Povedzme, že Achilles beží desaťkrát rýchlejšie ako korytnačka a je za ňou tisíc krokov. Počas doby, počas ktorej Achilles prebehne túto vzdialenosť, sa korytnačka plazí sto krokov rovnakým smerom. Keď Achilles prebehne sto krokov, korytnačka sa plazí ďalších desať krokov atď. Proces bude pokračovať donekonečna, Achilles korytnačku nikdy nedohoní.
Táto úvaha sa stala logickým šokom pre všetky nasledujúce generácie. Aristoteles, Diogenes, Kant, Hegel, Gilbert... Všetci tak či onak považovali Zenónove apórie. Šok bol taký silný, že " ... diskusie pokračujú aj v súčasnosti, vo vedeckej komunite sa zatiaľ nepodarilo dospieť k jednotnému názoru na podstatu paradoxov ... do skúmania problematiky bola zapojená matematická analýza, teória množín, nové fyzikálne a filozofické prístupy ; žiadna z nich sa nestala všeobecne akceptovaným riešením problému ..."[Wikipedia," Zeno's Aporias "]. Každý chápe, že je oklamaný, ale nikto nechápe, čo je to podvod.
Z pohľadu matematiky Zenón vo svojich apóriách jasne demonštroval prechod od hodnoty k. Tento prechod znamená použitie namiesto konštánt. Pokiaľ som pochopil, matematický aparát na aplikáciu premenných jednotiek merania buď ešte nebol vyvinutý, alebo nebol aplikovaný na Zenónove apórie. Aplikácia našej bežnej logiky nás vedie do pasce. My zotrvačnosťou myslenia aplikujeme konštantné jednotky času na recipročné. Z fyzikálneho hľadiska to vyzerá ako spomalenie času, až sa úplne zastaví v momente, keď Achilles dobehne korytnačku. Ak sa čas zastaví, Achilles už nemôže predbehnúť korytnačku.
Ak otočíme logiku, na ktorú sme zvyknutí, všetko zapadne na svoje miesto. Achilles beží konštantnou rýchlosťou. Každý nasledujúci segment jeho cesty je desaťkrát kratší ako predchádzajúci. Čas strávený na jeho prekonanie je teda desaťkrát kratší ako ten predchádzajúci. Ak v tejto situácii použijeme pojem „nekonečno“, potom by bolo správne povedať „Achilles nekonečne rýchlo predbehne korytnačku“.
Ako sa vyhnúť tejto logickej pasci? Zostaňte v konštantných jednotkách času a neprechádzajte na recipročné hodnoty. V Zenónovom jazyku to vyzerá takto:
Za čas, ktorý Achilles potrebuje prejsť tisíc krokov, sa korytnačka plazí sto krokov rovnakým smerom. Pre nasledujúci časový interval, rovná prvému Achilles prebehne ďalších tisíc krokov a korytnačka prejde sto krokov. Teraz je Achilles osemsto krokov pred korytnačkou.
Tento prístup adekvátne popisuje realitu bez akýchkoľvek logických paradoxov. Ale nie je úplné riešenie Problémy. Einsteinov výrok o neprekonateľnosti rýchlosti svetla je veľmi podobný Zenónovej apórii „Achilles a korytnačka“. Tento problém musíme ešte študovať, prehodnotiť a vyriešiť. A riešenie treba hľadať nie v nekonečne veľkých číslach, ale v merných jednotkách.
Ďalšia zaujímavá aporia Zeno hovorí o lietajúcom šípe:
Letiaci šíp je nehybný, pretože v každom okamihu je v pokoji, a keďže je v každom okamihu v pokoji, je vždy v pokoji.
V tejto apórii je logický paradox prekonaný veľmi jednoducho - stačí objasniť, že letiaci šíp je v každom okamihu v pokoji v rôznych bodoch priestoru, čo je v skutočnosti pohyb. Tu je potrebné poznamenať ešte jeden bod. Z jednej fotografie auta na ceste nie je možné určiť ani skutočnosť jeho pohybu, ani vzdialenosť k nemu. Na určenie skutočnosti pohybu auta sú potrebné dve fotografie nasnímané z toho istého bodu v rôznych časových bodoch, ale nemožno ich použiť na určenie vzdialenosti. Na určenie vzdialenosti od auta potrebujete dve fotografie nasnímané z rôznych bodov v priestore súčasne, ale nemôžete z nich určiť skutočnosť pohybu (samozrejme, stále potrebujete ďalšie údaje na výpočty, pomôže vám trigonometria) . Chcem poukázať najmä na to, že dva body v čase a dva body v priestore sú dve rôzne veci, ktoré by sa nemali zamieňať, pretože poskytujú rôzne príležitosti na prieskum.
Streda 4. júla 2018
Veľmi dobre sú rozdiely medzi množinou a multimnožinou opísané vo Wikipédii. Pozeráme sa.
Ako vidíte, „súprava nemôže mať dva rovnaké prvky“, ale ak sú v súprave rovnaké prvky, takáto súprava sa nazýva „multiset“. Rozumné bytosti nikdy nepochopia takúto logiku absurdity. Toto je úroveň hovoriacich papagájov a cvičených opíc, v ktorých myseľ chýba pri slove „úplne“. Matematici fungujú ako obyčajní školitelia, ktorí nám kážu svoje absurdné myšlienky.
Kedysi boli inžinieri, ktorí most stavali, počas skúšok mosta v člne pod mostom. Ak sa most zrútil, priemerný inžinier zomrel pod troskami svojho výtvoru. Ak most vydržal zaťaženie, talentovaný inžinier postavil ďalšie mosty.
Bez ohľadu na to, ako sa matematici skrývajú za frázu „pozor, som v dome“, alebo skôr „študuje matematiku abstraktné pojmy", existuje jedna pupočná šnúra, ktorá je neoddeliteľne spojená s realitou. Táto pupočná šnúra sú peniaze. Použiteľné matematická teória sady pre samotných matematikov.
Učili sme sa veľmi dobre matematiku a teraz sedíme v pokladni a platíme mzdy. Tu si k nám príde matematik pre svoje peniaze. Spočítame mu celú sumu a rozložíme ju na stôl na rôzne kôpky, do ktorých vložíme bankovky rovnakej nominálnej hodnoty. Potom z každej kôpky vezmeme jednu bankovku a dáme matematikovi jeho „matematický platový set“. Vysvetlíme matematiku, že zvyšok účtov dostane, až keď preukáže, že množina bez rovnakých prvkov sa nerovná množine s rovnakými prvkami. Tu začína zábava.
V prvom rade zafunguje poslanecká logika: "na ostatných to môžeš aplikovať, ale na mňa nie!" Ďalej sa začnú ubezpečovať, že na bankovkách rovnakej nominálnej hodnoty sú rôzne čísla bankoviek, čo znamená, že ich nemožno považovať za identické prvky. No plat počítame v minciach – na minciach nie sú čísla. Tu si matematik začne kŕčovito pripomínať fyziku: na rôznych minciach je iná sumašpina, kryštálová štruktúra a atómové usporiadanie každej mince je jedinečné...
A teraz mám najzaujímavejšiu otázku: kde je hranica, za ktorou sa prvky multimnožiny menia na prvky množiny a naopak? Takáto línia neexistuje - o všetkom rozhodujú šamani, veda tu nie je ani zďaleka.
Pozri sa sem. Vyberáme futbalové štadióny s rovnakou rozlohou ihriska. Plocha polí je rovnaká, čo znamená, že máme multiset. Ale ak vezmeme do úvahy názvy rovnakých štadiónov, dostaneme veľa, pretože názvy sú rôzne. Ako vidíte, tá istá množina prvkov je zároveň množinou aj multimnožinou. Ako správne? A tu matematik-šaman-šuller vytiahne z rukáva tromfové eso a začne nám rozprávať buď o sade, alebo o multisete. V každom prípade nás presvedčí, že má pravdu.
Aby sme pochopili, ako moderní šamani pracujú s teóriou množín a spájajú ju s realitou, stačí odpovedať na jednu otázku: ako sa líšia prvky jednej množiny od prvkov inej množiny? Ukážem vám to bez akéhokoľvek „nemysliteľného ako jeden celok“ alebo „nemysliteľného ako jeden celok“.
Nedeľa 18. marca 2018
Súčet číslic čísla je tanec šamanov s tamburínou, ktorý nemá nič spoločné s matematikou. Áno, na hodinách matematiky nás učia nájsť súčet číslic čísla a použiť ho, ale na to sú šamani, aby naučili svojich potomkov ich zručnosti a múdrosti, inak šamani jednoducho vymrú.
Potrebujete dôkaz? Otvorte Wikipédiu a skúste nájsť stránku „Súčet číslic čísla“. Ona neexistuje. V matematike neexistuje vzorec, pomocou ktorého by ste našli súčet číslic akéhokoľvek čísla. Čísla sú predsa grafické symboly, ktorými čísla píšeme a v reči matematiky znie úloha takto: „Nájdi súčet grafických symbolov reprezentujúcich ľubovoľné číslo.“ Matematici tento problém vyriešiť nedokážu, ale šamani to elementárne dokážu.
Poďme zistiť, čo a ako robíme, aby sme našli súčet číslic dané číslo. Povedzme, že máme číslo 12345. Čo je potrebné urobiť, aby sme našli súčet číslic tohto čísla? Zvážme všetky kroky v poradí.
1. Zapíšte si číslo na kúsok papiera. čo sme urobili? Číslo sme previedli na číselný grafický symbol. Toto nie je matematická operácia.
2. Jeden prijatý obrázok rozstriháme na niekoľko obrázkov obsahujúcich samostatné čísla. Vystrihnutie obrázka nie je matematická operácia.
3. Preveďte jednotlivé grafické znaky na čísla. Toto nie je matematická operácia.
4. Výsledné čísla spočítajte. Teraz je to matematika.
Súčet číslic čísla 12345 je 15. Ide o „kurzy strihania a šitia“ od šamanov, ktoré používajú matematici. Ale to nie je všetko.
Z hľadiska matematiky je jedno, v akej číselnej sústave číslo zapíšeme. Takže v rôznych systémov pri výpočte bude súčet číslic toho istého čísla rôzny. V matematike sa číselný systém uvádza ako dolný index napravo od čísla. OD Vysoké číslo 12345 Nechcem si klamať hlavu, zvážte číslo 26 z článku o. Zapíšme toto číslo v dvojkovej, osmičkovej, desiatkovej a šestnástkovej sústave. Nebudeme zvažovať každý krok pod mikroskopom, to sme už urobili. Pozrime sa na výsledok.
Ako vidíte, v rôznych číselných sústavách je súčet číslic toho istého čísla odlišný. Tento výsledok nemá nič spoločné s matematikou. Je to rovnaké, ako keby ste pri určovaní plochy obdĺžnika v metroch a centimetroch dostali úplne iné výsledky.
Nula vo všetkých číselných sústavách vyzerá rovnako a nemá žiadny súčet číslic. Toto je ďalší argument v prospech skutočnosti, že . Otázka pre matematikov: ako sa v matematike označuje to, čo nie je číslo? Čo pre matematikov neexistuje nič iné ako čísla? Pre šamanov to môžem dovoliť, ale pre vedcov nie. Realita nie je len o číslach.
Získaný výsledok by sa mal považovať za dôkaz, že číselné sústavy sú jednotkami merania čísel. Nemôžeme predsa porovnávať čísla s rôznymi jednotkami merania. Ak rovnaké akcie s rôznymi jednotkami merania rovnakej veličiny vedú po ich porovnaní k rôznym výsledkom, potom to nemá nič spoločné s matematikou.
Čo je skutočná matematika? Je to vtedy, keď výsledok matematickej akcie nezávisí od hodnoty čísla, použitej mernej jednotky a od toho, kto túto akciu vykoná.
Ou! Nie je to dámska toaleta?
- Mladá žena! Toto je laboratórium na štúdium neurčitej svätosti duší pri vzostupe do neba! Nimbus navrchu a šípka hore. Aký iný záchod?
Žena... Svätožiara navrchu a šípka dole je muž.
Ak sa vám takéto umelecké dielo mihne pred očami niekoľkokrát za deň,
Potom nie je prekvapujúce, že zrazu nájdete vo svojom aute zvláštnu ikonu:
Osobne sa na sebe snažím vidieť u kakajúceho človeka mínus štyri stupne (jeden obrázok) (zloženie viacerých obrázkov: znamienko mínus, číslo štyri, označenie stupňov). A nemyslím si, že to dievča je hlúpe, to nie kto pozná fyziku. Má len oblúkový stereotyp vnímania grafických obrazov. A matematici nás to neustále učia. Tu je príklad.
1A nie je "mínus štyri stupne" alebo "jeden a". Toto je „kakajúci muž“ alebo číslo „dvadsaťšesť“ v hexadecimálnej číselnej sústave. Tí ľudia, ktorí neustále pracujú v tomto číselnom systéme, automaticky vnímajú číslo a písmeno ako jeden grafický symbol.
Študenti sa často rozhorčene pýtajú: „Ako mi to bude užitočné v živote?“. Na akúkoľvek tému každého predmetu. Výnimkou nie je ani téma o objeme rovnobežnostena. A tu je len možné povedať: "To sa bude hodiť."
Ako napríklad zistiť, či sa balík zmestí do schránky? Samozrejme, môžete si vybrať ten správny metódou pokus-omyl. Čo ak takáto možnosť neexistuje? Potom na záchranu prídu výpočty. Keď poznáte kapacitu škatule, môžete vypočítať objem zásielky (aspoň približne) a odpovedať na otázku.
Rovnobežník a jeho typy
Ak doslovne preložíme jeho názov zo starovekej gréčtiny, ukáže sa, že ide o postavu pozostávajúcu z rovnobežných rovín. Existujú také ekvivalentné definície rovnobežnostena:
- hranol so základňou vo forme rovnobežníka;
- mnohosten, ktorého každá plocha je rovnobežník.
Jeho typy sa rozlišujú podľa toho, ktorá postava leží na jej základni a ako sú nasmerované bočné rebrá. Vo všeobecnosti sa hovorí o šikmý rovnobežnosten ktorého základňa a všetky steny sú rovnobežníky. Ak sa bočné strany predchádzajúceho pohľadu stanú obdĺžnikmi, bude potrebné to už zavolať priamy. A pri pravouhlý a základňa má tiež 90º uhly.
Okrem toho sa v geometrii snažia zobraziť ten druhý takým spôsobom, že je zrejmé, že všetky hrany sú rovnobežné. Tu je mimochodom pozorovaný hlavný rozdiel medzi matematikmi a umelcami. Je dôležité, aby telo prenášalo v súlade so zákonom perspektívy. A v tomto prípade je rovnobežnosť hrán úplne neviditeľná.
O zavedenom zápise
Vo vzorcoch nižšie platia označenia uvedené v tabuľke.
Vzorce pre šikmý box
Prvý a druhý pre oblasti:
Tretí je na výpočet objemu krabice:
Keďže základom je rovnobežník, na výpočet jeho plochy budete musieť použiť príslušné výrazy.
Vzorce pre kváder
Podobne ako v prvom odseku - dva vzorce pre oblasti:
A ešte jeden pre objem:
Prvá úloha
Podmienka. Vzhľadom na obdĺžnikový hranol, ktorého objem je potrebné nájsť. Známa je uhlopriečka - 18 cm - a to, že s rovinou bočného čela a bočnej hrany zviera uhly 30 a 45 stupňov.
Riešenie. Ak chcete odpovedať na otázku problému, musíte zistiť všetky strany v troch pravouhlých trojuholníkoch. Poskytnú potrebné hodnoty okrajov, pre ktoré musíte vypočítať objem.
Najprv musíte zistiť, kde je uhol 30º. Aby ste to dosiahli, musíte nakresliť uhlopriečku bočnej plochy z rovnakého vrcholu, z ktorého bola nakreslená hlavná uhlopriečka rovnobežníka. Uhol medzi nimi bude taký, aký potrebujete.
Prvý trojuholník, ktorý dá jednu zo strán základne, bude nasledujúci. Obsahuje požadovanú stranu a dve nakreslené uhlopriečky. Je obdĺžnikový. Teraz musíte použiť pomer opačnej nohy (základná strana) a prepony (uhlopriečka). Rovná sa sínusu 30º. To znamená, že neznáma strana základne bude určená ako uhlopriečka vynásobená sínusom 30º alebo ½. Nech je označený písmenom „a“.
Druhým bude trojuholník obsahujúci známu uhlopriečku a hranu, s ktorou tvorí 45º. Je tiež obdĺžnikový a opäť môžete použiť pomer nohy k prepone. Inými slovami, bočná hrana k diagonále. Rovná sa kosínusu 45º. To znamená, že "c" sa vypočíta ako súčin uhlopriečky a kosínusu 45°.
c = 18 * 1/√2 = 9 √2 (cm).
V tom istom trojuholníku musíte nájsť ďalšiu nohu. To je potrebné, aby sa potom vypočítala tretia neznáma - "in". Nech je označený písmenom „x“. Je ľahké vypočítať pomocou Pytagorovej vety:
x \u003d √ (18 2 - (9 √ 2) 2) \u003d 9 √ 2 (cm).
Teraz musíme zvážiť ďalší pravouhlý trojuholník. Už obsahuje slávne večierky"s", "x" a ten, ktorý je potrebné započítať, "in":
c \u003d √ ((9 √ 2) 2 - 9 2 \u003d 9 (cm).
Všetky tri množstvá sú známe. Môžete použiť vzorec pre objem a vypočítať ho:
V \u003d 9 * 9 * 9√2 \u003d 729√2 (cm 3).
odpoveď: objem rovnobežnostena je 729√2 cm 3 .
Druhá úloha
Podmienka. Nájdite objem rovnobežnostena. Pozná strany rovnobežníka, ktorý leží na základni, 3 a 6 cm, ako aj jeho ostrý uhol - 45º. Bočné rebro má sklon k základni 30º a rovná sa 4 cm.
Riešenie. Ak chcete odpovedať na otázku problému, musíte vziať vzorec, ktorý bol napísaný pre objem nakloneného rovnobežnostena. Ale obe veličiny sú v ňom neznáme.
Oblasť základne, to znamená rovnobežník, bude určená vzorcom, v ktorom musíte vynásobiť známe strany a sínus ostrého uhla medzi nimi.
S o \u003d 3 * 6 sin 45º \u003d 18 * (√2) / 2 \u003d 9 √2 (cm 2).
Druhou neznámou je výška. Môže sa čerpať z ktoréhokoľvek zo štyroch vrcholov nad základňou. Dá sa zistiť z pravouhlého trojuholníka, v ktorom výška je noha a bočná hrana je prepona. V tomto prípade leží uhol 30° oproti neznámej výške. Takže môžete použiť pomer nohy k prepone.
n \u003d 4 * sin 30º \u003d 4 * 1/2 \u003d 2.
Teraz sú všetky hodnoty známe a môžete vypočítať objem:
V \u003d 9 √2 * 2 \u003d 18 √2 (cm 3).
odpoveď: objem je 18 √2 cm 3 .
Tretia úloha
Podmienka. Nájdite objem rovnobežnostena, ak je známe, že ide o priamku. Strany jeho základne tvoria rovnobežník a sú rovné 2 a 3 cm. Ostrý roh medzi nimi 60º. Menšia uhlopriečka rovnobežnostena sa rovná väčšej uhlopriečke základne.
Riešenie. Na zistenie objemu rovnobežnostena použijeme vzorec so základnou plochou a výškou. Obe veličiny nie sú známe, ale dajú sa ľahko vypočítať. Prvým je výška.
Keďže menšia uhlopriečka rovnobežnostena má rovnakú veľkosť ako väčšia základňa, možno ich označiť rovnakým písmenom d. Najväčší uhol rovnobežníka je 120º, pretože s ostrým tvorí 180º. Nech je druhá uhlopriečka základne označená písmenom „x“. Teraz pre dve uhlopriečky základne možno napísať kosínusové vety:
d 2 \u003d a 2 + v 2 - 2av čos 120º,
x 2 \u003d a 2 + v 2 - 2ab čos 60º.
Hľadanie hodnôt bez štvorcov nedáva zmysel, odvtedy sa opäť zvýšia na druhú mocninu. Po nahradení údajov sa ukáže:
d 2 \u003d 2 2 + 3 2 - 2 * 2 * 3 cos 120º \u003d 4 + 9 + 12 * ½ \u003d 19,
x 2 \u003d a 2 + v 2 - 2ab čos 60º \u003d 4 + 9 - 12 * ½ \u003d 7.
Teraz výška, ktorá je zároveň bočným okrajom rovnobežnostena, bude noha v trojuholníku. Prepona bude známa uhlopriečka telo a druhá noha - "x". Môžete napísať Pytagorovu vetu:
n 2 \u003d d 2 - x 2 \u003d 19 - 7 \u003d 12.
Preto: n = √12 = 2√3 (cm).
Teraz druhým neznámym množstvom je plocha základne. Dá sa vypočítať pomocou vzorca uvedeného v druhej úlohe.
S o \u003d 2 * 3 sin 60º \u003d 6 * √3/2 \u003d 3 √3 (cm 2).
Spojením všetkého do objemového vzorca dostaneme:
V = 3√3 * 2√3 = 18 (cm 3).
Odpoveď: V \u003d 18 cm 3.
Štvrtá úloha
Podmienka. Je potrebné zistiť objem rovnobežnostena, ktorý spĺňa nasledujúce podmienky: základňa je štvorec so stranou 5 cm; bočné plochy sú kosoštvorce; jeden z vrcholov nad základňou je rovnako vzdialený od všetkých vrcholov ležiacich na základni.
Riešenie. Najprv sa musíte vyrovnať so stavom. S prvým odsekom nie sú žiadne otázky o námestí. Druhá, o kosoštvorcoch, objasňuje, že rovnobežnosten je naklonený. Okrem toho sa všetky jeho okraje rovnajú 5 cm, pretože strany kosoštvorca sú rovnaké. A z tretieho je zrejmé, že tri uhlopriečky z neho nakreslené sú rovnaké. Sú to dve, ktoré ležia na bočných plochách, a posledná je vo vnútri rovnobežnostena. A tieto uhlopriečky sa rovnajú okrajom, to znamená, že majú tiež dĺžku 5 cm.
Na určenie objemu budete potrebovať vzorec napísaný pre naklonený rovnobežnosten. Opäť v ňom nie sú známe žiadne množstvá. Plochu základne je však ľahké vypočítať, pretože je to štvorec.
S o \u003d 5 2 \u003d 25 (cm 2).
Trochu náročnejšie je to s výškou. Bude taký v troch obrazcoch: rovnobežnosten, štvorhranná pyramída a rovnoramenný trojuholník. Treba využiť poslednú okolnosť.
Keďže ide o výšku, ide o nohu správny trojuholník. Prepona v nej bude známa hrana a druhá vetva sa rovná polovici uhlopriečky štvorca (výška je tiež stred). A uhlopriečku základne je ľahké nájsť:
d = √(2 * 5 2) = 5√2 (cm).
Výšku bude potrebné vypočítať ako rozdiel druhého stupňa hrany a druhej mocniny polovice uhlopriečky a nezabudnite extrahovať druhú odmocninu:
n = √ (5 2 - (5/2 * √2) 2) = √(25 - 25/2) = √(25/2) = 2,5 √2 (cm).
V \u003d 25 * 2,5 √2 \u003d 62,5 √2 (cm 3).
odpoveď: 62,5 √2 (cm 3).
Objem krabice
Hodnota objemu nám dáva predstavu o tom, akú časť priestoru zaberá objekt, ktorý nás zaujíma, a aby sme našli objem pravouhlého rovnobežnostena, musíme jeho základnú plochu vynásobiť výškou.
V každodennom živote najčastejšie na meranie objemu kvapaliny spravidla používajú takú meraciu jednotku ako liter = 1 dm3.
Okrem tejto jednotky merania sa na určenie objemu používajú:
Rovnobežník patrí k najjednoduchším trojrozmerným obrazcom a preto nie je ťažké nájsť jeho objem.
Objem krabice sa rovná produktu jeho dĺžka, šírka a výška. Tie. na zistenie objemu pravouhlého rovnobežnostena stačí vynásobiť všetky tri jeho rozmery.
Ak chcete zistiť objem kocky, musíte vziať jej dĺžku a zvýšiť ju na tretiu mocninu.
Definícia krabice
A teraz si spomeňme, čo je rovnobežnosten a ako sa líši od kocky.
Rovnobežník je trojrozmerný obrazec, na ktorého základni leží mnohouholník. Povrch kvádra pozostáva zo šiestich obdĺžnikov, ktoré sú stranami tohto kvádra. Preto je logické, že rovnobežnosten má šesť plôch, ktoré pozostávajú z rovnobežníkov. Všetky steny tohto mnohouholníka, ktoré sú umiestnené oproti sebe, majú rovnaké rozmery.
Všetky okraje rovnobežnostenu sú strany plôch. Ale body dotyku tvárí sú vrcholy tejto postavy.
Cvičenie:
1. Pozrite sa pozorne na obrázok a povedzte mi, čo vám pripomína?
2. Zamyslite sa a odpovedzte, kde v bežnom živote môžete stretnúť takúto postavu?
3. Koľko hrán má rovnobežnosten?
Odrody rovnobežnostenov
Parallepipedy sú rozdelené do niekoľkých odrôd, ako napríklad:
Obdĺžnikový;
Naklonený;
kocka.
Obdĺžnikové rovnobežnosteny zahŕňajú postavy, ktorých tváre pozostávajú z obdĺžnikov.
Ak bočné plochy nie sú kolmé na jeho základňu, potom máte naklonený rovnobežnosten.
Postava ako kocka je tiež rovnobežnosten. Všetky jej tváre sú bez výnimky v tvare štvorcov.
Vlastnosti krabice
Študovaný obrázok má niekoľko vlastností, o ktorých sa teraz dozvieme:
Po prvé, protiľahlé strany tohto obrázku sú rovnaké a navzájom rovnobežné;
Po druhé, je symetrický iba vzhľadom na stred ktorejkoľvek z jeho uhlopriečok bez výnimky;
Po tretie, ak vezmete a nakreslíte diagonály medzi všetkými protiľahlými vrcholmi rovnobežníka, budú mať iba jeden priesečník.
Po štvrté, štvorec je dĺžka jeho uhlopriečky, sa rovná súčtuštvorce jeho 3 rozmerov.
Odkaz na históriu
Na obdobie rôzne historické éry v rozdielne krajiny využívali rôzne systémy na meranie hmotnosti, dĺžky a iných veličín. Ale keďže to brzdilo obchodné vzťahy medzi krajinami a brzdilo aj rozvoj vedy, bolo potrebné mať jednotný medzinárodný systém opatrení, ktorý by vyhovoval všetkým krajinám.
Metrický systém SI, ktorý vyhovoval väčšine krajín, bol vyvinutý vo Francúzsku. Vďaka Mendelejevovi bol metrický systém mier zavedený aj v Rusku.
Ale mnohé profesie stále používajú svoje špecifické metriky, niekedy je to pocta tradícii, niekedy je to vec pohodlnosti. A tak napríklad námorníci stále radšej merajú rýchlosť v uzloch a vzdialenosť v míľach je pre nich tradíciou. Ale klenotníci na celom svete uprednostňujú takú mernú jednotku, ako je karát – a v ich prípade ide o tradíciu aj pohodlie.
otázky:
1. Kto vie, koľko metrov je v jednej míli? Čo je to jeden uzol?
2. Prečo sa merná jednotka diamantov nazýva „karáty“? Prečo je historicky výhodné pre klenotníkov merať hmotnosť v takýchto jednotkách?
3. Kto si pamätá jednotky, v ktorých sa meria olej?
Obdĺžnik- jeden z najjednoduchších ploché postavy, a pravouhlý rovnobežnosten je rovnaký jednoduchý obrazec, ale v priestore (obr. 1). Sú si veľmi podobné.
Podobne ako kruh a guľa.
Ryža. 1. Obdĺžnik a krabica
Rozhovor o oblastiach začína oblasťou obdĺžnika a o objemoch - objemom pravouhlého rovnobežnostena.
Ak vieme, ako nájsť oblasť obdĺžnika, potom nám to umožňuje nájsť oblasť akejkoľvek postavy.
Toto číslo môžeme rozdeliť na 3 obdĺžniky a nájsť plochu každého z nich, a teda aj celú postavu. (Obr. 2.)
Ryža. 2. Obrázok
Ryža. 3. Obrazec, ktorého plocha sa rovná siedmim obdĺžnikom
Aj keď obrázok nie je presne rozdelený na obdĺžniky, dá sa to urobiť s akoukoľvek presnosťou a plocha sa dá približne vypočítať.
Plocha tohto obrázku (obr. 3) sa približne rovná súčtu plôch siedmich obdĺžnikov. Nepresnosť je dosiahnutá v dôsledku horných malých čísel. Ak zväčšíte počet obdĺžnikov, nepresnosť sa zníži.
Teda obdĺžnik je nástroj na výpočet plochy ľubovoľnej postavy.
Rovnaká situácia je aj pri objemoch.
Akákoľvek postava môže byť rozložená pomocou obdĺžnikových rovnobežnostenov, tehál. Čím sú tieto tehly menšie, tým presnejšie vieme vypočítať objem (obr. 4, obr. 5).
Ryža. 4. Výpočet plochy pomocou pravouhlých rovnobežnostenov
Kváder je nástroj na výpočet objemov ľubovoľnej postavy.
Ryža. 5. Vypočítajte plochu pomocou malých políčok
Poďme si trochu zaspomínať.
Štvorec so stranou 1 jednotky (obr. 6) má plochu 1 štvorcová jednotka. Počiatočná lineárna jednotka môže byť ľubovoľná: centimeter, meter, kilometer, míľa.
Napríklad 1 cm2 je plocha štvorca so stranou 1 cm.
Ryža. 6. Štvorec a obdĺžnik
Oblasť obdĺžnika je počet takýchto štvorcov, ktoré sa doň zmestia. (Obr. 6.)
Jednotkové štvorce položíme v dĺžke obdĺžnika do jedného radu. Mám 5 kusov.
3 štvorce sú umiestnené na výšku. To znamená, že celkovo existujú tri riadky, každý s piatimi štvorcami.
Celková plocha je .
Je jasné, že nie je potrebné zakaždým umiestňovať jednotkové štvorce do obdĺžnika.
Stačí vynásobiť dĺžku jednej strany dĺžkou druhej.
Alebo v všeobecný pohľad:
Veľmi podobná situácia je s objemom pravouhlého rovnobežnostena.
Objem kocky so stranou 1 jednotka je 1 jednotka kubická. Opäť platí, že pôvodné lineárne hodnoty môžu byť čokoľvek: milimetre, centimetre, palce.
Napríklad 1 cm 3 je objem kocky so stranou 1 cm a 1 km 3 je objem kocky so stranou 1 km.
Nájdite objem pravouhlého rovnobežnostena so stranami 7 cm, 5 cm, 4 cm (obr. 7.)
Ryža. 7. Obdĺžnikový box
Objem nášho kvádra je počet jednotkových kociek, ktoré sa do neho zmestia.
Na spodok položte rad jednotlivých kociek so stranou 1 cm pozdĺž dlhej strany. Osadené 7 kusov. Už zo skúseností s obdĺžnikom vieme, že takýchto radov sa na dno zmestí len 5, do každého 7 kusov. To je všetko:
Nazvime to vrstva. Koľko takýchto vrstiev môžeme na seba poukladať?
Záleží na výške. To sa rovná 4 cm.To znamená, že v každom z 35 kusov sú položené 4 vrstvy. Celkom:
Odkiaľ pochádza číslo 35? To je 75. To znamená, že počet kociek sme dostali vynásobením dĺžok všetkých troch strán.
Ale toto je objem nášho pravouhlého rovnobežnostena.
odpoveď: 140
Teraz môžeme napísať vzorec vo všeobecnom tvare. (Obr. 8.)
Ryža. 8. Objem rovnobežnostena
Objem pravouhlého rovnobežnostena so stranami , , sa rovná súčinu všetkých troch strán.
Ak sú dĺžky strán uvedené v centimetroch, potom objem bude v kubických centimetroch (cm 3).
Ak v metroch, potom je objem v kubických metroch (m 3).
Podobne možno objem merať v kubických milimetroch, kilometroch atď.
Sklenená kocka so stranou 1 m je úplne naplnená vodou. Aká je hmotnosť vody? (Obr. 9.)
Ryža. 9. Kocka
Kocka je jednotná. Strana - 1 m. Objem - 1 m 3.
Ak vieme, koľko váži 1 kubický meter vody (skrátene kubický meter), tak je problém vyriešený.
Ale ak toto nevieme, tak to nie je ťažké vypočítať.
Dĺžka strany.
Vypočítajme objem v dm 3.
Ale 1 dm 3 má samostatný názov, 1 liter. To znamená, že máme 1000 litrov vody.
Všetci vieme, že hmotnosť jedného litra vody je 1 kg. To znamená, že máme 1000 kg vody alebo 1 tonu.
Je jasné, že s takouto kockou naplnenou vodou nepohne žiadny bežný človek.
Odpoveď: 1 t.
Ryža. 10. Chladnička
Chladnička má výšku 2 metre, šírku 60 cm a hĺbku 50 cm Nájdite jej objem.
Predtým, ako použijeme objemový vzorec - súčin dĺžok všetkých strán - je potrebné previesť dĺžky na rovnaké merné jednotky.
Všetko vieme prepočítať na centimetre.
Podľa toho dostaneme objem v kubických centimetroch.
Myslím, že budete súhlasiť, že objem je zrozumiteľnejší v kubických metroch.
Oko človeka nerozozná číslo s piatimi nulami od čísla so šiestimi nulami, ale jedno je 10-krát väčšie ako druhé.
Často potrebujeme previesť jednu jednotku objemu na inú. Napríklad kubické metre až kubické decimetre. Je ťažké zapamätať si všetky tieto pomery. To však netreba robiť. Stačí pochopiť všeobecný princíp.
Napríklad, koľko kubických centimetrov je v kubickom metre?
Pozrime sa, koľko kociek so stranou 1 centimeter sa zmestí do kocky so stranou 1 m (obr. 11.)
Ryža. 11. Kocka
Do jedného radu sa zmestí 100 kusov (veď v jednom metri je 100 cm).
Do jednej vrstvy sa zmestí 100 riadkov alebo kociek.
Celkovo je 100 vrstiev.
Touto cestou,
To znamená, že ak sú lineárne množstvá spojené pomerom „100 cm na jeden meter“, potom, aby ste získali pomer pre kubické množstvá, musíte zvýšiť 100 na 3. mocninu (). A nemusíte zakaždým kresliť kocky.
Obdĺžnikový hranol je postava, na ktorej základni je obdĺžnik. Postava má šesť strán. Plochy, ktoré sa pretínajú, tvoria hrany, je ich 12.
Obdĺžnikový hranol má štyri bočné strany. V živote sa často stretávame s touto postavou: šatník, chladnička, krabica - všetky majú tvar pravouhlého rovnobežnostena.
Ryža. 1. Obdĺžnikový box
Vzorec pre objem tohto čísla
Objem kocky (útvar so štvorcom na základni) so stranou 1 jednotka sa nazýva 1 kubická jednotka.
Ryža. 2. Jednotková kocka
Ak dno, aby bolo možné položiť spodnú časť obrázku takýmito kockami, bude potrebovať 4 kocky na dĺžku a 3 na šírku.
Ryža. 3. Obdĺžniková krabica naplnená guľou kociek
Na vyplnenie základne teda musíte:
3 x 4 \u003d 12 - tak sme vypočítali plochu.
Ak chcete vyplniť celé číslo a zistiť objem, musíte vypočítať, koľko takýchto vrstiev kociek sa zmestí do výšky, napríklad ak sú 2, potom bude objem:
3 x 4 x 2 = 24 kociek
Ak teda vezmeme do úvahy, že dĺžka základne obrázku je 4 jednotky, šírka je 3, výška je 2, potom na odčítanie objemu pravouhlého rovnobežnostena je potrebné nájsť súčin tieto veličiny alebo merania. Postava, ktorá má tri rozmery, sa nazýva trojrozmerná alebo trojrozmerná.
Písmeno V sa používa na označenie objemu.
Vzorec pre objem pravouhlého rovnobežnostena je:
$$V = a b c$$
V prípade potreby musia byť všetky údaje v úlohe prevedené na rovnakú mernú jednotku.
Jednotky sú $mm^3, cm^3, dm^3$ atď. Je dôležité správne čítať: $ 1 m^ 3 $ a tak ďalej.
Anglický iluzionista strávil 44 dní v sklenenom kvádri zavesenom nad riekou Temža. K dispozícii mal len vodu, vankúš, matrac a písacie potreby.
Cvičenie: Odčítajte objem postavy, ktorej šírka je 4 palce, dĺžka 50 mm a výška 10 cm.
Riešenie: Najprv musíte previesť všetky údaje do jednej mernej jednotky.
4 doláre dm. = 40 cm$;
50 dolárov mm. = 5 cm$.
$ V = 40 5 10 = 200 cm^ 3 $
Objem postavy je teda $V = 200 cm^3$
Na meranie objemu kvapaliny je špeciálna jednotka merania liter - 1 liter.
Staroveké merania tekutín, napríklad cor = 220 l, baht = 22 l.
Objemové merania:
$$1 l = 1000 cm^3 = 1 dm^3 $$
$$1 km^3 = 1 000 000 000 m^3 $$
1 $$ m^3 = 1 000 dm^3 = 1 000 000 cm^3 $$
$$1 dm^3 = 1 000 cm^3 $$
