На даному уроці ми згадаємо всі раніше вивчені методи розкладання многочлена на множники і розглянемо приклади їх застосування, крім того, вивчимо новий метод - метод виділення повного квадрата і навчимося застосовувати його під час вирішення різних завдань.

Тема:Розкладання багаточленів на множники

Урок:Розкладання многочленів на множники. Метод виділення повного квадрата. Комбінація методів

Нагадаємо основні методи розкладання багаточлена на множники, які були вивчені раніше:

Метод винесення загального множника за дужки, тобто такого множника, який є присутнім у всіх членах многочлена. Розглянемо приклад:

Нагадаємо, що одночлен є добутком ступенів і чисел. У прикладі в обох членах є деякі спільні, однакові елементи.

Отже, винесемо спільний множник за дужки:

;

Нагадаємо, що перемноживши винесений множник на дужку можна перевірити правильність винесення.

Метод угруповання. Не завжди в многочлен можна винести загальний множник. У такому разі потрібно його члени розбити на групи таким чином, щоб у кожній групі можна було винести загальний множник і постаратися розбити так, щоб після винесення множників у групах з'явився загальний множник у всього виразу, і можна було б продовжити розкладання. Розглянемо приклад:

Згрупуємо перший член з четвертим, другий з п'ятим, і третій відповідно з шостим:

Винесемо спільні множники у групах:

У виразу з'явився загальний множник. Винесемо його:

Застосування формул скороченого множення. Розглянемо приклад:

;

Розпишемо вираз докладно:

Вочевидь, що маємо формула квадрата різниці, оскільки є сума квадратів двох виразів і з неї віднімається їх подвоєне твір. Згорнемо за формулою:

Сьогодні ми вивчимо ще один спосіб – метод виділення повного квадрата. Він базується на формулах квадрата суми та квадрата різниці. Нагадаємо їх:

Формула квадрата суми (різниці);

Особливість цих формул у тому, що в них є квадрати двох виразів та їх подвоєний твір. Розглянемо приклад:

Розпишемо вираз:

Отже, перший вираз це , а друге .

Для того, щоб скласти формулу квадрата суми чи різниці, не вистачає подвоєного твору виразів. Його потрібно додати і відібрати:

Згорнемо повний квадрат суми:

Перетворимо отриманий вираз:

Застосуємо формулу різниці квадратів, нагадаємо, що різниця квадратів двох виразів є добуток і суми на їх різницю:

Отже, даний метод полягає, перш за все, у тому, що потрібно виявити вирази a та b, які стоять у квадраті, тобто визначити, квадрати яких виразів стоять у даному прикладі. Після цього потрібно перевірити наявність подвоєного твору і якщо його немає, то додати і відібрати його, від цього сенс прикладу не зміниться, але багаточлен можна буде розкласти на множники, використовуючи формули квадрата суми або різниці та різниці квадратів, якщо є така можливість.

Перейдемо до вирішення прикладів.

Приклад 1 – розкласти на множники:

Знайдемо вирази, які стоять у квадраті:

Запишемо, яким має бути їх подвоєний твір:

Додамо та заберемо подвоєний твір:

Згорнемо повний квадрат суми і наведемо такі:

Розпишемо за формулою різниці квадратів:

Приклад 2 - розв'язати рівняння:

;

У лівій частині рівняння стоїть тричлен. Потрібно розкласти його на множники. Використовуємо формулу квадрата різниці:

У нас є квадрат першого виразу і подвоєний твір, не вистачає квадрата другого виразу, додамо і заберемо його:

Згорнемо повний квадрат і наведемо подібні члени:

Застосуємо формулу різниці квадратів:

Отже, маємо рівняння

Ми знаємо, що твір дорівнює нулю тільки якщо хоча б один із множників дорівнює нулю. Складемо на цій підставі рівняння:

Розв'яжемо перше рівняння:

Розв'яжемо друге рівняння:

Відповідь: або

;

Поступаємо аналогічно до попереднього прикладу - виділяємо квадрат різниці.

Вміння робити таку процедуру вкрай необхідно в багатьох темах математики, пов'язаних з квадратним тричленомax 2 + bx + c . Найбільш розповсюджені:

1) Малювання парабол y= ax 2 + bx+ c;

2) Розв'язання багатьох завдань на квадратний тричлен ( квадратні рівняннята нерівності, завдання з параметрами тощо);

3) Робота з деяких функцій, що містять квадратний тричлен, а також робота з кривими другого порядку (для студентів).

Корисна штука, коротше! Претендуєте на п'ятірку? Тоді освоюємо!)

Що означає виділити повний квадрат двочлена у квадратному тричлені?

Це завдання означає, що вихідний квадратний тричлен за допомогою треба перетворити ось до такого виду:

Число aщо зліва, що справа – одне і теж. Коефіцієнт при квадраті ікса. Тому й позначено однією літерою. Помножується праворуч на квадрат дужок. У самих дужках сидить той самий двочлен, про який і йдеться у цій темі. Сума чистого іксу та якогось числа m. Так, прошу звернути увагу саме чистого іксу! Це важливо.

А ось літери mі nсправа – деякі новічисла. Які вже вийдуть внаслідок наших перетворень. Вони можуть вийти позитивними, негативними, цілими, дрібними - всякими! У прикладах нижче самі побачите. Ці числа залежать від коефіцієнтівa, bіc. Для них є спеціальні загальні формули. Досить громіздкі, із дробами. Тому давати їх прямо тут і зараз я не буду. Навіщо вашим світлим головам зайве сміття? Та й нецікаво це. Попрацюємо творчо.)

Що необхідно знати та розуміти?

Насамперед, необхідно знати назубок. Хоча б дві з них – квадрат сумиі квадрат різниці.

Ось ці:

Без цієї парочки формул – нікуди. Не тільки в цьому уроці, а майже в решті математики взагалі. Натяк зрозумілий?)

Але лише механічно завчених формул тут недостатньо. Потрібно ще грамотно вміти застосовувати ці формули. Причому не так прямо, зліва направо, скільки навпаки, справа наліво. Тобто. по вихідному квадратному тричлену вміти розшифровувати квадрат суми/різниці. Це означає, що ви повинні легко, на автоматі, дізнаватися про рівність типу:

x 2 +4 x+4 = (x+2) 2

x 2 -10 x+25 = (x-5) 2

x 2 + x+0,25 = (x+0,5) 2

Без цієї корисної навички – теж ніяк… Отже, якщо з цими простими речами проблеми, то закривайте цю сторінку. Спочатку вам сюди.) Спочатку сходіть по посиланню вище. Вона – для вас!

Ах, ви давно у темі? Чудово! Тоді читаємо далі.)

Отже:

Як виділити повний квадрат двочлена у квадратному тричлені?

Почнемо, зрозуміло, із простого.

Рівень 1. Коефіцієнт при x2 дорівнює 1

Це найпростіша ситуація, яка потребує мінімум додаткових перетворень.

Наприклад, дано квадратний тричлен:

х 2 +4х+6

Зовні вираз дуже схожий на квадрат суми. Ми знаємо, що у квадраті суми сидять чисті квадрати першого і другого виразів ( a 2 і b 2 ), а також подвоєний твір 2 abцих виразів.

Ну, квадрат першого виразу у нас вже присутній у чистому вигляді. Це х 2 . Власне, саме в цьому полягає простота прикладів цього рівня. Потрібно отримати квадрат другого виразу b 2 . Тобто. знайти b. І зачіпкою буде служити вираз з іксом у першому ступені, тобто. 4х. Адже 4хможна уявити у вигляді подвоєного творуікс на двійку. Ось так:

4 x = 2 ́ ·х·2

Значить, якщо 2 ab= 2 ·x·2і a= x, то b=2 . Можна записати:

х 2 +4х+6 = х 2 +2 ́ ·х·2+2 2 ….

Так намхочеться. Але! математикихочеться, щоб від наших дій суть вихідного виразу не змінилася. Так вона вже влаштована. Ми додали до подвійного твору 2 2 , Тим самим змінивши вихідний вираз. Отже, щоб математику не образити, це саме 2 2 треба відразу і відібрати. Ось так:

…= х 2 +2 ́ ·х·2+ 2 2 -2 2 ….

Майже все. Залишається лише додати 6, відповідно до вихідного тричлену. Шістка нікуди не поділася! Пишемо:

= х 2 +2 ́ ·х·2+2 2 - 2 2 +6 = …

Тепер перші три доданки дають чистий (або – повний) квадрат двочлена x+2 . Або (x+2) 2 . Чого ми і добиваємося.) Я навіть не полінуся і дужки поставлю:

… = (х 2 +2 ́ ·х·2+2 2 ) - 2 2 +6 =…

Дужки суті висловлювання не змінюють, зате чітко підказують, що, як і чому. Залишилося згорнути ці три доданки в повний квадрат за формулою, порахувати в числах хвостик, що залишився. -2 2 +6 (це буде 2) і записати:

х 2 +4х+6 = (x+2) 2 +2

Всі. Ми виділиликвадрат дужок (x+2) 2 з вихідного квадратного тричлена х 2 +4х+6. Перетворили його на суму повного квадрата двочлена (x+2) 2 та деякого постійного числа (двійки). А тепер я запишу весь ланцюжок наших перетворень у компактному вигляді. Для наочності.

Ось і вся суть процедури виділення повного квадрата.

До речі, чому тут рівні числа mі n? Так. Кожна з них дорівнює по двійці: m=2, n=2 . Так вийшло в ході виділення.

Інший приклад:

Виділити повний квадрат двочлена:

х 2 -6х+8

І знову перший погляд – на доданок з іксом. Перетворюємо 6х на подвоєний твір ікса та трійки. Перед подвоєним – мінус. Значить, виділяємо квадрат різниці. Додаємо (для отримання повного квадрата) і відразу віднімаємо (для компенсації) трійку в квадраті, тобто. 9. Ну і про вісімку не забуваємо. Отримаємо:

Тут m=-3 і n=-1 . Обидва негативні.

Уловлюєте принцип? Тоді настала черга освоїти і загальний алгоритм. Все те саме, але через літери. Отже, перед нами квадратний тричлен x 2 + bx+ c (a=1) . Що ми робимо:

bx b /2 :

b з.

Ясно? Перші два приклади були дуже прості, з цілими числами. Для знайомства. Гірше, як у процесі перетворень вилазять дроби. Головне тут – не боятися! А щоб не боятися, всяко треба знати дії з дробами, так…) Але тут п'ятірковий рівень, чи не так? Ускладнюємо завдання.

Допустимо заданий такий тричлен:

х 2 +х+1

Як у цьому тричлені організувати квадрат суми? Не питання! Так само. Працюємо за пунктами.

1. Дивимося на доданок з іксом у першому ступені ( bx) і перетворюємо його на подвоєний твір ікса наb /2 .

Наше доданок з ікс є просто ікс. І що? Як нам самотній ікс перетворити на подвоєний твір? Так, дуже просто! Прямо за інструкцією. Ось так:

Число bу вихідному тричлені - одиниця. Стало бути, b/2 виходить дробовим. Одна друга. 1/2. Ну і добре. Не маленькі вже.)

2. До подвоєного твору додаємо і відразу віднімаємо квадрат числа b/2. Додаємо – доповнення до повного квадрата. Забираємо – для компенсації. Наприкінці додаємо вільний член з.

Продовжуємо:

3. Перші три доданки згортаємо у квадрат суми/різниці за відповідною формулою. Вираз, що залишився зовні, акуратно рахуємо в числах.

Перші три доданки відокремлюємо дужками. Можна й не відокремлювати, звісно. Робиться це чисто для зручності та наочності наших перетворень. Тепер добре видно, що у дужках сидить повний квадрат суми (x+1/2) 2 . А все, що залишилося за межами квадрата суми (якщо порахувати) дає +3/4. Фінішна пряма:

Відповідь:

Тут m=1/2 , а n=3/4 . Дробові числа. Буває. Такий тричлен попався ...

Така ось технологія. Розібралися? Чи можна рухати на наступний рівень?)

Рівень 2. Коефіцієнт при x 2 не дорівнює 1 – як бути?

Це більш загальний випадок, порівняно з випадком а=1. Обсяг обчислень, зрозуміло, зростає. Це засмучує, так… Зате загальний хід рішеннязагалом залишається тим самим. Просто до нього додається лише один новий крок. Це радує.)

Поки розглянемо невинний випадок, без будь-яких дробів та іншого підводного каміння. Наприклад:

2 x 2 -4 x+6

У серединці стоїть мінус. Значить, підганятимемо під квадрат різниці. Але коефіцієнт при квадраті ікса – двійка. А простіше працювати з одиночкою. З чистим іксом. Що робити? А винесемо цю двійку за дужки! Щоб не заважала. Маємо право! Отримаємо:

2(x 2 -2 x+3)

Ось так. Тепер тричлен у дужках – вже з чистиміксом у квадраті! Як того вимагає алгоритм рівня 1. І тепер уже можна працювати з цим новим тричленом за старою відпрацьованою схемою. Ось і діємо. Випишемо його окремо і перетворимо:

x 2 -2 x+3 = x 2 -2 ·x·1+1 2 -1 2 +3 = (x 2 -2 ·x·1+1 2 ) -1 2 +3 = (x-1) 2 +2

Півсправи зроблено. Залишилося вставити отриманий вираз усередину дужок, і відкрити їх назад. Вийде:

2(x 2 -2 x+3) = 2((x-1) 2 +2) = 2(x-1) 2 +4

Готово!

Відповідь:

2 x 2 -4 x+6 = 2( x -1) 2 +4

Фіксуємо в голові:

Якщо коефіцієнт при квадраті ікса не дорівнює одиниці, виносимо цей коефіцієнт за дужки. З тричленом, що залишився всередині дужок, працюємо за звичним алгоритмом для a=1. Виділивши в ньому повний квадрат, вставляємо результат на місце, а зовнішні дужки відкриваємо назад.

А якщо коефіцієнти b і с не діляться націло на а? Це – найзагальніший і водночас найгірший випадок. Тоді тільки дроби, так... Нічого не вдієш. Наприклад:

3 x 2 +2 x-5

Все аналогічно, відправляємо трійку за дужки, отримуємо:

На жаль, ні двійка, ні п'ятірка націло на трійку не діляться, тому коефіцієнти нового (наведеного) тричлена – дробові. Та й нічого страшного. Працюємо прямо з дробами: двітретини ікс перетворюємо на подвоєнетвір ікса на однутретину, додаємо квадрат однієї третини (тобто 1/9), забираємо його, забираємо 5/3...

Загалом ви зрозуміли!

Дорішайте, чого вже там. Повинно в результаті вийти:

І ще одні граблі. Багато учнів хвацько розправляються з позитивними цілими і навіть дробовими коефіцієнтами, але зависають на негативних. Наприклад:

- x 2 +2 x-3

Що робити з мінусом передx 2 ? У формулі квадрата суми/різниці всяко плюс потрібне... Не питання! Все теж саме. Виносимо цей мінус за дужки. Тобто. мінус одиницю. Ось так:

- x 2 +2 x-3 = -(x 2 -2 x+3) = (-1) · (x 2 -2 x+3)

І всі справи. А з тричленом у дужках – знову по накатаній колії.

x 2 -2 x+3 = (x 2 -2 x+1) -1+3 = (x-1) 2 +2

Разом, з урахуванням мінусу:

- x 2 +2 x-3 = -((x-1) 2 +2) = -(x-1) 2 -2

От і все. Що? Не знаєте, як виносити мінус за дужки? Ну, це питання до елементарної алгебри сьомого класу, не до квадратних тричленів.

Запам'ятовуємо: робота з негативним коефіцієнтом анічим за своєю суттю не відрізняється від роботи із позитивним. Виносимо негативне аза дужки, а далі – за всіма правилами.

Навіщо треба вміти виділяти повний квадрат?

Корисна річ перша – малюємо параболи швидко та без помилок!

Наприклад, таке завдання:

Побудувати графік функції:y=- x 2 +2 x+3

Що робити будемо? По точках будувати? Звичайно можна. Маленькими кроками довгою дорогою. Досить тупо і нецікаво.

Насамперед нагадую, що при побудові будь-якийпараболи ми завжди висуваємо їй стандартний набір питань. Їх два. А саме:

1) Куди направлені гілки параболи?

2) У якій точці є вершина?

З напрямом гілок усе ясно з вихідного висловлювання. Гілки будуть направлені вниз, бо коефіцієнт передx 2 - Негативний. Мінус один. Мінус перед квадратом ікса завждиперевертає параболу.

А ось із розташуванням вершини все не так очевидно. Є, звичайно, загальна формула обчислення її абсци через коефіцієнти aі b.

Ось ця:

Але далеко не кожен пам'ятає цю формулку, ох не кожен… А 50% тих, хто все ж таки пам'ятає, спотикаються на рівному місці і косячать у банальній арифметиці (зазвичай за підрахунком грека). Прикро, правда?)

Зараз ви навчитеся шукати координати вершини будь-якої параболи в розуміза одну хвилину! І ікс та ігрек. Одним махом і без будь-яких формул. Як? За допомогою виділення повного квадрата!

Отже, виділимо повний квадрат у нашому виразі. Отримаємо:

y=-x 2 +2 x+3 = -(x-1) 2 +4

Хто добре проклятий у загальних відомостяхпро функції та добре освоїв тему " перетворення графіків функцій ", той легко зрозуміє, що наша шукана парабола виходить зі звичайної параболи y= x 2 за допомогою трьох перетворень. Це:

1) Зміна напряму гілок.

Про це говорить знак "мінус" перед квадратом дужок ( а=-1). Було y= x 2 , стало y=- x 2 .

Перетворення: f ( x ) -> - f ( x ) .

2) Паралельне перенесення параболи у=- x 2 за іксом на 1 одиницю ВПРАВО.

Так виходить проміжний графік y=-(x-1 ) 2 .

Перетворення: - f ( x ) -> - f ( x + m ) (m=-1).

Чому усунення вправо, а не вліво, хоча в дужках - мінус? Така теорія перетворень графіків. Це окрема тема.

Ну і нарешті,

3) Паралельне перенесення параболи y=-( x -1) 2 за гріком на 4 одиниці ВВЕРХ.

Так виходить остаточна парабола y=-(x-1) 2 +4 .

Перетворення: - f ( x + m ) -> - f ( x + m )+ n (n=+4)

А тепер дивимося на наш ланцюжок перетворень і розуміємо: куди зміщується вершина параболиy=х 2 ? Була в точці (0; 0), після першого перетворення вершина нікуди не змістилася (парабола просто перекинулася), після другого – з'їхала іксом на +1, а після третього – за гріком на +4. Разом вершина потрапила до крапки (1; 4) . Ось і весь секрет!

Картинка буде наступною:

Власне, саме з цієї причини я з такою наполегливістю загострював вашу увагу на числах mі n, що виходять у процесі виділення повного квадрата. Чи не здогадалися, навіщо? Так. Справа в тому, що точка з координатами (- m ; n ) - це завжди вершина параболи y = a ( x + m ) 2 + n . Просто дивимося на числа в перетвореному тричлен і в розумідаємо правильну відповідь, де знаходиться вершина. Зручно, правда?

Малювання парабол – це перша корисна річ. Переходимо до другої.

Корисна річ друга – розв'язання квадратних рівнянь та нерівностей.

Так Так! Виділення повного квадрата у багатьох випадках виявляється набагато швидше та ефективнішетрадиційних прийомів розв'язання таких завдань. Сумніваєтесь? Будь ласка! Ось вам завдання:

Вирішити нерівність:

x 2 +4 x+5 > 0

Впізнали? Так! Це класичне квадратна нерівність . Усі такі нерівності вирішуються за стандартним алгоритмом. Для цього нам треба:

1) Зробити з нерівності рівняння стандартного виду та вирішити його, знайти коріння.

2) Намалювати вісь Х і відзначити крапками коріння рівняння.

3) Схематично зобразити параболу за вихідним виразом.

4) Визначити області +/- малюнку. Вибрати потрібні області за вихідною нерівністю та записати відповідь.

Власне, весь цей процес і напружує, так…) І, більше того, не завжди рятує від помилок у нестандартних ситуаціях на кшталт цього прикладу. Спробуємо спочатку за шаблоном?

Отже, виконуємо перший пункт. Робимо з нерівності рівняння:

x 2 +4 x+5 = 0

Стандартне квадратне рівняння без фокусів. Вирішуємо! Вважаємо дискримінант:

D = b 2 -4 ac = 4 2 - 4∙1∙5 = -4

Ось раз! А дискримінант негативний! Немає коренів рівняння! І на осі малювати нема чого… Що робити?

Ось тут деякі можуть зробити висновок, що вихідна нерівність теж не має рішень. Це фатальна помилка, так ... Зате за допомогою виділення повного квадрата вірну відповідь до цієї нерівності можна дати за півхвилини! Сумніваєтесь? Що ж, можете засікати час.

Отже, виділяємо повний квадрат у нашому виразі. Отримуємо:

x 2 +4 x+5 = (x+2) 2 +1

Вихідна нерівність стала виглядати так:

(x+2) 2 +1 > 0

А тепер, нічого далі не вирішуючи і не перетворюючи, просто включаємо елементарну логіку і розуміємо: якщо до квадрата якогось виразу (величині свідомо невід'ємною!) додати ще один, то яке число ми в результаті отримаємо?Так! Суворо позитивне!

А тепер дивимося на нерівність:

(x+2) 2 +1 > 0

Перекладаємо запис з математичної мови на російську: за яких ікс суворо позитивневираз буде суворо більшенуля? Чи не здогадалися? Так! За будь-яких!

Ось вам і відповідь: х – будь-яке число.

А зараз повернемося до алгоритму. Все-таки розуміння суті та просте механічне заучування – речі різні.)

Суть алгоритму в тому, що ми з лівої частини стандартної нерівності робимо параболу, і дивимося, де вона вища за осі Х, а де нижче. Тобто. де позитивні значення лівої частини де негативні.

Якщо ми зробимо з нашої лівої частини параболу:

y =x 2 +4 x+5

І намалюємо її графік, то побачимо, що всяпарабола цілком проходить вище за осі Х.Картинка виглядатиме ось так:

Парабола кривувата, так… На те вона схематична. Але при цьому все, що нам треба, на картинці видно. Немає параболи точок перетину з віссю Х, немає нульових значень грека. І негативних значень, звісно, ​​також немає. Що й показано штрихуванням всієї осі Х цілком. До речі, вісь Y та координати вершини я тут зобразив не дарма. Порівняйте координати вершини параболи (-2; 1) і наш перетворений вираз!

y =x 2 +4 x+5 = ( x +2) 2 +1

І як вам? Так! У нашому випадку m=2 і n=1 . Отже, вершина параболи має координати: (- m; n) = (-2; 1) . Все логічно.)

Ще завдання:

Вирішити рівняння:

x 2 +4 x+3 = 0

Простецьке квадратне рівняння. Можна вирішувати по-старому, . Можна через. Як завгодно. Математика не заперечує.)

Отримаємо коріння: x 1 =-3 x 2 =-1

А якщо ні той, ні інший спосіб того... не пам'ятаємо? Що ж, двійка вам світить, по-хорошому, але… Так і бути, врятую! Покажу, як можна вирішувати деякі квадратні рівняння лише методами сьомого класу. Знову виділяємо повний квадрат!)

x 2 +4 x+3 = (x+2) 2 -1

А тепер розписуємо отриманий вираз як… різницю квадратів!Так-так, є така у сьомому класі:

a 2 -b 2 = (a-b)(a+b)

В ролі авиступають дужки(x+2) , а в ролі b- Одиниця. Отримуємо:

(x+2) 2 -1 = (x+2) 2 -1 2 = ((x+2)-1)((x+2)+1) = (x+1)(x+3)

Вставляємо це розкладання в рівняння замість квадратного тричлена:

(x+1)(x+3)=0

Залишилося зрозуміти, що добуток множників дорівнює нулю тоді і лише тоді,коли якийсь із них дорівнює нулю. Ось і прирівнюємо (в умі!) на нуль кожну дужку.

Отримаємо: x 1 =-3 x 2 =-1

От і все. Ті самі два корені. Такий ось майстерний приймач. (доповнення до дискримінанта.)

До речі, про дискримінанта та про загальною формулоюкоріння квадратного рівняння:

В уроці за мною був опущений висновок цієї громіздкої формули. Через непотрібність. Зате тут йому саме місце.) Чи не хочете дізнатися, як виходить ця формула? Звідки взагалі береться вираз для дискримінанта і чому самеb 2 -4ac, а чи не якось інакше? Все-таки повне розуміння суті того, що відбувається куди корисніше бездумної писанини всяких літер і символів, правда?)

Корисна річ третя – висновок формули коріння квадратного рівняння.

Ну що, поїхали! Беремо квадратний тричлен у загальному вигляді ax 2 + bx+ cі... починаємо виділяти повний квадрат!Так, прямо через літери!Була арифметика, стала – алгебра.) Спочатку, як завжди, виносимо букву aза дужки, а всі інші коефіцієнти ділимо на a:

Ось так. Це цілком законне перетворення: а не одно нулюі ділити на неї можна. А зі дужками знову працюємо за звичайним алгоритмом: із доданку з іксом робимо подвоєний твір, додаємо/віднімаємо квадрат другого числа.

Все те саме, але з літерами.) Спробуйте доробити самі! Корисно!)

Після всіх перетворень у вас має вийти ось що:

І навіщо нам з нешкідливого тричлена споруджувати такі нагромадження – запитаєте ви? Нічого зараз цікаво буде! А тепер, зрозуміло, прирівнюємо цю штуку до нуля:

Вирішуємо як звичайне рівняння, працюємо за всіма правилами, тільки з літерами. Робимо елементарні:

1) Великий дріб переносимо праворуч.При перенесенні плюс міняємо на мінус. Щоб не малювати мінус перед самим дробом, я просто поміняю всі знаки у чисельнику. Ліворуч у чисельнику було4ac-b 2 , а після перенесення стане -( 4ac-b 2 ) , тобто. b 2 -4 ac. Щось знайоме, не знаходите? Так! Дискримінант, він самий...) Буде ось так:

2) Очищаємо квадрат дужок від коефіцієнта.Ділимо обидві частини на " а". Ліворуч, перед дужками, буква азникає, а праворуч іде у знаменник великого дробу, перетворюючи його на 4 a 2 .

Виходить така рівність:

У вас не так сталося? Тоді тема " " - вам. Терміново туди!

Наступним кроком вилучаємо корінь. А нас ікс цікавить, правда? А ікс під квадратом сидить... Виймаємо за правилами вилучення коріння, зрозуміло. Після вилучення вийде ось це:

Зліва квадрат суми зникаєі залишається просто ця сума. Що й потрібно.) А ось справа з'являється плюс мінус. Бо наш великий дріб, незважаючи на його жахливий вигляд, це просто якесь число. Дробове число. Залежне від коефіцієнтів a, b, c. При цьому корінь із чисельника цього дробу красиво не витягується, там різниця двох виразів. А ось корінь із знаменника 4 a 2 цілком собі витягується! Вийде просто 2 a.

"Хитре" питання на засипку: чи мав я право, витягуючи корінь з виразу 4 a2 , давати відповідь просто 2а?Адже правило вилучення кореня із квадрата зобов'язує ставити символ модуля, тобто.2|a| !

Подумайте, чому знак модуля я таки опустив. Дуже корисно. Підказка: відповідь криється у знаку плюс мінусперед дробом.)

Залишилися дрібниці. Забезпечуємо ліворуч чистий ікс. Для цього маленький дріб переносимо праворуч. Зі зміною знаку, ясний перець. Нагадую, що знак у дробі можна змінювати будь-де і як завгодно. Хочемо перед дробом поміняємо, хочемо в знаменнику, хочемо в чисельнику. Я поміняю знак у чисельнику. Було + b, стало – b. Сподіваюся, заперечень немає?) Після перенесення стане так:

Складаємо два дроби з однаковими знаменниками і отримуємо (нарешті!):

Ну? Що тут сказати? Вау!)

Корисна річ четверта – студентам на замітку!

А тепер плавно перемістимося зі школи до ВНЗ. Ви не повірите, але виділення повного квадрата у вищій математиці теж потрібне!

Наприклад, таке завдання:

Знайти невизначений інтеграл:

З чого починати? Пряме застосування не котить. Тільки виділення повного квадрата і рятує, так…)

Хто не вміє виділяти повний квадрат, той назавжди зависне на цьому простому прикладі. А хто вміє, той виділяє та отримує:

x 2 +4 x+8 = (x+2) 2 +4

І тепер інтеграл (для обізнаних) береться однією лівою!

Здорово, правда? І це не лише інтеграли! Я мовчу про аналітичну геометрію, з її кривими другого порядку – еліпсом, гіперболою, параболою та колом.

Наприклад:

Визначити тип кривої, заданою рівнянням:

x 2 + y 2 -6 x-8 y+16 = 0

Без уміння виділяти повний квадрат завдання не вирішити, так… А приклад простіше нікуди! Для тих, хто у темі, зрозуміло.

Групуємо в купки члени з іксом і з греком і виділяємо повні квадрати з кожної змінної. Вийде:

(x 2 -6x) + (y 2 -8 y) = -16

(x 2 -6x+9)-9+ (y 2 -8 y+16)-16 = -16

(x-3) 2 + (y-4) 2 = 9

(x-3) 2 + (y-4) 2 = 3 2

Ну і як? Дізналися, що за звір?) Ну, звісно! Окружність радіусу трійка з центром у точці (3; 4).

І всі справи.) Корисна штука – виділення повного квадрата!

Як я вже зазначав, в інтегральному обчисленні немає зручної формули для інтегрування дробу. І тому спостерігається сумна тенденція: чим «навороченіший» дріб, тим важче знайти від нього інтеграл. У зв'язку з цим доводиться вдаватися до різних хитрощів, про які я зараз і розповім. Підготовлені читачі можуть одразу скористатися змістом:

• Метод підведення під знак диференціалу для найпростіших дробів

Метод штучного перетворення чисельника

Приклад 1

До речі, розглянутий інтеграл можна вирішити і шляхом заміни змінної, позначаючи , але запис рішення вийде значно довшим.

Приклад 2

Знайти невизначений інтеграл. Виконати перевірку.

Це приклад самостійного рішення. Слід зазначити, що тут метод заміни змінної не пройде.

Увага, важливо! Приклади №№1,2 є типовими та зустрічаються часто. У тому числі подібні інтеграли нерідко виникають у ході вирішення інших інтегралів, зокрема при інтегруванні ірраціональних функцій (коренів).

Розглянутий прийом працює і у випадку, якщо старший ступінь чисельника, більший за старший ступінь знаменника.

Приклад 3

Знайти невизначений інтеграл. Виконати перевірку.

Починаємо підбирати чисельник.

Алгоритм підбору чисельника приблизно такий:

1) У чисельнику мені потрібно організувати, але там. Що робити? Покладаю в дужки і множу на : .

2) Тепер намагаюся розкрити ці дужки, що вийде? . Хмм ... вже краще, але ніякої двійки при спочатку в чисельнику немає. Що робити? Потрібно домножити на:

3) Знову розкриваю дужки: . А ось і перший успіх! Потрібний вийшов! Але проблема в тому, що з'явився зайвий доданок. Що робити? Щоб вираз не змінилося, я зобов'язаний додати до своєї конструкції те саме:
. Жити полегшало. А чи не можна ще раз у чисельнику організувати?

4) Можна. Пробуємо: . Розкриваємо дужки другого доданку:
. Вибачте, але в мене взагалі було на попередньому кроці, а не. Що робити? Потрібно домножити другий доданок на:

5) Знову для перевірки розкриваю дужки у другому доданку:
. Ось тепер нормально: отримано із остаточної конструкції пункту 3! Але знову є маленьке «але», з'явилося зайве доданок, отже, я повинен додати до свого виразу:

Якщо все виконано правильно, то при розкритті всіх дужок у нас має вийти вихідний чисельник підінтегральної функції. Перевіряємо:
Гуд.

Таким чином:

Готово. В останньому доданку я застосував метод підведення функції під диференціал.

Якщо знайти похідну від відповіді та привести вираз до спільного знаменника, то в нас вийде точно вихідна підінтегральна функція . Розглянутий метод розкладання на суму – не що інше, як зворотне дію до приведення висловлювання до спільного знаменника.

Алгоритм підбору чисельника в подібних прикладах краще виконувати на чернетці. За деяких навичок виходитиме і подумки. Пригадую рекордний випадок, коли я виконував підбір для 11-го ступеня, і розкладання чисельника зайняло майже два рядки Верда.

Приклад 4

Знайти невизначений інтеграл. Виконати перевірку.

Це приклад самостійного рішення.

Метод підведення під знак диференціалу для найпростіших дробів

Переходимо до розгляду такого типу дробів.
, , , (коефіцієнти і не дорівнюють нулю).

Насправді пара випадків з арксинусом та арктангенсом вже прослизала на уроці Метод заміни змінної у невизначеному інтегралі. Вирішуються такі приклади способом підведення функції під знак диференціала та подальшим інтегруванням за допомогою таблиці. Ось ще типові приклади з довгим та високим логарифмом:

Приклад 5

Приклад 6

Тут доцільно взяти до рук таблицю інтегралів і простежити, за якими формулами якздійснюється перетворення. Зверніть увагу, як і навіщовиділяються квадрати у даних прикладах. Зокрема, у прикладі 6 спочатку необхідно подати знаменник у вигляді потім підвести під знак диференціалу. А зробити це все потрібно для того, щоб скористатися стандартною табличною формулою .

Та що дивитися, спробуйте самостійно вирішити приклади №№7,8, тим паче вони досить короткі:

Приклад 7

Приклад 8

Знайти невизначений інтеграл:

Якщо Вам вдасться виконати ще й перевірку даних прикладів, великий респект – Ваші навички диференціювання на висоті.

Метод виділення повного квадрата

Інтеграли виду, (Коефіцієнти і не дорівнюють нулю) вирішуються методом виділення повного квадрата, який вже фігурував на уроці Геометричні перетворення графіків.

Насправді такі інтеграли зводяться до одного з чотирьох табличних інтегралів, які ми щойно розглянули. А досягається це за допомогою знайомих формул скороченого множення:

Формули застосовуються саме в такому напрямку, тобто, ідея методу полягає в тому, щоб у знаменнику штучно організувати вирази або , а потім перетворити їх відповідно на або .

Приклад 9

Знайти невизначений інтеграл

Це найпростіший приклад, в якому при доданку – одиничний коефіцієнт(а не якесь число чи мінус).

Дивимося на знаменник, тут вся справа явно зведеться. Починаємо перетворення знаменника:

Очевидно, що потрібно додавати 4. І щоб вираз не змінилося – цю ж четвірку і віднімати:

Тепер можна застосувати формулу:

Після того, як перетворення закінчено ЗАВЖДИбажано виконати зворотний хід: все нормально, помилок немає.

Чистове оформлення прикладу, що розглядається, має виглядати приблизно так:

Готово. Підведенням «халявної» складної функції під знак диференціала: в принципі можна було знехтувати

Приклад 10

Знайти невизначений інтеграл:

Це приклад для самостійного рішення, відповідь наприкінці уроку

Приклад 11

Знайти невизначений інтеграл:

Що робити, коли перед знаходиться мінус? У цьому випадку, необхідно винести мінус за дужки і розмістити доданки в необхідному нам порядку: . Константу(«двійку» в даному випадку) не чіпаємо!

Тепер у дужках додаємо одиначку. Аналізуючи вираз, приходимо до висновку, що і за дужкою потрібно один - додати:

Тут вийшла формула, застосовуємо:

ЗАВЖДИвиконуємо на чернетці перевірку:
, Що і потрібно перевірити.

Чистове оформлення прикладу виглядає приблизно так:

Ускладнюємо завдання

Приклад 12

Знайти невизначений інтеграл:

Тут при доданку вже не одиничний коефіцієнт, а «п'ятірка».

(1) Якщо знаходиться константа, то її відразу виносимо за дужки.

(2) І взагалі цю константу завжди краще винести за межі інтеграла, щоб вона не заважала під ногами.

(3) Очевидно, що все зведеться до формули . Треба розібратися в доданку, а саме, отримати «двійку»

(4) Ага, . Значить, до виразу додаємо, і цей же дріб віднімаємо.

(5) Тепер виділяємо повний квадрат. У загальному випадку також треба вирахувати, але тут у нас вимальовується формула довгого логарифму. , і дію виконувати немає сенсу, чому – стане ясно трохи нижче.

(6) Власне, можна застосувати формулу , Тільки замість «ікс» у нас, що не скасовує справедливість табличного інтеграла. Строго кажучи, пропущено один крок - перед інтегруванням функцію слід підвести під знак диференціала: Але, як я вже неодноразово наголошував, цим часто нехтують.

(7) У відповіді під коренем бажано розкрити всі дужки назад:

Важко? Це ще найскладніше в інтегральному обчисленні. Хоча приклади, що розглядаються, не так складні, скільки вимагають хорошої техніки обчислень.

Приклад 13

Знайти невизначений інтеграл:

Це приклад самостійного рішення. Відповідь наприкінці уроку.

Існують інтеграли з корінням у знаменнику, які за допомогою заміни зводяться до інтегралів розглянутого типу, про них можна прочитати у статті Складні інтегралиале вона розрахована на дуже підготовлених студентів.

Підведення чисельника під знак диференціалу

Це заключна частина уроку, проте інтеграли такого типу зустрічаються досить часто! Якщо накопичилася втома, може, воно краще завтра почитати? ;)

Інтеграли, які ми розглядатимемо, схожі на інтеграли попереднього параграфа, вони мають вигляд: або (Коефіцієнти , і не дорівнюють нулю).

Тобто, у чисельнику у нас з'явилася лінійна функція. Як вирішувати такі інтеграли?

Визначення

Вирази виду 2 x 2 + 3 x + 5 носять назву квадратного тричлена. У загальному випадку квадратним тричленом називають вираз виду a x 2 + b x + c, де a, b, c a, b, c - довільні числа, причому a ≠ 0 .

Розглянемо квадратний тричлен x 2 - 4 x + 5 . Запишемо його в такому вигляді: x 2 – 2 · 2 · x + 5 . Додамо до цього виразу 2 2 і віднімемо 2 2 одержуємо: x 2 - 2 · 2 · x + 2 2 - 2 2 + 5 . Зауважимо, що x 2 - 2 · 2 · x + 2 2 = (x - 2) 2 тому x 2 - 4 x + 5 = (x - 2) 2 - 4 + 5 = (x - 2) 2 + 1 . Перетворення, яке ми зробили, має назву "Виділення повного квадрата з квадратного тричлену".

Виділіть повний квадрат із квадратного тричлена 9 x 2 + 3 x + 1 .

Зауважимо, що 9 x 2 = (3 x) 2 , `3x=2*1/2*3x`. Тоді `9x^2+3x+1=(3x)^2+2*1/2*3x+1`. Додамо і віднімемо до отриманого виразу `(1/2)^2`, отримуємо

`((3x)^2+2*1/2*3x+(1/2)^2)+1-(1/2)^2=(3x+1/2)^2+3/4`.

Покажемо, як застосовується метод виділення повного квадрата із квадратного тричлена для розкладання квадратного тричлена на множники.

Розкладіть на множники квадратний тричлен 4 x 2 - 12 x + 5 .

Виділяємо повний квадрат із квадратного тричлену: 2 x 2 - 2 · 2 x · 3 + 3 2 - 3 2 + 5 = 2 x - 3 2 - 4 = (2 x - 3) 2 - 2 2 . Тепер застосовуємо формулу a 2 - b 2 = (a - b) (a + b), отримуємо: (2 x - 3 - 2) (2 x - 3 + 2) = (2 x - 5) (2 x - 1 ).

Розкладіть на множники квадратний тричлен - 9 x 2 + 12 x + 5 .

9 x 2 + 12 x + 5 = - 9 x 2 - 12 x + 5. Тепер помічаємо, що 9 x 2 = 3 x 2 -12 x = - 2 · 3 x · 2 .

Додаємо до виразу 9 x 2 - 12 x доданок 2 2 отримуємо:

3 x 2 - 2 · 3 x · 2 + 2 2 - 2 2 + 5 = - 3 x - 2 2 - 4 + 5 = 3 x - 2 2 + 4 + 5 = - 3 x - 2 2 + 9 = 3 2 - 3 x - 2 2 .

Застосовуємо формулу для різниці квадратів, маємо:

9 x 2 + 12 x + 5 = 3 - 3 x - 2 3 + (3 x - 2) = (5 - 3 x) (3 x + 1).

Розкладіть на множники квадратний тричлен 3 x 2-14 x-5.

Ми не можемо уявити вираз 3 x 2 як квадрат якогось виразу, тому що ще не вивчали цього у школі. Це проходитимете пізніше, і вже в Завданні №4 вивчатимемо квадратне коріння. Покажемо, як можна розкласти на множники заданий квадратний тричлен:

`3x^2-14x-5=3(x^2-14/3 x-5/3)=3(x^2-2*7/3 x+(7/3)^2-(7/3) ^2-5/3)=`

`=3((x-7/3)^2-49/9-5/3)=3((x-7/3)^2-64/9)=3((x-7/3)^ 2-8/3) ^ 2) = `

`=3(x-7/3-8/3)(x-7/3+8/3)=3(x-5)(x+1/3)=(x-5)(3x+1) `.

Покажемо, як застосовується метод виділення повного квадрата знаходження найбільшого чи найменшого значень квадратного тричлена.
Розглянемо квадратний тричлен x 2 - x + 3. Виділяємо повний квадрат:

`(x)^2-2*x*1/2+(1/2)^2-(1/2)^2+3=(x-1/2)^2+11/4`. Зауважимо, що при `x=1/2` значення квадратного тричлена дорівнює `11/4`, а при `x!=1/2` до значення `11/4` додається додатне числотому отримуємо число, більше `11/4`. Таким чином, найменше значенняквадратного тричлена дорівнює `11/4` і воно виходить при `x=1/2`.

Знайдіть найбільше значення квадратного тричлена - 16 2 + 8 x + 6 .

Виділяємо повний квадрат із квадратного тричлена: - 16 x 2 + 8 x + 6 = - 4 x 2 - 2 · 4 x · 1 + 1 - 1 + 6 = - 4 x - 1 2 - 1 + 6 = - 4 x - 1 2 + 7 .

При `x=1/4` значення квадратного тричлену дорівнює 7, а при `x!=1/4` з числа 7 віднімається позитивне число, тобто отримуємо число менше 7 . Таким чином, число 7 є найбільшим значеннямквадратного тричлена, і воно виходить при x=1/4.

Розкладіть на множники чисельник та знаменник дробу `(x^2+2x-15)/(x^2-6x+9)` і скоротите цей дріб.

Зауважимо, що знаменник дробу x 2 – 6 x + 9 = x – 3 2 . Розкладемо чисельник дробу на множники, застосовуючи метод виділення повного квадрата з квадратного тричлена. x 2 + 2 x - 15 = x 2 + 2 · x · 1 + 1 - 1 - 15 = x + 1 2 - 16 = x + 1 2 - 4 2 = = (x + 1 + 4) (x + 1 - 4) = (x + 5) (x - 3).

Цей дріб привели до вигляду `((x+5)(x-3))/(x-3)^2` після скорочення на (x - 3) отримуємо `(x+5)/(x-3)`.

Розкладіть многочлен x 4 – 13 x 2 + 36 на множники.

Застосуємо до цього многочлен метод виділення повного квадрата. `x^4-13x^2+36=(x^2)^2-2*x^2*13/2+(13/2)^2-(13/2)^2+36=(x^ 2-13/2)^2-169/4+36=(x^2-13/2)^2-25/4=`