РОЗДІЛ ІІІ.
ПАРАЛЕЛЬНІ ПРЯМІ

§ 35. Ознаки Паралельності двох прямих.

Теорема про те, що два перпендикуляри до однієї прямої паралельні (§ 33), дає ознаку паралельності двох прямих. Можна вивести більше загальні ознакипаралельності двох прямих.

1. Перша ознака паралельності.

Якщо при перетині двох прямих третьої внутрішні навхрест лежачі кути рівні, то ці прямі паралельні.

Нехай прямі АВ і СD перетнуті прямий ЕF і / 1 = / 2. Візьмемо точку О - середину відрізка КL секучою ЕF (чорт. 189).

Опустимо з точки Про перпендикуляр ОМ на пряму АВ і продовжимо його до перетину із прямою СD, АВ_|_МN. Доведемо, як і СD_|_МN.
Для цього розглянемо два трикутники: МОЄ та NОК. Ці трикутники рівні між собою. Справді: / 1 = / 2 за умовою теореми; ОK = ОL - за побудовою;
/ МОL = / NОК, як вертикальні кути. Таким чином, сторона і два кути одного трикутника, що прилягають до неї, відповідно рівні стороні і двом прилеглим до неї кутам іншого трикутника; отже, /\ МОL = /\ NОК, а звідси і
/ LМО = / КNО, але / LМО прямий, отже, і / КNО теж прямий. Таким чином, прямі АВ і CD перпендикулярні до однієї і тієї ж прямої МN, отже, вони паралельні (§ 33), що і потрібно довести.

Примітка. Перетин прямих МО і СD може бути встановлений шляхом повороту трикутника МОL навколо точки на 180°.

2. Друга ознака паралельності.

Подивимося, чи паралельні прямі АВ і СD, якщо при перетині їх третьої прямої ЕF рівні відповідні кути.

Нехай якісь відповідні кути рівні, наприклад / 3 = / 2 (чорт. 190);
/ 3 = / 1, як кути вертикальні; значить, / 2 дорівнюватиме / 1. Але кути 2 і 1 - внутрішні навхрест лежачі кути, а ми вже знаємо, що якщо при перетині двох прямих третьої внутрішні навхрест лежачі кути рівні, то ці прямі паралельні. Отже, АВ | СD.

Якщо при перетині двох прямих третьої відповідні кути рівні, то ці дві прямі паралельні.

На цій властивості засновано побудову паралельних прямих за допомогою лінійки та креслярського трикутника. Виконується це в такий спосіб.

Прикладемо трикутник до лінійки так, як це показано на кресленні 191. Пересуватимемо трикутник так, щоб одна його сторона ковзала по лінійці, а по якійсь іншій стороні трикутника проведемо кілька прямих. Ці прямі будуть паралельні.

3. Третя ознака паралельності.

Нехай нам відомо, що при перетині двох прямих АВ і СD третьої прямої сума якихось внутрішніх односторонніх кутів дорівнює 2 d(або 180 °). Чи будуть у цьому випадку прямі АВ та СD паралельні (чорт. 192).

Нехай / 1 та / 2-внутрішні односторонні кути та в сумі складають 2 d.
Але / 3 + / 2 = 2dяк кути суміжні. Отже, / 1 + / 2 = / 3+ / 2.

Звідси / 1 = / 3, а ці кути внутрішні навхрест лежать. Отже, АВ | СD.

Якщо при перетині двох прямих третьої сума внутрішніх односторонніх кутів дорівнює 2 d, то ці дві прямі паралельні.

Вправа.

Довести, що прямі паралельні:
а) якщо зовнішні навхрест лежачі кути рівні (чорт. 193);
б) якщо сума зовнішніх односторонніх кутів дорівнює 2 d(чорт. 194).

Два кути називаються вертикальними, якщо сторони одного кута є продовженням сторін іншого.

На малюнку кути 1 і 3 , а також кути 2 і 4 - Вертикальні. Кут 2 є суміжним як з кутом 1 , так і з кутом 3. За якістю суміжних кутів 1 +2 =180 0 3 +2 =180 0 . Звідси отримуємо: 1=180 0 -2 , 3=180 0 -2. Таким чином, градусні заходи кутів 1 і 3 рівні. Звідси випливає, що й самі кути рівні. Отже, вертикальні кути рівні.

2. Ознаки рівності трикутників.

Якщо дві сторони та кут між ними одного трикутника відповідно дорівнюють двом сторонам і куту між ними іншого трикутника, то такі трикутники рівні.

Якщо сторона і два кута одного трикутника, що прилягають до неї, відповідно рівні стороні і двом прилеглим до неї кутам іншого трикутника, то такі трикутники рівні.

3.Якщо три сторони одного трикутника відповідно дорівнюють трьом сторонам іншого трикутника, то такі трикутники рівні.

1 ознака рівності трикутників:

Розглянемо трикутники АВС і А1В1С1, у яких АВ=А1В1, АС=А1С1, кути А і А1 рівні. Доведемо, що АВС = А 1 В 1 З 1 .
Оскільки (у)А=(у)А 1 , то трикутник АВС можна накласти на трикутник А 1 В 1 З 1 так, що вершина А суміситься з вершиною А1, а сторони АВ та АС накладуться відповідно на промені А 1 В 1 А 1 З 1 . Оскільки АВ = А 1 В 1 , АС = А 1 З 1 , то сторона АВ сумісний зі стороною А 1 В 1 , а сторона АС - зі стороною А 1 З 1; зокрема, суміщаються точки В і В 1 , З і С 1 . Отже, суміщаються сторони ЗС і В1С1. Отже, трикутники АВС та А 1 В 1 С 1 повністю суміщаться, отже вони рівні. ЧТД

3.Теорема про бісектрису рівнобедреного трикутника.

У рівнобедреному трикутнику бісектриса, проведена до основи, є медіаною та висотою.

Звернемося до малюнка, на якому АВС – рівнобедрений трикутник з основою ВС, АD – його бісектриса.

З рівності трикутників АВD і АСD (за 2 ознаками рівності трикутників: AD – загальна; кути 1 і 2 рівні тому що AD-бісектриса; AB=AC, тому що трикутник рівнобедрений) випливає, що ВD = DC і 3 = 4. Рівність ВD = DC означає, що точка D – середина сторони ВС і тому АD – медіана трикутника АВС. Так як кути 3 і 4 суміжні та рівні один одному, то вони прямі. Отже, відрізок АТ є висотою трикутника АВС. ЧТД.

4. Якщо прямі паралельні -> кут. (на вибір)

5. Якщо кут…..-> прямі паралельні (на вибір)

Якщо при перетині двох прямих січної відповідні кути рівні, то прямі паралельні.

Нехай при перетині прямих а і б січе з відповідні кути рівні, наприклад 1=2.

Оскільки кути 2 та 3 – вертикальні, то 2=3. З цих двох рівнів випливає, що 1=3. Але кути 1 і 3 - навхрест лежать, тому прямі а і б паралельні. ЧТД.

6. Теорема про суму кутів трикутника.

Сума кутів трикутника дорівнює 180 0.

Розглянемо довільні трикутники АВС і доведемо, що А+В+С=180 0 .

Проведемо через вершину пряму а, паралельну стороні АС. Кути 1 і 4 є навхрест лежачими кутами про перетин паралельних прямих а і АС сіючої АВ, а кути 3 і 5 - навхрест лежать кутами при перетині тих же паралельних прямих секучою ВС. Тому (1) 4 = 1; 5 = 3.

Очевидно, сума кутів 4, 2 і 5 дорівнює розгорнутому кутку з вершиною, тобто. 4+2+5=180 0 . Звідси, з огляду на рівність (1), отримуємо: 1+2+3=180 0 або А+В+С=180 0 .ЧТД.

7. Ознака рівності прямокутних трикутників.

1. Перша ознака паралельності.

Якщо при перетині двох прямих третьої внутрішні навхрест лежачі кути рівні, то ці прямі паралельні.

Нехай прямі АВ і СD перетнуті прямий ЕF і ∠1 = ∠2. Візьмемо точку О - середину відрізка КL секучою ЕF (рис.).

Опустимо з точки Про перпендикуляр ОМ на пряму АВ і продовжимо його до перетину із прямою СD, АВ ⊥ МN. Доведемо, що й CD ⊥ МN.

Для цього розглянемо два трикутники: МОЄ та NОК. Ці трикутники рівні між собою. Справді: ∠1 = ∠2 за умовою теореми; ОK = ОL - за побудовою;

∠МОL = ∠NОК, як вертикальні кути. Таким чином, сторона і два кути одного трикутника, що прилягають до неї, відповідно рівні стороні і двом прилеглим до неї кутам іншого трикутника; отже, ΔМОL = ΔNОК, а звідси і ∠LМО = ∠КNО,
але ∠LМО прямий, отже, і ∠КNО теж прямий. Таким чином, прямі АВ і CD перпендикулярні до однієї і тієї ж прямої МN, отже, вони паралельні, що і потрібно довести.

Примітка. Перетин прямих МО і СD може бути встановлений шляхом повороту трикутника МОL навколо точки на 180°.

2. Друга ознака паралельності.

Подивимося, чи паралельні прямі АВ і СD, якщо при перетині їх третьої прямої ЕF рівні відповідні кути.

Нехай якісь відповідні кути рівні, наприклад ∠3 = ∠2 (рис.);

∠3 = ∠1, як кути вертикальні; отже, ∠2 дорівнюватиме ∠1. Але кути 2 і 1 - внутрішні навхрест лежачі кути, а ми вже знаємо, що якщо при перетині двох прямих третьої внутрішні навхрест лежачі кути рівні, то ці прямі паралельні. Отже, АВ | СD.

Якщо при перетині двох прямих третьої відповідні кути рівні, то ці дві прямі паралельні.

На цій властивості засновано побудову паралельних прямих за допомогою лінійки та креслярського трикутника. Виконується це в такий спосіб.

Прикладемо трикутник до лінійки так, як показано на рис. Пересуватимемо трикутник так, щоб одна його сторона ковзала по лінійці, а по будь-якій іншій стороні трикутника проведемо кілька прямих. Ці прямі будуть паралельні.

3. Третя ознака паралельності.

Нехай нам відомо, що при перетині двох прямих АВ і СD третьої прямої сума якихось внутрішніх односторонніх кутів дорівнює 2 d(або 180 °). Чи будуть у цьому випадку прямі АВ та СD паралельні (рис.).

Нехай ∠1 та ∠2-внутрішні односторонні кути і в сумі становлять 2 d.

Але ∠3 + ∠2 = 2 dяк кути суміжні. Отже, ∠1 + ∠2 = ∠3+ ∠2.

Звідси ∠1 = ∠3, а ці кути внутрішні навхрест лежать. Отже, АВ | СD.

Якщо при перетині двох прямих третьої сума внутрішніх односторонніх кутів дорівнює 2 d (або 180°), ці дві прямі паралельні.

Ознаки паралельних прямих:

1. Якщо при перетині двох прямих третьої внутрішні навхрест лежачі кути рівні, то ці прямі паралельні.

2.Якщо при перетині двох прямих третьої відповідні кути рівні, то ці дві прямі паралельні.

3. Якщо при перетині двох прямих третьої сума внутрішніх односторонніх кутів дорівнює 180°, то ці дві прямі паралельні.

4. Якщо дві прямі паралельні третій прямій, то вони паралельні між собою.

5. Якщо дві прямі перпендикулярні до третьої прямої, то вони паралельні між собою.

Аксіома паралельності Евкліда

Завдання. Через точку М, взяту поза прямою АВ, провести пряму, паралельну до прямої АВ.

Користуючись доведеними теоремами про ознаки паралельності прямих, можна це завдання розв'язати різними способами,

Рішення. 1-й спосіб (черт. 199).

Проводимо МN⊥АВ і через точку М проводимо СD⊥МN;

отримуємо СD⊥МN та АВ⊥МN.

З теореми ( "Якщо дві прямі перпендикулярні до однієї й тієї ж прямий, всі вони паралельні.") укладаємо, що СD || АВ.

2-й запит (чорт. 200).

Проводимо МК, що перетинає АВ під будь-яким кутом α, і через точку М проводимо пряму ЕF, що утворює з прямої МК кут ЕМК, рівний кутуα. З теореми () укладаємо, що ЕF || АВ.

Розв'язавши це завдання, можемо вважати доведеним, що через будь-яку точку М, взяту поза прямою АВ, можна провести пряму, їй паралельну. Виникає питання, скільки ж прямих, паралельних даній прямий і проходять через цю точку, може існувати?

Практика побудов дозволяє припускати, що існує тільки одна така пряма, так як при ретельно виконаному кресленні прямі, проведені різними способами через ту саму точку паралельно одній і тій же прямій, зливаються.

Теоретично у відповідь поставлене питання дає так звана аксіома паралельності Евкліда; вона формулюється так:

Через точку, взяту поза цією прямою, можна провести тільки одну пряму, паралельну цій прямій.

На кресленні 201 через точку проведена пряма СК, паралельна прямий АВ.

Будь-яка інша пряма, що проходить через точку О, вже не буде паралельна прямий АВ, а її перетинатиме.

Прийнята Евклідом у його "Початках" аксіома, яка стверджує, що на площині через точку, взяту поза цією прямою, можна провести тільки одну пряму, паралельну цій прямій, називається аксіомою паралельності Евкліда.

Більше двох тисячоліть після Евкліда багато вчених-математиків намагалися довести цю математичну пропозицію, але завжди їхні спроби виявлялися безуспішними. Тільки в 1826 р. великий російський учений, професор Казанського університету Микола Іванович Лобачевський довів, що, використовуючи всі інші аксіоми Евкліда, цю математичну пропозицію довести не можна, що вона дійсно має бути прийнята за аксіому. М. І. Лобачевський створив нову геометрію, яка на відміну від геометрії Евкліда названа геометрією Лобачевського

ABі ЗDперетнуті третьою прямою MN, то кути, що утворилися при цьому, отримують попарно такі назви:

відповідні кути: 1 та 5, 4 та 8, 2 та 6, 3 та 7;

внутрішні навхрест лежачі кути: 3 та 5, 4 та 6;

зовнішні навхрест лежачі кути: 1 та 7, 2 та 8;

внутрішні односторонні кути: 3 та 6, 4 та 5;

зовнішні односторонні кути: 1 та 8, 2 та 7.

Так, ∠2 = ∠4 і ∠8 = ∠6, але за доведеним ∠4 = ∠6.

Отже, ∠2 = ∠8.

3. Відповідні кути 2 і 6 однакові, оскільки ∠2 = ∠4, а ∠4 = ∠6. Також переконаємось у рівності інших відповідних кутів.

4. Сума внутрішніх односторонніх кутів 3 і 6 буде 2d, тому що сума суміжних кутів 3 і 4 дорівнює 2d = 180 0 а ∠ 4 можна замінити ідентичним йому ∠ 6. Також переконаємося, що сума кутів 4 та 5 дорівнює 2d.

5. Сума зовнішніх односторонніх кутівбуде 2d, тому що ці кути рівні відповідно внутрішнім одностороннім кутамяк кути вертикальні.

З вище доведеного обґрунтування отримуємо зворотні теореми.

Коли при перетині двох прямих довільної третьої прямої отримаємо, що:

1. Внутрішні навхрест лежачі кути однакові;

чи 2.Зовнішні навхрест кути, що лежать однакові;

чи 3.Відповідні кути однакові;

чи 4.Сума внутрішніх односторонніх кутів дорівнює 2d = 180 0;

чи 5.Сума зовнішніх односторонніх дорівнює 2d = 180 0 ,

то перші дві прямі паралельні.

Ця глава присвячена вивченню паралельних прямих. Так називаються дві прямі на площині, які не перетинаються. Відрізки паралельних прямих ми бачимо у навколишній обстановці - це два краї прямокутного столу, два краї обкладинки книги, дві штанги тролейбуса і т.д. Паралельні прямі грають у геометрії дуже важливу роль. У цьому розділі ви дізнаєтеся про те, що таке аксіоми геометрії і в чому полягає аксіома паралельних прямих - одна з найвідоміших аксіом геометрії.

У п. 1 ми зазначали, що дві прямі або мають одну загальну точку, тобто перетинаються, або не мають жодної загальної точки, Т. е. не перетинаються.

Визначення

Паралельність прямих і b позначають так: а || b.

На малюнку 98 зображені прямі а та b, перпендикулярні до прямої с. У п. 12 ми встановили, що такі прямі а і b не перетинаються, тобто вони є паралельними.

Рис. 98

Поряд із паралельними прямими часто розглядають паралельні відрізки. Два відрізки називаються паралельнимиякщо вони лежать на паралельних прямих. На малюнку 99 а відрізки АВ і CD паралельні (АВ || CD), а відрізки MN і CD не паралельні. Аналогічно визначається паралельність відрізка та прямої (рис. 99, б), променя та прямої, відрізка та променя, двох променів (рис. 99, в).

Рис. 99Ознаки паралельності двох прямих

Пряма з називається січучоїпо відношенню до прямих а та b, якщо вона перетинає їх у двох точках (рис. 100). При перетині прямих а і b січної утворюється вісім кутів, які на малюнку 100 позначені цифрами. Деякі пари цих кутів мають спеціальні назви:

навхрест лежачі кути: 3 та 5, 4 та 6;
односторонні кути: 4 та 5, 3 та 6;
відповідні кути: 1 та 5, 4 та 8, 2 та 6, 3 та 7.

Рис. 100

Розглянемо три ознаки паралельності двох прямих, пов'язані з цими парами кутів.

Теорема

Доведення

Нехай при перетині прямих а і b сікної АВ навхрест кути рівні: ∠1 = ∠2 (рис. 101, а).

Доведемо, що а || b. Якщо кути 1 і 2 прямі (рис. 101 б), то прямі а і b перпендикулярні до прямої АВ і, отже, паралельні.

Рис. 101

Розглянемо випадок, коли кути 1 та 2 не прямі.

Із середини О відрізка АВ проведемо перпендикуляр ВІН до прямої а (рис. 101, в). На прямій b від точки відкладемо відрізок ВН 1 , рівний відрізку АН, як показано на малюнку 101, в, і проведемо відрізок ВІН 1 . Трикутники ВОНА і ВІН 1 В рівні по двох сторонах і куті між ними (АО = ВО, АН = ВН 1 , ∠1 = ∠2), тому ∠3 = ∠4 і ∠5 = ∠6. З рівності ∠3 = ∠4 випливає, що точка Н 1 лежить на продовженні променя ВІН, тобто точки Н, Про і Н 1 лежать на одній прямій, а з рівності ∠5 = ∠6 випливає, що кут 6 - прямий (оскільки кут 5 - прямий). Отже, прямі а та b перпендикулярні до прямої HH 1 тому вони паралельні. Теорему доведено.

Теорема

Доведення

Нехай при перетині прямих а і b січе з відповідні кути рівні, наприклад ∠1 =∠2 (рис. 102).

Рис. 102

Так як кути 2 і 3 - вертикальні, то ∠2 = ∠3. З цих двох рівностей випливає, що ∠1 = ∠3. Але кути 1 і 3 - навхрест лежать, тому прямі а і b паралельні. Теорему доведено.

Теорема

Доведення

Нехай при перетині прямих а і b січучою сума односторонніх кутів дорівнює 180°, наприклад ∠1 + ∠4 = 180° (див. рис. 102).

Оскільки кути 3 і 4 суміжні, то ∠3 + ∠4 = 180°. З цих двох рівностей випливає, що навхрест кути, що лежать 1 і 3 рівні, тому прямі а і b паралельні. Теорему доведено.

Практичні способи побудови паралельних прямих

Ознаки паралельності прямих лежать основу способів побудови паралельних прямих з допомогою різних інструментів, використовуваних практично. Розглянемо, наприклад, спосіб побудови паралельних прямих за допомогою креслярського косинця та лінійки. Щоб побудувати пряму, що проходить через точку М і паралельну даній прямій а, прикладемо креслярський косинець до прямої а, а до нього лінійку так, як показано на малюнку 103. Потім, пересуваючи косинець уздовж лінійки, досягнемо того, щоб точка М опинилася на стороні косинця , і проведемо пряму b. Прямі а і b паралельні, оскільки відповідні кути, позначені малюнку 103 буквами α і β, рівні.

Рис. 103На малюнку 104 показаний спосіб побудови паралельних прямих за допомогою рейсшини. Цим способом користуються у креслярській практиці.

Рис. 104Аналогічний спосіб застосовується під час виконання столярних робіт, де для розмітки паралельних прямих використовується малка (дві дерев'яні планки, скріплені шарніром, рис. 105).

Рис. 105

Завдання

186. На малюнку 106 прямі а та b перетнуті прямий с. Доведіть, що а || b, якщо:

а) ∠1 = 37°, ∠7 = 143°;
б) ∠1 = ∠6;
в) ∠l = 45°, а кут 7 утричі більший за кут 3.

Рис. 106

187. За даними малюнка 107, доведіть, що АВ || DE.

Рис. 107

188. Відрізки АВ і CD перетинаються у їхній спільній середині. Доведіть, що прямі АС та BD паралельні.

189. Використовуючи дані малюнка 108, доведіть, що НД || AD.

Рис. 108

190. На малюнку 109 АВ = ВС, AD = DE, ∠C = 70°, ∠EAC = 35°. Доведіть, що DE || АС.

Рис. 109

191. Відрізок ВК - бісектриса трикутника АВС. Через точку К проведено пряму, що перетинає бік ВС у точці М так, що ВМ = МК. Доведіть, що прямі КМ та АВ паралельні.

192. У трикутнику АВС кут А дорівнює 40 °, а кут ВСЕ, суміжний з кутом АСВ, дорівнює 80 °. Доведіть, що бісектриса кута ВСІ паралельна прямій АВ.

193. У трикутнику ABC ∠A = 40°, ∠B = 70°. Через вершину проведена пряма BD так, що промінь ВС - бісектриса кута ABD. Доведіть, що прямі АС та BD паралельні.

194. Накресліть трикутник. Через кожну вершину цього трикутника за допомогою креслярського косинця та лінійки проведіть пряму, паралельну протилежній стороні.

195. Накресліть трикутник АВС та позначте точку D на стороні АС. Через точку D за допомогою креслярського косинця та лінійки проведіть прямі, паралельні двом іншим сторонам трикутника.