Тотожні перетворення тригонометричних виразів. Урок "спрощення тригонометричних виразів" Як спрощувати тригонометричні вирази

Відеоурок «Спрощення тригонометричних виразів» призначений для формування навичок у учнів у вирішенні тригонометричних завдань із використанням основних тригонометричних тотожностей. У ході відеоуроку розглядаються види тригонометричних тотожностей, приклади розв'язання задач із їх використанням. Застосовуючи наочний посібник, вчителю легко досягти цілей уроку. Яскраве уявлення матеріалу сприяє запам'ятовування важливих моментів. Використання анімаційних ефектів та озвучування дозволяють повністю замінити вчителя на етапі пояснення матеріалу. Таким чином, застосовуючи цей наочний посібник під час уроків математики, вчитель може підвищити ефективність навчання.

На початку відеоуроку оголошується його тема. Потім нагадуються тригонометричні тотожності, вивчені раніше. На екрані відображаються рівності sin 2 t+cos 2 t=1, tg t=sin t/cos t, де t≠π/2+πk для kZZ, ctg t=cos t/sin t, правильне для t≠πk, де kϵZ, tg t ctg t=1, при t≠πk/2, де kZ, названі основними тригонометричними тотожностями. Наголошується, що дані тотожності часто застосовуються у вирішенні завдань, де необхідно довести рівність або спростити вираз.

Далі розглядаються приклади застосування даних тотожностей у вирішенні завдань. Спочатку пропонується розглянути розв'язання задач зі спрощення виразів. У прикладі 1 необхідно спростити вираз cos 2 t-cos 4 t+ sin 4 t. Щоб розв'язати приклад, спочатку виноситься за дужки загальний множник cos 2 t. В результаті такого перетворення в дужках виходить вираз 1-cos 2 t, значення якого з основної тотожності тригонометрії дорівнює sin 2 t. Після перетворення виразу очевидна можливість виведення за дужки ще одного загального множника sin 2 t, після чого вираз набуває вигляду sin 2 t(sin 2 t+cos 2 t). З тієї ж основної тотожності виводимо значення виразу в дужках, що дорівнює 1. В результаті спрощення отримуємо cos 2 t-cos 4 t+ sin 4 t= sin 2 t.

У прикладі 2 також вираз cost/(1- sint)+ cost/(1+ sint) необхідно спростити. Так як у чисельниках обох дробів знаходиться вираз cost, його можна вивести за дужки як загальний множник. Потім дроби в дужках приводяться до спільного знаменника перемноженням (1 - sint) (1 + sint). Після приведення подібних доданків у чисельнику залишається 2, а знаменнику 1- sin 2 t. У правій частині екрана нагадується основне тригонометричне тотожність sin 2 t+cos 2 t=1. Використовуючи його, знаходимо знаменник дробу cos 2 t. Після скорочення дробу отримаємо спрощений вид виразу cost/(1-sint)+cost/(1+sint)=2/cost.

Далі розглядаються приклади доказу тотожностей, у яких застосовуються отримані знання основні тотожності тригонометрії. У прикладі 3 необхідно довести тотожність (tg 2 t-sin 2 t) ctg 2 t=sin 2 t. У правій частині екрана відображені три тотожності, які знадобляться для доказу - tg t ct = t, t t = cos t / sin t і tg t = sin t / cos t з обмеженнями. Щоб довести тотожність, спочатку розкриваються дужки, після чого утворюється добуток, що відображає вираз основного тригонометричного тотожності tg t·ctg t=1. Потім, відповідно до тотожності визначення котангенсу, перетворюється ctg 2 t. В результаті перетворень виходить 1-cos 2 t. Користуючись основною тотожністю, знаходимо значення виразу. Таким чином, доведено, що (tg 2 t-sin 2 t) ctg 2 t=sin 2 t.

У прикладі 4 необхідно визначити значення виразу tg 2 t+ctg 2 t, якщо tg t+ctg t=6. Щоб обчислити вираз, спочатку зводиться квадрат правою і лівою частиною рівності (tg t+ctg t) 2 =6 2 . Формула скороченого множення нагадується у правій частині екрана. Після розкриття дужок у лівій частині виразу утворюється сума tg 2 t+2· tg t·ctg t+ctg 2 t, для перетворення якої можна застосувати одне з тригонометричних тотожностей tg t·ctg t=1, вигляд якого нагадується у правій частині екрану. Після перетворення виходить рівність tg 2 t+ctg 2 t=34. Ліва частина рівності збігається з умовою задачі, тому відповідь 34. Завдання вирішене.

Відеоурок «Спрощення тригонометричних виразів» рекомендується застосовувати на традиційному шкільному уроці математики. Також матеріал буде корисним вчителю, який здійснює дистанційне навчання. З метою формування навички у вирішенні тригонометричних завдань.

ТЕКСТОВЕ РОЗШИФРУВАННЯ:

"Спрощення тригонометричних виразів".

Рівності

1) sin 2 t + cos 2 t = 1 (синус квадрат те плюс косинус квадрат те одно одному)

2) tgt =, при t ≠ + πk, kϵZ(тангенс те дорівнює відношенню синуса тек до косинусу тэ при те не рівному пи на два плюс піку, ка належить сет)

3) ctgt = , при t ≠ πk, kϵZ (котангенс те дорівнює відношенню косинуса тек до синуса те при те не рівному піку, ка належить сет).

4) tgt ∙ ctgt = 1 при t ≠ , kϵZ (твір тангенсу те на котангенс те дорівнює одному при те не рівному піку, поділеному на два, ка належить сет)

називають основними тригонометричними тотожностями.

Часто вони використовуються при спрощенні та доказі тригонометричних виразів.

Розглянемо приклади використання цих формул при спрощенні тригонометричних виразів.

ПРИКЛАД 1. Спростити вираз: cos 2 t - cos 4 t + sin 4 t. (Вираз косинус квадрат те мінус косинус четвертого ступеня те плюс синус четвертого ступеня те).

Рішення. cos 2 t - cos 4 t + sin 4 t = cos 2 t∙ (1 - cos 2 t) + sin 4 t =cos 2 t ∙ sin 2 t + sin 4 t = sin 2 t (cos 2 t + sin 2 t) = sin 2 t · 1 = sin 2 t

(винесемо за дужку загальний множник косинус квадрат те, у дужках отримаємо різницю одиниці і квадрата косинуса те, що дорівнює за першою тотожністю квадрату синуса те. Отримаємо суму синус четвертого ступеня те твори косинус квадрат те і синус квадрат те за дужки, в дужках отримаємо суму квадратів косинуса і синуса, що здебільшого тригонометричному тотожності дорівнює одиниці.

ПРИКЛАД 2. Спростити вираз: + .

(Вираження бе сума двох дробів у чисельнику першої косинус те в знаменнику одиниця мінус синус те, у чисельнику другий косинус те в знаменнику другий одиниця плюс синус те).

(Винесемо загальний множник косинус те за дужки, а в дужках приведемо до спільного знаменника, який є твіром один мінус синус те на один плюс синус те.

У чисельнику отримаємо: одиниця плюс синус те плюс одиниця мінус синус те, наводимо подібні, чисельник дорівнює двом після приведення подібних.

У знаменнику можна застосувати формулу скороченого множення (різницю квадратів) і отримати різницю одиниці та квадрата синуса те, що за основною тригонометричною тотожністю

одно квадрату косинуса те. Після скорочення на косинус те отримаємо кінцеву відповідь: дві поділені на косинус те).

Розглянемо приклади використання цих формул за доказом тригонометричних виразів.

ПРИКЛАД 3. Довести тотожність (tg 2 t - sin 2 t) ∙ ctg 2 t = sin 2 t (твір різниці квадратів тангенсу е і синуса е на квадрат котангенса е дорівнює квадрату синуса те).

Доведення.

Перетворимо ліву частину рівності:

(tg 2 t - sin 2 t) ∙ ctg 2 t = tg 2 t ∙ ctg 2 t - sin 2 t ∙ ctg 2 t = 1 - sin 2 t ∙ ctg 2 t =1 - sin 2 t ∙ = 1 - cos 2 t = sin 2 t

(Розкриємо дужки, з раніше отриманого співвідношення відомо, що добуток квадратів тангенса те на котангенс те дорівнює одиниці. Пригадаємо, що котангенс те дорівнює відношенню косинуса те на синус те, значить, квадрат котангенса це відношення квадрата косинуса те на квадрат синуса те.

Після скорочення на синус квадрат те отримаємо різницю одиниці і косинуса квадрата те, що дорівнює синусу квадрату те). Що і потрібно було довести.

ПРИКЛАД 4. Знайти значення виразу tg 2 t + ctg 2 t, якщо tgt + ctgt = 6.

(Сума квадратів тангенсу те і котангенсу те, якщо сума тангенсу і котангенсу дорівнює шести).

Рішення. (tgt + ctgt) 2 = 6 2

tg 2 t + 2 ∙ tgt ∙ctgt + ctg 2 t = 36

tg 2 t + 2 + ctg 2 t = 36

tg 2 t + ctg 2 t = 36-2

tg 2 t + ctg 2 t = 34

Зведемо обидві частини вихідної рівності квадрат:

(tgt + ctgt) 2 = 6 2 (квадрат суми тангенсу те та котангенсу те дорівнює шести в квадраті). Згадаймо формулу скороченого множення: Квадрат суми двох величин дорівнює квадрату першої плюс подвоєний добуток першої на другу плюс квадрат другий. (a+b) 2 =a 2 +2ab+b 2 Отримаємо tg 2 t + 2 ∙ tgt ∙ctgt + ctg 2 t = 36 (тангенс квадрат те плюс подвоєний добуток тангенса те на котангенс те плюс котангенс квадрат те дорівнює тридцяти шести) .

Так як добуток тангенсу те на котангенс те дорівнює одиниці, то tg 2 t + 2 + ctg 2 t = 36 (сума квадратів тангенса те і котангенса те і двох дорівнює тридцяти шести),

Воронкова Ольга Іванівна

МБОУ «Середня загальноосвітня школа

№ 18»

м. Енгельса Саратовської області.

Учитель математики.

«Тригонометричні вирази та їх перетворення»

Вступ …………………………………………………………………………....3

Глава 1 Класифікація завдань використання перетворень тригонометричних выражений ………………………….……………………...5

1.1. Завдання на обчислення значень тригонометричних виразів……….5

1.2.Завдання на спрощення тригонометричних виразів.

1.3. Завдання перетворення числових тригонометрических выражений…..7

1.4 Завдання змішаного типу…………………………………………………….....9

Глава 2. Методичні аспекти організація підсумкового повторення теми «Перетворення тригонометричних виразів»……………………………11

2.1 Тематичне повторення в 10 класі………………………………………...11

Тест 1………………………………………………………………………………..12

Тест 2………………………………………………………………………………..13

Тест 3………………………………………………………………………………..14

2.2 Підсумкове повторення в 11 класі……………………………………………...15

Тест 1………………………………………………………………………………..17

Тест 2………………………………………………………………………………..17

Тест 3………………………………………………………………………………..18

Заключение.…………………………………………………………………….......19

Список використаної литературы………………………………………..…….20

Вступ .

У сьогоднішніх умовах найголовнішим є питання: «Як ми можемо допомогти усунути деякі прогалини у знаннях учнів та застерегти їх від можливих помилок на ЄДІ?» Для вирішення цього питання треба домагатися від учнів не формального засвоєння програмного матеріалу, а його глибокого та усвідомленого розуміння, розвитку швидкості усних обчислень та перетворень, а також розвитку навичок розв'язання найпростіших завдань «про себе». Необхідно переконувати учнів у цьому, що лише за наявності активної позиції, щодо математики, за умови набуття практичних умінь, навичок та його використання, можна розраховувати реальний успіх. Потрібно використовувати будь-яку можливість для підготовки до ЄДІ, у тому числі й елективні предмети в 10-11-х класах, регулярно проводити розбір складних завдань із учнями, обираючи найраціональніший спосіб вирішення на уроках та додаткових заняттях.Позитивний результат уобласті вирішення типових завдань може бути досягнуто, якщо вчителі математики, будуть, створюючихорошу базову підготовку учнів, шукати нові шляхи у вирішенні проблем, що відкрилися перед нами, активно експериментувати, застосовувати сучасні педагогічні технології, методи, прийоми, що створюють сприятливі умови для ефективної самореалізації та самовизначення у нових соціальних умовах.

Тригонометрія – складова частина шкільного курсу математики. Хороші знання та міцні навички з тригонометрії є свідченням достатнього рівня математичної культури, неодмінною умовою успішного вивчення у вузі математики, фізики, ряду технічнихдисциплін.

Актуальність роботи. Значна частина випускників шкіл показує рік у рік дуже слабку підготовку з цього важливого розділу математики, про що свідчать результати минулих років (відсоток виконання 2011-48,41%, 2012-51,05%), оскільки аналіз складання єдиного державного іспиту показав , що учні припускаються багато помилок при виконанні завдань саме цього розділу або взагалі не беруться за такі завдання. У Єдиному державний іспит питання з тригонометрії зустрічаються майже у трьох видах завдань. Це і рішення найпростіших тригонометричних рівнянь у завданні В5, і робота з тригонометричними виразами у завданні В7, і дослідження тригонометричних функцій у завданні В14, а також завдання В12, в яких є формули, що описують фізичні явища і тригонометричні функції, що містять. І це лише частина завдань В! А ще є і улюблені тригонометричні рівняння з відбором коренів С1, і «не дуже улюблені» геометричні завдання С2 і С4.

Мета роботи. Проаналізувати матеріал ЄДІ завдань В7, присвячених перетворенням тригонометричних виразів та прокласифікувати завдання за формою подачі їх у тестах.

Робота складається з двох розділів, вступу та висновків. У вступі наголошено на актуальності роботи. У першому розділі наведено класифікацію завдань на використання перетворень тригонометричних виразів у тестових завданнях ЄДІ (2012 р).

У другому розділі розглянуто організацію повторення теми «Перетворення тригонометричних виразів» у 10, 11 класах та розроблено тести з цієї теми.

Список літератури містить 17 джерел.

Глава 1. Класифікація завдань використання перетворень тригонометричних виразів.

Відповідно до стандарту середньої (повної) освіти та вимог до рівня підготовки учнів до кодифікатора вимог включаються завдання на знання основ тригонометрії.

Вивчення основ тригонометрії буде найбільш ефективним, коли:

буде забезпечено позитивну мотивацію учнів на повторення раніше вивченого матеріалу;

у навчальному процесі буде реалізовано особистісно-орієнтований підхід;

буде застосовуватися система завдань, що сприяє розширенню, поглибленню, систематизації знань учнів;

використовуватимуться передові педагогічні технології.

Проаналізувавши літературу та інтернет-ресурси з підготовки до ЄДІ, нами запропоновано одну з можливих класифікацій завдань В7 (КІМ ЄДІ 2012-тригонометрія): завдання на обчисленнязначень тригонометричних виразів; завдання наперетворення числових тригонометричних виразів; завдання на перетворення літерних тригонометричних виразів; завдання змішаного типу.

1.1. Завдання на обчислення значень тригонометричних виразів.

Однією з найпоширеніших типів нескладних завдань із тригонометрії є обчислення значень тригонометричних функцій за значенням однієї з них:

а) Використання основного тригонометричного тотожності та його наслідки.

Приклад 1 . Знайдіть , якщо
і
.

Рішення.
,
,

Т.к. , то
.

Відповідь.

Приклад 2 . Знайдіть
, якщо
та .

Рішення.
,
,
.

Т.к. , то
.

Відповідь. .

б) Використання формул подвійного кута.

Приклад 3 . Знайдіть
, якщо
.

Рішення. , .

Відповідь.
.

Приклад 4 . Знайдіть значення виразу
.

Рішення. .

Відповідь.
.

1. Знайдіть , якщо

. Відповідь. -0,2

2. Знайдіть , якщо
і
. Відповідь. 0,4

3. Знайдіть

якщо . Відповідь. -12,884. Знайдіть

, якщо

. Відповідь. -0,845. Знайдіть значення виразу:

. Відповідь. 66. Знайдіть значення виразу

.Відповідь. -19

1.2.Завдання на спрощення тригонометричних виразів. Формули приведення мають бути добре засвоєні учнями, оскільки вони знайдуть подальше застосування під час уроків геометрії, фізики та інших суміжних дисциплін.

Приклад 5 . Спростіть вирази
.

Рішення. .

Відповідь.
.

Завдання для самостійного вирішення:

1. Спростіть вираз

. Відповідь. 0,62. Знайдіть

, якщо

і. Відповідь. 10,563. Знайдіть значення виразу

, якщо

. Відповідь. 2

1.3. Завдання на перетворення числових тригонометричних виразів.

При відпрацюванні умінь і навичок завдань перетворення числових тригонометричних виразів, слід звернути увагу до знання таблиці значень тригонометричних функцій, властивостей парності і періодичності тригонометричних функцій.

а) Використання точних значень тригонометричних функцій деяких кутів.

Приклад 6 . Обчисліть
.

Рішення.
.

Відповідь.
.

б) Використання властивостей парності тригонометричних функцій.

Приклад 7 . Обчисліть
.

Рішення. .

Відповідь.

в) Використання властивостей періодичностітригонометричних функцій.

Приклад 8 . Знайдіть значення виразу
.

Рішення. .

Відповідь.
.

Завдання для самостійного вирішення:

1. Знайдіть значення виразу

. Відповідь. -40,52. Знайдіть значення виразу

. Відповідь. 17

3. Знайдіть значення виразу
. Відповідь. 6

. Відповідь. -24

Відповідь. -64

1.4 Завдання змішаного типу.

Тестова форма атестації має дуже суттєві особливості, тому важливо звертати увагу на завдання пов'язані із застосуванням декількох тригонометричних формул одночасно.

Приклад 9. Знайдіть
, якщо
.

Рішення.
.

Відповідь.
.

Приклад 10 . Знайдіть
, якщо
і
.

Рішення. .

Т.к. , то
.

Відповідь.
.

Приклад 11. Знайдіть
якщо .

Рішення. , ,
,
,
,
,
.

Відповідь.

приклад 12. Обчисліть
.

Рішення. .

Відповідь.
.

приклад 13. Знайдіть значення виразу
, якщо
.

Рішення. .

Відповідь.
.

Завдання для самостійного вирішення:

1. Знайдіть

, якщо

. Відповідь. -1,75
2. Знайдіть

, якщо

. Відповідь. 33. Знайдіть

якщо .Відповідь. 0.254. Знайдіть значення виразу

, якщо

. Відповідь. 0,35. Знайдіть значення виразу

, якщо

. Відповідь. 5

Глава 2. Методичні аспекти організація підсумкового повторення теми «Перетворення тригонометричних виразів».

Одним із найважливіших питань, що сприяють подальшому підвищенню успішності, досягненню глибоких та міцних знань у учнів є питання про повторення раніше пройденого матеріалу. Практика показує, що у 10 класі доцільніше організувати тематичне повторення; в 11 класі – підсумкове повторення.

2.1. Тематичне повторення у 10 класі.

У процесі роботи над математичним матеріалом особливо великого значення набуває повторення кожної закінченої теми або цілого розділу курсу.

При тематичному повторенні систематизуються знання учнів на тему на завершальному етапі її проходження або після деякої перерви.

Для тематичного повторення виділяються спеціальні уроки, у яких концентрується і узагальнюється матеріал однієї якоїсь теми.

Повторення під час уроку проводиться шляхом розмови з широким залученням учнів до цієї беседу. Після цього учні отримують завдання повторити певну тему та попереджаються, що буде проведено залікову роботу з тестів.

Тест на тему повинен включати всі її основні питання. Після виконання роботи проводиться розбір характерних помилок і організується повторення їх усунення.

Для уроків тематичного повторення нами пропонуються розроблені залікові роботи у вигляді тестівна тему «Перетворення тригонометричних виразів».

Тест №1

Тест №2

Тест №3

Таблиця відповідей

Тест

2.2. Підсумкове повторення у 11 класі.

Підсумкове повторення проводиться на завершальному етапі вивчення основних питань курсу математики та здійснюється у логічному зв'язку з вивченням навчального матеріалу по даному розділу або курсу в цілому.

Підсумкове повторення навчального матеріалу має на меті:

1. Активізація матеріалу всього навчального курсу для прояснення його логічної структури та вибудовування системи всередині предметних та між предметних зв'язків.

2. Поглиблення та по можливості розширення знань учнів з основних питань курсу у процесі повторення.

В умовах обов'язкової для всіх випускників складання іспиту з математики поступове введення ЄДІ змушує вчителя по-новому підходити до підготовки та проведення уроків, враховуючи необхідність забезпечити оволодіння всіма школярами навчального матеріалу на базовому рівні, а також можливість мотивованим учням, зацікавленим в отриманні високих балів. вступ до вузу, динамічного просування в оволодінні матеріалом на підвищеному та високому рівні.

На уроках підсумкового повторення можна розглянути такі завдання:

Приклад 1 . Обчисліть значення виразу.Рішення. =

= =

=0,5. Відповідь. 0,5. приклад 2. Вкажіть найбільше ціле значення, яке може приймати вираз

Рішення. Так як
може набувати будь-якого значення, що належить відрізку [–1; 1], то
набуває будь-якого значення відрізка [-0,4; 0,4], тому . Ціле значення виразу одне число 4.

Відповідь: 4 Приклад 3 . Спростіть вираз

Рішення: Скористаємося формулою розкладання на множники суми кубів: . Маємо

Маємо:
.

Відповідь: 1

приклад 4. Обчисліть
.

Рішення. .

Відповідь: 0,28

Для уроків підсумкового повторення нами пропонуються розроблені тести на тему «Перетворення тригонометричних виразів».

Вкажіть найбільше ціле число, що не перевищує, 1

Висновок.

Пропрацювавши відповідну методичну літературу на цю тему, можна дійти невтішного висновку у тому, що вміння і навички вирішувати завдання, пов'язані з тригонометричними перетвореннями у шкільному курсі математики дуже важливим.

У ході виконаної роботи проведено класифікацію завдань В7. Розглянуто тригонометричні формули, що найчастіше застосовуються в КІМах 2012 року. Наведено приклади завдань із рішеннями. Розроблено диференційовані тести для організації повторення та систематизації знань у рамках підготовки до ЄДІ.

Доцільно продовжити розпочату роботу, розглянувши вирішення найпростіших тригонометричних рівнянь у завданні В5, дослідження тригонометричних функцій у завданні В14, завдання В12, в яких є формули, що описують фізичні явища і тригонометричні функції, що містять.

На закінчення хотілося б зауважити, результативність здачі ЄДІ багато в чому визначається тим, наскільки ефективно організований процес підготовки на всіх щаблях навчання, з усіма категоріями учнів. А якщо ми зуміємо сформувати в учнів самостійність, відповідальність та готовність до продовження навчання протягом усього наступного життя, то ми не тільки виконаємо замовлення держави та суспільства, а й підвищимо власну самооцінку.

Повторення навчального матеріалу вимагає від учителя творчої роботи. Він має забезпечити чіткий зв'язок між видами повторення, здійснити глибоко продуману систему повторення. Опанувати мистецтво організації повторення - таке завдання вчителя. Від її вирішення багато в чому залежить міцність знань учнів.

Література

Вигодський Я.Я., Довідник з елементарної математики. -М: Наука, 1970.

Завдання підвищеної проблеми з алгебри та початків аналізу: Навчальний посібник для 10-11 класів середньої школи / Б.М. Івлєв, А.М. Абрамов, Ю.П. Дудніцин,С.І. Шварцбурд. - М.: Просвітництво, 1990.

Застосування основних тригонометричних формул до перетворення виразів (10 клас) // Фестиваль педагогічних ідей. 2012-2013.

Корянов А.Г. , Прокоф'єв А.А. Готуємо до ЄДІ хорошистів та відмінників. – М.: Педагогічний університет «Перше вересня», 2012. – 103 с.

Кузнєцова Е.М.Спрощення тригонометричних виразів. Вирішення тригонометричних рівнянь різними методами (підготовка до ЄДІ). 11 клас. 2012-2013.

Куланін Є. Д. 3000 конкурсних завдань з математики. 4-е їд., Випр. та дод. - М.: Рольф, 2000.

Мордковіч А.Г. Методичні проблеми вивчення тригонометрії у загальноосвітній школі // Математика у школі. 2002. №6.

Пічурін Л.Ф. Про тригонометрію і не тільки про неї: -М. Освіта, 1985р.

Решетніков Н.М. Тригонометрія у школі: -М. : Педагогічний університет «Перше вересня», 2006, лк 1

Шабунін М.І., Прокоф'єв А.А. Математика. Алгебра. Початки математичного аналізу. Профільний рівень: підручник для 10 класу - М: БІНОМ. Лабораторія знань, 2007.

Освітній портал для підготовки до ЄДІ.

Підготовка до ЄДІ з математики "Ох, ця тригонометрія! http://festival.1september.ru/articles/621971/

Проект "Математика? Легко!" http://www.resolventa.ru/

Розділи: Математика

Клас: 11

Заняття 1

Тема: 11 клас (підготовка до ЄДІ)

Спрощення тригонометричних виразів.

Вирішення найпростіших тригонометричних рівнянь. (2 години)

Цілі:

Систематизувати, узагальнити, розширити знання та вміння учнів, пов'язані із застосуванням формул тригонометрії та вирішенням найпростіших тригонометричних рівнянь.

Обладнання для уроку:

Структура уроку:

Оргмомент
Тестування на ноутбуках. Обговорення результатів.
Спрощення тригонометричних виразів
Вирішення найпростіших тригонометричних рівнянь
Самостійна робота.
Підсумок уроку. Пояснення завдання додому.

1. Оргмомент. (2 хв.)

Вчитель вітає аудиторію, оголошує тему уроку, нагадує у тому, що було дано завдання повторити формули тригонометрії і налаштовує учнів тестування.

2. Тестування. (15хв + 3хв. обговорення)

Мета – перевірити знання тригонометричних формул та вміння їх застосовувати. У кожного учня на парті ноутбук у якому варіант тесту.

Варіантів може бути скільки завгодно, наведу приклад одного з них:

І варіант.

Спростити вирази:

а) основні тригонометричні тотожності

1. sin 2 3y + cos 2 3y + 1;

б) формули додавання

3. sin5x - sin3x;

в) перетворення твору на суму

6. 2sin8y cos3y;

г) формули подвійних кутів

7. 2sin5x cos5x;

д) формули половинних кутів

е) формули потрійних кутів

ж) універсальна підстановка

з) зниження ступеня

16. cos 2 (3x/7);

Учні на ноутбуці напроти кожної формули бачать свої відповіді.

Роботу миттєво перевіряє комп'ютер. Результати висвічуються на великому екрані на загальний огляд.

Також після закінчення роботи з'являються на ноутбуках учнів правильні відповіді. Кожен учень бачить, де зроблено помилку, і які формули йому потрібно повторити.

3. Спрощення тригонометричних виразів. (25 хв.)

Мета – повторити, відпрацювати та закріпити застосування основних формул тригонометрії. Розв'язання задач В7 з ЄДІ.

На даному етапі клас доцільно розбити на групи сильних (працюють самостійно з подальшою перевіркою) та слабких учнів, які працюють із учителем.

Завдання для сильних учнів (заздалегідь підготовлені на друкованій основі). Основний упор зроблений на формули приведення та подвійного кута, згідно з ЄДІ 2011.

Спростити вирази (для сильних учнів):

Паралельно вчитель працює зі слабкими учнями, обговорюючи та вирішуючи під диктовку учнів завдання на екрані.

Обчислити:

5) sin(270º - α) + cos (270º + α)

Спростити:

Настала черга обговорення результатів роботи сильної групи.

На екрані з'являються відповіді, а також за допомогою відеокамери виводяться роботи 5-ти різних учнів (за одним завданням у кожного).

Слабка група бачить умову та метод рішення. Йде обговорення та аналіз. З використанням технічних засобів це відбувається швидко.

4. Вирішення найпростіших тригонометричних рівнянь. (30 хв.)

Мета – повторити, систематизувати та узагальнити вирішення найпростіших тригонометричних рівнянь, запис їх коріння. Розв'язання задачі В3.

Будь-яке тригонометричне рівняння, яким би способом ми його не вирішували, призводить до найпростішого.

При виконанні завдання слід звертати увагу учнів на запис коренів рівнянь окремих випадків та загального виду та на відбір коренів в останньому рівнянні.

Розв'язати рівняння:

У відповідь записати найменший позитивний корінь.

5. Самостійна робота (10 хв.)

Мета – перевірка здобутих навичок, виявлення проблем, помилок та шляхів їх усунення.

Пропонується різнорівнева робота на вибір учня.

Варіант на "3"

1) Знайти значення виразу

2) Спростити вираз 1 - sin 2 3α - cos 2 3α

3) Розв'язати рівняння

Варіант на 4

1) Знайти значення виразу

2) Розв'язати рівняння У відповіді записати найменший позитивний корінь.

Варіант на "5"

1) Знайти tgα, якщо

2) Знайти корінь рівняння У відповідь запишіть найменший позитивний корінь.

6. Підсумок уроку (5 хв.)

Вчитель підбиває підсумки у тому, що у уроці повторили і закріпили тригонометричні формули, рішення найпростіших тригонометричних рівнянь.

Задається домашнє завдання (підготовлене на друкованій основі наперед) з вибірковою перевіркою на наступному уроці.

Розв'язати рівняння:

10) У відповіді вказати найменший позитивний корінь.

Заняття 2

Тема: 11 клас (підготовка до ЄДІ)

Методи розв'язків тригонометричних рівнянь. Відбір коренів. (2 години)

Цілі:

Узагальнити та систематизувати знання щодо вирішення тригонометричних рівнянь різних типів.
Сприяти розвитку математичного мислення учнів, вмінню спостерігати, порівнювати, узагальнювати, класифікувати.
Заохочувати учнів до подолання труднощів у процесі розумової діяльності, до самоконтролю, самоаналізу своєї діяльності.

Обладнання для уроку:КРМу, ноутбуки на кожного учня.

Структура уроку:

Оргмомент
Обговорення д/з та одинок. роботи минулого уроку
Повторення методів розв'язків тригонометричних рівнянь.
Розв'язання тригонометричних рівнянь
Відбір коренів у тригонометричних рівняннях.
Самостійна робота.
Підсумок уроку. Домашнє завдання.

1. Оргмомент (2 хв.)

Вчитель вітає аудиторію, оголошує тему уроку та план роботи.

2. а) Розбір домашнього завдання (5 хв.)

Мета – перевірити виконання. Одна робота за допомогою відеокамери видається на екран, інші вибірково збираються на перевірку вчителя.

б) Розбір самостійної роботи (3 хв.)

Ціль – розібрати помилки, вказати способи їх подолання.

На екрані відповіді та рішення у учнів заздалегідь видані їх роботи. Швидко йде аналіз.

3. Повторення методів розв'язання тригонометричних рівнянь (5 хв.)

Мета – згадати методи розв'язання тригонометричних рівнянь.

Запитати в учнів, які методи розв'язків тригонометричних рівнянь вони знають. Акцентувати на тому, що є так звані основні методи, що часто використовуються:

заміна змінної,
розкладання на множники,
однорідні рівняння,

і є прикладні методи:

за формулами перетворення суми на твір та твори на суму,
за формулами зниження ступеня,
універсальна тригонометрична підстановка
введення допоміжного кута,
множення на деяку тригонометричну функцію.

Також слід нагадати, що одне рівняння може вирішуватися різними способами.

4. Розв'язання тригонометричних рівнянь (30 хв.)

Мета – узагальнити та закріпити знання та навички з цієї теми, підготуватися до рішення С1 з ЄДІ.

Вважаю за доцільне вирішувати разом з учнями рівняння на кожен метод.

Учень диктує рішення, вчитель записує планшет, весь процес відображається на екрані. Це дозволить швидко та ефективно відновити в пам'яті раніше пройдений матеріал.

Розв'язати рівняння:

1) заміна змінної 6cos 2 x + 5sinx - 7 = 0

2) розкладання на множники 3cos(x/3) + 4cos 2(x/3) = 0

3) однорідні рівняння sin 2 x + 3cos 2 x - 2sin2x = 0

4) перетворення суми у добуток cos5x + cos7x = cos(π + 6x)

5) перетворення твору на суму 2sinx sin2x + cos3x = 0

6) зниження ступеня sin2x - sin 2 2x + sin 2 3x = 0,5

7) універсальна тригонометрична підстановка sinx+5cosx+5=0.

Вирішуючи це рівняння, слід зазначити, що використання цього методу веде до звуження області визначення, оскільки синус і косинус замінюється tg(x/2). Тому, перш ніж виписувати відповідь, потрібно зробити перевірку, чи числа з безлічі π + 2πn, n Z конями даного рівняння.

8) введення допоміжного кута √3sinx + cosx - √2 = 0

9) множення на деяку тригонометричну функцію cosx cos2x cos4x = 1/8.

5. Відбір коренів тригонометричних рівнянь (20 хв.)

Так як в умовах жорсткої конкуренції при вступі до ВНЗ рішення однієї першої частини іспиту недостатньо, слід більшості учнів звертати увагу на завдання другої частини (С1, С2, С3).

Тому мета цього етапу заняття – згадати раніше вивчений матеріал, підготуватися до вирішення задачі С1 із ЄДІ 2011 року.

Існують тригонометричні рівняння, у яких потрібно проводити відбір коренів під час виписки відповіді. Це з деякими обмеженнями, наприклад: знаменник дробу не дорівнює нулю, вираз під коренем парної ступеня неотрицательно, вираз під знаком логарифму позитивно тощо.

Такі рівняння вважаються рівняннями підвищеної складності та у варіанті ЄДІ знаходяться у другій частині, а саме С1.

Вирішити рівняння:

Дріб дорівнює нулю, якщо тоді за допомогою одиничного кола зробимо відбір коренів (див. рисунок 1)

Малюнок 1.

отримаємо x = π + 2πn, n Z

Відповідь: π + 2πn, n Z

На екрані відбір коренів відображається на колі кольорового зображення.

Добуток дорівнює нулю коли хоча б один із множників дорівнює нулю, а дугою, при цьому, не втрачає сенсу. Тоді

За допомогою одиничного кола відберемо коріння (див. рисунок 2)

У тотожних перетвореннях тригонометричних виразівможуть бути використані наступні прийоми алгебри: додавання і віднімання однакових доданків; винесення загального множника за дужки; множення та розподіл на одну й ту саму величину; застосування формул скороченого множення; виділення повного квадрата; розкладання квадратного тричлена на множники; запровадження нових змінних з метою спрощення перетворень.

При перетворення тригонометричних виразів, що містять дроби, можна використовувати властивості пропорції, скорочення дробів або приведення дробів до спільного знаменника. Крім того, можна користуватися виділенням цілої частини дробу, множенням чисельника і знаменника дробу на однакову величину, а також по можливості враховувати однорідність чисельника чи знаменника. При необхідності можна представляти дріб у вигляді суми або різниці кількох простіших дробів.

Крім того, застосовуючи всі необхідні методи перетворення тригонометричних виразів, необхідно постійно враховувати обсяг допустимих значень перетворюваних виразів.

Розглянемо кілька прикладів.

приклад 1.

Обчислити А = (sin (2x – π) · cos (3π – x) + sin (2x – 9π/2) · cos (x + π/2)) 2 + (cos (x – π/2) · cos ( 2x – 7π/2) +
+ sin (3π/2 – x) · sin (2x –5π/2)) 2

Рішення.

З формул приведення випливає:

sin (2x - π) = -sin 2x; cos (3π - x) = -cos x;

sin (2x - 9π/2) = -cos 2x; cos(x + π/2) = -sin x;

cos (x - π / 2) = sin x; cos (2x - 7π/2) = -sin 2x;

sin (3π/2 – x) = -cos x; sin (2x - 5π/2) = -cos 2x.

Звідки в силу формул складання аргументів та основної тригонометричної тотожності отримуємо

А = (sin 2x · cos x + cos 2x · sin x) 2 + (-sin x · sin 2x + cos x · cos 2x) 2 = sin 2 (2x + x) + cos 2 (x + 2x) =
= sin 2 3x + cos 2 3x = 1

Відповідь: 1.

приклад 2.

Перетворити на твір вираз М = cos α + cos (α + β) · cos γ + cos β - sin (α + β) · sin γ + cos γ.

Рішення.

З формул складання аргументів та формул перетворення суми тригонометричних функцій на твір після відповідного угруповання маємо

М = (cos (α + β) · cos γ - sin (α + β) · sin γ) + cos α + (cos β + cos γ) =

2cos ((β + γ)/2) · cos ((β – γ)/2) + (cos α + cos (α + β + γ)) =

2cos ((β + γ)/2) · cos ((β - γ)/2) + 2cos (α + (β + γ)/2) · cos ((β + γ)/2)) =

2cos ((β + γ)/2) (cos ((β – γ)/2) + cos (α + (β + γ)/2)) =

2cos ((β + γ)/2) · 2cos ((β – γ)/2 + α + (β + γ)/2)/2) · cos ((β – γ)/2) – (α + ( β + γ)/2)/2) =

4cos ((β+γ)/2) · cos ((α+β)/2) · cos ((α+γ)/2).

Відповідь: М = 4cos ((α+β)/2) · cos ((α+γ)/2) · cos ((β+γ)/2).

Приклад 3.

Показати, що вираз А = cos 2 (x + π/6) – cos (x + π/6) · cos (x – π/6) + cos 2 (x – π/6) приймає для всіх х із R одно і те саме значення. Знайти це значення.

Рішення.

Наведемо два способи вирішення цього завдання. Застосовуючи перший спосіб шляхом виділення повного квадрата і користуючись відповідними основними тригонометричними формулами, отримаємо

А = (cos (x + π/6) – cos (x – π/6)) 2 + cos (x – π/6) · cos (x – π/6) =

4sin 2 x · sin 2 π/6 + 1/2(cos 2x + cos π/3) =

Sin 2 x + 1/2 · cos 2x + 1/4 = 1/2 · (1 - cos 2x) + 1/2 · cos 2x + 1/4 = 3/4.

Розв'язуючи задачу другим способом, розглянемо А як функцію від х із R і обчислимо її похідну. Після перетворень отримаємо

А´ = -2cos (x + π/6) · sin (x + π/6) + (sin (x + π/6) · cos (x – π/6) + cos (x + π/6) · sin (x + π/6)) - 2cos (x - π/6) · sin (x - π/6) =

Sin 2(x + π/6) + sin ((x + π/6) + (x – π/6)) – sin 2(x – π/6) =

Sin 2x – (sin (2x + π/3) + sin (2x – π/3)) =

Sin 2x – 2sin 2x · cos π/3 = sin 2x – sin 2x ≡ 0.

Звідси через критерій сталості диференційованої на проміжку функції укладаємо, що

А(х) ≡(0) = cos 2 π/6 - cos 2 π/6 + cos 2 π/6 = (√3/2) 2 = 3/4, x € R.

Відповідь: А = 3/4 для x € R.

Основними прийомами доказу тригонометричних тотожностей є:

а)зведення лівої частини тотожності до правої шляхом відповідних перетворень;
б)зведення правої частини тотожності до лівої;
в)зведення правої та лівої частин тотожності одному й тому виду;
г)зведення до нуля різниці лівої та правої частин доказуваного тотожності.

приклад 4.

Перевірити, що cos 3x = -4cos x cos (x + π/3) cos (x + 2π/3).

Рішення.

Перетворюючи праву частину цієї тотожності за відповідними тригонометричними формулами, маємо

4cos x · cos (x + π/3) · cos (x + 2π/3) =

2cos x · (cos ((x + π/3) + (x + 2π/3)) + cos ((x + π/3) – (x + 2π/3))) =

2cos x · (cos (2x + π) + cos π/3) =

2cos x · cos 2x – cos x = (cos 3x + cos x) – cos x = cos 3x.

Права частина тотожності зведена до лівої.

Приклад 5.

Довести, що sin 2 α + sin 2 β + sin 2 γ – 2cos α · cos β · cos γ = 2, якщо α, β, γ – внутрішні кути деякого трикутника.

Рішення.

Враховуючи, що α, β, γ – внутрішні кути деякого трикутника, отримуємо, що

α + β + γ = π і, отже, γ = π – α – β.

sin 2 α + sin 2 β + sin 2 γ – 2cos α · cos β · cos γ =

Sin 2 α + sin 2 β + sin 2 (π – α – β) – 2cos α · cos β · cos (π – α – β) =

Sin 2 α + sin 2 β + sin 2 (α + β) + (cos (α + β) + cos (α - β) · (cos (α + β) =

Sin 2 α + sin 2 β + (sin 2 (α + β) + cos 2 (α + β)) + cos (α - β) · (cos (α + β) =

1/2 · (1 - сos 2α) + ½ · (1 - cos 2β) + 1 + 1/2 · (cos 2α + cos 2β) = 2.

Початкова рівність доведена.

Приклад 6.

Довести, що для того, щоб один з кутів α, β, γ трикутника дорівнював 60°, необхідно і достатньо, щоб sin 3α + sin 3β + sin 3γ = 0.

Рішення.

Умова цього завдання передбачає доказ як необхідності, і достатності.

Спочатку доведемо необхідність.

Можна показати, що

sin 3α + sin 3β + sin 3γ = -4cos (3α/2) · cos (3β/2) · cos (3γ/2).

Звідси, враховуючи, що cos (3/2 · 60°) = cos 90° = 0, отримуємо, що якщо один із кутів α, β або γ дорівнює 60°, то

cos (3α/2) · cos (3β/2) · cos (3γ/2) = 0 і, отже, sin 3α + sin 3β + sin 3γ = 0.

Доведемо тепер достатністьзазначеної умови.

Якщо sin 3α + sin 3β + sin 3γ = 0, то cos (3α/2) · cos (3β/2) · cos (3γ/2) = 0, і тому

або cos (3α/2) = 0, або cos (3β/2) = 0, або cos (3γ/2) = 0.

Отже,

чи 3α/2 = π/2 + πk, тобто. α = π/3 + 2πk/3,

чи 3β/2 = π/2 + πk, тобто. β = π/3 + 2πk/3,

або 3γ/2 = π/2 + πk,

тобто. γ = π/3 + 2πk/3, де k ϵ Z.

З того, що α, β, γ – це кути трикутника, маємо

0 < α < π, 0 < β < π, 0 < γ < π.

Тому для α = π/3 + 2πk/3 або β = π/3 + 2πk/3 або

γ = π/3 + 2πk/3 зі всіх kϵZ підходить тільки k = 0.

Звідки випливає, що α = π/3 = 60°, або β = π/3 = 60°, або γ = π/3 = 60°.

Твердження доведене.

Залишились питання? Не знаєте, як спрощувати тригонометричні вирази?
Щоб отримати допомогу репетитора – зареєструйтесь.
Перший урок – безкоштовно!

сайт, при повному або частковому копіюванні матеріалу посилання на першоджерело обов'язкове.

Розділи: Математика

Клас: 11

Заняття 1

Тема: 11 клас (підготовка до ЄДІ)

Спрощення тригонометричних виразів.

Вирішення найпростіших тригонометричних рівнянь. (2 години)

Цілі:

Систематизувати, узагальнити, розширити знання та вміння учнів, пов'язані із застосуванням формул тригонометрії та вирішенням найпростіших тригонометричних рівнянь.

Обладнання для уроку:

Структура уроку:

Оргмомент
Тестування на ноутбуках. Обговорення результатів.
Спрощення тригонометричних виразів
Вирішення найпростіших тригонометричних рівнянь
Самостійна робота.
Підсумок уроку. Пояснення завдання додому.

1. Оргмомент. (2 хв.)

2. Тестування. (15хв + 3хв. обговорення)

Варіантів може бути скільки завгодно, наведу приклад одного з них:

І варіант.

Спростити вирази:

а) основні тригонометричні тотожності

1. sin 2 3y + cos 2 3y + 1;

б) формули додавання

3. sin5x - sin3x;

в) перетворення твору на суму

6. 2sin8y cos3y;

г) формули подвійних кутів

7. 2sin5x cos5x;

д) формули половинних кутів

е) формули потрійних кутів

ж) універсальна підстановка

з) зниження ступеня

16. cos 2 (3x/7);

Учні на ноутбуці напроти кожної формули бачать свої відповіді.

Роботу миттєво перевіряє комп'ютер. Результати висвічуються на великому екрані на загальний огляд.

3. Спрощення тригонометричних виразів. (25 хв.)

Спростити вирази (для сильних учнів):

Обчислити:

5) sin(270º - α) + cos (270º + α)

Спростити:

Настала черга обговорення результатів роботи сильної групи.

4. Вирішення найпростіших тригонометричних рівнянь. (30 хв.)

Будь-яке тригонометричне рівняння, яким би способом ми його не вирішували, призводить до найпростішого.

Розв'язати рівняння:

У відповідь записати найменший позитивний корінь.

5. Самостійна робота (10 хв.)

Мета – перевірка здобутих навичок, виявлення проблем, помилок та шляхів їх усунення.

Пропонується різнорівнева робота на вибір учня.

Варіант на "3"

1) Знайти значення виразу

2) Спростити вираз 1 - sin 2 3α - cos 2 3α

3) Розв'язати рівняння

Варіант на 4

1) Знайти значення виразу

2) Розв'язати рівняння У відповіді записати найменший позитивний корінь.

Варіант на "5"

1) Знайти tgα, якщо

2) Знайти корінь рівняння У відповідь запишіть найменший позитивний корінь.

6. Підсумок уроку (5 хв.)

Розв'язати рівняння:

10) У відповіді вказати найменший позитивний корінь.

Заняття 2

Тема: 11 клас (підготовка до ЄДІ)

Методи розв'язків тригонометричних рівнянь. Відбір коренів. (2 години)

Цілі:

Узагальнити та систематизувати знання щодо вирішення тригонометричних рівнянь різних типів.
Сприяти розвитку математичного мислення учнів, вмінню спостерігати, порівнювати, узагальнювати, класифікувати.
Заохочувати учнів до подолання труднощів у процесі розумової діяльності, до самоконтролю, самоаналізу своєї діяльності.

Обладнання для уроку:КРМу, ноутбуки на кожного учня.

Структура уроку:

Оргмомент
Обговорення д/з та одинок. роботи минулого уроку
Повторення методів розв'язків тригонометричних рівнянь.
Розв'язання тригонометричних рівнянь
Відбір коренів у тригонометричних рівняннях.
Самостійна робота.
Підсумок уроку. Домашнє завдання.

1. Оргмомент (2 хв.)

Вчитель вітає аудиторію, оголошує тему уроку та план роботи.

2. а) Розбір домашнього завдання (5 хв.)

б) Розбір самостійної роботи (3 хв.)

Ціль – розібрати помилки, вказати способи їх подолання.

На екрані відповіді та рішення у учнів заздалегідь видані їх роботи. Швидко йде аналіз.

3. Повторення методів розв'язання тригонометричних рівнянь (5 хв.)

Мета – згадати методи розв'язання тригонометричних рівнянь.

заміна змінної,
розкладання на множники,
однорідні рівняння,

і є прикладні методи:

за формулами перетворення суми на твір та твори на суму,
за формулами зниження ступеня,
універсальна тригонометрична підстановка
введення допоміжного кута,
множення на деяку тригонометричну функцію.

Також слід нагадати, що одне рівняння може вирішуватися різними способами.

4. Розв'язання тригонометричних рівнянь (30 хв.)

Мета – узагальнити та закріпити знання та навички з цієї теми, підготуватися до рішення С1 з ЄДІ.

Вважаю за доцільне вирішувати разом з учнями рівняння на кожен метод.

Розв'язати рівняння:

1) заміна змінної 6cos 2 x + 5sinx - 7 = 0

2) розкладання на множники 3cos(x/3) + 4cos 2(x/3) = 0

3) однорідні рівняння sin 2 x + 3cos 2 x - 2sin2x = 0

4) перетворення суми у добуток cos5x + cos7x = cos(π + 6x)

5) перетворення твору на суму 2sinx sin2x + cos3x = 0

6) зниження ступеня sin2x - sin 2 2x + sin 2 3x = 0,5

7) універсальна тригонометрична підстановка sinx+5cosx+5=0.

8) введення допоміжного кута √3sinx + cosx - √2 = 0

9) множення на деяку тригонометричну функцію cosx cos2x cos4x = 1/8.

5. Відбір коренів тригонометричних рівнянь (20 хв.)

Вирішити рівняння:

Дріб дорівнює нулю, якщо тоді за допомогою одиничного кола зробимо відбір коренів (див. рисунок 1)

Малюнок 1.

отримаємо x = π + 2πn, n Z

Відповідь: π + 2πn, n Z

На екрані відбір коренів відображається на колі кольорового зображення.

Добуток дорівнює нулю коли хоча б один із множників дорівнює нулю, а дугою, при цьому, не втрачає сенсу. Тоді

За допомогою одиничного кола відберемо коріння (див. рисунок 2)

Малюнок 2.

Переходимо до системи:

У першому рівнянні системи зробимо заміну log 2 (sinx) = y, отримаємо рівняння тоді , повернемося до системи

за допомогою одиничного кола відберемо коріння (див. рисунок 5),

Малюнок 5.

6. Самостійна робота (15 хв.)

Мета – закріпити та перевірити засвоєння матеріалу, виявити помилки, намітити шляхи їх виправлення.

Робота пропонується у трьох варіантах, заготовлених заздалегідь на друкованій основі, на вибір учнів.

Вирішувати рівняння можна будь-яким способом.

Варіант на "3"

Розв'язати рівняння:

1) 2sin 2 x + sinx - 1 = 0

2) sin2x = √3cosx

Варіант на 4

Розв'язати рівняння:

1) cos2x = 11sinx - 5

2) (2sinx + √3)log 8 (cosx) = 0

Варіант на "5"

Розв'язати рівняння:

1) 2sinx - 3cosx = 2

7. Підсумок уроку, домашнє завдання (5 хв.)

Вчитель підбиває підсумок уроку, ще раз звертає увагу, що тригонометричне рівняння можна вирішити кількома способами. Найкращий спосіб досягнення швидкого результату це той, який найкраще засвоєний конкретним учнем.

При підготовці до іспиту необхідно систематично повторювати формули та методи розв'язування рівнянь.

Домашнє завдання (приготовлене заздалегідь на друкованій основі) лунає та коментуються способи розв'язання деяких рівнянь.

Розв'язати рівняння:

1) cosx + cos5x = cos3x + cos7x

2) 5sin(x/6) - cos(x/3) + 3 = 0

3) 4sin 2 x + sin2x = 3

4) sin 2 x + sin 2 2x - sin 2 3x - sin 2 4x = 0

5) cos3x cos6x = cos4x cos7x

6) 4sinx - 6cosx = 1

7) 3sin2x + 4 cos2x = 5

8) cosx cos2x cos4x cos8x = (1/8) cos15x

9) (2sin 2 x - sinx)log 3 (2cos 2 x + cosx) = 0