Елементи призми
| Назва | Визначення | Позначення на кресленні | Креслення |
| Підстави | Дві грані є конгруентними багатокутниками, що лежать у паралельних площинах. | ABCDE , KLMNP | |
| Бічні грані | Усі грані, крім підстав. Кожна бічна грань обов'язково паралелограмом. | ABLK , BCML , CDNM , DEPN , EAKP | |
| Бічна поверхня | Об'єднання бічних граней. | ||
| Повна поверхня | Об'єднання основ та бічної поверхні. | ||
| Бічні ребра | Загальні сторони бічних граней. | AK , BL , CM , DN , EP | |
| Висота | Відрізок, що з'єднує основи призми та перпендикулярний їм. | KR | |
| Діагональ | Відрізок, що з'єднує дві вершини призми, що не належать до однієї грані. | BP | |
| Діагональна площина | Площина , що проходить через бічне ребро призми та діагональ основи. | ||
| Діагональний переріз | Перетин призми та діагональної площини. У перерізі утворюється паралелограм, зокрема його окремі випадки - ромб, прямокутник, квадрат. | EBLP | |
| Перпендикулярний переріз | Перетин призми та площини, перпендикулярної до її бокового ребра. |
Властивості призми
- 1. Підстави призми є рівними багатокутниками.
- 2. Бічні грані призми є паралелограмами.
- 3. Бічні ребра призми паралельні та рівні.
- 4. Обсяг призми дорівнює творуїї висоти на площу основи:
- 5. Площа повної поверхні призми дорівнює сумі площі її бічної поверхні та подвоєної площі основи.
Види призм
Призми бувають пряміі похилі.
Пряма призма- призма, у якої всі бічні ребра перпендикулярні до основи.
Площа бічної поверхніпрямий призми дорівнює добутку периметра основи висоту.Похила призма- призма, у якої хоча б одне бічне ребро не перпендикулярне до основи.
Площа бічної поверхніпохилої призми дорівнює добутку периметра перпендикулярного перерізу на довжину бічного ребра. Обсяг похилої призмидорівнює добутку площі перпендикулярного перерізу на бічне ребро.Правильна призма- Пряма призма, основа якої є правильним багатокутником.
Властивості правильної призми
- 1. Основи правильної призми є правильними багатокутниками.
- 2. Бічні грані правильної призми є рівними прямокутниками.
- 3. Бічні ребра правильної призми рівні.
Див. також
Посилання
| Багатогранники | |
|---|---|
| Правильні (Платонові тіла) |
|
| Правильні неопуклі | Зоряний багатогранник (Зоряний октаедр, Зоряний додекаедр, Зоряний ікосоедр, Зірчастий ікосододекаедр) |
| Випуклі | |
| Формули, теореми, теорії | |
| Інше | |
Wikimedia Foundation. 2010 .
Дивитись що таке "Призма (математика)" в інших словниках:
- (початок) «Математика в дев'яти книгах» (кит. трад. 九章散術 … Вікіпедія
Розділ математики, що займається вивченням властивостей різних фігур (крапок, ліній, кутів, двовимірних та тривимірних об'єктів), їх розмірів та взаємного розташування. Для зручності викладання геометрію поділяють на планіметрію та стереометрію. У… … Енциклопедія Кольєра
Земляков, Олександр Миколайович Файл:Zemlyakov.jpg Олександр Миколайович Земляков (17 квітня 1950(19500417), Бологе 1 січня 2005, Чорноголівка) математик,видатний радянський і російський педагог, автор навчально-педагогічної ... ... Вікіпедія
Олександр Миколайович Земляков (17 квітня 1950 (19500417), Бологе 1 січня 2005, Чорноголівка) математик, видатний радянський та російський педагог, автор навчально-педагогічної літератури. Біографія Закінчив у 1967 році із золотою… … Вікіпедія
Додекаедр Правильний багатогранникабо платонове тіло це опуклий багатогранник, що складається з однакових правильних багатокутників і має просторову симетрію.
Цей термін має й інші значення, див. Пірамідацу (значення). Достовірність цього розділу статті поставлена під сумнів. Необхідно перевірити точність фактів, викладених у цьому розділі. На сторінці обговорення можуть бути … Вікіпедія
Призмоюназивається багатогранник, дві грані якого – рівні n-кутники (підстави) , що у паралельних площинах, інші n граней – паралелограммы (Бічні грані) . Боковим ребром призми називається сторона бічної грані, яка не належить підставі.
Призма, бічні ребра якої перпендикулярні до площин основ, називається прямий призмою (рис. 1). Якщо бічні ребра не перпендикулярні до площин основ, то призма називається похилій . Правильною призмою називається пряма призма, основи якої – правильні багатокутники.
Висотоюпризми називається відстань між площинами основ. Діагоналлю призми називається відрізок, що з'єднує дві вершини, що не належать до однієї грані. Діагональним перетином називається переріз призми площиною, що проходить через два бічні ребра, що не належать до однієї грані. Перпендикулярним перетином називається переріз призми площиною, перпендикулярною до бокового ребра призми.
Площею бічної поверхні призми називається сума площ усіх бічних граней. Площею повної поверхні називається сума площ усіх граней призми (тобто. сума площ бічних граней та площ основ).
Для довільної призми вірні формули:
де l- Довжина бічного ребра;
H- Висота;
P
Q
S бік
S повний
S осн– площа основ;
V- Обсяг призми.
Для прямої призми вірні формули:
де p– периметр основи;
l- Довжина бічного ребра;
H- Висота.
Паралелепіпедомназивається призма, основою якої є паралелограм. Паралелепіпед, у якого бічні ребра перпендикулярні до основ, називається прямим (Рис. 2). Якщо бічні ребра не перпендикулярні основам, то паралелепіпед називається похилим . Прямий паралелепіпед, основою якого є прямокутник, називається прямокутним. Прямокутний паралелепіпед, у якого всі ребра рівні, називається кубом.
Грані паралелепіпеда, що не мають спільних вершин, називаються протилежними . Довжини ребер, що виходять з однієї вершини, називаються вимірами паралелепіпеда. Оскільки паралелепіпед – це призма, основні його елементи визначаються аналогічно тому, як вони визначені для призм.
Теореми.
1. Діагоналі паралелепіпеда перетинаються в одній точці і діляться нею навпіл.
2. У прямокутному паралелепіпеді квадрат довжини діагоналі дорівнює сумі квадратів трьох його вимірів: 
3. 
Усі чотири діагоналі прямокутного паралелепіпеда рівні між собою.
Для довільного паралелепіпеда вірні формули:
де l- Довжина бічного ребра;
H- Висота;
P- Періметр перпендикулярного перерізу;
Q- Площа перпендикулярного перерізу;
S бік- Площа бічної поверхні;
S повний- Площа повної поверхні;
S осн– площа основ;
V- Обсяг призми.
Для прямого паралелепіпеда вірні формули:
де p– периметр основи;
l- Довжина бічного ребра;
H- Висота прямого паралелепіпеда.
Для прямокутного паралелепіпеда вірні формули:
(3)
де p– периметр основи;
H- Висота;
d– діагональ;
a, b, c- Виміри паралелепіпеда.
Для куба вірні формули:
де a- Довжина ребра;
d- Діагональ куба.
приклад 1.Діагональ прямокутного паралелепіпеда дорівнює 33 дм, а його виміри відносяться, як 2: 6: 9. Знайти виміри паралелепіпеда.
Рішення.Для знаходження вимірів паралелепіпеда скористаємося формулою (3), тобто. тим фактом, що квадрат гіпотенузи прямокутного паралелепіпеда дорівнює сумі квадратів його вимірів. Позначимо через kкоефіцієнт пропорційності. Тоді виміри паралелепіпеда дорівнюватимуть 2 k, 6kта 9 k. Запишемо формулу (3) для даних завдання:
Вирішуючи це рівняння щодо k, Отримаємо:
Отже, вимірювання паралелепіпеда дорівнюють 6 дм, 18 дм і 27 дм.
Відповідь: 6 дм, 18 дм, 27 дм.
приклад 2.Знайти об'єм похилої трикутної призми, основою якої є рівносторонній трикутник зі стороною 8 см, якщо бічне ребро дорівнює стороні основи і нахилено під кутом 60º до основи.
Рішення
.
Зробимо рисунок (рис. 3).
Для того, щоб знайти обсяг похилої призми необхідно знати площу її основи та висоту. Площа підстави цієї призми – це площа рівностороннього трикутника зі стороною 8 см. Обчислимо її:
Висотою призми є відстань між її основами. З вершини А 1 верхньої основи опустимо перпендикуляр на площину нижньої основи А 1 D. Його довжина і буде заввишки призми. Розглянемо D А 1 АD: так як це кут нахилу бокового ребра А 1 Адо площини основи, А 1 А= 8 см. З цього трикутника знаходимо А 1 D:
Тепер обчислюємо обсяг за формулою (1):
Відповідь: 192 см 3 .
приклад 3.Бокове ребро правильної шестикутної призми дорівнює 14 см. Площа найбільшого діагонального перерізу дорівнює 168 см 2 . Знайти площу повної поверхні призми.
Рішення.Зробимо малюнок (рис. 4)
Найбільший діагональний переріз – прямокутник AA 1 DD 1 , оскільки діагональ AD правильного шестикутника ABCDEFє найбільшою. Для того, щоб обчислити площу бічної поверхні призми, необхідно знати бік основи та довжину бічного ребра.
Знаючи площу діагонального перерізу (прямокутника), знайдемо діагональ основи.
Оскільки , то 
Бо те АВ= 6 див.
Тоді периметр основи дорівнює:
Знайдемо площу бічної поверхні призми:
Площа правильного шестикутника зі стороною 6 см дорівнює:
Знаходимо площу повної поверхні призми:
Відповідь: 
приклад 4.Підставою прямого паралелепіпеда служить ромб. Площі діагональних перерізів 300 см 2 та 875 см 2 . Знайти площу бічної поверхні паралелепіпеда.
Рішення.Зробимо рисунок (рис. 5).
Позначимо бік ромба через а, діагоналі ромба d 1 і d 2 , висоту паралелепіпеда h. Щоб знайти площу бічної поверхні прямого паралелепіпеда необхідно периметр основи помножити на висоту: (формула (2)). Периметр основи р = АВ + НД + CD + DA = 4AB = 4a, так як ABCD- Ромб. Н = АА 1 = h. Т.о. Необхідно знайти аі h.
Розглянемо діагональні перерізи. АА 1 СС 1 – прямокутник, одна сторона якого діагональ ромба АС = d 1 , друга – бічне ребро АА 1 = hтоді
Аналогічно для перерізу ВВ 1 DD 1 отримаємо:
Використовуючи властивість паралелограма таке, що сума квадратів діагоналей дорівнює сумі квадратів усіх його сторін, отримаємо рівність. Отримаємо таке.
З латинського як «щось відпиляне». Цей багатогранник завжди має дві основи, які розташовані в паралельних площинах і є рівними багатокутниками. Вони можуть бути трикутними, чотирикутними, а також n-кутовими.
Запам'ятайте, що кількість інших (бічних) граней залежить від виду основи. Якщо в основі трикутник, бічних граней відповідно виявиться три, чотирикутник – чотири тощо.
Майте на увазі, що ребра бічне ребро розташовується під кутом 90о до основи, призма називається прямою. Інакше – похилою. Якщо у прямий призмив основі виявиться правильний багатокутник, вона перетвориться на правильну призму. Приклад подібної геометричної фігури– куб.
Щоб обчислити периметр призми, знайдіть периметри основ та бічних граней призми, і всі розміри складіть один з одним. Для цього виміряйте за допомогою лінійки довжини сторін (або ребра) кожної грані. І порахуйте периметр кожного багатокутника.
Спростіть своє завдання. Так як розмір обох основ однаковий, поміряйте довжини ребер лише одного з них. Складіть розміри всіх сторін і помножте суму, що вийшла, на два.
Якщо підстави мають ребра рівного розміру, знайдіть кількість однакових бічних граней. Виміряйте довжини сторін однієї з цих граней, обчисліть її периметр. Помножте значення, що вийшло на загальне числооднакових граней.
Окремо порахуйте периметр кожної з тих бічних граней, що жодного разу не повторюється.
Складіть всі пораховані периметри – двох підстав, повторюваних бічних граней, і тих бічних граней, які мають аналога. Загальна сумадорівнюватиме периметру призми.
Зверніть увагу
Обчислення периметра залежить від виду призми. Він підраховується однаково і для прямої, і для похилої призми.
Джерела:
- Призми
Журналісти інтернет-видання Forbes з'ясували, що Управління внутрішньої політикипри адміністрації президента почало відслідковувати та моніторити соціальну активність росіян в інтернеті за допомогою терміналу «Призма». Ця система вже встановлена у кабінеті керівника Управління В'ячеслава Волошина.
Розробником терміналу є компанія "Медіалогія", на її сайті йдеться, що система призначена для відстеження активності користувачів соціальних системта здатна в реальному часі обробляти інформаційні потоки від 60 мільйонів джерел. Теми, що цікавлять користувача, можуть бути будь-якими і налаштовуються вручну. Зокрема, розробники стверджують, що термінал здатний відслідковувати підвищення активності користувачів соцмереж, що загрожує зростанням соціальної напруженості. До питань, які може контролювати система, належать: екстремізм, участь у заворушеннях та несанкціонованих мітингах, протестні настрої, обговорення зростання цін, тарифів ЖКГ, зарплат та пенсій, рівня медичного обслуговування.
Працюють термінали «Призма» на основі лінгвістичного та семантичного аналізу записів на форумах та в блогах. Система може відстежувати як окремі блоги, так і акаунти у соціальних мережах. Використовувані дозволяють аналізувати та діагностувати позитивну чи негативну тональність висловлювань із похибкою, що дорівнює всього 2-3%.
На моніторі користувача відображаються найактуальніші новини, що обговорюються в соціальних мережах, вони представлені кластерами топових сюжетів. За бажання, можна, з яких блогів і записів було складено ту чи іншу новину або тему. До кожного сюжету дається оцінка характером висловлювань, у своїй на моніторі відбивається як кількість позитивних, і негативних оцінок. Зі списком їх авторів також можна ознайомитися. Динаміка висловлювань та оцінок може бути представлена у вигляді графіка.
Але система має і слабкі місця, які зумовлені специфікою мережного спілкування Так, використання горезвісної «олбанської» мови здатне зробити непридатною для машинного сприйняття та подальшого аналізу. Це ж стосується саркастичних, іронічних і «загартованих» висловлювань, втім, розпізнати їх дано часом не .
Відео на тему
Джерела:
- як працює термінали
У середині серпня 2012 року інтернет-видання Forbes на своєму сайті опублікувало інформацію про те, що у Кремлі почали моніторити соціальні мережі за допомогою терміналів «Призму», встановлених у кабінетах вищих посадових осіб держави. Незважаючи на запевнення Дмитра Медведєва, який зустрічався з активом «Єдиної Росії», про те, що уряд не цікавить думку користувачів соцмереж, сам факт використання подібних терміналів свідчить про протилежне.
Досвід відстеження політичних настроїв активної частини суспільства через соціальні мережі вже є на Заході. Так, у США в Twitter ведеться сервіс мікроблогів, який порівнює кількість позитивних та негативних відгуків про того чи іншого учасника передвиборної компанії з загальною кількістюопублікованих записів. Щотижня аналізу піддається близько двох мільйонів записів про Барака Обаму або Мітте Ромні.
Розробниками системи, подібної до західної, – терміналу «Призма» є компанія «Медіологія». Вона стверджує, що можливості розробки досить високі – в режимі реального часу можна опрацьовувати інформацію, що надходить одночасно від 60 мільйонів джерел. «Призма» здатна відстежувати динаміку зміни кількості позитивних чи негативних відгуків те чи інше подія, враховуючи у своїй штучні накрутки, що виникають у результаті атак ботов.
Теми, які вибираються для статистичних вибірок, налаштовуються вручну. В інформації, що просочилася з Управління внутрішньої політики адміністрації Президента, стверджується, що термінал, встановлений там, дозволяє відстежувати перебіг дискусій у соціальних мережах та блогах на LiveJournal, Twitter, YouTube. Джерело в адміністрації Президента, яке Forbes називає надійним, стверджує, що до спостереження за блогами ставляться дуже серйозно, термінал встановлено безпосередньо у кабінеті керівника Управління В'ячеслава Володіна.
На сайті розробників стверджується, що за допомогою терміналу «Призма» можливо проводити моніторинг активності користувачів та визначати той градус соцмедіа активності, який може призвести до зростання політичної та соціальної напруги. Система відслідковує збільшення протестних та екстремістських настроїв, дискусій про збільшення рівня цін, проблем ЖКГ, обговорення питань, пов'язаних із зарплатами та пенсіями, корупцією, рівнем медичного обслуговування та ін.
Цей інтерес влади до того, що хвилює інтернет-користувачів, яких з кожним роком стає дедалі більше, звичайно, тішить. Залишається тільки відкритим питання, наскільки вони зможуть правильно скористатися отримуваною інформацією, і наскільки влада буде готова вирішувати ті проблеми, які ставить перед нею частина населення країни, що користується соціальними мережами.
Відео на тему
У шкільній програміза курсом стереометрії вивчення об'ємних постатей зазвичай починається з простого геометричного тіла - багатогранника призми. Роль її основ виконують 2 рівні багатокутники, що лежать у паралельних площинах. Окремим випадком є правильна чотирикутна призма. Її основами є 2 однакові правильні чотирикутники, до яких перпендикулярні бічні сторони, що мають форму паралелограмів (або прямокутників, якщо призма не похила).
Як виглядає призма
Правильною чотирикутною призмою називається шестигранник, в основах якого знаходяться 2 квадрати, а бічні грані представлені прямокутниками. Інша назва для цієї геометричної фігури – прямий паралелепіпед.
Малюнок, на якому зображено чотирикутну призму, показано нижче.
На зображенні також можна побачити найважливіші елементи, з яких складається геометричне тіло . До них прийнято відносити:
Іноді у завданнях з геометрії можна зустріти поняття перерізу. Визначення звучатиме так: перетин - це всі точки об'ємного тіла, що належать площині, що сить. Перетин буває перпендикулярним (перетинає ребра фігури під кутом 90 градусів). Для прямокутної призми також розглядається діагональний переріз (максимальна кількість перерізів, яких можна побудувати - 2), що проходить через 2 ребра та діагоналі основи.
Якщо перетин намальовано так, що січна площина не паралельна ні основам, ні бічним граням, в результаті виходить зрізана призма.
Для знаходження наведених призматичних елементів використовуються різні відносини та формули. Частина їх відома з курсу планіметрії (наприклад, знаходження площі підстави призми досить згадати формулу площі квадрата).
Площа поверхні та обсяг
Щоб визначити обсяг призми за формулою, необхідно знати площу її основи та висоту:
V = Sосн · h
Оскільки основою правильної чотиригранної призми є квадрат зі стороною a,можна записати формулу у більш докладному вигляді:
V = a²·h
Якщо йдеться про куб - правильну призму з рівною довжиною, шириною і висотою, об'єм обчислюється так:
Щоб зрозуміти, як знайти площу бічної поверхні призми, необхідно уявити її розгортку.
З креслення видно, що бічна поверхня складена із 4 рівних прямокутників. Її площа обчислюється як добуток периметра основи на висоту фігури:
Sбік = Pосн · h
З урахуванням того, що периметр квадрата дорівнює P = 4a,формула набуває вигляду:
Sбік = 4a·h
Для куба:
Sбік = 4a²
Для обчислення площі повної поверхні призми потрібно до бічної площі додати 2 площі підстав:
Sповн = Sбік + 2Sосн
Стосовно чотирикутної правильної призми формула має вигляд:
Sповн = 4a·h + 2a²
Для площі поверхні куба:
Sповн = 6a²
Знаючи обсяг чи площу поверхні, можна обчислити окремі елементи геометричного тіла.
Знаходження елементів призми
Часто зустрічаються завдання, в яких дано обсяг або відома величина бічної площі поверхні, де необхідно визначити довжину сторони основи або висоту. У таких випадках формули можна вивести:
- довжина сторони основи: a = Sбік / 4h = √(V / h);
- довжина висоти або бічного ребра: h = Sбік / 4a = V / a²;
- площа основи: Sосн = V/h;
- площа бічної грані: Sбік. гр = Sбік / 4.
Щоб визначити, яку площу має діагональний переріз, необхідно знати довжину діагоналі та висоту фігури. Для квадрата d = a√2.З цього випливає:
Sдіаг = ah√2
Для обчислення діагоналі призми використовується формула:
dприз = √(2a² + h²)
Щоб зрозуміти, як застосовувати наведені співвідношення, можна попрактикуватися і вирішити кілька нескладних завдань.
Приклади завдань із рішеннями
Ось кілька завдань, що зустрічаються у державних підсумкових іспитах з математики.
Завдання 1.
У коробку, що має форму правильної чотирикутної призми, насипаний пісок. Висота його рівня становить 10 см. Яким стане рівень піску, якщо перемістити його в ємність такої ж форми, але з довжиною основи вдвічі більше?
Слід міркувати так. Кількість піску в першій та другій ємності не змінювалося, тобто його обсяг у них збігається. Можна позначити довжину основи за a. У такому разі для першої коробки обсяг речовини становитиме:
V₁ = ha² = 10a²
Для другої коробки довжина основи становить 2a, але невідома висота рівня піску:
V₂ = h (2a)² = 4ha²
Оскільки V₁ = V₂, Можна прирівняти вирази:
10a² = 4ha²
Після скорочення обох частин рівняння на a² виходить:
В результаті новий рівень піску становитиме h = 10/4 = 2,5див.
Завдання 2.
ABCDA₁B₁C₁D₁ — правильна призма. Відомо, що BD = AB₁ = 6√2. Знайти площу повної поверхні тіла.
Щоб було простіше зрозуміти, які елементи відомі, можна зобразити фігуру.
Оскільки йдеться про правильну призму, можна дійти невтішного висновку, що у підставі знаходиться квадрат із діагоналлю 6√2. Діагональ бічної грані має таку ж величину, отже, бічна грань теж має форму квадрата, що дорівнює підставі. Виходить, що всі три виміри – довжина, ширина та висота – рівні. Можна зробити висновок, що ABCDA₁B₁C₁D₁ є кубом.
Довжина будь-якого ребра визначається через відому діагональ:
a = d / √2 = 6√2 / √2 = 6
Площа повної поверхні знаходиться за формулою для куба:
Sповн = 6a² = 6 · 6² = 216
Завдання 3.
У кімнаті виконується ремонт. Відомо, що її підлога має форму квадрата із площею 9 м². Висота приміщення становить 2,5 м. Яка найменша вартість обклеювання кімнати шпалерами, якщо 1 м² коштує 50 рублів?
Оскільки підлога і стеля є квадратами, тобто правильними чотирикутниками, стіни її перпендикулярні горизонтальним поверхням, можна зробити висновок, що вона є правильною призмою. Необхідно визначити площу її бічної поверхні.
Довжина кімнати складає a = √9 = 3м.
Шпалери буде обклеєна площа Sбок = 4 · 3 · 2,5 = 30 м ².
Найнижча вартість шпалер для цієї кімнати складе 50 · 30 = 1500карбованців.
Таким чином, для вирішення задач на прямокутну призму достатньо вміти обчислювати площу та периметр квадрата та прямокутника, а також володіти формулами для знаходження об'єму та площі поверхні.
Як знайти площу куба
Визначення.
Це шестигранник, основами якого є два рівні квадрати, а бічні грані є рівними прямокутниками.
Бокове ребро- це спільна сторона двох суміжних бічних граней
Висота призми- це відрізок, перпендикулярний до основ призми
Діагональ призми- відрізок, що з'єднує дві вершини основ, що не належать до однієї грані
Діагональна площина- площина, яка проходить через діагональ призми та її бічні ребра
Діагональний переріз- межі перетину призми та діагональної площини. Діагональний переріз правильної чотирикутної призми є прямокутником.
Перпендикулярний переріз (ортогональний переріз)- це перетин призми та площини, проведеної перпендикулярно її бічним ребрам.
Елементи правильної чотирикутної призми
На малюнку зображено дві правильні чотирикутні призми, у яких позначені відповідними літерами:
- Підстави ABCD і A 1 B 1 C 1 D 1 рівні та паралельні один одному
- Бічні грані AA 1 D 1 D, AA 1 B 1 B, BB 1 C 1 C та CC 1 D 1 D, кожна з яких є прямокутником
- Бічна поверхня - сума площ усіх бічних граней призми
- Повна поверхня - сума площ усіх основ та бічних граней (сума площі бічної поверхні та основ)
- Бічні ребра AA 1 , BB 1 , CC 1 та DD 1 .
- Діагональ B 1 D
- Діагональ основи BD
- Діагональний переріз BB 1 D 1 D
- Перпендикулярний переріз A2B2C2D2.
Властивості правильної чотирикутної призми
- Підставами є два рівні квадрати
- Підстави паралельні одна одній
- Боковими гранями є прямокутники
- Бічні грані рівні між собою
- Бічні грані перпендикулярні основам
- Бічні ребра паралельні між собою та рівні
- Перпендикулярний перетин перпендикулярно всім бічних ребрах і паралельно основам
- Кути перпендикулярного перерізу – прямі
- Діагональний переріз правильної чотирикутної призми є прямокутником.
- Перпендикулярний (ортогональний переріз) паралельно основам
Формули для правильної чотирикутної призми
Вказівки до вирішення завдань
При вирішенні завдань на тему правильна чотирикутна призмамається на увазі, що:Правильна призма- призма в основі якої лежить правильний багатокутник, а бічні ребра перпендикулярні до площин основи. Тобто правильна чотирикутна призма містить у своїй основі квадрат. (Див. вище властивості правильної чотирикутної призми) Примітка. Це частина уроку із завданнями з геометрії (розділ стереометрія – призма). Тут розміщені завдання, які викликають труднощі під час вирішення. Якщо Вам необхідно вирішити задачу геометрії, якої тут немає - пишіть про це у форумі. Для позначення дії вилучення квадратного кореняу розв'язках задач використовується символ√ .
Завдання.
У правильній чотирикутній призмі площа основи 144 см 2 , а висота 14 см. Знайти діагональ призми та площу повної поверхні.Рішення.
Правильний чотирикутник – це квадрат.
Відповідно, сторона основи дорівнюватиме
Звідки діагональ основи правильної прямокутної призми дорівнюватиме
√(12 2 + 12 2 ) = √288 = 12√2
Діагональ правильної призми утворює з діагоналлю основи та висотою призми прямокутний трикутник. Відповідно, за теоремою Піфагора діагональ заданої правильної чотирикутної призми дорівнюватиме:
√((12√2) 2 + 14 2 ) = 22 см
Відповідь: 22 см
Завдання
Визначте повну поверхню правильної чотирикутної призми, якщо її діагональ дорівнює 5 см, а діагональ бічної грані дорівнює 4 см.Рішення.
Оскільки в основі правильної чотирикутної призми лежить квадрат, то бік основи (позначимо як a) знайдемо за теоремою Піфагора:
A 2 + a 2 = 5 2
2a 2 = 25
a = √12,5
Висота бічної грані (позначимо як h) тоді дорівнюватиме:
H 2 + 12,5 = 4 2
h 2 + 12,5 = 16
h 2 = 3,5
h = √3,5
Площа повної поверхні дорівнюватиме сумі площі бічної поверхні та подвоєної площі основи
S = 2a 2 + 4ah
S = 25 + 4√12,5 * √3,5
S = 25 + 4√43,75
S = 25 + 4√(175/4)
S = 25 + 4√(7*25/4)
S = 25 + 10√7 ≈ 51,46 см 2 .
Відповідь : 25 + 10√7 ≈ 51,46 см 2 .
