Інструкція
Спосіб 1. Використання теореми Піфагора. Теорема каже: квадрат гіпотенузи дорівнює суміквадратів катетів. Звідси випливає, що будь-яку зі сторін прямокутного трикутникаможна обчислити, знаючи дві інші сторони (рис.2)
Спосіб 2. Випливає з того, що медіана, проведена з гіпотенузи, утворює між собою 3 подібні трикутники (рис. 3). На цьому малюнку подібними є трикутники ABC, BCD та ACD.
Приклад 6: Використання кіл одиниць для пошуку координат
Спочатку ми знаходимо опорний кут, що відповідає даному кутку. Тоді ми візьмемо синус і косинус значення опорного кута, і дати їм знаки, що відповідають у - і х - значень квадранта. Далі ми знайдемо косинус та синус заданого кута.
Ситовий кут, трикутник кута та кубічний корінь
Багатокутники, які можуть бути побудовані за допомогою компасу та лінійки, включають.Зауважимо: ситовий кут не можна побудувати за допомогою компаса та лінійки. Множення довжини сторони куба кубічним коренем з 2 дає бічну довжину куба з подвійним об'ємом. За допомогою новаторської теорії французького математика Евариста Галуа можна показати, що для всіх трьох класичних завданьпобудова з колом та лінійкою неможлива.
Гіпотенузою називається сторона у прямокутному трикутнику, яка знаходиться навпроти кута 90 градусів. Щоб розрахувати його довжину, достатньо знати довжину одного з катетів і величину одного з гострих кутів трикутника.
Майте на увазі: трикомпонентний кут і конструкція кубічного кореня неможливі з компасом та лінійкою. 
З іншого боку, рішення рівняння третього ступеня за формулою Кардано може бути представлене розподілом кута та кубічного кореня. Надалі ми будуємо певний кут із колом та лінійкою. Однак після того, як трикутник цього кута і визначення кубічного кореня, завершення конструкції квадрата сита може бути виконано за допомогою компаса і лінійки.
Побудова ґратчастої колоди згідно з цим розрахунком
Алгебраїчне формулювання завдання побудови призводить до рівняння, структурний аналіз якого надасть додаткову інформацію про побудову потрійної структури. Тут використовується взаємно однозначне відношення кута до його косінус: якщо відома величина кута, довжина косинуса кута може бути однозначно побудована на одиничному колі і навпаки.
Інструкція
При відомому катете і гострому вугіллі прямокутного трикутника, то розмір гіпотенузи може дорівнювати відношенню катета до косинусу/синусу цього кута, якщо даний кут є протилежним/прилеглим:
h = C1(або C2)/sinα;
h = С1(або С2)/cosα.
Приклад: Нехай дано прямокутний трикутник ABC з гіпотенузою AB і прямим кутом C. Нехай кут B дорівнює 60 градусів, а кут A 30 градусів Довжина катета BC 8 см. Треба знайти довжину гіпотенузи AB. Для цього можна скористатися будь-яким із запропонованих вище способів:
Це однозначне взаємно завдання дозволяє перейти від визначення кута до визначення косинуса кута. Надалі 3 φ означає кут, який повинен бути розділений. Таким чином, φ - кут, величина якого повинна визначатися за заданих 3 φ. Починаючи з сполук, відомих із тригонометрії.
Слід при заданому куті 3? p align="justify"> Алгебраїчний розгляд дозвільності тривимірного рівняння призводить безпосередньо до питання про можливість побудови рішень і, отже, до питання про можливість або неможливість конструктивного потрійного кута даного кута.
AB = BC/cos60 = 8 см.
AB = BC/sin30 = 8 см.
Гіпотенузою називають бік прямокутного трикутника, що лежить навпроти прямого кута. Вона є найбільшою стороною прямокутного трикутника. Розрахувати її можна за теоремою Піфагора або за допомогою формул тригонометричних функцій.
Величина кута виходу дуже впливає на можливість ув'язування третього кута, оскільки це, як абсолютний член, рішуче визначає тип рішень у тривимірному рівнянні. Якщо рівняння тріангуляції має принаймні одне речове рішення, яке може бути отримане раціональними операціями або малюнком квадратного коріннядля заданого початкового кута це рішення є конструктивним.
Брейденбах сформулював як критерій, що трисекундність кута може бути витлумачена тільки в раціональному рішенні рівняння трьох частин. Якщо таке рішення недоступне, проблема тричастинної конструкції непримиренна з компасом та лінійкою. Кластерний аналіз - загальний метод збирання невеликих груп із великого набору даних. Подібно до дискримінантного аналізу, кластерний аналіз також використовується для класифікації спостережень у групах. З іншого боку, дискримінаційний аналіз вимагає знання членства у групах у випадках, які використовуються для отримання правила класифікації.
Інструкція
Катетами називають сторони прямокутного трикутника, що належать до прямого кута. На малюнку катети позначені як AB та BC. Нехай задані довжини обох катетів. Позначимо їх як | AB | та |BC|. Щоб знайти довжину гіпотенузи |AC|, скористаємося теоремою Піфагора. Відповідно до цієї теоремі сума квадратів катетів дорівнює квадрату гіпотенузи, тобто. у позначеннях нашого малюнка |AB|^2 + |BC|^2 = |AC|^2. З формули отримуємо, що довжина гіпотенузи AC перебуває як |AC| = √(|AB|^2 + |BC|^2).
Кластерний аналіз є більш примітивним методом, оскільки він не робить припущень про кількість груп або членство у групах. Класифікація Кластерний аналіз забезпечує спосіб виявлення потенційних відносин та створення систематичної структури у великій кількості змінних та спостережень. Ієрархічний кластерний аналіз є основним статистичним методомдля пошуку щодо однорідних кластерів випадків з урахуванням виміряних характеристик. Він починається з кожного випадку як окремий кластер.
Потім кластери об'єднуються послідовно, кількість кластерів зменшується з кожним кроком, доки залишається лише один кластер. Метод кластеризації використовує різницю між об'єктами на формування кластерів. Ієрархічний кластерний аналіз найкраще підходить для невеликих вибірок.
Розглянемо приклад. Нехай задані довжини катетів | AB | = 13, | BC | = 21. По теоремі Піфагора отримуємо, що |AC|^2 = 13^2 + 21^2 = 169 + 441 = 610. Щоб отримати довжину гіпотенузи, необхідно витягти квадратний корінь із суми квадратів катетів, тобто. у складі 610: |AC| = √610. Скориставшись таблицею квадратів цілих чисел, з'ясовуємо, що число 610 перестав бути повним квадратом будь-якого цілого числа. Щоб отримати остаточне значення довжини гіпотенузи, спробуємо винести повний квадратз під знак кореня. Для цього розкладемо число 610 на множники. 610 = 2 * 5 * 61. За таблицею найпростіших чисел дивимося, що 61 – число просте. Тому подальше наведення числа √610 неможливе. Отримуємо остаточну відповідь | AC | = √610.
Якби квадрат гіпотенузи дорівнював, наприклад, 675, тоді √675 = √(3 * 25 * 9) = 5 * 3 * √3 = 15 * √3. У разі, якщо подібне наведення можливе, виконуйте зворотну перевірку - зведіть результат у квадрат і порівняйте з вихідним значенням.
Ієрархічний кластерний аналіз є лише одним із способів спостереження за формуванням однорідних змінних груп. Немає конкретного способу встановити кількість кластерів для аналізу. Можливо, вам потрібно подивитися на дендрограму, а також характеристики кластерів, а потім налаштувати число поетапно, щоб отримати хороше кластерне рішення.
Коли змінні вимірюються у різних масштабах, у вас є три способи стандартизації змінних. В результаті всі змінні з приблизно рівними пропорціями сприяють виміру відстані, навіть якщо ви можете втратити інформацію про дисперсію змінних.
Нехай нам відомий один із катетів і прилеглий до нього кут. Для певності нехай це катет |AB| та кут α. Тоді ми можемо скористатися формулою для тригонометричної функції косинус - косинус кута дорівнює відношенню прилеглого катета до гіпотенузи. Тобто. у наших позначеннях cos α = | AB | / | AC |. Звідси отримуємо довжину гіпотенузи | AC | = | AB | / cos α.
Якщо нам відомі катет |BC| та кут α, то скористаємося формулою для обчислення синуса кута – синус кута дорівнює відношенню протилежного катета до гіпотенузи: sin α = |BC| / | AC |. Отримуємо, що довжина гіпотенузи як |AC| = | BC | / cos α.
Евклідова відстань: евклідова відстань є найпоширенішим методом виміру. Квадратна евклідова відстань: квадрат евклідової відстані фокусує увагу на об'єктах, що знаходяться далі один від одного. Відстань до блоку міста: як міський квартал, так і евклідова відстань – це особливі випадки метрики Мінковського. У той час як евклідова відстань відповідає довжині найкоротшого шляху між двома точками, відстань по міському блоку є сумою відстаней вздовж кожного виміру. Кореляційна відстань Пірсона Різниця між 1 та коефіцієнтом косинуса двох спостережень Косинус-коефіцієнт є косинусом кута між двома векторами. Відстань Жакара Різниця між 1 та коефіцієнтом Жакарда для двох спостережень Для двійкових даних коефіцієнт Жакара дорівнює відношенню величини перекриття та сумарній кількості двох спостережень. Найближчий сусід Цей метод передбачає, що відстань між двома кластерами відповідає відстані між об'єктами їхнього найближчого сусідства. Найкращий сусід У цьому методі відстань між двома кластерами відповідає максимальній відстані між двома об'єктами у різних кластерах. Середня за групою: за допомогою цього методу відстань між двома кластерами відповідає середній відстані між усіма парами об'єктів у різних кластерах. Цей метод зазвичай рекомендується, оскільки він містить більший обсяг інформації. Цей метод ідентичний методу центроїду, за винятком того, що він не зважений. Потім кожного випадку обчислюється квадратичне евклидова відстань до середніх значень кластера. Кластер, який має бути об'єднаний - це той, який збільшує суму як мінімум. Тобто цей метод мінімізує збільшення загальної сумиквадратів відстаней усередині кластерів. Цей метод має тенденцію створювати менші кластери.
- Це геометрична відстань у багатовимірному просторі.
- Він підходить лише для безперервних змінних.
- Косинус Відстань Косинус кута між двома векторами значень.
- Цей метод рекомендується під час малювання мальованих кластерів.
- Якщо мальовані кластери утворюють унікальні грудки, метод підходить.
- Центроід кластера – це середня точка у багатовимірному просторі.
- Він не повинен використовуватися, якщо розміри кластерів разюче відрізняються.
- Середні значення для всіх змінних обчислюються для кожного кластера.
- Ці відстані підсумовуються всім випадків.
Для наочності розглянемо приклад. Нехай дана довжина катета | AB | = 15. І кут α = 60 °. Отримуємо |AC| = 15 / cos 60 ° = 15 / 0.5 = 30.
Розглянемо як можна перевірити свій результат за допомогою теореми Піфагора. І тому необхідно порахувати довжину другого катета |BC|. Скориставшись формулою для тангенсу кута tg = |BC| / | AC |, отримуємо | BC | = | AB | * tg α = 15 * tg 60 ° = 15 * √3. Далі застосовуємо теорему Піфагора, отримуємо 15^2+(15*√3)^2=30^2=>225+675=900. Перевірка виконана.
Функція синуса визначається з концепції синуса, враховуючи, що кут завжди має бути виражений у радіанах. Ми можемо спостерігати кілька характеристик синусоїдальної функції.
- Ваш домен містить усі реальні.
- І тут кажуть, що функція періодична, періоду 2π.
Ми можемо спостерігати кілька характеристик косинусної функції. Таким чином, це періодичний період 2π. . Обмеження не усуває спільності формули, тому що ми завжди можемо зменшити кути другого, третього та четвертого квадрантів до першого. Вправа. - Розрахуйте синус 15º без калькулятора.
Розрахувавши гіпотенузу, виконуйте перевірку – чи задовольняє отримане значення теоремі Піфагора.
Джерела:
- Таблиця простих чиселвід 1 до 10000
Катетаминазивають дві короткі сторони прямокутного трикутника, що становлять ту його вершину, величина якої дорівнює 90°. Третю сторону у такому трикутнику називають гіпотенузою. Всі ці сторони та кути трикутника пов'язані між собою певними співвідношеннями, які дозволяють обчислити довжину катета, якщо відомо кілька інших параметрів.
Косинус суми двох кутів
Косинус різниці двох кутів
Щоб отримати формулу, ми можемо діяти так само, як у попередньому розділі, але ми побачимо ще одну дуже просту демонстрацію, що базується на теоремі Піфагора. Спрощуючи та змінюючи знак, ми маємо. Стосовна сума та різниця двох кутів.Вправа. У сьогоднішній статті ми розглянемо дуже специфічне підмножина: тригонометричні функції. Щоб насолоджуватися всім, що пропонує математика, ми повинні імпортувати його. У наступній статті ми побачимо інші стилі імпорту, кожен з яких має свої переваги та недоліки. Але з цією простою інструкцією ви маєте доступ до всього простору імен математичного модуля, заповненого десятками функцій, серед яких ті, з якими ми матимемо справу сьогодні.
Інструкція
Використовуйте теорему Піфагора для обчислення довжини катета (A), якщо відома довжина двох інших сторін (B і C) прямокутного трикутника. Ця теорема стверджує, що сума зведених у квадрат довжин катетів дорівнює квадрату гіпотенузи. З цього випливає, що довжина кожного з катетів дорівнює квадратного кореняіз різниці квадратів довжин гіпотенузи та другого катета: A=√(C²-B²).
В принципі, нам потрібно буде обчислити синус, косинус та тангенс кута, а також його зворотні функції. Крім того, ми хотіли б мати можливість працювати як у радіанах, так і градусах, щоб ми могли також використовувати відповідні функції перетворення.
Ви повинні мати на увазі, що ці функції очікують, що аргумент буде надано в радіанах, а не в градусах. З цією метою вам буде цікаво дізнатися, що ви маєте наступну константу. Отже, ми можемо використовувати цей вираз замість числового значення.
Немає жодної прямої функції для косеканта, секущої та котангенсу, оскільки це необов'язково, оскільки вони просто зворотні синусоїдальному, косінусу та дотичній відповідно. Як і раніше, кут, що повертається, також знаходиться в радіанах. Інша корисна функція математики дозволяє нам дізнатися значення гіпотенузи правого трикутника з урахуванням його ніг, що дозволяє нам обчислити квадратний корінь із суми квадратів із них.
Скористайтеся визначенням прямої тригонометричної функції «синус» для гострого кута, якщо відома величина кута (α), що лежить навпроти обчислюваного катета, та довжина гіпотенузи (C). Це визначення стверджує, що синус цього відомого кута дорівнює відношенню довжини катета, що шукається, до довжини гіпотенузи. Це означає, що довжина катета, що шукається, дорівнює добутку довжини гіпотенузи на синус відомого кута: A=C∗sin(α). Для цих відомих величин можна використовувати і визначення функції косеканс і розрахувати потрібну довжину, розділивши довжину гіпотенузи на косеканс відомого кута A=C/cosec(α).
Визначте пряму тригонометричну функцію косинус, якщо крім довжини гіпотенузи (C) відома і величина гострого кута (β), прилеглого до шуканого катету. Косинус цього кута визначається як співвідношення довжин шуканого катета і гіпотенузи, та якщо з цього можна дійти невтішного висновку, що довжина катета дорівнює добутку довжини гіпотенузи на косинус відомого кута: A=C∗cos(β). Можна скористатися визначенням функції секанс і обчислити потрібне значення розділивши довжину гіпотенузи на секанс відомого кута A=C/sec(β).
Виведіть потрібну формулу з аналогічного визначення похідної тригонометричної функції тангенс, якщо крім величини гострого кута (α), що лежить навпроти шуканого катета (A), відома довжина другого катета (B). Тангенсом протилежного шуканому катету кута називають відношення довжини цього катета до довжини другого катета. Отже, шукана величина дорівнюватиме добутку довжини відомого катета на тангенс відомого кута: A=B∗tg(α). З цих відомих величин можна вивести й іншу формулу, якщо скористатися визначенням функції котангенс. У цьому випадку для обчислення довжини катета треба буде знайти співвідношення довжини відомого катета до котангенсу відомого кута: A=B/ctg(α).
Відео на тему
Слово «катет» прийшло в російську мову з грецької. У точному перекладівоно означає виска, тобто перпендикуляр до землі. У математиці катетами називаються сторони, що утворюють прямий кут прямокутного трикутника. Протилежна цьому кутку сторона називається гіпотенузою. Термін «катет» застосовується також в архітектурі та технології зварювальних робіт.
Накресліть прямокутний трикутник АСВ. Позначте його катети як і b, а гіпотенузу - як. Усі сторони та кути прямокутного трикутника пов'язані між собою певними відносинами. Відношення катета, що протилежить одному з гострих кутів, до гіпотенузи називається синусом даного кута. У цьому трикутнику sinCAB=a/c. Косинус - це ставлення до гіпотенузи катета, тобто cosCAB=b/c. Зворотні відносини називаються секансом та косекансом.
Секанс даного кута виходить при розподілі гіпотенузи на прилеглий катет, тобто secCAB = c/b. Виходить величина, зворотна косинус, тобто виразити її можна за формулою secCAB=1/cosSAB.
Косеканс дорівнює частці від поділу гіпотенузи на протилежний катет і це величина, зворотна синусу. Вона може бути розрахована за формулою cosecCAB=1/sinCAB
Обидва катета пов'язані між собою тангенсом та котангенсом. У даному випадкутангенсом буде відношення сторони a до сторони b, тобто катета протилежного до прилеглого. Це відношення може бути виражене формулою tgCAB=a/b. Відповідно, зворотним ставленням буде котангенс: ctgCAB=b/a.
Співвідношення між розмірами гіпотенузи та обох катетів визначив ще давньогрецький математик Піфагор. Теоремою, названою його ім'ям, люди користуються досі. Вона свідчить, що квадрат гіпотенузи дорівнює сумі квадратів катетів, тобто с2 = a2 + b2. Відповідно, кожен катет дорівнюватиме квадратному кореню з різниці квадратів гіпотенузи та іншого катета. Цю формулу можна записати як b = √ (с2-а2).
Довжину катета можна виразити і через відомі вам співвідношення. Згідно з теоремами синусів і косінусів, катет дорівнює творугіпотенузи однією з цих функцій. Можна його виразити через тангенс або котангенс. Катету можна знайти, наприклад, за формулою a = b*tan CAB. Точно так само, залежно від заданих тангенсу або котангенсу, визначається і другий катет.
В архітектурі також використовується термін "катет". Він застосовується по відношенню до іонічної капітелі і позначає виска через середину її задка. Тобто і в цьому випадку цим терміном позначається перпендикуляр заданої лінії.
У технології зварювальних робіт є поняття «катет кутового шва». Як і в інших випадках, це найкоротша відстань. Тут йдеться про проміжок між однією з деталей, що зварюються, до межі шва, що знаходиться на поверхні іншої деталі.
Відео на тему
Джерела:
- що таке катет та гіпотенуза
Відео на тему
Зверніть увагу
При розрахунку сторін прямокутного трикутника може зіграти знання його ознак:
1) Якщо катет прямого кута лежить навпроти кута 30 градусів, він дорівнює половині гіпотенузи;
2) Гіпотенуза завжди довша за будь-який з катетів;
3) Якщо навколо прямокутного трикутника описано коло, то його центр має лежати в середині гіпотенузи.
Де було розглянуто завдання на розв'язання прямокутного трикутника, я пообіцяв викласти прийом запам'ятовування визначень синуса та косинуса. Використовуючи його, ви завжди швидко згадаєте - який катет відноситься до гіпотенузи (прилеглий або протилежний). Вирішив у «довгу скриньку не відкладати», необхідний матеріал нижче, прошу ознайомитися 😉
Справа в тому, що я не раз спостерігав, як учні 10-11 класів важко згадують дані визначення. Вони чудово пам'ятають, що катет відноситься до гіпотенузи, а ось який з них - забувають і плутають. Ціна помилки, як ви знаєте на іспиті, – це втрачений бал.
Інформація, яку я представлю безпосередньо до математики, не має жодного відношення. Вона пов'язана з образним мисленням і з прийомами словесно-логічного зв'язку. Саме так, я сам, раз і завжди запам'ятав дані визначення. Якщо ви їх все ж таки забудете, то за допомогою представлених прийомів завжди легко згадайте.
Нагадаю визначення синуса та косинуса у прямокутному трикутнику:
Косінусгострого кута у прямокутному трикутнику - це відношення прилеглого катета до гіпотенузи:
Сінусгострого кута в прямокутному трикутнику - це відношення протилежного катета до гіпотенузи:
Отже, які асоціації викликає слово косинус?
Напевно, у кожного свої 😉 Запам'ятовуйте зв'язку:
Таким чином, у вас відразу в пам'яті виникне вираз –
«… відношення ПРИЛЕЖНОГО катета до гіпотенузи».
Проблему з визначенням косинуса вирішено.
Якщо потрібно згадати визначення синуса в прямокутному трикутнику, то згадавши визначення косинуса, ви легко встановите, що синус гострого кута в прямокутному трикутнику - це ставлення протилежного катета до гіпотенузи. Адже катет всього два, якщо прилеглий катет «зайнятий» косинусом, то синусу залишається тільки протилежний.
Як бути з тангенсом та котангенсом? Плутанина та сама. Учні знають, що це ставлення катетів, але проблема згадати який до якого належить – чи протилежний до прилеглого, чи навпаки.
Визначення:
Тангенсгострого кута в прямокутному трикутнику - це відношення протилежного катета до прилеглого:
Котангенсгострого кута в прямокутному трикутнику - це відношення прилеглого катета до протилежного:
Як запам'ятати? Є два способи. Один так само використовує словесно-логічний зв'язок, інший – математичний.
СПОСІБ МАТЕМАТИЧНИЙ
Є таке визначення - тангенсом гострого кута називається відношення синуса кута до його косинусу:
*Запам'ятавши формулу, ви завжди зможете визначити, що тангенс гострого кута в прямокутному трикутнику - це відношення протилежного катета до прилеглого.
Аналогічно. Котангенсом гострого кута називається відношення косинуса кута до його синуса:
Отже! Запам'ятавши зазначені формули, ви завжди зможете визначити, що:
Тангенс гострого кута у прямокутному трикутнику - це відношення протилежного катета до прилеглого
Котангенс гострого кута в прямокутному трикутнику - це відношення катета, що прилягає до протилежного.
СПОСІБ СЛОВОВО-ЛОГІЧНИЙ
Про тангенс. Запам'ятайте зв'язку:
Тобто якщо потрібно згадати визначення тангенсу, за допомогою даного логічного зв'язку, ви легко згадаєте, що це
«... ставлення протилежного катета до прилеглого»
Якщо мова зайде про котангенс, то згадавши визначення тангенсу ви легко озвучите визначення котангенсу –
«… відношення прилеглого катета до протилежного»
Є цікавий прийом із запам'ятовування тангенсу та котангенсу на сайті " Математичний тандем " подивіться.
СПОСІБ УНІВЕРСАЛЬНИЙ
Можна просто зазубрити. Але як показує практика, завдяки словесно-логічним зв'язкам людина запам'ятовує інформацію надовго, і не лише математичну.
Сподіваюся, матеріал вам був корисний.
З повагою, Олександр Крутицьких
PS: Буду вдячний Вам, якщо розповісте про сайт у соціальних мережах.
Тригонометрія - розділ математичної науки, в якому вивчаються тригонометричні функції та їх використання у геометрії. Розвиток тригонометрії почався ще за часів античної Греції. За часів середньовіччя важливий внесок у розвиток цієї науки зробили вчені Близького Сходу та Індії.
Ця стаття присвячена базовим поняттям та визначенням тригонометрії. У ній розглянуто визначення основних тригонометричних функцій: синуса, косинуса, тангенсу та котангенсу. Роз'яснено та проілюстровано їх зміст у контексті геометрії.
Спочатку визначення тригонометричних функцій, аргументом яких є кут, виражалися через співвідношення сторін прямокутного трикутника.
Визначення тригонометричних функцій
Синус кута (sin α) - відношення катета, що протилежить цьому куту, до гіпотенузи.
Косинус кута (cos α) – відношення прилеглого катета до гіпотенузи.
Тангенс кута (t g α) - відношення протилежного катета до прилеглого.
Котангенс кута (c t g α) - відношення прилеглого катета до протилежного.
Дані визначення дано для гострого кута прямокутного трикутника!
Наведемо ілюстрацію.
У трикутнику ABC з прямим кутом С синус кута дорівнює відношенню катета BC до гіпотенузи AB.
Визначення синуса, косинуса, тангенсу та котангенсу дозволяють обчислювати значення цих функцій за відомими довжинами сторін трикутника.
Важливо пам'ятати!
Область значень синуса та косинуса: від -1 до 1. Іншими словами синус і косинус набувають значення від -1 до 1. Область значень тангенсу та котангенсу - вся числова пряма, тобто ці функції можуть приймати будь-які значення.
Визначення, дані вище, відносяться до гострих кутів. У тригонометрії вводиться поняття кута повороту, величина якого, на відміну від гострого кута, не обмежена рамками від 0 до 90 градусів.
У цьому контексті можна дати визначення синуса, косинуса, тангенсу та котангенсу кута довільної величини. Уявімо одиничне коло з центром на початку декартової системи координат.
Початкова точка A з координатами (1 , 0) повертається навколо центру одиничного кола на деякий кут і переходить в точку A 1 . Визначення дається через координати точки A 1 (x, y).
Синус (sin) кута повороту
Синус кута повороту - це ордината точки A 1 (x, y). sin α = y
Косинус (cos) кута повороту
Косинус кута повороту α - це абсцис точки A 1 (x, y). cos α = х
Тангенс (tg) кута повороту
Тангенс кута повороту - це відношення ординати точки A 1 (x, y) до її абсцисі. t g α = y x
Котангенс (ctg) кута повороту
Котангенс кута повороту - це відношення абсциси точки A 1 (x, y) до її ординаті. c t g α = x y
Синус та косинус визначені для будь-якого кута повороту. Це логічно, адже абсцису та ординату точки після повороту можна визначити за будь-якого вугілля. Інакше справа з тангенсом і котангенсом. Тангенс не визначено, коли точка після повороту перетворюється на точку з нульовою абсцисою (0 , 1) і (0 , - 1). У таких випадках вираз для тангенсу t g α = y x просто не має сенсу, оскільки в ньому є поділ на нуль. Аналогічно ситуація із котангенсом. Відмінністю у тому, що котангенс не визначено у випадках, як у нуль звертається ордината точки.
Важливо пам'ятати!
Синус та косинус визначені для будь-яких кутів α.
Тангенс визначений для всіх кутів, крім α = 90 ° + 180 ° · k , k ∈ Z (α = π 2 + π · k , k ∈ Z)
Котангенс визначений для всіх кутів, крім α = 180 ° · k , k ∈ Z (α = π · k , k ∈ Z)
При вирішенні практичних прикладівне кажуть "синус кута повороту α". Слова "кут повороту" просто опускають, маючи на увазі, що з контексту і так зрозуміло, про що йдеться.
Числа
Як бути з визначенням синуса, косинуса, тангенсу та котангенсу числа, а не кута повороту?
Синус, косинус, тангенс, котангенс числа
Синусом, косинусом, тангенсом і котангенсом числа tназивається число, яке відповідно дорівнює синусу, косинусу, тангенсу та котангенсу в tрадіан.
Наприклад, синус числа 10 π дорівнює синусу кута повороту величиною 10 π рад.
Існує й інший підхід до визначення синуса, косинуса, тангенсу та котангенсу числа. Розглянемо його докладніше.
Будь-якому дійсному числу tставиться у відповідність точка на одиничному колі з центром на початку прямокутної декартової системи координат. Синус, косинус, тангенс та котангенс визначаються через координати цієї точки.
Початкова точка на колі - точка A з координатами (1, 0).
Позитивного числа t
Негативному числу tвідповідає точка, в яку перейде початкова точка, якщо рухатиметься по колу проти годинникової стрілки та пройде шлях t .
Тепер, коли зв'язок числа та точки на колі встановлено, переходимо до визначення синуса, косинуса, тангенсу та котангенсу.
Синус (sin) числа t
Синус числа t- ордината точки одиничного кола, що відповідає числу t. sin t = y
Косинус (cos) числа t
Косинус числа t- абсцису точки одиничного кола, що відповідає числу t. cos t = x
Тангенс (tg) числа t
Тангенс числа t- відношення ординати до абсцису точки одиничного кола, що відповідає числу t. t g t = y x = sin t cos t
Останні визначення знаходяться у відповідності та не суперечать визначенню, даному на початку цього пункту. Крапка на колі, що відповідає числу tзбігається з точкою, в яку переходить початкова точка після повороту на кут tрадіан.
Тригонометричні функції кутового та числового аргументу
Кожному значенню кута відповідає певне значення синуса і косинуса цього кута. Також, як усім кутам α, відмінним від α = 90 ° + 180 ° · k , k ∈ Z (α = π 2 + π · k , k ∈ Z) відповідає певне значення тангенсу. Котангенс, як сказано вище, визначений для всіх α, крім α = 180 ° · k , k ∈ Z (α = π · k , k ∈ Z).
Можна сказати, що sin α, cos α, t g α, c t g α - це функції кута альфа, або функції кутового аргументу.
Аналогічно можна говорити про синус, косинус, тангенс і котангенс, як про функції числового аргументу. Кожному дійсному числу tвідповідає певне значення синуса чи косинуса числа t. Усім числам, відмінним від π 2 + π · k, k ∈ Z відповідає значення тангенсу. Котангенс, аналогічно, визначено всім чисел, крім π · k , k ∈ Z.
Основні функції тригонометрії
Синус, косинус, тангенс та котангенс - основні тригонометричні функції.
З контексту зазвичай зрозуміло, з яким аргументом тригонометричної функції (кутовий аргумент чи числовий аргумент) ми маємо справу.
Повернемося до даних на самому початку визначенням та кутку альфа, що лежить у межах від 0 до 90 градусів. Тригонометричні визначення синуса, косинуса, тангенсу та котангенсу повністю узгоджуються з геометричними визначеннями, даними за допомогою співвідношень сторін прямокутного трикутника. Покажемо це.
Візьмемо одиничне коло з центром у прямокутній декартовій системікоординат. Повернемо початкову точку A(1,0) на кут величиною до 90 градусів і проведемо з отриманої точки A1(x, y) перпендикуляр до осі абсцис. В отриманому прямокутному трикутнику кут A 1 O H дорівнює куту повороту α довжина катета O H дорівнює абсцисі точки A 1 (x , y) . Довжина катета, що протилежить куту, дорівнює ординаті точки A 1 (x , y) , а довжина гіпотенузи дорівнює одиниці, оскільки вона є радіусом одиничного кола.
Відповідно до визначення з геометрії, синус кута α дорівнює відношенню протилежного катета до гіпотенузи.
sin α = A 1 H O A 1 = y 1 = y
Значить, визначення синуса гострого кута в прямокутному трикутнику через співвідношення сторін еквівалентно визначенню синуса кута повороту α при альфа лежить в межах від 0 до 90 градусів.
Аналогічно відповідність визначень можна показати для косинуса, тангенсу та котангенсу.
Якщо ви помітили помилку в тексті, будь ласка, виділіть її та натисніть Ctrl+Enter
Знаючи один із катетів у прямокутному трикутнику, можна знайти другий катет та гіпотенузу використовуючи тригонометричні відносини – синус та тангенс відомого кута. Так як відношення протилежного куту катета до гіпотенузи дорівнює синусу цього кута, отже, щоб знайти гіпотенузу, потрібно катет розділити на синус кута. a/c=sinα c=a/sinα
Другий катет можна знайти з тангенсу відомого кута як відношення відомого катета до тангенсу. a/b=tanα b=a/tanα
Щоб обчислити невідомий кут прямокутному трикутнику потрібно з 90 градусів відняти величину кута α. β=90°-α
Периметр і площа прямокутного трикутника через катет і протилежний йому кут можна виразити, підставивши отримані раніше вирази для другого катета і гіпотенузи формули. P=a+b+c=a+a/tanα +a/sinα =a tanα sinα+a sinα+a tanα S=ab/2=a^2/( 2 tanα)
Обчислити висоту можна також через тригонометричні відносини, але вже у внутрішньому прямокутному трикутнику зі стороною a, який вона утворює. Для цього потрібно бік a, як гіпотенузу такого трикутника помножити на синус кута β або косинус α, оскільки згідно тригонометричним тотожностямвони рівнозначні. (рис. 79.2) h=a cosα
Медіана гіпотенузи дорівнює половині гіпотенузи або відомому катету a, поділеному на два синуси α. Щоб знайти медіани катетів, наведемо формули до відповідного виду для відомої сторонита кути. (рис.79.3) m_с=c/2=a/(2 sinα) m_b=√(2a^2+2c^2-b^2)/2=√(2a^2+2a^2+2b^ 2-b^2)/2=√(4a^2+b^2)/2=√(4a^2+a^2/tan^2α)/2=(a√(4 tan^2) α+1))/(2 tanα) m_a=√(2c^2+2b^2-a^2)/2=√(2a^2+2b^2+2b^2-a^2)/ 2=√(4b^2+a^2)/2=√(4b^2+c^2-b^2)/2=√(3 a^2/tan^2α +a^2/sin ^2α)/2=√((3a^2 sin^2α+a^2 tan^2α)/(tan^2α sin^2α))/2=(a√( 3 sin^2α+tan^2α))/(2 tanα sinα)
Так як бісектриса прямого кута в трикутнику є добуток двох сторін і кореня з двох, поділений на суму цих сторін, замінивши один з катетів на відношення відомого катета до тангенсу, отримуємо наступне вираз. Аналогічно, підставивши ставлення до другої та третьої формули, можна обчислити бісектриси кутів α і β. (рис.79.4) l_с=(a a/tanα √2)/(a+a/tanα)=(a^2 √2)/(a tanα+a)=(a√2)/ (tanα+1) l_a=√(bc(a+b+c)(b+c-a))/(b+c)=√(bc((b+c)^2-a^2))/ (b+c)=√(bc(b^2+2bc+c^2-a^2))/(b+c)=√(bc(b^2+2bc+b^2))/(b +c)=√(bc(2b^2+2bc))/(b+c)=(b√(2c(b+c)))/(b+c)=(a/tanα √(2c (a/tanα +c)))/(a/tanα +c)=(a√(2c(a/tanα +c)))/(a+c tanα) l_b=√ (ac(a+b+c)(a+c-b))/(a+c)=(a√(2c(a+c)))/(a+c)=(a√(2c(a+a) /sinα)))/(a+a/sinα)=(a sinα √(2c(a+a/sinα))))/(a sinα+a)
Середня лінія проходить паралельно одній зі сторін трикутника, при цьому утворюючи ще один подібний прямокутний трикутник з такими ж за величиною кутами, в якому всі сторони вдвічі менше, ніж у початкового. Виходячи з цього, середні лінії можна знайти за такими формулами, знаючи тільки катет і протилежний йому кут. (рис.79.7) M_a=a/2 M_b=b/2=a/(2 tanα) M_c=c/2=a/(2 sinα)
Радіус вписаного кола дорівнює різниці катетів і гіпотенузи, поділеної на два, а щоб знайти радіус описаного кола, потрібно розділити на два гіпотенузи. Замінюємо другий катет та гіпотенузу на відношення катета a до синуса та тангенсу відповідно. (рис. 79.5, 79.6) r=(a+b-c)/2=(a+a/tanα-a/sinα)/2=(a tanα sinα+a sinα-a tanα)/(2 tanα sinα) R=c/2=a/2sinα
У житті нам часто доведеться стикатися з математичними завданнями: у школі, в університеті, а потім допомагаючи своїй дитині з виконанням домашнього завдання. Люди певних професій стикатимуться з математикою щодня. Тому корисно запам'ятовувати чи згадувати математичні правила. У статті ми розберемо одне з них: знаходження катета прямокутного трикутника.
Що таке прямокутний трикутник
Спочатку згадаємо, що таке прямокутний трикутник. Прямокутний трикутник – це геометрична фігураіз трьох відрізків, які з'єднують точки, що не лежать на одній прямій, і один із кутів цієї фігури дорівнює 90 градусам. Сторони, що утворюють прямий кут, називаються катетами, а сторона, що лежить навпроти прямого кута – гіпотенузою.
Знаходимо катет прямокутного трикутника
Існує кілька способів, що дозволяють дізнатися про довжину катета. Хотілося б розглянути їх детальніше.
Теорема Піфагора, щоб знайти катет прямокутного трикутника
Якщо нам відомі гіпотенуза та катет, то ми можемо знайти довжину невідомого катета за теоремою Піфагора. Звучить вона так: "Квадрат гіпотенузи дорівнює сумі квадратів катетів". Формула: c²=a²+b², де c – гіпотенуза, a та b – катети. Перетворюємо формулу та отримуємо: a²=c²-b².
приклад. Гіпотенуза дорівнює 5 см, а катет – 3 см. Перетворюємо формулу: c²=a²+b² → a²=c²-b². Далі вирішуємо: a? = 5? -3?; a²=25-9; a²=16; a=√16; a = 4 (см).
Тригонометричні співвідношення, щоб знайти катет прямокутного трикутника
Також можна знайти невідомий катет, якщо відомі будь-яка інша сторона та будь-який гострий кут прямокутного трикутника. Є чотири варіанти знаходження катета за допомогою тригонометричних функцій: по синусу, косінусу, тангенсу, котангенсу. Для розв'язання задач нам допоможе таблиця, що знаходиться трохи нижче. Розглянемо ці варіанти.
Знайти катет прямокутного трикутника за допомогою синусу
Синус кута (sin) – це відношення протилежного катета до гіпотенузи. Формула: sin = a / c, де а - катет, що лежить проти даного кута, а з - гіпотенуза. Далі перетворимо формулу та отримуємо: a = sin * c.
приклад. Гіпотенуза дорівнює 10 см, кут А дорівнює 30 градусів. По таблиці обчислюємо синус кута А, він дорівнює 1/2. Потім за перетвореною формулою розв'язуємо: a=sin∠А*c; a=1/2*10; a=5 (см).
Знайти катет прямокутного трикутника за допомогою косинуса
Косинус кута (cos) – це відношення прилеглого катета до гіпотенузи. Формула: cos = b / c, де b - катет, що прилягає до цього кута, а з - гіпотенуза. Перетворимо формулу та отримаємо: b=cos*c.
приклад. Кут А дорівнює 60 градусів, гіпотенуза дорівнює 10 см. По таблиці обчислюємо косинус кута А, він дорівнює 1/2. Далі вирішуємо: b=cos∠A*c; b = 1/2 * 10, b = 5 (см).
Знайти катет прямокутного трикутника за допомогою тангенсу
Тангенс кута (tg) - це відношення протилежного катета до прилеглого. Формула: tg=a/b, де а – катет, що протилежить до кута, а b – прилеглий. Перетворимо формулу та отримуємо: a=tg*b.
приклад. Кут А дорівнює 45 градусів, гіпотенуза дорівнює 10 см. За таблицею обчислюємо тангенс кута А, він дорівнює Вирішуємо: a = tg∠A * b; a=1*10; a = 10 (см).
Знайти катет прямокутного трикутника за допомогою котангенсу
Котангенс кута (ctg) – це відношення прилеглого катета до протилежного. Формула: ctg=b/a, де b – катет, що прилягає до кута, а – протилежний. Інакше висловлюючись, котангенс – це “перевернутий тангенс”. Отримуємо: b=ctg*a.
приклад. Кут А дорівнює 30 градусів, протилежний катет дорівнює 5 см. За таблицею тангенс кута А дорівнює √3. Обчислюємо: b=ctg∠A*a; b=√3*5; b=5√3 (см).
Отже, тепер ви знаєте, як знаходити катет у прямокутному трикутнику. Як бачите, це не так уже й складно, головне – запам'ятати формули.
