Введіть функцію, для якої потрібно знайти інтеграл

Калькулятор надає ДЕТАЛЬНЕ рішення певних інтегралів.

Цей калькулятор знаходить рішення певного інтеграла від функції f(x) з верхніми і нижніми межами.

Приклади

Із застосуванням ступеня
(квадрат і куб) та дроби

(x^2 - 1)/(x^3 + 1)

Квадратний корінь

Sqrt(x)/(x + 1)

Кубічний корінь

Cbrt(x)/(3*x + 2)

Із застосуванням синуса та косинуса

2*sin(x)*cos(x)

Арксинус

X*arcsin(x)

Арккосінус

X*arccos(x)

Застосування логарифму

X * log (x, 10)

Натуральний логарифм

експонента

Tg(x)*sin(x)

Котангенс

Ctg(x)*cos(x)

Ірраціональне дроби

(sqrt(x) - 1)/sqrt(x^2 - x - 1)

Арктангенс

X*arctg(x)

Арккотангенс

X*arcctg(x)

Гіберболічний синус та косинус

2*sh(x)*ch(x)

Гіберболічні тангенс та котангенс

Ctgh(x)/tgh(x)

Гіберболічні арксинус та арккосинус

X^2*arcsinh(x)*arccosh(x)

Гіберболічні арктангенс та арккотангенс

X^2*arctgh(x)*arcctgh(x)

Правила введення виразів та функцій

Вирази можуть складатися з функцій (позначення наведено в алфавітному порядку): absolute(x)Абсолютне значення x
(модуль xабо |х|) arccos(x)Функція - арккосинус від x arccosh(x)Арккосинус гіперболічний від x arcsin(x)Арксинус від x arcsinh(x)Арксинус гіперболічний від x arctg(x)Функція - арктангенс від x arctgh(x)Арктангенс гіперболічний від x e eчисло, яке приблизно дорівнює 2.7 exp(x)Функція - експонента від x(що і e^x) log(x) or ln(x)Натуральний логарифм від x
(Щоб отримати log7(x), треба ввести log(x)/log(7) (або, наприклад, для log10(x)=log(x)/log(10)) piЧисло - "Пі", яке приблизно дорівнює 3.14 sin(x)Функція - Сінус від x cos(x)Функція - Косинус від x sinh(x)Функція - Синус гіперболічний від x cosh(x)Функція - Косинус гіперболічний від x sqrt(x)Функція - квадратний корінь з x sqr(x)або x^2Функція - Квадрат x tg(x)Функція - Тангенс від x tgh(x)Функція - Тангенс гіперболічний від x cbrt(x)Функція - кубічний корінь з x

У виразах можна застосовувати такі операції: Справжні числавводити у вигляді 7.5 , не 7,5 2*x- множення 3/x- розподіл x^3- зведення в ступінь x + 7- додавання x - 6- віднімання
Інші функції: floor(x)Функція - округлення xу меншу сторону (приклад floor(4.5)==4.0) ceiling(x)Функція - округлення xу велику сторону (приклад ceiling(4.5)==5.0) sign(x)Функція - Знак x erf(x)Функція помилок (або інтеграл ймовірності) laplace(x)Функція Лапласа

Обчислити площу фігури, обмеженою лініями.

Рішення.

Знаходимо точки перетину заданих ліній. Для цього розв'язуємо систему рівнянь:

Для знаходження абсцис точок перетину заданих ліній розв'язуємо рівняння:

Знаходимо: x 1 = -2, x 2 = 4.

Отже, дані лінії, що являють собою параболу та пряму, перетинаються в точках A(-2; 0), B(4; 6).

Ці лінії утворюють замкнуту фігуру, площу якої обчислюємо за зазначеною вище формулою:

За формулою Ньютона-Лейбніца знаходимо:

Знайти площу області, обмеженої еліпсом.

Рішення.

З рівняння еліпса для I квадранта маємо. Звідси за формулою отримуємо

Застосуємо підстановку x = a sin t, dx = a cos t dt. Нові межі інтегрування t = α і t = β визначаються із рівнянь 0 = a sin t, a = a sin t. Можна покласти α = 0 і β = π /2.

Знаходимо одну четверту шуканої площі

Звідси S = πab.

Знайти площу фігури, обмеженою лініямиy = - x 2 + x + 4 таy = - x + 1.

Рішення.

Знайдемо точки перетину ліній y = -x 2 + x + 4, y = -x+ 1, прирівнюючи ординати ліній: - x 2 + x + 4 = -x+ 1 або x 2 - 2x- 3 = 0. Знаходимо коріння x 1 = -1, x 2 = 3 та відповідні їм ординати y 1 = 2, y 2 = -2.

За формулою площі фігури отримуємо

Визначити площу, обмежену параболоюy = x 2 + 1 та прямийx + y = 3.

Рішення.

Вирішуючи систему рівнянь

знаходимо абсциси точок перетину x 1 = -2 та x 2 = 1.

Вважаючи y 2 = 3 - xі y 1 = x 2 + 1, на підставі формули отримуємо

Обчислити площу, укладену всередині лемніскати Бернулліr 2 = a 2 cos 2 φ .

Рішення.

У полярній системі координат площа фігури, обмежена дугою кривою r = f(φ ) та двома полярними радіусами φ 1 = ʅ і φ 2 = ʆ , висловиться інтегралом

З огляду на симетрію криву визначаємо спочатку одну четверту шуканої площі

Отже, вся площа дорівнює S = a 2 .

Обчислити довжину дуги астроідиx 2/3 + y 2/3 = a 2/3 .

Рішення.

Запишемо рівняння астроїди у вигляді

(x 1/3) 2 + (y 1/3) 2 = (a 1/3) 2 .

Покладемо x 1/3 = a 1/3 cos t, y 1/3 = a 1/3 sin t.

Звідси отримуємо параметричні рівняння астроіди

x = a cos 3 t, y = a sin 3 t, (*)

де 0 ≤ t ≤ 2π .

Через симетрію криву (*) достатньо знайти одну четверту частину довжини дуги L, що відповідає зміні параметра tвід 0 до π /2.

Отримуємо

dx = -3a cos 2 t sin t dt, dy = 3a sin 2 t cos t dt.

Звідси знаходимо

Інтегруючи отриманий вираз у межах від 0 до π /2, отримуємо

Звідси L = 6a.

Знайти площу, обмежену спіраллю Архімедаr = aφ та двома радіусами-векторами, які відповідають полярним кутамφ 1 іφ 2 (φ 1 < φ 2 ).

Рішення.

Площа, обмежена кривою r = f(φ ) обчислюється за формулою , де α і β - межі зміни полярного кута.

Таким чином, отримуємо

(*)

З (*) випливає, що площа, обмежена полярною віссю та першим витком спіралі Архімеда ( φ 1 = 0; φ 2 = 2π ):

Аналогічним чином знаходимо площу, обмежену полярною віссю та другим витком спіралі Архімеда ( φ 1 = 2π ; φ 2 = 4π ):

Шукана площа дорівнює різниці цих площ

Обчислити об'єм тіла, отриманого обертанням навколо осіOx фігури, обмеженої параболамиy = x 2 іx = y 2 .

Рішення.

Розв'яжемо систему рівнянь

і отримаємо x 1 = 0, x 2 = 1, y 1 = 0, y 2 = 1, звідки точки перетину кривих O(0; 0), B(1; 1). Як видно на малюнку, об'єм тіла обертання, що шукається, дорівнює різниці двох об'ємів, утворених обертанням навколо осі Oxкриволінійних трапецій OCBAі ODBA:

Обчислити площу, обмежену віссюOx та синусоїдоюy = sinx на відрізках: а); б).

Рішення.

а) На відрізку функція sin xзберігає знак, і тому за формулою , вважаючи y= sin x, знаходимо

б) На відрізку , функція sin xзмінює знак. Для коректного розв'язання задачі необхідно відрізок розділити на два і [ π , 2π ], у кожному з яких функція зберігає знак.

За правилом знаків, на відрізку [ π , 2π ] площа береться зі знаком мінус.

У результаті, потрібна площа дорівнює

Визначити об'єм тіла, обмеженого поверхнею, отриманою від обертання еліпсанавколо великої осіa .

Рішення.

Враховуючи, що еліпс симетричний щодо осей координат, достатньо знайти об'єм, утворений обертанням навколо осі Oxплощі OAB, що дорівнює одній чверті площі еліпса, і отриманий результат подвоїти.

Позначимо об'єм тіла обертання через V x; тоді на підставі формули маємо , де 0 і a- абсциси точок Bі A. З рівняння еліпса знаходимо. Звідси

Таким чином, об'єм, що шукається, дорівнює . (При обертанні еліпса навколо малої осі b, обсяг тіла дорівнює )

Знайти площу, обмежену параболамиy 2 = 2 px іx 2 = 2 py .

Рішення.

Спочатку знайдемо координати точок перетину параболу, щоб визначити відрізок інтегрування. Перетворюючи вихідні рівняння, отримуємо і . Прирівнюючи ці значення, отримаємо або x 4 - 8p 3 x = 0.

x 4 - 8p 3 x = x(x 3 - 8p 3) = x(x - 2p)(x 2 + 2px + 4p 2) = 0.

Знаходимо коріння рівнянь:

Враховуючи той факт, що точка Aперетину парабол знаходиться в першій чверті, то межі інтегрування x= 0 і x = 2p.

Шукану площу знаходимо за формулою

Приклад1 . Обчислити площу фігури, обмеженої лініями: х + 2у - 4 = 0, у = 0, х = -3, і х = 2

Виконаємо побудову фігури (див. рис.) Будуємо пряму х + 2у – 4 = 0 за двома точками А(4;0) та В(0;2). Виразивши у через х отримаємо у = -0,5х + 2. За формулою (1), де f(x) = -0,5х + 2, а = -3, в = 2, знаходимо

S = = [-0,25 = 11,25 кв. од

приклад 2. Обчислити площу фігури, обмеженою лініями: х – 2у + 4 = 0, х + у – 5 = 0 та у = 0.

Рішення. Виконаємо побудову фігури.

Побудуємо пряму х - 2у + 4 = 0: у = 0, х = - 4, А (-4; 0); х = 0, у = 2, (0; 2).

Побудуємо пряму х + у - 5 = 0: у = 0, х = 5, С (5; 0), х = 0, у = 5, D (0; 5).

Знайдемо точку перетину прямих, розв'язавши систему рівнянь:

х = 2, у = 3; М(2; 3).

Для обчислення шуканої площі розіб'ємо трикутник АМС на два трикутники АМN і NМС, тому що при зміні х від А до N площа обмежена прямою, а при зміні х від N до С - прямий

Для трикутника АМN маємо: ; у = 0,5 х + 2, тобто f(x) = 0,5 х + 2, a = - 4, b = 2.

Для трикутника NМС маємо: y = – x + 5, тобто f(x) = – x + 5, a = 2, b = 5.

Обчисливши площу кожного з трикутників та склавши результати, знаходимо:

кв. од.

кв. од.

9+4,5 = 13,5 кв. од. Перевірка: = 0,5 АС = 0,5 кв. од.

приклад 3. Обчислити площу фігури, обмеженою лініями: y = x 2 , y = 0, x = 2, x = 3

В даному випадку потрібно обчислити площу криволінійної трапеції, обмеженої параболою y = x 2 , Прямими x = 2 і x = 3і віссю Ох(див. рис.) За формулою (1) знаходимо площу криволінійної трапеції

= = 6кв. од.

приклад 4. Обчислити площу фігури, обмеженою лініями: у = - x 2 + 4 та у = 0

Виконаємо побудову фігури. Шукана площа укладена між параболою у = - x 2 + 4 та віссю Ох.

Знайдемо точки перетину параболи із віссю Ох. Вважаючи у = 0, знайдемо х = Так як ця фігура симетрична щодо осі Оу, то обчислимо площу фігури, розташованої праворуч від осі Оу, і отриманий результат вдвох: = +4x] кв. од. 2 = 2 кв. од.

Приклад 5. Обчислити площу фігури, обмеженою лініями: y 2 = x, yx = 1, x = 4

Тут потрібно обчислити площу криволінійної трапеції, обмеженою верхньою гілкою параболиy 2 = x, віссю Ох і прямими x = 1x = 4 (див. рис.)

За формулою (1), де f(x) = a = 1 та b = 4 маємо = (= кв. од.

Приклад 6 . Обчислити площу фігури, обмеженої лініями: y = sinx, y = 0, x = 0, x = .

Шукана площа обмежена напівхвильової синусоїди та віссю Ох (див. рис.).

Маємо – cosx = – cos = 1 + 1 = 2 кв. од.

Приклад 7. Обчислити площу фігури, обмеженої лініями: y = - 6х, у = 0 та х = 4.

Фігура розташована під віссю Ох (див. мал.).

Отже, її площу знаходимо за формулою (3)

= =

Приклад 8. Обчислити площу фігури, обмеженої лініями: y = і х = 2. Криву y = збудуємо за точками (див. рис.). Таким чином, площу фігури знаходимо за формулою (4)

Приклад 9 .

х 2 + у 2 = r 2 .

Тут потрібно обчислити площу, обмежену колом х 2 + у 2 = r 2 , тобто площа кола радіуса r з центром на початку координат. Знайдемо четверту частину цієї площі, взявши межі інтегрування від 0

доr; маємо: 1 = = [

Отже, 1 =

приклад 10. Обчислити площу фігури, обмеженою лініями: у = х 2 і у = 2х

Дана фігура обмежена параболою у = х 2 і прямий у = 2х (див. рис.) Для визначення точок перетину заданих ліній розв'яжемо систему рівнянь:х 2 - 2х = 0 х = 0 і х = 2

Використовуючи для знаходження площі формулу (5), отримаємо

= }