реального життя. Щоб краще відчути форму інших платонових тіл, варто створити їх із щільного паперу або картону. Зробити плоску розгортку фігур нескладно. Створення правильних багатогранників надзвичайно цікаве самим процесом формоутворення.

Завершені та химерні форми правильних багатогранників широко використовуються у декоративному мистецтві. Об'ємні фігури можна зробити цікавішими, якщо плоскі правильні багатокутники уявити іншими фігурами, що вписуються в багатокутник. Наприклад: правильний п'ятикутник можна замінити зіркою. Така об'ємна фігура не матиме ребер. Зібрати її можна, пов'язуючи кінці променів зірок. І 10 зірок збирається плоска розгортка. Об'ємною фігура виходить після закріплення решти 2 зірок.

Якщо ваша дитина любить робити вироби своїми вмілими руками, запропонуйте їй зібрати об'ємну фігуру багатогранник додекаедр із плоских пластикових зірок. Результат роботи потішить вашу дитину: вона виготовить своїми руками оригінальну декоративну конструкцію, якою можна прикрасити дитячу кімнату. Але, найчудовіше – ажурна куля світиться у темряві. Пластикові зірки виготовлені з додаванням сучасної нешкідливої ​​речовини – люмінофора.

ГЕОМЕТРІЯ ПЛАТОНОВИХ ТІЛ

змін. від 24.06.2013 р - (доповнено)

До основних п'яти Платонових тіл відносяться: октаедр, зоряний тетраедр, куб, додекаедр, ікосаедр.

Кожен з геометричних патернів, будь то атомне ядро, Мікрокластери, глобальні грати або відстані між планетами, зірками, галактиками, є одним з п'яти основних "Платонових Твердих Тіл".

Чому такі патерни так часто виникають у природі? Один з перших натяків: математики знали, що ці форми мають більшу “симетрію”, ніж будь-яка тривимірна геометрія, яку ми можемо створювати.

З книги Роберта Лолора "Сакральна геометрія"ми можемо дізнатися, що індуси зводили геометрії Платонових Тіл у структуру октави, яку ми бачимо для звуку та світла (ноти та кольори). Грецький математик і філософ Піфагор, за допомогою процесу послідовного поділу частоти на п'ять, вперше розробив вісім чистих тонів октави, відомих як діатонічна шкала. Він узяв однострунний "монохорд", і виміряв точні довжини хвилі під час програвання різних нот. Піфагор показав, що частоту (або швидкість вібрації) кожної ноти можна подати у вигляді відношення між двома частинами струни, або двома числами, звідси і термін "діатонічні відносини".

Нижченаведена таблиця перераховує геометрію у визначеному порядку, ув'язавши її з числом спіралі фі(). Це дає повну та закінчену картину, як працюють разом різні вібрації. Вона заснована на присвоєння ребрам куба довжини, що дорівнює “ 1 ”. Потім ми порівнюємо з цією величиною ребра всіх інших форм, вони більші або менше. Ми знаємо, що у Платонових Тілах кожна грань має однакову форму, кожен кут ідентичний, кожен вузол знаходиться на однаковій відстані від інших вузлів, і кожна лінія має однакову довжину.

1 Сфера (немає граней) 2 Центральний ікосаедр 1/фі 2 3 Октаедр 1/ √2 4 Зірковий тетраедр √2 5 Куб 1 6 Додекаедр 1/фі 7 Ікосаедр фі 8 Сфера (немає граней)

Це допоможе зрозуміти, як за допомогою вібрацій спіралі фі платонові тіла поступово перетікають одне в інше.

БАГАТОМІРНІСТЬ ВСЕСВІТУ

Сама концепція зв'язку Платонових геометрій з вищими планами виникає тому, що вчені знають: там має бути геометрія; вони виявили це у рівняннях. Щоб забезпечити "більше простір" для появи невидимих ​​додаткових осей у "прихованих" 90 ° поворотах, потрібна наявність Платонових геометрій. У способі аналізу даних кожна грань геометричної форми являє собою різну вісь або план, в якому вона могла б обертатися. Коли ми починаємо розглядати роботи Фуллера і Дженні, ми бачимо, що ідея інших планів, що існують у “прихованих” 90° поворотах, - просто некоректне пояснення, яке ґрунтується на відсутності знання про “сакральні” зв'язки між геометрією та вібрацією.

Дуже схоже на те, що традиційні вчені так і не зрозуміють, що стародавні культури могли мати “втрачений зв'язок”, що суттєво спрощує та поєднує все сучасні теоріїфізики простору. Хоча може здатися неймовірним, що “примітивна” культура мала доступ до такого виду інформації, доказ є. Почитайте класичну книгу Прасада, бо зараз можна бачити, що ведичній космології властива наукова майстерність.

Думаєте, що ви бачите? - це вибухова зірка з пилом, що викидається з неї... Але тут явно є і якийсь вид енергетичного поля, що структурує пил у міру її розширення в дуже точний геометричний патерн:

Проблема в тому, що типові магнітні поля у традиційних фізичних моделях просто не дозволяють таку геометричну точність. Вчені справді не знають, як розуміти такі речі!

Нижченаведене зображення - це НОВА туманність, що є досконалим "квадратом". Однак це все ще двовимірне мислення. Що таке квадрат у трьох вимірах?
Звісно, ​​куб!

Туманність, що спостерігається в інфрачервоному діапазоні, нагадує гігантську сяючу коробку в небі з яскравим білим внутрішнім ядром. Вмираюча зірка MWC 922 знаходиться в центрі системи і викидає в простір начинки з протилежних полюсів. Після того, як MWC 922 випустить у простір більшу частину матеріалу, вона стискатиметься у щільне зіркове тіло, відоме як білий карлик, захований у хмарах своїх залишків.

Хоча віддалено можливо, що вибух зірки розповсюджується лише в одному напрямку, створюючи більше пірамідальну форму, те, що ви бачите, - це досконалий куб, який знаходиться у просторі. Оскільки всі чотири сторони куба мають однакову довжину і досконалі 90° кути один з одним, і знову, куб має структуровані "сходинки", які ми бачили на попередньому зображенні, вчені повністю спантеличені. Куб має ще більшу симетрію, ніж "прямокутна" туманність!

Такі патерни виникають у безмежності простору. Вони виникають і на крихітному рівні атомів і молекул, наприклад, у кубічній структурі звичайної кухонної солі або хлористого натрію. Ан Панг Цая (Японія) сфотографував квазікристали сплаву алюміній-мідь-залізо у формі додекаедра та сплаву алюміній-нікель-кобальт у формі декагональної (десятисторонньої) призми (див. фото). Проблема в тому що ви не можете створити такі кристали, користуючись одиничними зв'язаними разом атомами.

Інший приклад – конденсат Бозе-Ейнштейна. Коротко кажучи, конденсат Бозе-Ейнштейна – це велика група атомів, яка поводиться як окрема “частка”, у якій кожен її складовий одночасно займає весь простір і весь час у всій структурі. Виміряно, що всі атоми вібрують на одній і тій же частоті, рухаються з однаковою швидкістю і розташовані в одній області простору. Парадоксально, але різні частини системи діють як єдине ціле, втрачаючи всі ознаки індивідуальності. Саме така властивість потрібна для "надпровідника". Зазвичай конденсат Бозе-Ейнштейна може формуватися за вкрай низьких температур. Однак саме такі процеси ми спостерігаємо у мікрокластерах та квазікристалах, позбавлених індивідуальної атомної ідентичності.

Ще один подібний процес – дія світла лазера, відомого як “когерентне” світло. У просторі та часі весь лазерний промінь веде себе як одиничний "фотон", тобто, у лазерному промені неможливе виділення індивідуальних фотонів.

Більше того, наприкінці 1960-х років англійський фізикГерберт Фреліх припустив, що живі системи часто поводяться як конденсати Бозе-Ейнштейнатільки у великому масштабі.

Фотографії туманності пропонують приголомшливий видимий доказ того, що геометрія грає б обільшу роль у силах Всесвіту, чим може повірити більшість людей. Наші вчені можуть лише боротися за розуміння цього феномену в рамках традиційних моделей.

Стахов А.П.

«Код да Вінчі», Платонові та Архімедові тіла, квазікристали, фулерени, грати Пенроуза та художній світМатюшки Тейї Крашок

Анотація

Творчість словенської художниці Матюшки Тейї Крашек мало відома російськомовному читачеві. У той же час на Заході її називають «Східноєвропейським Ешером» та «Словенським подарунком» світовій культурній спільноті. Її художні композиції навіяні новітніми науковими відкриттями (фулеренами, квазікристалами Дана Шехтмана, плитками Пенроуза), які, у свою чергу, засновані на правильних та напівправильних багатокутниках (тілах Платона та Архімеда), Золотому перетині та числах Фібоначчі.

Що таке «Код да Вінчі»?

Напевно, кожна людина не раз замислювалася над питанням, чому Природа здатна створювати такі дивовижні гармонійні структури, які захоплюють і радують око. Чому художники, поети, композитори, архітектори створюють чудові витвори мистецтва із століття у століття. У чому ж секрет їхньої Гармонії та які закони лежать в основі цих гармонійних створінь?

Пошуки цих законів, "Законів Гармонії Світобудови", почалися ще в античній науці. Саме в цей період людської історії вчені приходять до ряду дивовижних відкриттів, які пронизують історію науки. Першим із них по праву вважається чудова математична пропорція, що виражає Гармонію. Її називають по-різному: "золота пропорція", "золоте число", "золоте середнє", "золотий перетин"і навіть "божественна пропорція".Золоте Перетин називається також числом PHIна честь великого давньогрецького скульптора Фідія (Phidius), який використав це число у своїх скульптурах.

Трилер «Код да Вінчі», написаний популярним англійським письменником Деном Брауном, став бестселером 21 століття. Але що означає «Код да Вінчі»? Існують різні відповіді це питання. Відомо, що знамените «Золоте Перетин» було предметом пильної уваги та захоплення Леонардо да Вінчі. Більше того, сама назва «Золоте Перетин» була введена в європейську культуру саме Леонардо да Вінчі. З ініціативи Леонардо знаменитий італійський математик і вчений чернець Лука Пачолі, друг і науковий радник Леонардо да Вінчі, опублікував книгу «Divina Proportione», перший у світовій літературі математичний твір про Золоте Перетин, який автор назвав «Божественною пропорцією». Відомо також, що сам Леонардо ілюстрував цю знамениту книгу, намалювавши до неї 60 чудових малюнків. Саме ці факти, які не дуже відомі широкому науковому загалу, дають право висунути гіпотезу про те, що «Код да Вінчі» – є ні що інше, як «Золоте Перетин». І підтвердження цієї гіпотези можна знайти у лекції для студентів Гарвардського університету, про яку згадує головний геройкниги "Код да Вінчі" проф. Ленгдон:

«Незважаючи на майже містичне походження, число PHI відіграло унікальну роль. Роль цегли у фундаменті побудови всього живого землі. Усі рослини, тварини і навіть людські істоти наділені фізичними пропорціями, Приблизно рівними кореню від співвідношення числа PHI до 1. Ця всюдисутність PHI в природі ... вказує на зв'язок всіх живих істот. Раніше вважали, що число PHI було зумовлено Творцем всесвіту. Вчені давнини називали одну цілу шістсот вісімнадцять тисячних «божественною пропорцією».

Таким чином, знамените ірраціональне число PHI = 1618, яке Леонардо да Вінчі назвав «Золотим Перетином», і є «Код да Вінчі»!

Іншим математичним відкриттям античної науки є правильні багатогранники, які отримали назву «Платонових тіл»і «напівправильні багатогранники», що отримали назву «Архімедових тіл».Саме ці напрочуд красиві просторові геометричні фігури лежать в основі двох найбільших наукових відкриттів 20-го століття – квазікристалів(автор відкриття – ізраїльський фізик Дан Шехтман) та фулеренів(Нобелівська премія 1996 р.). Ці два відкриття є найбільш вагомими підтвердженнями того факту, що саме Золота Пропорція є Універсальним Кодом Природи («Кодом да Вінчі»), який лежить в основі Світобудови.

Відкриття квазікристалів та фулеренів надихнули багатьох сучасних художників на створення творів, що відображають у художній формі найважливіші фізичні відкриття 20-го століття. Одним із таких художників є словенська художниця Матюшка Тейя Крашек.Ця стаття вводить у художній світ Матюшки Тейї Крашек крізь призму нових наукових відкриттів.

Платонові тіла

Людина виявляє інтерес до правильних багатокутників і багатогранників протягом усієї своєї свідомої діяльності – від дворічної дитини, яка грає дерев'яними кубиками, до зрілого математика. Деякі з правильних і напівправильних тіл зустрічаються у природі як кристалів, інші – як вірусів, які можна розглянути з допомогою електронного мікроскопа.

Що таке правильний багатогранник? Правильним називається такий багатогранник, усі грані якого рівні (або конгруентні) між собою і при цьому є правильними багатокутниками. Скільки ж є правильних багатогранників? На перший погляд, відповідь на це питання дуже проста – стільки ж, скільки існує правильних багатокутників. Однак, це не так. У «Початках Евкліда» ми бачимо суворий доказ те, що є лише п'ять опуклих правильних багатогранників, які гранями може лише три типу правильних багатокутників: трикутники, квадратиі пентагони (правильні п'ятикутники).

Теорії багатогранників присвячено багато книг. Однією з найвідоміших є книга англійського математика М. Венніджера «Моделі багатогранників». У російському перекладі ця книга опублікована видавництвом «Мир» у 1974 р. Епіграфом до книги обрано висловлювання Бертрана Рассела: «Математика володіє як істиною, а й високої красою – красою вигостреної і суворої, піднесено чистої і прагне до справжнього досконалості, властиве лише найбільшим зразкам мистецтва».

Книга починається з опису так званих правильних багатогранниківтобто багатогранників, утворених найпростішими правильними багатокутниками одного типу. Ці багатогранники прийнято називати Платоновими тілами(Мал. 1) , названими так на честь давньогрецького філософа Платона, який використовував правильні багатогранники у своїй космології.

Малюнок 1.Платонові тіла: (а) октаедр («Вогонь»), (б) гексаедр або куб («Земля»),

(в) октаедр («Повітря»), (г) ікосаедр («Вода»), (д) ​​додекаедр («Вселенський розум»)

Ми почнемо наш розгляд з правильних багатогранників, гранями яких є рівносторонні трикутники.Перший з них – це тетраедр(Рис.1-а). У тетраедрі три рівносторонні трикутники зустрічаються в одній вершині; у своїй їх підстави утворюють новий рівносторонній трикутник. Тетраедр має найменше числограней серед Платонових тіл і є тривимірним аналогом плоского правильного трикутникащо має найменшу кількість сторін серед правильних багатокутників.

Наступне тіло, що утворюється рівносторонніми трикутниками, називається октаедром(Рис.1-б). В октаедрі в одній вершині зустрічаються чотири трикутники; в результаті виходить піраміда з чотирикутною основою. Якщо з'єднати дві такі піраміди основами, то вийде симетричне тіло із вісьмома трикутними гранями – октаедр.

Тепер можна спробувати поєднати в одній точці п'ять рівносторонніх трикутників. В результаті вийде фігура з 20 трикутними гранями – ікосаедр(Рис.1-г).

Наступна правильна форма багатокутника – квадрат.Якщо з'єднати три квадрати в одній точці і додати ще три, ми отримаємо досконалу формуз шістьма гранями, звану гексаедромабо кубом(Мал. 1-в).

Нарешті існує ще одна можливість побудови правильного багатогранника, заснована на використанні наступного правильного багатокутника. пентагону. Якщо зібрати 12 пентагонів таким чином, щоб у кожній точці зустрічалося три пентагони, отримаємо ще одне Платонове тіло, зване додекаедром(Рис.1-д).

Наступним правильним багатокутником є шестикутник. Однак якщо з'єднати три шестикутники в одній точці, ми отримаємо поверхню, тобто з шестикутників не можна побудувати об'ємну фігуру. Будь-які інші правильні багатокутники вище шестикутника не можуть утворювати тіл взагалі. З цих міркувань випливає, що існує лише п'ять правильних багатогранників, гранями яких можуть бути лише рівносторонні трикутники, квадрати та пентагони.

Існують дивовижні геометричні зв'язки між усіма правильними багатогранниками. Так наприклад, куб(Рис.1-б) та октаедр(Рис.1-в) дуальні, тобто. виходять один з одного, якщо центри тяжкості граней одного прийняти за вершини іншого та назад. Аналогічно дуальні ікосаедр(Рис.1-г) та додекаедр(Рис.1-д) . Тетраедр(Рис.1-а) Дуаль сам собі. Додекаедр виходить із куба побудовою «дахів» з його гранях (спосіб Евкліда), вершинами тетраедра є будь-які чотири вершини куба, попарно не суміжні по ребру, тобто із куба може бути отримані й інші правильні багатогранники. Сам факт існування всього п'яти дійсно правильних багатогранників дивовижний - адже правильних багатокутників на площині дуже багато!

Числові характеристики Платонових тіл

Основними числовими характеристиками Платонових тілє число сторін грані m,число граней, що сходяться у кожній вершині, m,число граней Г, число вершин В,число ребер Рта число плоских кутів Уна поверхні багатогранника Ейлер відкрив та довів знамениту формулу

В - Р + Г = 2,

зв'язуючого числа вершин, ребер та граней будь-якого опуклого багатогранника. Зазначені числові характеристики наведені в Табл. 1.

Таблиця 1

Числові характеристики Платонових тіл

Багатогранник	Число сторін грані, m	Число граней, що сходяться у вершині, n	Число граней	Число вершин	Число ребер	Кількість плоских кутів на поверхні
Тетраедр
Гексаедр (куб)
Ікосаедр
Додекаедр

Золота пропорція в додекаедрі та ікосаедрі

Додекаедр і подвійний йому ікосаедр (Рис.1-г, д) займають особливе місце серед Платонових тіл. Насамперед необхідно підкреслити, що геометрія додекаедраі ікосаедрабезпосередньо пов'язана із золотою пропорцією. Дійсно, гранями додекаедра(Рис.1-д) є пентагони, тобто. правильні п'ятикутники, що ґрунтуються на золотій пропорції. Якщо уважно подивитися на ікосаедр(Рис.1-г), можна побачити, що у кожній його вершині сходиться п'ять трикутників, зовнішні боку яких утворюють пентагон. Вже цих фактів достатньо, щоб переконатися, що золота пропорція відіграє істотну роль у конструкції цих двох. Платонових тіл.

Але існують глибші математичні підтвердження фундаментальної ролі, яку відіграє золота пропорція в ікосаедріі додекаедрі. Відомо, що ці тіла мають три специфічні сфери. Перша (внутрішня) сфера вписана в тіло та стосується його граней. Позначимо радіус цієї внутрішньої сфери через R i. Друга чи середня сфера стосується її ребер. Позначимо радіус цієї сфери через R m.Зрештою, третя (зовнішня) сфера описана навколо тіла і проходить через його вершини. Позначимо її радіус через R c. У геометрії доведено, що значення радіусів зазначених сфер для додекаедраі ікосаедра, Що має ребро одиничної довжини, виражається через золоту пропорцію t (табл.2).

Таблиця 2

Золота пропорція у сферах додекаедра та ікосаедра

Ікосаедр
Додекаедр

Зауважимо, що відношення радіусів = однаково, як для ікосаедра, так і для додекаедра. Таким чином, якщо додекаедрі ікосаедрмають однакові вписані сфери, їх описані сфери також рівні між собою. Доказ цього математичного результату дано у ПочаткахЕвкліда.

У геометрії відомі й інші співвідношення для додекаедраі ікосаедра, що підтверджують їхній зв'язок із золотою пропорцією. Наприклад, якщо взяти ікосаедрі додекаедрз довжиною ребра, що дорівнює одиниці, і обчислити їх зовнішню площу та об'єм, то вони виражаються через золоту пропорцію (Табл.3).

Таблиця 3

Золота пропорція у зовнішній площі та обсязі додекаедра та ікосаедра

	Ікосаедр	Додекаедр
Зовнішня площа

Таким чином, існує величезна кількість співвідношень, отриманих ще античними математиками, що підтверджують чудовий факт, що саме золота пропорція є головною пропорцією додекаедра та ікосаедра, і цей факт є особливо цікавим з погляду так званої «додекаедро-ікосаедричної доктрини»,яку ми розглянемо нижче.

Космологія Платона

Розглянуті вище правильні багатогранники отримали назву Платонових тіл, оскільки вони займали важливе місце у філософській концепції Платона про будову світобудови.

Платон (427-347 роки до н.е.)

Чотири багатогранники уособлювали у ній чотири сутності чи «стихії». Тетраедрсимволізував Вогонь, оскільки його вершина спрямована вгору; Ікосаедр — Воду, так як він самий «обтічний» багатогранник; Куб — Землюяк самий «стійкий» багатогранник; Октаедр — Повітряяк самий «повітряний» багатогранник. П'ятий багатогранник, Додекаедр, втілював у собі «все суще», «Вселенський розум», символізував всю світобудову і вважався головною геометричною фігурою світобудови.

Гармонійні відносини древні греки вважали основою світобудови, тому чотири стихії вони пов'язані такою пропорцією: земля/вода = повітря/вогонь. Атоми «віршів» налаштовувалися Платоном у досконалих консонансах, як чотири струни ліри. Нагадаємо, що консонансом називається приємне співзвуччя. У зв'язку з цими тілами доречно буде сказати, що така система елементів, що включала чотири елементи - землю, воду, повітря та вогонь, - була канонізована Аристотелем. Ці елементи залишалися чотирма наріжними каменями світобудови багато століть. Цілком можливо ототожнити їх з відомими нам чотирма станами речовини - твердим, рідким, газоподібним та плазмовим.

Таким чином, уявлення про «наскрізну» гармонію буття древні греки пов'язували з її втіленням у Платонових тілах. Вплив знаменитого грецького мислителя Платона позначилося і на ПочаткахЕвкліда. У цій книзі, яка протягом століть була єдиним підручником геометрії, дано опис «ідеальних» ліній та «ідеальних» фігур. "Ідеальна" лінія - пряма, А «ідеальний» багатокутник - правильний багатокутник,має рівні сторониі рівні кути. Найпростішим правильним багатокутником можна вважати рівносторонній трикутник,оскільки він має найменшу кількість сторін, яка може обмежувати частину площини. Цікаво, що ПочатокЕвкліда починаються описом побудови правильного трикутникаі закінчуються вивченням п'яти Платонових тел.Зауважимо, що Платоновим тіламприсвячена заключна, тобто 13-та книга ПочавЕвкліда. До речі, цей факт, тобто розміщення теорії правильних багатогранників у заключній (тобто найголовнішій) книзі ПочавЕвкліда, дало підставу давньогрецькому математику Проклу, котрий був коментатором Евкліда, висунути цікаву гіпотезу про справжні цілі, які мав Євклід, створюючи свої Початок. Згідно з Проклом, Евклід створював Початокне з метою викладу геометрії як такої, а щоб дати повну систематизовану теорію побудови «ідеальних» постатей, зокрема п'яти Платонових тіл, принагідно висвітливши деякі новітні досягнення математики!

Не випадково, що один із авторів відкриття фулеренів, Нобелівський лауреат Гарольд Крото у своїй Нобелівській лекції починає свою розповідь про симетрію як «основу нашого сприйняття фізичного світу» та її «ролі у спробах його всебічного пояснення» саме з Платонових тілта «елементів всього сущого»: «Поняття структурної симетрії перегукується з античної давнини...» Найбільш відомі приклади можна, звісно, ​​знайти у діалозі «Тимей» Платона, де у розділі 53, що належить до «Елементів», він пише: «По-перше, кожному (!) , зрозуміло, ясно, що вогонь і земля, вода і повітря суть тіла, а всяке тіло - суцільне» (!!) Платон обговорює проблеми хімії мовою цих чотирьох елементів і пов'язує їх з чотирма Платоновими тілами (тоді тільки чотирма, поки що Гіппарх не відкрив п'ятий – додекаедр). Хоча на перший погляд така філософія може бути дещо наївною, вона вказує на глибоке розуміння того, яким чином насправді функціонує Природа».

Архімедові тіла

Напівправильні багатогранники

Відомо ще безліч досконалих тіл, які отримали назву напівправильних багатогранниківабо Архімедових тіл.У них також усі багатогранні кути рівні і всі грані – правильні багатокутники, але дещо різних типів. Існує 13 напівправильних багатогранників, відкриття яких приписується Архімеду.

Архімед (287 р. до н.е. – 212 р. до н.е.)

Безліч Архімедових тілможна розбити кілька груп. Першу з них складають п'ять багатогранників, які виходять із Платонових тілв результаті їх усічення.Усічене тіло – це тіло з відрізаною верхівкою. Для Платонових тілусічення може бути зроблено таким чином, що і нові грані, що виходять, і частини старих, що залишаються, будуть правильними багатокутниками. Наприклад, тетраедр(Рис. 1-а) можна врізати так, що його чотири трикутні грані перетворяться на чотири гексагональні, і до них додадуться чотири правильні трикутні грані. Таким шляхом може бути отримано п'ять Архімедових тіл: усічений тетраедр, усічений гексаедр (куб), усічений октаедр, усічений додекаедрі усічений ікосаедр(Мал. 2).

(а)	(б)	(В)

(г)	(д)

Малюнок 2. Архімедові тіла: (а) усічений тетраедр, (б) усічений куб, (в) усічений октаедр, (г) усічений додекаедр, (д) ​​усічений ікосаедр

У своїй Нобелівській лекції американський вчений Смоллі, один із авторів експериментального відкриття фулеренів, говорить про Архімеда (287-212 рр. до н.е.) як про першого дослідника зрізаних багатогранників, зокрема, усіченого ікосаедраправда, обмовляючись, що можливо, Архімед присвоює собі цю заслугу і, можливо, ікосаедри усікали задовго до нього. Досить згадати знайдені у Шотландії та датовані близько 2000 р. до н.е. сотні кам'яних предметів (мабуть, ритуального призначення) у формі сфер і різних багатогранників(тіл, обмежених з усіх боків плоскими гранями), включаючи ікосаедри та додекаедри. Оригінальна робота Архімеда, на жаль, не збереглася, і її результати дійшли до нас, як то кажуть, «з других рук». За часів Відродження всі Архімедові тілаодне за одним були «відкриті» наново. Зрештою, Кеплер у 1619 р. у своїй книзі «Світова гармонія» («Harmonice Mundi») дав вичерпний опис всього набору архімедових тіл - багатогранників, кожна грань яких є правильний багатокутник, а все вершинизнаходяться в еквівалентному положенні (як атоми вуглецю в молекулі 60). Архімедові тіла складаються не менше, ніж із двох різних типівбагатокутників, на відміну від 5 Платонових тіл, усі грані яких однакові (як у молекулі З 20 наприклад).

Малюнок 3. Конструювання Архімедового усіченого ікосаедра
з Платонового ікосаедра

Отже, як же сконструювати Архімедов усічений ікосаедрз Платонова ікосаедра? Відповідь ілюструється за допомогою рис. 3. Справді, як видно з табл. 1, у будь-якій з 12 вершин ікосаедра сходяться 5 граней. Якщо у кожної вершини відрізати (відсікти) 12 частин ікосаедра площиною, то утворюється 12 нових п'ятикутних граней. Разом із вже наявними 20 гранями, що перетворилися після такого відсікання з трикутних на шестикутні, вони становитимуть 32 грані усіченого ікосаедра. У цьому ребер буде 90, а вершин 60.

Іншу групу Архімедових тілстановлять два тіла, іменовані квазіправильнимибагатогранниками. Частка «квазі» підкреслює, що грані цих багатогранників є правильними багатокутниками всього двох типів, причому кожна грань одного типу оточена багатокутниками іншого типу. Ці два тіла звуться ромбокубооктаедромі ікосододекаедром(Мал. 4).

Малюнок 5. Архімедові тіла: (а) ромбокубооктаедр, (б) ромбоїкосододекаедр

Нарешті, існують дві так звані «кучеряві» модифікації – одна для куба ( кирпатий куб), інша – для додекаедра ( кирпатий додекаедр) (Рис. 6).

(а)	(б)

Малюнок 6.Архімедові тіла: (а) кирпатий куб, (б) кирпатий додекаедр

У згаданій книзі Веніджера «Моделі багатогранників» (1974) читач може знайти 75 різних моделей правильних багатогранників. «Теорія багатогранників, зокрема опуклих багатогранників, — один із найцікавіших розділів геометрії»- Така думка російського математика Л.А. Люстернака, який багато зробив саме в цій галузі математики. Розвиток цієї теорії пов'язані з іменами видатних учених. Великий внесок у розвиток теорії багатогранників зробив Йоганн Кеплер (1571-1630). Свого часу він написав етюд «Про сніжинку», в якому висловив таке зауваження: «Серед правильних тіл найперше, початок і прабатько інших – куб, яке, якщо можна сказати, дружина – октаедр, бо в октаедра стільки кутів, скільки в куба граней».Кеплер першим опублікував повний списоктринадцяти Архімедових тілі дав їм ті назви, під якими вони відомі досі.

Кеплер першим почав вивчати так звані зірчасті багатогранники,які на відміну Платонових і Архімедових тіл є правильними опуклими багатогранниками. На початку минулого століття французький математик і механік Л. Пуансо (1777-1859), геометричні роботи якого відносяться до зірчастих багатогранників, у розвиток робіт Кеплера відкрив існування ще двох видів правильних невипуклих багатогранників. Отже, завдяки роботам Кеплера та Пуансо стали відомими чотири типи таких постатей (Рис.7). У 1812 р. О. Коші довів, що інших правильних зірчастих багатогранників немає.

Малюнок 7.Правильні зірчасті багатогранники (тіла Пуансо)

У багатьох читачів може виникнути питання: «Навіщо взагалі вивчати правильні багатогранники? Яка з них користь?». На це запитання можна відповісти: А яка користь від музики чи поезії? Хіба все гарне корисне?». Моделі багатогранників наведені на Мал. 1-7, перш за все, справляють на нас естетичне враження і можуть використовуватися як декоративні прикраси. Але насправді широке прояв правильних багатогранників в природних структурах спричинило величезний інтерес до цього розділу геометрії в сучасній науці.

Таємниця Єгипетського календаря

Що таке календар?

Російське прислів'я говорить: «Час – око історії». Все, що існує у Всесвіті: Сонце, Земля, зірки, планети, відомі та невідомі світи, і все, що є в природі живого та неживого, все має просторово-часовий вимір. Час вимірюється шляхом спостереження процесів певної тривалості, що періодично повторюються.

Ще в давнину люди помітили, що день завжди змінюється вночі, а пори року проходять строгою чергою: за зимою настає весна, за весною літо, за літом осінь. У пошуках розгадки цих явищ людина звернула увагу на небесні світила – Сонце, Місяць, зірки – і на неухильну періодичність їхнього переміщення по небосхилу. Це були перші спостереження, які передували зародженню однієї з найдавніших наук – астрономії.

В основу виміру часу астрономія поклала рух небесних тіл, який відображає три фактори: обертання Землі навколо своєї осі, звернення Місяця навколо Землі та рух Землі навколо Сонця. Від того, на якому з цих явищ ґрунтується вимір часу, залежать різні поняття часу. Астрономія знає зірковечас, сонячнечас, місцевечас, пояснечас, декретнечас, атомнечас і т.д.

Сонце, як і всі інші світила, бере участь у русі небозводу. Крім добового руху, Сонце має так званий річний рух, а весь шлях річного руху Сонця по небосхилу називається екліптикою.Якщо, наприклад, помітити розташування сузір'їв у якусь певну вечірню годину, а потім повторювати це спостереження через кожен місяць, то перед нами постане інша картина неба. Вид зоряного неба змінюється безперервно: кожній порі року властива своя картина вечірніх сузір'їв і кожна така картина через рік повторюється. Отже, після закінчення року Сонце щодо зірок повертається на колишнє місце.

Для зручності орієнтування у зоряному світі астрономи розділили весь небосхил на 88 сузір'їв. Кожна з них має свою назву. З 88 сузір'їв особливе місце в астрономії посідають ті, якими проходить екліптика. Ці сузір'я, окрім власних імен, мають ще узагальнену назву – зодіакальні(від грецького слова"zoop" - тварина), а також широко відомі в усьому світі символи (знаки) і різноманітні алегоричні зображення, що увійшли до календарних систем.

Відомо, що в процесі переміщення екліптикою Сонце перетинає 13 сузір'їв. Проте астрономи вважали за потрібне розділити шлях Сонця не так на 13, але в 12 частин, об'єднавши сузір'я Скорпіон і Змієносець в єдине — під загальною назвою Скорпіон (чому?).

Проблемами виміру часу займається спеціальна наука, яка називається хронологією.Вона є основою всіх календарних систем, створених людством. Створення календарів у давнину було одним із найважливіших завдань астрономії.

Що ж таке «календар» та які існують системи календарів? Слово календарпоходить від латинського слова calendariumщо буквально означає «боргова книга»; у таких книгах вказувалися перші дні кожного місяця. календи,в які в Стародавньому Риміборжники сплачували відсотки.

З найдавніших часів у країнах Східної та Південно-Східної Азіїпри складанні календарів велике значеннянадавали періодичності руху Сонця, Місяця, а також Юпітераі Сатурнадвох гігантських планет Сонячної системи. Є підстави припускати, що ідея створення юпітеріанського календаряз небесною символікою 12-річного тваринного циклу пов'язана із обертанням Юпітеранавколо Сонця, який робить повний оберт навколо Сонця приблизно за 12 років (11,862 року). З іншого боку, друга гігантська планета Сонячної системи – Сатурнробить повний оборот навколо Сонця приблизно за 30 років (29, 458). Бажаючи узгодити цикли руху гігантських планет, давні китайці дійшли ідеї запровадження 60-річного циклу Сонячної системи. Протягом цього циклу Сатурн робить 2 повні оберти навколо Сонця, а Юпітер - 5 обертів.

При створенні річних календарів використовуються астрономічні явища: зміна дня та ночі, зміна місячних фаз та зміна пір року. Використання різних астрономічних явищ призвело до створення у різних народів трьох типів календарів: місячні,засновані на русі Місяця, сонячні,засновані на русі Сонця, та місячно-сонячні.

Структура єгипетського календаря

Одним із перших сонячних календарів був єгипетський, створений у 4-му тисячолітті до н. Спочатку єгипетський календарний рік складався із 360 днів. Рік ділився на 12 місяців по 30 днів у кожному. Однак пізніше було виявлено, що така тривалість календарного року відповідає астрономічному. І тоді єгиптяни додали до календарного року ще 5 днів, які, однак, не були днями місяців. Це були 5 святкових днів, що поєднували сусідні календарні роки. Таким чином, єгипетський календарний рік мав таку структуру: 365 = 12ґ 30 + 5. Зауважимо, що саме єгипетський календар є прообразом сучасного календаря.

Постає питання: чому єгиптяни розділили календарний рік на 12 місяців? Адже існували календарі з іншою кількістю місяців на рік. Наприклад, у календарі майя рік складався з 18 місяців по 20 днів на місяць. Наступне питання, що стосується єгипетського календаря: чому кожен місяць мав рівно 30 днів ( точніше доби)? Можна поставити деякі питання і щодо єгипетської системи вимірювання часу, зокрема щодо вибору таких одиниць часу, як годину, хвилину, секунду.Зокрема, виникає питання: чому одиниця години була обрана таким чином, щоб вона рівно 24 рази вкладалася на добу, тобто чому 1 доба = 24 (2? 12) години? Чому 1 година = 60 хвилин, а 1 хвилина = 60 секунд? Ці ж питання відносяться і до вибору одиниць кутових величин, зокрема: чому коло розбите на 360°, тобто чому 2p =360° =12ґ 30° ? До цих питань додаються й інші, зокрема: чому астрономи визнали за доцільне вважати, що існує 12 зодіакальнихзнаків, хоча насправді у процесі свого руху з екліптики Сонце перетинає 13 сузір'їв? І ще одне «дивне» питання: чому вавилонська система числення мала вельми незвичайну основу – число 60?

Зв'язок єгипетського календаря з числовими характеристиками додекаедра

Аналізуючи єгипетський календар, а також єгипетські системи вимірювання часу та кутових величин, ми виявляємо, що в них з дивовижною постійністю повторюються чотири числа: 12, 30, 60 і похідне від них число 360 = 12 30. Виникає питання: чи не існує який- то фундаментальної наукової ідеї, яка могла б дати просте та логічне пояснення використання цих чисел у єгипетських системах?

Для відповіді на це питання ще раз звернемося до додекаедру, зображеному на Мал. 1-д. Нагадаємо, що всі геометричні співвідношення додекаедру ґрунтуються на золотій пропорції.

Чи знали єгиптяни додекаедр? Історики математики визнають, що стародавні єгиптяни мали відомості про правильні багатогранники. Але чи знали вони всі п'ять правильних багатогранників, зокрема додекаедрі ікосаедряк найбільш складні з них? Давньогрецький математик Прокл приписує побудову правильних багатогранників Піфагору. Але багато математичних теорем і результатів (зокрема Теорему Піфагора) Піфагор запозичив у стародавніх єгиптян у період свого досить тривалого «відрядження» до Єгипту (за деякими відомостями Піфагор прожив у Єгипті протягом 22 років!). Тому ми можемо припустити, що знання про правильні багатогранники Піфагор, можливо, також запозичив у стародавніх єгиптян (а можливо, у стародавніх вавилонян, тому що згідно з легендою Піфагор прожив у стародавньому Вавилоні 12 років). Але існують і інші, більш вагомі докази того, що єгиптяни володіли інформацією про всі п'ять правильних багатогранників. Зокрема, у Британському Музеї зберігається гральна кістка епохи Птоломеїв, що має форму ікосаедра, тобто «Платонового тіла», дуального додекаедру. Всі ці факти дають нам право висунути гіпотезу про те, що єгиптянам був відомий додекаедр.І якщо це так, то з цієї гіпотези випливає дуже струнка система, що дозволяє дати пояснення походження єгипетського календаря, а заодно і походження єгипетської системи вимірювання часових інтервалів та геометричних кутів.

Раніше ми встановили, що додекаедр має 12 граней, 30 ребер та 60 плоских кутів на своїй поверхні (Табл. 1). Якщо виходити з гіпотези, що єгиптяни знали додекаедрта його числові характеристики 12, 30. 60, то яке ж було їхнє подив, коли вони виявили, що цими ж числами виражаються цикли Сонячної системи, а саме, 12-річний цикл Юпітера, 30-річний цикл Сатурна і, нарешті, 60- Літній цикл Сонячної системи. Таким чином, між такою досконалою просторовою фігурою, як додекаедр, і Сонячною системою, існує глибокий математичний зв'язок! Такий висновок зробили античні вчені. Це й призвело до того, що додекаедрбув прийнятий як «головна фігура», яка символізувала Гармонію Світобудови. І тоді єгиптяни вирішили, що всі їхні головні системи (календарна система, система виміру часу, система виміру кутів) повинні відповідати числовим параметрам додекаедра! Оскільки за поданням древніх рух Сонця з екліптики мало строго круговий характер, то, обравши 12 знаків Зодіаку, дугова відстань між якими дорівнювала рівно 30°, єгиптяни напрочуд красиво узгодили річний рухСонця з екліптики зі структурою свого календарного року: один місяць відповідав переміщенню Сонця з екліптики між двома сусідніми знаками Зодіаку!Більше того, переміщення Сонця на один градус відповідало одному дню в єгипетському календарному році! При цьому екліптика автоматично виходила розділеною на 360 °. Розділивши кожну добу на дві частини, дотримуючись додекаедр, єгиптяни потім кожну половину доби розділили на 12 частин (12 граней додекаедра) і тим самим ввели годину- Найважливішу одиницю часу. Розділивши одну годину на 60 хвилин (60 плоских кутів на поверхні додекаедра), єгиптяни таким шляхом запровадили хвилину- Наступну важливу одиницю часу. Так само вони ввели секунду- Найдрібнішу на той період одиницю часу.

Таким чином, вибравши додекаедряк головну «гармонічну» фігуру світобудови, і суворо дотримуючись числових характеристик додекаедра 12, 30, 60, єгиптянам вдалося побудувати надзвичайно стрункий календар, а також системи вимірювання часу та кутових величин. Ці системи повністю узгоджувалися з їхньою «Теорією Гармонії», заснованої на золотій пропорції, оскільки саме ця пропорція лежить в основі додекаедра.

Ось такі дивовижні висновки випливають із зіставлення додекаедраіз Сонячною системою. І якщо наша гіпотеза правильна (нехай хтось спробує її спростувати), то звідси випливає, що вже багато тисячоліть людство живе під знаком золотого перерізу! І щоразу, коли ми дивимося на циферблат нашого годинника, який також побудований на використанні числових характеристик додекаедра 12, 30 і 60, ми торкаємося головної «Таємниці Світобудови» — золотого перетину, самі того не підозрюючи!

Квазікристали Дана Шехтмана

12 листопада 1984 р. у невеликій статті, опублікованій в авторитетному журналі "Physical Review Letters" ізраїльським фізиком Даном Шехтманом, було пред'явлено експериментальний доказ існування металевого сплаву з винятковими властивостями. При дослідженні методами електронної дифракції цей сплав виявив ознаки кристала. Його дифракційна картина складена з яскравих і регулярно розташованих точок, як у кристала. Однак ця картина характеризується наявністю "ікосаедричної" або "пентангональної" симетрії, суворо забороненої в кристалі з геометричних міркувань. Такі незвичайні сплави було названо квазікристалами.Менш ніж за рік було відкрито багато інших сплавів такого типу. Їх було так багато, що квазікристалічний стан виявився набагато поширенішим, ніж це можна було б уявити.

Ізраїльський фізик Дан Шехтман

Поняття квазікристалу є фундаментальним інтересом, тому що воно узагальнює і завершує визначення кристала. Теорія, заснована на цьому понятті, замінює одвічну ідею про «структурну одиницю, що повторюється в просторі строго періодичним чином», ключовим поняттям далекого ладу.Як наголошується у статті «Квазікристали» відомого фізикаД Гратіа, «Це поняття призвело до розширення кристалографії, знову відкриті багатства якої ми лише починаємо вивчати. Його значення у світі мінералів можна поставити в один ряд із додаванням поняття ірраціональних чисел до раціональних у математиці».

Що ж таке квазікристал? Які його властивості та як його можна описати? Як згадувалося вище, згідно основного закону кристалографіїна структуру кристала накладаються суворі обмеження. Згідно з класичними уявленнями, кристал складається ad infinitum з єдиного осередку, який повинен щільно (грань до грані) «встеляти» всю площину без будь-яких обмежень.

Як відомо, щільне заповнення площини може бути здійснено за допомогою трикутників(Рис.7-а), квадратів(Рис.7-б) та шестикутників(Рис.7-г). За допомогою п'ятикутників (пентагонів) Таке заповнення неможливе (Рис.7-в).

а)	б)	в)	г)

Малюнок 7.Щільне заповнення площини може бути здійснено за допомогою трикутників (а), квадратів (б) та шестикутників (г)

Такі були канони традиційної кристалографії, які існували до відкриття незвичайного сплаву алюмінію та марганцю, названого квазікристалом. Такий сплав утворюється при надшвидкому охолодженні розплаву зі швидкістю 106 на секунду. При цьому при дифракційному дослідженні такого сплаву на екрані впорядкована картина, характерна для симетрії ікосаедра, що володіє відомими забороненими осями симетрії 5-го порядку.

Декілька наукових груп у всьому світі протягом кількох наступних років вивчили цей незвичайний сплав за допомогою електронної мікроскопії високого дозволу. Всі вони підтвердили ідеальну однорідність речовини, в якій симетрія 5-го порядку зберігалася в макроскопічних областях з розмірами, близькими до розмірів атомів (кілька десятків нанометрів).

Відповідно до сучасних поглядів розроблено наступну модель отримання кристалічної структури квазікристалу. В основі цієї моделі лежить поняття "базового елемента". Відповідно до цієї моделі, внутрішній ікосаедр з атомів алюмінію оточений зовнішнім ікосаедром з атомів марганцю. Ікосаедри пов'язані октаедрами з атомів марганцю. У «базовому елементі» є 42 атоми алюмінію та 12 атомів марганцю. У процесі затвердіння відбувається швидке формування «базових елементів», які швидко з'єднуються між собою октаедричними жорсткими «містками». Нагадаємо, що гранями ікосаедра є рівносторонні трикутники. Щоб утворився октаедричний місток з марганцю, необхідно, щоб два таких трикутники (по одному в кожну комірку) наблизилися досить близько один до одного і вишикувалися паралельно. В результаті такого фізичного процесу і утворюється квазікристалічна структура з «ікосаедричною» симетрією.

В останні десятиліття було відкрито багато типів квазікристалічних сплавів. Крім тих, що мають «ікосаедричну» симетрію (5-го порядку), існують також сплави з декагональною симетрією (10-го порядку) і додекагональною симетрією (12-го порядку). Фізичні властивості квазікристалів почали досліджувати лише нещодавно.

Яке ж практичне значення відкриття квазікристалів? Як зазначається у згаданій вище статті Гратіа, «механічна міцність квазікристалічних сплавів різко зростає; відсутність періодичності призводить до уповільнення поширення дислокацій у порівнянні зі звичайними металами… Ця властивість має велике прикладне значення: застосування ікосаедричної фази дозволить отримати легкі та дуже міцні сплави впровадженням дрібних частинок квазікристалів у алюмінієву матрицю».

У чому полягає методологічне значення відкриття квазикристалов? Насамперед відкриття квазікристалів є моментом великої урочистості «додекаедро-ікосаедричної доктрини», яка пронизує всю історію природознавства і є джерелом глибоких і корисних наукових ідей. По-друге, квазікристали зруйнували традиційне уявлення про непереборний вододіл між світом мінералів, у якому «пентагональна» симетрія була заборонена, та світом живої природи, де «пентагональна» симетрія є однією з найпоширеніших. І не слід забувати, що головною пропорцією ікосаедра є «золота пропорція». І відкриття квазікристалів є ще одним науковим підтвердженням, що, можливо, саме «золота пропорція», яка виявляє себе як у світі живої природи, так і у світі мінералів, є головною пропорцією Всесвіту.

Плитки Пенроуза

Коли Дан Шехтман навів експериментальний доказ існування квазікристалів, які мають ікосаедричною симетрією, фізики у пошуках теоретичного пояснення феномену квазікристалів, звернули увагу на математичне відкриття, зроблене на 10 років раніше англійським математиком Роджером Пенроузом. Як «плоский аналог» квазікристалів було обрано плитки Пенроуза, що являють собою аперіодичні регулярні структури, утворені «товстими» і «тонкими» ромбами, що підкоряються пропорції «золотого перерізу». Саме плитки Пенроузабули взяті на озброєння кристалографами для пояснення феномену квазікристалів. При цьому роль ромбів Пенроузау просторі трьох вимірів почали грати ікосоедри, за допомогою яких здійснюється щільне заповнення тривимірного простору.

Розглянемо ще раз пентагон уважно на Мал. 8.

Малюнок 8.Пентагон

Після проведення діагоналі вихідний пентагон може бути представлений як сукупність трьох типів геометричних фігур. У центрі знаходиться новий пентагон, який утворюється точками перетину діагоналей. Крім того, пентагон на Мал. 8 включає п'ять рівнобедрених трикутників, пофарбованих в жовтий колір, і п'ять рівнобедрених трикутників, пофарбованих у червоний колір. Жовті трикутники є «золотими», оскільки ставлення стегна до основи одно золотої пропорції; вони мають гострі кути 36° при вершині і гострі кути 72° при підставі. Червоні трикутники також є «золотими», оскільки ставлення стегна до основи дорівнює золотій пропорції; вони мають тупий кут 108° при вершині і гострі кути 36° при підставі.

А тепер з'єднаємо два жовті трикутники і два червоні трикутники їх основами. В результаті ми отримаємо два «золотих» ромба. Перший із них (жовтий) має гострий кут 36° і тупий кут 144° (Рис. 9).

(а)	(б)

Малюнок 9. «Золоті ромби: а) тонкий ромб; (б) «товстий» ромб

Ромб на Мал. 9-а будемо називати тонким ромбом,а ромб на Мал. 9-б - товстим ромбом.

Англійський математик та фізик Роджерс Пенроуз використовував «золоті» ромби на Мал. 9 для конструювання "золотого" паркету, який був названий плитками Пенроуза.Плитки Пенроуза є комбінацією товстих і тонких ромбів, показану на Рис. 10.

Малюнок 10. Плитки Пенроуза

Важливо наголосити, що плитки Пенроузамають «пентагональну» симетрію чи симетрію 5-го порядку, а відношення числа товстих ромбів до тонких прагне золотої пропорції!

Фулерени

А тепер розповімо ще про одне видатне сучасне відкриття в галузі хімії. Це відкриття було зроблено в 1985 р., тобто кількома роками пізніше квазікристалів. Йдеться про так звані «фулерени». Терміном «фулерени» називають замкнуті молекули типу З 60 , 70 , 76 , 84 , в яких всі атоми вуглецю знаходяться на сферичній або сфероїдальної поверхні. У цих молекулах атоми вуглецю розташовані у вершинах правильних шестикутників або п'ятикутників, що покривають поверхню сфери або сфероїду. Центральне місце серед фулеренів займає молекула С60, яка характеризується найбільшою симетрією і як наслідок найбільшою стабільністю. У цій молекулі, що нагадує покришку футбольного м'яча і має структуру правильного зрізаного ікосаедра (Рис.2-д і Рис.3), атоми вуглецю розташовуються на сферичній поверхні у вершинах 20 правильних шестикутників і 12 правильних п'ятикутників так що кожен шестикутник межує з трьома шестикутниками трьома п'ятикутниками, а кожен п'ятикутник межує із шестикутниками.

Термін «фуллерен» бере свій початок від імені американського архітектора Бакмінстера Фуллера, який, виявляється, використовував такі структури при конструюванні куполів будівель (ще одне застосування усіченого ікосаедра!).

«Фулерени» по суті є «рукотворними» структурами, що випливають із фундаментальних фізичних досліджень. Вперше вони були синтезовані вченими Г. Крото і Р. Смоллі (що отримали 1996 р.). Нобелівську преміюза це відкриття). Але в них несподівано виявили в породах докембрійського періоду, тобто фулерени виявилися не лише «рукотворними», а й природними утвореннями. Зараз фулерени інтенсивно вивчають у лабораторіях різних країн, намагаючись встановити умови їхньої освіти, структуру, властивості та можливі сфери застосування. Найбільш повно вивчений представник сімейства фулеренів - фулерен-60 (C 60) (його називають іноді бакмінстер-фулерен. Відомі також фулерени C 70 і C 84. Фуллерен С 60 отримують випаром графіту в атмосфері гелію. При цьому утворюється дрібнодисперсний, схожий на сафу. , що містить 10% вуглецю, при розчиненні в бензолі порошок дає розчин червоного кольору, з якого і вирощують кристали С 60. Фулерени мають незвичайні хімічні і фізичними властивостями. Так, при високому тиску 60 стає твердим, як алмаз. Його молекули утворюють кристалічну структуру, що ніби складається з ідеально гладких куль, що вільно обертаються в гранецентрованій кубічній решітці. Завдяки цій властивості C 60 можна використовувати як тверде мастило. Фулерени мають також магнітні та надпровідні властивості.

Російські вчені А.В. Єлецький та Б.М. Смирнов у своїй статті «Фулерени», опублікованій у журналі «Успіхи фізичних наук» (1993, том 163 №2), зазначають, що «фулерени, існування яких було встановлено у середині 80-х, а ефективна технологіявиділення яких було розроблено 1990 р., нині стали предметом інтенсивних досліджень десятків наукових груп. За результатами цих досліджень уважно спостерігають прикладні фірми. Оскільки ця модифікація вуглецю піднесла вченим цілий ряд сюрпризів, було б нерозумно обговорювати прогнози і можливі наслідкививчення фулеренів у найближче десятиліття, але слід бути готовим до нових несподіванок».

Художній світ словенської художниці Матюшки Тейї Крашек

Матюшка Тейя Крашек (Matjuska Teja Krasek) отримала ступінь бакалавра живопису у Коледжі. візуальних мистецтв(Любляна, Словенія) і є вільним художником. Живе та працює у Любляні. Її теоретична та практична роботафокусується на симетрії як сполучної концепції між мистецтвом та наукою. Її художні роботи представлялися на багатьох міжнародних виставках та опубліковані у міжнародних журналах (Leonardo Journal, Leonardo on-line).

М.Т. Фарбок на своїй виставці 'Kaleidoscopic Fragrances', Любляна, 2005

Художня творчість Матюшки Тейї Крашек пов'язана з різними видами симетрії, плитками та ромбами Пенроуза, квазікристалами, золотим перетином як головним елементом симетрії, числами Фібоначчі та ін. За допомогою рефлексії, уяви та інтуїції вона намагається підібрати нові відносини, нові види порядку у цих елементах та структурах. У своїх роботах вона широко використовує комп'ютерну графіку як дуже корисний засіб для створення художніх робіт, що є сполучною ланкою між наукою, математикою та мистецтвом.

Рис. 11 наведено композицію Т.М. Фарбок, пов'язана з числами Фібоначчі. Якщо ми виберемо одне з чисел Фібоначчі (наприклад, 21 см) для довжини сторони ромба Пенроуза у цій відчутно нестабільній композиції, ми можемо спостерігати, як довжини деяких відрізків композиції утворюють послідовність Фібоначчі.

Малюнок 11.Матюшка Тейя Крашек «Числа Фібоначчі», полотно, 1998.

Велика кількість художніх композицій художниці присвячена квазікристалам Шехтмана та ґратам Пенроуза (Рис. 12).

(а)	(б)

(В)	(г)

Малюнок 12.Світ Тейї Крашек: (а) Світ квазікристалів. Комп'ютерна графіка, 1996.
(б) Зірки. Комп'ютерна графіка, 1998 (в) 10/5. Полотно, 1998 (г) Квазікуб. Полотно, 1999

У композиції Матюшки Тейї Крашек та Кліффорда Піковера «Біогенезис», 2005 (Рис. 13) представлений декагон, що складається з ромбів Пенроуза. Можна спостерігати стосунки між ромбами Петроуз; кожні два сусідні ромби Пенроуза утворюють пентагональну зірку.

Малюнок 13.Матюшка Тейя Крашек та Кліффорд Піковер. Біогенезис, 2005.

У картині Double Star GA(Мал. 14) ми бачимо, як поєднуються плитки Пенроуза, щоб сформувати двовимірне уявлення потенційно гіперпросторового об'єкта з десятикутною основою. При зображенні картини художниця використовувала спосіб твердих ребер, запропонований Леонардо да Вінчі. Саме такий спосіб зображення дозволяє побачити у проекції картини на площину велику кількість пентагонів та пентаклів, які утворюються проекціями окремих ребер ромбів Пенроуза. Крім того, в проекції картини на площину бачимо декагон, утворений ребрами 10 суміжних ромбів Пенроуза. По суті, в цій картині Матюшка Тейї Крашек знайшла новий правильний багатогранник, який цілком можливо реально існує в природі.

Малюнок 14.Матюшка Тейя Крашек. Double Star GA

У композиції Крашок Stars for Donald (Рис. 15) ми можемо спостерігати нескінченну взаємодію ромбів Пенроуза, пентаграм, п'ятикутників, що зменшуються до центральної точки композиції. Відносини золотої пропорції представлені багатьма різними способами різних шкалах.

Малюнок 15.Матюшка Тейя Крашек "Stars for Donald", комп'ютерна графіка, 2005.

Художні композиції Матюшки Тейї Крашек привернули велику увагу представників науки та мистецтва. Її мистецтво прирівнюють до мистецтва Мауриця Ешера та називають словенську художницю «Східноєвропейським Ешером» та «Словенським подарунком» світовому мистецтву.

Стахов А.П. «Код да Вінчі», Платонові та Архімедові тіла, квазікристали, фулерени, грати Пенроуза та художній світ Матюшки Тейї Крашек // «Академія Тринітаризму», М., Ел № 77-6567, публ.12561, 07.11.2005

Вступ

Дана курсова робота призначена для того, щоб:

1) закріпити, поглибити та розширити теоретичні знання в галузі методів моделювання поверхонь та об'єктів, практичні вміння та навички програмної реалізації методів;

2) удосконалити навички самостійної роботи;

3) виробити вміння формулювати судження та висновки, логічно послідовно та доказово їх викладати.

Тіла Платона

Тіла Платона – це опуклі багатогранники, усі грані яких правильні багатокутники. Усі багатогранні кути правильного багатогранника конгруентні. Як це випливає вже з підрахунку суми плоских кутів при вершині, опуклих правильних багатогранників не більше п'яти. Вказаним нижче шляхом можна довести, що є саме п'ять правильних багатогранників (це довів Евклід). Вони - правильний тетраедр, гексаедр(куб), октаедр, додекаедр та ікосаедр. Назви цих правильних багатогранників прийшли із Греції. У дослівному перекладіз грецького "тетраедр", "октаедр", "гексаедр", "додекаедр", "ікосаедр" означають: "чотиригранник", "восьмигранник", "шестигранник". "дванадцятигранник", "двадцятигранник".

Таблиця №1

Таблиця №2

Назва:	Радіус описаної сфери	Радіус вписаної сфери
Тетраедр
Гексаедр
Додекаедр
Ікосаедр

Тетраедр- чотиригранник, усі грані якого трикутники, тобто. трикутна піраміда; правильний тетраедр обмежений чотирма трикутниками. (Рис.1).

Куб або правильний гексаедр- правильна чотирикутна призмаз рівними ребрами, обмежена шістьма квадратами. (Рис.1).

Октаедр- восьмигранник; тіло, обмежене вісьмома трикутниками; правильний октаедр обмежений вісьмома рівносторонніми трикутниками; один із п'яти правильних багатогранників. (Рис.1).

Додекаедр- дванадцятигранник, тіло, обмежене дванадцятьма багатокутниками; правильний п'ятикутник. (Рис.1).

Ікосаедр- двадцятигранник, тіло, обмежене двадцятьма багатокутниками; правильний ікосаедр обмежений двадцятьма рівносторонніми трикутниками. (Рис.1).

Куб і октаедр дуальні, тобто. виходять один з одного, якщо центри тяжкості граней одного прийняти за вершини іншого та назад. Аналогічно дуальні додекаедр та ікосаедр. Тетраедр дуальний сам собі. Правильний додекаедр виходить із куба побудовою “дахів” з його гранях (спосіб Евкліда), вершинами тетраедра є будь-які чотири вершини куба, попарно не суміжні по ребру. Так виходять із куба всі інші правильні багатогранники. Сам факт існування всього п'яти справді правильних багатогранників дивовижний – адже правильних багатокутників на площині нескінченно багато!

Всі правильні багатогранники були відомі ще в Стародавній Греції, і їм присвячено 13-ту книгу "Початок" Евкліда. Їх називають тілами Платона, т.к. вони займали важливе місце у філософській концепції Платона про будову світобудови. Чотири багатогранники уособлювали у ній чотири сутності чи " стихії " . Тетраедр символізував вогонь, т.к. його вершина спрямована вгору; ікосаедр? воду, т.к. він самий "обтічний"; куб - землю, як "стійкий"; октаедр? повітря, як "найповітряніший". П'ятий багатогранник, додекаедр, втілював у собі "все, що існує", символізував всю світобудову, вважався головним.

Гармонійні відносини древні греки вважали основою світобудови, тому чотири стихії вони пов'язані такою пропорцією: земля/вода = повітря/вогонь.

У зв'язку із цими тілами доречно буде сказати, що перша система елементів, що включала чотири елементи? землю, воду, повітря та вогонь, - була канонізована Аристотелем. Ці елементи залишалися чотирма наріжними каменями світобудови багато століть. Цілком можливо ототожнити їх з відомими нам чотирма станами речовини - твердим, рідким, газоподібним та плазмовим.

Важливе місце займали правильні багатогранники у системі гармонійного устрою світу І. Кеплера. Все та ж віра в гармонію, красу і математично закономірний устрій світобудови привела І. Кеплера до думки, що оскільки існує п'ять правильних багатогранників, то їм відповідають лише шість планет. На його думку, сфери планет пов'язані між собою вписаними платоновими тілами. Оскільки для кожного правильного багатогранника центри вписаної та описаної сфер збігаються, то вся модель матиме єдиний центр, у якому буде Сонце.

Виконавши величезну обчислювальну роботу, в 1596 р. І. Кеплер у книзі "Таємниця світобудови" опублікував результати свого відкриття. У сферу орбіти Сатурна він вписує куб, куб? сферу Юпітера, у сферу Юпітера - тетраедр, і так далі послідовно вписуються одна в одну сфера Марса? додекаедр, сфера Землі? ікосаедр, сфера Венери? октаедр, сфера Меркурія. Таємниця світобудови видається відкритою.

Сьогодні можна з упевненістю сказати, що відстані між планетами не пов'язані з жодними багатогранниками. Втім, можливо, що без "Таємниці світобудови", "Гармонії миру" І. Кеплера, правильних багатогранників не було б трьох знаменитих законів І. Кеплера, які відіграють важливу роль в описі руху планет.

Де ще можна побачити ці дивовижні тіла? У книзі німецького біолога початку минулого століття Е. Геккеля "Краса форм у природі" можна прочитати такі рядки: "Природа вигодовує на своєму лоні невичерпну кількість дивовижних створінь, які за красою та різноманітністю далеко перевершують усі створені мистецтвом людини форми". Створення природи, наведені у цій книзі, красиві та симетричні. Це невіддільне властивість природної гармонії. Але ж тут видно й одноклітинні організми? феодарії, форма яких точно передає ікосаедр. Чим викликана така природна геометризація? Можливо, тим, що з усіх багатогранників з такою ж кількістю граней саме ікосаедр має найбільший об'єм і найменшу площуповерхні. Ця геометрична властивість допомагає морському мікроорганізму долати тиск водної товщі.

Цікаво й те, що саме ікосаедр опинився в центрі уваги біологів у їх суперечках щодо форми вірусів. Вірус може бути зовсім круглим, як вважалося раніше. Щоб встановити його форму, брали різні багатогранники, спрямовували ними світло під тими самими кутами, як і потік атомів на вірус. Виявилося, що тільки один багатогранник дає таку ж тінь? ікосаедр. Його геометричні властивості, Про які йшлося вище, дозволяють економити генетичну інформацію. Правильні багатогранники? найвигідніші фігури. І природа цим широко користується. Кристали деяких знайомих нам речовин мають форму правильних багатогранників. Так, куб передає форму кристалів кухонної солі NaCl, монокристал алюмінієво-калієвих галунів (KAlSO4)2 12Н2О має форму октаедра, кристал сірчистого колчедану FeS має форму додекаедра, сурм'янистий сірчанокислий натрій - тетраедра, бор - икосаэ. Правильні багатогранники визначають форму кристалічних ґратдеяких хімічних речовин.

Отже, правильні багатогранники відкрили нам спроби вчених наблизитися до таємниці світової гармонії та показали неперевершену привабливість та красу цих геометричних фігур.

Ще в давнину люди помітили, що деякі об'ємні фігури мають особливі властивості. Це так звані правильні багатогранники- всі грані вони однакові, всі кути при вершинах рівні. Кожна з цих фігур має стійкість і може бути вписана у сферу. При всьому різноманітті різних форм існують лише 5 видів правильних багатогранників (рис. 1).

Тетраедр- правильний чотиригранник, грані є рівносторонні трикутники (рис. 1а).

Куб- правильний шестигранник, Грані є квадратами (рис. 1б).

Октаедр- правильний восьмигранник, грані є рівносторонні трикутники (рис. 1в).

Додекаедр- правильний дванадцятигранник, грані є правильними п'ятикутниками (рис. 1г).

Ікосаедр- правильний двадцятигранник, грані є рівносторонні трикутники (рис. 1д).

Давньогрецький філософ Платон вважав, кожен із правильних багатогранників відповідає одному з 5 первинних елементів. Згідно Платону, куб відповідає землі, тетраедр – вогню, октаедр – повітрю, ікосаедр – воді, додекаедр – ефіру. Крім цього, грецькі філософи виділяли ще один першоелемент - порожнечу. Йому відповідає геометрична формасфери, до якої можуть бути вписані всі платонові тіла.

Усі шість першоелементів є будівельними блоками Всесвіту. Деякі з них зустрічаються часто - земля, вода, вогонь та повітря. Сьогодні точно відомо, що правильні багатогранники, або платонові тіла, становлять основу будови кристалів, молекул різних хімічних речовин.

Енергетична оболонка людини також є просторову конфігурацію. Зовнішня межа енергетичного поля людини - сфера, найближча до неї постать додекаедр. Потім фігури енергетичного поля змінюють одна одну у певному порядку, повторюючись у різних циклах. Наприклад, у молекулі ДНК чергуються ікосаедри та додекаедри.

Виявлено, що платонові тіла здатні благотворно впливати на людину. Ці форми мають властивість видозмінювати, організовувати енергію в чакрах людського тіла. Причому кожна кристалічна форма благотворно впливає ту чакру, першоелементу якої вона відповідає.

Дисбаланс енергій у Муладхарі зникає при використанні куба (елемент земля), Свадхістхана реагує на вплив ікосаедра (елемент вода), на Маніпуру благотворно впливає тетраедр (елемент вогонь), функції Анахати відновлюються за допомогою октаедра (елемент повітря). Ця ж фігура сприяє нормальній роботі Вішудхи. Обидві верхні чакри – Адж-на та Сахасрара – піддаються корекції додекаедром.

Для того, щоб використовувати властивості платонових тіл, необхідно виготовити з мідного дроту ці фігури (розмір від 10 до 30 см у поперечнику). Можна намалювати їх на папері або склеїти з картону, але каркаси з мідного дроту діють ефективніше. Моделі платонових тіл потрібно прикріпити на проекції відповідних чакр і трохи полежати в глибокому розслабленні.