, ламана і т. д.:

Якщо уважно подивитися на всі ці фігури, можна виділити дві з них, які утворені замкнутими лініями (коло і трикутник). Ці фігури мають свого роду кордон, що відокремлює те, що знаходиться всередині, від того, що знаходиться зовні. Тобто кордон ділить площину на дві частини: внутрішню та зовнішню областьщодо постаті, до якої вона належить:

Периметр

Периметр - це замкнута межа плоска геометричної фігури, Відокремлює її внутрішню область від зовнішньої.

Периметр має будь-яку замкнуту геометричну фігуру:

На малюнку периметри виділено червоною лінією. Зверніть увагу, що периметр кола часто називають довжиною.

Периметр вимірюється в одиницях виміру довжини: мм, см, дм, м, км.

У всіх багатокутників знаходження периметра зводиться до складання довжин усіх сторін, тобто периметр багатокутника завжди дорівнює сумідовжин його сторін. При обчисленні периметр часто позначають великою латинською літерою P:

Площа

Площа - це частина площини, яку займає замкнута плоска геометрична фігура.

Будь-яка плоска замкнута геометрична фігура має певну площу. На кресленнях площею геометричних фігур є внутрішня область, тобто частина площини, яка знаходиться всередині периметра.

Виміряти площуфігури - означає визначити, скільки разів у цій фігурі міститься інша фігура, прийнята за одиницю виміру. Зазвичай за одиницю виміру площі приймається квадрат, у якого сторона дорівнює одиниці виміру довжини: міліметру, сантиметру, метру і т.д.

На малюнку зображено квадратний сантиметр. - квадрат, у якого кожна сторона має довжину 1 см:

Площа вимірюється в квадратних одиницьах виміру довжини. До одиниць вимірювання площі відносяться: мм 2 см 2 м 2 км 2 і т. д.

Таблиця перекладу квадратних одиниць

	мм 2	см 2	дм 2	м 2	ар (сотка)	гектар (га)	км 2
мм 2	1 мм 2	0,01 см 2	10 -4 дм 2	10 -6 м 2	10 -8 ар	10 -10 га	10 -12 км 2
см 2	100 мм 2	1 см 2	0,01 дм 2	10 -4 м 2	10 -6 ар	10 -8 га	10 -10 км 2
дм 2	10 4 мм 2	100 см 2	1 дм 2	0,01 м 2	10 -4 ар	10 -6 га	10 -8 км 2
м 2	10 6 мм 2	10 4 см 2	100 дм 2	1 м 2	0,01 ар	10 -4 га	10 -6 км 2
ар	10 8 мм 2	10 6 см 2	10 4 дм 2	100 м 2	1 ар	0,01 га	10 -4 км 2
га	10 10 мм 2	10 8 см 2	10 6 дм 2	10 4 м 2	100 ар	1 га	0,01 км 2
км 2	10 12 мм 2	10 10 см 2	10 8 дм 2	10 6 м 2	10 4 ар	100 га	1 км 2

10 4 = 10 000	10 -4 = 0,000 1
10 6 = 1 000 000	10 -6 = 0,000 001
10 8 = 100 000 000	10 -8 = 0,000 000 01
10 10 = 10 000 000 000	10 -10 = 0,000 000 000 1
10 12 = 1 000 000 000 000	10 -12 = 0,000 000 000 001

Знання про те, як знайти периметр, учні отримують ще в початковій школі. Потім ця інформація постійно використовується протягом усього курсу математики та геометрії.

Загальна для всіх постатей теорія

Сторони прийнято позначати латинськими літерами. Причому можна позначати як відрізки. Тоді літер знадобиться по дві для кожної сторони та записані більшими. Або ввести позначку однією літерою, яка обов'язково буде маленькою.
Літери завжди вибирають за абеткою. Для трикутника вони будуть першими трьома. У шестикутника їх буде 6 – від а до f. Це зручно запровадження формул.

Тепер про те, як знайти периметр. Він є сумою довжин всіх сторін фігури. Кількість доданків залежить від її виду. Позначається периметр латинської літерою Р. Одиниці виміру збігаються з тими, що дано сторонам.

Формули периметрів різних фігур

Для трикутника: Р = а + в + с. Якщо він рівнобедрений, то формула перетворюється: Р = 2а + ст. Як знайти периметр трикутника, якщо він є рівностороннім? Допоможе така: Р = 3а.

Для довільного чотирикутника: Р = а + + з + d. Його окремим випадком є ​​квадрат, формула периметра: Р=4а. Є ще прямокутник, тоді потрібна така рівність: Р=2(а+в).

Як бути, якщо невідома довжина однієї чи кількох сторін трикутника?

Скористайтеся теоремою косінусів, якщо серед даних є дві сторони і кут між ними, який позначається буквою А. Тоді до того, як знайти периметр, доведеться порахувати третю сторону. Для цього стане в нагоді така формула: с² = а² + в² - 2 ав cos(А).

Окремим випадком зазначеної теореми є сформульована Піфагором для прямокутного трикутника. У ній значення косинуса прямого кутастає рівним нулю, А значить, останній доданок просто зникає.

Бувають ситуації, коли дізнатися, як знайти периметр трикутника можна по одній стороні. Але при цьому відомі ще й кути фігури. Тут на допомогу приходить теорема синусів, коли відносини довжин сторін до синусів відповідних протилежних кутів рівні.

У ситуації, коли периметр фігури потрібно дізнатися площею, стануть у нагоді інші формули. Наприклад, якщо відомий радіус вписаного кола, то у питанні про те, як знаходити периметр трикутника, стане в нагоді наступна формула: S = р * r, тут р - напівпериметр. Його треба вивести з цієї формули та помножити на два.

Приклади завдань

Умова першої.Дізнатися периметр трикутника, сторони якого 3, 4 і 5 см.
Рішення.Потрібно скористатися рівністю, яка зазначена вище, і просто підставити в нього дані завдання значення. Розрахунки легкі, вони призводять до 12 див.
Відповідь.Периметр трикутника дорівнює 12 див.

Умова другої.Одна сторона трикутника дорівнює 10 см. Відомо, що друга на 2 см більша за першу, а третя в 1,5 рази більша за першу. Потрібно обчислити його периметр.
Рішення. Для того, щоб його дізнатися, потрібно порахувати дві сторони. Друга визначиться як сума 10 та 2, третя дорівнює добутку 10 та 1,5. Потім залишиться лише порахувати суму трьох значень: 10, 12 та 15. Результатом буде 37 см.
Відповідь.Периметр дорівнює 37 див.

Умова третьої.Є прямокутник та квадрат. Одна сторона прямокутника дорівнює 4 см, інша на 3 см більше. Потрібно обчислити значення сторони квадрата, якщо його периметр менший на 6 см, ніж прямокутник.
Рішення.Друга сторона прямокутника дорівнює 7. Знаючи це легко обчислити його периметр. Розрахунок дає 22 см.
Щоб дізнатись бік квадрата, потрібно спочатку відняти 6 з периметра прямокутника, а потім розділити отримане число на 4. У результаті маємо число 4.
Відповідь.Сторона квадрата 4 див.

Напевно, кожен з нас навчав у школі таку важливу складову геометрії, як периметр. Знаходження периметра просто необхідне вирішення безлічі завдань. Про те, як знайти периметр розповість наша стаття.

Варто пам'ятати, що периметр будь-якої фігури – це майже завжди сума її сторін. Давайте розглянемо кілька різних геометричних фігур.

1. Прямокутник - це чотирикутник, у якого паралельні сторони рівні попарно між собою. Якщо одна сторона X, а інша Y, то ми отримаємо таку формулу для знаходження периметра цієї фігури:

   P = 2 (X + Y) = X + Y + X + Y = 2X + 2Y.

   Приклад розв'язання задачі:

   Припустимо, що сторона X = 5 см, сторона Y = 10 см. Отже, підставивши ці значення нашої формули, ми отримаємо - P = 2*5 див + 2* 10см = 30 див.

2. Трапеція – це чотирикутник, у якого дві протилежні сторони паралельні, але не рівні між собою. Периметр трапеції – це сума всіх чотирьох її сторін:

   P = X+Y+Z+W де X, Y, Z, W - сторони фігури.

   Приклад розв'язання задачі:

   Припустимо, що сторона X = 5 см, сторона Y = 10 см, сторона Z = 8 см, сторона W = 20 см. Отже, підставивши ці значення в нашу формулу, ми отримаємо - P = 5 см + 10 см + 8 см + 20 см = 43 см.

3. Периметр кола (довжину кола) можна обчислити за такою формулою:

   P = 2rπ = dπ, де r – це радіус кола, d – діаметр кола.

   Приклад розв'язання задачі:

   Припустимо, що радіус r нашого кола дорівнює 5 см, тоді діаметр d дорівнюватиме 2*5 см = 10 см. Відомо, що π = 3,14. Отже, підставивши ці значення нашу формулу, ми отримаємо - P = 2*5 див*3,14 = 31,4 див.

4. Якщо Вам необхідно знайти периметр трикутника, то Ви можете зіткнутися з рядом проблем, оскільки трикутники можуть мати дуже різні форми. Наприклад, є гострий, тупий, рівнобедрений, прямокутний чи рівносторонній трикутники. Хоча формула для всіх видів трикутників така:

   P = X+Y+Z, де X, Y, Z – сторони фігури.

   Проблема в тому, що при вирішенні багатьох завдань на знаходження периметра цієї фігури вам не завжди будуть відомі довжини всіх сторін. Наприклад, замість інформації про довжину однієї зі сторін можна мати градус кута або довжину висоти конкретного трикутника. Це суттєво ускладнить завдання, але зробить її рішення нереальним. Про те, як знайти периметр трикутника, якої форми він не міг би прочитати " ".

5. Периметр такої фігури, як ромб знаходять так само, як і периметр квадрата, адже ромб - це паралелограм, який має рівні сторони. Дізнатися, як знайти периметр квадрата можна прочитавши статтю на нашому сайті.

   Тепер Ви знаєте, як знайти бік периметра тієї геометричної фігури, яка Вам потрібна!

У наступних тестових завданняхпотрібно знайти периметр фігури, зображеної малюнку.

Знайти периметр фігури можна у різний спосіб. Можна перетворити вихідну фігуру таким чином, щоб периметр нової фігури можна було легко обчислити (наприклад, перейти до прямокутника).

Інший варіант рішення - шукати периметр фігури безпосередньо (як суму довжин усіх її сторін). Але в цьому випадку не можна покладатися тільки на малюнок, а знаходити довжини відрізків, виходячи з даних завдання.

Хочу попередити: в одному із завдань серед запропонованих варіантів відповідей я не знайшла того, що вийшов у мене.

C) .

Перенесемо сторони маленьких прямокутників із внутрішньої області у зовнішню. Внаслідок цього великий прямокутник замкнувся. Формула для знаходження периметра прямокутника

У разі, a=9a, b=3a+a=4a. Таким чином, P=2(9a+4a)=26a. До периметра великого прямокутника додаємо суму довжин чотирьох відрізків, кожен із яких дорівнює 3a. У результаті P=26a+4∙3a= 38a .

C) .

Після перенесення внутрішніх сторін маленьких прямокутників у зовнішню область отримуємо великий прямокутник, периметр якого дорівнює P=2(10x+6x)=32x, і чотири відрізки, два — діною по x, два — по 2x.

Разом, P=32x+2∙2x+2∙x= 38x .

?) .

Перенесемо 6 горизонтальних «сходинок» із внутрішньої частини у зовнішню. Периметр отриманого великого прямокутника дорівнює P=2(6y+8y)=28y. Залишилося знайти суму довжин відрізків усередині прямокутника 4y+6∙y=10y. Таким чином, периметр фігури дорівнює P=28y+10y= 38y .

D) .

Перенесемо вертикальні відрізки із внутрішньої області фігури вліво, у зовнішню область. Щоб отримати великий прямокутник, перенесемо одні з відрізків довжиною 4x у лівий нижній кут.

Периметр вихідної фігури знайдемо як суму периметра цього великого прямокутника і довжин трьох відрізків, що залишилися всередині P=2(10x+8x)+6x+4x+2x= 48x .

E) .

Перенісши внутрішні сторони дрібних прямокутників у зовнішню область, отримаємо великий квадрат. Його периметр дорівнює P=4∙10x=40x. Щоб отримати периметр вихідної фігури, потрібно до периметра квадрата додати суму довжин восьми відрізків, кожен довжиною 3x. Разом, P=40x+8∙3x= 64x .

B) .

Перенесемо всі горизонтальні сходинки і вертикальні верхні відрізки у зовнішню область. Периметр одержаного прямокутника дорівнює P=2(7y+4y)=22y. Щоб знайти периметр вихідної фігури, потрібно до периметра прямокутника додати суму довжин чотирьох відрізків, кожен довжиною y: P=22y+4∙y= 26y .

D) .

Перенесемо з внутрішньої області у зовнішню всі горизонтальні лінії і пересунемо дві вертикальні зовнішні лінії у лівому та правому кутах, відповідно, на z лівіше та правіше. В результаті отримаємо великий прямокутник, периметр якого дорівнює P=2(11z+3z)=28z.

Периметр вихідної фігури дорівнює сумі периметра великого прямокутника та довжин шести відрізків по z: P=28z+6∙z= 34z .

B) .

Рішення повністю аналогічне рішенню попереднього прикладу. Після перетворення фігури знаходимо периметр великого прямокутника:

P = 2 (5z + 3z) = 16z. До периметра прямокутника додаємо суму довжин решти шести відрізків, кожен з яких дорівнює z: P=16z+6∙z= 22z .

Геометрія, якщо не помиляюся, мій час вивчалася з п'ятого класу і периметр був і є одним із ключових понять. Отже, периметр - це сума довжин всіх сторін (позначається латинською літерою P). Взагалі трактують цей термін по-різному, наприклад,

• загальна довжина межі фігури,
• довжина всіх її сторін,
• сума довжин її граней,
• довжина лінії, що обмежує фігуру,
• сума всіх довжин сторін багатокутника

Для різних фігур є свої формули визначення периметра. Щоб зрозуміти сам зміст, пропоную самостійно вивести кілька нескладних формул:

1. для квадрата,
2. для прямокутника,
3. для паралелограма,
4. для куба,
5. для паралелепіпеда

Периметр квадрата

Наприклад візьмемо найпростіше - периметр квадрата.

Усі сторони квадрата рівні. Нехай одна сторона носить назву "a" (також, як і решта трьох), тоді

P = a + a + a + a

або більш компактний запис

Периметр прямокутника

Ускладнимо завдання і візьмемо прямокутник. У разі вже не можна сказати, що це сторони рівні, тому нехай довжини сторін прямокутника дорівнюють a і b.

Тоді формула матиме такий вигляд:

P = a + b + a + b

Периметр паралелограма

Аналогічна ситуація буде з паралелограмом (див. периметр прямокутника)

Периметр куба

Що ж робити, якщо маємо справу з об'ємною фігурою? Наприклад, візьмемо куб. Куб має 12 сторін, і всі вони рівні. Відповідно, периметр куба можна обчислити так:

Периметр паралелепіпеда

Ну, і для закріплення матеріалу обчислимо периметр паралелепіпеда. Тут потрібно трохи поміркувати. Давайте це робити разом. Як ми знаємо, прямокутний паралелепіпед є фігурою, сторонами якої є прямокутники. Кожен паралелепіпед має дві підстави. Візьмемо одну з підстав і подивимося на його сторони – вони мають довжину a та b. Відповідно, периметр основи є P = 2a + 2b. Тоді периметр двох основ є

(2a + 2b) * 2 = 4a + 4b

Але ж ми маємо ще й сторону "c". Значить формула для обчислення периметра паралелепіпеда матиме такий вигляд:

P = 4a + 4b + 4c

Як очевидно з прикладів вище, усе, що потрібно зробити визначення периметра фігури - знайти довжину кожної зі сторін, та був їх скласти.

Насамкінець хочеться відзначити, що не всяка фігура має периметр. Наприклад, у кулі периметра немає.