На уроці розглядається рішення 12 завдання ЄДІз інформатики, включаючи завдання 2017 року
12 тема – «Мережеві адреси» – характеризується як завдання базового рівня складності, час виконання – приблизно 2 хвилини, максимальний бал - 1
Адресація в Інтернеті
Адреса документа в Інтернеті (з англійської – URL – Uniform Resource Locator) складається з наступних частин:
- протокол передачі; може бути:
- http(для Web-сторінок) або
- ftp(Для передачі файлів)
- трапляється також захищений протокол https;
- символи-розділювачі :// , що відокремлюють назву протоколу від решти адреси;
- доменне ім'я сайту (або IP-адреса);
- може бути також: каталог на сервері, де розташовується файл;
- ім'я файлу.
Каталоги на сервері розділяються прямим слешем. / »
- ім'я протоколу мережної служби – визначає тип сервера HTTP(протокол передачі гіпертексту);
- роздільник у вигляді символу двокрапки та двох символів Slash;
- повне доменне ім'я сервера;
- шлях пошуку web-документа на комп'ютері;
- ім'я веб-сервера;
- домен верхнього рівня «org»;
- ім'я національного домену «ru»;
- каталог mainна комп'ютері;
- каталог newsв каталозі main;
- кінцева мета пошуку – файл main_news.html.
Мережеві адреси
Фізична адресаабо MAC-адреса- Унікальна адреса, «вшитий» на виробництві - 48-бітний код мережної карти (у 16-річній системі):
00-17-E1-41-AD-73
IP-адреса– адреса комп'ютера (32-бітове число), що складається з: номер мережі + номер комп'ютера в мережі (адреса вузла):
15.30.47.48
Маска підмережі:
- необхідна визначення того, які комп'ютери перебувають у тієї ж підмережі;
255.255.255.0 -> FF.FF.FF.0
1…10…0
Та частина IP-адреси, яка відповідає бітам маски рівним одиниці, відноситься до адреси мережі, а частина, що відповідає бітам маски рівним нулю– це цифрова адреса комп'ютера
Розрахунок номера мережі за IP-адресою та маскою мережі
У масці підмережі старші біти, відведені в IP-адресі комп'ютера для номера мережі, мають значення 1 (255); молодші біти, відведені в IP-адресі комп'ютера для адреси комп'ютера в підмережі, мають значення 0
.
* Зображення взяте з презентації К. Полякова
Число комп'ютерів у мережі
Кількість комп'ютерів мережі визначається за маскою: молодші біти маски - нулі - відведені в IP-адресі комп'ютера на адресу комп'ютера в підмережі.
Якщо маска:
Число комп'ютерів у мережі:
2 7 = 128 адрес
З них 2 спеціальні:адреса мережі та широкомовна адреса
128 – 2 = 126 адрес
Розв'язання завдань 12 ЄДІ з інформатики
ЄДІ з інформатики 2017 завдання 12 ФІПД варіант 1 (Крилов С.С., Чуркіна Т.Є.):
У термінології мереж TCP/IP маскою мережі називається двійкове число, що визначає, яка частина IP-адреси вузла мережі відноситься до мережі, а яка - до адреси самого вузла в цій мережі. Зазвичай маска записується за тими самими правилами, як і IP-адресу, — як чотирьох байтів, причому кожен байт записується як десяткового числа. При цьому в масці спочатку (у старших розрядах) стоять одиниці, а потім із деякого розряду — нулі. Адреса мережі виходить в результаті застосування порозрядної кон'юнкції до заданої IP-адреси вузла та маски.
Наприклад, якщо IP-адреса вузла дорівнює 211.132.255.41, а маска дорівнює 255.255.201.0, то адреса мережі дорівнює 211.132.201.0
Для вузла з IP-адресою 200.15.70.23
адреса мережі дорівнює 200.15.64.0
. Чому одно найменшеможливе значення третього зліва байти маски?Відповідь запишіть у вигляді десяткового числа.
✍ Рішення:
- Третій байт зліва відповідає числу 70 в IP-адресі та 64 - В адресі мережі.
- Адреса мережі – це результат порозрядної кон'юнкції маски та IP-адреси у двійковій системі:
Результат: 192
Покрокове рішення даного 12 завдання ЄДІ з інформатики доступне у відеоуроці:
12 завдання. Демоверсія ЄДІ 2018 інформатика:
У термінології мереж TCP/IP маскою мережі називається двійкове число, що визначає, яка частина IP-адреси вузла мережі відноситься до мережі, а яка - до адреси самого вузла в цій мережі. Зазвичай маска записується за тими самими правилами, як і IP-адреса, – як чотирьох байтів, причому кожен байт записується як десяткового числа. При цьому в масці спочатку (у старших розрядах) стоять одиниці, а потім із деякого розряду – нулі.
Адреса мережі виходить в результаті застосування порозрядної кон'юнкції до заданої IP-адреси вузла та маски.
Наприклад, якщо IP-адреса вузла дорівнює 231.32.255.131, а маска дорівнює 255.255.240.0, то мережа дорівнює 231.32.240.0.
Для вузла з IP-адресою 57.179.208.27 адреса мережі дорівнює 57.179.192.0 . Яке найбільшеможлива кількість одиницьу розрядах маски?
✍ Рішення:
- Оскільки адреса мережі виходить в результаті застосування порозрядної кон'юнкції до заданої IP-адреси вузла та маски, то отримаємо:
Результат: 19
Детальне рішення 12 завдання демоверсії ЄДІ 2018 дивіться на відео:
Рішення завдання 12 (Поляков К., варіант 25):
У термінології мереж TCP/IP маскою мережі називають двійкове число, яке показує, яка частина IP-адреси вузла мережі відноситься до мережі, а яка – до адреси вузла в цій мережі. Адреса мережі виходить в результаті застосування порозрядної кон'юнкції до заданої адреси вузла та його маски.
За заданими IP-адресою вузла мережі та маскою визначте адресу мережі:
IP-адреса: 145.92.137.88 Маска: 255.255.240.0
При записі відповіді виберіть із наведених у таблиці чисел чотири елементи IP-адреси та запишіть у потрібному порядку відповідні літери без точок.
| A | B | C | D | E | F | G | H |
| 0 | 145 | 255 | 137 | 128 | 240 | 88 | 92 |
✍ Рішення:
- Для вирішення завдання необхідно згадати, що IP-адреса мережі так само, як і маска мережі, зберігаються в 4 байтах записаних через точку. Тобто кожне з окремих чисел IP-адреси та маски мережі зберігається у 8-розрядному двійковому вигляді. Для отримання адреси мережі потрібно виконати порозрядну кон'юнкцію цих чисел.
- Оскільки число 255 у двійковому поданні - це 8 одиниць, то при порозрядної кон'юнкції з будь-яким числом, в результаті вийде те саме число. Таким чином, немає необхідності брати до уваги ті байти IP-адреси, які відповідають числу 255 у масці мережі. Тому перші два числа IP-адреси залишаться такими ж ( 145.92 ).
- Залишається розглянути числа 137 і 88 IP-дареси та 240 маски. Число 0 у масці відповідає восьми нуляму двійковому поданні, тобто порозрядна кон'юнкція з будь-яким числом перетворить це число на 0 .
- Перекладемо обидва числа ip-адреси та маски мережі в двійкову систему і запишемо IP-адресу та маску один під одним, щоб здійснити порозрядну кон'юнкцію:
Результат: BHEA
Пропонуємо подивитись детальний відеорозбір:
Рішення завдання 12 (Поляков К., варіант 33):
Якщо маска підмережі 255.255.255.128 та IP-адреса комп'ютера в мережі 122.191.12.189 , то номер комп'ютера в мережі дорівнює _____.
✍ Рішення:
- Поодинокі біти маски (рівні одиниці) визначають адресу підмережі, т.к. адреса підмережі - це результат порозрядної кон'юнкції (логічного множення) бітів маски з IP-адресою.
- Решта маски (починаючи з першого нуля) визначає номер комп'ютера.
- Оскільки в двійковому поданні число 255 - це вісім одиниць ( 11111111 ), то при порозрядній кон'юнкції з будь-яким числом, повертається те саме число (1 ∧ 0 = 0; 1 ∧ 1 = 1). Таким чином, ті байти в масці, які дорівнюють числам 255 , Ми не розглядатимемо, т.к. вони визначають адресу підмережі.
- Почнемо розгляд з байта рівного 128 . Йому відповідає байт 189 IP-адреси. Переведемо ці числа до двійкової системи числення:
Результат: 61
Детальне рішення даного завдання дивіться на відео:
Рішення завдання 12 (Поляков К., варіант 41):
У термінології мереж TCP/IP маскою підмережі називається 32-розрядне двійкове число, яке визначає, які саме розряди IP-адреси комп'ютера є спільними для всієї підмережі — у цих розрядах маски коштує 1. Зазвичай маски записуються у вигляді четвірки десяткових чисел— за тими самими правилами, що й IP-адреси.
Для деякої підмережі використовується маска 255.255.255.192 . Скільки різних адрес комп'ютерівтеоретично допускає ця маска, якщо дві адреси (адреса мережі та широкомовна) не використовують?
✍ Рішення:
- Поодинокі біти маски (рівні одиниці) визначають адресу підмережі, решта маски (починаючи з першого нуля) визначає номер комп'ютера. Тобто, для адреси комп'ютера існує стільки варіантів, скільки можна отримати з нульових бітів у масці.
- У разі перші ліворуч три байти маски ми розглядати не будемо, т.к. число 255 у двійковому поданні - це вісім одиниць ( 11111111 ).
- Розглянемо останній байт маски, що дорівнює 192 . Перекладемо число у двійкову систему числення:
Результат: 62
Відеорозбір завдання дивіться нижче:
Рішення завдання 12 (Краєва робота, далекий Схід, 2018):
Для вузла з IP-адресою 93.138.161.94 адреса мережі дорівнює 93.138.160.0 .Для скількох різних значень маскице можливо?
✍ Рішення:
Результат: 5
Відеорозбір завдання:
У дванадцятому завданні ОДЕ з математики модуля Алгебра ми перевіряємо знання перетворень - правила розкриття дужок, винесення змінних за дужки, приведення дробів до спільного знаменника і знання формул скороченого множення.
Суть завдання зводиться до спрощення заданого за умови висловлювання: не варто відразу підставляти значення вихідне вираз. Необхідно спочатку спростити його, а потім підставити значення - всі завдання побудовані таким чином, що після спрощення потрібно зробити лише одну або дві прості дії.
Необхідно враховувати допустимі значення змінних, що входять до виразів алгебри, використовувати властивості ступеня з цілим показником, правила вилучення коренів і формули скороченого множення.
Відповіддю в завданні є ціле число або кінцевий десятковий дріб.
Теорія до завдання №12
Насамперед згадаємо, що таке ступінь і
Крім цього, нам знадобляться формули скороченого множення:
Квадрат суми
(a + b) 2 = a 2 + 2ab + b 2
Квадрат різниці
(a - b) 2 = a 2 - 2ab + b 2
Різниця квадратів
a 2 - b 2 = (a + b) (a - b)
Куб суми
(a + b) 3 = a 3 + 3a 2 b + 3ab 2 + b 3
Куб різниці
(a - b) 3 = a 3 - 3a 2 b + 3ab 2 - b 3
Сума кубів
a 3 + b 3 = (a + b) (a 2 - ab + b 2)
Різниця кубів
a 3 - b 3 = (a - b) (a 2 + ab + b 2)
Правила операцій із дробами :
Розбір типових варіантів завдання №12 ОДЕ з математики
Перший варіант завдання
Знайдіть значення виразу: (x + 5) 2 - x (x-10) при x = - 1/20
Рішення:
У даному випадку, Як і майже у всіх завданнях №7, необхідно спочатку спростити вираз, для цього розкриємо дужки:
(x + 5) 2 - x (x - 10) = x 2 + 2 5 x + 25 - x 2 + 10x
Потім наведемо такі складові:
x 2 + 2 5 x + 25 - x 2 + 10x = 20x + 25
20 x + 25 = 20 (-1/20) + 25 = - 1 + 25 = 24
Другий варіант завдання
Знайдіть значення виразу:
при a = 13, b = 6,8
Рішення:
В даному випадку, на відміну від першого, ми спрощуватимемо вираз виносячи за дужки, а не розкриваючи їх.
Відразу можна помітити, що b присутній у першому дробі у чисельнику, а у другому - у знаменнику, тому можемо їх скоротити. Сім та чотирнадцять теж скорочуються на сім:
Скорочуємо (a-b):
І отримуємо:
Підставляємо значення a = 13:
Третій варіант завдання
Знайдіть значення виразу:
при x = √45 , y = 0,5
Рішення:
Отже, в даному завданні при відніманні дробів нам необхідно привести їх до спільного знаменника.
Загальний знаменник – це 15 x y,для цього необхідно перший дріб домножити на 5 y -і чисельник та знаменник, природно:
Обчислимо чисельник:
5 y - (3 x + 5 y) = 5 y- 3 x - 5 y= - 3 x
Тоді дріб набуде вигляду:
Виконавши прості скорочення чисельника та знаменника на 3 та на x, отримаємо:
Підставимо значення y = 0,5:
1 / (5 0,5) = - 1 / 2,5 = - 0,4
Відповідь: - 0,4
Демонстраційний варіант ОДЕ 2019
Знайдіть значення виразу
де a = 9, b = 36
Рішення:
Насамперед у завданнях такого типу необхідно спростити вираз, а потім підставити числа.
Наведемо вираз до спільного знаменника - це b, для цього помножимо перший доданок на b, після цього отримаємо в чисельнику:
9b² + 5a - 9b²
Наведемо такі складові - це 9b² і - 9b², в чисельнику залишається 5a.
Запишемо кінцевий дріб:
Обчислимо її значення, підставивши числа із умови:
Відповідь: 1,25
Четвертий варіант завдання
Знайдіть значення виразу:
за x = 12.
Рішення:
Виконаємо тотожні перетворення висловлювання, щоб спростити його.
1-й крок – перехід від розподілу дробів до їх множення:
тепер скорочуємо вираз (у чисельнику першого дробу та в знаменнику другого) і приходимо до остаточно спрощеного вигляду:
Підставляємо числове значення для х в отриманий вираз і знаходимо результат:
У завданні №12 ЄДІ з математики профільного рівня нам необхідно знайти найбільше або найменше значенняфункції. Для цього необхідно скористатися, очевидно, похідною. Подивимося на типовому прикладі.
Розбір типових варіантів завдань №12 ЄДІ з математики профільного рівня
Перший варіант завдання (демонстраційний варіант 2018)
Знайти точку максимуму функції y = ln(x+4) 2+2x+7.
Алгоритм рішення:
- Знаходимо похідну.
- Записуємо відповідь.
Рішення:
1. Шукаємо значення х, у яких логарифм має сенс. Для цього вирішуємо нерівність:
Оскільки квадрат будь-якого числа невід'ємний. Рішенням нерівності буде лише значення х, у якому х+4≠ 0, тобто. за х≠-4.
2. Знаходимо похідну:
у'=(ln(x+4) 2 + 2x + 7)'
За якістю логарифму отримуємо:
у'=(ln(x+4) 2)'+(2x)'+(7)'.
За формулою похідної складної функції:
(lnf)'=(1/f)∙f'. У нас f = (x + 4) 2
у, = (ln(x+4) 2)'+ 2 + 0 = (1/(x+4) 2)∙((x+4) 2)' + 2=(1/(x+4) 2 2)∙(х 2 + 8х + 16)' +2=2(х + 4) /((х + 4) 2) + 2
у'= 2/(х + 4) + 2
3. Прирівнюємо похідну до нуля:
у, = 0 → (2+2∙(х + 4))/(х + 4)=0,
2+2х+8=0, 2х+10=0,
Другий варіант завдання (з Ященка, №1)
Знайдіть точку мінімуму функції y = x – ln(x+6) + 3.
Алгоритм рішення:
- Визначаємо область визначення функції.
- Знаходимо похідну.
- Визначаємо, у яких точках похідна дорівнює 0.
- Виключаємо точки, що не належать області визначення.
- Серед точок, що залишилися, шукаємо значення х, в яких функція має мінімум.
- Записуємо відповідь.
Рішення:
2. Знайдемо похідну функції:
3. Прирівнюємо отриманий вираз до нуля:
4. Отримали одну точку x=-5, що належить області визначення функції.
5. У цьому пункті функція має екстремум. Перевіримо, чи це мінімум. При х = -4
При х=-5,5 похідна функції негативна, оскільки
Отже, точка х=-5 є точкою мінімуму.
Третій варіант завдання (з Ященка, №12)
Знайдіть найбільше значенняфункції 
на відрізку [-3; 1].
Алгоритм рішення:.
- Знаходимо похідну.
- Визначаємо, у яких точках похідна дорівнює 0.
- Виключаємо точки, що не належать заданому відрізку.
- Серед точок, що залишилися, шукаємо значення х, в яких функція має максимум.
- Знаходимо значення функції кінцях відрізка.
- Шукаємо серед набутих значень найбільше.
- Записуємо відповідь.
Рішення:
1. Обчислюємо похідну від функції, отримаємо
Єдиний державний іспитз математики базового рівня складається із 20 завдань. У завданні 12 перевіряються навички вибору оптимального варіанта із запропонованих. Школяр має вміти оцінювати можливі варіантиі вибирати найбільш оптимальний із них. Тут ви можете дізнатися, як вирішувати завдання 12 ЄДІ з математики базового рівня, а також вивчити приклади та способи вирішення на основі детально розібраних завдань.
Всі завдання ЄДІ база всі завдання (263) ЄДІ база завдання 1 (5) ЄДІ база завдання 2 (6) ЄДІ база завдання 3 (45) ЄДІ база завдання 4 (33) ЄДІ база завдання 5 (2) ЄДІ база завдання 6 (44 ) ЄДІ база завдання 7 (1) ЄДІ база завдання 8 (12) ЄДІ база завдання 10 (22) ЄДІ база завдання 12 (5) ЄДІ база завдання 13 (20) ЄДІ база завдання 15 (13) ЄДІ база завдання 19 (23) ЄДІ база завдання 20 (32)
У середньому громадянин А. вдень витрачає електроенергію на місяць
У середньому громадянин А. вдень витрачає K кВт год електроенергії на місяць, а в нічний час - L кВт год електроенергії. Раніше у А. у квартирі було встановлено однотарифний лічильник, і всю електроенергію він оплачував за тарифом M руб. за кВт год. Рік тому А. встановив двотарифний лічильник, при цьому денна витрата електроенергії оплачується за тарифом N руб. за кВт год, а нічна витрата оплачується за тарифом P руб. за кВт год. Протягом R місяців режим споживання та тарифи оплати електроенергії не змінювалися. На скільки більше заплатив би А. за цей період, якби не змінився лічильник? Відповідь дайте у рублях.
При будівництві сільського будинку можна використовувати один із двох типів фундаменту
При будівництві сільського будинку можна використовувати один із двох типів фундаменту: кам'яний чи бетонний. Для кам'яного фундаменту необхідно A тонн природного каменю та B мішків цементу. Для бетонного фундаменту необхідно C тонн щебеню та D мішків цементу. Тонна каменю коштує E рублів, щебінь коштує F рублів за тонну, а мішок цементу коштує G рублів. Скільки рублів буде коштувати матеріал для фундаменту, якщо вибрати найдешевший варіант?
Завдання входить до складу ЄДІ з математики базового рівня для 11 класу за номером 12.
Скільки рублів доведеться заплатити за найдешевшу поїздку на трьох
Сім'я із трьох людей планує поїхати з Санкт-Петербурга до Вологди. Можна їхати поїздом, а можна – своєю машиною. Квиток на поїзд на одну особу коштує N рублів. Автомобіль витрачає K літрів бензину на L кілометрів шляху, відстань по шосе дорівнює M км, а ціна бензину дорівнює P рублів за літр. Скільки рублів доведеться заплатити за найдешевшу подорож на трьох?
Завдання входить до складу ЄДІ з математики базового рівня для 11 класу за номером 12.
При будівництві будинку фірма використовує один із типів фундаменту.
При будівництві будинку фірма використовує один із типів фундаменту: бетонний або піноблоковий. Для фундаменту з піноблоків необхідно K кубометра піноблоків та L мішків цементу. Для бетонного фундаменту необхідно M тонни щебеню та N мішків цементу. Кубометр піноблоків коштує A рублів, щебінь коштує B рублів за тонну, а мішок цементу коштує C рублів. Скільки рублів буде коштувати матеріал, якщо вибрати найдешевший варіант?
Середня загальна освіта
Лінія УМКГ. К. Муравіна. Алгебра та початку математичного аналізу (10-11) (поглиб.)
Лінія УМК Мерзляк. Алгебра та початки аналізу (10-11) (У)
Математика
Підготовка до ЄДІ з математики ( профільний рівень): завдання, рішення та пояснення
Розбираємо завдання та вирішуємо приклади з учителемЕкзаменаційна робота профільного рівня триває 3 години 55 хвилин (235 хвилин).
Мінімальний поріг– 27 балів.
Екзаменаційна робота складається з двох частин, які різняться за змістом, складністю та кількістю завдань.
Визначальною ознакою кожної частини роботи є форма завдань:
- частина 1 містить 8 завдань (завдання 1-8) з короткою відповіддю у вигляді цілого числа або кінцевого десяткового дробу;
- частина 2 містить 4 завдання (завдання 9-12) з короткою відповіддю у вигляді цілого числа або кінцевого десяткового дробу та 7 завдань (завдання 13–19) з розгорнутою відповіддю (повний запис рішення з обґрунтуванням виконаних дій).
Панова Світлана Анатоліївна, вчитель математики вищої категорії школи, стаж роботи 20 років:
«Для того щоб отримати шкільний атестат, випускнику необхідно скласти два обов'язкові іспити в формі ЄДІодин з яких математика. Відповідно до Концепції розвитку математичної освіти у Російської ФедераціїЄДІ з математики поділено на два рівні: базовий та профільний. Сьогодні ми розглянемо варіанти профільного рівня.
Завдання №1- перевіряє в учасників ЄДІ уміння застосовувати навички, здобуті у курсі 5 - 9 класів з елементарної математики, у практичній діяльності. Учасник повинен володіти обчислювальними навичками, вміти працювати з раціональними числами, вміти округляти десяткові дроби, вміти переводити одні одиниці виміру до інших.
приклад 1.У квартирі, де мешкає Петро, встановили прилад обліку витрати холодної води(лічильник). Першого травня лічильник показував витрати 172 куб. м води, а першого червня – 177 куб. м. Яку суму має заплатити Петро за холодну воду за травень, якщо ціна 1 куб. м холодної води становить 34 руб 17 коп. Відповідь дайте у рублях.
Рішення:
1) Знайдемо кількість витраченої води за місяць:
177 – 172 = 5 (куб м)
2) Знайдемо скільки грошей заплатять за витрачену воду:
34,17 · 5 = 170,85 (руб)
Відповідь: 170,85.
Завдання №2-є одним із найпростіших завдань іспиту. З нею успішно справляється більшість випускників, що свідчить про володіння визначенням поняття функції. Тип завдання № 2 за кодифікатором вимог - це завдання на використання набутих знань та умінь у практичній діяльності та повсякденному житті. Завдання № 2 складається з опису за допомогою функцій різних реальних залежностей між величинами та інтерпретація їх графіків. Завдання № 2 перевіряє вміння отримувати інформацію, подану у таблицях, на діаграмах, графіках. Випускникам потрібно вміти визначати значення функції за значенням аргументу при різних способах завдання функції та описувати поведінку та властивості функції за її графіком. Також необхідно вміти знаходити за графіком функції найбільше чи найменше значення та будувати графіки вивчених функцій. Допустимі помилки носять випадковий характер у читанні умови завдання, читанні діаграми.
#ADVERTISING_INSERT#
приклад 2.На малюнку показано зміну біржової вартості однієї акції видобувної компанії у першій половині квітня 2017 року. 7 квітня бізнесмен придбав 1000 акцій цієї компанії. 10 квітня він продав три чверті куплених акцій, а 13 квітня продав всі, що залишилися. Скільки втратив бізнесмен унаслідок цих операцій?
Рішення:
2) 1000 · 3/4 = 750 (акцій) - становлять 3/4 від усіх куплених акцій.
6) 247500 + 77500 = 325000 (крб) – бізнесмен отримав після продажу 1000 акцій.
7) 340000 – 325000 = 15000 (крб) - втратив підприємець у всіх операцій.
Відповідь: 15000.
Завдання №3- є завданням базового рівня першої частини, перевіряє вміння виконувати дії геометричними фігурамиза змістом курсу "Планіметрія". У завданні 3 перевіряється вміння обчислювати площу фігури на папері, вміння обчислювати градусні заходи кутів, обчислювати периметри і т.п.
приклад 3.Знайдіть площу прямокутника, зображеного на картатому папері з розміром клітини 1 см на 1 см (див. рис.). Відповідь дайте у квадратних сантиметрах.
Рішення:Для обчислення площі цієї фігури можна скористатися формулою Піка:
Для обчислення площі даного прямокутника скористаємося формулою Піка:
|
S= В + |
Г | |
| 2 |
|
S = 18 + |
6 | |
| 2 |
Читайте також: ЄДІ з фізики: розв'язання задач про коливання
Завдання №4- завдання курсу «Теорія ймовірностей та статистика». Перевіряється вміння обчислювати ймовірність події у найпростішій ситуації.
приклад 4.На колі відзначено 5 червоних та 1 синю крапку. Визначте, яких багатокутників більше: тих, у яких усі вершини червоні, або тих, у яких одна з вершин синя. У відповіді вкажіть, скільки одних більше, ніж інших.
Рішення: 1) Скористаємося формулою числа поєднань з nелементів по k:
у яких усі вершини червоні.
3) Один п'ятикутник, який має всі вершини червоні.
4) 10 + 5 + 1 = 16 багатокутників, у яких усі вершини червоні.
у яких вершини червоні або з однією блакитною вершиною.
у яких вершини червоні або з однією блакитною вершиною.
8) Один шестикутник, у якого вершини червоні з однією синьою вершиною.
9) 20 + 15 + 6 + 1 = 42 багатокутники, у яких усі вершини червоні або з однією синьою вершиною.
10) 42 – 16 = 26 багатокутників, у яких використовується синя точка.
11) 26 - 16 = 10 багатокутників - на скільки багатокутників, у яких одна з вершин - синя точка, більше, ніж багатокутників, у яких всі вершини тільки червоні.
Відповідь: 10.
Завдання №5- базового рівня першої частини перевіряє вміння розв'язувати найпростіші рівняння (ірраціональні, показові, тригонометричні, логарифмічні).
Приклад 5.Розв'яжіть рівняння 2 3 + x= 0,4 · 5 3 + x .
Рішення.Розділимо обидві частини даного рівняння на 5 3 + х≠ 0, отримаємо
| 2 3 + x | = 0,4 або | 2 | 3 + х | = | 2 | , | ||
| 5 3 + х | 5 | 5 |
звідки випливає, що 3 + x = 1, x = –2.
Відповідь: –2.
Завдання №6за планіметрією на знаходження геометричних величин (довжин, кутів, площ), моделювання реальних ситуацій мовою геометрії. Дослідження побудованих моделей з використанням геометричних понять та теорем. Джерелом труднощів є, як правило, незнання чи неправильне застосування необхідних теорем планіметрії.
Площа трикутника ABCдорівнює 129. DE- Середня лінія, паралельна стороні AB. Знайдіть площу трапеції ABED.
Рішення.Трикутник CDEподібний до трикутника CABпо двох кутах, тому що кут при вершині Cзагальний, кут СDE дорівнює куту CABяк відповідні кути при DE || ABсічучої AC. Так як DE– середня лінія трикутника за умовою, то за якістю середньої лінії | DE = (1/2)AB. Отже, коефіцієнт подібності дорівнює 0,5. Площі подібних фігур відносяться як квадрат коефіцієнта подібності, тому
Отже, S ABED = S Δ ABC – S Δ CDE = 129 – 32,25 = 96,75.
Завдання №7- перевіряє застосування похідної для дослідження функції. Для успішного виконання необхідне змістовне, не формальне володіння поняттям похідної.
Приклад 7.До графіку функції y = f(x) у точці з абсцисою x 0 проведена дотична, яка перпендикулярна до прямої, що проходить через точки (4; 3) і (3; -1) цього графіка. Знайдіть f′( x 0).
Рішення. 1) Скористаємося рівнянням прямою, що проходить через дві задані точкиі знайдемо рівняння прямої, що проходить через точки (4; 3) та (3; -1).
(y – y 1)(x 2 – x 1) = (x – x 1)(y 2 – y 1)
(y – 3)(3 – 4) = (x – 4)(–1 – 3)
(y – 3)(–1) = (x – 4)(–4)
–y + 3 = –4x+ 16 | · (-1)
y – 3 = 4x – 16
y = 4x- 13, де k 1 = 4.
2) Знайдемо кутовий коефіцієнт дотичної k 2 , яка перпендикулярна до прямої y = 4x- 13, де k 1 = 4, за формулою:
3) Кутовий коефіцієнт дотичної – похідна функції у точці дотику. Значить, f′( x 0) = k 2 = –0,25.
Відповідь: –0,25.
Завдання №8- перевіряє в учасників іспиту знання з елементарної стереометрії, уміння застосовувати формули знаходження площ поверхонь та обсягів фігур, двогранних кутів, порівнювати обсяги подібних фігур, вміти виконувати дії з геометричними фігурами, координатами та векторами тощо.
Об'єм куба, описаного біля сфери, дорівнює 216. Знайдіть радіус сфери.
Рішення. 1) Vкуба = a 3 (де а- Довжина ребра куба), тому
а 3 = 216
а = 3 √216
2) Так як сфера вписана в куб, значить, довжина діаметра сфери дорівнює довжині ребра куба, тому d = a, d = 6, d = 2R, R = 6: 2 = 3.
Завдання №9- вимагає від випускника навичок перетворення та спрощення алгебраїчних виразів. Завдання №9 підвищеного рівняскладнощі з короткою відповіддю. Завдання з розділу «Обчислення та перетворення» в ЄДІ поділяються на декілька видів:
- перетворення числових/літерних тригонометричних виразів.
перетворення числових раціональних виразів;
перетворення алгебраїчних виразів та дробів;
перетворення числових/літерних ірраціональних виразів;
дії зі ступенями;
перетворення логарифмічних виразів;
Приклад 9.Обчисліть tgα, якщо відомо, що cos2α = 0,6 та
| 3π | < α < π. |
| 4 |
Рішення. 1) Скористаємося формулою подвійного аргументу: cos2α = 2 cos 2 α – 1 і знайдемо
| tg 2 α = | 1 | – 1 = | 1 | – 1 = | 10 | – 1 = | 5 | – 1 = 1 | 1 | – 1 = | 1 | = 0,25. |
| cos 2 α | 0,8 | 8 | 4 | 4 | 4 |
Отже, tg 2 α = ±0,5.
3) За умовою
| 3π | < α < π, |
| 4 |
значить, α – кут II чверті та tgα< 0, поэтому tgα = –0,5.
Відповідь: –0,5.
#ADVERTISING_INSERT# Завдання №10- перевіряє в учнів вміння використовувати набуті раннє знання та вміння у практичній діяльності та повсякденному житті. Можна сказати, що це завдання з фізики, а не з математики, але всі необхідні формули та величини наведені в умові. Завдання зводяться до рішення лінійного або квадратного рівнянняабо лінійної або квадратної нерівності. Тому необхідно вміти вирішувати такі рівняння та нерівності та визначати відповідь. Відповідь має вийти у вигляді цілого числа або кінцевого десяткового дробу.
Два тіла масою m= 2 кг кожне рухаються з однаковою швидкістю v= 10 м/с під кутом 2 один до одного. Енергія (у джоулях), що виділяється при їх абсолютно непружному зіткненні визначається виразом Q = mv 2 sin 2 α. Під яким найменшим кутом 2α (у градусах) повинні рухатися тіла, щоб у результаті зіткнення виділилося не менше 50 джоулів?
Рішення.Для розв'язання задачі необхідно вирішити нерівність Q ≥ 50, на інтервалі 2α ∈ (0°; 180°).
mv 2 sin 2 α ≥ 50
2· 10 2 sin 2 α ≥ 50
200 · sin 2 α ≥ 50
Оскільки α ∈ (0°; 90°), то вирішуватимемо тільки
Зобразимо розв'язання нерівності графічно:
Оскільки за умовою α ∈ (0°; 90°), значить 30° ≤ α< 90°. Получили, что наименьший угол α равен 30°, тогда наименьший угол 2α = 60°.
Завдання №11- є типовим, але виявляється непростим учнів. Головним джерелом труднощів є побудова математичної моделі (складання рівняння). Завдання №11 перевіряє вміння вирішувати текстові завдання.
Приклад 11.на весняних канікулах 11-класник Вася мав вирішити 560 тренувальних завдань для підготовки до ЄДІ. 18 березня в останній навчальний день Вася вирішив 5 завдань. Далі щодня він вирішував на те саме кількість завдань більше у порівнянні з попереднім днем. Визначте скільки завдань Вася вирішив 2 квітня в останній день канікул.
Рішення:Позначимо a 1 = 5 – кількість завдань, які Вася вирішив 18 березня, d– щоденна кількість завдань, які розв'язує Вася, n= 16 – кількість днів з 18 березня до 2 квітня включно, S 16 = 560 – Загальна кількістьзавдань, a 16 – кількість завдань, які Вася вирішив 2 квітня. Знаючи, що щодня Вася вирішував на одну і ту ж кількість завдань більше у порівнянні з попереднім днем, можна використовувати формули знаходження суми арифметичної прогресії:560 = (5 + a 16) · 8,
5 + a 16 = 560: 8,
5 + a 16 = 70,
a 16 = 70 – 5
a 16 = 65.
Відповідь: 65.
Завдання №12- перевіряють в учнів вміння виконувати події з функціями, вміти застосовувати похідну до вивчення функції.
Знайти точку максимуму функції y= 10ln ( x + 9) – 10x + 1.
Рішення: 1) Знайдемо область визначення функції: x + 9 > 0, x> –9, тобто x ∈ (–9; ∞).
2) Знайдемо похідну функції:
4) Знайдена точка належить проміжку (–9; ∞). Визначимо знаки похідної функції та зобразимо на малюнку поведінку функції:
Шукана точка максимуму x = –8.
Скачати безкоштовно робочу програму з математики до лінії УМК Г.К. Муравіна, К.С. Муравіна, О.В. Муравиною 10-11 Скачати безкоштовно методичні посібники з алгебриЗавдання №13-Підвищеного рівня складності з розгорнутою відповіддю, що перевіряє вміння вирішувати рівняння, що найбільш успішно розв'язується серед завдань з розгорнутою відповіддю підвищеного рівня складності.
а) Розв'яжіть рівняння 2log 3 2 (2cos x) – 5log 3 (2cos x) + 2 = 0
б) Знайдіть усі корені цього рівняння, що належать відрізку .
Рішення:а) Нехай log 3 (2cos x) = tтоді 2 t 2 – 5t + 2 = 0,
|
|
log 3 (2cos x) = | 2 | ⇔ |
|
2cos x = 9 | ⇔ |
|
cos x = | 4,5 | ⇔ т.к. |cos x| ≤ 1, |
| log 3 (2cos x) = | 1 | 2cos x = √3 | cos x = | √3 | ||||||
| 2 | 2 |
| то cos x = | √3 |
| 2 |
|
|
x = | π | + 2π k |
| 6 | |||
| x = – | π | + 2π k, k ∈ Z | |
| 6 |
б) Знайдемо коріння, що лежить на відрізку.
З малюнка видно, що заданому відрізку належить коріння
| 11π | і | 13π | . |
| 6 | 6 |
| Відповідь:а) | π | + 2π k; – | π | + 2π k, k ∈ Z; б) | 11π | ; | 13π | . |
| 6 | 6 | 6 | 6 |
Діаметр кола основи циліндра дорівнює 20, що утворює циліндра дорівнює 28. Площина перетинає його основи по хордах довжини 12 і 16. Відстань між хордами дорівнює 2√197.
а) Доведіть, що центри основ циліндра лежать по одну сторону від цієї площини.
б) Знайдіть кут між цією площиною та площиною основи циліндра.
Рішення:а) Хорда довжиною 12 знаходиться на відстані = 8 від центру кола основи, а хорда довжиною 16, аналогічно, – на відстані 6. Тому відстань між їх проекціями на площину, паралельну підставамциліндрів становить або 8 + 6 = 14, або 8 − 6 = 2.
Тоді відстань між хордами складає або
= = √980 = = 2√245
= = √788 = = 2√197.
За умовою реалізувався другий випадок, у ньому проекції хорд лежать з одного боку від осі циліндра. Значить, вісь не перетинає цю площинуу межах циліндра, тобто основи лежать по одну сторону від неї. Що потрібно було довести.
б) Позначимо центри підстав за О1 і О2. Проведемо з центру підстави з хордою довжини 12 серединний перпендикуляр до цієї хорди (він має довжину 8, як зазначалося) і з центру іншого підстави - до іншої хорді. Вони лежать в одній площині, перпендикулярній цим хордам. Назвемо середину меншої хорди B, більшої A та проекцію A на другу основу – H (H ∈ β). Тоді AB,AH ∈ β і означає, AB,AH перпендикулярні хорді, тобто прямий перетин основи з даною площиною.
Отже, шуканий кут дорівнює
| ∠ABH = arctg | AH | = arctg | 28 | = arctg14. |
| BH | 8 – 6 |
Завдання №15- підвищеного рівня складності з розгорнутою відповіддю, перевіряє вміння вирішувати нерівності, що найбільш успішно вирішується серед завдань з розгорнутою відповіддю підвищеного рівня складності.
приклад 15.Розв'яжіть нерівність | x 2 – 3x| · log 2 ( x + 1) ≤ 3x – x 2 .
Рішення:Областю визначення цієї нерівності є інтервал (–1; +∞). Розглянь окремо три випадки:
1) Нехай x 2 – 3x= 0, тобто. х= 0 або х= 3. У цьому випадку ця нерівність перетворюється на правильну, отже, ці значення входять у розв'язання.
2) Нехай тепер x 2 – 3x> 0, тобто. x∈ (–1; 0) ∪ (3; +∞). При цьому цю нерівність можна переписати у вигляді ( x 2 – 3x) · log 2 ( x + 1) ≤ 3x – x 2 і розділити на позитивний вираз x 2 – 3x. Отримаємо log 2 ( x + 1) ≤ –1, x + 1 ≤ 2 –1 , x≤ 0,5 –1 або x≤ -0,5. Враховуючи область визначення, маємо x ∈ (–1; –0,5].
3) Нарешті, розглянемо x 2 – 3x < 0, при этом x∈ (0; 3). При цьому вихідна нерівність перепишеться у вигляді (3 x – x 2) · log 2 ( x + 1) ≤ 3x – x 2 . Після поділу на позитивний вираз 3 x – x 2 отримаємо log 2 ( x + 1) ≤ 1, x + 1 ≤ 2, x≤ 1. Враховуючи область, маємо x ∈ (0; 1].
Об'єднуючи отримані рішення, отримуємо x ∈ (–1; –0.5] ∪ ∪ {3}.
Відповідь: (–1; –0.5] ∪ ∪ {3}.
Завдання №16- підвищеного рівня відноситься до завдань другої частини з розгорнутою відповіддю. Завдання перевіряє вміння виконувати дії з геометричними фігурами, координатами та векторами. Завдання містить два пункти. У першому пункті завдання потрібно довести, а другому пункті обчислити.
У рівнобедреному трикутнику ABC з кутом 120° при вершині A проведена бісектриса BD. У трикутник ABC вписано прямокутник DEFH так, що сторона FH лежить на відрізку BC, а вершина E – на відрізку AB. а) Доведіть, що FH = 2DH. б) Знайдіть площу прямокутника DEFH, якщо AB = 4.
Рішення:а)
1) ΔBEF – прямокутний, EF⊥BC, ∠B = (180° – 120°) : 2 = 30°, тоді EF = BE за властивістю катета, що лежить проти кута 30°.
2) Нехай EF = DH = xтоді BE = 2 x, BF = x√3 за теоремою Піфагора.
3) Оскільки ΔABC рівнобедрений, значить, ∠B = ∠C = 30˚.
BD – бісектриса ∠B, значить ∠ABD = ∠DBC = 15˚.
4) Розглянемо ΔDBH – прямокутний, тому що. DH⊥BC.
| 2x | = | 4 – 2x |
| 2x(√3 + 1) | 4 |
| 1 | = | 2 – x |
| √3 + 1 | 2 |
√3 – 1 = 2 – x
x = 3 – √3
EF = 3 – √3
2) S DEFH = ED · EF = (3 – √3) · 2(3 – √3)
S DEFH = 24 - 12√3.
Відповідь: 24 – 12√3.
Завдання №17- завдання з розгорнутою відповіддю, це завдання перевіряє застосування знань та умінь у практичній діяльності та повсякденному житті, уміння будувати та досліджувати математичні моделі. Це завдання - текстове завдання з економічним змістом.
Приклад 17Вклад у розмірі 20 млн. рублів планується відкрити на чотири роки. Наприкінці кожного року банк збільшує внесок на 10%, порівняно з його розміром на початку року. Крім того, на початку третього та четвертого років вкладник щороку поповнює вклад на хмлн. рублів, де х - цілечисло. Знайдіть найбільше значення х, при якому банк за чотири роки нарахує на вклад менше 17 млн. рублів.
Рішення:Наприкінці першого року вклад складе 20 + 20 · 0,1 = 22 млн рублів, а наприкінці другого - 22 + 22 · 0,1 = 24,2 млн рублів. На початку третього року вклад (у млн рублів) складе (24,2+) х), а наприкінці - (24,2+ х) + (24,2 + х)· 0,1 = (26,62 + 1,1 х). На початку четвертого року вклад складе (26,62 + 2,1 х), а наприкінці - (26,62 + 2,1 х) + (26,62 + 2,1х) · 0,1 = (29,282 + 2,31 х). За умовою, потрібно знайти найбільше ціле х, для якого виконано нерівність
(29,282 + 2,31x) – 20 – 2x < 17
29,282 + 2,31x – 20 – 2x < 17
0,31x < 17 + 20 – 29,282
0,31x < 7,718
| x < | 7718 |
| 310 |
| x < | 3859 |
| 155 |
| x < 24 | 139 |
| 155 |
Найбільше вирішення цієї нерівності - число 24.
Відповідь: 24.
Завдання №18- Завдання підвищеного рівня складності з розгорнутою відповіддю. Це завдання призначене для конкурсного відбору до вузів із підвищеними вимогами до математичної підготовки абітурієнтів. Завдання високого рівняскладності - це завдання не так на застосування одного методу рішення, але в комбінацію різних методів. Для успішного виконання завдання 18 необхідний, крім міцних математичних знань, також високий рівень математичної культури.
При яких aсистема нерівностей
| x 2 + y 2 ≤ 2ay – a 2 + 1 | |
| y + a ≤ |x| – a |
має рівно два рішення?
Рішення:Цю систему можна переписати у вигляді
| x 2 + (y– a) 2 ≤ 1 | |
| y ≤ |x| – a |
Якщо намалювати на площині безліч розв'язків першої нерівності, вийде начинка кола (з кордоном) радіуса 1 з центром у точці (0, а). Безліч рішень другої нерівності – частина площини, що лежить під графіком функції y = |
x| –
a,
причому останній є графік функції
y = |
x|
, зрушений вниз на а. Рішення даної системи є перетинання множин рішень кожної з нерівностей.
Отже, два рішення дана система матиме лише у випадку, зображеному на рис. 1.
Крапки торкання кола з прямими і будуть двома рішеннями системи. Кожна пряма нахилена до осей під кутом 45°. Отже, трикутник PQR- Прямокутний рівнобедрений. Крапка Qмає координати (0, а), а точка R– координати (0, – а). Крім того, відрізки PRі PQрівні радіусу кола, що дорівнює 1. Значить,
| Qr= 2a = √2, a = | √2 | . |
| 2 |
| Відповідь: a = | √2 | . |
| 2 |
Завдання №19- Завдання підвищеного рівня складності з розгорнутою відповіддю. Це завдання призначене для конкурсного відбору до вузів із підвищеними вимогами до математичної підготовки абітурієнтів. Завдання високого рівня складності - це завдання не так на застосування одного методу рішення, але в комбінацію різних методів. Для успішного виконання завдання 19 необхідно вміти здійснювати пошук рішення, вибираючи різні підходисеред відомих, модифікуючи вивчені методи.
Нехай Snсума пчленів арифметичної прогресії ( а п). Відомо що S n + 1 = 2n 2 – 21n – 23.
а) Вкажіть формулу п-го члена цієї прогресії
б) Знайдіть найменшу за модулем суму S n.
в) Знайдіть найменше п, за якого S nбуде квадратом цілого числа.
Рішення: а) Очевидно, що a n = S n – S n- 1 . Використовуючи цю формулу, отримуємо:
S n = S (n – 1) + 1 = 2(n – 1) 2 – 21(n – 1) – 23 = 2n 2 – 25n,
S n – 1 = S (n – 2) + 1 = 2(n – 1) 2 – 21(n – 2) – 23 = 2n 2 – 25n+ 27
значить, a n = 2n 2 – 25n – (2n 2 – 29n + 27) = 4n – 27.
Б) Так як S n = 2n 2 – 25n, то розглянемо функцію S(x) = | 2x 2 – 25x|. Її графік можна побачити малюнку.
Очевидно, що найменше значення досягається в цілих точках, розташованих найбільш близько до нулів функції. Очевидно, що це точки х= 1, х= 12 і х= 13. Оскільки, S(1) = |S 1 | = |2 – 25| = 23, S(12) = |S 12 | = | 2 · 144 - 25 · 12 | = 12, S(13) = |S 13 | = | 2 · 169 - 25 · 13 | = 13, то найменше значення дорівнює 12.
в) З попереднього пункту випливає, що Snпозитивно, починаючи з n= 13. Так як S n = 2n 2 – 25n = n(2n– 25), то очевидний випадок, коли цей вираз є повним квадратом, реалізується при n = 2n- 25, тобто при п= 25.
Залишилось перевірити значення з 13 до 25:
S 13 = 13 · 1, S 14 = 14 · 3, S 15 = 15 · 5, S 16 = 16 · 7, S 17 = 17 · 9, S 18 = 18 · 11, S 19 = 19 · 13, S 20 = 20 · 13, S 21 = 21 · 17, S 22 = 22 · 19, S 23 = 23 · 21, S 24 = 24 · 23.
Виходить, що при менших значеннях п повний квадратне досягається.
Відповідь:а) a n = 4n- 27; б) 12; в) 25.
________________
*З травня 2017 року об'єднана видавнича група «ДРОФА-ВЕНТАНА» входить до корпорації «Російський підручник». До корпорації також увійшли видавництво «Астрель» та цифрова освітня платформа"LECTA". Генеральним директором призначено Олександра Бричкина, випускника Фінансової академії при Уряді РФ, кандидата економічних наук, керівника інноваційних проектів видавництва «ДРОФА» у сфері цифрової освіти (електронні форми підручників, «Російська електронна школа», цифрова освітня платформа LECTA). До приходу у видавництво «ДРОФА» займав позицію віце-президента зі стратегічного розвитку та інвестицій видавничого холдингу «ЕКСМО-АСТ». Сьогодні видавнича корпорація «Російський підручник» має найбільший портфель підручників, включених до Федерального переліку - 485 найменувань (приблизно 40%, без урахування підручників для корекційної школи). Видавництвам корпорації належать найбільш затребувані російськими школамикомплекти підручників з фізики, креслення, біології, хімії, технології, географії, астрономії - галузей знань, які необхідні розвитку виробничого потенціалу країни. У портфель корпорації входять підручники та навчальні посібникидля початкової школи, удостоєні Премії Президента в галузі освіти Це підручники та посібники з предметних областей, які необхідні розвитку науково-технічного і виробничого потенціалу Росії.
