Хтось до слова «прогресія» ставиться насторожено, як дуже складний термін з розділів вищої математики. А тим часом найпростіша арифметична прогресія- робота лічильника таксі (де вони залишилися). І зрозуміти суть (а в математиці немає нічого важливішого, ніж «зрозуміти суть») арифметичної послідовності не так складно, розібравши кілька елементарних понять.
Математична числова послідовність
Числовою послідовністю прийнято називати якийсь ряд чисел, кожне з яких має власний номер.
а 1 - перший член послідовності;
а 2 - другий член послідовності;
а 7 – сьомий член послідовності;
а n - n-ний член послідовності;
Проте чи будь-який довільний набір цифр і чисел цікавить нас. Нашу увагу зосередимо на числової послідовності, у якій значення n-ного члена пов'язане з його порядковим номером залежністю, яку можна чітко сформулювати математично. Іншими словами: чисельне значення n-ного номера є функцією від n.
a - значення члена числової послідовності;
n – його порядковий номер;
f(n) - функція, де порядковий номер числової послідовності n є аргументом.
Визначення
Арифметичною прогресією прийнято називати числову послідовність, у якій кожен наступний член більше (менше) попереднього одне й те число. Формула n-ного члена арифметичної послідовності виглядає так:
a n – значення поточного члена арифметичної прогресії;
a n+1 - формула наступного числа;
d - різниця (певне число).
Неважко визначити, якщо різниця позитивна (d>0), кожен наступний член аналізованого ряду буде більше попереднього і така арифметична прогресія буде зростаючою.
На поданому нижче графіку неважко простежити, чому числова послідовністьотримала назву «зростаюча».
У випадках, коли різниця негативна (d<0), каждый последующий член по понятным причинам будет меньше предыдущего, график прогрессии станет «уходить» вниз, арифметическая прогрессия, соответственно, будет именоваться убывающей.
Значення заданого члена
Іноді буває необхідно визначити значення будь-якого довільного члена an арифметичної прогресії. Можна це шляхом розрахунку послідовно значень всіх членів арифметичної прогресії, починаючи з першого до шуканого. Однак такий шлях не завжди прийнятний, якщо, наприклад, необхідно знайти значення п'ятитисячного чи восьмимільйонного члена. Традиційний розрахунок сильно затягнеться за часом. Однак конкретна арифметична прогресія може бути вивчена за допомогою певних формул. Існує і формула n-ного члена: значення будь-якого члена арифметичної прогресії можна визначити як сума першого члена прогресії з різницею прогресії, помноженої на номер шуканого члена, зменшений на одиницю.
Формула універсальна для зростаючої та спадної прогресії.
Приклад розрахунку значення заданого члена
Розв'яжемо наступне завдання на знаходження значення n-ного члена арифметичної прогресії.
Умова: є арифметична прогресія з параметрами:
Перший член послідовності дорівнює 3;
Різниця числового ряду дорівнює 1,2.
Завдання: потрібно знайти значення 214 члена
Рішення: для визначення значення заданого члена скористаємося формулою:
а(n) = а1 + d(n-1)
Підставивши у вираз дані з умови завдання маємо:
а(214) = а1 + d(n-1)
а(214) = 3 + 1,2 (214-1) = 258,6
Відповідь: 214 член послідовності рівні 258,6.
Переваги такого способу розрахунку очевидні - все рішення займає трохи більше 2 рядків.
Сума заданої кількості членів
Дуже часто в заданому арифметичному ряду потрібно визначити суму значень його відрізка. Для цього також не потрібно обчислювати значення кожного члена і потім підсумовувати. Такий спосіб застосовується, якщо кількість членів, суму яких необхідно знайти, невелика. В інших випадках зручніше скористатися такою формулою.
Сума членів арифметичної прогресії від 1 до n дорівнює сумі першого та n-ного членів, помноженої на номер члена n та діленої надвоє. Якщо у формулі значення n-ного члена замінити на вираз із попереднього пункту статті, отримаємо:
Приклад розрахунку
Наприклад вирішимо задачу з наступними умовами:
Перший член послідовності дорівнює нулю;
Різниця дорівнює 0,5.
У завданні потрібно визначити суму членів ряду з 56 по 101.
Рішення. Скористаємося формулою визначення суми прогресії:
s(n) = (2∙a1 + d∙(n-1))∙n/2
Спочатку визначимо суму значень 101 члена прогресії, підставивши у формулу дані їх умови нашого завдання:
s 101 = (2∙0 + 0,5∙(101-1))∙101/2 = 2525
Очевидно, для того, щоб дізнатися суму членів прогресії з 56-го по 101-й, необхідно від S 101 відібрати S 55 .
s 55 = (2∙0 + 0,5∙(55-1))∙55/2 = 742,5
Таким чином, сума арифметичної прогресії для даного прикладу:
s 101 - s 55 = 2525 - 742,5 = 1 782,5
Приклад практичного застосування арифметичної прогресії
Наприкінці статті повернемося наприклад арифметичної послідовності, наведеному у першому абзаці - таксометр (лічильник автомобіля таксі). Розглянемо такий приклад.
Посадка в таксі (до якої входить 3 км пробігу) коштує 50 рублів. Кожен наступний кілометр оплачується із розрахунку 22 руб./км. Відстань подорожі 30 км. Розрахувати вартість подорожі.
1. Відкинемо перші 3 км, ціна яких включена у вартість посадки.
30 – 3 = 27 км.
2. Подальший розрахунок - не що інше як аналіз арифметичного числового ряду.
Номер члена – число км пробігу (мінус перші три).
Значення члена – сума.
Перший член у цій задачі дорівнюватиме a 1 = 50 р.
Різниця прогресії d = 22 р.
цікавить нас число - значення (27 +1)-ого члена арифметичної прогресії - показання лічильника наприкінці 27-го кілометра - 27,999 ... = 28 км.
a 28 = 50 + 22 ∙ (28 - 1) = 644
На формулах, що описують ті чи інші числові послідовності, побудовані розрахунки календарних даних на скільки завгодно тривалий період. В астрономії у геометричній залежності від відстані небесного тіла до світила знаходиться довжина орбіти. Крім того, різні числові ряди з успіхом застосовуються у статистиці та інших прикладних розділах математики.
Інший вид числової послідовності – геометрична
Геометрична прогресія характеризується більшими, порівняно з арифметичною, темпами зміни. Не випадково в політиці, соціології, медицині найчастіше, щоб показати велику швидкість поширення того чи іншого явища, наприклад захворювання при епідемії, кажуть, що процес розвивається у геометричній прогресії.
N-ний член геометричного числового ряду відрізняється від попереднього тим, що він множиться на якесь постійне число - знаменник, наприклад перший член дорівнює 1, знаменник відповідно дорівнює 2, тоді:
n=1: 1 ∙ 2 = 2
n=2: 2 ∙ 2 = 4
n=3: 4 ∙ 2 = 8
n=4: 8 ∙ 2 = 16
n=5: 16 ∙ 2 = 32,
b n – значення поточного члена геометричної прогресії;
b n+1 - формула наступного члена геометричної прогресії;
q – знаменник геометричної прогресії (постійне число).
Якщо графік арифметичної прогресії є прямою, то геометрична малює дещо іншу картину:
Як і у випадку арифметичної, геометрична прогресія має формулу значення довільного члена. Якийсь n-ний член геометричної прогресії дорівнює добутку першого члена на знаменник прогресії в ступені n зменшеного на одиницю:
приклад. Маємо геометричну прогресію з першим членом рівним 3 і знаменником прогресії, рівним 1,5. Знайдемо 5-й член прогресії
b 5 = b 1 ∙ q (5-1) = 3 ∙ 1,5 4 = 15,1875
Сума заданого числа членів розраховується за допомогою спеціальної формули. Сума n перших членів геометричної прогресії дорівнює різниці добутку n-ного члена прогресії на його знаменник і першого члена прогресії, поділеної на зменшений на одиницю знаменник:
Якщо b n замінити користуючись розглянутою вище формулою, значення суми n перших членів розглянутого числового ряду набуде вигляду:
приклад. Геометрична прогресія починається з першого члена, що дорівнює 1. Знаменник заданий рівним 3. Знайдемо суму перших восьми членів.
s8 = 1 ∙ (3 8 -1) / (3-1) = 3 280
У чому головна сутність формули?
Ця формула дозволяє знайти будь-який ЗА ЙОГО НОМЕРЕ " n" .
Зрозуміло, треба знати ще перший член a 1і різниця прогресії d, Так без цих параметрів конкретну прогресію і не запишеш.
Завчити (або зашпаргалити) цю формулу мало. Потрібно засвоїти її суть і застосувати формулу в різних завданнях. Та ще й не забути в потрібний момент, так...) Як не забути- я не знаю. А от як згадати,при необхідності - точно підкажу. Тим, хто урок до кінця подужає.)
Отже, розберемося із формулою n-го члена арифметичної прогресії.
Що таке формула взагалі – ми собі уявляємо.) Що таке арифметична прогресія, номер члена, різниця прогресії – доступно викладено у попередньому уроці. Загляньте, до речі, як не читали. Там просто все. Залишилося розібратися, що таке n-й член.
Прогресію у загальному вигляді можна записати у вигляді ряду чисел:
a 1, a 2, a 3, a 4, a 5, .....
a 1- Позначає перший член арифметичної прогресії, a 3- третій член, a 4- Четвертий, і так далі. Якщо нас цікавить п'ятий член, скажімо, ми працюємо з a 5, якщо сто двадцятий - з a 120.
А як позначити у загальному вигляді будь-якийчлен арифметичної прогресії, з будь-якимномером? Дуже просто! Ось так:
a n
Це і є n-й член арифметичної прогресії.Під літерою n ховаються відразу всі номери членів: 1, 2, 3, 4 тощо.
І що нам дає такий запис? Подумаєш, замість цифри букву записали...
Цей запис дає нам потужний інструмент для роботи з арифметичною прогресією. Використовуючи позначення a n, ми можемо швидко знайти будь-якийчлен будь-якийарифметичній прогресії. І ще купу завдань щодо прогресії вирішити. Самі далі побачите.
У формулі n-го члена арифметичної прогресії:
| a n = a 1 + (n-1)d |
a 1- Перший член арифметичної прогресії;
n- Номер члена.
Формула пов'язує ключові параметри будь-якої прогресії: a n; a 1; dі n. Навколо цих властивостей і крутяться всі завдання з прогресії.
Формула n-го члена можна використовувати й у записи конкретної прогресії. Наприклад, завдання може бути сказано, що прогресія задана умовою:
a n = 5 + (n-1) ·2.
Таке завдання може і в глухий кут поставити ... Немає ні ряду, ні різниці ... Але, порівнюючи умову з формулою, легко збагнути, що в цій прогресії a 1 =5, а d=2.
А буває ще зліше!) Якщо взяти ту ж умову: a n = 5 + (n-1) · 2,та розкрити дужки та привести подібні? Отримаємо нову формулу:
a n = 3 + 2n.
Це Тільки не загальна, а для конкретної прогресії. Ось тут і ховається підводний камінь. Деякі думають, що перший член – це трійка. Хоча реально перший член - п'ятірка... Трохи нижче ми попрацюємо з такою формулою.
У завдання на прогресію зустрічається ще одне позначення - a n+1. Це, як ви здогадалися, "ен плюс перший" член прогресії. Сенс його простий і нешкідливий.) Це член прогресії, номер якого більший за номер n на одиницю. Наприклад, якщо в якомусь завданні ми беремо за a nп'ятий член, то a n+1буде шостим членом. І тому подібне.
Найчастіше позначення a n+1зустрічається у рекурентних формулах. Не лякайтеся цього страшного слова!) Це просто спосіб висловлювання члена арифметичної прогресії через попередній.Припустимо, нам дана арифметична прогресія ось у такому вигляді, за допомогою рекурентної формули:
a n+1 = a n +3
a 2 = a 1 + 3 = 5+3 = 8
a 3 = a 2 + 3 = 8+3 = 11
Четвертий – через третій, п'ятий – через четвертий, тощо. А як порахувати одразу, скажімо двадцятий член, a 20? А ніяк!) Поки 19-й член не дізнаємось, 20-й не порахувати. У цьому є принципова відмінність рекурентної формули від формули n-го члена. Рекурентна працює тільки через попереднійчлен, а формула n-го члена – через першийі дозволяє відразузнаходити будь-який член за його номером. Не прораховуючи цілий ряд чисел по порядку.
В арифметичній прогресії рекурентну формулу легко перетворити на звичайну. Порахувати пару послідовних членів, обчислити різницю d,знайти, якщо треба, перший член a 1, Записати формулу у звичайному вигляді, та й працювати з нею. У ДПА подібні завдання часто зустрічаються.
Застосування формули n члена арифметичної прогресії.
Спочатку розглянемо пряме застосування формули. Наприкінці попереднього уроку було завдання:
Дана арифметична прогресія (a n). Знайти a 121 якщо a 1 =3, а d=1/6.
Це завдання можна без будь-яких формул вирішити, просто з сенсу арифметичної прогресії. Додавати, та додавати... Годинник-другий.)
А за формулою рішення займе менше хвилини. Можете засікати час.) Вирішуємо.
В умовах наведено всі дані для використання формули: a 1 =3, d=1/6.Залишається збагнути, чому одно n.Не питання! Нам треба знайти a 121. Ось і пишемо:
Прошу звернути увагу! Замість індексу nз'явилося конкретне число: 121. Що цілком логічно.) Нас цікавить член арифметичної прогресії номер сто двадцять один.Ось це і буде наше n.Саме це значення n= 121 ми і підставимо далі до формули, до дужок. Підставляємо всі числа у формулу та вважаємо:
a 121 = 3 + (121-1) · 1/6 = 3 +20 = 23
Ось і всі справи. Так само швидко можна було знайти і п'ятсот десятий член, і тисяча третій, кожен. Ставимо замість nпотрібний номер в індексі у літери " a"і в дужках, та й рахуємо.
Нагадаю суть: ця формула дозволяє знайти будь-якийчлен арифметичної прогресії ЗА ЙОГО НОМЕРЕ " n" .
Вирішимо завдання хитрішим. Нехай нам трапилося таке завдання:
Знайдіть перший член арифметичної прогресії (a n), якщо a 17 = -2; d=-0,5.
Якщо виникли труднощі, підкажу перший крок. Запишіть формулу n члена арифметичної прогресії!Так Так. Руками запишіть, прямо в зошиті:
| a n = a 1 + (n-1)d |
А тепер, дивлячись на літери формули, розуміємо, які дані ми маємо, а чого не вистачає? Є d=-0,5,є сімнадцятий член ... Все? Якщо вважаєте, що все, то завдання не вирішите, так...
У нас ще є номер n! В умові a 17 =-2заховані два параметри.Це значення сімнадцятого члена (-2), та її номер (17). Тобто. n=17.Ця "дрібниця" часто проскакує повз голову, а без неї, (без "дрібниці", а не голови!) завдання не вирішити. Хоча... і без голови теж.)
Тепер можна просто тупо підставити наші дані у формулу:
a 17 = a 1 + (17-1) · (-0,5)
Ах да, a 17нам відомо, що це -2. Ну гаразд, підставимо:
-2 = a 1 + (17-1) · (-0,5)
Ось по суті, і все. Залишилося висловити перший член арифметичної прогресії з формули, та порахувати. Вийде відповідь: a 1 = 6.
Такий прийом – запис формули та проста підстановка відомих даних – чудово допомагає у простих завданнях. Ну, треба, звичайно, вміти висловлювати змінну з формули, а що робити! Без цього вміння математику можна взагалі не вивчати.
Ще одне популярне завдання:
Знайдіть різницю арифметичної прогресії (a n), якщо a 1 =2; a 15 = 12.
Що робимо? Ви здивуєтеся, пишемо формулу!)
| a n = a 1 + (n-1)d |
Розуміємо, що нам відомо: a 1 = 2; a 15 = 12; та (спеціально виокремлю!) n=15. Сміливо підставляємо у формулу:
12 = 2 + (15-1) d
Вважаємо арифметику.)
12 = 2 + 14d
d=10/14 = 5/7
Це правильна відповідь.
Так, завдання на a n , a 1і dвирішили. Залишилося навчитися знаходити:
Число 99 є членом арифметичної прогресії (a n), де a 1 = 12; d=3. Знайти номер члена.
Підставляємо у формулу n-го члена відомі нам величини:
a n = 12 + (n-1) · 3
На перший погляд, тут дві невідомі величини: a n та n.Але a n- це якийсь член прогресії з номером n... І цей член прогресії ми знаємо! Це 99. Ми не знаємо його номер n,так цей номер і потрібно знайти. Підставляємо член прогресії 99 у формулу:
99 = 12 + (n-1) · 3
Висловлюємося з формули nвважаємо. Отримаємо відповідь: n=30.
А тепер завдання на ту саму тему, але більш творча):
Визначте, чи буде число 117 членом арифметичної прогресії (a n):
-3,6; -2,4; -1,2 ...
Знову пишемо формулу. Що немає ніяких параметрів? Гм... А очі нам навіщо дано?) Перший член прогресії бачимо? Бачимо. Це –3,6. Можна сміливо записати: a 1 = -3,6.Різниця dможна з ряду визначити? Легко, якщо знаєте, що таке різницю арифметичної прогресії:
d = -2,4 - (-3,6) = 1,2
Так, найпростіше зробили. Залишилося розібратися з невідомим номером nі незрозумілим числом 117. У попередній задачі хоч було відомо, що дано саме член прогресії. А тут і того не знаємо... Як бути! Ну, як бути, як бути... Включити творчі здібності!
Ми припустимо,що 117 - це все-таки член нашої прогресії. З невідомим номером n. І, як у попередній задачі, спробуємо знайти цей номер. Тобто. пишемо формулу (так-так!) і підставляємо наші числа:
117 = -3,6 + (n-1) · 1,2
Знову висловлюємося з формулиn, вважаємо та отримуємо:
Опаньки! Номер вийшов дробовий!Сто один із половиною. А дрібних номерів у прогресіях не буває.Який висновок зробимо? Так! Число 117 не єчленом нашої прогресії. Воно знаходиться десь між сто першим і сто другим членом. Якби номер вийшов натуральним, тобто. позитивним цілим, число було б членом прогресії зі знайденим номером. А в нашому випадку відповідь завдання буде: ні.
Завдання на основі реального варіанту ГІА:
Арифметична прогресія задана умовою:
a n = -4 + 6,8 n
Знайти перший і десятий члени прогресії.
Тут прогресію задано не зовсім звичним чином. Формула якась... Буває.) Однак, ця формула (як я писав вище) - теж формула n-го члена арифметичної прогресії!Вона також дозволяє знайти будь-який член прогресії за його номером.
Шукаємо перший член. Той, хто думає. що перший член – мінус чотири, фатально помиляється!) Тому, що формула в задачі – видозмінена. Перший член арифметичної прогресії у ній захований.Нічого, зараз знайдемо.)
Так само, як і в попередніх завданнях, підставляємо n=1у цю формулу:
a 1 = -4 + 6,8 · 1 = 2,8
Ось! Перший член 2,8, а чи не -4!
Аналогічно шукаємо десятий член:
a 10 = -4 + 6,8 · 10 = 64
Ось і всі справи.
А тепер тим, хто дочитав до цих рядків, - обіцяний бонус.)
Припустимо, у складній бойовій обстановці ГІА або ЄДІ ви забули корисну формулу n-го члена арифметичної прогресії. Щось пригадується, але невпевнено якось... Чи то nтам, чи n+1, чи то n-1...Як бути!?
Спокій! Цю формулу легко вивести. Не дуже суворо, але для впевненості та правильного рішення точно вистачить!) Для висновку достатньо пам'ятати елементарний зміст арифметичної прогресії та мати пару-трійку хвилин часу. Потрібно просто намалювати картинку. Для наочності.
Малюємо числову вісь та відзначаємо на ній перший. другий, третій тощо. члени. І відзначаємо різницю dміж членами. Ось так:
Дивимося на картинку і розуміємо: чому дорівнює другий член? Другий одне d:
a 2 =a 1 + 1 ·d
Чому дорівнює третій член? Третійчлен дорівнює перший член плюс два d.
a 3 =a 1 + 2 ·d
Уловлюєте? Я не дарма деякі слова виділяю жирним шрифтом. Ну гаразд, ще один крок).
Чому дорівнює четвертий член? Четвертийчлен дорівнює перший член плюс три d.
a 4 =a 1 + 3 ·d
Час зрозуміти, що кількість проміжків, тобто. d, завжди один менше, ніж номер шуканого члена n. Тобто, до номера n, кількість проміжківбуде n-1.Отже, формула буде (без варіантів!):
| a n = a 1 + (n-1)d |
Взагалі, наочні картинки дуже допомагають вирішувати багато завдань у математиці. Не нехтуйте картинками. Але якщо картинку намалювати важко, то... тільки формула!) Крім того, формула n-го члена дозволяє підключити до вирішення весь потужний арсенал математики - рівняння, нерівності, системи і т.д. Картинку в рівняння не вставиш...
Завдання для самостійного вирішення.
Для розминки:
1. В арифметичній прогресії (a n) a 2 = 3; a 5 =5,1. Знайти a 3 .
Підказка: за картинкою завдання вирішується секунд за 20... За формулою – складніше виходить. Але для освоєння формули - корисніше.) У Розділі 555 це завдання вирішено і з картинці, і за формулою. Відчуйте різницю!)
А це – вже не розминка.)
2. В арифметичній прогресії (a n) a 85 = 19,1; a 236 = 49, 3. Знайти a 3 .
Що, не хочеться малюнок малювати?) Ще б пак! Краще за формулою, так...
3. Арифметична прогресія задана умовою:a 1 =-5,5; an+1 = an+0,5. Знайдіть сто двадцять п'ятий член цієї прогресії.
У цьому вся завдання прогресія задана рекурентним способом. Але рахувати до сто двадцять п'ятого члена... Не всім такий подвиг під силу. Зате формула n-го члена під силу кожному!
4. Дана арифметична прогресія (a n):
-148; -143,8; -139,6; -135,4, .....
Знайти номер найменшого позитивного члена прогресії.
5. За умовою завдання 4 знайти суму найменшого позитивного та найбільшого негативного членів прогресії.
6. Добуток п'ятого та дванадцятого членів зростаючої арифметичної прогресії дорівнює -2,5, а сума третього та одинадцятого членів дорівнює нулю. Знайти a 14 .
Не найпростіше завдання, так ...) Тут спосіб "на пальцях" не прокотить. Прийде формули писати і рівняння розв'язувати.
Відповіді (безладно):
3,7; 3,5; 2,2; 37; 2,7; 56,5
Вийшло? Це приємно!)
Чи не все виходить? Буває. До речі, в останньому завданні є один тонкий момент. Уважність під час читання завдання буде потрібна. І логіка.
Розв'язання всіх цих завдань докладно розібрано у Розділі 555. І елемент фантазії для четвертої, і тонкий момент для шостої, і загальні підходи для вирішення будь-яких завдань на формулу n-го члена – все розписано. Рекомендую.
Якщо Вам подобається цей сайт...
До речі, у мене є ще кілька цікавих сайтів для Вас.)
Можна потренуватися у вирішенні прикладів та дізнатися свій рівень. Тестування з миттєвою перевіркою. Вчимося – з інтересом!)
можна познайомитися з функціями та похідними.
Отже, сядемо і почнемо писати якісь числа. Наприклад:
Писати можна будь-які числа, і може бути скільки завгодно (у разі їх). Скільки б чисел ми не написали, ми завжди можемо сказати, яке з них перше, яке друге і так далі до останнього, тобто можемо їх пронумерувати. Це і є приклад числової послідовності:
Числова послідовність
Наприклад, для нашої послідовності:
Присвоєний номер характерний лише однієї числа послідовності. Іншими словами, у послідовності немає трьох других чисел. Друге число (як і число) завжди одне.
Число з номером називається членом послідовності.
Всю послідовність ми зазвичай називаємо якоюсь літерою (наприклад,), і кожен член цієї послідовності - тією ж літерою з індексом, що дорівнює номеру цього члена: .
У нашому випадку: 
Припустимо, у нас є числова послідовність, у якій різниця між сусідніми числами однакова і дорівнює.
Наприклад: 
і т.д.
Така числова послідовність називається арифметичною прогресією.
Термін «прогресія» був запроваджений римським автором Боецієм ще 6 столітті і розумівся у ширшому значенні, як нескінченна числова послідовність. Назва «арифметична» було перенесено з теорії безперервних пропорцій, якими займалися давні греки.
Це числова послідовність, кожен член якої дорівнює попередньому, складеному з тим самим числом. Це число називається різницею арифметичної прогресії та позначається.
Спробуй визначити, які числові послідовності є арифметичною прогресією, а які:
a)
b)
c)
d)
Розібрався? Порівняємо наші відповіді:
Єарифметичною прогресією – b, c.
Не єарифметичною прогресією – a, d.
Повернемося до заданої прогресії () і спробуємо знайти значення її члена. Існує дваспособу його знаходження.
1. Спосіб
Ми можемо додавати до попереднього значення числа прогресії, поки не дійдемо до члена прогресії. Добре, що підсумувати нам залишилося небагато – лише три значення:
Отже, -ой член описаної арифметичної прогресії дорівнює.
2. Спосіб
А якщо нам потрібно було б знайти значення -го члена прогресії? Підсумовування зайняло б у нас не одну годину, і не факт, що ми не помилилися б при складанні чисел.
Зрозуміло, математики вигадали спосіб, у якому не потрібно додавати різницю арифметичної прогресії до попереднього значення. Придивись уважно до намальованого малюнка… Напевно, ти вже помітив якусь закономірність, а саме:
Наприклад, подивимося, з чого складається значення члена даної арифметичної прогресії: 
Іншими словами:
Спробуй самостійно знайти у такий спосіб значення члена даної арифметичної прогресії.
Розрахував? Порівняй свої записи з відповіддю:
Зверніть увагу, що в тебе вийшло таке ж число, як і в попередньому способі, коли ми послідовно додавали до попереднього значення членів арифметичної прогресії.
Спробуємо «знеособити» цю формулу – наведемо її у загальний вигляд і отримаємо:
|
Рівняння арифметичної прогресії. |
Арифметичні прогресії бувають зростаючі, а бувають спадні.
Зростаючі- прогресії, у яких кожне наступне значення членів більше попереднього.
Наприклад:
Знижені- прогресії, у яких кожне наступне значення членів менше попереднього.
Наприклад:
Виведена формула застосовується для членів як у зростаючих, і у спадних членах арифметичної прогресії.
Перевіримо це практично.
Нам дана арифметична прогресія, що складається з наступних чисел: Перевіримо, яке вийде число даної арифметичної прогресії, якщо при його розрахунку використовувати нашу формулу:
Тому що:
Таким чином, ми переконалися, що формула діє як у спадній, так і в зростаючій арифметичній прогресії.
Спробуй самостійно знайти члени цієї арифметичної прогресії.
Порівняємо отримані результати:
Властивість арифметичної прогресії
Ускладнимо завдання - виведемо властивість арифметичної прогресії.
Припустимо, нам дано таку умову:
- арифметична прогресія, знайти значення.
Легко, скажеш ти і почнеш вважати за вже відомою тобі формулою:
Нехай, а тоді:
Абсолютно вірно. Виходить ми спочатку знаходимо, потім додаємо його до першого числа і отримуємо шукане. Якщо прогресія представлена невеликими значеннями, то нічого складного в цьому немає, а якщо нам за умови дані числа? Погодься, є ймовірність помилитися у обчисленнях.
А тепер подумай, чи можна вирішити це завдання в одну дію з використанням будь-якої формули? Звичайно, так, і саме її ми спробуємо зараз вивести.
Позначимо шуканий член арифметичної прогресії як формула його знаходження нам відома - це та сама формула, виведена нами на початку:
тоді:
- попередній член прогресії це:
- наступний член прогресії це:
Підсумуємо попередній та наступний члени прогресії:
Виходить, що сума попереднього та наступного членів прогресії – це подвоєне значення члена прогресії, що перебуває між ними. Іншими словами, щоб знайти значення члена прогресії при відомих попередніх та послідовних значеннях, необхідно скласти їх та розділити на.
Все вірно, ми отримали це число. Закріпимо матеріал. Вважай значення для прогресії самостійно, адже це зовсім нескладно.
Молодець! Ти знаєш про прогрес майже всі! Залишилося дізнатися лише одну формулу, яку за легендами легко вивів для себе один з найбільших математиків усіх часів, «король математиків» - Карл Гаус...
Коли Карлу Гауссу було 9 років, вчитель, зайнятий перевіркою робіт учнів інших класів, поставив на уроці наступне завдання: «Порахувати суму всіх натуральних чисел від до (за іншими джерелами до) включно». Яке ж було здивування вчителя, коли один із його учнів (це і був Карл Гаусс) через хвилину дав правильну відповідь на поставлене завдання, при цьому більшість однокласників сміливця після довгих підрахунків отримали неправильний результат.
Юний Карл Гаусс помітив деяку закономірність, яку легко помітиш і ти.
Припустимо, у нас є арифметична прогресія, що складається з членів: Нам необхідно знайти суму даних членів арифметичної прогресії. Звичайно, ми можемо вручну підсумувати всі значення, але що робити, якщо в завданні потрібно буде знайти суму її членів, як це шукав Гаус?
Зобразимо задану нам прогресію. Придивись уважно до виділених чисел та спробуй зробити з ними різні математичні дії. 
Спробував? Що ти помітив? Правильно! Їхні суми рівні
А тепер дай відповідь, скільки всього набереться таких пар у заданій нам прогресії? Звичайно, рівно половина всіх чисел, тобто.
Виходячи з того, що сума двох членів арифметичної прогресії дорівнює, а подібних рівних пар ми отримуємо, що загальна сума дорівнює:
.
Таким чином, формула для суми перших членів будь-якої арифметичної прогресії буде такою:
У деяких завданнях нам невідомий член, але відома різниця прогресії. Спробуй підставити формулу суми, формулу -го члена.
Що в тебе вийшло?
Молодець! Тепер повернемося до завдання, яке задали Карлу Гаусс: порахуй самостійно, чому дорівнює сума чисел, починаючи від -го, і сума чисел починаючи від -го.
Скільки у тебе вийшло?
Гаус вийшов, що сума членів дорівнює, а сума членів. Чи ти так вирішував?
Насправді формула суми членів арифметичної прогресії була доведена давньогрецьким ученим Діофантом ще в 3 столітті, та й протягом усього цього часу дотепні люди користувалися властивостями арифметичної прогресії.
Наприклад, уяви Стародавній Єгипет і наймасштабніше будівництво того часу - будівництво піраміди ... На малюнку представлена одна її сторона. 
Де тут прогресія скажеш ти? Подивися уважно та знайди закономірність у кількості піщаних блоків у кожному ряді стіни піраміди. 
Чим не арифметична прогресія? Порахуй, скільки всього блоків необхідно для будівництва однієї стіни, якщо в основу кладеться цегла. Сподіваюся, ти не вважатимеш, водячи пальцем по монітору, ти ж пам'ятаєш останню формулу і все, що ми говорили про арифметичну прогресію?
У разі прогресія виглядає так: .
Різниця арифметичної прогресії.
Кількість членів арифметичної прогресії.
Підставимо останні формули наші дані (порахуємо кількість блоків 2 способами).
Спосіб 1.
Спосіб 2.
А тепер можна і на моніторі порахувати: порівняй отримані значення з тією кількістю блоків, яка є в нашій піраміді. Зійшлося? Молодець, ти освоїв суму членів арифметичної прогресії.
Звичайно, з блоків у підставі піраміду не побудуєш, а от із? Спробуй розрахувати, скільки необхідно піщаної цегли, щоб побудувати стіну з такою умовою.
Впорався?
Вірна відповідь - блоків:
Тренування
Завдання:
- Маша приходить у форму до літа. Щодня вона збільшує кількість присідань. Скільки разів присідатиме Маша через тижні, якщо на першому тренуванні вона зробила присідань.
- Якою є сума всіх непарних чисел, що містяться в.
- Лісоруби при зберіганні колод укладають їх таким чином, що кожен верхній шар містить одну колоду менше, ніж попередній. Скільки колод знаходиться в одній кладці, якщо основою кладки є колод.
Відповіді:
- Визначимо параметри арифметичної прогресії. В даному випадку
(Тижня = днів).Відповідь:Через два тижні Маша повинна присідати щодня.
- Перше непарне число, останнє число.
Різниця арифметичної прогресії.
Кількість непарних чисел в - половина, проте, перевіримо цей факт, використовуючи формулу знаходження члена арифметичної прогресії:У числах справді міститься непарних чисел.
Наявні дані підставимо у формулу:Відповідь:Сума всіх непарних чисел, що містяться, дорівнює.
- Згадаймо завдання для піраміди. Для нашого випадку a , так як кожен верхній шар зменшується на одну колоду, то всього в купі шарів, тобто.
Підставимо дані у формулу:Відповідь:У кладці знаходиться колод.
Підведемо підсумки
- - Чисельна послідовність, в якій різниця між сусідніми числами однакова і дорівнює. Вона буває зростаючою та спадною.
- Формула знаходження-го члена арифметичної прогресії записується формулою - , де - Число чисел в прогресії.
- Властивість членів арифметичної прогресії- де - кількість чисел у прогресії.
- Суму членів арифметичної прогресіїможна знайти двома способами:
де - кількість значень.
АРИФМЕТИЧНА ПРОГРЕСІЯ. СЕРЕДНІЙ РІВЕНЬ
Числова послідовність
Давай сядемо і почнемо писати якісь числа. Наприклад:
Писати можна будь-які числа, і їх може бути скільки завгодно. Але завжди можна сказати, яке з них перше, яке друге і так далі, тобто, можемо їх пронумерувати. Це і є приклад числової послідовності.
Числова послідовність- це безліч чисел, кожному з яких можна надати унікальний номер.
Іншими словами, кожному числу можна поставити у відповідність якесь натуральне число, причому єдине. І цей номер ми не надамо більше жодному іншому числу з даної множини.
Число з номером називається членом послідовності.
Всю послідовність ми зазвичай називаємо якоюсь літерою (наприклад,), і кожен член цієї послідовності - тією ж літерою з індексом, що дорівнює номеру цього члена: .
Дуже зручно, якщо член послідовності можна задати який-небудь формулою. Наприклад, формула
задає послідовність:
А формула – таку послідовність:
Наприклад, арифметичною прогресією є послідовність (перший член тут дорівнює, а різниця). Або (, різниця).
Формула n-го члена
Рекурентною ми називаємо таку формулу, в якій щоб дізнатися член, потрібно знати попередній або кілька попередніх:
Щоб знайти за такою формулою, наприклад, член прогресії, нам доведеться обчислити попередні дев'ять. Наприклад, хай. Тоді:
Ну що, зрозуміло тепер якась формула?
У кожному рядку ми додаємо, помножене на якесь число. На яке? Дуже просто: це номер поточного члена мінус:
Тепер набагато зручніше, правда? Перевіряємо:
Виріши сам:
В арифметичній прогресії знайти формулу n-го члена та знайти сотий член.
Рішення:
Перший член дорівнює. А чому дорівнює різниця? А ось чому:
(Вона тому і називається різницею, що дорівнює різниці послідовних членів прогресії).
Отже, формула:
Тоді сотий член дорівнює:
Чому дорівнює сума всіх натуральних чисел від до?
За легендою великий математик Карл Гаусс, будучи 9-річним хлопчиком, порахував цю суму за кілька хвилин. Він зауважив, що сума першого та останнього числа дорівнює, сума другого та передостаннього – теж, сума третього та 3-го з кінця – теж, і так далі. Скільки всього набереться таких пар? Правильно, рівно половина кількості всіх чисел, тобто. Отже,
Загальна формула для суми перших членів будь-якої арифметичної прогресії буде такою:
Приклад:
Знайдіть суму всіх двоцифрових чисел, кратних.
Рішення:
Перше таке число – це. Кожне наступне виходить додаванням до попереднього числа. Таким чином, цікаві для нас числа утворюють арифметичну прогресію з першим членом і різницею.
Формула члена для цієї прогресії:
Скільки членів у прогресії, якщо всі вони мають бути двозначними?
Дуже легко: .
Останній член прогресії дорівнюватиме. Тоді сума:
Відповідь: .
Тепер виріши сам:
- Щодня спортсмен пробігає на м більше, ніж у попередній день. Скільки всього кілометрів він пробіжить за тижні, якщо першого дня він пробіг км?
- Велосипедист проїжджає щодня на км більше, ніж попереднього. Першого дня він проїхав км. Скільки днів йому треба їхати, щоб подолати кілометри? Скільки кілометрів він проїде за останній день шляху?
- Ціна холодильника в магазині щорічно зменшується на ту саму суму. Визначте, на скільки щороку зменшувалася ціна холодильника, якщо виставлений на продаж за рублів через шість років був проданий за рублів.
Відповіді:
- Тут найголовніше - розпізнати арифметичну прогресію та визначити її параметри. У цьому випадку (тижня = днів). Визначити потрібно суму перших членів цієї прогресії:
.
Відповідь: - Тут дано: треба знайти.
Очевидно, потрібно використовувати ту саму формулу суми, що й у попередньому завданні:
.
Підставляємо значення:Корінь, очевидно, не підходить, отже, відповідь.
Порахуємо шлях, пройдений за останній день за допомогою формули члена:
(Км).
Відповідь: - Дано: . Знайти: .
Простіше не буває:
(Руб).
Відповідь:
АРИФМЕТИЧНА ПРОГРЕСІЯ. КОРОТКО ПРО ГОЛОВНЕ
Це числова послідовність, у якій різниця між сусідніми числами однакова і дорівнює.
Арифметична прогресія буває зростаючою () та спадною ().
Наприклад:
Формула знаходження n-ого члена арифметичної прогресії
записується формулою, де - кількість чисел у прогресії.
Властивість членів арифметичної прогресії
Воно дозволяє легко знайти член прогресії, якщо відомі його сусідні члени – де – кількість чисел у прогресії.
Сума членів арифметичної прогресії
Існує два способи знаходження суми:
Де – кількість значень.
Де – кількість значень.
ЗАЛИШЕНІ 2/3 СТАТТІ ДОСТУПНІ ТІЛЬКИ УЧНЯМ YOUCLEVER!
Стати учнем YouClever,
Підготуватися до ОДЕ або ЄДІ з математики за ціною "чашка кави на місяць",
А також отримати безстроковий доступ до підручника "YouClever", Програми підготовки (решітника) "100gia", необмеженого пробного ЄДІ та ОДЕ, 6000 завдань з розбором рішень та до інших сервісів YouClever та 100gia.
Увага!
До цієї теми є додаткові
матеріали у розділі 555.
Для тих, хто сильно "не дуже..."
І для тих, хто "дуже навіть...")
Арифметична прогресія - це ряд чисел, в якому кожне число більше (або менше) попереднього на одну й ту саму величину.
Ця тема часто представляється складною і незрозумілою. Індекси у літер, n-й член прогресії, різниця прогресії - все це якось бентежить, так ... Розберемося зі змістом арифметичної прогресії і все відразу налагодиться.)
Концепція арифметичної прогресії.
Арифметична прогресія - поняття дуже просте та чітке. Сумніваєтесь? Даремно.) Дивіться самі.
Я напишу незакінчений ряд чисел:
1, 2, 3, 4, 5, ...
Чи зможете продовжити цей ряд? Які числа підуть далі, за п'ятіркою? Кожен... е-е-е..., коротше, кожен зрозуміє, що далі підуть числа 6, 7, 8, 9 тощо.
Ускладнимо завдання. Даю незакінчений ряд чисел:
2, 5, 8, 11, 14, ...
Чи зможете вловити закономірність, продовжити ряд, і назвати сьомеЧисло ряду?
Якщо зрозуміли, що це число 20 – я вас вітаю! Ви не тільки відчули ключові моменти арифметичної прогресії,але й успішно вжили їх у справу! Якщо не зрозуміли – читаємо далі.
А тепер переведемо ключові моменти із відчуттів у математику.)
Перший ключовий момент.
Арифметична прогресія має справу з рядами чисел.Це і бентежить спочатку. Ми звикли рівняння вирішувати, графіки будувати і таке інше... А тут продовжити ряд, знайти число ряду...
Нічого страшного. Просто прогресії – це перше знайомство з новим розділом математики. Розділ називається "Ряди" і працює саме з рядами чисел та виразів. Звикайте.)
Другий ключовий момент.
В арифметичній прогресії будь-яке число відрізняється від попереднього на одну й ту саму величину.
У першому прикладі ця різниця – одиниця. Яке число не візьми, воно більше попереднього на один. У другому – трійка. Будь-яке число більше попереднього на трійку. Власне, саме цей момент дає нам можливість вловити закономірність і розрахувати наступні числа.
Третій ключовий момент.
Цей момент не впадає у вічі, так... Але дуже, дуже важливий. Ось він: кожне число прогресії стоїть своєму місці.Є перше число, є сьоме, є сорок п'яте і т.д. Якщо їх переплутати абияк, закономірність зникне. Зникне й арифметична прогресія. Залишиться просто ряд чисел.
Ось і вся суть.
Зрозуміло, у новій темі з'являються нові терміни та позначення. Їх треба знати. Інакше й завдання не зрозумієш. Наприклад, доведеться вирішувати, що-небудь, типу:
Випишіть перші шість членів арифметичної прогресії (a n), якщо a 2 = 5, d = -2,5.
Вселяє?) Літери, індекси якісь... А завдання, між іншим - простіше нікуди. Просто потрібно зрозуміти зміст термінів та позначень. Зараз ми цю справу опануємо і повернемося до завдання.
Терміни та позначення.
Арифметична прогресія- це ряд чисел, у якому кожне число відрізняється від попереднього на одну й ту саму величину.
Ця величина називається . Розберемося з цим поняттям детальніше.
Різниця арифметичної прогресії.
Різниця арифметичної прогресії- це величина, на яку будь-яке число прогресії більшепопереднього.
Один важливий момент. Прошу звернути увагу на слово "Більше".Математично це означає, що кожне число прогресії виходить додаткомрізниці арифметичної прогресії до попереднього числа.
Для розрахунку, скажімо, другогочисла ряду, треба до першомучислу додатицю саму різницю арифметичної прогресії. Для розрахунку п'ятого- Різниця треба додатидо четвертому,ну і т.п.
Різниця арифметичної прогресіїможе бути позитивною,тоді кожне число ряду вийде реально більше за попередній.Така прогресія називається зростаючою.Наприклад:
8; 13; 18; 23; 28; .....
Тут кожне число виходить додаткомпозитивного числа +5 до попереднього.
Різниця може бути і негативною,тоді кожне число ряду вийде менше за попередній.Така прогресія називається (ви не повірите!) спадаючою.
Наприклад:
8; 3; -2; -7; -12; .....
Тут кожне число виходить теж додаткомдо попереднього, але негативного числа, -5.
До речі, під час роботи з прогресією дуже корисно буває відразу визначити її характер - зростаюча вона, чи спадна. Це чудово допомагає зорієнтуватися у вирішенні, засікти свої помилки та виправити їх, поки не пізно.
Різниця арифметичної прогресіїпозначається, як правило, літерою d.
Як знайти d? Дуже просто. Треба від будь-якого числа ряду відібрати попереднєчисло. Відняти. До речі, результат віднімання називається "різниця".)
Визначимо, наприклад, dдля зростаючої арифметичної прогресії:
2, 5, 8, 11, 14, ...
Беремо будь-яке число ряду, яке хочемо, наприклад, 11. Віднімаємо від нього попереднє число,тобто. 8:
Це правильна відповідь. Для цієї арифметичної прогресії різниця дорівнює трьом.
Брати можна саме будь-яке число прогресії,т.к. для конкретної прогресії d -завжди одне й те саме.Хоч десь на початку ряду, хоч у середині, хоч де завгодно. Брати не можна тільки перше число. Просто тому, що у першого числа немає попереднього.)
До речі, знаючи, що d = 3знайти сьоме число цієї прогресії дуже просто. Додамо 3 до п'ятого числа - отримаємо шосте, це буде 17. Додамо до шостого числа трійку, отримаємо сьоме - двадцять.
Визначимо dдля спадної арифметичної прогресії:
8; 3; -2; -7; -12; .....
Нагадую, що, незалежно від символів, для визначення dтреба від будь-якого числа відібрати попереднє.Вибираємо будь-яку кількість прогресії, наприклад -7. Попереднє у нього – число -2. Тоді:
d = -7 - (-2) = -7 + 2 = -5
Різниця арифметичної прогресії може бути будь-яким числом: цілим, дрібним, ірраціональним, всяким.
Інші терміни та позначення.
Кожне число ряду називається членом арифметичної прогресії.
Кожен член прогресії має свій номер.Номери йдуть строго по порядку, без жодних фокусів. Перший, другий, третій, четвертий і т.д. Наприклад, у прогресії 2, 5, 8, 11, 14, ... двійка - це перший член, п'ятірка - другий, одинадцять - четвертий, ну, ви зрозуміли...) Прошу чітко усвідомити - самі числаможуть бути абсолютно будь-які, цілі, дробові, негативні, які завгодно, але нумерація чисел- суворо по порядку!
Як записати прогресію у загальному вигляді? Не питання! Кожне число ряду записується як букви. Для позначення арифметичної прогресії використовується, як правило, літера a. Номер члена вказується індексом внизу праворуч. Члени пишемо через кому (або крапку з комою), ось так:
a 1, a 2, a 3, a 4, a 5, .....
a 1- це перше число, a 3- третє, тощо. Нічого хитрого. Записати цей ряд коротко можна ось так: (a n).
Прогресії бувають кінцеві та нескінченні.
Кінцевапрогресія має обмежену кількість членів. П'ять, тридцять вісім, скільки завгодно. Але – кінцеве число.
Нескінченнапрогресія - має безліч членів, як можна здогадатися.)
Записати кінцеву прогресію через ряд можна ось так, всі члени та крапка в кінці:
a 1 , 2 , 3 , 4 , 5 .
Або так, якщо членів багато:
a 1 , a 2 , ... a 14 , a 15 .
У короткому записі доведеться додатково вказувати кількість членів. Наприклад (для двадцяти членів), ось так:
(a n), n = 20
Нескінченну прогресію можна дізнатися по трьома крапками в кінці ряду, як у прикладах цього уроку.
Тепер можна вирішити завдання. Завдання нескладні, чисто розуміння сенсу арифметичної прогресії.
Приклади завдань з арифметичної прогресії.
Розберемо детально завдання, що наведено вище:
1. Випишіть перші шість членів арифметичної прогресії (a n), якщо a 2 = 5, d = -2,5.
Перекладаємо завдання зрозумілою мовою. Дана нескінченна арифметична прогресія. Відоме друге число цієї прогресії: a 2 = 5.Відома різниця прогресії: d = -2,5.Потрібно знайти перший, третій, четвертий, п'ятий та шостий члени цієї прогресії.
Для наочності запишу ряд за умовою завдання. Перші шість членів, де другий член – п'ятірка:
a 1, 5, a 3, a 4, a 5, a 6,....
a 3 = a 2 + d
Підставляємо у вираз a 2 = 5і d = -2,5. Не забуваймо про мінус!
a 3=5+(-2,5)=5 - 2,5 = 2,5
Третій член вийшов меншим за другий. Все логічно. Якщо число більше попереднього на негативнувеличину, отже, саме число вийде менше попереднього. Прогресія – спадна. Гаразд, врахуємо.) Вважаємо четвертий член нашого ряду:
a 4 = a 3 + d
a 4=2,5+(-2,5)=2,5 - 2,5 = 0
a 5 = a 4 + d
a 5=0+(-2,5)= - 2,5
a 6 = a 5 + d
a 6=-2,5+(-2,5)=-2,5 - 2,5 = -5
Так, члени з третього до шостого вирахували. Вийшов такий ряд:
a 1, 5, 2,5, 0, -2,5, -5, ....
Залишається знайти перший член a 1за відомим другим. Це крок в інший бік, вліво.) Отже, різниця арифметичної прогресії dтреба не додати до a 2, а відібрати:
a 1 = a 2 - d
a 1=5-(-2,5)=5 + 2,5=7,5
Ось і всі справи. Відповідь завдання:
7,5, 5, 2,5, 0, -2,5, -5, ...
Принагідно зауважу, що це завдання ми вирішували рекурентнимспособом. Це страшне слово означає, лише, пошук члена прогресії за попереднім (сусіднім) числом.Інші методи роботи з прогресією ми розглянемо далі.
З цього простого завдання можна зробити один важливий висновок.
Запам'ятовуємо:
Якщо нам відомий хоча б один член та різниця арифметичної прогресії, ми можемо знайти будь-який член цієї прогресії.
Запам'ятали? Цей нескладний висновок дозволяє вирішувати більшість завдань шкільного курсу на цю тему. Всі завдання крутяться навколо трьох основних параметрів: член арифметичної прогресії, різницю прогресії, номер члена прогресії.Всі.
Зрозуміло, вся попередня алгебра не скасовується.) До прогресії причіплюються і нерівності, і рівняння, та інші речі. Але по самій прогресії- все крутиться довкола трьох параметрів.
Наприклад розглянемо деякі популярні завдання з цієї теми.
2. Запишіть кінцеву арифметичну прогресію у вигляді ряду, якщо n=5, d = 0,4 та a 1 = 3,6.
Тут все просто. Все вже дано. Потрібно згадати, як вважаються члени арифметичної прогресії, порахувати та й записати. Бажано не пропустити слова за умови завдання: "кінцеву" і " n=5". Щоб не рахувати до повного посиніння.) У цій прогресії всього 5 (п'ять) членів:
a 2 = a 1 + d = 3,6 + 0,4 = 4
a 3 = a 2 + d = 4 + 0,4 = 4,4
a 4 = a 3 + d = 4,4 + 0,4 = 4,8
a 5 = a 4 + d = 4,8 + 0,4 = 5,2
Залишається записати відповідь:
3,6; 4; 4,4; 4,8; 5,2.
Ще завдання:
3. Визначте, чи буде число 7 членом арифметичної прогресії (a n), якщо a 1 = 4,1; d = 1,2.
Хм... Хто ж його знає? Як визначити?
Як-не-як... Та записати прогресію у вигляді ряду і подивитися, буде там сімка, чи ні! Вважаємо:
a 2 = a 1 + d = 4,1 + 1,2 = 5,3
a 3 = a 2 + d = 5,3 + 1,2 = 6,5
a 4 = a 3 + d = 6,5 + 1,2 = 7,7
4,1; 5,3; 6,5; 7,7; ...
Зараз чітко видно, що сімку ми просто проскочилиміж 6,5 та 7,7! Не потрапила сімка до нашого ряду чисел, і, отже, сімка не буде членом заданої прогресії.
Відповідь: ні.
А ось завдання на основі реального варіанту ГІА:
4. Виписано кілька послідовних членів арифметичної прогресії:
...; 15; х; 9; 6; ...
Тут записаний ряд без кінця та початку. Немає ні номерів членів, ні різниці d. Нічого страшного. Аби вирішити завдання досить розуміти сенс арифметичної прогресії. Дивимося і розуміємо, що можна дізнатисяіз цього ряду? Які параметри із трьох головних?
Номери членів? Немає тут жодного номера.
Зате є три числа і – увага! - Слово "послідовних"за умови. Це означає, що числа йдуть по порядку, без перепусток. А чи є в цьому ряду два сусідніхвідомі числа? Так є! Це 9 і 6. Отже, ми можемо обчислити різницю арифметичної прогресії! Від шістки віднімаємо попереднєчисло, тобто. дев'ятку:
Залишилися дрібниці. Яка кількість буде попередньою для ікса? П'ятнадцять. Отже, ікс можна легко знайти простим додаванням. До 15 додати різницю арифметичної прогресії:
От і все. Відповідь: х = 12
Наступні завдання вирішуємо самостійно. Зауваження: ці завдання - не так на формули. Чисто на розуміння сенсу арифметичної прогресії.) Просто записуємо ряд з числами-літерами, дивимось і розуміємо.
5. Знайдіть перший позитивний член арифметичної прогресії, якщо a 5 = -3; d = 1,1.
6. Відомо, що число 5,5 є членом арифметичної прогресії (a n), де a 1 = 1,6; d = 1,3. Визначте номер n цього члена.
7. Відомо, що у арифметичній прогресії a 2 = 4; a 5 = 15,1. Знайдіть a3.
8. Виписано кілька послідовних членів арифметичної прогресії:
...; 15,6; х; 3,4; ...
Знайдіть член прогресії, позначений літерою х.
9. Потяг почав рух від станції, поступово збільшуючи швидкість на 30 метрів за хвилину. Якою буде швидкість поїзда через п'ять хвилин? Відповідь дайте за км/год.
10. Відомо, що в арифметичній прогресії a 2 = 5; a 6 = -5. Знайдіть a 1.
Відповіді (безладно): 7,7; 7,5; 9,5; 9; 0,3; 4.
Все вийшло? Чудово! Можна освоювати арифметичну прогресію на рівні, у наступних уроках.
Чи не все вийшло? Не біда. У Особливому розділі 555 всі ці завдання розібрані по кісточках.) І, звичайно, описаний простий практичний прийом, який відразу висвічує рішення подібних завдань чітко, ясно, як на долоні!
До речі, у завданні про поїзд є дві проблемки, на яких нерідко спотикається народ. Одна – чисто за прогресією, а друга – загальна для будь-яких завдань з математики, та й фізики теж. Це переклад розмірності з однієї в іншу. В показано, як треба ці проблеми вирішувати.
У цьому вся уроці ми розглянули елементарний сенс арифметичної прогресії та її основні параметри. Цього достатньо для вирішення практично всіх завдань на цю тему. Додай dдо числа, пиши ряд, все і вирішиться.
Рішення "на пальцях" добре підходить для дуже коротких шматочків ряду, як у прикладах цього уроку. Якщо ряд довше, обчислення ускладнюються. Наприклад, якщо в задачі 9 у питанні замінити "п'ять хвилин"на "тридцять п'ять хвилин",завдання стане значно зліше.)
А ще бувають завдання прості по суті, але несусвітні за обчисленнями, наприклад:
Дана арифметична прогресія (a n). Знайти a 121 якщо a 1 =3, а d=1/6.
І що, будемо багато разів додавати по 1/6?! Це ж убитися можна!
Можна.) Якщо не знати просту формулу, за якою вирішувати подібні завдання можна за хвилину. Ця формула буде у наступному уроці. І завдання ця там вирішена. За хвилину.)
Якщо Вам подобається цей сайт...
До речі, у мене є ще кілька цікавих сайтів для Вас.)
Можна потренуватися у вирішенні прикладів та дізнатися свій рівень. Тестування з миттєвою перевіркою. Вчимося – з інтересом!)
можна познайомитися з функціями та похідними.
У математиці є своя краса, як у живопису та поезії.
Російський вчений, механік Н.Є. Жуковський
Досить поширеними завданнями на вступних випробуваннях з математики є завдання, пов'язані з поняттям арифметичної прогресії. Для успішного вирішення таких завдань необхідно добре знати властивості арифметичної прогресії та мати певні навички їх застосування.
Попередньо нагадаємо основні властивості арифметичної прогресії та наведемо найважливіші формули, пов'язані з цим поняттям.
Визначення. Числова послідовність, в якій кожен наступний член відрізняється від попереднього на одне й те число, називається арифметичною прогресією. При цьому числоназивається різницею прогресії.
Для арифметичної прогресії справедливі формули
, (1)
де. Формула (1) називається формулою загального члена арифметичної прогресії, а формула (2) є основною властивістю арифметичної прогресії: кожен член прогресії збігається із середнім арифметичним своїх сусідніх членів і .
Відзначимо, що саме через цю властивість прогресія, що розглядається, називається «арифметичною».
Наведені вище формули (1) та (2) узагальнюються наступним чином:
(3)
Для обчислення сумиперших членів арифметичної прогресіїзазвичай застосовується формула
(5) де і .
Якщо взяти до уваги формулу (1), то з формули (5) випливає
Якщо позначити, то
де. Оскільки формули (7) і (8) є узагальненням відповідних формул (5) і (6).
Зокрема , з формули (5) випливає, що
До маловідомих більшості учнів належить властивість арифметичної прогресії, сформульоване у вигляді наступної теореми.
Теорема.Якщо то
Доведення.Якщо то
Теорему доведено.
Наприклад, використовуючи теорему, можна показати, що
Перейдемо до розгляду типових прикладів розв'язання завдань «Арифметична прогресія».
приклад 1.Нехай і. Знайти.
Рішення.Застосовуючи формулу (6), отримуємо . Так як і , то чи .
приклад 2.Нехай втричі більше , а при розподілі на в приватному виходить 2 і в залишку 8. Визначити і .
Рішення.З умови прикладу випливає система рівнянь
Так як , , і , то із системи рівнянь (10) отримуємо
Рішенням цієї системи рівнянь є і .
приклад 3.Знайти, якщо і.
Рішення.Відповідно до формули (5) маємо або . Однак, використовуючи властивість (9), отримуємо .
Так як і , то з рівності випливає рівнянняабо .
приклад 4.Знайти, якщо.
Рішення.За формулою (5) маємо
Проте, використовуючи теорему, можна записати
Звідси і формули (11) отримуємо .
Приклад 5. Дано: . Знайти.
Рішення.Так як, то. Однак, тому.
Приклад 6.Нехай, і. Знайти.
Рішення.Використовуючи формулу (9), отримуємо . Тому, якщо , або .
Так як і , то тут маємо систему рівнянь
Вирішуючи яку, отримуємо і .
Натуральним коренем рівнянняє.
Приклад 7.Знайти, якщо і.
Рішення.Оскільки за формулою (3) маємо, що , то з умови завдання випливає система рівнянь
Якщо підставити виразу друге рівняння системи, Отримаємо або .
Корінням квадратного рівняння єта .
Розглянемо два випадки.
1. Нехай тоді. Оскільки і , то .
У такому разі, згідно з формулою (6), маємо
2. Якщо , то , і
Відповідь: і .
Приклад 8.Відомо, що і . Знайти.
Рішення.Беручи до уваги формулу (5) та умову прикладу, запишемо та .
Звідси випливає система рівнянь
Якщо перше рівняння системи помножимо на 2, а потім складемо його з другим рівнянням, то отримаємо
Згідно з формулою (9) маємо. У зв'язку з (12) випливаєабо .
Оскільки і , то .
Відповідь: .
Приклад 9.Знайти, якщо і.
Рішення.Оскільки, і за умовою, то чи .
З формули (5) відомощо . Так як, то.
Отже, тут маємо систему лінійних рівнянь
Звідси отримуємо і. Зважаючи на формулу (8), запишемо .
приклад 10.Вирішити рівняння .
Рішення.Із заданого рівняння випливає, що . Припустимо, що , , і . В такому випадку .
Згідно з формулою (1), можна записати або .
Оскільки , то рівняння (13) має єдиний відповідний корінь .
Приклад 11.Знайти максимальне значення за умови, що .
Рішення.Оскільки , то аналізована арифметична прогресія є спадною. У цьому вираз приймає максимальне значення у разі, коли є номером мінімального позитивного члена прогресії.
Скористаємося формулою (1) і тим фактом, що і . Тоді отримаємо, що чи.
Оскільки , то чи . Однак у цій нерівностінайбільше натуральне числотому .
Якщо значення і підставити у формулу (6), то отримаємо .
Відповідь: .
приклад 12.Визначити суму всіх двоцифрових натуральних чисел, які при розподілі на число 6 дають у залишку 5.
Рішення.Позначимо через множину всіх двозначних натуральних чисел, тобто. . Далі, побудуємо підмножину, що складається з тих елементів (чисел) множини, які при розподілі на число 6 дають у залишку 5.
Неважко встановитищо . Очевидно, що елементи множиниутворюють арифметичну прогресію, в якій та .
Для встановлення потужності (числа елементів) множини припустимо, що . Оскільки і , то з формули (1) випливає або . Зважаючи на формулу (5), отримаємо .
Наведені вище приклади вирішення завдань у жодному разі що неспроможні претендувати на вичерпну повноту. Ця стаття написана на основі аналізу сучасних методів вирішення типових завдань на задану тему. Для глибшого вивчення методів вирішення завдань, пов'язаних з арифметичною прогресією, доцільно звернутися до списку літератури, що рекомендується.
1. Збірник завдань з математики для вступників у втузи / За ред. М.І. Сканаві. - М.: Світ та Освіта, 2013. - 608 с.
2. Супрун В.П. Математика для старшокласників: додаткові розділи шкільної програми. - М.: Ленанд / URSS, 2014. - 216 с.
3. Мединський М.М. Повний курс елементарної математики у завданнях та вправах. Книга 2: Числові послідовності та прогресії. - М.: Едітус, 2015. - 208 с.
Залишились питання?
Щоб отримати допомогу репетитора – зареєструйтесь.
сайт, при повному або частковому копіюванні матеріалу посилання на першоджерело обов'язкове.
