Niekto narába so slovom „progresia“ opatrne, ako s veľmi zložitým pojmom zo sekcií vyššej matematiky. Medzitým je najjednoduchším aritmetickým postupom práca počítadla taxíkov (kde stále zostávajú). A pochopiť podstatu (a v matematike nie je nič dôležitejšie ako „pochopiť podstatu“) aritmetickej postupnosti nie je také ťažké, po analýze niekoľkých základných konceptov.

Matematická postupnosť čísel

Je zvykom nazývať číselnú postupnosť radom čísel, z ktorých každé má svoje vlastné číslo.

a 1 je prvý člen sekvencie;

a 2 je druhý člen sekvencie;

a 7 je siedmy člen sekvencie;

a n je n-tý člen sekvencie;

Nás však nezaujíma žiadny ľubovoľný súbor čísel a čísel. Pozornosť zameriame na číselnú postupnosť, v ktorej hodnota n-tého člena súvisí s jeho poradovým číslom pomocou jasne matematicky formulovanej závislosti. Inými slovami: číselná hodnota n-tého čísla je nejakou funkciou n.

a - hodnota člena číselnej postupnosti;

n je jeho sériové číslo;

f(n) je funkcia, kde ordinál v číselnej postupnosti n je argument.

Definícia

Aritmetická postupnosť sa zvyčajne nazýva číselná postupnosť, v ktorej je každý nasledujúci člen väčší (menší) ako predchádzajúci o rovnaké číslo. Vzorec pre n-tý člen aritmetickej postupnosti je nasledujúci:

a n - hodnota aktuálneho člena aritmetickej progresie;

a n+1 - vzorec nasledujúceho čísla;

d - rozdiel (určité číslo).

Je ľahké určiť, že ak je rozdiel kladný (d>0), potom každý nasledujúci člen uvažovaného radu bude väčší ako predchádzajúci a takáto aritmetická progresia sa bude zvyšovať.

V nižšie uvedenom grafe je ľahké pochopiť prečo číselná postupnosť nazývaný "rastúce".

V prípadoch, keď je rozdiel záporný (d<0), каждый последующий член по понятным причинам будет меньше предыдущего, график прогрессии станет «уходить» вниз, арифметическая прогрессия, соответственно, будет именоваться убывающей.

Hodnota zadaného člena

Niekedy je potrebné určiť hodnotu nejakého ľubovoľného člena a n aritmetickej progresie. Môžete to urobiť postupným výpočtom hodnôt všetkých členov aritmetického postupu, od prvého po požadovaný. Tento spôsob však nie je vždy prijateľný, ak je napríklad potrebné nájsť hodnotu päťtisícového alebo osemmiliónového členu. Tradičný výpočet bude trvať dlho. Špecifický aritmetický postup však možno skúmať pomocou určitých vzorcov. Existuje aj vzorec pre n-tý člen: hodnotu ľubovoľného člena aritmetickej postupnosti možno určiť ako súčet prvého člena postupnosti s rozdielom postupnosti vynásobený číslom požadovaného člena mínus jedna .

Vzorec je univerzálny na zvýšenie a zníženie progresie.

Príklad výpočtu hodnoty daného člena

Vyriešme nasledujúci problém hľadania hodnoty n-tého člena aritmetickej postupnosti.

Podmienka: existuje aritmetická progresia s parametrami:

Prvý člen postupnosti je 3;

Rozdiel v číselnom rade je 1,2.

Úloha: je potrebné nájsť hodnotu 214 výrazov

Riešenie: Na určenie hodnoty daného člena použijeme vzorec:

a(n) = a1 + d(n-1)

Nahradením údajov z problémového príkazu do výrazu máme:

a(214) = a1 + d(n-1)

a(214) = 3 + 1,2 (214-1) = 258,6

Odpoveď: 214. člen postupnosti sa rovná 258,6.

Výhody tejto metódy výpočtu sú zrejmé - celé riešenie nezaberie viac ako 2 riadky.

Súčet daného počtu výrazov

Veľmi často je v danej aritmetickej sérii potrebné určiť súčet hodnôt niektorých jej segmentov. Tiež nie je potrebné počítať hodnoty každého výrazu a potom ich sčítať. Táto metóda je použiteľná, ak je počet členov, ktorých súčet treba nájsť, malý. V ostatných prípadoch je vhodnejšie použiť nasledujúci vzorec.

Súčet členov aritmetickej postupnosti od 1 do n sa rovná súčtu prvého a n-tého člena, vynásobený číslom člena n a delený dvoma. Ak je vo vzorci hodnota n-tého člena nahradená výrazom z predchádzajúceho odseku článku, dostaneme:

Príklad výpočtu

Vyriešme napríklad problém s nasledujúcimi podmienkami:

Prvý člen postupnosti je nula;

Rozdiel je 0,5.

V úlohe je potrebné určiť súčet členov radu od 56 do 101.

Riešenie. Na určenie súčtu progresie použijeme vzorec:

s(n) = (2∙a1 + d∙(n-1))∙n/2

Najprv určíme súčet hodnôt 101 členov progresie dosadením daných podmienok nášho problému do vzorca:

s 101 = (2∙0 + 0,5∙(101-1))∙101/2 = 2 525

Je zrejmé, že na zistenie súčtu členov postupu od 56. do 101. je potrebné odpočítať S 55 od S 101.

s55 = (2∙0 + 0,5∙(55-1))∙55/2 = 742,5

Takže súčet aritmetickej progresie pre tento príklad je:

s 101 - s 55 \u003d 2 525 - 742,5 \u003d 1 782,5

Príklad praktickej aplikácie aritmetickej progresie

Na konci článku sa vráťme k príkladu aritmetickej postupnosti uvedenej v prvom odseku - taxametra (taxi car meter). Zoberme si taký príklad.

Vstup do taxíka (ktorý zahŕňa 3 km) stojí 50 rubľov. Každý nasledujúci kilometer sa platí sadzbou 22 rubľov / km. Dojazd 30 km. Vypočítajte si náklady na cestu.

1. Vyhoďme prvé 3 km, ktorých cena je zahrnutá v nákladoch na pristátie.

30 - 3 = 27 km.

2. Ďalší výpočet nie je nič iné ako analýza aritmetického číselného radu.

Členské číslo je počet prejdených kilometrov (mínus prvé tri).

Hodnota člena je súčet.

Prvý termín v tomto probléme sa bude rovnať 1 = 50 rubľov.

Rozdiel v postupe d = 22 p.

číslo, ktoré nás zaujíma - hodnota (27 + 1) člena aritmetického postupu - stav merača na konci 27. kilometra - 27,999 ... = 28 km.

a 28 \u003d 50 + 22 ∙ (28 - 1) \u003d 644

Výpočty kalendárnych údajov za ľubovoľne dlhé obdobie sú založené na vzorcoch popisujúcich určité číselné postupnosti. V astronómii je dĺžka obežnej dráhy geometricky závislá od vzdialenosti nebeského telesa od hviezdy. Okrem toho sa rôzne číselné rady úspešne používajú v štatistike a iných aplikovaných odvetviach matematiky.

Iný druh číselnej postupnosti je geometrický

Geometrická progresia je charakterizovaná veľkou rýchlosťou zmeny v porovnaní s aritmetickou. Nie je náhoda, že v politike, sociológii, medicíne často, aby ukázali vysokú rýchlosť šírenia určitého javu, napríklad choroby počas epidémie, hovoria, že proces sa vyvíja exponenciálne.

N-tý člen geometrického číselného radu sa líši od predchádzajúceho tým, že je vynásobený nejakým konštantným číslom - menovateľ, napríklad prvý člen je 1, menovateľ je 2, potom:

n = 1: 1 ∙ 2 = 2

n = 2: 2 ∙ 2 = 4

n = 3: 4 ∙ 2 = 8

n = 4: 8 ∙ 2 = 16

n=5: 16 ∙ 2 = 32,

b n - hodnota aktuálneho člena geometrickej progresie;

b n+1 - vzorec ďalšieho člena geometrickej postupnosti;

q je menovateľ geometrickej postupnosti (konštantné číslo).

Ak je graf aritmetickej progresie priamka, potom geometrický graf nakreslí trochu iný obrázok:

Rovnako ako v prípade aritmetiky, geometrická postupnosť má vzorec pre hodnotu ľubovoľného člena. Akýkoľvek n-tý člen geometrickej postupnosti sa rovná súčinu prvého člena a menovateľa postupnosti k mocnine n zníženému o jednotku:

Príklad. Máme geometrickú postupnosť s prvým členom rovným 3 a menovateľom postupnosti rovným 1,5. Nájdite 5. termín postupu

b 5 \u003d b 1 ∙ q (5-1) \u003d 3 ∙ 1,5 4 \u003d 15,1875

Súčet daného počtu členov sa tiež vypočíta pomocou špeciálneho vzorca. Súčet prvých n členov geometrickej postupnosti sa rovná rozdielu medzi súčinom n-tého člena postupnosti a jeho menovateľa a prvého člena postupnosti vydelenému menovateľom zníženým o jednu:

Ak sa b n nahradí pomocou vyššie uvedeného vzorca, hodnota súčtu prvých n členov uvažovaného číselného radu bude mať tvar:

Príklad. Geometrická postupnosť začína prvým členom rovným 1. Menovateľ je nastavený na 3. Nájdite súčet prvých ôsmich členov.

s8 = 1 ∙ (3 8 -1) / (3-1) = 3 280

Typ lekcie: učenie sa nového materiálu.

Ciele lekcie:

• rozšírenie a prehĺbenie predstáv žiakov o úlohách riešených pomocou aritmetického postupu; organizácia vyhľadávacej činnosti žiakov pri odvodzovaní vzorca pre súčet prvých n členov aritmetickej postupnosti;
• rozvoj schopností samostatne získavať nové poznatky, využívať už nadobudnuté poznatky na splnenie úlohy;
• rozvoj túžby a potreby zovšeobecňovať získané fakty, rozvoj samostatnosti.

Úlohy:

• zovšeobecniť a systematizovať doterajšie poznatky na tému „Aritmetická progresia“;
• odvodiť vzorce na výpočet súčtu prvých n členov aritmetickej postupnosti;
• naučiť aplikovať získané vzorce pri riešení rôznych problémov;
• upozorniť žiakov na postup zisťovania hodnoty číselného výrazu.

Vybavenie:

• karty s úlohami na prácu v skupinách a dvojiciach;
• hodnotiaci papier;
• prezentácia “Aritmetický postup”.

I. Aktualizácia základných poznatkov.

1. Samostatná práca vo dvojiciach.

1. možnosť:

Definujte aritmetickú progresiu. Napíšte rekurzívny vzorec, ktorý definuje aritmetickú progresiu. Uveďte príklad aritmetického postupu a uveďte jeho rozdiel.

2. možnosť:

Napíšte vzorec pre n-tý člen aritmetickej postupnosti. Nájdite 100. člen aritmetického postupu ( a n}: 2, 5, 8 …
V tomto čase si dvaja študenti na zadnej strane tabule pripravujú odpovede na rovnaké otázky.
Žiaci hodnotia prácu partnera porovnaním s tabuľou. (Odovzdávajú sa letáky s odpoveďami).

2. Herný moment.

Cvičenie 1.

učiteľ. Predstavil som si nejaký aritmetický postup. Položte mi iba dve otázky, aby ste po odpovediach rýchlo vymenovali 7. člena tohto postupu. (1, 3, 5, 7, 9, 11, 13, 15...)

Otázky od študentov.

1. Aký je šiesty termín postupu a aký je rozdiel?
2. Aký je ôsmy termín postupu a aký je rozdiel?

Ak neexistujú žiadne ďalšie otázky, učiteľ ich môže stimulovať - ​​„zákaz“ d (rozdiel), to znamená, že nie je dovolené pýtať sa, aký je rozdiel. Môžete klásť otázky: čo je 6. termín postupu a aký je 8. termín postupu?

Úloha 2.

Na tabuli je napísaných 20 čísel: 1, 4, 7 10, 13, 16, 19, 22, 25, 28, 31, 34, 37, 40, 43, 46, 49, 52, 55, 58.

Učiteľ stojí chrbtom k tabuli. Žiaci povedia číslo čísla a učiteľ hneď zavolá na samotné číslo. Vysvetlite, ako to môžem urobiť?

Učiteľ si zapamätá vzorec n-tého termínu a n \u003d 3n - 2 a nahradením daných hodnôt n nájde zodpovedajúce hodnoty a n .

II. Vyhlásenie výchovnej úlohy.

Navrhujem vyriešiť starý problém z 2. tisícročia pred Kristom, ktorý sa nachádza v egyptských papyroch.

Úloha:"Nech sa ti povie: rozdeľ 10 meríc jačmeňa medzi 10 ľudí, rozdiel medzi každým a jeho susedom je 1/8 merítka."

• Ako tento problém súvisí s témou aritmetického postupu? (Každá ďalšia osoba dostane o 1/8 miery viac, takže rozdiel je d=1/8, 10 ľudí, takže n=10.)
• Čo podľa teba znamená číslo 10? (Súčet všetkých členov postupu.)
• Čo ešte potrebujete vedieť, aby bolo ľahké a jednoduché deliť jačmeň podľa stavu problému? (Prvý termín postupu.)

Cieľ lekcie- získanie závislosti súčtu členov postupnosti od ich počtu, prvého členu a rozdielu a overenie, či bola úloha v staroveku vyriešená správne.

Pred odvodením vzorca sa pozrime, ako starí Egypťania vyriešili problém.

A vyriešili to takto:

1) 10 opatrení: 10 = 1 opatrenie - priemerný podiel;
2) 1 takt ∙ = 2 takty - zdvojené priemer zdieľam.
zdvojnásobil priemer podiel je súčtom podielov 5. a 6. osoby.
3) 2 miery - 1/8 miery = 1 7/8 miery - dvojnásobok podielu piatej osoby.
4) 1 7/8: 2 = 5/16 - podiel pätiny; a tak ďalej, môžete nájsť podiel každej predchádzajúcej a nasledujúcej osoby.

Dostaneme postupnosť:

III. Riešenie úlohy.

1. Pracujte v skupinách

1. skupina: Nájdite súčet 20 po sebe idúcich prirodzených čísel: S 20 \u003d (20 + 1) ∙ 10 \u003d 210.

AT všeobecný pohľad

Skupina II: Nájdite súčet prirodzených čísel od 1 do 100 (Legenda o malom Gaussovi).

S 100 \u003d (1 + 100) ∙ 50 \u003d 5050

Záver:

III skupina: Nájdite súčet prirodzených čísel od 1 do 21.

Riešenie: 1+21=2+20=3+19=4+18…

Záver:

IV skupina: Nájdite súčet prirodzených čísel od 1 do 101.

Záver:

Táto metóda riešenia uvažovaných problémov sa nazýva „Gaussova metóda“.

2. Každá skupina prezentuje riešenie úlohy na tabuli.

3. Zovšeobecnenie navrhovaných riešení pre ľubovoľnú aritmetickú postupnosť:

a 1 , a 2 , a 3 ,..., a n-2 , a n-1 , a n .
S n \u003d a 1 + a 2 + a 3 + a 4 + ... + a n-3 + a n-2 + a n-1 + a n.

Túto sumu zistíme podobným argumentom:

4. Vyriešili sme úlohu?(Áno.)

IV. Primárne pochopenie a aplikácia získaných vzorcov pri riešení úloh.

1. Kontrola riešenia starej úlohy podľa vzorca.

2. Aplikácia vzorca pri riešení rôznych úloh.

3. Cvičenia na formovanie schopnosti aplikovať vzorec pri riešení úloh.

A) č. 613

Dané :( a n) - aritmetická progresia;

(a n): 1, 2, 3, ..., 1500

Nájsť: S 1500

Riešenie: , a 1 = 1 a 1500 = 1500,

B) Vzhľadom na: ( a n) - aritmetická progresia;
(an): 1, 2, 3, ...
Sn = 210

Nájsť: n
Riešenie:

V. Samostatná práca so vzájomným overovaním.

Denis išiel pracovať ako kuriér. V prvom mesiaci bol jeho plat 200 rubľov, v každom nasledujúcom mesiaci sa zvýšil o 30 rubľov. Koľko zarobil za rok?

Dané :( a n) - aritmetická progresia;
a 1 = 200, d = 30, n = 12
Nájsť: S 12
Riešenie:

Odpoveď: Denis dostal za rok 4380 rubľov.

VI. Návod na domácu úlohu.

1. str.4.3 - naučte sa odvodzovanie vzorca.
2. №№ 585, 623 .
3. Zostavte úlohu, ktorá by sa dala vyriešiť pomocou vzorca pre súčet prvých n členov aritmetickej postupnosti.

VII. Zhrnutie lekcie.

1. Výsledková listina

2. Pokračujte vo vetách

• Dnes som sa v triede naučila...
• Naučené vzorce...
• Myslím si, že …

3. Dokážete nájsť súčet čísel od 1 do 500? Akú metódu použijete na vyriešenie tohto problému?

Bibliografia.

1. Algebra, 9. ročník. Učebnica pre vzdelávacie inštitúcie. Ed. G.V. Dorofeeva. Moskva: Osvietenie, 2009.

Matematika má svoju krásu, rovnako ako maľba a poézia.

Ruský vedec, mechanik N.E. Žukovského

Veľmi časté úlohy v prijímacích testoch z matematiky sú úlohy súvisiace s pojmom aritmetický postup. Na úspešné vyriešenie takýchto problémov je potrebné dobre poznať vlastnosti aritmetickej progresie a mať určité zručnosti v ich aplikácii.

Najprv si pripomeňme hlavné vlastnosti aritmetickej progresie a predstavme najdôležitejšie vzorce, spojené s týmto konceptom.

Definícia. Číselná postupnosť, v ktorom sa každý nasledujúci výraz líši od predchádzajúceho rovnakým číslom, nazývaná aritmetická progresia. Zároveň aj číslosa nazýva progresívny rozdiel.

Pre aritmetickú postupnosť platia vzorce

, (1)

kde . Vzorec (1) sa nazýva vzorec spoločného člena aritmetickej postupnosti a vzorec (2) je hlavnou vlastnosťou aritmetickej postupnosti: každý člen postupnosti sa zhoduje s aritmetickým priemerom susedných členov a .

Všimnite si, že práve kvôli tejto vlastnosti sa uvažovaná progresia nazýva „aritmetická“.

Vyššie uvedené vzorce (1) a (2) sú zhrnuté takto:

(3)

Na výpočet sumy najprv členov aritmetického postupuzvyčajne sa používa vzorec

(5) kde a .

Ak vezmeme do úvahy vzorec (1), potom vzorec (5) znamená

Ak určíme

kde . Pretože vzorce (7) a (8) sú zovšeobecnením zodpovedajúcich vzorcov (5) a (6).

najmä zo vzorca (5) vyplýva, čo

Medzi málo známe pre väčšinu študentov patrí vlastnosť aritmetickej postupnosti, formulovaná pomocou nasledujúcej vety.

Veta. Ak potom

Dôkaz. Ak potom

Veta bola dokázaná.

Napríklad , pomocou vety, dá sa to ukázať

Prejdime k úvahe o typických príkladoch riešenia úloh na tému „Aritmetický postup“.

Príklad 1 Nechajte a . Nájsť .

Riešenie. Použitím vzorca (6) dostaneme . Od a , potom alebo .

Príklad 2 Nechajte trikrát viac a pri delení v kvociente vyjde 2 a zvyšok je 8. Určte a.

Riešenie. Systém rovníc vyplýva z podmienky príkladu

Keďže , , a , potom zo sústavy rovníc (10) dostaneme

Riešením tejto sústavy rovníc sú a .

Príklad 3 Zistite, či a .

Riešenie. Podľa vzorca (5) máme alebo . Avšak pomocou vlastnosti (9) získame .

Od a , potom z rovnosti nasleduje rovnica alebo .

Príklad 4 Nájdite, ak .

Riešenie.Podľa vzorca (5) máme

Pomocou vety sa však dá písať

Odtiaľ a zo vzorca (11) získame .

Príklad 5. Dané: . Nájsť .

Riešenie. Odvtedy . Avšak , preto .

Príklad 6 Nechajte , a . Nájsť .

Riešenie. Pomocou vzorca (9) dostaneme . Preto ak , tak alebo .

Od a potom tu máme systém rovníc

Vyriešením ktorého dostaneme a .

Prirodzený koreň rovnice je .

Príklad 7 Zistite, či a .

Riešenie. Keďže podľa vzorca (3) máme to , potom sústava rovníc vyplýva z podmienky úlohy

Ak dosadíme výrazdo druhej rovnice systému, potom dostaneme alebo .

Korene kvadratickej rovnice sú a .

Zoberme si dva prípady.

1. Nechajte , potom . Odvtedy a potom.

V tomto prípade podľa vzorca (6) máme

2. Ak , potom , a

Odpoveď: a.

Príklad 8 Je známe, že a Nájsť .

Riešenie. Berúc do úvahy vzorec (5) a podmienku príkladu, píšeme a .

To znamená systém rovníc

Ak vynásobíme prvú rovnicu sústavy 2 a potom ju pripočítame k druhej rovnici, dostaneme

Podľa vzorca (9) máme. V tejto súvislosti z (12) vyplýva alebo .

Odvtedy a potom.

Odpoveď: .

Príklad 9 Zistite, či a .

Riešenie. Od , a podľa podmienky , potom alebo .

Zo vzorca (5) je to známe, čo . Odvtedy .

v dôsledku toho tu máme systém lineárnych rovníc

Odtiaľto dostávame a . Berúc do úvahy vzorec (8), píšeme .

Príklad 10 Vyriešte rovnicu.

Riešenie. Z uvedenej rovnice vyplýva, že . Predpokladajme, že , , a . V tomto prípade .

Podľa vzorca (1) môžeme napísať alebo .

Pretože rovnica (13) má jedinečný vhodný koreň .

Príklad 11. Nájdite maximálnu hodnotu za predpokladu, že a .

Riešenie. Od , potom uvažovaná aritmetická progresia klesá. V tomto ohľade výraz nadobúda maximálnu hodnotu, keď je číslom minimálneho kladného člena progresie.

Používame vzorec (1) a skutočnosť, ktorý a . Potom dostaneme, že alebo .

Pretože , potom alebo . Avšak v tejto nerovnostinajväčšie prirodzené číslo, preto .

Ak sú hodnoty a dosadené do vzorca (6), dostaneme .

Odpoveď: .

Príklad 12. Nájdite súčet všetkých dvojciferných prirodzených čísel, ktoré po delení 6 majú zvyšok 5.

Riešenie. Označme množinou všetkých dvojhodnotových prirodzených čísel, t.j. . Ďalej zostrojíme podmnožinu pozostávajúcu z tých prvkov (čísel) množiny, ktoré po delení číslom 6 dávajú zvyšok 5.

Jednoduchá inštalácia, čo . samozrejme , že prvky zostavytvoria aritmetický postup, v ktorom a .

Na určenie mohutnosti (počet prvkov) množiny predpokladáme, že . Pretože a , potom vzorec (1) znamená alebo . Ak vezmeme do úvahy vzorec (5), dostaneme .

Vyššie uvedené príklady riešenia problémov si v žiadnom prípade nemôžu tvrdiť, že sú vyčerpávajúce. Tento článok je napísaný na základe analýzy moderných metód riešenia typických problémov na danú tému. Pre hlbšie štúdium metód riešenia problémov súvisiacich s aritmetickou progresiou je vhodné pozrieť si zoznam odporúčanej literatúry.

1. Zbierka úloh z matematiky pre uchádzačov na technické univerzity / Ed. M.I. Scanavi. - M .: Svet a vzdelávanie, 2013. - 608 s.

2. Suprun V.P. Matematika pre stredoškolákov: doplnkové časti školského vzdelávacieho programu. – M.: Lenand / URSS, 2014. - 216 s.

3. Medýnsky M.M. Kompletný kurz elementárnej matematiky v úlohách a cvičeniach. Kniha 2: Číselné postupnosti a postupnosti. – M.: Editus, 2015. - 208 s.

Máte nejaké otázky?

Ak chcete získať pomoc tútora - zaregistrujte sa.

stránky, s úplným alebo čiastočným kopírovaním materiálu, je potrebný odkaz na zdroj.

Pri štúdiu algebry na strednej škole (9. ročník) je jednou z dôležitých tém náuka o číselných postupnostiach, ktoré zahŕňajú postupnosti - geometrické a aritmetické. V tomto článku sa budeme zaoberať aritmetickým postupom a príkladmi s riešeniami.

Čo je to aritmetická progresia?

Aby sme to pochopili, je potrebné uviesť definíciu uvažovaného postupu, ako aj základné vzorce, ktoré sa budú ďalej používať pri riešení problémov.

Aritmetická alebo algebraická postupnosť je taká množina usporiadaných racionálnych čísel, ktorých každý člen sa líši od predchádzajúceho o nejakú konštantnú hodnotu. Táto hodnota sa nazýva rozdiel. To znamená, že ak poznáte ktoréhokoľvek člena zoradeného radu čísel a rozdiel, môžete obnoviť celý aritmetický postup.

Vezmime si príklad. Ďalšia postupnosť čísel bude aritmetická postupnosť: 4, 8, 12, 16, ..., pretože rozdiel je v tomto prípade 4 (8 - 4 = 12 - 8 = 16 - 12). Ale množinu čísel 3, 5, 8, 12, 17 už nemožno pripísať typu uvažovanej progresie, pretože rozdiel pre ňu nie je konštantná hodnota (5 - 3 ≠ 8 - 5 ≠ 12 - 8 ≠ 17 - 12).

Dôležité vzorce

Teraz uvádzame základné vzorce, ktoré budú potrebné na riešenie problémov pomocou aritmetickej progresie. Označme symbolom a n n-tý člen sekvencie, kde n je celé číslo. Rozdiel je označený latinským písmenom d. Potom sú pravdivé nasledujúce výrazy:

1. Na určenie hodnoty n-tého členu je vhodný vzorec: a n \u003d (n-1) * d + a 1.
2. Na určenie súčtu prvých n členov: S n = (a n + a 1)*n/2.

Na pochopenie akýchkoľvek príkladov aritmetickej progresie s riešením v 9. ročníku si stačí zapamätať tieto dva vzorce, pretože všetky problémy daného typu sú postavené na ich použití. Tiež nezabudnite, že progresívny rozdiel je určený vzorcom: d = a n - a n-1 .

Príklad č. 1: Nájdenie neznámeho člena

Uvádzame jednoduchý príklad aritmetickej progresie a vzorcov, ktoré je potrebné použiť na riešenie.

Nech je daná postupnosť 10, 8, 6, 4, ..., treba v nej nájsť päť členov.

Už z podmienok problému vyplýva, že prvé 4 termíny sú známe. Piatu možno definovať dvoma spôsobmi:

1. Najprv vypočítame rozdiel. Máme: d = 8 - 10 = -2. Podobne by sa dali vziať akékoľvek dva ďalšie výrazy stojace vedľa seba. Napríklad d = 4 - 6 = -2. Pretože je známe, že d \u003d a n - a n-1, potom d \u003d a 5 - a 4, odkiaľ dostaneme: a 5 \u003d a 4 + d. Dosadíme známe hodnoty: a 5 = 4 + (-2) = 2.
2. Druhá metóda tiež vyžaduje znalosť rozdielu príslušnej progresie, takže ju najprv musíte určiť, ako je uvedené vyššie (d = -2). Keď vieme, že prvý člen a 1 = 10, použijeme vzorec pre n číslo postupnosti. Máme: a n \u003d (n - 1) * d + a 1 \u003d (n - 1) * (-2) + 10 \u003d 12 - 2 * n. Dosadením n = 5 do posledného výrazu dostaneme: a 5 = 12-2 * 5 = 2.

Ako vidíte, obe riešenia vedú k rovnakému výsledku. Všimnite si, že v tomto príklade je rozdiel d progresie záporný. Takéto postupnosti sa nazývajú klesajúce, pretože každý nasledujúci člen je menší ako predchádzajúci.

Príklad č. 2: rozdiel v postupe

Teraz si úlohu trochu skomplikujeme, uvedieme príklad ako

Je známe, že v niektorých sa 1. člen rovná 6 a 7. člen sa rovná 18. Je potrebné nájsť rozdiel a obnoviť túto postupnosť na 7. člen.

Na určenie neznámeho členu použijeme vzorec: a n = (n - 1) * d + a 1 . Dosadíme do nej známe údaje z podmienky, teda čísla a 1 a a 7, máme: 18 \u003d 6 + 6 * d. Z tohto výrazu môžete jednoducho vypočítať rozdiel: d = (18 - 6) / 6 = 2. Tým bola zodpovedaná prvá časť úlohy.

Ak chcete obnoviť postupnosť na 7. člen, mali by ste použiť definíciu algebraickej progresie, to znamená a 2 = a 1 + d, a 3 = a 2 + d atď. V dôsledku toho obnovíme celú postupnosť: a 1 = 6, a 2 = 6 + 2 = 8, a 3 = 8 + 2 = 10, a 4 = 10 + 2 = 12, a 5 = 12 + 2 = 14 a 6 = 14 + 2 = 16 a 7 = 18.

Príklad č. 3: Progresia

Poďme si ešte viac skomplikovať stav problému. Teraz musíte odpovedať na otázku, ako nájsť aritmetickú progresiu. Môžeme uviesť nasledujúci príklad: sú dané dve čísla, napríklad 4 a 5. Je potrebné urobiť algebraickú postupnosť tak, aby sa medzi ne umiestnili ďalšie tri členy.

Pred začatím riešenia tohto problému je potrebné pochopiť, aké miesto budú dané čísla zaujímať v budúcom postupe. Keďže medzi nimi budú ešte tri výrazy, potom 1 \u003d -4 a 5 \u003d 5. Po zistení pristúpime k úlohe, ktorá je podobná predchádzajúcej. Opäť, pre n-tý člen, použijeme vzorec, dostaneme: a 5 \u003d a 1 + 4 * d. Od: d \u003d (a 5 - a 1) / 4 \u003d (5 - (-4)) / 4 \u003d 2,25. Tu rozdiel nie je celočíselná hodnota, ale je to racionálne číslo, takže vzorce pre algebraickú postupnosť zostávajú rovnaké.

Teraz pripočítajme nájdený rozdiel k 1 a obnovíme chýbajúce členy progresie. Získame: a 1 = - 4, a 2 = - 4 + 2,25 = - 1,75, a 3 = -1,75 + 2,25 = 0,5, a 4 = 0,5 + 2,25 = 2,75, a 5 \u003d 2,75 + 2,25 \u,0 ktorá sa zhodovala so stavom problému.

Príklad č. 4: Prvý člen postupu

Pokračujeme v uvádzaní príkladov aritmetickej progresie s riešením. Vo všetkých predchádzajúcich úlohách bolo známe prvé číslo algebraickej progresie. Teraz uvažujme úlohu iného typu: nech sú dané dve čísla, kde a 15 = 50 a a 43 = 37. Je potrebné zistiť, od ktorého čísla táto postupnosť začína.

Doteraz používané vzorce predpokladajú znalosť a 1 a d. V stave problému nie je o týchto číslach nič známe. Vypíšme si však výrazy ku každému pojmu, o ktorom máme informácie: a 15 = a 1 + 14 * d a a 43 = a 1 + 42 * d. Dostali sme dve rovnice, v ktorých sú 2 neznáme veličiny (a 1 a d). To znamená, že problém je redukovaný na riešenie sústavy lineárnych rovníc.

Zadaný systém je najjednoduchšie vyriešiť, ak v každej rovnici vyjadríte 1 a potom porovnáte výsledné výrazy. Prvá rovnica: a 1 = a 15 - 14 * d = 50 - 14 * d; druhá rovnica: a 1 \u003d a 43 - 42 * d \u003d 37 - 42 * d. Porovnaním týchto výrazov dostaneme: 50 - 14 * d \u003d 37 - 42 * d, odkiaľ je rozdiel d \u003d (37 - 50) / (42 - 14) \u003d - 0,464 (uvedené sú iba 3 desatinné miesta).

Ak poznáte d, môžete použiť ktorýkoľvek z 2 vyššie uvedených výrazov pre 1 . Napríklad prvý: a 1 \u003d 50 - 14 * d \u003d 50 - 14 * (- 0,464) \u003d 56,496.

Ak sú o výsledku pochybnosti, môžete si ho skontrolovať, napríklad určiť 43. člen progresie, ktorý je uvedený v podmienke. Získame: a 43 \u003d a 1 + 42 * d \u003d 56,496 + 42 * (- 0,464) \u003d 37,008. Malá chyba je spôsobená tým, že pri výpočtoch bolo použité zaokrúhľovanie na tisíciny.

Príklad č. 5: Suma

Teraz sa pozrime na niekoľko príkladov s riešeniami súčtu aritmetickej progresie.

Nech je daný číselný postup v nasledujúcom tvare: 1, 2, 3, 4, ...,. Ako vypočítať súčet 100 z týchto čísel?

Vďaka rozvoju výpočtovej techniky je možné tento problém vyriešiť, to znamená postupne sčítať všetky čísla, čo počítač urobí hneď, ako človek stlačí kláves Enter. Problém sa však dá vyriešiť mentálne, ak si všimnete, že prezentovaný rad čísel je algebraická postupnosť a jej rozdiel je 1. Použitím vzorca pre súčet dostaneme: S n = n * (a 1 + a n) / 2 = 100 * (1 + 100) / 2 = 5050.

Je zvláštne, že tento problém sa nazýva „gausovský“, keďže začiatkom 18. storočia ho slávny Nemec, ešte vo veku len 10 rokov, dokázal vyriešiť v mysli za pár sekúnd. Chlapec nepoznal vzorec pre súčet algebraickej postupnosti, ale všimol si, že ak sčítate dvojice čísel na okrajoch postupnosti, vždy dostanete rovnaký výsledok, teda 1 + 100 = 2 + 99 = 3 + 98 = ..., a keďže tieto súčty budú presne 50 (100 / 2), na získanie správnej odpovede stačí vynásobiť 50 číslom 101.

Príklad č. 6: súčet členov od n do m

Ďalší typický príklad súčtu aritmetickej progresie je nasledujúci: ak je daný rad čísel: 3, 7, 11, 15, ..., musíte zistiť, aký bude súčet jej členov od 8 do 14.

Problém sa rieši dvoma spôsobmi. Prvý z nich zahŕňa nájdenie neznámych výrazov od 8 do 14 a ich následné sčítanie. Keďže výrazov je málo, táto metóda nie je dostatočne prácna. Napriek tomu sa navrhuje riešiť tento problém druhou metódou, ktorá je univerzálnejšia.

Cieľom je získať vzorec pre súčet algebraickej postupnosti medzi členmi m a n, kde n > m sú celé čísla. Pre oba prípady napíšeme pre súčet dva výrazy:

1. S m \u003d m * (a m + a 1) / 2.
2. S n \u003d n * (a n + a 1) / 2.

Keďže n > m, je zrejmé, že súčet 2 zahŕňa aj prvý. Posledný záver znamená, že ak zoberieme rozdiel medzi týmito súčtami a pridáme k nemu člen a m (v prípade zobratia rozdielu sa odpočíta od súčtu S n), dostaneme potrebnú odpoveď na úlohu. Máme: S mn \u003d Sn - S m + a m \u003d n * (a 1 + a n) / 2 - m * (a 1 + a m) / 2 + a m \u003d a 1 * (n - m) / 2 + a n * n / 2 + a m * (1- m / 2). Do tohto výrazu je potrebné dosadiť vzorce pre a n a a m. Potom dostaneme: S mn = a 1 * (n - m) / 2 + n * (a 1 + (n - 1) * d) / 2 + (a 1 + (m - 1) * d) * (1 - m/2) = a 1* (n - m + 1) + d * n * (n - 1) / 2 + d * (3 * m - m2 - 2) / 2.

Výsledný vzorec je trochu ťažkopádny, avšak súčet S mn závisí len od n, m, a 1 a d. V našom prípade a 1 = 3, d = 4, n = 14, m = 8. Dosadením týchto čísel dostaneme: S mn = 301.

Ako vidno z vyššie uvedených riešení, všetky úlohy vychádzajú zo znalosti výrazu pre n-tý člen a vzorca pre súčet množiny prvých členov. Skôr ako začnete riešiť niektorý z týchto problémov, odporúča sa pozorne si prečítať podmienku, jasne pochopiť, čo chcete nájsť, a až potom pristúpiť k riešeniu.

Ďalším tipom je snažiť sa o jednoduchosť, to znamená, že ak dokážete odpovedať na otázku bez použitia zložitých matematických výpočtov, musíte to urobiť, pretože v tomto prípade je pravdepodobnosť, že urobíte chybu, menšia. Napríklad v príklade aritmetickej progresie s riešením č. 6 by sme sa mohli zastaviť pri vzorci S mn \u003d n * (a 1 + a n) / 2 - m * (a 1 + a m) / 2 + a m, a rozdeľte všeobecnú úlohu na samostatné podúlohy (v tomto prípade najskôr nájdite výrazy a n a a m).

Ak existujú pochybnosti o dosiahnutom výsledku, odporúča sa ho skontrolovať, ako to bolo urobené v niektorých z uvedených príkladov. Ako nájsť aritmetickú progresiu, zistilo sa. Keď na to prídete, nie je to také ťažké.

Čo Hlavným bodom vzorce?

Tento vzorec vám umožňuje nájsť akýkoľvek PODĽA JEHO ČÍSLA" n" .

Samozrejme, musíte poznať prvý termín 1 a rozdiel v postupe d, no, bez týchto parametrov si nemôžete zapísať konkrétny postup.

Nestačí si zapamätať (alebo podvádzať) tento vzorec. Je potrebné asimilovať jeho podstatu a aplikovať vzorec v rôznych úlohách. Áno, a nezabudnite v pravý čas, áno ...) Ako nezabudnúť- Neviem. ale ako si zapamätať V prípade potreby vám poradím. Pre tých, ktorí zvládnu lekciu až do konca.)

Poďme sa teda zaoberať vzorcom n-tého člena aritmetickej postupnosti.

Čo je vzorec vo všeobecnosti - predstavíme si.) Čo je to aritmetický postup, číslo člena, rozdiel postupu - je jasne uvedené v predchádzajúcej lekcii. Pozri, ak si to nečítal. Všetko je tam jednoduché. Zostáva prísť na to, čo n-tý člen.

Priebeh vo všeobecnosti možno zapísať ako sériu čísel:

a 1, a 2, a 3, a 4, a 5, .....

1- označuje prvý člen aritmetického postupu, a 3- tretí člen a 4- štvrtý a tak ďalej. Ak máme záujem o piaty termín, povedzme, že pracujeme s a 5, ak stodvadsiaty - od 120.

Ako definovať vo všeobecnosti akýkoľvekčlen aritmetického postupu, s akýkoľvekčíslo? Veľmi jednoduché! Páči sa ti to:

a n

Tak to je n-tý člen aritmetickej postupnosti. Pod písmenom n sú skryté všetky čísla členov naraz: 1, 2, 3, 4 atď.

A čo nám takýto rekord dáva? Len si predstavte, že namiesto čísla napísali písmeno ...

Tento zápis nám poskytuje výkonný nástroj na prácu s aritmetickými postupnosťami. Použitie notácie a n, môžeme rýchlo nájsť akýkoľvekčlenom akýkoľvek aritmetická progresia. A kopu úloh, ktoré treba postupne riešiť. Ďalej uvidíte.

Vo vzorci n-tého člena aritmetickej postupnosti:

a n = a1 + (n-1)d

1- prvý člen aritmetického postupu;

n- členské číslo.

Vzorec spája kľúčové parametre akejkoľvek progresie: a n; a 1; d a n. Okolo týchto parametrov sa postupne točia všetky hádanky.

Vzorec n-tého členu možno použiť aj na napísanie konkrétneho postupu. Napríklad v probléme možno povedať, že progresia je daná podmienkou:

a n = 5 + (n-1) 2.

Takýto problém môže dokonca zmiasť ... Neexistuje žiadna séria, žiadny rozdiel ... Ale pri porovnaní stavu so vzorcom je ľahké zistiť, že v tomto postupe a 1 \u003d 5 a d \u003d 2.

A môže to byť ešte nahnevanejšie!) Ak vezmeme rovnakú podmienku: a n = 5 + (n-1) 2, ano, otvorte zatvorky a dajte podobne? Dostávame nový vzorec:

an = 3 + 2n.

to Iba nie všeobecné, ale pre konkrétny postup. Práve tu sa skrýva úskalia. Niektorí ľudia si myslia, že prvý termín je trojka. Aj keď v skutočnosti je prvým členom päťka ... O niečo nižšie budeme pracovať s takto upraveným vzorcom.

V úlohách na postup je iná notácia - a n+1. Toto je, uhádli ste, „n plus prvý“ člen postupu. Jeho význam je jednoduchý a neškodný.) Ide o člen postupnosti, ktorého počet je väčší ako číslo n o jeden. Napríklad, ak v nejakom probléme berieme za a n teda piate volebné obdobie a n+1 bude šiestym členom. Atď.

Najčastejšie označenie a n+1 vyskytuje sa v rekurzívnych vzorcoch. Nebojte sa tohto hrozného slova!) Toto je len spôsob vyjadrenia termínu aritmetického postupu cez predchádzajúci. Predpokladajme, že dostaneme aritmetickú progresiu v tejto forme pomocou opakujúceho sa vzorca:

a n+1 = a n +3

a 2 = a 1 + 3 = 5 + 3 = 8

a 3 = a 2 + 3 = 8 + 3 = 11

Štvrtý - cez tretí, piaty - cez štvrtý atď. A ako okamžite počítať, povedzme dvadsiaty termín, 20? Ale v žiadnom prípade!) Zatiaľ čo 19. termín nie je známy, 20. sa nedá započítať. Toto je základný rozdiel medzi opakujúcim sa vzorcom a vzorcom n-tého členu. Rekurzívne funguje iba cez predchádzajúcečlen, a vzorec n-tého členu - cez prvý a umožňuje hneď nájsť ľubovoľného člena podľa jeho čísla. Nepočítajúc celý rad čísel v poradí.

Pri aritmetickej progresii možno rekurzívny vzorec ľahko zmeniť na bežný. Spočítajte pár po sebe idúcich výrazov, vypočítajte rozdiel d, v prípade potreby nájdite prvý termín 1, napíšte vzorec v obvyklom tvare a pracujte s ním. V GIA sa takéto úlohy často nachádzajú.

Aplikácia vzorca n-tého člena aritmetickej postupnosti.

Najprv sa pozrime na priamu aplikáciu vzorca. Na konci predchádzajúcej lekcie sa vyskytol problém:

Daná aritmetická progresia (a n). Nájdite 121, ak a 1 = 3 a d = 1/6.

Tento problém možno vyriešiť bez akýchkoľvek vzorcov, jednoducho na základe významu aritmetickej progresie. Pridať, áno pridať ... Hodinu alebo dve.)

A podľa vzorca bude riešenie trvať menej ako minútu. Môžete si to načasovať.) My rozhodujeme.

Podmienky poskytujú všetky údaje na použitie vzorca: a 1 \u003d 3, d \u003d 1/6. Uvidí sa čo n.Žiaden problém! Musíme nájsť 121. Tu píšeme:

Venujte prosím pozornosť! Namiesto indexu n objavilo sa konkrétne číslo: 121. Čo je celkom logické.) Zaujíma nás člen aritmetickej postupnosti číslo sto dvadsať jeden. Toto bude naše n. Je to tento význam n= 121 dosadíme ďalej do vzorca, v zátvorkách. Dosaďte všetky čísla vo vzorci a vypočítajte:

a 121 = 3 + (121-1) 1/6 = 3+20 = 23

To je všetko. Rovnako rýchlo sa dal nájsť päťsto desiaty člen a tisíc a tretí akýkoľvek. Dali sme namiesto toho n požadované číslo v indexe písmena " a" a v zátvorkách a uvažujeme.

Dovoľte mi pripomenúť vám podstatu: tento vzorec vám umožňuje nájsť akýkoľvek termín aritmetického postupu PODĽA JEHO ČÍSLA" n" .

Vyriešme problém múdrejšie. Povedzme, že máme nasledujúci problém:

Nájdite prvý člen aritmetickej progresie (a n), ak a 17 = -2; d = -0,5.

Ak máte nejaké ťažkosti, navrhnem prvý krok. Napíšte vzorec pre n-tý člen aritmetickej postupnosti!Áno áno. Ručne napíšte priamo do zošita:

a n = a1 + (n-1)d

A teraz, keď sa pozrieme na písmená vzorca, chápeme, aké údaje máme a čo nám chýba? Dostupné d=-0,5, je tu sedemnásty člen... Všetko? Ak si myslíte, že je to všetko, potom nemôžete vyriešiť problém, áno ...

Máme aj číslo n! V stave a 17 = -2 skryté dve možnosti. Ide o hodnotu sedemnásteho člena (-2) aj o jeho číslo (17). Tie. n=17. Táto „maličkosť“ často prekĺzne cez hlavu a bez nej (bez „malej veci“, nie hlavy!) sa problém nedá vyriešiť. Aj keď ... a tiež bez hlavy.)

Teraz môžeme len hlúpo nahradiť naše údaje do vzorca:

a 17 \u003d a 1 + (17-1) (-0,5)

Ó áno, 17 vieme, že je to -2. Dobre, vložíme to:

-2 \u003d a 1 + (17-1) (-0,5)

To je v podstate všetko. Zostáva vyjadriť prvý člen aritmetického postupu zo vzorca a vypočítať. Dostanete odpoveď: a 1 = 6.

Takáto technika – písanie vzorca a jednoduché nahradenie známych údajov – veľmi pomáha pri jednoduchých úlohách. Samozrejme, musíte vedieť vyjadriť premennú zo vzorca, ale čo robiť!? Bez tejto zručnosti sa matematika nedá vôbec študovať ...

Ďalší populárny problém:

Nájdite rozdiel aritmetickej progresie (a n), ak a 1 = 2; a 15 = 12.

Čo robíme? Budete prekvapení, píšeme vzorec!)

a n = a1 + (n-1)d

Zvážte, čo vieme: ai=2; a15=12; a (špeciálne zvýraznenie!) n=15. Neváhajte nahradiť vo vzorci:

12 = 2 + (15-1) d

Poďme na aritmetiku.)

12 = 2 + 14d

d=10/14 = 5/7

Toto je správna odpoveď.

Takže úlohy a n, a 1 a d rozhodol. Zostáva sa naučiť, ako nájsť číslo:

Číslo 99 je členom aritmetickej postupnosti (a n), kde a 1 = 12; d=3. Nájdite číslo tohto člena.

Známe množstvá dosadíme do vzorca n-tého člena:

a n = 12 + (n-1) 3

Na prvý pohľad sú tu dve neznáme veličiny: a n a n. ale a n je nejaký člen progresie s číslom n... A tento člen postupu poznáme! Je to 99. Nepoznáme jeho číslo. n, tak toto číslo treba tiež nájsť. Dosaďte progresívny člen 99 do vzorca:

99 = 12 + (n-1) 3

Vyjadrujeme zo vzorca n, my si myslíme. Dostávame odpoveď: n=30.

A teraz problém na rovnakú tému, ale kreatívnejší):

Určite, či číslo 117 bude členom aritmetickej postupnosti (a n):

-3,6; -2,4; -1,2 ...

Opäť napíšeme vzorec. Čo, neexistujú žiadne možnosti? Hm... Prečo potrebujeme oči?) Vidíme prvého člena progresie? Vidíme. Toto je -3,6. Pokojne môžete napísať: a 1 \u003d -3,6. Rozdiel d dá sa určiť zo série? Je to jednoduché, ak viete, aký je rozdiel medzi aritmetickou progresiou:

d = -2,4 - (-3,6) = 1,2

Áno, urobili sme najjednoduchšiu vec. Zostáva sa vysporiadať s neznámym číslom n a nezrozumiteľné číslo 117. V predchádzajúcom probléme sa aspoň vedelo, že bol daný termín postupu. Ale tu ani nevieme, že ... Ako byť!? No ako byť, ako byť... Zapnúť Tvorivé schopnosti!)

my predpokladaťže 117 je predsa členom našej progresie. S neznámym číslom n. A rovnako ako v predchádzajúcom probléme, skúsme nájsť toto číslo. Tie. napíšeme vzorec (áno-áno!)) a dosadíme naše čísla:

117 = -3,6 + (n-1) 1,2

Opäť vyjadrujeme zo vzorcan, spočítame a dostaneme:

Ojoj! Číslo vyšlo zlomkové! Sto jeden a pol. A zlomkové čísla v postupnosti nemôže byť. Aký záver vyvodíme? Áno! Číslo 117 nie ječlenom našej progresie. Je to niekde medzi 101. a 102. členom. Ak by sa počet ukázal ako prirodzený, t.j. kladné celé číslo, potom by číslo bolo členom postupnosti s nájdeným číslom. A v našom prípade bude odpoveď na problém: č.

Na základe úlohy reálna verzia GIA:

Aritmetický postup je daný podmienkou:

a n \u003d -4 + 6,8n

Nájdite prvý a desiaty termín postupu.

Tu je postup nastavený nezvyčajným spôsobom. Nejaký vzorec ... Stáva sa to.) Avšak tento vzorec (ako som napísal vyššie) - aj vzorec n-tého člena aritmetickej postupnosti! Tiež povoľuje nájdite ľubovoľného člena postupu podľa jeho čísla.

Hľadáme prvého člena. Ten, kto si myslí. že prvý člen je mínus štyri, sa fatálne mýli!) Pretože vzorec v úlohe je upravený. Prvý člen aritmetického postupu v ňom skryté. Nič, teraz to nájdeme.)

Rovnako ako v predchádzajúcich úlohách suplujeme n=1 do tohto vzorca:

a 1 \u003d -4 + 6,8 1 \u003d 2,8

Tu! Prvý termín je 2,8, nie -4!

Podobne hľadáme desiaty výraz:

a 10 \u003d -4 + 6,8 10 \u003d 64

To je všetko.

A teraz, pre tých, ktorí sa dočítali až po tieto riadky, sľúbený bonus.)

Predpokladajme, že v ťažkej bojovej situácii GIA alebo Jednotnej štátnej skúšky ste zabudli na užitočný vzorec n-tého člena aritmetického postupu. Niečo ma napadá, ale akosi neisto... Či n tam, resp n+1, príp n-1... Ako byť!?

Pokojne! Tento vzorec sa dá ľahko odvodiť. Nie veľmi striktné, ale určite dosť na dôveru a správne rozhodnutie!) Na záver si stačí zapamätať si základný význam aritmetického postupu a mať pár minút času. Stačí si nakresliť obrázok. Pre prehľadnosť.

Nakreslíme si číselnú os a označíme na nej prvú. druhý, tretí atď. členov. A všimnite si rozdiel d medzi členmi. Páči sa ti to:

Pozrieme sa na obrázok a pomyslíme si: čomu sa rovná druhý výraz? Po druhé jeden d:

a 2 = a 1 + 1 d

Aký je tretí termín? Po tretie termín sa rovná prvému termínu plus dva d.

a 3 = a 1 + 2 d

Máš to? Niektoré slová nedávam tučným písmom pre nič za nič. Dobre, ešte jeden krok.)

Aký je štvrtý termín? Po štvrté termín sa rovná prvému termínu plus tri d.

a 4 = a 1 + 3 d

Je načase si uvedomiť, že počet medzier, t.j. d, vždy o jeden menej ako je počet člena, ktorého hľadáte n. Teda až do počtu n, počet medzier bude n-1. Takže vzorec bude (žiadne možnosti!):

a n = a1 + (n-1)d

Vo všeobecnosti sú vizuálne obrázky veľmi užitočné pri riešení mnohých problémov v matematike. Nezanedbávajte obrázky. Ale ak je ťažké nakresliť obrázok, potom ... iba vzorec!) Okrem toho vzorec n-tého členu umožňuje pripojiť k riešeniu celý silný arzenál matematiky - rovnice, nerovnice, systémy atď. Nemôžeš dať obrázok do rovnice...

Úlohy pre samostatné rozhodovanie.

Na zahriatie:

1. V aritmetickej postupnosti (a n) a 2 = 3; a 5 \u003d 5.1. Nájdite 3.

Pomôcka: podľa obrázku je problém vyriešený za 20 sekúnd ... Podľa vzorca je to ťažšie. Ale pre zvládnutie vzorca je to užitočnejšie.) V § 555 je tento problém riešený obrázkom aj vzorcom. Cítiť rozdiel!)

A toto už nie je zahrievanie.)

2. V aritmetickej postupnosti (a n) a 85 \u003d 19,1; a 236 = 49, 3. Nájdite 3 .

Čo, neochota nakresliť obrázok?) Ešte! Vo vzorci je to lepšie, áno...

3. Aritmetický postup je daný podmienkou:a 1 \u003d -5,5; a n+1 = a n +0,5. Nájdite stodvadsiaty piaty termín tohto postupu.

V tejto úlohe je postup uvedený opakujúcim sa spôsobom. Ale rátať do stodvadsiateho piateho termínu... Nie každému sa to podarí.) Ale vzorec n-tého termínu je v moci každého!

4. Daná aritmetická progresia (a n):

-148; -143,8; -139,6; -135,4, .....

Nájdite číslo najmenšieho kladného člena progresie.

5. Podľa podmienky úlohy 4 nájdite súčet najmenších kladných a najväčších záporných členov postupu.

6. Súčin piateho a dvanásteho členu rastúcej aritmetickej progresie je -2,5 a súčet tretieho a jedenásteho členu je nula. Nájdite 14.

Nie je to najjednoduchšia úloha, áno ...) Tu metóda "na prstoch" nebude fungovať. Musíte písať vzorce a riešiť rovnice.

Odpovede (v neporiadku):

3,7; 3,5; 2,2; 37; 2,7; 56,5

Stalo? Je to pekné!)

Nevychádza všetko? To sa stáva. Mimochodom, v poslednej úlohe je jeden jemný bod. Pri čítaní problému bude potrebná pozornosť. A logika.

Riešenie všetkých týchto problémov je podrobne popísané v časti 555. A fantazijný prvok pre štvrtý a jemný moment pre šiesty a všeobecné prístupy k riešeniu akýchkoľvek problémov pre vzorec n-tého termínu - všetko je vymaľované. Odporúčam.

Ak sa vám táto stránka páči...

Mimochodom, mám pre vás niekoľko ďalších zaujímavých stránok.)

Môžete si precvičiť riešenie príkladov a zistiť svoju úroveň. Testovanie s okamžitým overením. Učenie - so záujmom!)

môžete sa zoznámiť s funkciami a deriváciami.