Rovnako ako v euklidovskej geometrii, bod a priamka sú hlavnými prvkami teórie rovín, takže rovnobežník je jedným z kľúčové figúry konvexné štvoruholníky. Z nej, ako vlákna z lopty, prúdia pojmy "obdĺžnik", "štvorec", "kosoštvorec" a iné geometrické veličiny.
V kontakte s
Definícia rovnobežníka
konvexný štvoruholník, pozostávajúci zo segmentov, z ktorých každý pár je rovnobežný, je v geometrii známy ako rovnobežník.
Ako vyzerá klasický rovnobežník je štvoruholník ABCD. Strany sa nazývajú základne (AB, BC, CD a AD), kolmica vedená z ľubovoľného vrcholu na opačnú stranu tohto vrcholu sa nazýva výška (BE a BF), čiary AC a BD sú uhlopriečky.
Pozor!Štvorec, kosoštvorec a obdĺžnik sú špeciálne prípady rovnobežníka.
Strany a uhly: pomerové znaky
Kľúčové vlastnosti, celkovo, vopred určené samotným označením, sú dokázané teorémou. Tieto vlastnosti sú nasledovné:
- Protiľahlé strany sú v pároch identické.
- Uhly, ktoré sú proti sebe, sú v pároch rovnaké.
Dôkaz: zvážte ∆ABC a ∆ADC, ktoré sa získajú delením štvoruholníka ABCD čiarou AC. ∠BCA=∠CAD a ∠BAC=∠ACD, pretože AC je pre nich spoločné (vertikálne uhly pre BC||AD a AB||CD, v tomto poradí). Z toho vyplýva: ∆ABC = ∆ADC (druhé kritérium pre rovnosť trojuholníkov).
Segmenty AB a BC v ∆ABC zodpovedajú v pároch čiaram CD a AD v ∆ADC, čo znamená, že sú totožné: AB = CD, BC = AD. ∠B teda zodpovedá ∠D a sú rovnaké. Keďže ∠A=∠BAC+∠CAD, ∠C=∠BCA+∠ACD, ktoré sú rovnaké aj v pároch, potom ∠A = ∠C. Nehnuteľnosť bola preukázaná.
Charakteristika uhlopriečok figúry
Hlavná prednosť tieto čiary rovnobežníka: priesečník ich pretína.
Dôkaz: nech m E je priesečník uhlopriečok AC a BD na obrázku ABCD. Tvoria dva úmerné trojuholníky – ∆ABE a ∆CDE.
AB=CD, pretože sú opačné. Podľa čiar a sekánov ∠ABE = ∠CDE a ∠BAE = ∠DCE.
Podľa druhého znaku rovnosti ∆ABE = ∆CDE. To znamená, že prvky ∆ABE a ∆CDE sú: AE = CE, BE = DE a navyše sú to úmerné časti AC a BD. Nehnuteľnosť bola preukázaná.
Vlastnosti susedných rohov
Na priľahlých stranách je súčet uhlov 180° pretože sú na rovnakej strane rovnobežné čiary a sekant. Pre štvoruholník ABCD:
∠A+∠B=∠C+∠D=∠A+∠D=∠B+∠C=180º
Vlastnosti osy:
- , poklesnuté na jednu stranu, sú kolmé;
- protiľahlé vrcholy majú rovnobežné osi;
- trojuholník získaný nakreslením osi bude rovnoramenný.
Určenie charakteristických vlastností rovnobežníka teorémom
Vlastnosti tohto obrázku vyplývajú z jeho hlavnej vety, ktorá znie takto: štvoruholník sa považuje za rovnobežník v prípade, že sa jej uhlopriečky pretínajú a tento bod ich rozdeľuje na rovnaké segmenty.
Dôkaz: Nech sa priamky AC a BD štvoruholníka ABCD pretínajú v t. E. Pretože ∠AED = ∠BEC a AE+CE=AC BE+DE=BD, potom ∆AED = ∆BEC (podľa prvého znamienka rovnosti trojuholníkov). To znamená, že ∠EAD = ∠ECB. Sú to tiež vnútorné uhly kríženia sečny AC pre čiary AD a BC. Teda podľa definície paralelizmu - AD || BC. Odvodená je aj podobná vlastnosť línií BC a CD. Veta bola dokázaná.
Výpočet plochy postavy
Oblasť tohto obrázku nájsť niekoľkými spôsobmi jeden z najjednoduchších: vynásobenie výšky a základne, do ktorej je nakreslený.
Dôkaz: Nakreslite kolmice BE a CF z vrcholov B a C. ∆ABE a ∆DCF sú rovnaké, pretože AB = CD a BE = CF. ABCD sa rovná obdĺžniku EBCF, pretože pozostávajú aj z proporcionálnych čísel: S ABE a S EBCD, ako aj S DCF a S EBCD. Z toho vyplýva, že oblasť tohto geometrický obrazec sa nachádza rovnakým spôsobom ako obdĺžnik:
S ABCD = S EBCF = BE×BC=BE×AD.
Na určenie všeobecný vzorec oblasť rovnobežníka, označte výšku ako hb a bočné b. Respektíve:
Iné spôsoby, ako nájsť oblasť
Výpočty plôch cez strany rovnobežníka a uhla, ktorý tvoria, je druhou známou metódou.
,
Spr-ma - plocha;
a a b sú jeho strany
α - uhol medzi segmentmi a a b.
Táto metóda je prakticky založená na prvej, ale v prípade, že nie je známa. vždy odreže správny trojuholník, ktorého parametre sú trigonometrické identity, teda . Transformáciou pomeru dostaneme . V rovnici prvej metódy nahradíme výšku týmto súčinom a získame dôkaz o platnosti tohto vzorca.
Cez uhlopriečky rovnobežníka a uhla, ktoré vytvárajú, keď sa pretínajú, môžete nájsť aj oblasť.
Dôkaz: AC a BD sa pretínajú v štyroch trojuholníkoch: ABE, BEC, CDE a AED. Ich súčet sa rovná ploche tohto štvoruholníka.
Plochu každého z týchto ∆ možno nájsť z výrazu , kde a=BE, b=AE, ∠γ =∠AEB. Od , potom sa pri výpočtoch používa jedna hodnota sínusu. To je . Pretože AE+CE=AC= d 1 a BE+DE=BD= d 2 , vzorec plochy sa zníži na:
.
Aplikácia vo vektorovej algebre
Vlastnosti jednotlivých častí tohto štvoruholníka našli uplatnenie vo vektorovej algebre, konkrétne: sčítanie dvoch vektorov. Pravidlo rovnobežníka hovorí, že ak sú dané vektoryaniesú kolineárne, potom sa ich súčet bude rovnať uhlopriečke tohto obrazca, ktorého základne zodpovedajú týmto vektorom.
Dôkaz: z ľubovoľne zvoleného začiatku – tzn. - staviame vektory a . Ďalej zostavíme rovnobežník OASV, kde segmenty OA a OB sú strany. OS teda leží na vektore alebo súčte.
Vzorce na výpočet parametrov rovnobežníka
Identity sa poskytujú za nasledujúcich podmienok:
- a a b, α - strany a uhol medzi nimi;
- d 1 a d 2, γ - uhlopriečky a v bode ich priesečníka;
- ha a h b - výšky znížené na strany a a b;
| Parameter | Vzorec |
| Hľadanie strán | |
| pozdĺž uhlopriečok a kosínus uhla medzi nimi | 
|
| diagonálne a do strán | 
|
| cez výšku a opačný vrchol | |
| Nájdenie dĺžky uhlopriečok | |
| na bokoch a veľkosť vrchnej časti medzi nimi | |
| po stranách a jednej z uhlopriečok | 
ZáverRovnobežník, ako jedna z kľúčových postáv geometrie, sa používa v živote, napríklad v stavebníctve pri výpočte plochy miesta alebo iných meraní. Preto môžu byť znalosti o rozlišovacích znakoch a metódach výpočtu jeho rôznych parametrov užitočné kedykoľvek v živote. |
Pri riešení problémov na túto tému sa okrem základné vlastnosti rovnobežník a zodpovedajúce vzorce, môžete si zapamätať a použiť nasledujúce:
- Osa vnútorného uhla rovnobežníka z neho odreže rovnoramenný trojuholník
- Osy vnútorných uhlov susediacich s jednou zo strán rovnobežníka sú navzájom kolmé
- Stredy pochádzajúce z opačných vnútorných uhlov rovnobežníka, navzájom rovnobežné alebo ležiace na jednej priamke
- Súčet druhých mocnín uhlopriečok rovnobežníka sa rovná súčtu druhých mocnín jeho strán
- Plocha rovnobežníka je polovica súčinu uhlopriečok krát sínus uhla medzi nimi.
Uvažujme o úlohách, pri riešení ktorých sa tieto vlastnosti využívajú.
Úloha 1.
Osa uhla C rovnobežníka ABCD pretína stranu AD v bode M a pokračovanie strany AB za bodom A v bode E. Nájdite obvod rovnobežníka, ak AE \u003d 4, DM \u003d 3.
Riešenie.
1. Trojuholník CMD rovnoramenný. (Nehnuteľnosť 1). Preto CD = MD = 3 cm.
2. Trojuholník EAM je rovnoramenný.
Preto AE = AM = 4 cm.
3. AD = AM + MD = 7 cm.
4. Obvod ABCD = 20 cm.
Odpoveď. 20 cm
Úloha 2.
Diagonály sú nakreslené v konvexnom štvoruholníku ABCD. Je známe, že plochy trojuholníkov ABD, ACD, BCD sú rovnaké. Dokážte, že daný štvoruholník je rovnobežník.
Riešenie.
1. Nech BE je výška trojuholníka ABD, CF je výška trojuholníka ACD. Keďže podľa podmienky úlohy sú obsahy trojuholníkov rovnaké a majú spoločnú základňu AD, potom sú výšky týchto trojuholníkov rovnaké. BE = CF.
2. BE, CF sú kolmé na AD. Body B a C sa nachádzajú na rovnakej strane priamky AD. BE = CF. Preto čiara BC || AD. (*)
3. Nech AL je výška trojuholníka ACD, BK výška trojuholníka BCD. Keďže podľa podmienky úlohy sú plochy trojuholníkov rovnaké a majú spoločnú základňu CD, potom sú výšky týchto trojuholníkov rovnaké. AL = BK.
4. AL a BK sú kolmé na CD. Body B a A sú umiestnené na rovnakej strane priamky CD. AL = BK. Preto riadok AB || CD (**)
5. Podmienky (*), (**) znamenajú, že ABCD je rovnobežník.
Odpoveď. Osvedčené. ABCD je rovnobežník.
Úloha 3.
Na stranách BC a CD rovnobežníka ABCD sú označené body M a H tak, že úsečky BM a HD sa pretínajú v bode O;<ВМD = 95 о,
Riešenie.
1. V trojuholníku DOM<МОD = 25 о (Он смежный с <ВОD = 155 о); <ОМD = 95 о. Тогда <ОDМ = 60 о.
2. V pravouhlom trojuholníku DHC Potom<НСD = 30 о. СD: НD = 2: 1 Ale CD = AB. Potom AB: HD = 2: 1. 3. <С = 30 о, 4. <А = <С = 30 о, <В = Odpoveď: AB: HD = 2: 1,<А = <С = 30 о, <В = Úloha 4. Jedna z uhlopriečok rovnobežníka dĺžky 4√6 zviera so základňou uhol 60° a druhá uhlopriečka zviera s tou istou základňou uhol 45°. Nájdite druhú uhlopriečku. Riešenie.
1. AO = 2√6. 2. Aplikujte sínusovú vetu na trojuholník AOD. AO/sin D = OD/sin A. 2√6/sin 45 o = OD/sin 60 o. OD = (2√6sin 60 o) / sin 45 o = (2√6 √3/2) / (√2/2) = 2√18/√2 = 6. odpoveď: 12.
Úloha 5. Pre rovnobežník so stranami 5√2 a 7√2 sa menší uhol medzi uhlopriečkami rovná menšiemu uhlu rovnobežníka. Nájdite súčet dĺžok uhlopriečok. Riešenie.
Nech d 1, d 2 sú uhlopriečky rovnobežníka a uhol medzi uhlopriečkami a menším uhlom rovnobežníka je rovný f. 1. Počítajme dva rôzne S ABCD \u003d AB AD sin A \u003d 5√2 7√2 sin f, S ABCD \u003d 1/2 AC BD sin AOB \u003d 1/2 d 1 d 2 sin f. Získame rovnosť 5√2 7√2 sin f = 1/2d 1 d 2 sin f alebo 2 5√2 7√2 = d 1 d 2; 2. Pomocou pomeru medzi stranami a uhlopriečkami rovnobežníka zapíšeme rovnosť (AB 2 + AD 2) 2 = AC 2 + BD 2. ((5√2) 2 + (7√2) 2) 2 = d12 + d22. d12 + d22 = 296. 3. Urobme si systém: (d12 + d22 = 296, Vynásobte druhú rovnicu sústavy 2 a pridajte ju k prvej. Dostaneme (d 1 + d 2) 2 = 576. Preto Id 1 + d 2 I = 24. Pretože d 1, d 2 sú dĺžky uhlopriečok rovnobežníka, potom d 1 + d 2 = 24. odpoveď: 24.
Úloha 6. Strany rovnobežníka sú 4 a 6. Ostrý uhol medzi uhlopriečkami je 45 o. Nájdite oblasť rovnobežníka. Riešenie.
1. Z trojuholníka AOB pomocou kosínusovej vety napíšeme vzťah medzi stranou rovnobežníka a uhlopriečkami. AB 2 \u003d AO 2 + VO 2 2 AO VO cos AOB. 4 2 \u003d (d 1 / 2) 2 + (d 2 / 2) 2 - 2 (d 1 / 2) (d 2 / 2) cos 45 o; d 1 2/4 + d 2 2/4 - 2 (d 1/2) (d 2/2)√2/2 = 16. d 1 2 + d 2 2 - d 1 d 2 √2 = 64. 2. Podobne napíšeme vzťah pre trojuholník AOD. Berieme to do úvahy<АОD = 135 о и cos 135 о = -cos 45 о = -√2/2. Dostaneme rovnicu d 1 2 + d 2 2 + d 1 d 2 √2 = 144. 3. Máme systém Odčítaním prvej od druhej rovnice dostaneme 2d 1 d 2 √2 = 80 resp. d 1 d 2 = 80/(2√2) = 20√2 4. S ABCD \u003d 1/2 AC BD sin AOB \u003d 1/2 d 1 d 2 sin α \u003d 1/2 20√2 √2/2 \u003d 10. Poznámka: V tomto a v predchádzajúcom probléme nie je potrebné úplne vyriešiť systém, pretože v tomto probléme potrebujeme na výpočet plochy súčin uhlopriečok. odpoveď: 10. Úloha 7. Plocha rovnobežníka je 96 a jeho strany sú 8 a 15. Nájdite štvorec menšej uhlopriečky. Riešenie.
1. S ABCD \u003d AB AD sin VAD. Urobme substitúciu vo vzorci. Dostaneme 96 = 8 15 sin VAD. Preto hriech VAD = 4/5. 2. Nájdite čos BAD. hriech 2 VAD + cos 2 VAD = 1. (4/5) 2 + cos 2 ZLÉ = 1. cos 2 ZLÉ = 9/25. Podľa stavu úlohy zistíme dĺžku menšej uhlopriečky. Uhlopriečka BD bude menšia, ak je uhol BAD ostrý. Potom cos ZLE = 3/5. 3. Z trojuholníka ABD pomocou kosínusovej vety nájdeme druhú mocninu uhlopriečky BD. BD 2 \u003d AB 2 + AD 2 - 2 AB BD čos BAD. ВD 2 \u003d 8 2 + 15 2 - 2 8 15 3 / 5 \u003d 145. odpoveď: 145.
Máte nejaké otázky? Neviete, ako vyriešiť problém s geometriou? stránky, s úplným alebo čiastočným kopírovaním materiálu, je potrebný odkaz na zdroj. Rovnobežník - geometrický útvar, ktorý sa často vyskytuje v úlohách kurzu geometrie (úsek planimetrie). Kľúčovými znakmi tohto štvoruholníka sú rovnosť opačných uhlov a prítomnosť dvoch párov rovnobežných protiľahlých strán. Špeciálne prípady rovnobežníka sú kosoštvorec, obdĺžnik, štvorec. Výpočet plochy tohto typu polygónu je možné vykonať niekoľkými spôsobmi. Uvažujme o každom z nich. Na výpočet plochy rovnobežníka môžete použiť hodnoty jeho strany, ako aj dĺžku spustenej výšky. V tomto prípade budú získané údaje spoľahlivé ako pre prípad známej strany - základne postavy, tak aj v prípade, že máte k dispozícii stranu postavy. V tomto prípade sa požadovaná hodnota získa podľa vzorca: S = a * h(a) = b * h(b), Príklad: hodnota podstavy rovnobežníka je 7 cm, dĺžka kolmice spadnutej na ňu z protiľahlého vrcholu je 3 cm. Riešenie: S = a * h (a) = 7 * 3 = 21. Zvážte prípad, keď poznáte veľkosť dvoch strán obrázku, ako aj mieru uhla, ktorý medzi sebou zvierajú. Poskytnuté údaje možno použiť aj na nájdenie oblasti rovnobežníka. V tomto prípade bude výraz vzorca vyzerať takto: S = a * c * sinα = a * c * sinβ, Príklad: základňa rovnobežníka je 10 cm, jeho strana je o 4 cm menšia. Tupý uhol obrázku je 135°. Riešenie: určite hodnotu druhej strany: 10 - 4 \u003d 6 cm. S = a * c * sinα = 10 * 6 * sin135 ° = 60 * sin (90 ° + 45 °) = 60 * cos45 ° = 60 * √2 /2 = 30√2. Prítomnosť známych hodnôt uhlopriečok daného mnohouholníka, ako aj uhol, ktorý tvoria v dôsledku ich priesečníka, umožňuje určiť plochu obrázku. S = (d1*d2)/2*sinγ, S je oblasť, ktorá sa má určiť, Predtým, ako sa naučíme, ako nájsť oblasť rovnobežníka, musíme si spomenúť, čo je rovnobežník a čo sa nazýva jeho výška. Rovnobežník je štvoruholník, ktorého protiľahlé strany sú párovo rovnobežné (ležia na rovnobežných čiarach). Kolmica vedená z ľubovoľného bodu na opačnej strane k priamke obsahujúcej túto stranu sa nazýva výška rovnobežníka. Štvorec, obdĺžnik a kosoštvorec sú špeciálne prípady rovnobežníka. Plocha rovnobežníka je označená ako (S). S=a*h, kde a je základňa, h je výška prikreslená k základni. S=a*b*sinα, kde a a b sú základne a α je uhol medzi základňami a a b. S \u003d p * r, kde p je polobvod, r je polomer kruhu, ktorý je vpísaný do rovnobežníka. Plocha rovnobežníka tvorená vektormi a a b sa rovná modulu súčinu daných vektorov, a to: Zoberme si príklad č.1: Je uvedený rovnobežník, ktorého strana je 7 cm a výška je 3 cm.Ako nájsť oblasť rovnobežníka, potrebujeme vzorec na riešenie. Takže S = 7x3. S = 21. Odpoveď: 21 cm 2. Uvažujme príklad č. 2: Základňa je 6 a 7 cm a uhol medzi základňami je 60 stupňov. Ako nájsť oblasť rovnobežníka? Vzorec používaný na riešenie: Najprv teda nájdeme sínus uhla. Sínus 60 \u003d 0,5, respektíve S \u003d 6 * 7 * 0,5 \u003d 21 Odpoveď: 21 cm 2. Dúfam, že tieto príklady vám pomôžu pri riešení problémov. A pamätajte, že hlavnou vecou je znalosť vzorcov a pozornosť Paralelogram je štvoruholník, ktorého strany sú v pároch rovnobežné. Na tomto obrázku sú protiľahlé strany a uhly navzájom rovnaké. Uhlopriečky rovnobežníka sa pretínajú v jednom bode a pretínajú ho. Vzorce oblasti rovnobežníka vám umožňujú nájsť hodnotu cez strany, výšku a uhlopriečky. V špeciálnych prípadoch môže byť znázornený aj rovnobežník. Sú považované za obdĺžnik, štvorec a kosoštvorec. Tento prípad sa považuje za klasický a nevyžaduje si ďalšie vyšetrovanie. Je lepšie zvážiť vzorec na výpočet plochy cez dve strany a uhol medzi nimi. Rovnaká metóda sa používa pri výpočte. Ak sú uvedené strany a uhol medzi nimi, potom sa plocha vypočíta takto: Predpokladajme, že máme rovnobežník so stranami a = 4 cm, b = 6 cm, uhol medzi nimi je α = 30°. Poďme nájsť oblasť: Zvážte príklad výpočtu plochy rovnobežníka cez uhlopriečky. Nech je daný rovnobežník s uhlopriečkami D = 7 cm, d = 5 cm, uhol medzi nimi je α = 30°. Nahraďte údaje vo vzorci: Keď poznáte vzorec pre oblasť rovnobežníka z hľadiska uhlopriečky, môžete vyriešiť veľa zaujímavých problémov. Pozrime sa na jeden z nich.
(
(Pretože v pravouhlom trojuholníku sa noha, ktorá leží oproti uhlu 30 o, rovná polovici prepony).
spôsoby svojej oblasti.
(d1 + d2 = 140.
(d 1 2 + d 2 2 - d 1 d 2 √2 = 64,
(d12 + d22 + d1d2 √2 = 144.
Ak chcete získať pomoc tútora - zaregistrujte sa.
Prvá lekcia je zadarmo!
Nájdite oblasť rovnobežníka, ak je známa strana a výška
Nájdite oblasť rovnobežníka, ak sú známe 2 strany a uhol medzi nimi
Nájdite oblasť rovnobežníka, ak sú známe uhlopriečky a uhol medzi nimi
S = (d1*d2)/2*sinφ,
d1, d2 sú známe (alebo vypočítané) uhlopriečky,
γ, φ sú uhly medzi uhlopriečkami d1 a d2.Vzorce na nájdenie oblasti rovnobežníka
Najprv uvažujme o príklade výpočtu plochy rovnobežníka podľa výšky a strany, na ktorú je spustený.
Plocha rovnobežníka z hľadiska uhlopriečok
Vzorec pre oblasť rovnobežníka z hľadiska uhlopriečok vám umožňuje rýchlo nájsť hodnotu.
Na výpočty potrebujete hodnotu uhla umiestneného medzi uhlopriečkami.
Príklad výpočtu plochy rovnobežníka cez uhlopriečku nám dal vynikajúci výsledok - 8,75.
Úloha: Vzhľadom na rovnobežník s rozlohou 92 m2. pozri Bod F sa nachádza v strede jeho strany BC. Nájdite oblasť lichobežníka ADFB, ktorá bude ležať v našom rovnobežníku. Na začiatok si nakreslíme všetko, čo sme dostali podľa podmienok.
Poďme k riešeniu: 
Podľa našich podmienok, ah \u003d 92, a teda plocha nášho lichobežníka sa bude rovnať 
