- (матем.) Функція у = f(x) називається парною, якщо вона не змінюється, коли незалежне змінне змінює тільки знак, тобто якщо f(x) = f(x). Якщо ж f(x) = f(x), то функція f(x) називається непарною. Наприклад, у = cosx, у = x2 ...

F(x) = x приклад непарної функції. f(x) = x2 приклад парної функції. f(x) = x3 … Вікіпедія

Функція, що задовольняє рівність f(x) = f(x). Див. парні та непарні функції … Велика Радянська Енциклопедія

F(x) = x приклад непарної функції. f(x) = x2 приклад парної функції. f(x) = x3 … Вікіпедія

F(x) = x приклад непарної функції. f(x) = x2 приклад парної функції. f(x) = x3 … Вікіпедія

F(x) = x приклад непарної функції. f(x) = x2 приклад парної функції. f(x) = x3 … Вікіпедія

F(x) = x приклад непарної функції. f(x) = x2 приклад парної функції. f(x) = x3 … Вікіпедія

Спеціальні функції, введені французьким математиком Е. Матьє (E. Mathieu) у 1868 р. при вирішенні завдань про коливання еліптичної мембрани. М. ф. застосовуються також при вивченні поширення електромагнітних хвильв еліптичному циліндрі. Велика Радянська Енциклопедія

Запит "sin" перенаправляється сюди; див. також інші значення. Запит "sec" перенаправляється сюди; див. також інші значення. Запит «Сінус» перенаправляється сюди; див. також інші значення … Вікіпедія

Функція називається парною (непарною), якщо для будь-якої виконується рівність

.

Графік парної функції симетричний щодо осі
.

Графік непарної функції симетричний щодо початку координат.

Приклад 6.2.Дослідити на парність чи непарність функції

1)
; 2)
; 3)
.

Рішення.

1) Функція визначена при
. Знайдемо
.

Тобто.
. Значить, дана функціяє парною.

2) Функція визначена при

Тобто.
. Таким чином, ця функція непарна.

3) функція визначена для , тобто. для

,
. Тому функція не є ні парною, ні непарною. Назвемо її функцією загального вигляду.

3. Вивчення функції на монотонність.

Функція
називається зростаючою (зменшує) на деякому інтервалі, якщо в цьому інтервалі кожному більшому значенню аргументу відповідає більше (менше) значення функції.

Функції, що зростають (зменшуються) на деякому інтервалі називаються монотонними.

Якщо функція
диференційована на інтервалі
і має позитивну (негативну) похідну
, то функція
зростає (зменшується) у цьому інтервалі.

Приклад 6.3. Знайти інтервали монотонності функцій

1)
; 3)
.

Рішення.

1) Ця функція визначена по всій числової осі. Знайдемо похідну.

Похідна дорівнює нулю, якщо
і
. Область визначення – числова вісь, що розбивається крапками
,
на інтервали. Визначимо знак похідної у кожному інтервалі.

В інтервалі
похідна негативна, функція цьому інтервалі зменшується.

В інтервалі
похідна позитивна, отже, функція цьому інтервалі зростає.

2) Ця функція визначена, якщо
або

.

Визначаємо знак квадратного тричлена у кожному інтервалі.

Таким чином, область визначення функції

Знайдемо похідну
,
, якщо
, тобто.
, але
. Визначимо знак похідної в інтервалах
.

В інтервалі
похідна негативна, отже, функція зменшується на інтервалі
. В інтервалі
похідна позитивна, функція зростає на інтервалі
.

4. Дослідження функції на екстремум.

Крапка
називається точкою максимуму (мінімуму) функції
, якщо існує така околиця точки , що для всіх
з цієї околиці виконується нерівність

.

Точки максимуму та мінімуму функції називаються точками екстремуму.

Якщо функція
у точці має екстремум, то похідна функції у цій точці дорівнює нулю чи немає (необхідна умова існування екстремуму).

Крапки, в яких похідна дорівнює нулю або немає називаються критичними.

5. Достатні умови існування екстремуму.

Правило 1. Якщо під час переходу (зліва направо) через критичну точку похідна
змінює знак із «+» на «–», то в точці функція
має максимум; якщо з "-" на "+", то мінімум; якщо
не змінює знак, то екстремуму немає.

Правило 2. Нехай у точці
перша похідна функції
дорівнює нулю
а друга похідна існує і відмінна від нуля. Якщо
, то - точка максимуму, якщо
, то – точка мінімуму функції.

приклад 6.4 . Дослідити на максимум та мінімум функції:

1)
; 2)
; 3)
;

4)
.

Рішення.

1) Функція визначена та безперервна на інтервалі
.

Знайдемо похідну
і вирішимо рівняння
, тобто.
.Звідси
- Критичні точки.

Визначимо знак похідної в інтервалах
.

При переході через точки
і
похідна змінює знак із «–» на «+», тому за правилом 1
- Точки мінімуму.

При переході через точку
похідна змінює знак із «+» на «–», тому
- Точка максимуму.

,
.

2) Функція визначена та безперервна в інтервалі
. Знайдемо похідну
.

Розв'язавши рівняння
, знайдемо
і
- Критичні точки. Якщо знаменник
, тобто.
, то похідна немає. Отже,
- Третя критична точка. Визначимо похідний знак в інтервалах.

Отже, функція має мінімум у точці
, максимум у точках
і
.

3) Функція визначена і безперервна, якщо
, тобто. при
.

Знайдемо похідну

.

Знайдемо критичні точки:

Околиці точок
не належать області визначення, тому вони є т. екстремуму. Отже, досліджуємо критичні точки
і
.

4) Функція визначена та безперервна на інтервалі
. Використовуємо правило 2. Знайдемо похідну
.

Знайдемо критичні точки:

Знайдемо другу похідну
і визначимо її знак у точках

У точках
функція має мінімум.

У точках
функція має максимум.

Залежність змінної y від перемінно x, коли кожен значенню x відповідає єдине значення y називається функцією. Для позначення використовують запис y=f(x). Кожна функція має ряд основних властивостей, таких як монотонність, парність, періодичність та інші.

Розглянь докладніше властивість парності.

Функція y=f(x) називається парною, якщо вона задовольняє наступним двом умовам:

2. Значення функції в точці х, що належить області визначення функції, має дорівнювати значення функції в точці -х. Тобто для будь-якої точки х з області визначення функції має виконуватися наступна рівність f(x) = f(-x).

Графік парної функції

Якщо побудувати графік парної функції, він буде симетричний щодо осі Оу.

Наприклад, функція y=x^2 є парною. Перевіримо це. Область визначення вся числова вісь, отже, вона симетрична щодо точки Про.

Візьмемо довільне х=3. f(x)=3^2=9.

f(-x)=(-3)^2=9. Отже f(x) = f(-x). Таким чином, у нас виконуються обидві умови, отже, функція парна. Нижче наведено графік функції y=x^2.

На малюнку видно, що графік симетричний щодо осі Оу.

Графік непарної функції

Функція y=f(x) називається непарною, якщо вона задовольняє наступним двом умовам:

1. Область визначення даної функції має бути симетрична щодо точки О. Тобто якщо деяка точка a належить області визначення функції, то відповідна точка -a теж повинна належати області визначення заданої функції.

2. Для будь-якої точки х, з області визначення функції має виконуватися така рівність f(x) = -f(x).

Графік непарної функції симетричний щодо точки Про - початку координат. Наприклад, функція y=x^3 є непарною. Перевіримо це. Область визначення вся числова вісь, отже, вона симетрична щодо точки Про.

Візьмемо довільне х=2. f(x)=2^3=8.

f(-x)=(-2)^3=-8. Отже f(x) = -f(x). Таким чином, у нас виконуються обидві умови, отже, функція непарна. Нижче наведено графік функції y=x^3.

На малюнку наочно представлено, що непарна функція y=x^3 симетрична щодо початку координат.

Визначення 1. Функція називається парної (непарною ), якщо разом з кожним значенням змінної
значення – хтакож належить
і виконується рівність

Таким чином, функція може бути парною або непарною тільки тоді, коли її область визначення симетрична щодо початку координат на числовій прямій (числа хі – ходночасно належать
). Наприклад, функція
не є парною і непарною, оскільки її область визначення
не симетрична щодо початку координат.

Функція
парна, оскільки
симетрична щодо початку координат і.

Функція
непарна, оскільки
і
.

Функція
не є парною і непарною, тому що хоча
та симетрична щодо початку координат, рівності (11.1) не виконуються. Наприклад.

Графік парної функції симетричний щодо осі Оу, так як якщо точка

теж належить графіку. Графік непарної функції симетричний щодо початку координат, оскільки якщо
належить графіку, то й точка
теж належить графіку.

За доказом парності або непарності функції бувають корисні такі твердження.

Теорема 1. а) Сума двох парних (непарних) функцій є функція парна (непарна).

б) Добуток двох парних (непарних) функцій є функція парна.

в) Добуток парної та непарної функцій є функція непарна.

г) Якщо f– парна функція на множині Х, а функція g визначено на безлічі
, то функція
– парна.

д) Якщо f- непарна функція на безлічі Х, а функція g визначено на безлічі
і парна (непарна), то функція
– парна (непарна).

Доведення. Доведемо, наприклад, б) та г).

б) Нехай
і
– парні функції. Тоді тому. Аналогічно розглядається випадок непарних функцій
і
.

г) Нехай f – парна функція. Тоді.

Інші твердження теореми доводяться аналогічно. Теорему доведено.

Теорема 2. Будь-яку функцію
, задану на безлічі Х, симетричному щодо початку координат, можна подати у вигляді суми парної та непарної функцій.

Доведення. функцію
можна записати у вигляді

.

Функція
– парна, оскільки
, а функція
- Непарна, оскільки. Таким чином,
, де
– парна, а
- Непарна функції. Теорему доведено.

Визначення 2. Функція
називається періодичної якщо існує число
, таке, що за будь-якого
числа
і
також належать області визначення
та виконуються рівності

Таке число Tназивається періодом функції
.

З визначення 1 випливає, що якщо Т– період функції
, те й число - Ттеж є періодом функції
(оскільки при заміні Тна – Трівність зберігається). За допомогою методу математичної індукції можна показати, що якщо Т– період функції f, то й
, також є періодом. Звідси випливає, що й функція має період, вона має нескінченно багато періодів.

Визначення 3. Найменший із позитивних періодів функції називається її основним періодом.

Теорема 3. Якщо Т- Основний період функції f, то інші періоди кратні йому.

Доведення. Припустимо неприємне, тобто що існує період функції f (>0), не кратний Т. Тоді, розділивши на Тіз залишком, отримаємо
, де
. Тому

тобто – період функції f, причому
, а це суперечить тому, що Т- Основний період функції f. З отриманого протиріччя випливає твердження теореми. Теорему доведено.

Добре відомо, що тригонометричні функції є періодичними. Основний період
і
дорівнює
,
і
. Знайдемо період функції
. Нехай
- Період цієї функції. Тоді

(так як
.

абоилиили
.

Значення T, що визначається з першої рівності, не може бути періодом, тому що залежить від х, тобто. є функцією від х, а чи не постійним числом. Період визначається з другої рівності:
. Періодів нескінченно багато, при
найменший позитивний період виходить за
:
. Це – основний період функції
.

Прикладом складнішої періодичної функції є функція Діріхле

Зауважимо, що якщо T- Раціональне число, то
і
є раціональними числами при раціональному хта ірраціональними при ірраціональному х. Тому

за будь-якого раціонального числа T. Отже, будь-яке раціональне число Tє періодом функції Діріхле. Ясно, що основного періоду у цієї функції немає, оскільки є позитивні раціональні числа, скільки завгодно близькі до нуля (наприклад, раціональне число можна зробити вибором nяк завгодно близьким до нуля).

Теорема 4. Якщо функція f задана на безлічі Хі має період Т, а функція g задана на безлічі
, то складна функція
теж має період Т.

Доведення. Маємо, тому

тобто твердження теореми підтверджено.

Наприклад, оскільки cos x має період
, то й функції
мають період
.

Визначення 4. Функції, що не є періодичними, називаються неперіодичними .

Приховати Показати

Способи завдання функції

Нехай функція визначається формулою: y=2x^(2)-3 . Призначаючи будь-які значення незалежної змінної x можна обчислити, користуючись даною формулою відповідні значення залежної змінної y . Наприклад, якщо x=-0,5, то, користуючись формулою, отримуємо, що відповідне значення y дорівнює y=2 \cdot(-0,5)^(2)-3=-2,5.

Взявши будь-яке значення, прийняте аргументом x формулі y=2x^(2)-3 , можна обчислити лише одне значення функції, яке відповідає. Функцію можна подати у вигляді таблиці:

x	−2	−1	0	1	2	3
y	−4	−3	−2	−1	0	1

Користуючись даною таблицею, можна розібрати, що значення аргументу −1 буде відповідати значення функції −3 ; а значення x=2 буде відповідати y=0 і т.д. Також важливо знати, що кожному значенню аргументу таблиці відповідає лише одне значення функції.

Ще функції можна задати, використовуючи графіки. За допомогою графіка встановлюється яке значення функції співвідноситься з певним значенням x. Найчастіше це буде наближене значення функції.

Парна та непарна функція

Функція є парною функцієюколи f(-x)=f(x) для будь-якого x з області визначення. Така функція буде симетрична щодо осі Oy.

Функція є непарною функцієюколи f(-x)=-f(x) для будь-якого x з області визначення. Така функція буде симетрична щодо початку координат O(0;0) .

Функція є ні парної, ні непарноїі називається функцією загального вигляду , коли вона не має симетрії щодо осі або початку координат.

Досліджуємо на парність наведену нижче функцію:

f(x)=3x^(3)-7x^(7)

D(f)=(-\infty ; +\infty) з симетричною областю визначення щодо початку координат. f(-x)= 3 \cdot(-x)^(3)-7 \cdot(-x)^(7)= -3x^(3)+7x^(7)= -(3x^(3)-7x^(7))= -f(x).

Отже, функція f(x)=3x^(3)-7x^(7) є непарною.

Періодична функція

Функція y=f(x) , в області визначення якої для будь-якого x виконується рівність f(x+T)=f(x-T)=f(x) називається періодичною функцієюз періодом T \neq 0 .

Повторення графіка функції на будь-якому відрізку осі абсцис, який має довжину T .

Проміжки, де функція позитивна, тобто f(x) > 0 - відрізки осі абсцис, які відповідають точкам графіка функції, що лежать від осі абсцис.

f(x) > 0 на (x_(1); x_(2)) \cup (x_(3); +\infty)

Проміжки, де функція негативна, тобто f(x)< 0 - отрезки оси абсцисс, которые отвечают точкам графика функции, лежащих ниже оси абсцисс.

f(x)< 0 на (-\infty; x_(1)) \cup (x_(2); x_(3))

Обмеженість функції

Обмеженою знизуприйнято називати функцію y=f(x), x \in X тоді, коли існує таке число A для якого виконується нерівність f(x) \geq A для будь-якого x \in X .

Приклад обмеженої знизу функції: y=\sqrt(1+x^(2)) оскільки y=\sqrt(1+x^(2)) \geq 1 для будь-якого x .

Обмеженої зверхуназивається функція y=f(x), x \in X тоді, коли існує таке число B для якого виконується нерівність f(x) \neq B для будь-якого x \in X .

Приклад обмеженої знизу функції: y=\sqrt(1-x^(2)), x \in [-1;1]оскільки y=\sqrt(1+x^(2)) \neq 1 для будь-якого x \in [-1;1] .

Обмеженоюприйнято називати функцію y = f (x), x \ in X тоді, коли існує таке число K> 0, для якого виконується нерівність \ left | f(x) \right | \neq K для будь-якого x \in X .

приклад обмеженої функції: y=\sin x обмежена по всій числовій осі, так як \Left | \sin x \right | \neq 1.

Зростаюча та спадна функція

Про функцію, що зростає на розглянутому проміжку, прийнято говорити як про зростаючої функціїтоді, коли більшому значенню x відповідатиме більше значення функції y=f(x) . Звідси виходить, що взявши з проміжку, що розглядається, два довільних значення аргументу x_(1) і x_(2) , причому x_(1) > x_(2) , буде y(x_(1)) > y(x_(2)) .

Функція, що зменшується на проміжку, що розглядається, називається спадною функцієютоді, коли більшому значенню x відповідатиме менше значення функції y(x) . Звідси виходить, що взявши з проміжку, що розглядається, два довільних значень аргументу x_(1) і x_(2) , причому x_(1) > x_(2) , буде y(x_(1))< y(x_{2}) .

Корінням функціїприйнято називати точки, в яких функція F = y (x) перетинає вісь абсцис (вони виходять в результаті розв'язування рівняння y (x) = 0).

а) Якщо при x > 0 парна функція зростає, то зменшується вона за x< 0

б) Коли при x > 0 парна функція зменшується, то зростає вона за x< 0

в) Коли при x > 0 непарна функція зростає, то зростає і при x< 0

г) Коли непарна функція зменшуватиметься при x > 0 , то вона зменшуватиметься і при x< 0

Екстремуми функції

Точкою мінімуму функції y=f(x) прийнято називати таку точку x=x_(0) , у якої її околиця матиме інші точки (крім самої точки x=x_(0) ), і тоді буде виконуватися нерівність f(x) > f (x_(0)). y_(min) - позначення функції у точці min.

Точкою максимуму функції y=f(x) прийнято називати таку точку x=x_(0) , у якої її околиця матиме інші точки (крім самої точки x=x_(0) ), і тоді буде виконуватися нерівність f(x)< f(x^{0}) . y_{max} - обозначение функции в точке max.

Необхідна умова

Відповідно до теореми Ферма: f"(x)=0 тоді, коли у функції f(x) , що диференційована в точці x_(0) , з'явиться екстремум у цій точці.

Достатня умова

1. Коли похідна знак змінюється з плюсу на мінус, то x_(0) буде точкою мінімуму;
2. x_(0) - буде точкою максимуму тільки тоді, коли у похідної змінюється знак з мінусу на плюс при переході через стаціонарну точку x_(0).

Найбільше та найменше значення функції на проміжку

Кроки обчислень:

1. Шукається похідна f"(x);
2. Знаходяться стаціонарні та критичні точки функції та вибирають належні відрізку;
3. Знаходяться значення функції f(x) у стаціонарних та критичних точках та кінцях відрізка. Найменше з отриманих результатів буде найменшим значенням функції, а більше - найбільшим.