Визначення.Якщо задані дві прямі y = k 1 x + b 1 , y = k 2 x + b 2 то гострий кутміж цими прямими визначатиметься як

Дві прямі паралельні, якщо k1 = k2. Дві прямі перпендикулярні, якщо k1 = -1/k2.

Теорема.Прямі Ах + Ву + С = 0 і А 1 х + В 1 у + С 1 = 0 паралельні, коли пропорційні коефіцієнти А 1 = А, В 1 = В. Якщо ще й С1 = С, то прямі збігаються. Координати точки перетину двох прямих перебувають як розв'язання системи рівнянь цих прямих.

Рівняння пряме, що проходить через дану точку

Перпендикулярно даній прямій

Визначення.Пряма, що проходить через точку М 1 (х 1, у 1) і перпендикулярна до прямої у = kx + b представляється рівнянням:

Відстань від точки до прямої

Теорема.Якщо задана точка М (х 0, у 0), то відстань до прямої Ах + Ву + С = 0 визначається як

.

Доведення.Нехай точка М 1 (х 1, у 1) - основа перпендикуляра, опущеного з точки М на задану пряму. Тоді відстань між точками М та М 1:

(1)

Координати x 1 і 1 можуть бути знайдені як рішення системи рівнянь:

Друге рівняння системи - це рівняння прямої, що проходить через задану точку М0 перпендикулярно заданої прямої. Якщо перетворити перше рівняння системи на вигляд:

A(x – x 0) + B(y – y 0) + Ax 0 + By 0 + C = 0,

то, вирішуючи, отримаємо:

Підставляючи ці вирази рівняння (1), знаходимо:

Теорему доведено.

приклад. Визначити кут між прямими: y = -3 x + 7; y = 2 x +1.

k 1 = -3; k 2 = 2; tgφ = ; φ = p /4.

приклад. Показати, що прямі 3х - 5у + 7 = 0 і 10х + 6у - 3 = 0 перпендикулярні.

Рішення. Знаходимо: k 1 = 3/5, k 2 = -5/3, k 1 * k 2 = -1, отже, прямі перпендикулярні.

приклад. Дано вершини трикутника А(0; 1), B (6; 5), C (12; -1). Знайти рівняння висоти, проведеної з вершини З.

Рішення. Знаходимо рівняння сторони АВ: ; 4 x = 6 y - 6;

2 x - 3 y + 3 = 0;

Шукане рівняння висоти має вигляд: Ax + By + C = 0 або y = kx + b. k =. Тоді y =. Т.к. висота проходить через точку С, її координати задовольняють даному рівнянню: звідки b = 17. Разом: .

Відповідь: 3 x + 2 y - 34 = 0.

Рівняння прямої, що проходить через цю точку в цьому напрямку. Рівняння прямої, що проходить через дві дані точки. Кут між двома прямими. Умова паралельності та перпендикулярності двох прямих. Визначення точки перетину двох прямих

1. Рівняння прямої, що проходить через цю точку A(x 1 , y 1) у цьому напрямку, що визначається кутовим коефіцієнтом k,

y - y 1 = k(x - x 1). (1)

Це рівняння визначає пучок прямих, що проходять через точку A(x 1 , y 1), яка називається центром пучка.

2. Рівняння прямої, що проходить через дві точки: A(x 1 , y 1) та B(x 2 , y 2), записується так:

Кутовий коефіцієнт прямий, що проходить через дві дані точки, визначається за формулою

3. Кутом між прямими Aі Bназивається кут, на який треба повернути першу пряму Aнавколо точки перетину цих прямих проти руху годинникової стрілки до збігу її з другою прямою B. Якщо дві прямі задані рівняннями з кутовим коефіцієнтом

y = k 1 x + B 1 ,

y = k 2 x + B 2 , (4)

то кут між ними визначається за формулою

Слід звернути увагу на те, що в чисельнику дробу з кутового коефіцієнта другої прямої віднімається кутовий коефіцієнт першої прямої.

Якщо рівняння прямої задані загальному вигляді

A 1 x + B 1 y + C 1 = 0,

A 2 x + B 2 y + C 2 = 0, (6)

кут між ними визначається за формулою

4. Умови паралельності двох прямих:

а) Якщо прямі задані рівняннями (4) з кутовим коефіцієнтом, то необхідна і достатня умова їхньої паралельності полягає в рівності їх кутових коефіцієнтів:

k 1 = k 2 . (8)

б) Для випадку, коли прямі задані рівняннями у загальному вигляді (6), необхідна та достатня умова їхньої паралельності полягає в тому, що коефіцієнти при відповідних поточних координатах у їх рівняннях пропорційні, тобто.

5. Умови перпендикулярності двох прямих:

а) У разі, коли прямі задані рівняннями (4) з кутовим коефіцієнтом, необхідна і достатня умова їхньої перпендикулярності полягає в тому, що їх кутові коефіцієнти обернені за величиною і протилежні за знаком, тобто.

Ця умова може бути записана також у вигляді

k 1 k 2 = -1. (11)

б) Якщо рівняння прямих задані у загальному вигляді (6), то умова їх перпендикулярності (необхідна та достатня) полягає у виконанні рівності

A 1 A 2 + B 1 B 2 = 0. (12)

6. Координати точки перетину двох прямих знаходять, розв'язуючи систему рівнянь (6). Прямі (6) перетинаються в тому і лише в тому випадку, коли

1. Напишіть рівняння прямих, що проходять через точку M, одна з яких паралельна, а інша перпендикулярна заданій прямій l.

Завдання 1

Знайти косинус кута між прямими $\frac(x+3)(5) =\frac(y-2)(-3) =\frac(z-1)(4) $ і $\left\(\begin(array) )(c) (x=2\cdot t-3) \\ (y=-t+1) \\ (z=3\cdot t+5) \end(array)\right.$.

Нехай у просторі задані дві прямі: $\frac(x-x_(1) )(m_(1) ) =\frac(y-y_(1) )(n_(1) ) =\frac(z-z_(1) ) )(p_(1) ) $ і $\frac(x-x_(2) )(m_(2) ) =\frac(y-y_(2) )(n_(2) ) =\frac(z- z_(2) )(p_(2) ) $. Виберемо у просторі довільну точку і проведемо через неї дві допоміжні прямі, паралельні даним. Кутом між даними прямими є будь-який з двох суміжних кутів, утворених допоміжними прямими. Косинус одного з кутів між прямими можна знайти по відомою формулою$\cos \phi =\frac(m_(1) \cdot m_(2) +n_(1) \cdot n_(2) +p_(1) \cdot p_(2) )(\sqrt(m_(1) ^(2) +n_(1)^(2) +p_(1)^(2) ) \cdot \sqrt(m_(2)^(2) +n_(2)^(2) +p_(2) ^(2) ) ) $. Якщо значення $\cos \phi >0$, то отримано гострий кут між прямими, якщо $\cos \phi

Канонічні рівняння першої прямої: $ frac (x + 3) (5) = frac (y-2) (-3) = frac (z-1) (4) $.

Канонічні рівняння другої прямої можна отримати з параметричних:

\ \ \

Таким чином, канонічні рівняння даної прямої: $ frac (x + 3) (2) = frac (y-1) (-1) = frac (z-5) (3) $.

Обчислюємо:

\[\cos \phi =\frac(5\cdot 2+\left(-3\right)\cdot \left(-1\right)+4\cdot 3)(\sqrt(5^(2) +\) left(-3\right)^(2) +4^(2) ) \cdot \sqrt(2^(2) +\left(-1\right)^(2) +3^(2) ) ) = \frac(25)(\sqrt(50) \cdot \sqrt(14) ) \approx 0,9449.\]

Завдання 2

Перша пряма проходить через задані точки$A\left(2,-4,-1\right)$ і $B\left(-3,5,6\right)$, друга пряма - через задані точки $C\left(1,-2, 8 \ right) $ і $ D \ left (6,7, -2 \ right) $. Знайти відстань між цими прямими.

Нехай деяка пряма перпендикулярна до прямих $AB$ і $CD$ і перетинає в точках $M$ і $N$ відповідно. За таких умов довжина відрізка $MN$ дорівнює відстані між прямими $AB$ та $CD$.

Будуємо вектор $\overline(AB)$:

\[\overline(AB)=\left(-3-2\right)\cdot \bar(i)+\left(5-\left(-4\right)\right)\cdot \bar(j)+ \left(6-\left(-1\right)\right)\cdot \bar(k)=-5\cdot \bar(i)+9\cdot \bar(j)+7\cdot \bar(k ).\]

Нехай відрізок, що зображує відстань між прямими, проходить через точку $M\left(x_(M) ,y_(M) ,z_(M) \right)$ на прямій $AB$.

Будуємо вектор $\overline(AM)$:

\[\overline(AM)=\left(x_(M) -2\right)\cdot \bar(i)+\left(y_(M) -\left(-4\right)\right)\cdot \ bar(j)+\left(z_(M) -\left(-1\right)\right)\cdot \bar(k)=\] \[=\left(x_(M) -2\right)\ cdot \bar(i)+\left(y_(M) +4\right)\cdot \bar(j)+\left(z_(M) +1\right)\cdot \bar(k).\]

Вектори $\overline(AB)$ і $\overline(AM)$ збігаються, отже, вони колінеарні.

Відомо, що якщо вектори $\overline(a)=x_(1) \cdot \overline(i)+y_(1) \cdot \overline(j)+z_(1) \cdot \overline(k)$ і $ \overline(b)=x_(2) \cdot \overline(i)+y_(2) \cdot \overline(j)+z_(2) \cdot \overline(k)$ колінеарні, то їх координати пропорційні, то є $\frac(x_((\it 2)) )((\it x)_((\it 1)) ) =\frac(y_((\it 2))) )((\it y)_( (\it 1)) ) =\frac(z_((\it 2)) )((\it z)_((\it 1)) ) $.

$\frac(x_(M) -2)(-5) =\frac(y_(M) +4)(9) =\frac(z_(M) +1)(7) =m$, де $m $ - Результат поділу.

Звідси отримуємо: $ x_ (M) -2 = -5 \ cdot m $; $ y_(M) +4 = 9 \ cdot m $; $ z_ (M) +1 = 7 \ cdot m $.

Остаточно отримуємо вирази для координат точки $M$:

Будуємо вектор $\overline(CD)$:

\[\overline(CD)=\left(6-1\right)\cdot \bar(i)+\left(7-\left(-2\right)\right)\cdot \bar(j)+\ left(-2-8right)cdot bar(k)=5cdot bar(i)+9cdotbar(j)-10cdotbar(k).

Нехай відрізок, що зображує відстань між прямими, проходить через точку $N\left(x_(N) ,y_(N) ,z_(N) \right)$ на прямий $CD$.

Будуємо вектор $\overline(CN)$:

\[\overline(CN)=\left(x_(N) -1\right)\cdot \bar(i)+\left(y_(N) -\left(-2\right)\right)\cdot \ bar(j)+\left(z_(N) -8\right)\cdot \bar(k)=\] \[=\left(x_(N) -1\right)\cdot \bar(i)+ \left(y_(N) +2\right)\cdot \bar(j)+\left(z_(N) -8\right)\cdot \bar(k).\]

Вектори $\overline(CD)$ і $\overline(CN)$ збігаються, отже, вони колінеарні. Застосовуємо умову колінеарності векторів:

$\frac(x_(N) -1)(5) =\frac(y_(N) +2)(9) =\frac(z_(N) -8)(-10) =n$, де $n $ - Результат поділу.

Звідси отримуємо: $ x_ (N) -1 = 5 \ cdot n $; $ y_ (N) +2 = 9 \ cdot n $; $ z_ (N) -8 = -10 \ cdot n $.

Остаточно отримуємо вирази для координат точки $N$:

Будуємо вектор $\overline(MN)$:

\[\overline(MN)=\left(x_(N) -x_(M) \right)\cdot \bar(i)+\left(y_(N) -y_(M) \right)\cdot \bar (j)+\left(z_(N) -z_(M) \right)\cdot \bar(k).\]

Підставляємо вирази для координат точок $M$ і $N$:

\[\overline(MN)=\left(1+5\cdot n-\left(2-5\cdot m\right)\right)\cdot \bar(i)+\] \[+\left(- 2+9\cdot n-\left(-4+9\cdot m\right)\right)\cdot \bar(j)+\left(8-10\cdot n-\left(-1+7\cdot) m\right)\right)\cdot \bar(k).\]

Виконавши дії, отримуємо:

\[\overline(MN)=\left(-1+5\cdot n+5\cdot m\right)\cdot \bar(i)+\left(2+9\cdot n-9\cdot m\right )\cdot \bar(j)+\left(9-10\cdot n-7\cdot m\right)\cdot \bar(k).\]

Оскільки прямі $AB$ і $MN$ перпендикулярні, то скалярний добуток відповідних векторів дорівнює нулю, тобто $\overline(AB)\cdot \overline(MN)=0$:

\[-5\cdot \left(-1+5\cdot n+5\cdot mright)+9cdot \left(2+9cdot n-9cdot mright)+7cdot \ left (9-10 \ cdot n-7 \ cdot m \ right) = 0; \] \

Виконавши дії, отримуємо перше рівняння для визначення $m$ і $n$: $155cdot m+14cdot n=86$.

Оскільки прямі $CD$ і $MN$ перпендикулярні, то скалярний добуток відповідних векторів дорівнює нулю, тобто $\overline(CD)\cdot \overline(MN)=0$:

\[-5+25cdot n+25cdot m+18+81cdot n-81cdot m-90+100cdot n+70cdot m=0.\]

Виконавши дії, отримуємо друге рівняння для визначення $m$ і $n$: $14cdot m+206cdot n=77$.

Знаходимо $m$ і $n$, вирішивши систему рівнянь $\left\(\begin(array)(c) (155\cdot m+14\cdot n=86) \\ (14\cdot m+206\cdot n =77) \end(array)\right.$.

Застосовуємо метод Крамера:

\[\Delta =\left|\begin(array)(cc) (155) & (14) \\ (14) & (206) \end(array)\right|=31734; \] \[\Delta _(m) =\left|\begin(array)(cc) (86) & (14) \\ (77) & (206) \end(array)\right|=16638; \] \[\Delta _(n) =\left|\begin(array)(cc) (155) & (86) \\ (14) & (77) \end(array)\right|=10731;\ ] \

Знаходимо координати точок $M$ і $N$:

\ \

Остаточно:

Остаточно записуємо вектор $\overline(MN)$:

$\overline(MN)=\left(2,691-\left(-0,6215\right)\right)\cdot \bar(i)+\left(1,0438-0,7187\right)\cdot \bar (j) + \ left (4,618-2,6701 \ right) \ cdot \ bar (k) $ або $ \ overline (MN) = 3,3125 \ cdot \ bar (i) +0,3251 \ cdot \ bar( j) +1,9479 \ cdot \ bar (k) $.

Відстань між прямими $AB$ і $CD$ - це довжина вектора $\overline(MN)$:$d=\sqrt(3,3125^(2) +0,3251^(2) +1,9479^( 2) ) \approx 3,8565 $ лін. од.

О-о-о-о-о… ну і жерсть, наче вам сам собі вирок зачитав =) Втім, потім релаксація допоможе, тим більше сьогодні купив відповідні аксесуари. Тому приступимо до першого розділу, сподіваюся, до кінця статті збережу бадьорий настрій.

Взаємне розташування двох прямих

Той випадок, коли зал підспівує хором. Дві прямі можуть:

1) збігатися;

2) бути паралельними: ;

3) чи перетинатися у єдиній точці: .

Довідка для чайників : будь ласка, запам'ятайте математичний знак перетину він буде зустрічатися дуже часто. Запис позначає, що пряма перетинається із прямою в точці .

Як визначити взаємне розташування двох прямих?

Почнемо з першого випадку:

Дві прямі збігаються, тоді й лише тоді, коли їхні відповідні коефіцієнти пропорційнітобто існує така кількість «лямбда», що виконуються рівності

Розглянемо прямі та складемо три рівняння з відповідних коефіцієнтів: . З кожного рівняння випливає, що отже дані прямі збігаються.

Дійсно, якщо всі коефіцієнти рівняння помножити на –1 (змінити знаки), і це коефіцієнти рівняння скоротити на 2, то вийде те саме рівняння: .

Другий випадок, коли прямі паралельні:

Дві прямі паралельні тоді і лише тоді, коли їх коефіцієнти при змінних пропорційні: , але.

Як приклад розглянемо дві прямі. Перевіряємо пропорційність відповідних коефіцієнтів при змінних:

Однак цілком очевидно, що .

І третій випадок, коли прямі перетинаються:

Дві прямі перетинаються, тоді і лише тоді, коли їх коефіцієнти при змінних не пропорційнітобто НЕ існує такого значення «лямбда», щоб виконувались рівності

Так, для прямих складемо систему:

З першого рівняння випливає, що , а з другого рівняння: , отже, система несумісна(Рішень немає). Таким чином, коефіцієнти за змінних не пропорційні.

Висновок: прямі перетинаються

У практичних завданнях можна використати щойно розглянуту схему рішення. Вона, до речі, дуже нагадує алгоритм перевірки векторів на колінеарність, що ми розглядали на уроці. Концепція лінійної (не) залежності векторів. Базис векторів. Але існує більш цивілізована упаковка:

Приклад 1

З'ясувати взаємне розташування прямих:

Рішеннязасноване на дослідженні напрямних векторів прямих:

а) З рівнянь знайдемо напрямні вектори прямих: .

Отже, вектори не колінеарні і прямі перетинаються.

Про всяк випадок поставлю на роздоріжжі камінь із покажчиками:

Інші перестрибують камінь і йдуть далі, прямо до Кащі Безсмертного =)

б) Знайдемо напрямні вектори прямих:

Прямі мають той самий напрямний вектор, отже, вони або паралельні, або збігаються. Тут і визначник рахувати не треба.

Вочевидь, що коефіцієнти при невідомих пропорційні, у своїй .

З'ясуємо, чи справедлива рівність:

Таким чином,

в) Знайдемо напрямні вектори прямих:

Обчислимо визначник, складений координат даних векторів:
отже, напрямні вектори колінеарні. Прямі або паралельні або збігаються.

Коефіцієнт пропорційності «лямбда» неважко побачити прямо із співвідношення колінеарних напрямних векторів. Втім, його можна знайти і через коефіцієнти самих рівнянь: .

Тепер з'ясуємо, чи справедлива рівність. Обидва вільні члени нульові, тому:

Отримане значення задовольняє даному рівнянню (йому задовольняє будь-яке число).

Отже, прямі збігаються.

Відповідь:

Дуже скоро ви навчитеся (або навіть вже навчилися) вирішувати розглянуте завдання усно буквально за лічені секунди. У зв'язку з цим не бачу сенсу пропонувати щось для самостійного рішення, краще закладемо ще одну важливу цеглу в геометричний фундамент:

Як побудувати пряму, паралельну даній?

За незнання цього найпростішого завдання суворо карає Соловей-Розбійник.

Приклад 2

Пряма задана рівнянням. Скласти рівняння паралельної прямої, яка проходить через точку .

Рішення: Позначимо невідому пряму буквою . Що про неї сказано за умови? Пряма проходить через крапку. А якщо прямі паралельні, то очевидно, що напрямний вектор прямий це підійде і для побудови прямої де.

Витягуємо напрямний вектор із рівняння:

Відповідь:

Геометрія прикладу виглядає невигадливо:

Аналітична ж перевірка полягає у наступних кроках:

1) Перевіряємо, що у прямих той самий напрямний вектор (якщо рівняння прямої не спрощено належним чином, то вектори будуть колінеарні).

2) Перевіряємо, чи точка задовольняє отриманому рівнянню .

Аналітичну перевірку здебільшого легко виконати усно. Подивіться на два рівняння, і багато хто з вас швидко визначить паралельність прямих без будь-якого креслення.

Приклади для самостійного вирішення сьогодні будуть творчими. Тому що вам ще доведеться тягатися з Бабою-Ягою, а вона, знаєте, любителька всяких загадок.

Приклад 3

Скласти рівняння прямої, що проходить через точку, паралельну до прямої, якщо

Існує раціональний і дуже раціональний спосіб рішення. Найкоротший шлях – наприкінці уроку.

З паралельними прямими трохи попрацювали і до них повернемося. Випадок прямих, що збігаються, малоцікавий, тому розглянемо завдання, яке добре знайоме вам з шкільної програми:

Як знайти точку перетину двох прямих?

Якщо прямі перетинаються в точці , її координати є рішенням системи лінійних рівнянь

Як знайти точку перетину прямих? Вирішити систему.

Ось вам і геометричний змістсистеми двох лінійних рівнянь із двома невідомими– це дві перетинаються (найчастіше) прямі на площині.

Приклад 4

Знайти точку перетину прямих

Рішення: Існують два способи рішення – графічний та аналітичний

Графічний спосібполягає в тому, щоб просто накреслити дані прямі і дізнатися про точку перетину безпосередньо з креслення:

Ось наша точка: . Для перевірки слід підставити її координати у кожне рівняння прямої, вони мають підійти і там, і там. Інакше кажучи, координати точки є рішенням системи . По суті ми розглянули графічний спосіб рішення системи лінійних рівняньіз двома рівняннями, двома невідомими.

Графічний спосіб, звичайно, непоганий, але є помітні мінуси. Ні, справа не в тому, що так вирішують семикласники, справа в тому, що на правильний і точний креслення піде час. Крім того, деякі прямі побудувати не так просто, та й сама точка перетину може знаходитися десь у тридесятому царстві за межами зошитового листа.

Тому точку перетину доцільніше шукати аналітичним методом. Вирішимо систему:

Для вирішення системи використано метод почленного складання рівнянь. Щоб напрацювати відповідні навички, відвідайте урок Як розв'язати систему рівнянь?

Відповідь:

Перевірка тривіальна – координати точки перетину мають задовольняти кожному рівнянню системи.

Приклад 5

Знайти точку перетину прямих у разі, якщо вони перетинаються.

Це приклад самостійного рішення. Завдання зручно розбити на кілька етапів. Аналіз умови підказує, що необхідно:
1) Скласти рівняння прямої.
2) Скласти рівняння прямої.
3) З'ясувати взаємне розташування прямих.
4) Якщо прямі перетинаються, то знайти точку перетину.

Розробка алгоритму дій типова для багатьох геометричних завдань, і я на цьому неодноразово загострюватиму увагу.

Повне рішенняі відповідь наприкінці уроку:

Ще не стоптана і пара черевиків, як ми підібралися до другого розділу уроку:

Перпендикулярні до прямих. Відстань від точки до прямої.
Кут між прямими

Почнемо з типового та дуже важливого завдання. У першій частині ми дізналися, як побудувати пряму, паралельну даній, а зараз хатинка на курячих ніжках розгорнеться на 90 градусів:

Як побудувати пряму, перпендикулярну даній?

Приклад 6

Пряма задана рівнянням. Скласти рівняння перпендикулярної прямої, що проходить через точку.

Рішення: За умовою відомо, що . Непогано знайти напрямний вектор прямий . Оскільки прямі перпендикулярні, фокус простий:

З рівняння «знімаємо» вектор нормалі: , який і буде напрямним вектором прямий .

Рівняння прямої складемо по точці і напрямному вектору:

Відповідь:

Розгорнемо геометричний етюд:

М-да… Помаранчеве небо, помаранчеве море, помаранчевий верблюд.

Аналітична перевірка рішення:

1) З рівнянь витягуємо напрямні вектори та за допомогою скалярного твору векторівприходимо до висновку, що прямі справді перпендикулярні: .

До речі, можна використовувати вектори нормалі, це простіше.

2) Перевіряємо, чи задовольняє точка отриманого рівняння .

Перевірку, знову ж таки, легко виконати усно.

Приклад 7

Знайти точку перетину перпендикулярних прямих, якщо відомо рівняння і крапка .

Це приклад самостійного рішення. У завданні кілька дій, тому рішення зручно оформити за пунктами.

Наша захоплююча подорож продовжується:

Відстань від точки до прямої

Перед нами пряма смуга річки і наше завдання полягає в тому, щоб дійти до неї найкоротшим шляхом. Перешкод немає, і найоптимальнішим маршрутом буде рух перпендикуляром. Тобто відстань від точки до прямої – це довжина перпендикулярного відрізка.

Відстань у геометрії традиційно позначають грецькою літерою "ро", наприклад: - Відстань від точки "ем" до прямої "де".

Відстань від точки до прямої виражається формулою

Приклад 8

Знайти відстань від точки до прямої

Рішення: все, що потрібно, це акуратно підставити числа в формулу і провести обчислення:

Відповідь:

Виконаємо креслення:

Знайдена відстань від точки до прямої – це точно довжина червоного відрізка. Якщо оформити креслення на картатому папері в масштабі 1 од. = 1 см (2 клітини), то відстань можна виміряти звичайною лінійкою.

Розглянемо ще одне завдання з цього ж креслення:

Завдання полягає в тому, щоб знайти координати точки , яка симетрична точці щодо прямої . Пропоную виконати дії самостійно, проте позначу алгоритм рішення із проміжними результатами:

1) Знаходимо пряму, яка перпендикулярна до прямої.

2) Знаходимо точку перетину прямих: .

Обидві дії детально розібрані в рамках цього уроку.

3) Крапка є серединою відрізка. Нам відомі координати середини та одного з кінців. за формулам координат середини відрізказнаходимо.

Не зайвим буде перевірити, що відстань також дорівнює 2,2 одиницям.

Труднощі тут можуть виникнути у обчисленнях, але у вежі чудово рятує мікрокалькулятор, що дозволяє вважати звичайні дроби. Неодноразово радив, пораджу й знову.

Як знайти відстань між двома паралельними прямими?

Приклад 9

Знайти відстань між двома паралельними прямими

Це ще один приклад для самостійного рішення. Трохи підкажу: тут безліч способів вирішення. Розбір польотів наприкінці уроку, але краще постарайтеся здогадатися самі, гадаю, вашу кмітливість вдалося непогано розігнати.

Кут між двома прямими

Що ні кут, то косяк:


У геометрії за кут між двома прямими приймається МЕНШИЙ кут, з чого автоматично випливає, що він не може бути тупим. На малюнку кут, позначений червоною дугою, не вважається кутом між прямими, що перетинаються. А вважається таким його «зелений» сусід чи протилежно орієнтований"малиновий" кут.

Якщо прямі перпендикулярні, то за кут між ними можна приймати будь-який із 4 кутів.

Чим відрізняються кути? орієнтацією. По-перше, принципово важливим є напрямок «прокручування» кута. По-друге, негативно орієнтований кут записується зі знаком мінус, наприклад, якщо .

Навіщо це я розповів? Начебто можна обійтися і звичайним поняттям кута. Справа в тому, що у формулах, за якими ми знаходитимемо кути, запросто може вийти негативний результат, і це не повинно застати вас зненацька. Кут зі знаком «мінус» нічим не гірший і має цілком конкретний геометричний зміст. На кресленні для негативного кута слід обов'язково вказувати стрілкою його орієнтацію (за годинниковою стрілкою).

Як знайти кут між двома прямими?Існують дві робочі формули:

Приклад 10

Знайти кут між прямими

Рішенняі Спосіб перший

Розглянемо дві прямі, задані рівняннямиу загальному вигляді:

Якщо прямі не перпендикулярні, то орієнтованийкут між ними можна обчислити за допомогою формули:

Найпильнішу увагу звернемо на знаменник – це точно скалярний твірнапрямних векторів прямих:

Якщо , то знаменник формули перетворюється на нуль, а вектори будуть ортогональні і прямі перпендикулярні. Саме тому зроблено застереження про неперпендикулярність прямих у формулюванні.

Виходячи з вищесказаного, рішення зручно оформити у два кроки:

1) Обчислимо скалярний добуток напрямних векторів прямих:
, Отже, прямі не перпендикулярні.

2) Кут між прямими знайдемо за формулою:

За допомогою зворотної функціїлегко знайти й сам кут. У цьому використовуємо непарність арктангенса (див. Графіки та властивості елементарних функцій):

Відповідь:

У відповіді вказуємо точне значення, а також наближене (бажано і в градусах, і в радіанах), обчислене за допомогою калькулятора.

Ну, мінус, то мінус, нічого страшного. Ось геометрична ілюстрація:

Не дивно, що кут вийшов негативною орієнтацією, адже за умови завдання першим номером йде пряма і «відкрутка» кута почалася саме з неї.

Якщо дуже хочеться отримати позитивний кут, потрібно поміняти прямі місцями, тобто коефіцієнти взяти з другого рівняння , а коефіцієнти взяти з першого рівняння. Коротше кажучи, почати потрібно з прямої .

Буду коротким. Кут між двома прямими дорівнює кутуміж їх напрямними векторами. Таким чином, якщо вам вдасться знайти координати напрямних векторів a = (x 1 ; y 1 ; z 1) і b = (x 2 ; y 2 ​​; z 2), то зможете знайти кут. Точніше, косинус кута за формулою:

Подивимося, як ця формула працює на конкретних прикладах:

Завдання. У кубі ABCDA 1 B 1 C 1 D 1 відзначені точки E і F - середини ребер A 1 B 1 і B 1 C 1 відповідно. Знайдіть кут між прямими AE та BF.

Оскільки ребро куба не вказано, покладемо AB = 1. Введемо стандартну систему координат: початок у точці A, осі x, y, z направимо вздовж AB, AD та AA 1 відповідно. Одиничний відрізок дорівнює AB = 1. Тепер знайдемо координати напрямних векторів для наших прямих.

Знайдемо координати вектора AE. Для цього нам потрібні точки A = (0; 0; 0) та E = (0,5; 0; 1). Оскільки точка E - середина відрізка A 1 B 1 її координати рівні середньому арифметичному координат кінців. Зауважимо, що початок вектора AE збігається з початком координат, тому AE = (0,5; 0; 1).

Тепер розберемося із вектором BF. Аналогічно, розбираємо точки B = (1; 0; 0) та F = (1; 0,5; 1), т.к. F – середина відрізка B 1 C 1 . Маємо:
BF = (1 - 1; 0,5 - 0; 1 - 0) = (0; 0,5; 1).

Отже, напрямні вектори готові. Косинус кута між прямими - це косинус кута між напрямними векторами, тому маємо:

Завдання. У правильній тригранній призмі ABCA 1 B 1 C 1 всі ребра якої рівні 1 відзначені точки D і E - середини ребер A 1 B 1 і B 1 C 1 відповідно. Знайдіть кут між прямими AD та BE.

Введемо стандартну систему координат: початок координат у точці A, вісь x направимо вздовж AB, z – вздовж AA 1 . Вісь направимо так, щоб площина OXY збігалася з площиною ABC. Одиничний відрізок дорівнює AB = 1. Знайдемо координати напрямних векторів для прямих.

Спочатку знайдемо координати вектора AD. Розглянемо точки: A = (0; 0; 0) та D = (0,5; 0; 1), т.к. D – середина відрізка A 1 B 1 . Оскільки початок вектора AD збігається з початком координат, отримуємо AD = (0,5; 0; 1).

Тепер знайдемо координати вектора BE. Крапка B = (1; 0; 0) вважається легко. З точкою E – серединою відрізка C 1 B 1 – трохи складніше. Маємо:

Залишилося знайти косинус кута:

Завдання. У правильній шестигранній призмі ABCDEFA 1 B 1 C 1 D 1 E 1 F 1 всі ребра якої рівні 1 відзначені точки K і L - середини ребер A 1 B 1 і B 1 C 1 відповідно. Знайдіть кут між прямими AK та BL.

Введемо стандартну для призми систему координат: початок координат помістимо в центр нижньої основи, вісь x направимо вздовж FC, вісь y через середини відрізків AB і DE, а вісь z вертикально вгору. Одиничний відрізок знову дорівнює AB = 1. Випишемо координати точок, що цікавлять нас:

Точки K і L - середини відрізків A 1 B 1 і B 1 C 1 відповідно тому їх координати знаходяться через середнє арифметичне. Знаючи точки, знайдемо координати напрямних векторів AK та BL:

Тепер знайдемо косинус кута:

Завдання. У правильній чотирикутній піраміді SABCD, всі ребра якої дорівнюють 1, відзначені точки E і F - середини сторін SB і SC відповідно. Знайдіть кут між прямими AE та BF.

Введемо стандартну систему координат: початок у точці A, осі x та y направимо вздовж AB і AD відповідно, а вісь z направимо вертикально вгору. Поодинокий відрізок дорівнює AB = 1.

Точки E і F - середини відрізків SB і SC відповідно, тому їх координати перебувають як середнє арифметичне кінці. Випишемо координати цікавих для нас точок:
A = (0; 0; 0); B = (1; 0; 0)

Знаючи точки, знайдемо координати напрямних векторів AE та BF:

Координати вектора AE збігаються з координатами точки E, оскільки точка A – початок координат. Залишилося знайти косинус кута:

Стаття розповідає про знаходження кута між площинами. Після наведення визначення поставимо графічну ілюстрацію, розглянемо докладний спосіб знаходження методом координат. Отримаємо формулу для площин, що перетинаються, в яку входять координати нормальних векторів.

У матеріалі будуть використані дані та поняття, які раніше були вивчені у статтях про площину та пряму у просторі. Для початку необхідно перейти до міркувань, що дозволяють мати певний підхід до визначення кута між двома площинами, що перетинаються.

Задані дві площини, що перетинаються γ 1 і γ 2 . Їх перетин прийме позначення c. Побудова площини пов'язана з перетином цих площин. Площина проходить через точку М в якості прямої c . Проводитиметься перетин площин γ 1 і γ 2 за допомогою площини χ . Приймаємо позначення прямої, що перетинає γ 1 і за пряму a , а перетинає 2 і за пряму b . Виходить, що перетин прямих a і b дає точку M .

Розташування точки M не впливає на кут між прямими a і b, що перетинаються, а точка M розташовується на прямій c, через яку проходить площину χ.

Необхідно побудувати площину 1 з перпендикулярністю до прямої c і відмінну від площини . Перетин площин 1 і 2 за допомогою 1 прийме позначення прямих а 1 і b 1 .

Видно, що при побудові χ і χ 1 прямі a і b перпендикулярні до прямої c , тоді і а 1 , b 1 розташовуються перпендикулярно до прямої c . Знаходження прямих a і а 1 у площині γ 1 з перпендикулярністю до прямої c тоді їх можна вважати паралельними. Так само розташування b і b 1 в площині γ 2 з перпендикулярністю прямої c говорить про їх паралельність. Отже, необхідно зробити паралельне перенесення площини χ 1 на χ де отримаємо дві збігаються прямі a і а 1 , b і b 1 . Отримуємо, що кут між прямими a і b 1, що перетинаються, дорівнює куту перетинаються прямих a і b .

Розглянемо на малюнку, наведеному нижче.

Дане судження доводиться тим, що між прямими a і b, що перетинаються, є кут, який не залежить від розташування точки M , тобто точки перетину. Ці прямі розташовуються в площинах 1 і 2 . Фактично, що вийшов кут можна вважати кутом між двома площинами, що перетинаються.

Перейдемо до визначення кута між наявними площинами, що перетинаються γ 1 і γ 2 .

Визначення 1

Кутом між двома площинами, що перетинаються γ 1 і γ 2називають кут, що утворився шляхом перетину прямих a і b , де площини 1 і 2 мають перетин з площиною , перпендикулярної прямої c .

Розглянемо малюнок, наведений нижче.

Визначення може бути подане в іншій формі. При перетині площин 1 і 2 , де c - пряма, на якій вони перетнулися, відзначити точку M , через яку провести прямі a і b , перпендикулярні прямий c і лежать у площинах 1 і 2 , тоді кут між прямими a і b буде кутом між площинами. Практично це можна застосувати для побудови кута між площинами.

При перетині утворюється кут, який за значенням менше 90 градусів, тобто градусна міра кута дійсна на проміжку такого виду (0 , 90 ).

Звичайний спосіб для знаходження кута між площинами, що перетинаються, - це виконання додаткових побудов. Це сприяє визначати його з точністю, причому робити це можна за допомогою ознак рівності або подоби трикутника, синусів, косинусів кута.

Розглянемо розв'язання задач на прикладі із завдань ЄДІ блоку C 2 .

Приклад 1

Заданий прямокутний паралелепіпед АВС D A 1 B 1 C 1 D 1 , де сторона АВ = 2 , A D = 3 , А А 1 = 7, точка E поділяє сторону А А 1 щодо 4: 3 . Знайти кут між площинами АВС і ED 1 .

Рішення

Для наочності необхідно виконати креслення. Отримаємо, що

Наочне уявлення необхідне для того, щоб було зручніше працювати з кутом між площинами.

Виробляємо визначення прямої лінії, по якій відбувається перетин площин А В С і В E D 1 . Точка B є загальною точкою. Слід знайти ще одну загальну точку перетину. Розглянемо прямі DA і D 1 E , які розташовуються в одній площині A D D 1 . Їхнє розташування не говорить про паралельність, отже, вони мають загальну точку перетину.

Однак, пряма D A розташована в площині АВС, а D 1 E в B E D 1 . Звідси отримуємо, що прямі D Aі D 1 Eмають загальну точку перетину, яка є загальною і для площин АВС і BED 1 . Позначає точку перетину прямих D Aта D 1 E літерою F. Звідси отримуємо, що B F є прямою, по якій перетинаються площини АВ і В E D 1 .

Розглянемо малюнку, наведеному нижче.

Для отримання відповіді необхідно зробити побудову прямих, розташованих у площинах АВ і В E D 1 з проходженням через точку, що знаходиться на прямій B F і перпендикулярній їй. Тоді кут, що вийшов, між цими прямими вважається шуканим кутом між площинами А В С і В E D 1 .

Звідси видно, що точка A – проекція точки E на площину АВС. Необхідно провести пряму, що перетинає під прямим кутом пряму BF у точці М. Видно, що пряма АМ – проекція прямої ЕМ на площину АВС, виходячи з теореми про ті перпендикуляри A M ⊥ B F . Розглянемо рисунок, зображений нижче.

∠ A M E - це кут, що утворюється, утворений площинами А В С і В E D 1 . З трикутника А Е М, що вийшов, можемо знайти синус, косинус або тангенс кута, після чого і сам кут, тільки при відомих двох сторонах його. За умовою маємо, що довжина А Е знаходиться таким чином: пряма А А 1 розділена точкою E щодо 4: 3, тобто повну довжину прямої – 7 частин, тоді А Е = 4 частин. Знаходимо А М.

Необхідно розглянути прямокутний трикутникА В F. Маємо прямий кут A з висотою А М. З умови АВ = 2 тоді можемо знайти довжину A F подобою трикутників D D 1 F і A E F . Отримуємо, що A E D D 1 = A F D F ⇔ A E D D 1 = A F D A + A F ⇒ 4 7 = A F 3 + A F ⇔ A F = 4

Необхідно знайти довжину сторони B F із трикутника A B F , використовуючи теорему Піфагора. Отримуємо, що B F   = A B 2 + A F 2 = 2 2 + 4 2 = 2 5 . Довжина сторони АМ знаходиться через площу трикутника AB F . Маємо, що площа може дорівнювати як S A B C = 1 2 · A B · A F , так і S A B C = 1 2 · B F · A M .

Отримуємо, що A M = A B · A F B F = 2 · 4 2 5 = 4 5 5

Тоді можемо знайти значення тангенса кута трикутника А Е М. Отримаємо:

t g ∠ A M E = A E A M = 4 4 5 5 = 5

Шуканий кут, що отримується перетином площин А В С і B E D 1 дорівнює a r c t g 5 тоді при спрощенні отримаємо a r c t g 5 = a r c sin 30 6 = a r c cos 6 6 .

Відповідь: a r c t g 5 = r c sin 30 6 = a r c cos 6 6 .

Деякі випадки знаходження кута між прямими, що перетинаються, задаються за допомогою координатної площиниО х у z та методом координат. Розглянемо докладніше.

Якщо дана задача, де необхідно знайти кут між площинами, що перетинаються γ 1 і γ 2 , шуканий кут позначимо за α .

Тоді задана система координат показує, що маємо координати нормальних векторів площин, що перетинаються γ 1 і γ 2 . Тоді позначимо, що n 1 → = n 1 x , n 1 y , n 1 z є нормальним вектором площини γ 1, а n 2 → = (n 2 x , n 2 y , n 2 z) - для площини γ 2 . Розглянемо докладне знаходження кута, розташованого між цими площинами координатами векторів.

Необхідно позначити пряму, по якій відбувається перетин площин 1 і 2 буквою c . На прямій маємо точку M , через яку проводимо площину , перпендикулярну c . Площина χ по прямих a і b виробляє перетин площин 1 і 2 в точці M . з визначення слід, що кут між площинами, що перетинаються γ 1 і γ 2 дорівнює куту перетинаються прямих a і b , що належать цим площин відповідно.

У площині відкладаємо від точки M нормальні вектори і позначаємо їх n 1 → і n 2 → . Вектор n 1 → розташовується на прямій, перпендикулярній до прямої a , а вектор n 2 → на прямій, перпендикулярній до прямої b . Звідси отримуємо, що задана площина має нормальний вектор прямий a , рівний n 1 → і для прямої b , рівний n 2 → . Розглянемо малюнок, наведений нижче.

Звідси отримуємо формулу, за якою можемо обчислити синус кута прямих, що перетинаються, за допомогою координат векторів. Отримали, що косинусом кута між прямими a і b те ж, що і косинус між площинами, що перетинаються γ 1 і γ 2 виводиться з формули cos α = cos n 1 → , n 2 → ^ = n 1 x · n 2 x + n 1 y · n 2 y + n 1 z · n 2 z n 1 x 2 + n 1 y 2 + n 1 z 2 · n 2 x 2 + n 2 y 2 + n 2 z 2 , де маємо, що n 1 → = (n 1 x , n 1 y , n 1 z) і n 2 → = (n 2 x , n 2 y , n 2 z) є координатами векторів представлених площин.

Обчислення кута між прямими, що перетинаються, проводиться за формулою

α = a r c cos n 1 x · n 2 x + n 1 y · n 2 y + n 1 z · n 2 z n 1 x 2 + n 1 y 2 + n 1 z 2 · n 2 x 2 + n 2 y 2 + n 2 z 2

Приклад 2

За умовою дано паралелепіпед А В С D A 1 B 1 C 1 D 1 , де АВ = 2 , A D = 3 , АВ 1 = 7 , а точка E поділяє сторону АВ 1 4: 3 . Знайти кут між площинами АВС і BED1.

Рішення

З умови видно, що сторони його попарно перпендикулярні. Це означає, що необхідно ввести систему координат О х у z з вершиною в точці З координатними осями О х, О у, О z . Необхідно поставити напрямок з відповідних сторін. Розглянемо малюнок, наведений нижче.

Пересічні площини А В Сі B E D 1утворюють кут, який можна знайти за формулою α = a r c cos n 1 x · n 2 x + n 1 y · n 2 y + n 1 z · n 2 z n 1 x 2 + n 1 y 2 + n 1 z 2 · n 2 x 2 + n 2 y 2 + n 2 z 2 , в якій n 1 → = (n 1 x , n 1 y , n 1 z) і n 2 → = (n 2 x , n 2 y , n 2 z ) є нормальними векторами цих площин. Потрібно визначити координати. По малюнку бачимо, що координатна вісь О х у збігається в площині АВС, це означає, що координати нормального вектора k → дорівнюють значенню n 1 ​​→ = k → = (0 , 0 , 1) .

За нормальний вектор площини B E D 1 приймається векторний твір B E → і B D 1 → де їх координати знаходяться шляхом координат крайніх точокВ, Е, D 1 які визначаються, виходячи з умови завдання.

Отримуємо, що B (0, 3, 0), D 1 (2, 0, 7). Тому що A E E A 1 = 4 3 з координат точок A 2 , 3 , 0 , A 1 2 , 3 , 7 знайдемо E 2 , 3 , 4 . Отримуємо, що B E → = (2 , 0 , 4) , B D 1 → = 2 , - 3 , 7 n 2 → = B E → × B D 1 = i → j → k → 2 0 4 2 - 3 7 = 12 · i → - 6 · j → - 6 · k → ⇔ n 2 → = (12 , - 6 , - 6)

Необхідно зробити підстановку знайдених координат формулу обчислення кута через арккосинус. Отримуємо

α = a r c cos 0 · 12 + 0 · (- 6) + 1 · (- 6) 0 2 + 0 2 + 1 2 · 12 2 + (- 6) 2 + (- 6) 2 = a r c cos 6 6 6 = a r c cos 6 6

Метод координат дає аналогічний результат.

Відповідь: a r c cos 6 6 .

Завершальна задача розглядається з метою знаходження кута між площинами, що перетинаються, при наявних відомих рівняннях площин.

Приклад 3

Обчислити синус, косинус кута і значення кута, утвореного двома прямими, що перетинаються, які визначені в системі координат О х у z і задані рівняннями 2 x - 4 y + z + 1 = 0 і 3 y - z - 1 = 0 .

Рішення

При вивченні теми загального рівнянняпрямий виду A x + B y + C z + D = 0 виявили, що А, В, є коефіцієнтами, рівними координатам нормального вектора. Отже, n 1 → = 2, - 4, 1 і n 2 → = 0, 3, - 1 є нормальним векторами заданих прямих.

Необхідно підставити координати нормальних векторів площин у формулу обчислення шуканого кута площин, що перетинаються. Тоді отримуємо, що

α = a r c cos 2 · 0 + - 4 · 3 + 1 · (- 1) 2 2 + - 4 2 + 1 2 = a r c cos 13 210

Звідси маємо, що косинус кута набуває вигляду cos α = 13 210 . Тоді кут прямих, що перетинаються, не є тупим. Підставивши в тригонометрична тотожність, Отримуємо, що значення синуса кута дорівнює виразу. Обчислимо та отримаємо, що

sin α = 1 - cos 2 α = 1 - 13 210 = 41 210

Відповідь: sin α = 41 210 , cos α = 13 210 , α = a r c cos 13 210 = a r c sin 41 210 .

Якщо ви помітили помилку в тексті, будь ласка, виділіть її та натисніть Ctrl+Enter